Young's Double Slit Experiment (YDSE) Questions in Hindi

(B) $YDSE$ में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $D$ और $d$ स्थिर हैं,इसलिए $\beta \propto \lambda$ है।
दिया गया है कि $\beta_1 = 2.4 \times 10^{-4} \, m$ जब $\lambda_1 = 6400 \, \mathring{A}$ है।
जब $\lambda_2 = 4000 \, \mathring{A}$ हो,तो नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta_2$ होगी:
$\beta_2 = \beta_1 \times \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = 2.4 \times 10^{-4} \times \frac{4000}{6400} = 2.4 \times 10^{-4} \times \frac{5}{8} = 1.5 \times 10^{-4} \, m$.
फ्रिंज की चौड़ाई में परिवर्तन $\Delta \beta = \beta_1 - \beta_2 = (2.4 - 1.5) \times 10^{-4} \, m = 0.9 \times 10^{-4} \, m$ होगा।

(D) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में,झिरियों की स्थिति केंद्रीय अक्ष से $y = \pm d/2$ पर होती है।
पर्दे पर किसी बिंदु $y$ पर पथ अंतर $\Delta x = \frac{yd}{D}$ द्वारा दिया जाता है।
एक झिरी के ठीक सामने वाले बिंदु के लिए,$y = d/2$ है।
इस मान को पथ अंतर के सूत्र में रखने पर: $\Delta x = \frac{(d/2)d}{D} = \frac{d^2}{2D}$ प्राप्त होता है।
दीप्त फ्रिंज के लिए शर्त $\Delta x = n\lambda$ है,जहाँ $n$ फ्रिंज का क्रम है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $n\lambda = \frac{d^2}{2D}$।
अतः,$n = \frac{d^2}{2D\lambda}$।

(A) $YDSE$ में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट्स और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
दिया गया है कि स्लिट्स के बीच की नई दूरी $d' = 10d$ है और स्क्रीन से नई दूरी $D' = \frac{D}{2}$ है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ को $\beta' = \frac{\lambda D'}{d'} = \frac{\lambda (D / 2)}{10d}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
इसे सरल बनाने पर,हमें $\beta' = \frac{1}{20} \frac{\lambda D}{d} = \frac{\beta}{20}$ प्राप्त होता है।

(A) $YDSE$ में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिट $S_1$ और $S_2$ के बीच की दूरी है।
दिया गया है कि $\angle S_1 C S_2 = \theta$,और यदि कोण छोटा है,तो हम लिख सकते हैं $\tan(\theta) \approx \theta = \frac{d}{D}$।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{D}{d} = \frac{1}{\theta}$ प्राप्त होता है।
इस मान को फ्रिंज की चौड़ाई के सूत्र में रखने पर: $\beta = \lambda \times \frac{D}{d} = \lambda \times \frac{1}{\theta} = \frac{\lambda}{\theta}$।

(D) $n$ फ्रिंज वाले क्षेत्र की चौड़ाई $W = n \beta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\beta$ फ्रिंज की चौड़ाई है।
चूँकि फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,इसलिए $n$ फ्रिंज के लिए कुल चौड़ाई $W = n \frac{\lambda D}{d}$ होती है।
यह दिया गया है कि दोनों स्थितियों के लिए क्षेत्र $W$ समान रहता है,इसलिए:
$n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $16 \times 6000 = 24 \times \lambda_2$
$\lambda_2 = \frac{16 \times 6000}{24}$
$\lambda_2 = \frac{2}{3} \times 6000 = 4000\,\mathring{A}$.

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्क्रीन की दूरी है और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
प्रथम प्रकाश स्रोत के लिए: $\beta_1 = \frac{\lambda_1 D}{d} = 8.3 \, mm$.
दूसरे प्रकाश स्रोत के लिए: $\beta_2 = \frac{\lambda_2 D}{d} = 7.6 \, mm$.
दोनों फ्रिंज चौड़ाई का अनुपात लेने पर: $\frac{\beta_2}{\beta_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$.
$\lambda_2$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\lambda_2 = \lambda_1 \times \left( \frac{\beta_2}{\beta_1} \right)$.
दिए गए मानों को रखने पर: $\lambda_2 = 630 \, nm \times \left( \frac{7.6 \, mm}{8.3 \, mm} \right) = 630 \times 0.91566 = 576.86 \, nm$.

(D) यंग के डबल स्लिट प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ पर्दे की दूरी है,और $d$ स्लिटों के बीच की दूरी है।
दिया गया है: $\lambda = 600 \, nm = 600 \times 10^{-9} \, m$,$D = 1 \, m$,और $\beta = 1.2 \, mm = 1.2 \times 10^{-3} \, m$.
$d$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $d = \frac{\lambda D}{\beta}$.
मान रखने पर: $d = \frac{(600 \times 10^{-9} \, m) \times (1 \, m)}{1.2 \times 10^{-3} \, m}$.
$d = \frac{600 \times 10^{-9}}{1.2 \times 10^{-3}} = \frac{600}{1.2} \times 10^{-6} = 500 \times 10^{-6} \, m$.
$d = 0.5 \times 10^{-3} \, m = 0.5 \, mm$.

