Mix Examples - Circles Questions in Gujarati

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એ $AB \parallel CD$ ધરાવતો ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $BC = AD$.
સાબિતી:
$1$. $ABCD$ ચક્રીય ચતુષ્કોણ હોવાથી,સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે. તેથી,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ અને $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$.
$2$. $AB \parallel CD$ હોવાથી,છેદિકાની એક જ તરફના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે. તેથી,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$.
$3$. $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ અને $\angle A + \angle D = 180^{\circ}$ પરથી,આપણને $\angle C = \angle D$ મળે છે.
$4$. તેવી જ રીતે,$AB \parallel CD$ હોવાથી,$\angle B + \angle C = 180^{\circ}$. આપેલ $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$ પરથી,$\angle C = \angle D$ સાબિત થાય છે.
$5$. ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં,જો સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાંતર હોય,તો તે સમદ્વિબાજુ સમલંબ ચતુષ્કોણ બને છે. સમદ્વિબાજુ સમલંબ ચતુષ્કોણમાં અસમાંતર બાજુઓ સમાન હોય છે.
$6$. તેથી,$BC = AD$.

(N/A) $1$. $\triangle ABC$ માં,આપણને $AB = AC$ આપેલ છે. તેથી,$\angle ABC = \angle ACB$ (સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે).
$2$. $B, C, Y, X$ એક જ વર્તુળ પરના બિંદુઓ હોવાથી,$BCYX$ એ ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે.
$3$. ચક્રીય ચતુષ્કોણના ગુણધર્મ મુજબ,ચક્રીય ચતુષ્કોણનો બહિષ્કોણ તેના અંતઃસન્મુખ ખૂણા જેટલો હોય છે.
$4$. તેથી,ચક્રીય ચતુષ્કોણ $BCYX$ માટે,બહિષ્કોણ $\angle AXY = \angle ACB$ થાય.
$5$. આપણને ખબર છે કે $\angle ABC = \angle ACB$,તેથી $\angle AXY = \angle ABC$ થાય.
$6$. આ ખૂણાઓ છેદિકા $AB$ દ્વારા $XY$ અને $BC$ રેખાઓ પર બનતા અનુકોણ છે.
$7$. જો અનુકોણ સમાન હોય,તો રેખાઓ સમાંતર હોય છે. તેથી,$XY \parallel BC$.

(D) $1$. ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે. તેથી,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ અને $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$.
$2$. આપેલ છે કે $\angle B = 80^{\circ}$,તેથી $\angle D = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$.
$3$. $AB \parallel CD$ હોવાથી,છેદિકાની એક જ તરફના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે. તેથી,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$.
$4$. $\angle D = 100^{\circ}$ મૂકતા,$\angle A + 100^{\circ} = 180^{\circ}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\angle A = 80^{\circ}$.
$5$. અંતે,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ નો ઉપયોગ કરતા,$80^{\circ} + \angle C = 180^{\circ}$ મળે,તેથી $\angle C = 100^{\circ}$.
$6$. આમ,ખૂણાઓ $\angle A = 80^{\circ}, \angle C = 100^{\circ}, \angle D = 100^{\circ}$ છે.

(D) ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં,એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
ચક્રીય ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,એક જ ચાપ $AB$ દ્વારા પરિઘ પર બનતા ખૂણાઓ $\angle ACB$ અને $\angle ADB$ છે.
તેથી,$\angle ACB = \angle ADB = 78^{\circ}$.
હવે,ત્રિકોણ $\triangle ABC$ નો વિચાર કરો. ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180^{\circ}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\angle ABC + 52^{\circ} + 78^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle ABC + 130^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle ABC = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$.

(A) $1$. ચક્રીય ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$2$. તેથી,$\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$.
$3$. આપેલ છે કે $\angle ADC = 150^{\circ}$,તેથી $\angle ABC = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$.
$4$. $AB$ વ્યાસ હોવાથી,અર્ધવર્તુળનો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે. તેથી,$\angle ACB = 90^{\circ}$.
$5$. $\triangle ABC$ માં,ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$6$. $\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$.
$7$. $\angle BAC + 30^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$.
$8$. $\angle BAC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.

