Young's Double Slit Experiment (YDSE) Questions in Hindi

(A) दिए गए व्यतिकरण पैटर्न से,फ्रिंज की कोणीय चौड़ाई दो क्रमागत निम्निष्ठों या उच्चिष्ठों के बीच की दूरी है।
चित्र से,पहला निम्निष्ठ $\theta = 0.75^{\circ}$ पर है।
फ्रिंज की कोणीय चौड़ाई $\Delta\theta = 0.75^{\circ}$ है।
यंग के डबल स्लिट प्रयोग के लिए,पहले निम्निष्ठ की शर्त $d \sin\theta = \frac{\lambda}{2}$ है।
चूंकि $\theta$ बहुत छोटा है,$\sin\theta \approx \theta$ (रेडियन में)।
अतः,$d \theta = \frac{\lambda}{2} \Rightarrow d = \frac{\lambda}{2\theta}$।
$\theta$ को रेडियन में बदलने पर: $\theta = 0.75^{\circ} = 0.75 \times \frac{\pi}{180} \text{ rad} = \frac{3}{4} \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{240} \text{ rad}$।
दिया गया है $\lambda = 520 \times 10^{-9} \text{ m}$।
मान रखने पर: $d = \frac{520 \times 10^{-9}}{2 \times (\pi / 240)} = \frac{520 \times 10^{-9} \times 120}{\pi} \approx \frac{62400 \times 10^{-9}}{3.14} \approx 1.987 \times 10^{-5} \text{ m}$।
mm में बदलने पर: $d \approx 1.987 \times 10^{-2} \text{ mm} \approx 2 \times 10^{-2} \text{ mm}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) $n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$9^{th}$ दीप्त फ्रिंज के लिए,$y_9 = \frac{9 \lambda D}{d}$।
$m^{th}$ अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $y'_m = \frac{(2m-1) \lambda D}{2d}$ द्वारा दी जाती है।
$2^{nd}$ अदीप्त फ्रिंज के लिए,$y'_2 = \frac{(2 \times 2 - 1) \lambda D}{2d} = \frac{3 \lambda D}{2d}$।
उनके बीच की दूरी $y_9 - y'_2 = 7.5 \, mm = 7.5 \times 10^{-3} \, m$ है।
$\frac{9 \lambda D}{d} - \frac{3 \lambda D}{2d} = 7.5 \times 10^{-3}$।
$\frac{(18-3) \lambda D}{2d} = 7.5 \times 10^{-3} \implies \frac{15 \lambda D}{2d} = 7.5 \times 10^{-3}$।
यहाँ $d = 0.5 \times 10^{-3} \, m$ और $D = 1 \, m$ दिया गया है।
$\lambda = \frac{7.5 \times 10^{-3} \times 2 \times 0.5 \times 10^{-3}}{15 \times 1} = \frac{7.5 \times 10^{-6}}{15} = 0.5 \times 10^{-6} \, m = 5000 \, \mathring{A}$।

(B) स्क्रीन पर किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{\max} \cos^2(\phi/2)$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $I = 0.75 I_{\max}$,अतः $0.75 = \cos^2(\phi/2)$,जिसका अर्थ है $\cos(\phi/2) = \pm \sqrt{3}/2$.
इस प्रकार,$\phi/2 = \pi/6$ या $5\pi/6$,जिससे कलांतर $\phi = \pi/3$ या $5\pi/3$ प्राप्त होता है।
पथ अंतर $\Delta x = (\lambda/2\pi) \phi = yd/D$ है।
$\phi_1 = \pi/3$ के लिए,$y_1 = (\lambda D / 2\pi d) \times (\pi/3) = \lambda D / 6d$.
$\phi_2 = 5\pi/3$ के लिए,$y_2 = (\lambda D / 2\pi d) \times (5\pi/3) = 5\lambda D / 6d$.
मान रखने पर: $\lambda = 6 \times 10^{-7} \, m$,$D = 1 \, m$,$d = 10^{-3} \, m$.
$y_1 = (6 \times 10^{-7} \times 1) / (6 \times 10^{-3}) = 10^{-4} \, m = 0.1 \, mm$.
$y_2 = 5 \times 0.1 \, mm = 0.5 \, mm$.
दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी $\Delta y = y_2 - y_1 = 0.5 - 0.1 = 0.4 \, mm$ है।

(C) मान लीजिए कि एक एकल स्लिट के कारण तीव्रता $I_0$ है। द्वि-स्लिट प्रयोग में परिणामी तीव्रता $I = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0}\sqrt{I_0}\cos\phi = 2I_0(1 + \cos\phi)$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि बिंदु पर तीव्रता एकल स्लिट के बराबर है,इसलिए $I = I_0$ रखें।
$I_0 = 2I_0(1 + \cos\phi) \Rightarrow 1 = 2(1 + \cos\phi) \Rightarrow \frac{1}{2} = 1 + \cos\phi$.
$\cos\phi = -\frac{1}{2} \Rightarrow \phi = \frac{2\pi}{3}$.
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda}\Delta x$ है।
$\frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{\lambda}\Delta x \Rightarrow \Delta x = \frac{\lambda}{3}$.
छोटे कोणों के लिए,पथ अंतर $\Delta x = \frac{dy}{D}$ होता है।
दोनों की तुलना करने पर,$\frac{dy}{D} = \frac{\lambda}{3} \Rightarrow y = \frac{D\lambda}{3d}$।

(D) $n^{th}$ दीप्त फ्रिंज के लिए शर्त $y_n = n \frac{D \lambda_1}{d}$ है। $n = 4$ और $\lambda_1 = 6300 \, \mathring{A}$ के लिए,$y_4 = 4 \frac{D \times 6300}{d}$ है।
$m^{th}$ अदीप्त फ्रिंज के लिए शर्त $y_m = (m - \frac{1}{2}) \frac{D \lambda_2}{d}$ है। $m = 5$ और $\lambda_2 = \lambda$ के लिए,$y_5 = (5 - 0.5) \frac{D \lambda}{d} = 4.5 \frac{D \lambda}{d} = \frac{9}{2} \frac{D \lambda}{d}$ है।
चूंकि फ्रिंज संपाती हैं,इसलिए $y_4 = y_5$:
$4 \frac{D \times 6300}{d} = \frac{9}{2} \frac{D \lambda}{d}$.
दोनों पक्षों से $\frac{D}{d}$ को हटाने पर:
$4 \times 6300 = 4.5 \times \lambda$.
$\lambda = \frac{4 \times 6300}{4.5} = \frac{25200}{4.5} = 5600 \, \mathring{A}$.