(D) विनाशी व्यतिकरण (निम्निष्ठ) के लिए,पथ अंतर $\Delta x$ का सूत्र है: $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$
तीसरी निम्निष्ठ के लिए,हम सूत्र में $n = 3$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\Delta x = (2 \times 3 - 1) \frac{\lambda}{2}$
$\Delta x = (6 - 1) \frac{\lambda}{2} = \frac{5\lambda}{2}$
अतः,तीसरी निम्निष्ठ के लिए पथ अंतर $\frac{5\lambda}{2}$ है।

(C) यंग के डबल स्लिट प्रयोग $(YDSE)$ में,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट्स और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिट्स के बीच की दूरी है।
चूंकि $\beta \propto D$,यदि स्क्रीन को दूर ले जाया जाता है (अर्थात $D$ बढ़ता है),तो फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ भी बढ़ जाती है।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(B) लाल प्रकाश की $n$ वीं दीप्त फ्रिंज और नीले प्रकाश की $(n+1)$ वीं दीप्त फ्रिंज के संपाती होने की शर्त उनकी स्थितियों को बराबर करने पर प्राप्त होती है।
$n$ वीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
लाल प्रकाश के लिए: $y_{n, red} = \frac{n \lambda_{red} D}{d}$.
नीले प्रकाश के लिए: $y_{n+1, blue} = \frac{(n+1) \lambda_{blue} D}{d}$.
दोनों स्थितियों को बराबर करने पर: $\frac{n \lambda_{red} D}{d} = \frac{(n+1) \lambda_{blue} D}{d}$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $n \lambda_{red} = (n+1) \lambda_{blue}$.
दिए गए मान रखने पर: $n(7800) = (n+1)(5200)$.
दोनों पक्षों को $2600$ से विभाजित करने पर: $3n = 2(n+1)$.
$3n = 2n + 2$.
$n = 2$.

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र है: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्क्रीन और स्लिट्स के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिट्स के बीच की दूरी है।
फ्रिंज की चौड़ाई समान रहने के लिए,अनुपात $\frac{\lambda D}{d}$ को स्थिर रहना चाहिए।
आइए विकल्प $B$ की जाँच करें: यदि $d$ और $D$ दोनों को दोगुना कर दिया जाए,तो नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ होगी: $\beta' = \frac{\lambda (2D)}{(2d)} = \frac{\lambda D}{d} = \beta$.
इस प्रकार,जब $d$ और $D$ दोनों को दोगुना किया जाता है तो फ्रिंज की चौड़ाई अपरिवर्तित रहती है।

(B) दिया गया है:
स्रोतों के बीच की दूरी,$d = 0.1 \, mm = 10^{-4} \, m$
स्रोत से पर्दे की दूरी,$D = 1.2 \, m$
फ्रिंज चौड़ाई,$\beta = 6.0 \, mm = 6 \times 10^{-3} \, m$
यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र:
$\beta = \frac{D \lambda}{d}$
तरंगदैर्घ्य $\lambda$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\lambda = \frac{\beta d}{D}$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{(6 \times 10^{-3} \, m) \times (10^{-4} \, m)}{1.2 \, m}$
$\lambda = \frac{6 \times 10^{-7}}{1.2} \, m$
$\lambda = 5 \times 10^{-7} \, m$
मीटर को एंगस्ट्रॉम $(\mathring{A})$ में बदलने पर:
$1 \, m = 10^{10} \, \mathring{A}$
$\lambda = 5 \times 10^{-7} \times 10^{10} \, \mathring{A} = 5000 \, \mathring{A}$

(C) द्वि-स्लिट प्रयोग में किसी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{m} \cos^{2}(\phi / 2)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_{m}$ अधिकतम तीव्रता है और $\phi$ कलांतर है।
दिया गया है कि $I = I_{m} / 4$,इसलिए:
$I_{m} / 4 = I_{m} \cos^{2}(\phi / 2)$
$\cos^{2}(\phi / 2) = 1/4$
$\cos(\phi / 2) = 1/2 = \cos(\pi / 3)$
$\phi / 2 = \pi / 3 \Rightarrow \phi = 2\pi / 3$.
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = (2\pi / \lambda) \Delta x$ है।
चूँकि $\Delta x = d \sin \theta$,इसलिए $\phi = (2\pi / \lambda) d \sin \theta$ होगा।
$\phi$ के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$(2\pi / \lambda) d \sin \theta = 2\pi / 3$
$\sin \theta = \lambda / (3d)$
$\theta = \sin^{-1}(\lambda / 3d)$.

(A) माना अभ्रक शीट द्वारा उत्पन्न कलांतर $\phi$ है।
केंद्र के ऊपर द्वितीय क्रम के निम्निष्ठ के लिए,पथ अंतर की शर्त $\Delta x = \frac{3\lambda}{2}$ है,जो $\Delta \phi = 3\pi$ के कलांतर के अनुरूप है।
केंद्र के नीचे द्वितीय क्रम के उच्चिष्ठ के लिए,पथ अंतर की शर्त $\Delta x = 2\lambda$ है,जो $\Delta \phi = 4\pi$ के कलांतर के अनुरूप है।
अभ्रक शीट द्वारा उत्पन्न कलांतर $\phi$ को $3\pi < \phi < 4\pi$ के बीच होना चाहिए।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(A)$ $\frac{\pi}{3} \approx 1.05\pi$ (सीमा में नहीं है)
$(B)$ $\frac{7\pi}{3} \approx 2.33\pi$ (सीमा में नहीं है)
$(C)$ $\frac{10\pi}{3} \approx 3.33\pi$ (सीमा में है)
$(D)$ $\frac{11\pi}{3} \approx 3.67\pi$ (सीमा में है)
चूंकि प्रश्न में वह मान पूछा गया है जो संभव नहीं हो सकता,इसलिए $\frac{\pi}{3}$ एक संभव मान नहीं है।

(A) फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का मान $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\beta = \frac{640 \times 10^{-9} \, m \times 1 \, m}{0.8 \times 10^{-3} \, m} = 800 \times 10^{-6} \, m = 0.8 \, mm$.
स्थिति $y$ पर पथ अंतर $\Delta x$ का मान $\Delta x = \frac{yd}{D}$ होता है।
$y = 0.4 \, mm$ के लिए,$\Delta x = \frac{0.4 \times 10^{-3} \times 0.8 \times 10^{-3}}{1} = 0.32 \times 10^{-6} \, m = 320 \, nm$.
कलांतर $\phi$ का मान $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{640 \, nm} \times 320 \, nm = \pi$ है।
किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ होती है।
$\phi = \pi$ रखने पर,$I = I_0 \cos^2(\frac{\pi}{2}) = 0$ प्राप्त होता है।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
चूंकि $D$ (स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी) और $d$ (स्लिट के बीच की दूरी) स्थिर हैं,इसलिए फ्रिंज चौड़ाई तरंगदैर्ध्य के सीधे आनुपातिक होती है,अर्थात $\beta \propto \lambda$।
रंगों की तरंगदैर्ध्य का क्रम इस प्रकार है: $\lambda_R > \lambda_G > \lambda_B$।
इसलिए,फ्रिंज चौड़ाई का क्रम भी यही होगा: $\beta_R > \beta_G > \beta_B$।