(B) ચક્રીય ચતુષ્કોણ $PQRS$ માં,એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
અહીં $\angle QPR$ અને $\angle QSR$ એક જ ચાપ $QR$ દ્વારા પરિઘ પર બનતા ખૂણા હોવાથી,$\angle QSR = \angle QPR = 40^{\circ}$ થાય.
આપેલ છે કે $\angle PSQ = 70^{\circ}$,તેથી કુલ ખૂણો $\angle PSR = \angle PSQ + \angle QSR = 70^{\circ} + 40^{\circ} = 110^{\circ}$ થાય.
ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોય છે.
તેથી,$\angle PQR + \angle PSR = 180^{\circ}$.
$\angle PQR + 110^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle PQR = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$.

(C) $1$. ચક્રીય ચતુષ્કોણ $ABDE$ માં,બહિષ્કોણ એ અંતઃસન્મુખ કોણ જેટલો હોય છે. તેથી,$\triangle ACE$ માં,$\angle C = 40^{\circ}$ અને $\angle CAE = 65^{\circ}$ છે. તેથી,$\angle AEC = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 65^{\circ}) = 75^{\circ}$.
$2$. ચક્રીય ગુણધર્મ મુજબ,$\angle BDE = 180^{\circ} - 65^{\circ} = 115^{\circ}$.
$3$. તેથી,$c = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ}$.
$4$. $\angle a = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$.
$5$. $\triangle FDE$ માં,$b = 180^{\circ} - (65^{\circ} + 105^{\circ}) = 10^{\circ}$.
$6$. આમ,$a=150^{\circ}, b=10^{\circ}, c=65^{\circ}, d=75^{\circ}$.

(D) ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $\angle A : \angle C = 4 : 5$,તેથી ધારો કે $\angle A = 4x$ અને $\angle C = 5x$.
ચક્રીય ચતુષ્કોણના ગુણધર્મ મુજબ,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$,તેથી $4x + 5x = 180^{\circ} \Rightarrow 9x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 20^{\circ}$.
આથી,$\angle A = 4(20^{\circ}) = 80^{\circ}$ અને $\angle C = 5(20^{\circ}) = 100^{\circ}$.
તે જ રીતે,$\angle B : \angle D = 5 : 7$,તેથી ધારો કે $\angle B = 5y$ અને $\angle D = 7y$.
$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$ હોવાથી,$5y + 7y = 180^{\circ} \Rightarrow 12y = 180^{\circ} \Rightarrow y = 15^{\circ}$.
આથી,$\angle B = 5(15^{\circ}) = 75^{\circ}$ અને $\angle D = 7(15^{\circ}) = 105^{\circ}$.
તેથી,ખૂણાઓ $\angle A = 80^{\circ}, \angle B = 75^{\circ}, \angle C = 100^{\circ}, \angle D = 105^{\circ}$ છે.

(A) ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle P + \angle R = 180^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\angle P = \angle R + 50^{\circ}$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $\angle P$ ની કિંમત મૂકતા:
$(\angle R + 50^{\circ}) + \angle R = 180^{\circ}$
$2\angle R + 50^{\circ} = 180^{\circ}$
$2\angle R = 130^{\circ}$
$\angle R = 65^{\circ}$.
હવે,$\angle P$ શોધતા:
$\angle P = 65^{\circ} + 50^{\circ} = 115^{\circ}$.
આમ,$\angle P = 115^{\circ}$ અને $\angle R = 65^{\circ}$.

(B) ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ અને $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\angle A = 4 \angle C$,આ કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $4 \angle C + \angle C = 180^{\circ} \implies 5 \angle C = 180^{\circ} \implies \angle C = 36^{\circ}$.
તેથી,$\angle A = 4 \times 36^{\circ} = 144^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\angle B = 3 \angle D$,આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $3 \angle D + \angle D = 180^{\circ} \implies 4 \angle D = 180^{\circ} \implies \angle D = 45^{\circ}$.
તેથી,$\angle B = 3 \times 45^{\circ} = 135^{\circ}$.
આમ,ખૂણાઓ $\angle A = 144^{\circ}, \angle B = 135^{\circ}, \angle C = 36^{\circ}, \angle D = 45^{\circ}$ છે.