(A) जब दो अलग-अलग तरंगदैर्ध्य की चमकीली फ्रिंज केंद्रीय उच्चिष्ठ से $x$ दूरी पर संपाती होती हैं,तो शर्त इस प्रकार है:
$x = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d} = \frac{n_2 \lambda_2 D}{d}$
इसका अर्थ है $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$,जहाँ $n_1$ और $n_2$ चमकीली फ्रिंज के क्रम हैं।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{5200 \mathring{A}}{6500 \mathring{A}} = \frac{4}{5}$
न्यूनतम दूरी के लिए,हम सबसे छोटे पूर्णांक मान लेते हैं: $n_1 = 4$ और $n_2 = 5$।
अब,इन मानों को $x$ के सूत्र में रखने पर:
$x = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d} = \frac{4 \times 6500 \times 10^{-10} \text{ m} \times 1.2 \text{ m}}{2 \times 10^{-3} \text{ m}}$
$x = \frac{4 \times 6500 \times 1.2 \times 10^{-10}}{2 \times 10^{-3}} \text{ m} = 15600 \times 10^{-7} \text{ m} = 1.56 \times 10^{-3} \text{ m}$
$x = 0.156 \text{ cm}$।

(A) फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $D$ स्लिट्स और पर्दे के बीच की दूरी है,$d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है,और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
पर्दे की दूरी में परिवर्तन $\Delta D = 5 \times 10^{-2} \ m$ और फ्रिंज की चौड़ाई में परिवर्तन $\Delta \beta = 3 \times 10^{-5} \ m$ दिया गया है।
फ्रिंज की चौड़ाई में परिवर्तन,दूरी में परिवर्तन से $\Delta \beta = \frac{\lambda \Delta D}{d}$ द्वारा संबंधित है।
$\lambda$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\lambda = \frac{\Delta \beta \cdot d}{\Delta D}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda = \frac{(3 \times 10^{-5} \ m) \times (10^{-3} \ m)}{5 \times 10^{-2} \ m}$.
$\lambda = \frac{3 \times 10^{-8}}{5 \times 10^{-2}} = 0.6 \times 10^{-6} \ m$.
$\mathring{A}$ में बदलने पर: $\lambda = 0.6 \times 10^{-6} \times 10^{10} \ \mathring{A} = 6000 \ \mathring{A}$.

(A) मान लीजिए $d$ स्लिट $S_1$ और $S_2$ के बीच की दूरी है,और $D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है।
व्यवस्था की ज्यामिति से,स्क्रीन के केंद्र $C$ पर स्लिट द्वारा बनाया गया कोण $\theta$,$\tan(\theta/2) = \frac{d/2}{D}$ द्वारा दिया जाता है।
छोटे कोणों के लिए,$\tan(\theta/2) \approx \theta/2 = \frac{d}{2D}$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{d}{D}$।
फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ को $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
फ्रिंज की चौड़ाई के व्यंजक में $d/D = \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\beta = \frac{\lambda}{\theta}$ प्राप्त होता है।

(C) पर्दे पर किसी भी बिंदु $P$ पर तीव्रता $I_P = I_{\max} \cos^2(\phi/2)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \frac{yd}{D}$,जहाँ $y$ केंद्र $O$ से बिंदु $P$ की दूरी है,$d$ स्लिट के बीच की दूरी है,और $D$ स्लिट से पर्दे की दूरी है।
केंद्र $O$ पर,$y = 0$,इसलिए $\phi = 0$ और $I_O = I_{\max}$ है।
बिंदु $P$ पर,शुरू में पहला उच्चिष्ठ देखा जाता है,इसलिए पथ अंतर $\Delta x = \lambda$,जिसका अर्थ है $\phi = 2\pi$ है।
जैसे-जैसे पर्दे को दूर ले जाया जाता है,$D$ बढ़ता है। चूँकि $\phi = \frac{2\pi yd}{\lambda D}$,जैसे-जैसे $D$ बढ़ता है,$\phi$ का मान $2\pi$ से घटकर $0$ की ओर जाता है।
जैसे-जैसे $\phi$ का मान $2\pi$ से $0$ तक घटता है,$\cos^2(\phi/2)$ का मान $\cos^2(\pi) = 1$ से बढ़कर $\cos^2(0) = 1$ हो जाता है,जो $\phi = \pi$ (पहला निम्निष्ठ) पर $0$ से होकर गुजरता है।
इसलिए,तीव्रता $I_P$ पहले घटती है (क्योंकि यह उच्चिष्ठ से निम्निष्ठ की ओर जाती है) और फिर बढ़ती है (क्योंकि यह निम्निष्ठ से केंद्रीय उच्चिष्ठ की ओर जाती है)। अतः,अनुपात $I_P/I_O$ पहले घटता है और फिर बढ़ता है।

(C) यंग के डबल-स्लिट प्रयोग में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
दिया गया है कि $I = \frac{I_{max}}{2}$,इसलिए $\cos^2(\frac{\phi}{2}) = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{4}$,अर्थात $\phi = \frac{\pi}{2}$।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है। अतः,$\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$,जिससे हमें $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ प्राप्त होता है।
छोटे कोणों के लिए,पथ अंतर $\Delta x = \frac{yd}{D}$ होता है।
दोनों की तुलना करने पर,$\frac{yd}{D} = \frac{\lambda}{4}$,इसलिए $y = \frac{\lambda D}{4d}$।
दिए गए मान रखने पर: $\lambda = 5 \times 10^{-7}\, m$,$D = 1\, m$,और $d = 10^{-3}\, m$।
$y = \frac{5 \times 10^{-7} \times 1}{4 \times 10^{-3}} = 1.25 \times 10^{-4}\, m$।