(A) दिया गया है: स्लिट पृथक्करण $d = 1\, mm = 10^{-3}\, m$,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6.5 \times 10^{-7}\, m$,पर्दे की दूरी $D = 1\, m$.
फ्रिंज चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d} = \frac{6.5 \times 10^{-7} \times 1}{10^{-3}} = 6.5 \times 10^{-4}\, m = 0.65\, mm$.
$n$-वीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = n\beta$ है।
पांचवीं दीप्त फ्रिंज के लिए,$y_5 = 5\beta$.
$n$-वीं अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $y'_n = (n - 0.5)\beta$ है।
तीसरी अदीप्त फ्रिंज के लिए,$y'_3 = (3 - 0.5)\beta = 2.5\beta$.
उनके बीच की दूरी $\Delta y = y_5 - y'_3 = 5\beta - 2.5\beta = 2.5\beta$.
$\beta$ का मान रखने पर: $\Delta y = 2.5 \times 0.65\, mm = 1.625\, mm$.

(A) वे तरंगदैर्ध्य अनुपस्थित होंगी जिनके लिए पिनहोल पर अदीप्त फ्रिंज (dark fringe) बनती है। केंद्रीय अदीप्त फ्रिंज से $n$-वीं अदीप्त फ्रिंज की दूरी $y_n = (2n - 1) \frac{D \lambda}{2d}$ होती है।
यहाँ $y_n = 3.0\, mm = 0.30\, cm$,$D = 120\, cm$,और $2d = 1.5\, mm = 0.15\, cm$ है।
सूत्रानुसार,$\lambda = \frac{2d \cdot y_n}{(2n - 1)D} = \frac{0.15 \times 0.30}{120(2n - 1)} = \frac{0.045}{120(2n - 1)} cm = \frac{37500}{2n - 1} \mathring{A}$.
$n=1$ के लिए $\lambda = 37500\, \mathring{A}$,$n=2$ के लिए $\lambda = 12500\, \mathring{A}$,$n=3$ के लिए $\lambda = 7500\, \mathring{A}$,$n=4$ के लिए $\lambda = 5357\, \mathring{A}$,$n=5$ के लिए $\lambda = 4166\, \mathring{A}$।
अतः,दिए गए विकल्पों में से $5000\, \mathring{A}$ गणना किए गए मानों के निकट है।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ होता है,जहाँ $D$ स्क्रीन और स्लिट के बीच की दूरी है,$\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $d$ स्लिटों के बीच की दूरी है।
जब इस प्रयोग को $\mu$ अपवर्तनांक वाले ग्लिसरीन जैसे माध्यम में किया जाता है,तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda^{\prime} = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है।
इस मान को फ्रिंज चौड़ाई के सूत्र में रखने पर,नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta^{\prime} = \frac{D \lambda^{\prime}}{d} = \frac{D \lambda}{\mu d} = \frac{\beta}{\mu}$ प्राप्त होती है।
चूंकि ग्लिसरीन का अपवर्तनांक $\mu > 1$ होता है,इसलिए $\beta^{\prime} < \beta$ होता है।
अतः,फ्रिंज की चौड़ाई घट जाती है।

(C) फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda' D'}{d'}$ है।
दिया गया है: $\lambda' = 3\lambda$,$D' = 3D$,और $d' = d/3$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\beta = \frac{(3\lambda)(3D)}{d/3} = \frac{9\lambda D}{d/3} = 27 \frac{\lambda D}{d}$.
$x = 1/3 \ m$ की दूरी में फ्रिंजों की संख्या $n = \frac{x}{\beta}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$n = \frac{1/3}{27 \lambda D / d} = \frac{d}{81 \lambda D}$.

(B) यंग के डबल स्लिट प्रयोग में, $\lambda$ तरंगदैर्ध्य के लिए $n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
दो तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 2500 \text{ Å}$ और $\lambda_2 = 3500 \text{ Å}$ के संपाती होने के लिए, उनकी स्थितियाँ समान होनी चाहिए:
$n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$
$n_1 (2500) = n_2 (3500)$
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{3500}{2500} = \frac{7}{5}$
इसका अर्थ है कि $1^{st}$ स्रोत की $(\lambda_1)$ $7^{th}$ क्रम की फ्रिंज, $2^{nd}$ स्रोत की $(\lambda_2)$ $5^{th}$ क्रम की फ्रिंज के साथ संपाती होगी।

(A) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ होता है।
चूंकि दृश्य क्षेत्र $L$ स्थिर है,इसलिए फ्रिंजों की कुल संख्या $n$ का मान $n = \frac{L}{\beta}$ होता है।
अतः,$n \propto \frac{1}{\beta} \propto \frac{1}{\lambda}$।
यहाँ $\lambda_1 = 4000 \text{ } \mathring{A}$ के लिए $n_1 = 10$ दिया गया है और $\lambda_2 = 5000 \text{ } \mathring{A}$ के लिए $n_2$ ज्ञात करना है।
संबंध $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$ का उपयोग करने पर:
$10 \times 4000 = n_2 \times 5000$.
$n_2 = \frac{10 \times 4000}{5000} = 8$.
इस प्रकार,प्राप्त फ्रिंजों की संख्या $8$ है।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,फ्रिंज चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि फ्रिंज चौड़ाई केवल तरंगदैर्ध्य $\lambda$,स्लिट्स के बीच की दूरी $d$,और पर्दे तक की दूरी $D$ पर निर्भर करती है,इसलिए अदीप्त और दीप्त फ्रिंजों के लिए फ्रिंज चौड़ाई समान होती है। अतः,कथन गलत है।
जब श्वेत प्रकाश का उपयोग स्रोत के रूप में किया जाता है,तो केंद्रीय फ्रिंज सफेद होती है और बाद की फ्रिंजें रंगीन होती हैं क्योंकि अलग-अलग तरंगदैर्ध्य की फ्रिंज चौड़ाई अलग-अलग होती है। एकवर्णी प्रकाश की तरह केवल काली और दीप्त फ्रिंजें ही दिखाई नहीं देती हैं। अतः,कारण भी गलत है।

