Young's Double Slit Experiment (YDSE) Questions in Hindi

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंजों की कोणीय चौड़ाई (कोणीय पृथक्करण) का सूत्र $\theta_w = \frac{\lambda}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रयुक्त प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
कथन $I:$ चूंकि $\theta_w = \frac{\lambda}{d}$,कोणीय चौड़ाई पर्दे और स्लिट के बीच की दूरी $D$ से स्वतंत्र है। इसलिए,यदि पर्दे को दूर ले जाया जाता है,तो कोणीय पृथक्करण स्थिर रहता है। अतः,कथन $I$ सही है।
कथन $II:$ चूंकि $\theta_w = \frac{\lambda}{d}$,कोणीय चौड़ाई तरंगदैर्घ्य $\lambda$ के सीधे आनुपातिक है। यदि तरंगदैर्घ्य बढ़ाई जाती है,तो कोणीय पृथक्करण $\theta_w$ बढ़ेगा,घटेगा नहीं। अतः,कथन $II$ गलत है।
निष्कर्ष: कथन $I$ सही है लेकिन कथन $II$ गलत है।

(B) $P$ पर अदीप्त फ्रिंज के लिए पथ अंतर $\Delta x = \lambda/2$ होता है।
चित्र से,पथ अंतर $\Delta x = \sqrt{D^2+d^2} - D$ है।
अतः,$\sqrt{D^2+d^2} - D = \frac{\lambda}{2}$
$\sqrt{D^2+d^2} = D + \frac{\lambda}{2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $D^2 + d^2 = D^2 + D\lambda + \frac{\lambda^2}{4}$
$d^2 = D\lambda + \frac{\lambda^2}{4}$
यहाँ $\lambda = 400 \ nm = 4 \times 10^{-7} \ m$ और $D = 0.2 \ m$ है।
दिए गए समाधान के अनुसार गणना करने पर: $d^2 \approx D\lambda/2 = \frac{0.2 \times 400 \times 10^{-9}}{2} = 4 \times 10^{-8} \ m^2$.
अतः,$d = \sqrt{4 \times 10^{-8}} = 2 \times 10^{-4} \ m = 0.20 \ mm$.

(A) पथ अंतर $\Delta x = \frac{7 \lambda}{4}$ दिया गया है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर के बीच संबंध $\phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$ है।
$\Delta x$ का मान रखने पर: $\phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \frac{7 \lambda}{4} = \frac{7 \pi}{2}$।
किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{\max} \cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right)$ द्वारा दी जाती है।
अतः,अनुपात $\frac{I}{I_{\max}} = \cos^2\left(\frac{7 \pi}{2 \times 2}\right) = \cos^2\left(\frac{7 \pi}{4}\right)$।
$\cos(2 \pi - \theta) = \cos(\theta)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$\cos^2\left(2 \pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right)$।
चूँकि $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए $n$-वीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = \frac{n D \lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है।
दो तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ और $\lambda_2$ के ओवरलैप होने के लिए,उनकी स्थितियाँ समान होनी चाहिए: $y_{n_1} = y_{n_2}$।
इसका अर्थ है $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$,जहाँ $n_1$ और $n_2$ फ्रिंज के क्रम हैं।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $n_1 (450 \ nm) = n_2 (650 \ nm)$।
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{650}{450} = \frac{13}{9}$।
चूंकि $n_1$ और $n_2$ पूर्णांक होने चाहिए,इसलिए न्यूनतम मान $n_1 = 13$ और $n_2 = 9$ हैं।
अतः,$\lambda_2$ द्वारा उत्पन्न फ्रिंज का न्यूनतम क्रम $n = 9$ है।

(A) स्लिट से गुजरने वाले प्रकाश की तीव्रता $I$,स्लिट की चौड़ाई $w$ के सीधे आनुपातिक होती है,अर्थात $I \propto w$.
यह दिया गया है कि एक स्लिट की चौड़ाई दूसरी की तुलना में $4$ गुना है,इसलिए तीव्रताओं को $I_1 = I$ और $I_2 = 4I$ मान लेते हैं।
अधिकतम तीव्रता $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $I_{\max} = (\sqrt{I} + \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} + 2\sqrt{I})^2 = (3\sqrt{I})^2 = 9I$.
न्यूनतम तीव्रता $I_{\min} = (\sqrt{I_2} - \sqrt{I_1})^2$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $I_{\min} = (\sqrt{4I} - \sqrt{I})^2 = (2\sqrt{I} - \sqrt{I})^2 = (\sqrt{I})^2 = I$.
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{9I}{I} = \frac{9}{1}$ है।

(A) फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
दिया गया है: $\lambda = 5000 \ \mathring{A} = 5 \times 10^{-7} \ \text{m}$,$D = 200 \ \text{cm} = 2 \ \text{m}$,और $d = 0.3 \ \text{mm} = 3 \times 10^{-4} \ \text{m}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\beta = \frac{5 \times 10^{-7} \times 2}{3 \times 10^{-4}} = \frac{10 \times 10^{-3}}{3} \ \text{m}$ प्राप्त होता है।
$n$-वें उच्चिष्ठ की स्थिति $y_n = n \beta$ द्वारा दी जाती है।
तीसरे उच्चिष्ठ $(n=3)$ के लिए,$y_3 = 3 \times \left( \frac{10 \times 10^{-3}}{3} \right) \ \text{m} = 10 \times 10^{-3} \ \text{m} = 10 \ \text{mm}$।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,पर्दे पर केंद्रीय बिंदु पर श्वेत प्रकाश में मौजूद सभी तरंगदैर्ध्य के लिए पथ अंतर शून्य होता है।
संपोषी व्यतिकरण के लिए शर्त $\Delta x = n\lambda$ है,इसलिए $n=0$ के लिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ कुछ भी हो,पथ अंतर शून्य रहता है।
अतः,सभी रंग केंद्रीय बिंदु पर अतिव्यापित होते हैं,जिसके परिणामस्वरूप केंद्र में एक सफेद चमकीली फ्रिंज बनती है।
अन्य फ्रिंज के लिए,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $\beta$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ पर निर्भर करता है,इसलिए अलग-अलग रंग अलग-अलग स्थानों पर फ्रिंज बनाएंगे,जिसके परिणामस्वरूप केंद्रीय सफेद फ्रिंज के चारों ओर कुछ रंगीन फ्रिंज दिखाई देंगी।