(C) दिया गया है: स्लिट पृथक्करण $d = 0.3\, mm = 0.3 \times 10^{-3}\, m$,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 500\, nm = 500 \times 10^{-9}\, m$.
संपोषी व्यतिकरण (उच्चिष्ठ) के लिए,पथ अंतर $d \sin \theta = n \lambda$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
हमें $-30^{\circ} < \theta < 30^{\circ}$ की रेंज में उच्चिष्ठों की संख्या ज्ञात करनी है।
अतः,$\sin \theta < \sin 30^{\circ} = 0.5$.
शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ को असमिका में रखने पर:
$n \lambda < d \sin 30^{\circ}$
$n < \frac{d \sin 30^{\circ}}{\lambda} = \frac{0.3 \times 10^{-3} \times 0.5}{500 \times 10^{-9}}$
$n < \frac{0.15 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-7}} = \frac{0.15}{5} \times 10^4 = 0.03 \times 10^4 = 300$.
चूंकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए और $|n| < 300$,इसलिए $n$ के संभावित मान $0, \pm 1, \pm 2, \dots, \pm 299$ हैं।
उच्चिष्ठों की कुल संख्या $299$ (धनात्मक) $+ 299$ (ऋणात्मक) $+ 1$ (केंद्रीय उच्चिष्ठ $n=0$ पर) $= 599$ है।

(C) $YDSE$ प्रयोग में,स्क्रीन पर किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ दो तरंगों के बीच का कलांतर है।
स्क्रीन के मध्य-बिंदु पर,ज्यामिति के कारण पथ अंतर शून्य होता है।
जब $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाला एक स्लैब एक स्लिट के सामने रखा जाता है,तो एक अतिरिक्त पथ अंतर $\Delta x = (\mu - 1)t$ उत्पन्न होता है।
संबंधित कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} (\mu - 1)t$ है।
मध्य-बिंदु पर तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi t}{\lambda}(\mu - 1))$ है।
जैसे-जैसे $\mu$,$1$ से बढ़ता है,पद $(\mu - 1)$ बढ़ता है,जिससे कलांतर $\phi$ बढ़ता है।
तीव्रता $I$ एक $\cos^2$ परिवर्तन का पालन करती है,जो $\mu = 1$ (जहाँ $\phi = 0$) पर अधिकतम मान $(4I_0)$ से शुरू होती है और जैसे-जैसे $\mu$ बढ़ता है,यह घटती जाती है,जो एक स्क्वेर्ड कोसाइन फलन के आकार का अनुसरण करती है।

(A) माना माइका शीट द्वारा उत्पन्न कलांतर $\phi$ है। स्क्रीन के केंद्र पर तीव्रता $I = I_0 \cos^2(\phi/2)$ द्वारा दी जाती है। दिया गया है कि $I = 0.75 I_0$,इसलिए $\cos^2(\phi/2) = 3/4$,जिसका अर्थ है $\cos(\phi/2) = \pm \sqrt{3}/2$। अतः,$\phi/2 = n\pi \pm \pi/6$,या $\phi = 2n\pi \pm \pi/3$।
$n=1$ के लिए,$\phi = 2\pi \pm \pi/3$,जिससे $\phi = 5\pi/3$ या $7\pi/3$ प्राप्त होता है।
$n=2$ के लिए,$\phi = 4\pi \pm \pi/3$,जिससे $\phi = 11\pi/3$ या $13\pi/3$ प्राप्त होता है।
$n=3$ के लिए,$\phi = 6\pi \pm \pi/3$,जिससे $\phi = 17\pi/3$ या $19\pi/3$ प्राप्त होता है।
यह शर्त कि दूसरा निम्निष्ठ केंद्र के ऊपर और तीसरा उच्चिष्ठ केंद्र के नीचे है,$\phi$ के मान को $3\pi < \phi < 4\pi$ के बीच सीमित करती है। विकल्पों में से,$\pi/3$ इस सीमा में नहीं आता है।

(A) बहुत दूर के बिंदुओं $(|x| >> d)$ के लिए,निकटवर्ती स्रोतों से आने वाली तरंगों के बीच पथ अंतर $\Delta x = d \cos \theta$ है। $x$-अक्ष पर एक दूरस्थ बिंदु के लिए,$\theta = 0$,इसलिए $\Delta x = d$ है।
दूरस्थ बिंदु पर कुल आयाम चार तरंगों का योग है: $A = A_0(1 + e^{ikd} + e^{i2kd} + e^{i3kd})$,जहाँ $k = 2\pi / \lambda$ है।
यह $r = e^{ikd}$ के साथ एक गुणोत्तर श्रेणी है। योग $A = A_0 \frac{1 - e^{i4kd}}{1 - e^{ikd}}$ है।
तीव्रता $I$,$|A|^2$ के समानुपाती है: $I \propto A_0^2 \left| \frac{1 - e^{i4kd}}{1 - e^{ikd}} \right|^2 = A_0^2 \frac{\sin^2(2kd)}{\sin^2(kd/2)}$।
अंधेरे बिंदुओं (तीव्रता = $0$) के लिए,हमें $\sin(2kd) = 0$ की आवश्यकता है लेकिन $\sin(kd/2) \neq 0$ होना चाहिए।
$2kd = n\pi$ (जहाँ $n$ एक पूर्णांक है)। $n=1$ के लिए,$2(2\pi/\lambda)d = \pi \implies d = \lambda / 4$ है।
अतः,यदि $d = \lambda / 4$ है,तो तीव्रता शून्य हो जाती है और बिंदु अंधेरे दिखाई देते हैं।

(D) $YDSE$ सेटअप में,केंद्रीय अक्ष से $y$ दूरी पर स्क्रीन पर एक बिंदु पर पथ अंतर $\Delta x = \frac{yd}{D}$ द्वारा दिया जाता है।
एक स्लिट के ठीक सामने के बिंदु के लिए,केंद्रीय अक्ष से दूरी $y = \frac{d}{2}$ है।
इस मान को पथ अंतर के सूत्र में रखने पर: $\Delta x = \frac{(d/2)d}{D} = \frac{d^2}{2D}$ प्राप्त होता है।
विनाशी व्यतिकरण (अनुपस्थित तरंग दैर्ध्य) के लिए,पथ अंतर तरंग दैर्ध्य के आधे का विषम गुणज होना चाहिए: $\Delta x = (2m + 1) \frac{\lambda}{2}$,जहाँ $m = 0, 1, 2, ...$ है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{d^2}{2D} = (2m + 1) \frac{\lambda}{2}$ प्राप्त होता है।
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = \frac{d^2}{(2m + 1)D}$ मिलता है।
$m = 0$ के लिए,$\lambda = \frac{d^2}{D}$ है।
$m = 1$ के लिए,$\lambda = \frac{d^2}{3D}$ है।
अतः,दोनों तरंग दैर्ध्य $\frac{d^2}{D}$ और $\frac{d^2}{3D}$ अनुपस्थित हैं।

