Young's Double Slit Experiment (YDSE) Questions in Hindi

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $n$-वें उच्चिष्ठ की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम उच्चिष्ठ के लिए,$n = 1$,इसलिए $y_1 = \frac{\lambda D}{d}$।
प्रथम उच्चिष्ठ जिस गति से चलता है उसे ज्ञात करने के लिए,हम समय $t$ के सापेक्ष स्थिति का अवकलन करते हैं:
$v = \frac{dy_1}{dt} = \frac{\lambda}{d} \frac{dD}{dt}$।
दिए गए मान $\lambda = 500 \, nm = 500 \times 10^{-9} \, m$,$d = 0.4 \, mm = 0.4 \times 10^{-3} \, m$,और $\frac{dD}{dt} = 4 \, m/s$ हैं।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$v = \frac{500 \times 10^{-9} \, m}{0.4 \times 10^{-3} \, m} \times 4 \, m/s$।
$v = \frac{500 \times 10^{-6}}{0.4} \times 4 = 500 \times 10^{-6} \times 10 = 5000 \times 10^{-6} \, m/s = 5 \times 10^{-3} \, m/s$।
$mm/s$ में बदलने पर:
$v = 5 \, mm/s$।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में केंद्र से $n^{\text{th}}$ अदीप्त फ्रिंज की दूरी $y_n = (2n - 1) \frac{\lambda D}{2d}$ द्वारा दी जाती है।
$5^{\text{th}}$ अदीप्त फ्रिंज के लिए,$n = 5$,इसलिए $y_5 = (2(5) - 1) \frac{\lambda D}{2d} = \frac{9 \lambda D}{2d}$.
दिया गया है कि $y_5 = 4 \, mm = 4 \times 10^{-3} \, m$,$D = 2 \, m$,और $\lambda = 600 \, nm = 6 \times 10^{-7} \, m$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$4 \times 10^{-3} = \frac{9 \times (6 \times 10^{-7}) \times 2}{2d}$.
$4 \times 10^{-3} = \frac{9 \times 6 \times 10^{-7}}{d}$.
$d = \frac{54 \times 10^{-7}}{4 \times 10^{-3}} = 13.5 \times 10^{-4} \, m = 1.35 \times 10^{-3} \, m$.
अतः,$d = 1.35 \, mm$.

(D) $YDSE$ में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{0} \cos^{2} \left( \frac{\phi}{2} \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_{0}$ अधिकतम तीव्रता है और $\phi$ कलांतर है।
दिया गया है कि तीव्रता $I = \frac{I_{0}}{2}$,इसलिए:
$\frac{I_{0}}{2} = I_{0} \cos^{2} \left( \frac{\phi}{2} \right)$
$\cos^{2} \left( \frac{\phi}{2} \right) = \frac{1}{2}$
$\cos \left( \frac{\phi}{2} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{4} \implies \phi = \frac{\pi}{2}$.
पथान्तर $\Delta x$ कलांतर $\phi$ से $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \phi$ द्वारा संबंधित है।
$\phi = \frac{\pi}{2}$ रखने पर,हमें $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\lambda}{4}$ प्राप्त होता है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ से दूरी $y$,$y = \frac{\Delta x D}{a}$ द्वारा दी जाती है।
मान $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$,$D = 2 \, m$,$a = 2 \times 10^{-3} \, m$,और $\lambda = 500 \times 10^{-9} \, m$ रखने पर:
$y = \frac{\lambda D}{4a} = \frac{500 \times 10^{-9} \times 2}{4 \times 2 \times 10^{-3}}$
$y = \frac{1000 \times 10^{-9}}{8 \times 10^{-3}} = 125 \times 10^{-6} \, m = 125 \, \mu m$.

(B) यंग के डबल स्लिट प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
यहाँ,$\beta = 6 \ mm = 6 \times 10^{-3} \ m$,$d = 1 \ mm = 1 \times 10^{-3} \ m$,और $D = 10 \ m$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\lambda = \frac{\beta d}{D} = \frac{(6 \times 10^{-3} \ m) \times (1 \times 10^{-3} \ m)}{10 \ m}$.
$\lambda = \frac{6 \times 10^{-6}}{10} \ m = 6 \times 10^{-7} \ m$.
इसे नैनोमीटर $(nm)$ में बदलने के लिए,हम $10^9$ से गुणा करते हैं:
$\lambda = 6 \times 10^{-7} \times 10^9 \ nm = 600 \ nm$.
अतः,$x$ का मान $600$ है।

(B) फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
दिया गया है: $\lambda = 5890 \, \text{Å} = 5890 \times 10^{-10} \, m$, $D = 0.5 \, m$, और $d = 0.5 \, mm = 0.5 \times 10^{-3} \, m$.
मान रखने पर: $\beta = \frac{5890 \times 10^{-10} \times 0.5}{0.5 \times 10^{-3}} = 5890 \times 10^{-7} \, m = 589 \times 10^{-6} \, m$.
$n$-वीं और $m$-वीं दीप्त फ्रिंज के बीच की दूरी $(n-m) \beta$ होती है।
पहली और तीसरी दीप्त फ्रिंज के लिए, दूरी $(3-1) \beta = 2 \beta$ होगी।
दूरी $= 2 \times 589 \times 10^{-6} \, m = 1178 \times 10^{-6} \, m$.