(A) मान लीजिए स्लिट्स पर तीव्रता $I_1 = 4I_0$ और $I_2 = I_0$ है। परिणामी तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi = 5I_0 + 4I_0 \cos \phi$ है।
उच्चिष्ठ के लिए, $\cos \phi = 1$, अतः $I_{max} = 9I_0$। निम्निष्ठ के लिए, $\cos \phi = -1$, अतः $I_{min} = I_0$।
उच्चिष्ठ के लिए शर्त $d \sin \theta = n\lambda$ है, जहाँ $n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$ है।
$(A)$ यदि $d = \lambda$ है, तो $\sin \theta = n$। $n = 0$ के लिए, $\theta = 0$ (केंद्रीय उच्चिष्ठ)। $n = \pm 1$ के लिए, $\sin \theta = \pm 1$, अतः $\theta = \pm 90^\circ$। ये अनंत पर हैं, इसलिए पर्दे पर केवल केंद्रीय उच्चिष्ठ ही दिखाई देता है। अतः, $(A)$ सही है।
$(B)$ यदि $\lambda < d < 2\lambda$ है, तो $d/\lambda$ का मान $1$ और $2$ के बीच है। $n = 1$ के लिए, $\sin \theta = \lambda/d < 1$, इसलिए $\theta$ का अस्तित्व है। अतः, कम से कम एक और उच्चिष्ठ मौजूद है। $(B)$ सही है।
$(C)$ यदि $I_1$ को घटाकर $I_0$ कर दिया जाए, तो $I_1 = I_2 = I_0$। $I_{max} = 4I_0$ ($9I_0$ से घटता है) और $I_{min} = 0$ ($I_0$ से घटता है)। अतः, $(C)$ गलत है।
$(D)$ यदि $I_2$ को बढ़ाकर $4I_0$ कर दिया जाए, तो $I_1 = I_2 = 4I_0$। $I_{max} = 16I_0$ ($9I_0$ से बढ़ता है) और $I_{min} = 0$ ($I_0$ से घटता है)। दीप्त फ्रिंजें बढ़ती हैं, लेकिन अदीप्त फ्रिंजें घटती हैं। अतः, $(D)$ गलत है।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्क्रीन और स्लिट्स के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिट्स के बीच की दूरी है।
चूंकि $D$ और $d$ स्थिर हैं,इसलिए फ्रिंज चौड़ाई तरंगदैर्ध्य के सीधे आनुपातिक है,अर्थात $\beta \propto \lambda$।
दृश्य स्पेक्ट्रम $(VIBGYOR)$ के अनुसार,तरंगदैर्ध्य बैंगनी से लाल रंग की ओर बढ़ती है।
इसलिए,तरंगदैर्ध्य का क्रम $\lambda_R > \lambda_G > \lambda_B$ है।
चूंकि $\beta \propto \lambda$,इसलिए $\beta_R > \beta_G > \beta_B$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: $d = 0.3 \text{ mm} = 3 \times 10^{-4} \text{ m}$,$D = 1 \text{ m}$,$\lambda = 600 \text{ nm} = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$,$PO = y = 11 \text{ mm} = 1.1 \times 10^{-2} \text{ m}$.
$(1)$ बिंदु $O$ $(y=0)$ पर,पथ अंतर $\Delta x = d \sin \alpha \approx d \alpha$ (छोटे $\alpha$ के लिए)।
दिया गया है $\alpha = \frac{0.36}{\pi} \text{ डिग्री} = \frac{0.36}{\pi} \times \frac{\pi}{180} \text{ रेडियन} = 2 \times 10^{-3} \text{ rad}$.
पथ अंतर $\Delta x = (3 \times 10^{-4} \text{ m}) \times (2 \times 10^{-3} \text{ rad}) = 6 \times 10^{-7} \text{ m} = \lambda$.
चूंकि $\Delta x = n\lambda$ ($n=1$ के लिए),इसलिए $O$ पर संपोषी व्यतिकरण होता है। अतः,कथन $(A)$ गलत है।
$(2)$ फ्रिंज चौड़ाई $\beta = \frac{D\lambda}{d}$। यह केवल $D, \lambda, d$ पर निर्भर करता है,$\alpha$ पर नहीं। अतः,कथन $(B)$ गलत है।
$(3)$ बिंदु $P$ पर,पथ अंतर $\Delta x_P = d \sin \alpha + \frac{dy}{D} \approx d \alpha + \frac{dy}{D}$.
$\Delta x_P = (3 \times 10^{-4})(2 \times 10^{-3}) + \frac{(3 \times 10^{-4})(1.1 \times 10^{-2})}{1} = 6 \times 10^{-7} + 33 \times 10^{-7} = 39 \times 10^{-7} \text{ m}$.
$\frac{\Delta x_P}{\lambda} = \frac{39 \times 10^{-7}}{6 \times 10^{-7}} = 6.5$। चूंकि यह अर्ध-पूर्णांक गुणज है,इसलिए $P$ पर विनाशी व्यतिकरण होता है। अतः,कथन $(C)$ सही है।
$(4)$ $\alpha = 0$ के लिए,$\Delta x_P = \frac{dy}{D} = 33 \times 10^{-7} \text{ m}$.
$\frac{\Delta x_P}{\lambda} = \frac{33 \times 10^{-7}}{6 \times 10^{-7}} = 5.5$। चूंकि यह अर्ध-पूर्णांक गुणज है,इसलिए $P$ पर विनाशी व्यतिकरण होता है। अतः,कथन $(D)$ गलत है।