(D) श्वेत प्रकाश के साथ $YDSE$ में,केंद्रीय फ्रिंज के लिए पथ अंतर सभी तरंगदैर्घ्यों के लिए $0$ होता है। चूँकि केंद्र पर सभी तरंगदैर्घ्य एक-दूसरे पर अध्यारोपित होती हैं,इसलिए केंद्रीय फ्रिंज सफेद दिखाई देती है।
जैसे-जैसे हम केंद्र से दूर जाते हैं,पथ अंतर $\Delta x = d \sin \theta$ बढ़ता है। किसी दिए गए बिंदु के लिए,विभिन्न तरंगदैर्घ्य थोड़े अलग-अलग स्थानों पर संपोषी व्यतिकरण की स्थिति को संतुष्ट करती हैं। चूँकि बैंगनी प्रकाश की तरंगदैर्घ्य सबसे कम होती है,इसलिए बैंगनी रंग की प्रथम कोटि की उच्चिष्ठ फ्रिंज केंद्रीय फ्रिंज के सबसे निकट दिखाई देती है।
चूँकि विभिन्न तरंगदैर्घ्यों के लिए उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ के स्थान अलग-अलग होते हैं,इसलिए फ्रिंजें काफी हद तक एक-दूसरे पर अध्यारोपित हो जाती हैं,जिससे एक पूर्णतः काली फ्रिंज (जहाँ सभी तरंगदैर्घ्यों के लिए तीव्रता शून्य हो) का निर्माण नहीं हो पाता है।
अतः,दिए गए सभी कथन सही हैं।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग $(YDSE)$ में,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ पर्दे और स्लिट के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
चूंकि नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{blue})$ लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{red})$ से कम होती है,इसलिए जब स्रोत को लाल से नीले में बदला जाता है तो फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ कम हो जाती है।
जैसे-जैसे $\beta$ कम होती है,क्रमागत फ्रिंज एक-दूसरे के करीब आ जाती हैं।
चूंकि फ्रिंज की चौड़ाई कम हो जाती है,इसलिए पर्दे पर समान स्थान में अधिक फ्रिंज समा सकती हैं,जिसका अर्थ है कि पर्दे पर बनने वाले उच्चिष्ठों की संख्या बढ़ जाती है।
इसलिए,कथन $(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$\beta = \frac{\lambda D}{d}$
जहाँ $\lambda$ प्रयुक्त प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट्स और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिट्स के बीच की दूरी है।
फ्रिंजों को अधिक निकट होने के लिए,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ को कम होना चाहिए।
सूत्र से,$\beta$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के सीधे समानुपाती है $(\beta \propto \lambda)$।
चूंकि नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य हरे प्रकाश की तरंगदैर्ध्य से कम होती है $(\lambda_{\text{blue}} < \lambda_{\text{green}})$,इसलिए हरे प्रकाश के स्थान पर नीले प्रकाश का उपयोग करने से फ्रिंज की चौड़ाई कम हो जाएगी,जिससे फ्रिंज एक-दूसरे के अधिक निकट आ जाएंगे।

(B) $YDSE$ में,स्लिट्स से आने वाले प्रकाश की तीव्रता स्लिट्स की चौड़ाई के समानुपाती होती है। यदि स्लिट्स की चौड़ाई असमान है,तो दोनों स्लिट्स से आने वाली तरंगों के आयाम $a_1$ और $a_2$ असमान होंगे $(a_1 \neq a_2)$।
व्यतिकरण पैटर्न की तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
विनाशी व्यतिकरण के लिए,तीव्रता $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ होती है।
चूंकि $I_1 \neq I_2$,इसलिए $I_{min} \neq 0$ होता है। अतः,न्यूनतम तीव्रता की स्थितियाँ पूरी तरह से काली नहीं होंगी।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का मान $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ होता है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है,$D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ दोनों स्लिटों के बीच की दूरी है।
इस सूत्र से स्पष्ट है कि $\beta \propto \frac{1}{d}$,जिसका अर्थ है कि फ्रिंज की चौड़ाई $d$ के व्युत्क्रमानुपाती रूप से बदलती है। यह कथन $(B)$ की पुष्टि करता है।
$n$-वें निम्निष्ठ की स्थिति $y_n = (2n - 1) \frac{\lambda D}{2d}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $y_n$ का मान $d$ पर निर्भर करता है,इसलिए $d$ को बदलने से स्क्रीन पर सभी निम्निष्ठों की स्थिति बदल जाएगी। यह कथन $(C)$ की पुष्टि करता है।
अतः,कथन $(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,एक स्पष्ट व्यतिकरण पैटर्न प्राप्त करने की शर्त यह है कि स्रोत स्लिट संकीर्ण होनी चाहिए और प्रकाश सुसंगत (coherent) होना चाहिए।
जब स्रोत स्लिट और द्वि-स्लिट $S_1S_2$ के बीच की दूरी $\ell$ कम हो जाती है,तो स्लिट $S_1$ और $S_2$ तक पहुँचने वाले प्रकाश की स्थानिक सुसंगतता (spatial coherence) कम हो जाती है।
$1$. जैसे-जैसे $\ell$ कम होता है,स्लिट्स से देखे जाने पर स्रोत की कोणीय चौड़ाई बढ़ जाती है,जिससे फ्रिंज की दृश्यता कम हो जाती है। यदि $\ell$ बहुत छोटा हो जाता है,तो फ्रिंज पैटर्न गायब हो सकता है (विकल्प $A$)।
$2$. स्थानिक सुसंगतता में कमी के कारण फ्रिंज अपनी स्पष्टता खो देते हैं (विकल्प $B$)।
$3$. फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $\beta$ केवल तरंग दैर्ध्य $\lambda$,स्लिट्स के बीच की दूरी $d$,और स्क्रीन तक की दूरी $D$ पर निर्भर करता है,इसलिए $\ell$ बदलने पर यह अपरिवर्तित रहता है (विकल्प $C$)।
अतः,दिए गए सभी कथन सही हैं।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $n^{th}$ दीप्त फ्रिंज के लिए शर्त $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि ज्ञात प्रकाश $(\lambda_1 = 590 \ nm)$ की $3^{rd}$ दीप्त फ्रिंज अज्ञात प्रकाश $(\lambda_2 = \lambda)$ की $4^{th}$ दीप्त फ्रिंज के साथ संपाती है:
$\frac{3 \lambda_1 D}{d} = \frac{4 \lambda_2 D}{d}$
$3 \lambda_1 = 4 \lambda_2$
$\lambda_2 = \frac{3}{4} \times 590 \ nm$
$\lambda_2 = 0.75 \times 590 \ nm = 442.5 \ nm$.