(D) कथन गलत है क्योंकि प्रकाश का एक सफेद स्रोत केवल सफेद और काली नहीं,बल्कि रंगीन फ्रिंज बनाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि केंद्रीय फ्रिंज सफेद होती है,लेकिन सफेद प्रकाश में मौजूद विभिन्न तरंगदैर्ध्य के कारण बाद की फ्रिंज रंगीन दिखाई देती हैं।
कारण भी गलत है क्योंकि फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जो दर्शाता है कि फ्रिंज की चौड़ाई उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के सीधे समानुपाती होती है,न कि व्युत्क्रमानुपाती।
अतः,कथन और कारण दोनों गलत हैं।

(B) मान लीजिए कि दो स्लिट्स $S_1$ और $S_2$ हैं। बिंदु $P$ स्लिट $S_1$ के ठीक सामने है। अतः,$S_1P = D$.
दूरी $S_2P = \sqrt{D^2 + d^2} = D(1 + \frac{d^2}{D^2})^{1/2}$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए ($d << D$ के लिए),$S_2P \approx D(1 + \frac{d^2}{2D^2}) = D + \frac{d^2}{2D}$.
पथ अंतर $\Delta x = S_2P - S_1P = (D + \frac{d^2}{2D}) - D = \frac{d^2}{2D}$.
अदीप्त फ्रिंज के लिए,पथ अंतर $\lambda/2$ का विषम गुणज होना चाहिए। पहली अदीप्त फ्रिंज के लिए,$\Delta x = \frac{\lambda}{2}$.
दोनों की तुलना करने पर,$\frac{d^2}{2D} = \frac{\lambda}{2}$,जिससे $\lambda = \frac{d^2}{D}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda \propto d^2$. कथन सही है।
कारण बताता है कि अदीप्त फ्रिंज के लिए तीव्रता शून्य होती है,जो एक सही कथन है,लेकिन यह यह नहीं समझाता है कि इस विशिष्ट ज्यामितीय विन्यास में तरंगदैर्घ्य $d^2$ के समानुपाती क्यों है। इसलिए,कारण कथन की सही व्याख्या नहीं है।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ दो कला-संबद्ध स्रोतों (स्लिटों) के बीच की दूरी है।
सूत्र से स्पष्ट है कि $\beta \propto \frac{1}{d}$।
जैसे-जैसे दो कला-संबद्ध स्रोत एक-दूसरे के अत्यंत निकट आते हैं,$d \to 0$ हो जाता है।
परिणामस्वरूप,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta \to \infty$ हो जाती है।
जब फ्रिंज की चौड़ाई अत्यधिक बढ़ जाती है,तो पूरा पर्दा एक ही दीप्त या अदीप्त फ्रिंज से ढक सकता है,जिससे एक स्पष्ट व्यतिकरण प्रतिरूप का अवलोकन करना असंभव हो जाता है।
अतः,कथन और कारण दोनों सही हैं,और कारण,कथन की सही व्याख्या प्रदान करता है।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$W$ चौड़ाई वाले पर्दे पर देखी जा सकने वाली चमकीली फ्रिंजों की संख्या $N = \frac{W}{\beta} = \frac{Wd}{\lambda D}$ है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि फ्रिंजों की संख्या $N$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(N \propto \frac{1}{\lambda})$।
यदि तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को दोगुना कर दिया जाए,तो फ्रिंजों की संख्या $N$ आधी हो जाएगी,जिसका अर्थ है कि यह घट जाएगी।
इसलिए,कथन गलत है क्योंकि फ्रिंजों की संख्या बढ़ती नहीं बल्कि घटती है।
कारण भी गलत है क्योंकि फ्रिंजों की संख्या तरंगदैर्ध्य के व्युत्क्रमानुपाती होती है,न कि सीधे आनुपातिक।
अतः,कथन और कारण दोनों गलत हैं।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में विनाशी व्यतिकरण (निम्निष्ठ) के लिए पथ अंतर की शर्त $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ निम्निष्ठ का क्रम है।
पांचवें निम्निष्ठ के लिए,हम सूत्र में $n = 5$ रखते हैं:
$\Delta x = (2(5) - 1) \frac{\lambda}{2}$
$\Delta x = (10 - 1) \frac{\lambda}{2}$
$\Delta x = 9 \frac{\lambda}{2}$.

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र है: $\beta = \frac{D \lambda}{d}$।
यहाँ,$D = 1.5 \; m$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है।
$\lambda = 589 \; nm = 589 \times 10^{-9} \; m$ प्रकाश स्रोत की तरंगदैर्ध्य है।
$d = 0.15 \; mm = 0.15 \times 10^{-3} \; m$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\beta = \frac{1.5 \times 589 \times 10^{-9}}{0.15 \times 10^{-3}}$
$\beta = \frac{1.5}{0.15} \times 589 \times 10^{-6} \; m$
$\beta = 10 \times 589 \times 10^{-6} \; m = 5890 \times 10^{-6} \; m = 5.89 \times 10^{-3} \; m$।
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,$\beta \approx 5.9 \times 10^{-3} \; m = 5.9 \; mm$ प्राप्त होता है।

(A) व्यतिकरण प्रतिरूप में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2 \left( \frac{\Delta \phi}{2} \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_{max}$ दीप्त फ्रिंज के केंद्र पर तीव्रता है।
कलांतर $\Delta \phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$ है।
दिए गए पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{8}$ के लिए,कलांतर:
$\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{8} = \frac{\pi}{4}$.
अब,इस मान को तीव्रता के सूत्र में रखने पर:
$\frac{I}{I_{max}} = \cos^2 \left( \frac{\pi / 4}{2} \right) = \cos^2 \left( \frac{\pi}{8} \right)$.
$\cos(\frac{\pi}{8}) \approx 0.9239$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{I}{I_{max}} = (0.9239)^2 \approx 0.853$.