(A) ધારો કે $AB$ અને $CD$ એ $O$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળની બે જીવાઓ છે. ધારો કે $M$ અને $N$ એ અનુક્રમે જીવા $AB$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
આપેલ છે કે રેખા $MN$ કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થાય છે.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવાના મધ્યબિંદુને જોડતો રેખાખંડ જીવાને લંબ હોય છે. તેથી,$OM \perp AB$,જેનો અર્થ છે કે $\angle OMA = 90^{\circ}$.
તે જ રીતે,$N$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$ON \perp CD$,જેનો અર્થ છે કે $\angle ONC = 90^{\circ}$.
બિંદુઓ $M, O, N$ એક જ રેખા પર હોવાથી (કારણ કે રેખા $MN$ કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થાય છે),રેખા $MN$ એ જીવા $AB$ અને $CD$ ની છેદિકા તરીકે કામ કરે છે.
અહીં $\angle OMA$ અને $\angle ONC$ એ છેદિકાની એક જ તરફના અંતઃકોણો છે,જેનો સરવાળો $90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$ થાય છે.
છેદિકાની એક જ તરફના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,જીવા $AB$ અને $CD$ સમાંતર છે.

(A) $1$. $A$ એ $B, C$ અને $D$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર હોવાથી,$AB = AC = AD = r$ (જ્યાં $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે).
$2$. $\triangle ABD$ માં,$AB = AD$ હોવાથી,$\angle ABD = \angle ADB = (180^{\circ} - \angle BAD)/2 = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle BAD$.
$3$. $\triangle BCD$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે. તેથી,$\angle CBD + \angle CDB + \angle BCD = 180^{\circ}$.
$4$. વર્તુળના પ્રમેય મુજબ,વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો એ પરિઘ પરના ખૂણા કરતા બમણો હોય છે. અહીં,$\angle BCD = \frac{1}{2} (360^{\circ} - \angle BAD) = 180^{\circ} - \frac{1}{2} \angle BAD$.
$5$. આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા: $\angle CBD + \angle CDB + (180^{\circ} - \frac{1}{2} \angle BAD) = 180^{\circ}$.
$6$. તેથી,$\angle CBD + \angle CDB = \frac{1}{2} \angle BAD$.

(N/A) $1$. $\triangle ABC$ માં,$BM \perp AC$ અને $CN \perp AB$ છે.
$2$. તેથી,$\angle BMC = 90^\circ$ અને $\angle BNC = 90^\circ$ થાય.
$3$. રેખાખંડ $BC$ ને જીવા તરીકે ધ્યાનમાં લો.
$4$. રેખાખંડ $BC$ દ્વારા બિંદુઓ $M$ અને $N$ આગળ આંતરાતા ખૂણાઓ $\angle BMC = 90^\circ$ અને $\angle BNC = 90^\circ$ છે.
$5$. કારણ કે $\angle BMC = \angle BNC = 90^\circ$,બિંદુઓ $M$ અને $N$ એ $BC$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળ પર આવેલા છે.
$6$. આમ,બિંદુઓ $B, C, M$ અને $N$ ચક્રીય છે.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેમાં $AB \parallel CD$ અને સમાંતર ન હોય તેવી બાજુઓ $AD = BC$ છે.
$ABCD$ ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે દર્શાવવું પડશે કે સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,એટલે કે $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ અથવા $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$.
$DE \perp AB$ અને $CF \perp AB$ દોરો.
$\triangle ADE$ અને $\triangle BCF$ માં:
$AD = BC$ (આપેલ છે)
$\angle AED = \angle BFC = 90^{\circ}$ (રચના મુજબ)
$DE = CF$ (સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર સમાન હોય છે)
તેથી,$RHS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle ADE \cong \triangle BCF$.
આનો અર્થ એ છે કે $\angle A = \angle B$ ($CPCT$ દ્વારા).
કારણ કે $AB \parallel CD$,તેથી ક્રમિક અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,એટલે કે $\angle A + \angle D = 180^{\circ}$.
$\angle A$ ની જગ્યાએ $\angle B$ મૂકતા,આપણને $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$ મળે છે.
સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$ABCD$ એ ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે.