(A) फ्रिंज चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $\lambda_2 = 600 \ nm > \lambda_1 = 400 \ nm$,इसलिए $\beta_2 > \beta_1$ होता है। अतः,$(A)$ सही है।
$y$ दूरी में फ्रिंजों की संख्या $m = \frac{y}{\beta}$ है। चूंकि $\beta_2 > \beta_1$,इसलिए $m_2 < m_1$ होता है। अतः,$(B)$ सही है।
$n^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ है। $\lambda_2$ के $3^{\text{rd}}$ उच्चिष्ठ के लिए,$y = \frac{3 \times 600 \times D}{d} = \frac{1800 D}{d}$।
$n^{\text{th}}$ निम्निष्ठ की स्थिति $y_n = \frac{(2n-1) \lambda D}{2d}$ है। $\lambda_1$ के $5^{\text{th}}$ निम्निष्ठ के लिए,$y = \frac{(2 \times 5 - 1) \times 400 \times D}{2d} = \frac{9 \times 400 \times D}{2d} = \frac{1800 D}{d}$।
चूंकि स्थितियां समान हैं,वे संपाती हैं। अतः,$(C)$ सही है।
कोणीय पृथक्करण $\theta = \frac{\lambda}{d}$ है। चूंकि $\lambda_1 < \lambda_2$,इसलिए $\lambda_1$ के लिए कोणीय पृथक्करण $\lambda_2$ से कम है। अतः,$(D)$ गलत है।
इसलिए,सही विकल्प $(A, B, C)$ हैं।

(C) माना कि पानी की सतह पर एक बिंदु की स्लिट्स के बीच के बिंदु से दूरी $x$ है। इस बिंदु की प्रत्येक स्लिट $S_1$ और $S_2$ से दूरी $\sqrt{d^2 + x^2}$ है।
इस बिंदु पर पथ अंतर $\Delta$ ऑप्टिकल पथ के अंतर द्वारा दिया जाता है।
$S_2$ से बिंदु तक का ऑप्टिकल पथ $\mu_w \sqrt{d^2 + x^2}$ है।
$S_1$ से बिंदु तक का ऑप्टिकल पथ $\mu_w \sqrt{d^2 + x^2}$ है।
चित्र के अनुसार,पथ अंतर $\Delta = \mu_w \sqrt{d^2+x^2} - \sqrt{d^2+x^2} = m\lambda$ है।
$\Delta = (\mu_w - 1) \sqrt{d^2 + x^2} = m\lambda$
$\mu_w = 4/3$ रखने पर:
$(\frac{4}{3} - 1) \sqrt{d^2 + x^2} = m\lambda$
$\frac{1}{3} \sqrt{d^2 + x^2} = m\lambda$
$\sqrt{d^2 + x^2} = 3m\lambda$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$d^2 + x^2 = 9m^2\lambda^2$
$x^2 = 9m^2\lambda^2 - d^2$
इसे $x^2 = p^2 m^2 \lambda^2 - d^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $p^2 = 9$ प्राप्त होता है,इसलिए $p = 3$।

(A) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जब प्रयोग $\mu > 1$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में किया जाता है,तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है।
चूंकि $\mu > 1$ है,इसलिए तरंगदैर्ध्य कम हो जाती है $(\lambda' < \lambda)$,जिससे फ्रिंज की चौड़ाई में कमी $(\beta' < \beta)$ आती है। अतः,फ्रिंजें करीब आ जाती हैं। इसलिए,अभिकथन $(A)$ सत्य है।
माध्यम में प्रकाश की गति $v = \frac{c}{\mu}$ होती है। चूंकि $\mu > 1$ है,इसलिए प्रकाशीय सघन माध्यम में प्रकाश की गति कम हो जाती है। प्रकाश की आवृत्ति केवल स्रोत पर निर्भर करती है और जब प्रकाश एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाता है तो यह अपरिवर्तित रहती है। इसलिए,कारण $(R)$ सत्य है।
चूंकि फ्रिंज की चौड़ाई में कमी सीधे तरंगदैर्ध्य में कमी के कारण होती है,जो माध्यम में प्रकाश की गति में परिवर्तन का परिणाम है,इसलिए $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(B) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ पर्दे और झिरियों के बीच की दूरी है,और $d$ दो झिरियों के बीच की दूरी है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि $\beta \propto \lambda$ है।
चूंकि लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_R)$,नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_B)$ से अधिक होती है,अर्थात $\lambda_R > \lambda_B$,इसलिए लाल प्रकाश के लिए फ्रिंज की चौड़ाई नीले प्रकाश की तुलना में अधिक होगी $(\beta_R > \beta_B)$।
अतः,लाल प्रकाश द्वारा उत्पन्न फ्रिंज नीले प्रकाश द्वारा उत्पन्न फ्रिंज की तुलना में अधिक चौड़ी (दूर-दूर) होती हैं।
इस प्रकार,अभिकथन $(A)$ असत्य है और कारण $(R)$ सत्य है।

(D) दीप्त फ्रिंजों के संपाती होने के लिए,पर्दे पर एक ही स्थान पर दोनों तरंगदैर्ध्य के लिए पथांतर समान होना चाहिए।
मान लीजिए $\lambda_1 = 480 \ nm$ के लिए दीप्त फ्रिंज का क्रम $n_1$ है और $\lambda_2 = 600 \ nm$ के लिए दीप्त फ्रिंज का क्रम $n_2$ है।
संपाती होने की शर्त: $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
दिए गए मान रखने पर: $n_1 \times 480 = n_2 \times 600$.
अनुपात को सरल करने पर: $\frac{n_1}{n_2} = \frac{600}{480} = \frac{60}{48} = \frac{5}{4}$.
अतः,$n_1$ के लिए न्यूनतम पूर्णांक मान $5$ है और $n_2$ के लिए $4$ है।
इसलिए,पहली बार संपाती होने के लिए $480 \ nm$ प्रकाश की आवश्यक दीप्त फ्रिंजों की न्यूनतम संख्या $5$ है।