(B) चमकीली फ्रिंजों के संपाती होने के लिए,पथ अंतर दोनों तरंगदैर्ध्यों का पूर्णांक गुणज होना चाहिए। मान लीजिए $\lambda_1 = 650 \ nm$ के लिए क्रम $n_1$ है और $\lambda_2 = 520 \ nm$ के लिए क्रम $n_2$ है।
संपाती होने की शर्त $y = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d} = \frac{n_2 \lambda_2 D}{d}$ है,जिसका अर्थ है $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{520 \ nm}{650 \ nm} = \frac{4}{5}$.
न्यूनतम दूरी के लिए,हम सबसे छोटे पूर्णांक $n_1 = 4$ और $n_2 = 5$ लेते हैं।
अब,$n_1 = 4$,$\lambda_1 = 650 \times 10^{-9} \ m$,$D = 1.5 \ m$,और $d = 0.5 \times 10^{-3} \ m$ का उपयोग करके स्थिति $y$ की गणना करें:
$y = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d} = \frac{4 \times 650 \times 10^{-9} \times 1.5}{0.5 \times 10^{-3}} \ m$.
$y = \frac{4 \times 650 \times 1.5}{0.5} \times 10^{-6} \ m = 7800 \times 10^{-6} \ m = 7.8 \times 10^{-3} \ m = 7.8 \ mm$.

(D) एकल स्लिट विवर्तन में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\theta = \frac{2\lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $d$ स्लिट की चौड़ाई है।
दिया गया है $\theta = 60^o$,इसलिए $\frac{\lambda}{d} = \sin(30^o) = 0.5$.
अतः,$\lambda = 0.5 \times d = 0.5 \times 1 \mu m = 0.5 \mu m$.
यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग के लिए,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d'}$ है,जहाँ $d'$ स्लिट पृथक्करण है।
दिया गया है $\beta = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$,$D = 50 \ cm = 0.5 \ m$,और $\lambda = 0.5 \times 10^{-6} \ m$.
$10^{-2} = \frac{0.5 \times 10^{-6} \times 0.5}{d'}$.
$d' = \frac{0.25 \times 10^{-6}}{10^{-2}} = 0.25 \times 10^{-4} \ m = 25 \mu m$.

(B) $YDSE$ प्रयोग में तीव्रता वितरण $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\Delta \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
ग्राफ से,हम देखते हैं कि न्यूनतम तीव्रता $(I_{min})$ शून्य है। चूंकि $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$,$I_{min} = 0$ का अर्थ है कि $I_1 = I_2$। अतः,स्रोतों की तीव्रता समान होनी चाहिए।
इसके अलावा,स्क्रीन पर एक स्थिर व्यतिकरण पैटर्न देखने के लिए,स्रोत $S_1$ और $S_2$ को कला-संबद्ध (coherent) होना चाहिए। कला-संबद्ध स्रोत वे स्रोत होते हैं जो समय के साथ स्थिर कलांतर बनाए रखते हैं। इसलिए,यह कथन कि $S_1$ और $S_2$ के बीच एक स्थिर कलांतर है,देखे गए व्यतिकरण पैटर्न के लिए एक मौलिक आवश्यकता है।

(A) यंग के डबल स्लिट प्रयोग के लिए,$n$-वीं चमकीली फ्रिंज के लिए पथ अंतर की शर्त $\Delta x = d \sin \theta = n \lambda$ है।
पहली चमकीली फ्रिंज $(n = 1)$ के लिए,शर्त $d \sin \theta = \lambda$ हो जाती है।
जब उपकरण हवा में होता है,तो $\lambda_{air} = \lambda$ और $\theta_1 = 45^{\circ}$ होता है,इसलिए $d \sin 45^{\circ} = \lambda$ प्राप्त होता है।
जब उपकरण को $\mu$ अपवर्तनांक वाले तरल में डुबोया जाता है,तो तरंग दैर्ध्य बदलकर $\lambda_{liquid} = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है। नया कोण $\theta_2 = 30^{\circ}$ है,इसलिए $d \sin 30^{\circ} = \frac{\lambda}{\mu}$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{d \sin 45^{\circ}}{d \sin 30^{\circ}} = \frac{\lambda}{\lambda / \mu} = \mu$।
मान रखने पर: $\mu = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$।

(A) प्रकाश की तीव्रता $I$,स्लिट की चौड़ाई $w$ के सीधे आनुपातिक होती है,इसलिए $I \propto w$। अतः,दोनों स्लिट्स की तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{w_1}{w_2} = \frac{1}{4}$ है।
चूंकि $I \propto a^2$ (जहाँ $a$ आयाम है),आयामों का अनुपात $\frac{a_1}{a_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ होगा।
मान लीजिए $a_1 = a$ और $a_2 = 2a$ है।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(a_1 + a_2)^2}{(a_1 - a_2)^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(a + 2a)^2}{(a - 2a)^2} = \frac{(3a)^2}{(-a)^2} = \frac{9a^2}{a^2} = \frac{9}{1}$।

(C) $YDSE$ में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_{\max} = 4I_0$ और $\phi$ कलांतर है।
दिया गया है कि केंद्र पर तीव्रता अधिकतम तीव्रता की आधी हो जाती है,इसलिए $I = I_{\max}/2 = 2I_0$।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $2I_0 = 4I_0 \cos^2(\phi/2) \Rightarrow \cos^2(\phi/2) = 1/2 \Rightarrow \phi/2 = \pi/4 \Rightarrow \phi = \pi/2$।
$t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली माइका शीट द्वारा उत्पन्न कलांतर $\phi = (2\pi/\lambda)(\mu - 1)t$ है।
$\phi$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\pi/2 = (2\pi/\lambda)(3/2 - 1)t$।
$\pi/2 = (2\pi/\lambda)(1/2)t = \pi t / \lambda$।
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = \lambda/2$ प्राप्त होता है।