(B) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2} \ cm$ અને જીવાની લંબાઈ $AB = 2 \ cm$.
$\triangle APB$ માં,$AP = BP = r = \sqrt{2} \ cm$ અને $AB = 2 \ cm$.
ચકાસો કે શું $\triangle APB$ કાટકોણ ત્રિકોણ છે: $AP^2 + BP^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4$.
અહીં $AB^2 = 2^2 = 4$ હોવાથી,$AP^2 + BP^2 = AB^2$ થાય છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિપ મુજબ,$\triangle APB$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle APB = 90^{\circ}$ છે.
જીવા $AB$ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરાયેલો ખૂણો $\angle APB = 90^{\circ}$ છે.
વર્તુળના ગુરુચાપ પરના કોઈપણ બિંદુ $C$ આગળ આ જ જીવા દ્વારા આંતરાયેલો ખૂણો,કેન્દ્ર આગળ આંતરાયેલા ખૂણા કરતા અડધો હોય છે.
તેથી,$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle APB = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ}$.

(N/A) $(1)$ ખોટું. વર્તુળના કોઈપણ બે બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડને જીવા કહેવાય છે. વ્યાસ એ જીવાનો એક વિશિષ્ટ પ્રકાર છે જે વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
$(2)$ સાચું. વ્યાખ્યા મુજબ, વ્યાસ એ વર્તુળની સૌથી મોટી જીવા છે અને તેની લંબાઈ ત્રિજ્યા કરતા બરાબર બમણી $(d = 2r)$ હોય છે.
$(3)$ ખોટું. વર્તુળની સૌથી મોટી જીવા એ વ્યાસ છે. $r = 14 \text{ cm}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળ માટે, વ્યાસ $d = 2 \times 14 \text{ cm} = 28 \text{ cm}$ થાય. કોઈપણ જીવાની લંબાઈ વ્યાસ કરતા વધારે હોઈ શકે નહીં, તેથી આ વર્તુળમાં $32 \text{ cm}$ લંબાઈની જીવા શક્ય નથી.

(A) $(1)$ ખોટું. ત્રણ આપેલા અસમરેખ બિંદુઓમાંથી પસાર થતું માત્ર એક જ અનન્ય વર્તુળ હોય છે.
$(2)$ સાચું. બે આપેલા બિંદુઓમાંથી પસાર થતા અસંખ્ય વર્તુળો દોરી શકાય છે,કારણ કે તેમના કેન્દ્રો બે બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડના લંબદ્વિભાજક પર ગમે ત્યાં હોઈ શકે છે.

(B) આપેલ છે કે વર્તુળનો વ્યાસ $20 \, cm$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{20}{2} = 10 \, cm$ થાય.
ધારો કે $M$ એ જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે જેથી $PM \perp AB$ થાય. કેન્દ્ર $P$ થી જીવા $AB$ નું અંતર $PM = 6 \, cm$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PMA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PA^2 = PM^2 + AM^2$
$10^2 = 6^2 + AM^2$
$100 = 36 + AM^2$
$AM^2 = 100 - 36 = 64$
$AM = \sqrt{64} = 8 \, cm$.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી $AB = 2 \times AM = 2 \times 8 = 16 \, cm$.

(A) વર્તુળમાં,સમાન જીવાઓ કેન્દ્ર આગળ સમાન ખૂણા આંતરે છે.
આપેલ છે કે $P$ કેન્દ્રિત વર્તુળમાં $AB$ અને $CD$ સમાન જીવાઓ છે.
તેથી,જીવા $AB$ દ્વારા કેન્દ્ર $P$ આગળ આંતરેલો ખૂણો એ જીવા $CD$ દ્વારા કેન્દ્ર $P$ આગળ આંતરેલા ખૂણા જેટલો જ હોય.
આમ,$\angle APB = \angle CPD$.
આપેલ છે કે $\angle APB = 80^{\circ}$.
તેથી,$\angle CPD = 80^{\circ}$.

(D) ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $ABCD$ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે,તેથી $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
વળી,આપેલ છે કે $\angle A = \angle C$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $\angle C$ ની જગ્યાએ $\angle A$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\angle A + \angle A = 180^{\circ}$.
$2\angle A = 180^{\circ}$.
તેથી,$\angle A = 180^{\circ} / 2 = 90^{\circ}$.