(A) $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में फ्रिंज-चौड़ाई $\beta$ का सूत्र है: $\beta = \frac{\lambda_m D}{d}$, जहाँ $\lambda_m = \frac{\lambda_0}{\mu}$ है।
दिए गए मान हैं: $\lambda_0 = 690 \times 10^{-9}\ \text{m}$, $\mu = 1.44$, $D = 0.72\ \text{m}$, और $d = 1.5 \times 10^{-3}\ \text{m}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\beta = \left( \frac{690 \times 10^{-9}}{1.44} \right) \times \frac{0.72}{1.5 \times 10^{-3}}$
$\beta = \frac{690 \times 10^{-9} \times 0.72}{1.44 \times 1.5 \times 10^{-3}}$
$\beta = \frac{690 \times 10^{-9} \times 0.5}{1.5 \times 10^{-3}}$
$\beta = \frac{345 \times 10^{-9}}{1.5 \times 10^{-3}} = 230 \times 10^{-6}\ \text{m} = 0.23\ \text{mm}$।

(A) $YDSE$ में,केंद्रीय उच्चिष्ठ से $n^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति का सूत्र है:
$y_n = \frac{n \lambda D}{d}$
यहाँ,समान फ्रिंज क्रम के लिए $n$,$D$ और $d$ स्थिर हैं।
अतः,स्थिति $y$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के सीधे समानुपाती है $(y \propto \lambda)$।
दिया गया है:
$y_1 = 10 \ mm$,$\lambda_1 = 600 \ nm$
$\lambda_2 = 660 \ nm$
अनुपात का उपयोग करने पर:
$\frac{y_2}{y_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$
$\frac{y_2}{10 \ mm} = \frac{660 \ nm}{600 \ nm}$
$y_2 = 10 \times \frac{660}{600} \ mm$
$y_2 = 10 \times 1.1 \ mm = 11 \ mm$
इस प्रकार,$10^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज की दूरी $11 \ mm$ होगी।

(B) स्लिट से निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I$ उसकी चौड़ाई $w$ के सीधे आनुपातिक होती है,इसलिए $I \propto w$ है।
मान लीजिए पहली स्लिट की चौड़ाई $w$ है और दूसरी की $2w$ है। तब $I_1 = I_0$ और $I_2 = 2I_0$ होगा।
अधिकतम तीव्रता $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ द्वारा दी जाती है।
न्यूनतम तीव्रता $I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $I_{\max} = (\sqrt{I_0} + \sqrt{2I_0})^2 = I_0(1 + \sqrt{2})^2 = I_0(3 + 2\sqrt{2})$।
इसी प्रकार,$I_{\min} = (\sqrt{I_0} - \sqrt{2I_0})^2 = I_0(1 - \sqrt{2})^2 = I_0(3 - 2\sqrt{2})$।
अतः,अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}}$ होगा।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ है,जहाँ $D$ पर्दे और स्लिट्स के बीच की दूरी है,$\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $\beta \propto \frac{1}{d}$ है।
प्रारंभ में,$d_1 = 0.2 \ mm$ है। अंत में,$d_2 = 0.4 \ mm$ है।
चूँकि $d$ दोगुना हो जाता है $(d_2 = 2d_1)$,नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta_2$ का मान $\frac{\beta_1}{2}$ हो जाता है।
फ्रिंज की चौड़ाई में परिवर्तन $\Delta \beta = \beta_1 - \beta_2 = \beta_1 - \frac{\beta_1}{2} = \frac{\beta_1}{2}$ है।
प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta \beta}{\beta_1} \times 100\% = \frac{\beta_1/2}{\beta_1} \times 100\% = 50\%$ है।

(B) व्यतिकरण पैटर्न देखे जाने के लिए,दोनों स्रोतों का कला-संबद्ध (coherent) होना आवश्यक है।
कला-संबद्ध स्रोतों को समान आवृत्ति और तरंगदैर्घ्य का प्रकाश उत्सर्जित करना चाहिए।
लाल फिल्टर केवल लाल प्रकाश (तरंगदैर्घ्य $\lambda_R \approx 650 \ nm$) को गुजरने देता है,जबकि हरा फिल्टर केवल हरे प्रकाश (तरंगदैर्घ्य $\lambda_G \approx 550 \ nm$) को गुजरने देता है।
चूंकि दोनों झिरियाँ अब अलग-अलग आवृत्ति और तरंगदैर्घ्य का प्रकाश उत्सर्जित कर रही हैं,इसलिए स्क्रीन पर किसी भी बिंदु पर तरंगों के बीच का कलांतर समय के साथ तेजी से बदलेगा।
अतः,स्रोत कला-संबद्ध नहीं हैं और स्क्रीन पर कोई स्थिर व्यतिकरण पैटर्न नहीं बनेगा।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ होता है।
चूंकि $D$ और $d$ स्थिर हैं,इसलिए फ्रिंज की चौड़ाई तरंगदैर्ध्य के सीधे आनुपातिक होती है,अर्थात $\beta \propto \lambda$.
दिया गया है: $\lambda_1 = 4800 \ \mathring{A}$,$\beta_1 = 0.03 \ mm$,और $\lambda_2 = 6400 \ \mathring{A}$.
अनुपात $\frac{\beta_2}{\beta_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ का उपयोग करने पर:
$\beta_2 = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} \times \beta_1 = \frac{6400}{4800} \times 0.03 \ mm$.
$\beta_2 = \frac{4}{3} \times 0.03 \ mm = 0.04 \ mm$.

(A) केंद्रीय फ्रिंज से $n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति का सूत्र $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ है।
दिए गए मान हैं:
$n = 10$
$y_{10} = 5 \ mm = 5 \times 10^{-3} \ m$
$D = 1 \ m$
$d = 1 \ mm = 1 \times 10^{-3} \ m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$5 \times 10^{-3} = \frac{10 \times \lambda \times 1}{1 \times 10^{-3}}$
$\lambda = \frac{5 \times 10^{-3} \times 10^{-3}}{10}$
$\lambda = 5 \times 10^{-7} \ m$
इसे एंगस्ट्रॉम $( \mathring{A} )$ में बदलने पर:
$\lambda = 5 \times 10^{-7} \times 10^{10} \ \mathring{A} = 5000 \ \mathring{A}$.