(C) दिया गया है कि आयाम $A$,स्लिट की चौड़ाई $w$ के समानुपाती है,इसलिए $A \propto w$।
मान लीजिए चौड़ाई $w_1$ और $w_2$ है,जहाँ $w_2 = 3w_1$ है। इसलिए,आयाम $A_1$ और $A_2 = 3A_1$ होंगे।
तीव्रता $I$,आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है,$I \propto A^2$।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{A_1 + A_2}{|A_1 - A_2|}\right)^2$
समीकरण में $A_2 = 3A_1$ रखने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{A_1 + 3A_1}{|A_1 - 3A_1|}\right)^2$
$= \left(\frac{4A_1}{2A_1}\right)^2$
$= (2)^2 = 4$
अतः,अनुपात $4: 1$ है।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई (फ्रिंज पृथक्करण) का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
दिए गए मान हैं:
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 500 \, nm = 500 \times 10^{-9} \, m$.
स्लिट्स के बीच की दूरी $d = 2 \, mm = 2 \times 10^{-3} \, m$.
स्क्रीन की दूरी $D = 1 \, m$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\beta = \frac{500 \times 10^{-9} \times 1}{2 \times 10^{-3}}$
$\beta = 250 \times 10^{-6} \, m$
$\beta = 0.25 \times 10^{-3} \, m$
चूंकि $10^{-3} \, m = 1 \, mm$,इसलिए $\beta = 0.25 \, mm$ प्राप्त होता है।

(A) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ पर्दे और झिरियों के बीच की दूरी है,और $d$ झिरियों के बीच की दूरी है।
हम जानते हैं कि लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda_{R}$,बैंगनी प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda_{V}$ से अधिक होती है (अर्थात $\lambda_{R} > \lambda_{V}$)।
चूंकि $\beta$,$\lambda$ के सीधे समानुपाती है $(\beta \propto \lambda)$,इसलिए $\beta_{R} > \beta_{V}$ होगा।
जब प्रकाश स्रोत को लाल से बदलकर बैंगनी कर दिया जाता है,तो फ्रिंज की चौड़ाई कम हो जाती है,जिसका अर्थ है कि क्रमागत फ्रिंज रेखाएं एक-दूसरे के करीब आ जाएंगी।

(C) $n$-वीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y = n \frac{D \lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है।
पहली दीप्त फ्रिंज $(n = 1)$ के लिए,स्थिति $y = \frac{D \lambda}{d}$ है।
यहाँ $D = 1.5 \, m$,$d = 0.3 \, mm = 0.3 \times 10^{-3} \, m$ दिया गया है।
लाल प्रकाश के लिए,$y_r = 3.5 \, mm = 3.5 \times 10^{-3} \, m$। अतः,$\lambda_r = \frac{y_r d}{D} = \frac{3.5 \times 10^{-3} \times 0.3 \times 10^{-3}}{1.5} = 0.7 \times 10^{-6} \, m = 700 \, nm$।
बैंगनी प्रकाश के लिए,$y_v = 2.0 \, mm = 2.0 \times 10^{-3} \, m$। अतः,$\lambda_v = \frac{y_v d}{D} = \frac{2.0 \times 10^{-3} \times 0.3 \times 10^{-3}}{1.5} = 0.4 \times 10^{-6} \, m = 400 \, nm$।
तरंगदैर्ध्य में अंतर $\Delta \lambda = \lambda_r - \lambda_v = 700 \, nm - 400 \, nm = 300 \, nm$ है।

(D) केंद्रीय फ्रिंज से $n^{\text{वीं}}$ दीप्त फ्रिंज की दूरी $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों ओर की $4^{\text{थी}}$ दीप्त फ्रिंजों के बीच की दूरी $2 y_4 = 2 \times \frac{4 \lambda D}{d} = \frac{8 \lambda D}{d}$ है।
दिया गया है: $2 y_4 = 2.4 \, cm = 2.4 \times 10^{-2} \, m$, $D = 1.5 \, m$, $d = 0.3 \, mm = 0.3 \times 10^{-3} \, m$.
$\lambda = \frac{c}{f}$ का उपयोग करते हुए, $\frac{8 \times c \times D}{f \times d} = 2.4 \times 10^{-2}$.
मान रखने पर: $\frac{8 \times (3 \times 10^8) \times 1.5}{f \times (0.3 \times 10^{-3})} = 2.4 \times 10^{-2}$.
$\frac{36 \times 10^8}{f \times 0.3 \times 10^{-3}} = 2.4 \times 10^{-2}$.
$f = \frac{36 \times 10^{11}}{0.3 \times 2.4 \times 10^{-2}} = \frac{36 \times 10^{13}}{0.72} = 50 \times 10^{13} = 5 \times 10^{14} \, Hz$.

(A) दिया गया है कि आयाम $A$,स्लिट की चौड़ाई $w$ के समानुपाती है,इसलिए $A \propto w$ है।
चूंकि तीव्रता $I$,आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है,इसलिए $I \propto A^2 \propto w^2$ है।
मान लीजिए चौड़ाई $w_1 = 3w_0$ और $w_2 = w_0$ है। तब तीव्रताएं $I_1$ और $I_2$ इस प्रकार होंगी कि $\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{w_1}{w_2}\right)^2 = \left(\frac{3}{1}\right)^2 = 9$ है।
अतः,$I_1 = 9I_2$ है। यदि $I_2 = I$ लें,तो $I_1 = 9I$ होगा।
न्यूनतम और अधिकतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{\min}}{I_{\max}} = \left(\frac{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}\right)^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{I_{\min}}{I_{\max}} = \left(\frac{\sqrt{9I} - \sqrt{I}}{\sqrt{9I} + \sqrt{I}}\right)^2 = \left(\frac{3\sqrt{I} - \sqrt{I}}{3\sqrt{I} + \sqrt{I}}\right)^2 = \left(\frac{2\sqrt{I}}{4\sqrt{I}}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ है।
चूंकि अनुपात $x:4$ दिया गया है,इसलिए $\frac{x}{4} = \frac{1}{4}$,जिसका अर्थ है कि $x = 1$ है।