(A) स्क्रीन के हिस्से की चौड़ाई दोनों स्थितियों के लिए समान है।
मान लीजिए स्क्रीन के हिस्से की चौड़ाई $L$ है।
फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ को $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
लंबाई $L$ में देखी गई फ्रिंजों की संख्या $n$ को $L = n \times \beta = n \times \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
पहली स्थिति के लिए: $L = 15 \times \frac{500 \; nm \times D}{d}$.
दूसरी स्थिति के लिए: $L = 10 \times \frac{\lambda \times D}{d}$.
$L$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$15 \times 500 = 10 \times \lambda$.
$\lambda = \frac{15 \times 500}{10} = 15 \times 50 = 750 \; nm$.

(C) फ्रिंज चौड़ाई (फ्रिंज पृथक्करण) का सूत्र $\beta = \frac{D\lambda}{d}$ है।
दिया गया है:
स्लिट्स के बीच की दूरी,$d = 1 \; mm = 1 \times 10^{-3} \; m$.
स्क्रीन की दूरी,$D = 1 \; m$.
प्रकाश की तरंगदैर्ध्य,$\lambda = 500 \; nm = 500 \times 10^{-9} \; m = 5 \times 10^{-7} \; m$.
सूत्र में मान रखने पर:
$\beta = \frac{1 \times 5 \times 10^{-7}}{1 \times 10^{-3}} \; m$.
$\beta = 5 \times 10^{-4} \; m$.
मिलीमीटर में बदलने पर:
$\beta = 5 \times 10^{-4} \times 10^3 \; mm = 0.5 \; mm$.

(N/A) फ्रिंजों का कोणीय पृथक्करण स्थिर $(=\lambda / d)$ रहता है। वास्तविक फ्रिंज चौड़ाई $\beta = \lambda D / d$,पर्दे की दूरी $D$ के अनुपात में बढ़ती है।
$(b)$ फ्रिंज चौड़ाई $\beta = \lambda D / d$ कम हो जाती है क्योंकि तरंगदैर्ध्य $\lambda$ कम है।
$(c)$ फ्रिंज चौड़ाई $\beta = \lambda D / d$ कम हो जाती है क्योंकि झिरियों के बीच की दूरी $d$ बढ़ जाती है।
$(d)$ मान लीजिए $s$ स्रोत का आकार है और $S$ दो झिरियों के तल से इसकी दूरी है। व्यतिकरण फ्रिंजों को देखने के लिए,शर्त $s / S < \lambda / d$ पूरी होनी चाहिए। जैसे-जैसे $S$ घटता है,यह शर्त पूरी करना कठिन हो जाता है। व्यतिकरण पैटर्न कम स्पष्ट हो जाता है,और अंततः फ्रिंज गायब हो जाते हैं।
$(e)$ $(d)$ के समान,जैसे-जैसे स्रोत झिरी की चौड़ाई $s$ बढ़ती है,शर्त $s / S < \lambda / d$ का उल्लंघन होता है। व्यतिकरण पैटर्न कम स्पष्ट हो जाता है और अंततः गायब हो जाता है।
$(f)$ विभिन्न तरंगदैर्ध्यों के लिए व्यतिकरण पैटर्न एक-दूसरे पर अध्यारोपित हो जाते हैं। केंद्रीय चमकीली फ्रिंज सफेद होती है। चूंकि फ्रिंज चौड़ाई $\beta \propto \lambda$ होती है,इसलिए छोटी तरंगदैर्ध्य (नीला) के लिए फ्रिंज लंबी तरंगदैर्ध्य (लाल) की तुलना में केंद्र के करीब होती हैं। इस प्रकार,फ्रिंज रंगीन दिखाई देती हैं,जिसमें बाहर की ओर लाल और अंदर की ओर नीला रंग होता है,और अंततः वे सफेद/धुंधली हो जाती हैं।

(A) दिया गया है:
स्लिट्स के बीच की दूरी,$d = 0.28 \; mm = 0.28 \times 10^{-3} \; m$
स्लिट्स और स्क्रीन के बीच की दूरी,$D = 1.4 \; m$
केंद्रीय दीप्त फ्रिंज और चौथी दीप्त फ्रिंज $(n = 4)$ के बीच की दूरी,$y_4 = 1.2 \; cm = 1.2 \times 10^{-2} \; m$
$n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति का सूत्र $y_n = n \lambda \frac{D}{d}$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\lambda = \frac{y_n \cdot d}{n \cdot D}$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{1.2 \times 10^{-2} \times 0.28 \times 10^{-3}}{4 \times 1.4}$
$\lambda = \frac{0.336 \times 10^{-5}}{5.6}$
$\lambda = 0.06 \times 10^{-5} \; m = 6 \times 10^{-7} \; m$
नैनोमीटर में बदलने पर $(1 \; m = 10^9 \; nm)$:
$\lambda = 6 \times 10^{-7} \times 10^9 \; nm = 600 \; nm$.
अतः,प्रयुक्त प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $600 \; nm$ है।

(N/A) दिया गया है:
$\lambda_{1} = 650\; nm$
$\lambda_{2} = 520\; nm$
मान लीजिए $D$ झिरी से पर्दे की दूरी है और $d$ दोनों झिरियों के बीच की दूरी है।
$(a)$ केंद्रीय उच्चिष्ठ से $n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की दूरी $x_n = n \lambda \frac{D}{d}$ होती है।
$\lambda_{1} = 650\; nm$ के लिए तीसरी दीप्त फ्रिंज $(n=3)$ के लिए:
$x_3 = 3 \times 650 \times \frac{D}{d} = 1950 \frac{D}{d}\; nm$.
$(b)$ दीप्त फ्रिंज तब संपाती होती हैं जब $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$ हो।
$n_1 (650) = n_2 (520)$
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{520}{650} = \frac{4}{5}$.
अतः, फ्रिंज $\lambda_1$ की $4^{th}$ दीप्त फ्रिंज और $\lambda_2$ की $5^{th}$ दीप्त फ्रिंज पर संपाती होती हैं।
न्यूनतम दूरी $x = 4 \times 650 \times \frac{D}{d} = 2600 \frac{D}{d}\; nm$ है।