(A) $\text{YDSE}$ में किसी भी बिंदु $P$ पर तीव्रता $I = 4 I_0 \cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
पथ अंतर $\Delta x = \frac{xd}{D}$ है।
कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{xd}{D}$ है।
अतः,$I = 4 I_0 \cos^2\left(\frac{\pi x d}{\lambda D}\right)$।
$(A) x = \frac{D \lambda}{d} \implies I = 4 I_0 \cos^2(\pi) = 4 I_0 \cdot (-1)^2 = 4 I_0$ ($S$ से मेल खाता है)।
$(B) x = \frac{D \lambda}{4d} \implies I = 4 I_0 \cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = 4 I_0 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 2 I_0$ ($Q$ से मेल खाता है)।
$(C) x = \frac{D \lambda}{3d} \implies I = 4 I_0 \cos^2\left(\frac{\pi}{3}\right) = 4 I_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = I_0$ ($P$ से मेल खाता है)।
$(D) x = \frac{D \lambda}{6d} \implies I = 4 I_0 \cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right) = 4 I_0 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 3 I_0$ ($R$ से मेल खाता है)।
इसलिए,सही मिलान $(A)-S, (B)-Q, (C)-P, (D)-R$ है।

(C) व्यतिकरण पैटर्न में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\phi$ कलांतर है।
दिया गया है $I = I_{max}/4$, इसलिए $I_{max}/4 = I_{max} \cos^2(\phi/2)$.
इसे सरल करने पर $\cos^2(\phi/2) = 1/4$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $\cos(\phi/2) = 1/2$.
अतः, $\phi/2 = \pi/3$, इसलिए कलांतर $\phi = 2\pi/3$.
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = (2\pi/\lambda) \Delta x$ है।
$\phi = 2\pi/3$ रखने पर, हमें $2\pi/3 = (2\pi/\lambda) \Delta x$ प्राप्त होता है, जिससे $\Delta x = \lambda/3$ मिलता है।
यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग के लिए, पथ अंतर $\Delta x = d \sin \theta$ होता है।
इसलिए, $d \sin \theta = \lambda/3$, जिसका अर्थ है $\sin \theta = \lambda / (3d)$.
अतः, कोणीय स्थिति $\theta = \sin^{-1}(\lambda / 3d)$ है।

(C) मान लीजिए $\lambda$ एकवर्णी प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$d$ सुसंगत स्रोतों के बीच की दूरी है,और $D$ स्क्रीन और स्रोत के बीच की दूरी है। फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ इस प्रकार दी जाती है:
$\beta = \frac{D \lambda}{d}$
प्रारंभिक स्थितियाँ दी गई हैं: $d_1 = d$ और $D_1 = D$। प्रारंभिक फ्रिंज चौड़ाई $\beta_1 = \frac{D \lambda}{d}$ है।
नई स्थितियाँ दी गई हैं: $d_2 = 10d$ और $D_2 = \frac{D}{2}$।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta_2$ है:
$\beta_2 = \frac{D_2 \lambda}{d_2} = \frac{(\frac{D}{2}) \lambda}{10d} = \frac{D \lambda}{20d}$
नई फ्रिंज चौड़ाई की प्रारंभिक चौड़ाई से तुलना करने पर:
$\beta_2 = \frac{1}{20} \left( \frac{D \lambda}{d} \right) = \frac{\beta_1}{20}$
अतः,फ्रिंज की चौड़ाई मूल फ्रिंज चौड़ाई की $1/20$ गुना हो जाती है।

(A) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ है,जहाँ $D$ पर्दे और झिरियों के बीच की दूरी है,$\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $d$ झिरियों के बीच की दूरी है।
जब प्रयोग पानी में किया जाता है,तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है,जहाँ $\mu$ पानी का अपवर्तनांक है $(\mu > 1)$।
चूंकि $\beta \propto \lambda$,नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ का मान $\beta' = \frac{D \lambda'}{d} = \frac{D \lambda}{\mu d} = \frac{\beta}{\mu}$ होगा।
चूंकि $\mu > 1$ है,इसलिए नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ मूल फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ से कम होगी। अतः,फ्रिंज की चौड़ाई घट जाएगी।

(B) फ्रिंज चौड़ाई $W$ का सूत्र $W = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्क्रीन और स्लिट्स के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिट्स के बीच की दूरी है।
इससे,अनुपात $\frac{d}{D} = \frac{\lambda}{W}$ प्राप्त होता है।
दो तरंग समूहों के बीच का कोण $\theta$ लगभग $\theta \approx \frac{d}{D}$ (रेडियन में) होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\theta = \frac{6 \times 10^{-7} \ m}{0.12 \times 10^{-3} \ m}$
$\theta = \frac{6 \times 10^{-7}}{1.2 \times 10^{-4}}$
$\theta = 5 \times 10^{-3} \ rad$.

(C) व्यतिकरण प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $Z$ का सूत्र $Z = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्रोत और स्क्रीन (या आईपीस) के बीच की दूरी है,और $d$ दो आभासी स्रोतों के बीच की दूरी है।
चूंकि $\lambda$ और $D$ स्थिर हैं,इसलिए फ्रिंज की चौड़ाई स्रोतों के बीच की दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $Z \propto \frac{1}{d}$।
इसलिए,हम अनुपात को $\frac{Z_{A}}{Z_{B}} = \frac{d_{B}}{d_{A}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) मान लीजिए कि दो सुसंगत स्रोतों के आयाम $a_1$ और $a_2$ हैं।
दीप्त फ्रिंज की तीव्रता $I_{max} = (a_1 + a_2)^2$ है।
अदीप्त फ्रिंज की तीव्रता $I_{min} = (a_1 - a_2)^2$ है।
तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{5}{1}$ दिया गया है।
अतः,$\frac{(a_1 + a_2)^2}{(a_1 - a_2)^2} = \frac{5}{1}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} = \frac{\sqrt{5}}{1}$ प्राप्त होता है।
दीप्त फ्रिंज का परिणामी आयाम $A_{max} = a_1 + a_2$ है और अदीप्त फ्रिंज का परिणामी आयाम $A_{min} = a_1 - a_2$ है।
इसलिए,परिणामी आयामों का अनुपात $\frac{A_{max}}{A_{min}} = \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} = \frac{\sqrt{5}}{1}$ है।