(B) फ्रिंज चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
फ्रिंज चौड़ाई अधिकतम होने के लिए,स्लिट पृथक्करण $d$ न्यूनतम होना चाहिए और फ्रिंज चौड़ाई न्यूनतम होने के लिए,स्लिट पृथक्करण $d$ अधिकतम होना चाहिए।
स्लिट पृथक्करण $d(t) = d_{0} + a_{0} \sin \omega t$ है।
$d$ का अधिकतम मान $d_{\max} = d_{0} + a_{0}$ है और $d$ का न्यूनतम मान $d_{\min} = d_{0} - a_{0}$ है।
इसलिए,न्यूनतम फ्रिंज चौड़ाई $\beta_{\min} = \frac{\lambda D}{d_{0} + a_{0}}$ है और अधिकतम फ्रिंज चौड़ाई $\beta_{\max} = \frac{\lambda D}{d_{0} - a_{0}}$ है।
सबसे बड़ी और सबसे छोटी फ्रिंज चौड़ाई के बीच का अंतर $\beta_{\max} - \beta_{\min} = \frac{\lambda D}{d_{0} - a_{0}} - \frac{\lambda D}{d_{0} + a_{0}}$ है।
इस व्यंजक को सरल करने पर: $\beta_{\max} - \beta_{\min} = \lambda D \left( \frac{(d_{0} + a_{0}) - (d_{0} - a_{0})}{d_{0}^{2} - a_{0}^{2}} \right) = \frac{2 \lambda D a_{0}}{d_{0}^{2} - a_{0}^{2}}$।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
यहाँ,$\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है,$D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
जब प्रकाश का स्रोत नारंगी से नीले रंग में बदलता है,तो तरंगदैर्घ्य $\lambda$ कम हो जाती है क्योंकि नीले प्रकाश की तरंगदैर्घ्य नारंगी प्रकाश की तुलना में कम होती है।
चूंकि $\beta \propto \lambda$,इसलिए जैसे-जैसे तरंगदैर्घ्य $\lambda$ घटती है,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ (क्रमागत फ्रिंजों के बीच की दूरी) भी घट जाती है।

(C) पर्दे पर खंड की चौड़ाई $y = n \beta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ फ्रिंज की चौड़ाई है।
अतः,$y = n \lambda \left(\frac{D}{d}\right)$.
चूँकि खंड की लंबाई $y$ और प्रायोगिक मापदंड $D$ और $d$ स्थिर रहते हैं,इसलिए $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$ होगा।
दिया गया है $n_1 = 8$,$\lambda_1 = 600 \ nm$,और $\lambda_2 = 400 \ nm$.
मान रखने पर: $8 \times 600 = n_2 \times 400$.
$n_2 = \frac{8 \times 600}{400} = \frac{4800}{400} = 12$.
इसलिए,छात्र $12$ फ्रिंज देखेगा।

(A) दिया गया है: स्लिट पृथक्करण $d = 0.6 \; mm = 0.6 \times 10^{-3} \; m$. पर्दे की दूरी $D = 80 \; cm = 0.8 \; m$.
केंद्रीय अक्ष से पहली अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $y = \frac{D \lambda}{2d}$ द्वारा दी जाती है।
प्रश्न के अनुसार,पहली अदीप्त फ्रिंज एक स्लिट के ठीक सामने देखी जाती है,जिसका अर्थ है कि केंद्रीय अक्ष से इसकी दूरी $y = \frac{d}{2}$ है।
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $\frac{D \lambda}{2d} = \frac{d}{2}$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = \frac{d^2}{D}$.
मान रखने पर: $\lambda = \frac{(0.6 \times 10^{-3})^2}{0.8} = \frac{0.36 \times 10^{-6}}{0.8} = 0.45 \times 10^{-6} \; m$.
नैनोमीटर में बदलने पर: $\lambda = 450 \times 10^{-9} \; m = 450 \; nm$.

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की कोणीय चौड़ाई $\theta = \frac{\lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्घ्य है और $d$ स्लिटों के बीच की दूरी है।
जब प्रणाली को $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में डुबोया जाता है,तो तरंगदैर्घ्य बदलकर $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है।
इसलिए,नई कोणीय चौड़ाई $\theta'$ का मान $\theta' = \frac{\lambda'}{d} = \frac{\lambda}{\mu d} = \frac{\theta}{\mu}$ होता है।
दिया गया है कि $\theta = 0.35^{\circ}$ और $\mu = 7/5 = 1.4$ है।
अतः,$\theta' = \frac{0.35^{\circ}}{1.4} = \frac{0.35}{1.4} = \frac{35}{140} = \frac{1}{4}^{\circ}$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{1}{\alpha}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 4$ प्राप्त होता है।

(B) यंग के डबल स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्घ्य है,$D$ पर्दे की दूरी है और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
जब पर्दे को $\Delta D$ विस्थापित किया जाता है,तो फ्रिंज की चौड़ाई में परिवर्तन $\Delta \beta = \frac{\lambda}{d} \Delta D$ होता है।
दिया गया है: $\Delta D = 5 \times 10^{-2} \,m$,$\Delta \beta = 3 \times 10^{-3} \,cm = 3 \times 10^{-5} \,m$,और $d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$.
$\lambda$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\lambda = \frac{\Delta \beta \cdot d}{\Delta D}$.
मान रखने पर: $\lambda = \frac{3 \times 10^{-5} \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-2}} = \frac{3 \times 10^{-8}}{5 \times 10^{-2}} = 0.6 \times 10^{-6} \,m$.
नैनोमीटर में बदलने पर: $\lambda = 600 \times 10^{-9} \,m = 600 \,nm$.

(D) फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ है,जहाँ $D$ पर्दे और स्लिट्स के बीच की दूरी है,$\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
प्रथम स्थिति के लिए दिया गया है:
$\lambda_1 = 5000 \,\mathring A$,$d_1 = d$,$\beta_1 = 0.5 \,mm$.
अतः,$\beta_1 = \frac{D \lambda_1}{d} = 0.5 \,mm$ ... $(I)$
दूसरी स्थिति के लिए:
$\lambda_2 = 6000 \,\mathring A$,$d_2 = 2d$,$\beta_2 = ?$
अतः,$\beta_2 = \frac{D \lambda_2}{d_2} = \frac{D \times 6000 \,\mathring A}{2d}$ ... $(II)$
$(II)$ को $(I)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\beta_2}{\beta_1} = \frac{D \times 6000 \,\mathring A / 2d}{D \times 5000 \,\mathring A / d} = \frac{6000}{2 \times 5000} = \frac{6}{10} = 0.6$
अतः,$\beta_2 = 0.6 \times \beta_1 = 0.6 \times 0.5 \,mm = 0.3 \,mm$.