(A) द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की कोणीय चौड़ाई $\theta = \frac{\lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है और $d$ स्लिट के बीच की दूरी है।
जब उपकरण को $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में डुबोया जाता है,तो प्रकाश की तरंगदैर्घ्य बदलकर $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है।
परिणामस्वरूप,नई कोणीय चौड़ाई $\theta'$ का मान $\theta' = \frac{\lambda'}{d} = \frac{\lambda}{\mu d} = \frac{\theta}{\mu}$ हो जाता है।
यहाँ $\theta = 0.2^{\circ}$ और $\mu = 4/3$ दिया गया है,इसलिए नई कोणीय चौड़ाई:
$\theta' = \frac{0.2^{\circ}}{4/3} = 0.2^{\circ} \times \frac{3}{4} = 0.15^{\circ}$.
अतः,पानी में फ्रिंज की कोणीय चौड़ाई $0.15^{\circ}$ होगी।

(A) दिया गया है: प्रकाश की तरंगदैर्ध्य,$\lambda = 600 \; nm = 600 \times 10^{-9} \; m$.
फ्रिंज की कोणीय चौड़ाई,$\theta = 0.1^{\circ}$.
सबसे पहले,कोणीय चौड़ाई को रेडियन में बदलें: $\theta = 0.1 \times \frac{\pi}{180} \; rad = \frac{0.1 \times 3.14159}{180} \approx 1.745 \times 10^{-3} \; rad$.
यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की कोणीय चौड़ाई का सूत्र $\theta = \frac{\lambda}{d}$ है,जहाँ $d$ स्लिटों के बीच की दूरी है।
$d$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $d = \frac{\lambda}{\theta}$.
मान रखने पर: $d = \frac{600 \times 10^{-9}}{1.745 \times 10^{-3}} \approx 3.44 \times 10^{-4} \; m$.
अतः,दोनों स्लिटों के बीच की दूरी $3.44 \times 10^{-4} \; m$ है।

(N/A) ब्रिटिश भौतिक विज्ञानी थॉमस यंग ने तरंगाग्र के विभाजन द्वारा कला-संबद्ध (coherent) स्रोत प्राप्त करने के लिए एक सरल तकनीक तैयार की और एक स्थिर व्यतिकरण पैटर्न का प्रदर्शन किया।
यंग के प्रयोग की प्रायोगिक व्यवस्था चित्र $(a)$ में दिखाई गई है।
$S$ स्क्रीन $A$ पर एक छोटा छेद (स्रोत) है। $S_1$ और $S_2$ स्क्रीन $A$ के समानांतर स्क्रीन $B$ पर दो संकीर्ण पिनहोल हैं। दूरियाँ $SS_1 = SS_2$ हैं। स्क्रीन $A$ और स्क्रीन $B$ के बीच की दूरी बहुत कम ($mm$ के क्रम में) है। $C$ स्क्रीन $B$ के समानांतर एक स्क्रीन है,जिसे $D$ दूरी (मीटर के क्रम में) पर रखा गया है।
छेद $S$ को एक चमकदार प्रकाश स्रोत द्वारा प्रकाशित किया जाता है। प्रकाश $S$ से फैलता है और $S_1$ और $S_2$ दोनों पर गिरता है। चूँकि दूरियाँ $SS_1$ और $SS_2$ समान हैं,इसलिए $S_1$ और $S_2$ तक पहुँचने वाली प्रकाश तरंगें समान कला (phase) में होती हैं।
चूँकि $S_1$ और $S_2$ से निकलने वाली प्रकाश तरंगें एक ही मूल स्रोत से प्राप्त होती हैं,इसलिए स्रोत $S$ में होने वाला कोई भी अचानक कला परिवर्तन $S_1$ और $S_2$ से निकलने वाले प्रकाश में समान कला परिवर्तन के रूप में प्रकट होगा।
इस प्रकार,दो स्रोत $S_1$ और $S_2$ कला में बंधे रहते हैं,जिससे वे कला-संबद्ध स्रोत बन जाते हैं। ये कला-संबद्ध तरंगें स्क्रीन $C$ पर अध्यारोपित होकर एक स्थिर व्यतिकरण पैटर्न उत्पन्न करती हैं,जिसमें एकांतर दीप्त और अदीप्त फ्रिंजें दिखाई देती हैं।

(N/A) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में,एक स्रोत $S$ से प्रकाश झिरियों $S_1$ और $S_2$ पर एक साथ पहुँचता है,जिससे वे कला-संबद्ध स्रोत (coherent sources) बन जाते हैं।
माना $S_1$ और $S_2$ के बीच की दूरी $d$ है और पर्दे $GG'$ की दूरी $D$ है।
पर्दे पर एक बिंदु $P$ पर,जो केंद्र $O$ से $x$ दूरी पर है,पथ अंतर $\Delta p = S_2P - S_1P$ होता है।
ज्यामिति के अनुसार:
$S_1P^2 = D^2 + (x - d/2)^2$
$S_2P^2 = D^2 + (x + d/2)^2$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$S_2P^2 - S_1P^2 = (D^2 + x^2 + dx + d^2/4) - (D^2 + x^2 - dx + d^2/4) = 2xd$
$(S_2P - S_1P)(S_2P + S_1P) = 2xd$
चूंकि $D \gg d$ और $D \gg x$,हम $S_2P + S_1P \approx 2D$ मान सकते हैं।
अतः,$\Delta p(2D) = 2xd$,जिससे $\Delta p = \frac{xd}{D}$ प्राप्त होता है।