(A) ધારો કે $P$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે અને $AB$ એ જીવા છે. ધારો કે $M$ એ જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે જેથી $PM \perp AB$ થાય.
આપેલ છે કે જીવાનું કેન્દ્રથી અંતર $PM = 20 \, cm$ છે.
જીવાની લંબાઈ $AB = 96 \, cm$ છે.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી $AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{96}{2} = 48 \, cm$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PMA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$PA^2 = PM^2 + AM^2$.
અહીં,$PA$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r)$ છે.
$r^2 = 20^2 + 48^2$.
$r^2 = 400 + 2304 = 2704$.
$r = \sqrt{2704} = 52 \, cm$.
આમ,વર્તુળની ત્રિજ્યા $52 \, cm$ છે.

(B) ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle Q + \angle S = 180^{\circ}$.
આપેલ છે કે $5 \angle Q = 7 \angle S$,તેથી આપણે $\angle S$ ને $\angle S = \frac{5}{7} \angle Q$ તરીકે લખી શકીએ.
આ કિંમતને સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\angle Q + \frac{5}{7} \angle Q = 180^{\circ}$.
$\frac{7 \angle Q + 5 \angle Q}{7} = 180^{\circ}$.
$\frac{12 \angle Q}{7} = 180^{\circ}$.
$\angle Q = \frac{180^{\circ} \times 7}{12}$.
$\angle Q = 15^{\circ} \times 7 = 105^{\circ}$.

(C) વર્તુળના ગુણધર્મો અનુસાર,વ્યાસ દ્વારા વર્તુળના પરિઘ પરના કોઈપણ બિંદુએ આંતરેલો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે.
અહીં $XY$ એ $\Delta XYZ$ ના પરિવૃતનો વ્યાસ હોવાથી,ખૂણો $\angle XZY$ એ વ્યાસ $XY$ દ્વારા પરિઘ પરના બિંદુ $Z$ આગળ આંતરેલો ખૂણો છે.
તેથી,$\angle XZY = 90^{\circ}$ થાય.

(D) વર્તુળના પ્રમેય મુજબ,વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરાયેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈ પણ બિંદુ આગળ આંતરાયેલા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે.
અહીં,ચાપ $AB$ એ કેન્દ્ર $P$ આગળ $\angle APB$ અને ગુરુચાપ પરના બિંદુ $C$ આગળ $\angle ACB$ આંતરે છે.
તેથી,$\angle APB = 2 \times \angle ACB$.
આપેલ છે કે $\angle ACB = 47^{\circ}$.
તેથી,$\angle APB = 2 \times 47^{\circ} = 94^{\circ}$.

(A) ભૂમિતિના પ્રમેય મુજબ,જો વર્તુળની બે જીવાઓ કેન્દ્ર આગળ સમાન ખૂણા આંતરે,તો તે જીવાઓની લંબાઈ સમાન હોય છે.
અહીં આપેલ છે કે જીવાઓ $PQ$ અને $RS$ કેન્દ્ર $O$ આગળ સમાન ખૂણા આંતરે છે.
તેથી,$PQ = RS$ થાય.
આપેલ છે કે $PQ = 12 \text{ cm}$,તેથી $RS = 12 \text{ cm}$ થાય.

(B) આપેલ છે: વર્તુળનો વ્યાસ $d = 70 \, cm$.
ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = \frac{70}{2} = 35 \, cm$.
ધારો કે $M$ એ જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે જેથી $PM \perp AB$ થાય.
કેન્દ્રથી જીવાનું અંતર $PM = 21 \, cm$ છે.
કાટ્રાયંગલ $\triangle PMA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PA^2 = PM^2 + AM^2$
$35^2 = 21^2 + AM^2$
$1225 = 441 + AM^2$
$AM^2 = 1225 - 441 = 784$
$AM = \sqrt{784} = 28 \, cm$.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી $AB = 2 \times AM = 2 \times 28 = 56 \, cm$.

(C) ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં,એક જ ચાપ દ્વારા પરિઘ પર બનતા ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
અહીં $ABCD$ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે,તેથી ચાપ $AB$ દ્વારા પરિઘ પર બનતા ખૂણા $\angle ADB$ અને $\angle ACB$ સમાન થશે.
તેથી,$\angle ACB = \angle ADB = 55^{\circ}$.
હવે,ત્રિકોણ $\triangle ABC$ નો વિચાર કરો. ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $45^{\circ} + \angle ABC + 55^{\circ} = 180^{\circ}$.
$100^{\circ} + \angle ABC = 180^{\circ}$.
$\angle ABC = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$.