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
जब पूरी व्यवस्था को $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में रखा जाता है,तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है।
परिणामस्वरूप,नई फ्रिंज की चौड़ाई $\beta' = \frac{\lambda' D}{d} = \frac{\lambda D}{\mu d} = \frac{\beta}{\mu}$ हो जाती है।
यहाँ $\beta = 12 \ mm$ और $\mu = \frac{4}{3}$ दिया गया है,इसलिए नई फ्रिंज की चौड़ाई $\beta' = \frac{12}{4/3} = 12 \times \frac{3}{4} = 9 \ mm$ होगी।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ होता है।
चूंकि $D$ और $d$ स्थिर हैं,इसलिए $\beta \propto \lambda$ होता है।
अतः,$\frac{\beta_2}{\beta_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$।
दिया गया है: $\beta_1 = 7.2\,mm$,$\lambda_1 = 560\,nm$,और $\beta_2 = 8.1\,mm$।
मान रखने पर: $\frac{8.1}{7.2} = \frac{\lambda_2}{560}$।
$\lambda_2 = \frac{8.1}{7.2} \times 560 = \frac{9}{8} \times 560$।
$\lambda_2 = 9 \times 70 = 630\,nm$।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,स्क्रीन पर किसी भी बिंदु पर तीव्रता व्यक्तिगत तरंगदैर्ध्य के कारण तीव्रता का योग होती है क्योंकि वे एक-दूसरे के सापेक्ष असंगत (incoherent) होते हैं।
$I_{0}$ स्लिट तीव्रता वाली एक तरंगदैर्ध्य के लिए,अधिकतम तीव्रता $I_{\max} = (\sqrt{I_{0}} + \sqrt{I_{0}})^2 = 4I_{0}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि स्रोत $400 \,nm$ और $800 \,nm$ दो तरंगदैर्ध्य उत्सर्जित करता है,जिनमें से प्रत्येक की स्लिट तीव्रता $I_{0}$ है,इसलिए प्रत्येक तरंगदैर्ध्य के लिए अधिकतम तीव्रता $4I_{0}$ है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ (central maxima) पर,दोनों तरंगदैर्ध्य एक साथ अपनी संबंधित अधिकतम तीव्रता उत्पन्न करते हैं।
इसलिए,कुल अधिकतम तीव्रता $I_{\text{total}} = 4I_{0} + 4I_{0} = 8I_{0}$ है।

(C) जब $A_{1}$ और $A_{2}$ आयाम वाली दो तरंगें $\phi$ कलांतर के साथ व्यतिकरण करती हैं,तो परिणामी तीव्रता $I = I_{1} + I_{2} + 2\sqrt{I_{1}I_{2}} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि तीव्रता $I \propto A^{2}$,हम लिख सकते हैं $I = A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + 2A_{1}A_{2} \cos \phi$.
यहाँ $A_{1} = A$ और $A_{2} = 2A$ दिया गया है,इसलिए परिणामी तीव्रता:
$I = A^{2} + (2A)^{2} + 2(A)(2A) \cos \phi = A^{2}(1 + 4 + 4 \cos \phi) = A^{2}(5 + 4 \cos \phi) \quad \dots (i)$.
अधिकतम तीव्रता $I_{0}$ तब होती है जब $\cos \phi = 1$:
$I_{0} = A^{2}(5 + 4(1)) = 9A^{2} \implies A^{2} = \frac{I_{0}}{9} \quad \dots (ii)$.
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{I_{0}}{9}(5 + 4 \cos \phi)$.

(B) जब इलेक्ट्रॉनों को $V$ वोल्ट के विभव के माध्यम से त्वरित किया जाता है,तो इलेक्ट्रॉनों द्वारा प्राप्त संवेग $p = \sqrt{2meV}$ होता है,जहाँ $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,$e$ आवेश है और $V$ विभव है।
इन इलेक्ट्रॉनों से जुड़ी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ होती है।
यंग के डबल स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $D$ स्क्रीन की दूरी है और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
$\lambda$ का मान रखने पर,हमें $\beta = \frac{hD}{d\sqrt{2meV}}$ प्राप्त होता है। अतः,$\beta \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
यदि विभव को दोगुना कर दिया जाए $(V_f = 2V_i)$,तो नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta_f = \frac{\beta_i}{\sqrt{2}} = \frac{\omega}{\sqrt{2}} \approx 0.707\omega$ होगी।
इसलिए,चौड़ाई $0.7\omega$ के करीब है।