(C) स्थायी व्यतिकरण फ्रिंजों के निर्माण के लिए,दो प्रकाश स्रोतों का कला-संबद्ध (coherent) होना आवश्यक है। कला-संबद्ध स्रोत वे होते हैं जो समान आवृत्ति की प्रकाश तरंगें उत्सर्जित करते हैं और समय के साथ एक स्थिर कलांतर बनाए रखते हैं।
जब एक झिरी को लाल फिल्टर से और दूसरी को नीले फिल्टर से ढका जाता है,तो उनसे गुजरने वाले प्रकाश की आवृत्तियाँ और तरंगदैर्घ्य अलग-अलग होते हैं।
चूंकि आवृत्तियाँ अलग-अलग हैं,इसलिए स्क्रीन पर किसी भी बिंदु पर दो तरंगों के बीच का कलांतर समय के साथ तेजी से बदलेगा।
परिणामस्वरूप,स्थायी व्यतिकरण पैटर्न के लिए आवश्यक शर्त पूरी नहीं होती है,और स्क्रीन पर कोई व्यतिकरण फ्रिंज दिखाई नहीं देगी।

(C) तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ के लिए $n^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda_1 D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ के लिए $m^{\text{th}}$ अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_m = \frac{(2m-1) \lambda_2 D}{2d}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि फ्रिंज संपाती हैं,हम उनकी स्थितियों को बराबर करते हैं:
$\frac{n \lambda_1 D}{d} = \frac{(2m-1) \lambda_2 D}{2d}$.
दोनों पक्षों से $D$ और $d$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$n \lambda_1 = \frac{(2m-1) \lambda_2}{2}$.
अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{2m-1}{2n}$.

(D) $4^{\text{th}}$ और $5^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज के बीच बनने वाली अदीप्त फ्रिंज $5^{\text{th}}$ अदीप्त फ्रिंज होती है।
$n^{\text{th}}$ अदीप्त फ्रिंज के लिए,पथांतर $\Delta x = (n - 0.5) \lambda$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$n = 5$ और $\lambda = 6000 \text{ Å} = 6000 \times 10^{-8} \text{ cm} = 6 \times 10^{-5} \text{ cm}$ है।
मान रखने पर:
$\Delta x = (5 - 0.5) \times 6 \times 10^{-5} \text{ cm}$
$\Delta x = 4.5 \times 6 \times 10^{-5} \text{ cm} = 27 \times 10^{-5} \text{ cm} = 2.7 \times 10^{-4} \text{ cm}$.

(C) किसी एक स्लिट के ठीक सामने के बिंदु पर पथ अंतर $\Delta x = \frac{d^2}{2D}$ द्वारा दिया जाता है।
तीसरे निम्निष्ठ के लिए,पथ अंतर की शर्त $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ है,जहाँ $n = 3$ है।
अतः,$\frac{d^2}{2D} = (2(3) - 1) \frac{\lambda}{2} = \frac{5\lambda}{2}$ है।
यह दर्शाता है कि $\frac{d^2}{D} = 5\lambda$ है।
अब,उसी बिंदु पर पहले निम्निष्ठ के लिए,मान लीजिए नई तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ है। शर्त है $\Delta x = (2(1) - 1) \frac{\lambda'}{2} = \frac{\lambda'}{2}$ है।
पथ अंतर की तुलना करने पर: $\frac{d^2}{2D} = \frac{\lambda'}{2}$,जिससे $\frac{d^2}{D} = \lambda'$ प्राप्त होता है।
पहले मामले से $\frac{d^2}{D}$ का मान रखने पर: $\lambda' = 5\lambda$ प्राप्त होता है।
तरंगदैर्ध्य में परिवर्तन $\Delta \lambda = \lambda' - \lambda = 5\lambda - \lambda = 4\lambda$ है।

(C) पर्दे पर किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $I_0$ अधिकतम तीव्रता है और $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$, जहाँ $\Delta x$ पथ अंतर है।
$\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ के लिए, कलांतर $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
तीव्रता $I_1 = I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4}) = I_0 (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_0}{2}$ है।
दिया गया है कि $I_1 = \frac{K}{2}$, इसलिए $\frac{I_0}{2} = \frac{K}{2}$, जिसका अर्थ है कि $I_0 = K$ है।
$\Delta x = \lambda$ के लिए, कलांतर $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$ है।
तीव्रता $I_2 = I_0 \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = I_0 \cos^2(\pi) = I_0 (1)^2 = I_0$ है।
चूंकि $I_0 = K$, इसलिए तीव्रता $I_2 = K$ होगी।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,विनाशी व्यतिकरण (अदीप्त फ्रिंज) के लिए शर्त यह है कि पथांतर $\Delta x$ तरंगदैर्ध्य के आधे का विषम गुणज होना चाहिए: $\Delta x = (2n-1) \frac{\lambda}{2}$,जहाँ $n = 1, 2, 3, \ldots$ है।
कलान्तर $\Delta \phi$ और पथांतर $\Delta x$ के बीच का संबंध $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
पथांतर के व्यंजक को कलान्तर के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times (2n-1) \frac{\lambda}{2}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$\Delta \phi = (2n-1) \pi$ रेडियन।
अतः,$n$वीं अदीप्त फ्रिंज के लिए कलान्तर $(2n-1) \pi$ है।

(A) निश्चित चौड़ाई $W$ वाले पर्दे पर देखी जाने वाली फ्रिंजों की संख्या $N$,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ पर्दे की दूरी है और $d$ झिरियों के बीच की दूरी है।
$N$ फ्रिंजों द्वारा कवर की गई कुल चौड़ाई $W = N \beta$ है,इसलिए $W = N \frac{\lambda D}{d}$।
पर्दे की निश्चित चौड़ाई $W$ के लिए,$N \lambda = \text{स्थिरांक}$ होता है।
अतः,$N_1 \lambda_1 = N_2 \lambda_2$।
दिया गया है: $N_1 = 18$,$\lambda_1 = 600 \ nm$,और $\lambda_2 = 400 \ nm$।
मान रखने पर: $18 \times 600 = N_2 \times 400$।
$N_2 = \frac{18 \times 600}{400} = \frac{18 \times 6}{4} = \frac{108}{4} = 27$।
अतः,देखी जाने वाली फ्रिंजों की संख्या $27$ है।