(N/A) संपोषी व्यतिकरण (दीप्त फ्रिंजों) के लिए:
$n$-वीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति $x_{n} = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$(n+1)$-वीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति $x_{n+1} = \frac{(n+1) \lambda D}{d}$ है।
दो क्रमागत दीप्त फ्रिंजों के बीच की दूरी $\beta = x_{n+1} - x_{n} = \frac{(n+1) \lambda D}{d} - \frac{n \lambda D}{d} = \frac{\lambda D}{d} (n+1-n) = \frac{\lambda D}{d}$ है।
विनाशी व्यतिकरण (अदीप्त फ्रिंजों) के लिए:
$n$-वीं अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $x'_{n} = (2n-1) \frac{\lambda D}{2d}$ ($n=1, 2, 3...$ के लिए) है।
$(n+1)$-वीं अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $x'_{n+1} = (2(n+1)-1) \frac{\lambda D}{2d} = (2n+1) \frac{\lambda D}{2d}$ है।
दो क्रमागत अदीप्त फ्रिंजों के बीच की दूरी $\beta' = x'_{n+1} - x'_{n} = (2n+1) \frac{\lambda D}{2d} - (2n-1) \frac{\lambda D}{2d} = \frac{\lambda D}{2d} (2n+1-2n+1) = \frac{\lambda D}{2d} (2) = \frac{\lambda D}{d}$ है।
अतः,दो क्रमागत दीप्त फ्रिंजों और दो क्रमागत अदीप्त फ्रिंजों के बीच की दूरी समान होती है,जो $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जिसे फ्रिंज चौड़ाई कहा जाता है।

(N/A) $S_{1}$ और $S_{2}$ दो कला-संबद्ध स्रोत हैं और $S$ उनका मध्य बिंदु है। पर्दे पर बिंदु $O$, $S$ से $D$ दूरी पर है। चूंकि $SO$, $S_{1}S_{2}$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित है, इसलिए इस पर किसी भी बिंदु के लिए पथ अंतर $S_{1}O = S_{2}O$ होता है। अतः, $O$ पर एक केंद्रीय दीप्त फ्रिंज बनती है, जो चित्र $(a)$ में दिखाए अनुसार एक सीधी रेखा के रूप में दिखाई देती है।
पर्दे पर व्यतिकरण पैटर्न के आकार को निर्धारित करने के लिए, हम इस शर्त का उपयोग करते हैं कि यदि पथ अंतर $= n\lambda$ (जहाँ $n$ एक पूर्णांक है) है, तो फ्रिंज दीप्त होती है, और यदि पथ अंतर $= (2n+1)\lambda/2$ है, तो फ्रिंज अदीप्त होती है।
जब $S_{2}P - S_{1}P = \Delta$ एक स्थिरांक होता है, तो पर्दे पर बिंदु $P$ का प्रक्षेप पथ एक अतिपरवलय (hyperbola) होता है। हालाँकि, यदि स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी $(D)$ बहुत बड़ी है, तो फ्रिंज लगभग सीधी रेखाओं के रूप में दिखाई देती हैं। यह चित्र $(a)$ और $(b)$ में दिखाया गया है।
दो बिंदु स्रोतों $S_{1}$ और $S_{2}$ द्वारा पर्दे पर उत्पन्न फ्रिंज पैटर्न दिखाए गए हैं। चित्र $(a)$ और $(b)$ क्रमशः $d = 0.005 \text{ mm}$ और $d = 0.025 \text{ mm}$ के अनुरूप हैं, जहाँ $D = 5 \text{ cm}$ और $\lambda = 5 \times 10^{-5} \text{ cm}$ है।
द्वि-स्लिट प्रयोग में, हमने माना है कि स्रोत $S$ दोनों स्लिटों के लंब समद्विभाजक पर है। यदि स्रोत $S$ को लंब समद्विभाजक से दूर किसी नए बिंदु $S^{\prime}$ पर स्थानांतरित किया जाता है, तो व्यतिकरण पैटर्न तदनुसार विस्थापित हो जाता है।

(N/A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में एक एकवर्णी प्रकाश स्रोत द्वारा स्क्रीन $A$ पर स्थित एक संकीर्ण स्लिट $S$ को प्रकाशित किया जाता है।
यह प्रकाश फिर स्क्रीन $B$ पर स्थित दो समानांतर और संकीर्ण स्लिटों $S_1$ और $S_2$ पर पड़ता है,जो $S$ से समान दूरी पर हैं (अर्थात $SS_1 = SS_2$)।
ये दो स्लिटें प्रकाश के कला-संबद्ध स्रोतों के रूप में कार्य करती हैं। जब $S_1$ और $S_2$ से निकलने वाली प्रकाश तरंगें एक दूर स्थित स्क्रीन $C$ पर अध्यारोपित होती हैं,तो वे व्यतिकरण पैटर्न उत्पन्न करती हैं जिसमें एकांतर रूप से चमकीली और काली फ्रिंजें दिखाई देती हैं।
तीव्रता वितरण वक्र यह दर्शाता है कि सभी व्यतिकरण फ्रिंजों की चौड़ाई और तीव्रता समान होती है। जिन बिंदुओं पर विनाशी व्यतिकरण होता है,वहां तीव्रता शून्य होती है,जबकि संपोषी व्यतिकरण वाले बिंदुओं पर तीव्रता अधिकतम $I_{max}$ होती है।
दो क्रमिक चमकीली या दो क्रमिक काली फ्रिंजों के बीच की दूरी स्थिर होती है और फ्रिंज की तीव्रता फ्रिंज के क्रम पर निर्भर नहीं करती है।

(N/A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,दो क्रमागत दीप्त फ्रिंजों या दो क्रमागत अदीप्त फ्रिंजों के बीच की दूरी को फ्रिंज चौड़ाई कहा जाता है,जिसे $\beta$ द्वारा दर्शाया जाता है।
फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र इस प्रकार है:
$\beta = \frac{\lambda D}{d}$
जहाँ:
- $\lambda$ उपयोग किए गए एकवर्णी प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है।
- $D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है।
- $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।