(B) त्वरित इलेक्ट्रॉन तरंग प्रकृति प्रदर्शित करते हैं और इसलिए वे व्यतिकरण पैटर्न बनाते हैं। पैटर्न की फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ को $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ इलेक्ट्रॉनों से जुड़ी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}} = \frac{h}{\sqrt{2meU}}$ द्वारा दी जाती है।
इसे फ्रिंज चौड़ाई के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\beta = \frac{hD}{d\sqrt{2meU}}$।
चूंकि $h, D, d, m,$ और $e$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\beta \propto \frac{1}{\sqrt{U}}$ है।
मान लीजिए कि $U$ विभव के साथ प्रारंभिक फ्रिंज चौड़ाई $\beta_i$ है और $4U$ विभव के साथ अंतिम फ्रिंज चौड़ाई $\beta_f$ है।
अतः,$\frac{\beta_f}{\beta_i} = \sqrt{\frac{U}{4U}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$।
इसलिए,$\beta_f = \frac{1}{2} \beta_i$,जिसका अर्थ है कि फ्रिंज की चौड़ाई अपने प्रारंभिक मान की आधी हो जाती है।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,स्क्रीन पर किसी भी बिंदु पर परिणामी तीव्रता $I$ को $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I_1 = I_2 = I_0$ है।
अतः,$I = 2 I_0 + 2 I_0 \cos \phi = 4 I_0 \cos^2(\phi / 2)$.
$1$. न्यूनतम तीव्रता तब होती है जब $\cos^2(\phi / 2) = 0$ हो,इसलिए $I_{\min} = 0$.
$2$. अधिकतम तीव्रता तब होती है जब $\cos^2(\phi / 2) = 1$ हो,इसलिए $I_{\max} = 4 I_0$.
$3$. पूरी स्क्रीन पर औसत तीव्रता $I_{\text{avg}}$ एक ज्यावक्रीय (sinusoidal) व्यतिकरण पैटर्न के लिए $I_{\max}$ और $I_{\min}$ का औसत है,जो $I_{\text{avg}} = \frac{I_{\max} + I_{\min}}{2} = \frac{4 I_0 + 0}{2} = 2 I_0$ है।
अतः,मान $0, 4 I_0, 2 I_0$ हैं।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,फ्रिंज की चौड़ाई (फ्रिंज पृथक्करण) $\beta$ का सूत्र है:
$\beta = \frac{\lambda D}{d}$
चूंकि तरंगदैर्ध्य $\lambda$ आवृत्ति $f$ से $\lambda = \frac{c}{f}$ द्वारा संबंधित है,जहाँ $c$ प्रकाश की गति है,हम इसे सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$\beta = \frac{cD}{fd}$
यह मानते हुए कि स्लिट्स के बीच की दूरी $d$ और पर्दे तक की दूरी $D$ स्थिर रहती है,फ्रिंज की चौड़ाई आवृत्ति के व्युत्क्रमानुपाती होती है:
$\beta \propto \frac{1}{f}$
दिया गया है कि प्रारंभिक फ्रिंज पृथक्करण $\beta_1 = 1.0 \,mm$ है जब आवृत्ति $f_1 = f$ है। जब आवृत्ति को दोगुना $(f_2 = 2f)$ किया जाता है,तो नया फ्रिंज पृथक्करण $\beta_2$ होगा:
$\beta_2 = \beta_1 \times \frac{f_1}{f_2} = 1.0 \,mm \times \frac{f}{2f} = 0.5 \,mm$
अतः,चमकीली फ्रिंजों का नया पृथक्करण $0.5 \,mm$ है।

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक स्रोत की तीव्रता $I_0$ है। अधिकतम तीव्रता $I_{max} = 4I_0$ होती है।
दिया गया है कि बिंदु पर तीव्रता अधिकतम तीव्रता की $75 \%$ है,इसलिए $I = 0.75 \times 4I_0 = 3I_0$ है।
व्यतिकरण में तीव्रता के सूत्र का उपयोग करने पर,$I = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$,जहाँ $\phi$ कलांतर है:
$3I_0 = 4I_0 \cos^2(\phi/2) \implies \cos^2(\phi/2) = 3/4 \implies \cos(\phi/2) = \sqrt{3}/2$।
अतः,$\phi/2 = \pi/6$,जिससे कलांतर $\phi = \pi/3$ प्राप्त होता है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = (2\pi/\lambda) \Delta x$ है। इसलिए,$\Delta x = (\lambda/2\pi) \times \phi = (\lambda/2\pi) \times (\pi/3) = \lambda/6$।
यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,केंद्रीय फ्रिंज से $y$ दूरी पर पथ अंतर $\Delta x = yd/D$ होता है।
पथ अंतर के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $yd/D = \lambda/6$।
$y$ के लिए हल करने पर: $y = (\lambda D) / (6d)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda = 600 \times 10^{-9} \,m$,$D = 1 \,m$,$d = 0.1 \times 10^{-3} \,m$।
$y = (600 \times 10^{-9} \times 1) / (6 \times 0.1 \times 10^{-3}) = (600 \times 10^{-9}) / (0.6 \times 10^{-3}) = 1000 \times 10^{-6} \,m = 1 \times 10^{-3} \,m = 1 \,mm$।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $(\beta)$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश स्रोत की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट्स और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ दोनों स्लिट्स के बीच की दूरी है।
संबंध $\beta \propto \frac{1}{d}$ से यह स्पष्ट है कि फ्रिंज की चौड़ाई स्लिट्स के बीच की दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
इसलिए,यदि हम स्लिट्स के बीच की दूरी $(d)$ को घटाते हैं,तो फ्रिंज की चौड़ाई $(\beta)$ बढ़ जाएगी।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,दोनों स्लिट प्रकाश के कला-संबद्ध (coherent) स्रोतों के रूप में कार्य करती हैं।
कला-संबद्ध स्रोत वे स्रोत होते हैं जो समान आवृत्ति की प्रकाश तरंगें उत्सर्जित करते हैं और उनके बीच का कलांतर स्थिर रहता है।
इसे प्राप्त करने के लिए,दोनों स्लिट को एक ही एकवर्णी प्रकाश स्रोत से प्रकाशित किया जाना चाहिए।
इसलिए,सही कथन यह है कि दोनों स्लिट एक ही एकवर्णी प्रकाश स्रोत से प्रकाश प्राप्त करती हैं।
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(B) केंद्रीय उच्चिष्ठ से $n^{\text{th}}$ चमकीली फ्रिंज की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$n^{\text{th}}$ लाल चमकीली फ्रिंज के लिए: $y_{R,n} = \frac{n \lambda_R D}{d}$.
$(n+1)^{\text{th}}$ नीली चमकीली फ्रिंज के लिए: $y_{B,n+1} = \frac{(n+1) \lambda_B D}{d}$.
चूंकि ये दोनों फ्रिंज संपाती हैं,इसलिए $y_{R,n} = y_{B,n+1}$.
अतः,$\frac{n \lambda_R D}{d} = \frac{(n+1) \lambda_B D}{d}$.
दोनों पक्षों से $D/d$ को हटाने पर,हमें $n \lambda_R = (n+1) \lambda_B$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $n(7.8 \times 10^{-5}) = (n+1)(5.2 \times 10^{-5})$.
$7.8n = 5.2n + 5.2$.
$2.6n = 5.2$.
$n = 2$.