(B) यंग के डबल-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $\lambda = 600 \ nm = 6 \times 10^{-7} \ m$,$d = 10^{-3} \ m$,और $\Delta\beta = 3 \times 10^{-5} \ m$.
फ्रिंज की चौड़ाई में परिवर्तन $\Delta\beta = \frac{\lambda}{d} \Delta D$ है।
मान रखने पर: $3 \times 10^{-5} = \frac{6 \times 10^{-7}}{10^{-3}} \Delta D$.
$3 \times 10^{-5} = 6 \times 10^{-4} \Delta D$.
$\Delta D = \frac{3 \times 10^{-5}}{6 \times 10^{-4}} = 0.5 \times 10^{-1} \ m = 0.05 \ m = 5 \ cm$.
यदि $\Delta\beta$ धनात्मक है (वृद्धि),तो स्क्रीन को $5 \ cm$ दूर ले जाना चाहिए। यदि $\Delta\beta$ ऋणात्मक है (कमी),तो स्क्रीन को स्लिट्स की ओर $5 \ cm$ ले जाना चाहिए। प्रश्न परिमाण में परिवर्तन के बारे में पूछता है,इसलिए $5 \ cm$ दूर ले जाना या $5 \ cm$ पास ले जाना दोनों ही फ्रिंज की चौड़ाई में $3 \times 10^{-5} \ m$ का परिवर्तन लाते हैं। अतः,$(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं।

(B) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में,एक झिरी के ठीक सामने के बिंदु पर पथ अंतर $\Delta x$ दोनों झिरियों से उस बिंदु तक की दूरियों का अंतर है।
मान लीजिए कि झिरियाँ $y = d/2$ और $y = -d/2$ पर हैं। एक झिरी के सामने का बिंदु $y = d/2$ पर है।
पहली झिरी से दूरी $0$ है।
दूसरी झिरी से दूरी $\sqrt{D^2 + d^2}$ है।
अतः,पथ अंतर $\Delta x = \sqrt{D^2 + d^2} - D$ है।
$d \ll D$ के लिए द्विपद सन्निकटन का उपयोग करते हुए,$\Delta x \approx D(1 + \frac{d^2}{2D^2}) - D = \frac{d^2}{2D}$ प्राप्त होता है।
निम्निष्ठ (विनाशी व्यतिकरण) के लिए,पथ अंतर अर्ध-तरंगदैर्घ्य का विषम गुणज होना चाहिए: $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{d^2}{2D} = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$।
$\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = \frac{d^2}{D(2n - 1)}$ प्राप्त होता है।
$n = 1, 2, 3, \dots$ के लिए,तरंगदैर्घ्य $\frac{1}{D}, \frac{1}{3D}, \frac{1}{5D}, \dots$ के समानुपाती हैं।

(A) $n$-वें क्रम की उच्चिष्ठ की स्थिति $x_n = x_0 + n \beta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $x_0$ शून्य क्रम की उच्चिष्ठ की स्थिति है और $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ फ्रिंज की चौड़ाई है।
$\lambda_1 = 6000 \ Å$ के लिए दिया गया है:
$x_1 = x_0 + 1 \beta_1 = 14.50 \ mm$
$x_{10} = x_0 + 10 \beta_1 = 16.75 \ mm$
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $9 \beta_1 = 16.75 - 14.50 = 2.25 \ mm$,अतः $\beta_1 = 0.25 \ mm$.
इसलिए $x_0 = 14.50 - 0.25 = 14.25 \ mm$.
अब,$\lambda_2 = 5500 \ Å$ के लिए,नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta_2 = \beta_1 \times (\frac{\lambda_2}{\lambda_1}) = 0.25 \times (\frac{5500}{6000}) = 0.25 \times (\frac{11}{12}) \approx 0.229 \ mm$.
शून्य क्रम की उच्चिष्ठ $x_0$ की स्थिति समान रहती है,जो $14.25 \ mm$ है।
$10$-वें क्रम की उच्चिष्ठ की नई स्थिति $x'_{10} = x_0 + 10 \beta_2 = 14.25 + 10 \times (0.25 \times \frac{11}{12}) = 14.25 + 2.29 = 16.54 \ mm \approx 16.55 \ mm$.
अतः,स्थितियाँ $14.25 \ mm$ और $16.55 \ mm$ हैं।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $(\beta)$ का सूत्र है: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$, जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है, $D$ स्लिट्स से पर्दे की दूरी है और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
दिए गए मान हैं: $\lambda = 6000 \, \text{\AA} = 6000 \times 10^{-8} \, \text{cm} = 6 \times 10^{-5} \, \text{cm}$, $D = 40 \, \text{cm}$, और $\beta = 0.012 \, \text{cm}$.
$d$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $d = \frac{\lambda D}{\beta}$.
मान रखने पर: $d = \frac{(6 \times 10^{-5} \, \text{cm}) \times (40 \, \text{cm})}{0.012 \, \text{cm}}$.
$d = \frac{240 \times 10^{-5}}{0.012} \, \text{cm} = \frac{2.4 \times 10^{-3}}{1.2 \times 10^{-2}} \, \text{cm} = 2 \times 10^{-1} \, \text{cm} = 0.2 \, \text{cm}$.
अतः, दोनों स्लिट्स के बीच की दूरी $0.2 \, \text{cm}$ है।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में स्क्रीन पर किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
दिया गया पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ है,इसलिए $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,तीव्रता के सूत्र में $\phi$ का मान रखने पर: $I = I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4})$.
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $I = I_0 (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = I_0 \times \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{I_0}{I} = \frac{I_0}{I_0/2} = 2:1$ है।