(D) ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $ABCD$ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે,તેથી સામસામેના ખૂણાઓની જોડ $\angle A$ અને $\angle C$ તથા $\angle B$ અને $\angle D$ છે.
તેથી,$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$.
અહીં $\angle B = 75^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $75^{\circ} + \angle D = 180^{\circ}$.
$\angle D = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ}$.

(A) આપેલ છે કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 8 \, cm$ અને જીવાની લંબાઈ $AB = 8 \, cm$ છે.
$\triangle APB$ માં,$PA = PB = 8 \, cm$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ) અને $AB = 8 \, cm$ છે.
ત્રિકોણની ત્રણેય બાજુઓ સમાન હોવાથી $(PA = PB = AB = 8 \, cm)$,$\triangle APB$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,બધા જ ખૂણાઓ $60^{\circ}$ ના હોય છે.
તેથી,$\angle APB = 60^{\circ}$.

(B) જ્યારે બે વર્તુળો બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે,ત્યારે આ બે બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડને સામાન્ય જીવા કહેવામાં આવે છે. કારણ કે બે વર્તુળો મહત્તમ બે બિંદુઓમાં છેદી શકે છે,તેથી તેઓને તે બે બિંદુઓને જોડતી માત્ર એક જ સામાન્ય જીવા હોઈ શકે છે. તેથી,એક જ સમતલમાં બે વર્તુળો માટે સામાન્ય જીવાઓની મહત્તમ સંખ્યા $1$ છે.

(C) $P$ કેન્દ્રિત વર્તુળમાં $AB$ વ્યાસ હોવાથી,અર્ધવર્તુળમાંનો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે. તેથી,$\angle ACB = 90^\circ$ થાય.
$\triangle ACB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 + BC^2 = AB^2$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $34 \, cm$ છે,તેથી વ્યાસ $AB = 2 \times 34 = 68 \, cm$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$32^2 + BC^2 = 68^2$.
$1024 + BC^2 = 4624$.
$BC^2 = 4624 - 1024 = 3600$.
$BC = \sqrt{3600} = 60 \, cm$.

(D) ચક્રીય ચતુષ્કોણનો ગુણધર્મ એ છે કે તેના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(2x - 10^{\circ}) + (3x - 35^{\circ}) = 180^{\circ}$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા: $5x - 45^{\circ} = 180^{\circ}$.
બંને બાજુ $45^{\circ}$ ઉમેરતા: $5x = 225^{\circ}$.
$5$ વડે ભાગતા: $x = 45^{\circ}$.
હવે,$\angle A$ ની કિંમત શોધો: $\angle A = 2x - 10^{\circ} = 2(45^{\circ}) - 10^{\circ} = 90^{\circ} - 10^{\circ} = 80^{\circ}$.

(A) વ્યાખ્યા મુજબ,વર્તુળના કેન્દ્રને વર્તુળના પરિઘ પરના કોઈપણ બિંદુ સાથે જોડતા રેખાખંડને વર્તુળની ત્રિજ્યા કહેવામાં આવે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) વર્તુળ પરના કોઈપણ બે બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડને વર્તુળની જીવા કહેવામાં આવે છે. જો આ જીવા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય,તો તેને વ્યાસ કહેવામાં આવે છે,જે વર્તુળની સૌથી મોટી જીવા છે.

(C) વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી જીવાને વર્તુળનો વ્યાસ કહેવામાં આવે છે. વ્યાસ એ વર્તુળની સૌથી મોટી જીવા છે અને તેની લંબાઈ ત્રિજ્યા કરતા બમણી હોય છે $(d = 2r)$.

(D) જીવા એ રેખાખંડ છે જેના અંત્યબિંદુઓ વર્તુળ પર આવેલા હોય છે. વ્યાસ એ એક ખાસ પ્રકારની જીવા છે જે વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. વર્તુળ પરના કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે રેખાખંડ કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય,તેથી વ્યાસ એ વર્તુળની સૌથી લાંબી જીવા છે.