(C) छिद्र पर संपोषी व्यतिकरण के लिए,पथ अंतर $\Delta x$ तरंग दैर्ध्य $\lambda$ का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए।
$\Delta x = d \sin \theta \approx d \frac{y}{D} = n \lambda$
दिया गया है: $y = 1.0 \, mm = 10^{-3} \, m$,$d = 0.5 \, mm = 0.5 \times 10^{-3} \, m$,$D = 50 \, cm = 0.5 \, m$.
मान रखने पर:
$n \lambda = \frac{d \cdot y}{D} = \frac{(0.5 \times 10^{-3} \, m) \times (1.0 \times 10^{-3} \, m)}{0.5 \, m} = 1.0 \times 10^{-6} \, m = 1000 \, nm$.
अतः,$\lambda = \frac{1000}{n} \, nm$.
$n = 1$ के लिए,$\lambda = 1000 \, nm$ (सीमा में नहीं है)।
$n = 2$ के लिए,$\lambda = 500 \, nm$ (सीमा में है)।
$n = 3$ के लिए,$\lambda = 333.3 \, nm$ (सीमा में नहीं है)।
इस प्रकार,प्रबल तीव्रता वाली तरंग दैर्ध्य $500 \, nm$ है।

(D) कलांतर $\Delta \phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$ होता है।
यहाँ $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$ दिया गया है,इसलिए $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
किसी बिंदु पर तीव्रता $I$ का सूत्र $I = I_0 \cos^2 \left( \frac{\Delta \phi}{2} \right)$ है,जहाँ $I_0$ अधिकतम तीव्रता है।
$\Delta \phi$ का मान रखने पर,$I = I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi/3}{2} \right) = I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi}{6} \right)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $I = I_0 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = I_0 \times \frac{3}{4}$ होता है।
अतः,अनुपात $\frac{I}{I_0} = \frac{3}{4}$ है।

(A) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र है: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ झिरियों और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ झिरियों के बीच की दूरी है।
प्रश्न के अनुसार,झिरियों के बीच की दूरी $d$ को $3$ गुना कर दिया गया है,इसलिए नई दूरी $d' = 3d$ होगी।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ इस प्रकार होगी: $\beta' = \frac{\lambda D}{d'} = \frac{\lambda D}{3d}$.
मूल सूत्र को प्रतिस्थापित करने पर: $\beta' = \frac{1}{3} \left( \frac{\lambda D}{d} \right) = \frac{\beta}{3}$.
अतः,फ्रिंज की चौड़ाई मूल चौड़ाई की $\frac{1}{3}$ गुना हो जाती है।

(D) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ झिरी और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ झिरियों के बीच की दूरी है।
दिया गया है कि झिरियों के बीच की नई दूरी $d' = \frac{d}{2}$ है और झिरी तथा पर्दे के बीच की नई दूरी $D' = 2D$ है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ इस प्रकार होगी:
$\beta' = \frac{\lambda D'}{d'} = \frac{\lambda (2D)}{d/2} = 4 \left( \frac{\lambda D}{d} \right) = 4\beta$.
अतः,फ्रिंज की चौड़ाई मूल फ्रिंज चौड़ाई की चार गुनी हो जाएगी।

(C) $n^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$5^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ $(n=5)$ के लिए,$y_5 = \frac{5 \lambda D}{d}$।
$n^{\text{th}}$ निम्निष्ठ की स्थिति $y'_n = \frac{(2n-1) \lambda D}{2d}$ द्वारा दी जाती है।
$3^{\text{rd}}$ निम्निष्ठ $(n=3)$ के लिए,$y'_3 = \frac{(2(3)-1) \lambda D}{2d} = \frac{5 \lambda D}{2d}$।
उनके बीच की दूरी $\Delta y = y_5 - y'_3 = \frac{5 \lambda D}{d} - \frac{5 \lambda D}{2d} = \frac{5 \lambda D}{2d}$ है।
चूंकि फ्रिंज चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,इसलिए दूरी $\Delta y = 2.5 \beta$ है।
अतः,दूरी फ्रिंज चौड़ाई की $2.5$ गुनी है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
बैंगनी प्रकाश की तरंगदैर्ध्य नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य से कम होती है $(\lambda_{\text{violet}} < \lambda_{\text{blue}})$।
चूंकि फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के सीधे आनुपातिक होती है $(\beta \propto \lambda)$,इसलिए तरंगदैर्ध्य में कमी होने से फ्रिंज की चौड़ाई में कमी आती है।
अतः,जब स्रोत को नीले से बैंगनी में बदला जाता है,तो फ्रिंज की चौड़ाई घट जाती है।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,$n$ वें निम्निष्ठ के लिए शर्त पथांतर $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
तीसरे निम्निष्ठ के लिए,हम सूत्र में $n = 3$ प्रतिस्थापित करते हैं।
$\Delta x = (2(3) - 1) \frac{\lambda}{2} = (6 - 1) \frac{\lambda}{2} = \frac{5 \lambda}{2}$.
अतः,तीसरे निम्निष्ठ के लिए पथांतर $\frac{5 \lambda}{2}$ है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $n^{th}$ क्रम के उच्चिष्ठ के लिए शर्त $y = \frac{n \lambda D}{d}$ है।
चूंकि अवलोकन बिंदु $y$ समान रहता है,इसलिए दोनों स्रोतों के लिए $n \lambda$ का गुणनफल स्थिर रहेगा।
अतः,$n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$ होगा।
दिया गया है कि $n_1 = 10$,$\lambda_1 = 7000 \; \mathring{A}$,और $\lambda_2 = 5000 \; \mathring{A}$ है।
मान रखने पर: $10 \times 7000 = n_2 \times 5000$।
$n_2 = \frac{10 \times 7000}{5000} = \frac{70000}{5000} = 14$।
इस प्रकार,उसी बिंदु पर $14^{th}$ क्रम का उच्चिष्ठ प्राप्त होगा।