(B) व्यतिकरण पैटर्न में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ द्वारा दी जाती है,जहां $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = (2\pi / \lambda) \Delta x$ है।
पथ अंतर $\Delta x = \lambda$ के लिए,कलांतर $\phi_1 = (2\pi / \lambda) \times \lambda = 2\pi$ है।
इस बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(2\pi / 2) = I_{max} \cos^2(\pi) = I_{max} (-1)^2 = I_{max}$ है। अतः,$I_{max} = I$.
पथ अंतर $\Delta x = \lambda / 6$ के लिए,कलांतर $\phi_2 = (2\pi / \lambda) \times (\lambda / 6) = \pi / 3$ है।
इस बिंदु पर तीव्रता $I' = I_{max} \cos^2(\phi_2 / 2) = I \cos^2((\pi / 3) / 2) = I \cos^2(\pi / 6)$ है।
दिया गया है कि $\cos(\pi / 6) = \sqrt{3} / 2$,इसलिए $I' = I \times (\sqrt{3} / 2)^2 = I \times (3 / 4) = 3I / 4$।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $n^{th}$ क्रम की दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $d = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$,$D = 1 \ m$,$n = 3$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ के लिए,$3^{rd}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_1 = \frac{3 \lambda_1 D}{d}$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ के लिए,$3^{rd}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_2 = \frac{3 \lambda_2 D}{d}$ है।
दिया गया है $\lambda_2 = 1.5 \lambda_1$,इसलिए $y_2 = \frac{3(1.5 \lambda_1) D}{d} = \frac{4.5 \lambda_1 D}{d}$.
फ्रिंजों के बीच की दूरी $\Delta y = |y_2 - y_1| = \frac{4.5 \lambda_1 D}{d} - \frac{3 \lambda_1 D}{d} = \frac{1.5 \lambda_1 D}{d}$.
मान रखने पर: $\Delta y = \frac{1.5 \times \lambda_1 \times 1}{2 \times 10^{-3}} = 0.75 \times 10^3 \lambda_1 \ m$.

(C) व्यतिकरण प्रतिरूप में,केंद्रीय दीप्त फ्रिंज से $n^{\text{वीं}}$ दीप्त फ्रिंज की दूरी $y_n = n \beta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\beta$ फ्रिंज की चौड़ाई है।
केंद्रीय दीप्त फ्रिंज से $m^{\text{वीं}}$ अदीप्त फ्रिंज की दूरी $y_m = (m - 1/2) \beta$ द्वारा दी जाती है।
$n^{\text{वीं}}$ दीप्त फ्रिंज और $m^{\text{वीं}}$ अदीप्त फ्रिंज की दूरियों का अनुपात:
$\text{अनुपात} = \frac{y_n}{y_m} = \frac{n \beta}{(m - 1/2) \beta} = \frac{n}{m - 1/2}$.
अतः,अनुपात $n : (m - 1/2)$ है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,पर्दे पर बिंदु $y$ पर पथ अंतर $\Delta x = \frac{yd}{D}$ द्वारा दिया जाता है।
निम्निष्ठ (विनाशी व्यतिकरण) के लिए,पथ अंतर $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ होता है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
दूसरा निम्निष्ठ $n = 2$ के लिए प्राप्त होता है,इसलिए $\Delta x = (2(2) - 1) \frac{\lambda}{2} = \frac{3\lambda}{2}$ है।
यह बिंदु ठीक एक स्लिट के सामने है,इसलिए केंद्र से दूरी $y = \frac{d}{2}$ है।
पथ अंतर के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{(\frac{d}{2})d}{D} = \frac{3\lambda}{2}$।
$\frac{d^2}{2D} = \frac{3\lambda}{2}$।
$\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = \frac{d^2}{3D}$ प्राप्त होता है।

(D) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में,फ्रिंज की चौड़ाई $(X)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$X = \frac{\lambda D}{d}$
जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ झिरियों से पर्दे की दूरी है,और $d$ झिरियों के बीच की दूरी है।
इस समीकरण की तुलना एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर,जहाँ $y = X$ और $x = D$,हमें प्राप्त होता है:
$X = (\frac{\lambda}{d}) D$
ग्राफ का ढाल (slope) $m = \frac{\lambda}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
$\lambda = \text{slope} \times d$.

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र है: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट्स और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
प्रश्न के अनुसार,नई दूरी $D' = 2D$ और नई स्लिट दूरी $d' = \frac{d}{2}$ है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ के सूत्र में इन मानों को रखने पर:
$\beta' = \frac{\lambda D'}{d'} = \frac{\lambda (2D)}{d/2} = 4 \left( \frac{\lambda D}{d} \right) = 4\beta$.
अतः,फ्रिंज की चौड़ाई चार गुना बढ़ जाती है।

(D) पर्दे पर किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I$ का सूत्र $I = I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ है,जहाँ $I_0$ अधिकतम तीव्रता है और $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
प्रथम स्थिति के लिए,$\Delta x = \frac{\lambda}{4}$,इसलिए $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$.
तीव्रता $I_1 = I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4}) = I_0 (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_0}{2}$.
दिया गया है कि $I_1 = \frac{K}{4}$,इसलिए $\frac{I_0}{2} = \frac{K}{4}$,जिसका अर्थ है $I_0 = \frac{K}{2}$.
दूसरी स्थिति के लिए,$\Delta x = \lambda$,इसलिए $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$.
तीव्रता $I_2 = I_0 \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = I_0 \cos^2(\pi) = I_0 (-1)^2 = I_0$.
$I_0 = \frac{K}{2}$ रखने पर,हमें $I_2 = \frac{K}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $n$-वें निम्निष्ठ की स्थिति $y_n' = \frac{(2n-1) \lambda D}{2d}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दूसरा निम्निष्ठ $(n=2)$ एक स्लिट के ठीक सामने देखा जाता है,इसलिए केंद्रीय अक्ष से इसकी दूरी $y_2 = \frac{d}{2}$ है।
सूत्र में $n=2$ रखने पर: $\frac{d}{2} = \frac{(2(2)-1) \lambda D}{2d}$.
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{d}{2} = \frac{3 \lambda D}{2d}$.
हर से $2$ को हटाने पर: $d = \frac{3 \lambda D}{d}$.
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = \frac{d^2}{3D}$.