(A) વર્તુળ પરના બે બિંદુઓ વચ્ચેના વર્તુળના ભાગને $\operatorname{arc}$ (ચાપ) કહેવામાં આવે છે.
ચાપ એ વર્તુળના પરિઘનો એક ભાગ છે.

(B) વ્યાખ્યા મુજબ,વર્તુળ એટલે સમતલના એવા તમામ બિંદુઓનો સમૂહ જે એક નિશ્ચિત બિંદુથી નિશ્ચિત અંતરે આવેલા હોય છે. આ નિશ્ચિત બિંદુને વર્તુળનું કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે. વર્તુળ પરનું દરેક બિંદુ કેન્દ્રથી આ નિશ્ચિત અંતરે (ત્રિજ્યા) આવેલું હોવાથી,કેન્દ્ર એ વર્તુળના દરેક બિંદુથી સમાન અંતરે હોય છે.

(C) વર્તુળની સીમાની કુલ લંબાઈ અથવા પરિમિતિને તેનો પરિઘ કહેવામાં આવે છે. તેથી,સાચો જવાબ પરિઘ છે.

(D) પ્રમેય મુજબ,વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દ્વિભાજે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ત્રિકોણના ત્રણેય શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળને તે ત્રિકોણનું પરિવર્તુળ (circumcircle) કહેવામાં આવે છે. આ વર્તુળના કેન્દ્રને પરિકેન્દ્ર અને તેની ત્રિજ્યાને પરિત્રિજ્યા કહેવાય છે. તેથી,સાચો જવાબ પરિવર્તુળ છે.

(B) વર્તુળનો વૃત્તાંશ એ બે ત્રિજ્યાઓ અને એક ચાપ દ્વારા ઘેરાયેલો વર્તુળાકાર ભાગ છે,જેમાં નાના ભાગને લઘુ વૃત્તાંશ અને મોટા ભાગને ગુરુ વૃત્તાંશ કહેવામાં આવે છે. તેથી,વ્યાખ્યાયિત પ્રદેશને વૃત્તાંશ કહેવાય છે.

(C) ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
આપેલ સમીકરણ $5 \angle A = 13 \angle C$ પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $\angle C = \frac{5}{13} \angle A$.
આ કિંમતને સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\angle A + \frac{5}{13} \angle A = 180^{\circ}$.
$\frac{13 \angle A + 5 \angle A}{13} = 180^{\circ}$.
$\frac{18 \angle A}{13} = 180^{\circ}$.
$\angle A = 180^{\circ} \times \frac{13}{18}$.
$\angle A = 10^{\circ} \times 13 = 130^{\circ}$.

(D) ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં,એક જ ચાપ દ્વારા વર્તુળના પરિઘ પર બનતા ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
અહીં,$\angle PRQ$ અને $\angle PSQ$ એ એક જ ચાપ $PQ$ દ્વારા વર્તુળના પરિઘ પર બનતા ખૂણાઓ છે.
તેથી,$\angle PSQ = \angle PRQ$.
આપેલ છે કે $\angle PRQ = 52^{\circ}$,તેથી $\angle PSQ = 52^{\circ}$ થાય.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ અને ત્રિજ્યા $r = 17 \, cm$ છે. ધારો કે $AB$ એ $30 \, cm$ લંબાઈની જીવા છે.
કેન્દ્ર $O$ માંથી જીવા $AB$ પર લંબ $OM$ દોરો.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે.
તેથી,$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{30}{2} = 15 \, cm$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OMA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OA^2 = OM^2 + AM^2$.
કિંમતો મૂકતા: $17^2 = OM^2 + 15^2$.
$289 = OM^2 + 225$.
$OM^2 = 289 - 225 = 64$.
$OM = \sqrt{64} = 8 \, cm$.
આમ,કેન્દ્રથી જીવાનું અંતર $8 \, cm$ છે.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ છે અને ત્રિજ્યા $r = 13 \, cm$ છે. ધારો કે $AB$ એ જીવા છે જે કેન્દ્રથી $OM = 12 \, cm$ અંતરે આવેલી છે,જ્યાં $OM \perp AB$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OMA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OA^2 = OM^2 + AM^2$
$13^2 = 12^2 + AM^2$
$169 = 144 + AM^2$
$AM^2 = 169 - 144 = 25$
$AM = \sqrt{25} = 5 \, cm$.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી જીવા $AB$ ની લંબાઈ $= 2 \times AM = 2 \times 5 = 10 \, cm$ થાય.