(A) कोणीय फ्रिंज चौड़ाई $\alpha$ का सूत्र $\alpha = \frac{\lambda}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $d$ दो कला-संबद्ध स्रोतों के बीच की दूरी है।
$d$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,हमें $d = \frac{\lambda}{\alpha}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान $\lambda = 6280 \; \mathring{A} = 6280 \times 10^{-10} \; m$ और $\alpha = 1^{\circ}$ हैं।
सबसे पहले,कोणीय चौड़ाई को डिग्री से रेडियन में बदलें: $\alpha = 1^{\circ} = \frac{\pi}{180} \text{ rad} \approx \frac{3.14}{180} \text{ rad}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \frac{6280 \times 10^{-10} \times 180}{3.14}$.
$d = \frac{6280 \times 10^{-10} \times 180}{3.14} = 2000 \times 10^{-10} \times 180 = 360000 \times 10^{-10} \; m$.
$d = 3.6 \times 10^{-5} \; m$.
मीटर को मिलीमीटर में बदलने के लिए,$10^3$ से गुणा करें:
$d = 3.6 \times 10^{-5} \times 10^3 \; mm = 3.6 \times 10^{-2} \; mm = 0.036 \; mm$.

(D) $n$-वीं दीप्त फ्रिंज (उच्चिष्ठ) की स्थिति $y_n = n\beta$ होती है,जहाँ $\beta$ फ्रिंज चौड़ाई है।
प्रथम उच्चिष्ठ $(n=1)$ के लिए,$y_{max,1} = 1\beta$ है।
$n$-वीं अदीप्त फ्रिंज (निम्निष्ठ) की स्थिति $y'_n = (n - 0.5)\beta$ होती है।
पाँचवें निम्निष्ठ $(n=5)$ के लिए,$y_{min,5} = (5 - 0.5)\beta = 4.5\beta$ है।
प्रथम उच्चिष्ठ और पाँचवें निम्निष्ठ के बीच की दूरी $y_{min,5} - y_{max,1} = 4.5\beta - 1\beta = 3.5\beta = 7\,mm$ दी गई है।
अतः,फ्रिंज चौड़ाई $\beta = \frac{7\,mm}{3.5} = 2\,mm = 2 \times 10^{-3}\,m$ है।
फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $D = 50\,cm = 0.5\,m$ और $d = 0.15\,mm = 0.15 \times 10^{-3}\,m$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\lambda = \frac{\beta d}{D} = \frac{(2 \times 10^{-3}\,m)(0.15 \times 10^{-3}\,m)}{0.5\,m} = \frac{0.3 \times 10^{-6}}{0.5}\,m = 0.6 \times 10^{-6}\,m = 600 \times 10^{-9}\,m = 600\,nm$।

(A) दिया गया है:
झिरियों और पर्दे के बीच की दूरी,$D = 1\,m$.
प्रकाश की तरंगदैर्ध्य,$\lambda = 600\,nm = 600 \times 10^{-9}\,m$.
$n^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति,$y_n = 5\,cm = 5 \times 10^{-2}\,m$.
फ्रिंज का क्रम,$n = 5$.
$n^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति का सूत्र है:
$y_n = \frac{n \lambda D}{d}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$5 \times 10^{-2} = \frac{5 \times 600 \times 10^{-9} \times 1}{d}$
$d$ के लिए हल करने पर:
$d = \frac{5 \times 600 \times 10^{-9}}{5 \times 10^{-2}}$
$d = 600 \times 10^{-7}\,m = 60 \times 10^{-6}\,m$
चूंकि $1\,\mu m = 10^{-6}\,m$,इसलिए:
$d = 60\,\mu m$.

(C) $P$ बिंदु पर पहले निम्निष्ठ के लिए शर्त पथ अंतर $\Delta x = A_2 P - A_1 P = \frac{\lambda}{2}$ द्वारा दी जाती है।
चित्र की ज्यामिति से,$A_1 P = D$ और $A_2 P = \sqrt{D^2 + a^2}$ है।
अतः,$\sqrt{D^2 + a^2} - D = \frac{\lambda}{2}$।
$a \ll D$ के लिए द्विपद सन्निकटन का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sqrt{D^2 + a^2} = D(1 + \frac{a^2}{D^2})^{1/2} \approx D(1 + \frac{a^2}{2D^2}) = D + \frac{a^2}{2D}$।
इसे पथ अंतर समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(D + \frac{a^2}{2D}) - D = \frac{\lambda}{2}$।
यह सरल होकर $\frac{a^2}{2D} = \frac{\lambda}{2}$ देता है,जिससे $a = \sqrt{\lambda D}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\lambda = 800 \, nm = 800 \times 10^{-9} \, m = 8 \times 10^{-7} \, m$ और $D = 5 \, cm = 0.05 \, m$ है।
$a = \sqrt{8 \times 10^{-7} \times 0.05} = \sqrt{40 \times 10^{-9}} = \sqrt{400 \times 10^{-10}} = 20 \times 10^{-5} \, m = 0.2 \times 10^{-3} \, m = 0.2 \, mm$।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में परिणामी तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\Delta\phi}{2}\right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\Delta\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\Delta\phi$ पथ अंतर $\Delta x$ से $\Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ द्वारा संबंधित है।
पथ अंतर $\Delta x_1 = \frac{\lambda}{4}$ के लिए,कलांतर $\Delta\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
अतः,$I_1 = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\pi/2}{2}\right) = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = 4I_0 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 2I_0$.
पथ अंतर $\Delta x_2 = \frac{\lambda}{3}$ के लिए,कलांतर $\Delta\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$ है।
अतः,$I_2 = 4I_0 \cos^2\left(\frac{2\pi/3}{2}\right) = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\pi}{3}\right) = 4I_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = I_0$.
इसलिए,$\frac{I_1 + I_2}{I_0} = \frac{2I_0 + I_0}{I_0} = 3$.