(A) $YDSE$ में,केंद्रीय बिंदु $(y=0)$ पर पथ अंतर $\Delta x = 0$ सभी तरंगदैर्घ्यों के लिए समान होता है।
संपोषी व्यतिकरण के लिए शर्त $\Delta x = n\lambda$ है,इसलिए $n=0$ के लिए,$\Delta x = 0$ श्वेत प्रकाश में मौजूद सभी तरंगदैर्घ्यों $\lambda$ के लिए संतुष्ट होती है।
अतः,सभी तरंगदैर्घ्य अपने शून्य क्रम के उच्चिष्ठ को केंद्रीय बिंदु $(y=0)$ पर उत्पन्न करते हैं।
चूंकि केंद्र पर सभी रंग एक साथ मिलते हैं,इसलिए वे मिलकर एक सफेद फ्रिंज बनाते हैं।
इस प्रकार,कथन-$1$ सत्य है,कथन-$2$ सत्य है,और कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

(A) $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली प्लेट द्वारा उत्पन्न फ्रिंज विस्थापन $x = \frac{(\mu - 1)tD}{d}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $D$ स्क्रीन तक की दूरी है और $d$ स्लिट के बीच की दूरी है।
चूंकि दोनों स्थितियों के लिए $t$,$D$ और $d$ स्थिर हैं,इसलिए विस्थापन $x$,$(\mu - 1)$ के सीधे आनुपातिक है।
पहली प्लेट के लिए: $x \propto (\mu_1 - 1)$,जहाँ $\mu_1 = 1.5$ है।
दूसरी प्लेट के लिए: $\frac{3}{2}x \propto (\mu_2 - 1)$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{(3/2)x}{x} = \frac{\mu_2 - 1}{\mu_1 - 1}$ प्राप्त होता है।
$\frac{3}{2} = \frac{\mu_2 - 1}{1.5 - 1}$।
$\frac{3}{2} = \frac{\mu_2 - 1}{0.5}$।
$\mu_2 - 1 = \frac{3}{2} \times 0.5 = 0.75$।
$\mu_2 = 1.75$।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक स्रोत की तीव्रता $I_0$ है। अधिकतम तीव्रता $I_{max} = 4I_0$ है।
हम उन बिंदुओं की तलाश कर रहे हैं जहाँ तीव्रता $I = \frac{I_{max}}{2} = 2I_0$ हो जाती है।
परिणामी तीव्रता $I = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} \cos \phi = 2I_0(1 + \cos \phi)$ द्वारा दी जाती है।
$I = 2I_0$ रखने पर,हमें $2I_0 = 2I_0(1 + \cos \phi)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $1 + \cos \phi = 1$,इसलिए $\cos \phi = 0$।
इससे कलांतर $\phi = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
पथ अंतर $\Delta x$ कलांतर से $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ द्वारा संबंधित है।
अतः,$\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$,जिससे $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ प्राप्त होता है।
छोटे कोणों के लिए,पथ अंतर $\Delta x = d \sin \theta \approx d \theta$ होता है।
इसलिए,$d \theta = \frac{\lambda}{4}$,जिससे $\theta = \frac{\lambda}{4d}$ प्राप्त होता है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ के दोनों ओर बिंदुओं के बीच का कोणीय पृथक्करण $\Delta \theta = \theta - (-\theta) = 2\theta = 2 \times \frac{\lambda}{4d} = \frac{\lambda}{2d}$ है।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ है,जहाँ $D$ स्लिट्स और पर्दे के बीच की दूरी है,$\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
प्रश्न के अनुसार,नई दूरी $D' = 2D$ और नई स्लिट दूरी $d' = \frac{d}{2}$ है।
इन मानों को नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ के सूत्र में रखने पर:
$\beta' = \frac{D' \lambda}{d'} = \frac{(2D) \lambda}{(d/2)} = 4 \left( \frac{D \lambda}{d} \right) = 4\beta$.
अतः,फ्रिंज की चौड़ाई चार गुनी हो जाती है।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंग दैर्ध्य है,$D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिट्स के बीच की दूरी है।
जैसे ही स्क्रीन को स्लिट्स से दूर ले जाया जाता है,दूरी $D$ बढ़ जाती है।
चूंकि $\beta \propto D$,इसलिए $D$ में वृद्धि से फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ बढ़ जाती है,जिसका अर्थ है कि व्यतिकरण फ्रिंज एक-दूसरे से दूर हो जाते हैं।
इसके अतिरिक्त,जैसे-जैसे स्क्रीन दूर जाती है,व्युत्क्रम वर्ग नियम और बीम के फैलने के कारण स्क्रीन तक पहुँचने वाले प्रकाश की तीव्रता कम हो जाती है,जिससे पैटर्न कम चमकीला हो जाता है।
इसलिए,पैटर्न कम चमकीला हो जाता है और फ्रिंज एक-दूसरे से दूर हो जाते हैं।

(B) तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ के लिए $n^{th}$ उच्चिष्ठ की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda_1 D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ के लिए $m^{th}$ उच्चिष्ठ की स्थिति $y_m = \frac{m \lambda_2 D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि उच्चिष्ठ एक स्लिट के ठीक सामने संपाती होते हैं,इसलिए केंद्रीय फ्रिंज से दूरी $y = \frac{d}{2}$ है।
अतः,$\frac{n \lambda_1 D}{d} = \frac{d}{2} \implies n \lambda_1 = \frac{d^2}{2D} = \frac{(3 \times 10^{-3})^2}{2 \times 1.5} = \frac{9 \times 10^{-6}}{3} = 3 \times 10^{-6} \ m = 30000 \ \mathring{A}$.
इसी प्रकार,$m \lambda_2 = 30000 \ \mathring{A}$.
विकल्प $B$ के लिए: $n=5, m=6$. तो $\lambda_1 = \frac{30000}{5} = 6000 \ \mathring{A}$ और $\lambda_2 = \frac{30000}{6} = 5000 \ \mathring{A}$.
दोनों तरंगदैर्ध्य $6000 \ \mathring{A}$ और $5000 \ \mathring{A}$ दी गई सीमा $4500 \ \mathring{A} < \lambda < 7000 \ \mathring{A}$ के भीतर हैं।
इसलिए,सही मान $n=5, m=6, \lambda_1 = 6000 \ \mathring{A}$ हैं।