(C) વર્તુળમાં,જીવાની લંબાઈનું સૂત્ર $L = 2r \sin(\theta/2)$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $\theta$ એ કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો છે.
જીવા $AB$ માટે,$7 = 2r \sin(80^{\circ}/2) = 2r \sin(40^{\circ})$. તેથી,$r = 7 / (2 \sin(40^{\circ}))$.
જીવા $CD$ માટે,લંબાઈ $CD = 2r \sin(50^{\circ}/2) = 2r \sin(25^{\circ})$.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,$CD = 2 \times [7 / (2 \sin(40^{\circ}))] \times \sin(25^{\circ}) = 7 \times \sin(25^{\circ}) / \sin(40^{\circ})$.
આશરે કિંમતો $\sin(25^{\circ}) \approx 0.4226$ અને $\sin(40^{\circ}) \approx 0.6428$ લેતા,$CD \approx 7 \times (0.4226 / 0.6428) \approx 4.6\, cm$ મળે છે.
જોકે,આપેલા વિકલ્પો જોતા,જો પ્રશ્નમાં કોઈ ભૂલ હોય અને જીવાઓ સમાન હોય તેમ માનવામાં આવે,તો $7\, cm$ એ સૌથી યોગ્ય વિકલ્પ છે.

(D) વર્તુળમાં,સમાન જીવાઓ કેન્દ્ર આગળ સમાન ખૂણા આંતરે છે.
આપેલ છે કે $P$ કેન્દ્રિત વર્તુળમાં $AB$ અને $CD$ સમાન જીવાઓ છે.
તેથી,આ જીવાઓ દ્વારા કેન્દ્ર $P$ આગળ આંતરેલા ખૂણા સમાન હોવા જોઈએ.
આમ,$\angle CPD = \angle APB = 70^{\circ}$.
હવે,$\triangle PCD$ માં,$PC = PD$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ),તેથી $\triangle PCD$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $\angle PCD + \angle PDC + \angle CPD = 180^{\circ}$.
$\angle PCD = \angle PDC$ હોવાથી,$2 \angle PCD + 70^{\circ} = 180^{\circ}$.
$2 \angle PCD = 110^{\circ}$.
$\angle PCD = 55^{\circ}$.

(A) ધારો કે ખૂણાઓ $3x, 2x, 4x$ અને $5x$ છે.
ચતુષ્કોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ હોવાથી:
$3x + 2x + 4x + 5x = 360^{\circ}$
$14x = 360^{\circ}$
$x = \frac{360}{14} = \frac{180}{7}^{\circ}$
હવે,ખૂણાઓની ગણતરી કરીએ:
$\angle A = 3 \times \frac{180}{7} = \frac{540}{7}^{\circ} \approx 77.14^{\circ}$
$\angle B = 2 \times \frac{180}{7} = \frac{360}{7}^{\circ} \approx 51.43^{\circ}$
$\angle C = 4 \times \frac{180}{7} = \frac{720}{7}^{\circ} \approx 102.86^{\circ}$
$\angle D = 5 \times \frac{180}{7} = \frac{900}{7}^{\circ} \approx 128.57^{\circ}$
ચક્રીય ચતુષ્કોણ માટે,સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવો જોઈએ.
$\angle A + \angle C = \frac{540}{7} + \frac{720}{7} = \frac{1260}{7} = 180^{\circ}$
$\angle B + \angle D = \frac{360}{7} + \frac{900}{7} = \frac{1260}{7} = 180^{\circ}$
સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$ABCD$ એ ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે.

(B) ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(3x + 15^{\circ}) + (2x + 15^{\circ}) = 180^{\circ}$.
સમાન પદોનો સરવાળો કરતા: $5x + 30^{\circ} = 180^{\circ}$.
બંને બાજુથી $30^{\circ}$ બાદ કરતા: $5x = 150^{\circ}$.
$5$ વડે ભાગતા: $x = 30^{\circ}$.
આમ,$x$ ની કિંમત $30$ છે.