(N/A) यंग के डबल स्लिट प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई $(\beta)$ दो क्रमागत दीप्त या अदीप्त फ्रिंजों के बीच की दूरी होती है।
यह निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\beta = \frac{\lambda D}{d}$
जहाँ:
$\lambda$ = प्रयुक्त एकवर्णी प्रकाश की तरंगदैर्ध्य।
$D$ = स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी।
$d$ = दो कला-संबद्ध स्रोतों (स्लिट्स) के बीच की दूरी।

(C) पर्दे पर स्थित बिंदु $P$ के लिए दो स्रोतों $S_1$ और $S_2$ के बीच पथ अंतर $|S_1P - S_2P| = \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
यदि पथ अंतर $\Delta x$ स्थिर है, तो $|S_1P - S_2P| = \text{स्थिरांक}$।
अतिपरवलय की परिभाषा के अनुसार, ऐसे बिंदु का बिंदुपथ जिसका दो निश्चित बिंदुओं (नाभियों) से दूरियों का अंतर स्थिर रहता है, एक अतिपरवलय होता है।
इसलिए, पर्दे पर बिंदु के प्रक्षेप पथ का आकार अतिपरवलय है।

(A) मान लीजिए कि खंड की लंबाई $\ell$ है।
मान लीजिए कि $\ell$ खंड में फ्रिंजों की संख्या $N$ है और $w$ फ्रिंज की चौड़ाई है।
फ्रिंजों की संख्या और फ्रिंज की चौड़ाई के बीच का संबंध $N w = \ell$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि फ्रिंज की चौड़ाई $w = \frac{\lambda D}{d}$ है,हम लिख सकते हैं $N \left( \frac{\lambda D}{d} \right) = \ell$.
एक निश्चित खंड लंबाई $\ell$ के लिए,$N \lambda$ का गुणनफल स्थिर रहता है क्योंकि $D$ और $d$ स्थिर हैं।
इसलिए,$N_1 \lambda_1 = N_2 \lambda_2$.
दिया गया है $N_1 = 16$,$\lambda_1 = 700 \,nm$,और $\lambda_2 = 400 \,nm$.
मान रखने पर: $16 \times 700 = N_2 \times 400$.
$N_2 = \frac{16 \times 700}{400} = \frac{16 \times 7}{4} = 4 \times 7 = 28$.
अतः,देखी जाने वाली फ्रिंजों की संख्या $28$ है।

(A) दिया गया है:
स्लिट पृथक्करण $d = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 632.8 \, nm = 632.8 \times 10^{-9} \, m$
दूरी $D = 100 \, cm = 1 \, m$
दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y = 1.27 \, mm = 1.27 \times 10^{-3} \, m$
दीप्त फ्रिंज के लिए शर्त $y = \frac{n D \lambda}{d}$ है,जहाँ $n$ फ्रिंज का क्रम है।
$n$ की गणना करने पर:
$n = \frac{y d}{D \lambda} = \frac{1.27 \times 10^{-3} \times 10^{-3}}{1 \times 632.8 \times 10^{-9}} = \frac{1.27 \times 10^{-6}}{632.8 \times 10^{-9}} = \frac{1270}{632.8} \approx 2$
दीप्त फ्रिंज के लिए पथ अंतर $\Delta x = n \lambda$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$\Delta x = 2 \times 632.8 \, nm = 1265.6 \, nm = 1.2656 \, \mu m \approx 1.27 \, \mu m$.

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की कोणीय चौड़ाई का सूत्र $\Delta \theta = \frac{\lambda}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
दिया गया है: $\lambda = 500 \ nm = 500 \times 10^{-9} \ m$ और $d = 0.05 \ mm = 0.05 \times 10^{-3} \ m = 5 \times 10^{-5} \ m$.
मान रखने पर: $\Delta \theta = \frac{500 \times 10^{-9}}{5 \times 10^{-5}} = 100 \times 10^{-4} = 0.01 \ radians$.
कोणीय चौड़ाई को रेडियन से डिग्री में बदलने के लिए,हम $\frac{180}{\pi}$ से गुणा करते हैं:
$\Delta \theta^{\circ} = 0.01 \times \frac{180}{3.14159} \approx 0.573^{\circ}$.
अतः,कोणीय चौड़ाई $0.57^{\circ}$ के निकट है।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है,जहां $\phi$ कलांतर है।
दिया गया है कि पथ अंतर $\lambda$ पर तीव्रता $K$ है,और चूंकि पथ अंतर $\lambda$,$2\pi$ के कलांतर के अनुरूप है,इसलिए अधिकतम तीव्रता $I_{max} = 4I_0 = K$ है,जहां $I_0$ प्रत्येक स्लिट की तीव्रता है।
अतः,$I_0 = K/4$ है।
पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$ के लिए,कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3}$ है।
इस बिंदु पर तीव्रता $I = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} \cos(\frac{\pi}{3}) = 2I_0 + 2I_0 \cos(\frac{\pi}{3})$ है।
$I_0 = K/4$ और $\cos(\frac{\pi}{3}) = 1/2$ रखने पर,हमें $I = 2(K/4) + 2(K/4)(1/2) = K/2 + K/4 = 3K/4$ प्राप्त होता है।
हमें $I = \frac{nK}{12}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{3K}{4} = \frac{nK}{12}$ है।
$n$ के लिए हल करने पर,$n = \frac{3 \times 12}{4} = 9$ प्राप्त होता है।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्रोतों से पर्दे की दूरी है,और $d$ स्रोतों के बीच की दूरी है।
मान लीजिए प्रारंभिक फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
प्रश्न के अनुसार,नई दूरी $D^{\prime} = 2D$ और नई दूरी $d^{\prime} = \frac{d}{2}$ है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta^{\prime} = \frac{\lambda D^{\prime}}{d^{\prime}}$ द्वारा दी जाती है।
नए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\beta^{\prime} = \frac{\lambda (2D)}{d/2} = 4 \times \frac{\lambda D}{d}$।
अतः,$\beta^{\prime} = 4\beta$।
इस प्रकार,फ्रिंज की चौड़ाई मूल मान की $4$ गुनी हो जाती है।