જો વર્તુળની બે સમાન જીવાઓ એકબીજાને છેદે,તો સાબિત કરો કે એક જીવાના ભાગો બીજી જીવાના અનુરૂપ ભાગોને સમાન હોય છે.

(N/A) $AB$ અને $CD$ એ કેન્દ્ર $O$ વાળા વર્તુળની બે સમાન જીવાઓ છે,જે એકબીજાને $M$ માં છેદે છે. આપણે સાબિત કરવાનું છે કે:
$(i)$ $MB = MC$ અને
$(ii)$ $AM = MD$
કેન્દ્ર $O$ માંથી $OE \perp AB$ અને $OF \perp CD$ દોરો.
કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી:
$AE = \frac{1}{2} AB$ અને $FD = \frac{1}{2} CD$
$AB = CD$ હોવાથી,$\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD,$ તેથી $AE = FD$ $...(1)$
સમાન જીવાઓ કેન્દ્રથી સમાન અંતરે હોય છે,તેથી $OE = OF.$
હવે,$\Delta MOE$ અને $\Delta MOF$ માં:
$OE = OF$ [ઉપર સાબિત કર્યું]
$OM = OM$ [સામાન્ય બાજુ]
$\angle OEM = \angle OFM = 90^\circ$ [રચના મુજબ]
તેથી,$\Delta MOE \cong \Delta MOF$ [$RHS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ]
આમ,$ME = MF$ $...(2)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$AE - ME = FD - MF$
$\Rightarrow AM = MD$ [ભાગ $(ii)$ સાબિત થયો]
ફરીથી,$AB = CD$ અને $AM = MD.$
આ બાદ કરતા,આપણને મળે છે $AB - AM = CD - MD.$
તેથી,$MB = MC$ [ભાગ $(i)$ સાબિત થયો]