(B) व्यतिकरण पैटर्न में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi$ पथ अंतर $\Delta x$ से $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ द्वारा संबंधित है।
पथ अंतर $\Delta x = \lambda$ के लिए,कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \lambda = 2\pi$ है।
$\Delta x = \lambda$ पर दी गई तीव्रता $I = k$ है,इसलिए $k = I_{max} \cos^2(2\pi/2) = I_{max} \cos^2(\pi) = I_{max}(1)^2 = I_{max}$ प्राप्त होता है। अतः,$I_{max} = k$ है।
अब,पथ अंतर $\Delta x = \lambda/4$ के लिए,कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
इस बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\phi/2) = k \cos^2(\pi/4) = k \cdot (1/\sqrt{2})^2 = k/2$ होगी।

(A) जब एक किरण के पथ में $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली कांच की प्लेट रखी जाती है,तो उत्पन्न पथ अंतर $\Delta x = (\mu - 1)t$ होता है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ में विस्थापन $\Delta y = \frac{D}{d}(\mu - 1)t$ द्वारा दिया जाता है।
मूल केंद्रीय स्थिति पर तीव्रता अपरिवर्तित रहने के लिए,उस बिंदु पर नया पथ अंतर संपोषी व्यतिकरण की शर्त के अनुरूप होना चाहिए,अर्थात $\Delta x = n\lambda$,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
चूंकि तीव्रता समान रहती है,इसलिए पथ अंतर तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए। न्यूनतम मोटाई के लिए,हम सबसे छोटा गैर-शून्य पूर्णांक $n = 1$ लेते हैं।
$(\mu - 1)t = 1 \cdot \lambda$
यहाँ $\mu = 1.5$ दिया गया है,इसलिए $(1.5 - 1)t = \lambda$.
$0.5t = \lambda \implies t = 2\lambda$.

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है,$D$ पर्दे और स्लिट के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
चूंकि नीले प्रकाश की तरंगदैर्घ्य $(\lambda_{b})$ पीले प्रकाश की तरंगदैर्घ्य $(\lambda_{y})$ से कम होती है,अर्थात $\lambda_{b} < \lambda_{y}$।
चूंकि $\beta \propto \lambda$,इसलिए जब पीले प्रकाश को नीले प्रकाश से बदला जाता है,तो फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ घट जाएगी।

(B) पर्दे पर खंड की चौड़ाई स्थिर रहती है। फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$n$ फ्रिंज वाले खंड के लिए,कुल चौड़ाई $W = n \beta = n \frac{\lambda D}{d}$ होती है।
चूंकि दोनों तरंगदैर्ध्य के लिए खंड की चौड़ाई $W$ समान रहती है,इसलिए:
$n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$
यहाँ $n_1 = 12$,$\lambda_1 = 600 \ nm$,और $\lambda_2 = 400 \ nm$ दिया गया है:
$12 \times 600 = n_2 \times 400$
$n_2 = \frac{12 \times 600}{400}$
$n_2 = 18$
अतः,$18$ फ्रिंज देखे जाएंगे।

(B) $YDSE$ में उच्चिष्ठ के लिए शर्त $\Delta x = d \sin \theta = n \lambda$ है,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
यहाँ $d = 700 \, nm$ और $\lambda = 200 \, nm$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $700 \sin \theta = n \times 200$.
अतः,$\sin \theta = \frac{200n}{700} = \frac{2n}{7}$.
चूँकि $\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,इसलिए $|\frac{2n}{7}| \le 1$,जिसका अर्थ है कि $|n| \le \frac{7}{2} = 3.5$.
इसलिए,$n$ के लिए संभावित पूर्णांक मान $n = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3$ हैं।
इन मानों की गणना करने पर: $0, 1, -1, 2, -2, 3, -3$,कुल $7$ उच्चिष्ठ प्राप्त होते हैं।

(C) बिंदु $P$ पर पथ अंतर $\Delta x = \frac{xd}{D}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $P$ पर कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \frac{xd}{D}$ है।
चूंकि फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,हम लिख सकते हैं कि $\phi = \frac{2\pi x}{\beta}$।
किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है। यदि $I_1 = I_2 = I$ है,तो $I = 2I + 2I \cos \phi = 4I \cos^2 \frac{\phi}{2}$ होता है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ पर तीव्रता $I_0 = 4I$ दी गई है,इसलिए $I = \frac{I_0}{4}$ और $\phi = \frac{2\pi x}{\beta}$ रखने पर:
$I_P = 4 \left( \frac{I_0}{4} \right) \cos^2 \left( \frac{2\pi x / \beta}{2} \right) = I_0 \cos^2 \frac{\pi x}{\beta}$।

(B) $YDSE$ में,$n$ वीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
फ्रिंजों के संपाती होने के लिए,उनकी स्थितियाँ समान होनी चाहिए: $y_n = y_m$.
अतः,$n \lambda_1 = m \lambda_2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $n(6000) = m(5500)$.
इसे सरल करने पर $\frac{n}{m} = \frac{5500}{6000} = \frac{11}{12}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $n$ और $m$ पूर्णांक होने चाहिए,इसलिए न्यूनतम मान $n = 11$ और $m = 12$ हैं।

(B) दिया गया है: $\lambda = 6.5 \times 10^{-7} \, m$,$d = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$,$D = 1 \, m$.
$n$-वीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति $x_{n, bright} = n \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
पांचवीं दीप्त फ्रिंज के लिए $(n=5)$:
$x_{5, bright} = 5 \times \frac{6.5 \times 10^{-7} \times 1}{10^{-3}} = 32.5 \times 10^{-4} \, m = 3.25 \, mm$.
$n$-वीं अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $x_{n, dark} = (2n - 1) \frac{\lambda D}{2d}$ द्वारा दी जाती है।
तीसरी अदीप्त फ्रिंज के लिए $(n=3)$:
$x_{3, dark} = (2 \times 3 - 1) \times \frac{6.5 \times 10^{-7} \times 1}{2 \times 10^{-3}} = 5 \times \frac{6.5 \times 10^{-4}}{2} = 16.25 \times 10^{-4} \, m = 1.625 \, mm$.
पांचवीं दीप्त फ्रिंज और तीसरी अदीप्त फ्रिंज के बीच की दूरी:
$\Delta x = |x_{5, bright} - x_{3, dark}| = |3.25 - 1.625| \, mm = 1.625 \, mm \approx 1.63 \, mm$.