(C) तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए फ्रिंज चौड़ाई $\omega = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $\lambda_1 = 800 \, nm = 8 \times 10^{-7} \, m$,$\lambda_2 = 600 \, nm = 6 \times 10^{-7} \, m$,$D = 7 \, m$,और $d = 0.35 \, mm = 3.5 \times 10^{-4} \, m$.
फ्रिंज चौड़ाई की गणना:
$\omega_1 = \frac{8 \times 10^{-7} \times 7}{3.5 \times 10^{-4}} = 16 \times 10^{-3} \, m = 16 \, mm$.
$\omega_2 = \frac{6 \times 10^{-7} \times 7}{3.5 \times 10^{-4}} = 12 \times 10^{-3} \, m = 12 \, mm$.
दीप्त फ्रिंज केंद्रीय उच्चिष्ठ से $y$ दूरी पर संपाती होती हैं जहाँ $y = n_1 \omega_1 = n_2 \omega_2$,जहाँ $n_1$ और $n_2$ पूर्णांक हैं।
न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $\omega_1$ और $\omega_2$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ निकालते हैं।
$LCM(16, 12) = 48 \, mm$.
अतः,न्यूनतम दूरी $48 \, mm$ है।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में रैखिक फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
जब पर्दे को स्लिट के तल से दूर ले जाया जाता है,तो दूरी $D$ बढ़ जाती है।
चूंकि $\beta \propto D$,इसलिए $D$ में वृद्धि होने से रैखिक फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ बढ़ जाती है।
अतः,फ्रिंज का रैखिक पृथक्करण बढ़ जाता है।

(C) दिया गया है: $\lambda_1 = 7000 \; \mathring{A} = 7000 \times 10^{-10} \; m$,$\lambda_2 = 5500 \; \mathring{A} = 5500 \times 10^{-10} \; m$,$d = 2.5 \; mm = 2.5 \times 10^{-3} \; m$,$D = 150 \; cm = 1.5 \; m$.
चमकीली फ्रिंजों के संपाती होने की शर्त $y_n = y_m$ है,जहाँ $y_n = \frac{n \lambda_1 D}{d}$ और $y_m = \frac{m \lambda_2 D}{d}$ है।
दोनों को बराबर करने पर,$n \lambda_1 = m \lambda_2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{n}{m} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{5500}{7000} = \frac{11}{14}$।
न्यूनतम दूरी के लिए,हम सबसे छोटे पूर्णांक मान $n = 11$ और $m = 14$ लेते हैं।
दूरी $y = \frac{n \lambda_1 D}{d} = \frac{11 \times 7000 \times 10^{-10} \times 1.5}{2.5 \times 10^{-3}}$ द्वारा दी जाती है।
$y = \frac{11 \times 7000 \times 1.5}{2.5} \times 10^{-7} = \frac{115500}{2.5} \times 10^{-7} = 46200 \times 10^{-7} = 462 \times 10^{-5} \; m$।
इसे $n \times 10^{-5} \; m$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 462$ प्राप्त होता है।

(C) यंग के डबल-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $(\beta)$ का सूत्र $\beta = \frac{D\lambda}{d}$ है,जहाँ $D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है,$\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
चूँकि $D$ और $d$ स्थिर रहते हैं,इसलिए फ्रिंज की चौड़ाई तरंगदैर्ध्य के सीधे आनुपातिक होती है: $\beta \propto \lambda$.
अतः,हम अनुपात लिख सकते हैं: $\frac{\beta_2}{\beta_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$.
दिया गया है: $\beta_1 = 2\,mm$,$\lambda_1 = 400\,nm$,और $\lambda_2 = 600\,nm$.
इन मानों को रखने पर: $\frac{\beta_2}{2\,mm} = \frac{600\,nm}{400\,nm} = \frac{3}{2}$.
$\beta_2$ के लिए हल करने पर: $\beta_2 = 2\,mm \times 1.5 = 3\,mm$.

(C) समान तीव्रता $I_0$ वाली दो तरंगों के लिए कलांतर $\phi$ होने पर परिणामी तीव्रता $I$ का सूत्र: $I = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} \cos \phi = 2I_0(1 + \cos \phi) = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ है।
बिंदु $P$ के लिए,कलांतर $\phi_1 = \pi/3$ है। अतः तीव्रता $I_P$:
$I_P = 2I_0(1 + \cos(\pi/3)) = 2I_0(1 + 0.5) = 3I_0$.
बिंदु $Q$ के लिए,कलांतर $\phi_2 = \pi/2$ है। अतः तीव्रता $I_Q$:
$I_Q = 2I_0(1 + \cos(\pi/2)) = 2I_0(1 + 0) = 2I_0$.
बिंदु $P$ और $Q$ पर तीव्रताओं का अनुपात:
$\frac{I_P}{I_Q} = \frac{3I_0}{2I_0} = \frac{3}{2}$ अर्थात $3:2$ है।

(A) दिया गया है कि दो झिरियों से आने वाले प्रकाश के आयामों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{2}{1}$ है।
तीव्रता $I$ आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है,$I \propto A^2$।
अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता के अनुपात का सूत्र है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{2 + 1}{2 - 1} \right)^2 = \left( \frac{3}{1} \right)^2 = \frac{9}{1}$।
अतः,अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $9:1$ है।