(A) पर्दे पर एक स्लिट के ठीक सामने के बिंदु पर पथ अंतर $\delta = \frac{b^2}{2d}$ द्वारा दिया जाता है।
विनाशी व्यतिकरण (अनुपस्थित तरंगदैर्घ्य) के लिए,पथ अंतर $\frac{\lambda}{2}$ का विषम गुणज होना चाहिए,अर्थात $\delta = (2n-1)\frac{\lambda}{2}$ जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ है।
$\delta = \frac{b^2}{2d}$ रखने पर,हमें $\frac{b^2}{2d} = (2n-1)\frac{\lambda}{2}$ प्राप्त होता है।
$n=1$ के लिए,$\frac{b^2}{2d} = \frac{\lambda_1}{2} \implies \lambda_1 = \frac{b^2}{d}$।
$n=2$ के लिए,$\frac{b^2}{2d} = \frac{3\lambda_2}{2} \implies \lambda_2 = \frac{b^2}{3d}$।
अतः,अनुपस्थित तरंगदैर्घ्य $\frac{b^2}{d}$ और $\frac{b^2}{3d}$ हैं।

(C) द्वि-स्लिट प्रयोग में परिणामी तीव्रता $I_R$ का सूत्र है: $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$।
यहाँ प्रत्येक स्लिट से प्राप्त तीव्रता $I_1 = I_2 = I$ है और कलांतर $\phi = 60^{\circ}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$I_R = I + I + 2\sqrt{I \cdot I} \cos 60^{\circ}$
$I_R = 2I + 2I \cdot (1/2)$
$I_R = 2I + I = 3I$।
अतः,परिणामी तीव्रता $3I$ है।

(D) कलांतर $\Delta \phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$ है।
यहाँ $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$ दिया गया है,इसलिए $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3}$ होगा।
किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_0 \cos^2 \left( \frac{\Delta \phi}{2} \right)$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0$ अधिकतम तीव्रता है।
$\Delta \phi$ का मान रखने पर,$I = I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi/3}{2} \right) = I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi}{6} \right)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $I = I_0 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = I_0 \cdot \frac{3}{4}$ होगा।
अतः,$\frac{I}{I_0} = \frac{3}{4}$ है।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,पर्दे पर किसी भी बिंदु पर संपोषी या विनाशी व्यतिकरण की स्थिति दो स्लिटों से आने वाली तरंगों के बीच पथ अंतर पर आधारित होती है।
मान लीजिए कि स्लिट $S_1$ और $S_2$ पर स्थित हैं। पर्दे पर किसी बिंदु $P(x, y)$ के लिए,पथ अंतर $\Delta = S_2P - S_1P = n\lambda$ (उच्चिष्ठ के लिए) या $(n + 1/2)\lambda$ (निम्निष्ठ के लिए) होता है।
दो निश्चित बिंदुओं (स्लिट्स) से समान पथ अंतर वाले बिंदुओं का बिंदुपथ एक अतिपरवलय (Hyperbola) होता है।
इसलिए,पर्दे पर बनने वाली व्यतिकरण फ्रिंजें अतिपरवलयाकार होती हैं।

(A) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में $n$-वीं उच्चिष्ठ की स्थिति का सूत्र $x_n = \frac{n \lambda D}{d}$ है,जहाँ $n$ उच्चिष्ठ का क्रम है,$\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ झिरियों और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ दोनों झिरियों के बीच की दूरी है।
$\lambda_1$ तरंगदैर्ध्य के लिए सातवीं उच्चिष्ठ $(n=7)$ की केंद्रीय उच्चिष्ठ से दूरी $d_1 = \frac{7 \lambda_1 D}{d}$ है।
$\lambda_2$ तरंगदैर्ध्य के लिए सातवीं उच्चिष्ठ $(n=7)$ की केंद्रीय उच्चिष्ठ से दूरी $d_2 = \frac{7 \lambda_2 D}{d}$ है।
दोनों दूरियों का अनुपात लेने पर:
$\frac{d_1}{d_2} = \frac{\frac{7 \lambda_1 D}{d}}{\frac{7 \lambda_2 D}{d}} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$.

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग के लिए फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र है: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$।
दिए गए मान हैं:
$\lambda = 6000 \, \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10} \, m = 6 \times 10^{-7} \, m$
$D = 1 \, m$
$d = 0.6 \, mm = 0.6 \times 10^{-3} \, m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\beta = \frac{6 \times 10^{-7} \times 1}{0.6 \times 10^{-3}}$
$\beta = \frac{6}{0.6} \times 10^{-4} = 10 \times 10^{-4} = 10^{-3} \, m$
चूंकि $10^{-3} \, m = 1 \, mm$,इसलिए दो क्रमागत अदीप्त फ्रिंजों के बीच की दूरी $1 \, mm$ है।

(B) पर्दे पर केंद्रीय बिंदु $O$ पर पथ अंतर,जब स्रोत $S$ केंद्रीय अक्ष से $y$ दूरी पर हो,$\Delta x = \frac{a y}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
केंद्रीय बिंदु पर संपोषी व्यतिकरण (अधिकतम चमक) के लिए,पथ अंतर तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए: $\Delta x = n \lambda$,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$ है।
अतः,$\frac{a y}{h} = n \lambda \Rightarrow y = \frac{n \lambda h}{a}$।
स्रोत का वेग $v = \frac{dy}{dt}$ है।
क्रम $n$ के परिवर्तन की दर $\frac{dn}{dt} = \frac{a}{h \lambda} \frac{dy}{dt} = \frac{a v}{h \lambda}$ द्वारा दी जाती है।
यह केंद्रीय बिंदु से गुजरने वाली फ्रिंजों की आवृत्ति को दर्शाता है,जो चमक में परिवर्तन की आवृत्ति के अनुरूप है।

(D) संपोषी व्यतिकरण के लिए,$n$-वीं दीप्त फ्रिंज के लिए पथ अंतर $\Delta x = n\lambda$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ फ्रिंज का क्रम है।
तीसरी दीप्त फ्रिंज के लिए,$n = 3$,इसलिए पथ अंतर $\Delta x = 3\lambda$ होगा।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच का संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$ है।
$\Delta x$ का मान रखने पर,हमें $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times 3\lambda = 6\pi$ प्राप्त होता है।
अतः,कलांतर $6\pi$ है।