Young's Double Slit Experiment (YDSE) Questions in Hindi

(C) $O$ बिंदु पर अंधकार के लिए,$S_1$ और $S_2$ से $O$ तक पहुँचने वाली प्रकाश तरंगों के बीच का पथांतर $\frac{\lambda}{2}$ का विषम गुणज होना चाहिए।
$S_2$ के माध्यम से $S$ से $O$ तक का पथ $SO + OS_2 = D + D = 2D$ है।
$S_1$ के माध्यम से $S$ से $O$ तक का पथ $SS_1 + S_1O$ है। यहाँ,$SS_1 = \sqrt{D^2 + d^2}$ और $S_1O = \sqrt{D^2 + d^2}$ है।
अतः,$S_1$ के माध्यम से कुल पथ $2\sqrt{D^2 + d^2}$ है।
पथांतर $\Delta x = 2\sqrt{D^2 + d^2} - 2D$ है।
न्यूनतम अंधकार के लिए,$\Delta x = \frac{\lambda}{2}$ लें।
$2\sqrt{D^2 + d^2} - 2D = \frac{\lambda}{2} \implies \sqrt{D^2 + d^2} = D + \frac{\lambda}{4}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $D^2 + d^2 = D^2 + \frac{\lambda D}{2} + \frac{\lambda^2}{16}$।
चूंकि $d \ll D$,हम $\lambda^2$ पद की उपेक्षा कर सकते हैं: $d^2 \approx \frac{\lambda D}{2}$।
इसलिए,$d = \sqrt{\frac{\lambda D}{2}}$।

(B) द्वि-स्लिट प्रयोग में $n$ वीं दीप्त फ्रिंज की कोणीय स्थिति के लिए शर्त $\theta = \frac{n \lambda}{d}$ है।
दिया गया है:
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6000 \, Å = 6000 \times 10^{-10} \, m = 6 \times 10^{-7} \, m$.
स्लिट के बीच की दूरी $d = 0.1 \, cm = 10^{-3} \, m$.
फ्रिंज का क्रम $n = 10$.
सूत्र में मान रखने पर:
$\theta = \frac{10 \times 6 \times 10^{-7}}{10^{-3}}$
$\theta = 60 \times 10^{-4} \, rad$
$\theta = 6 \times 10^{-3} \, rad$.

(B) दिया गया है: स्लिट्स के बीच की दूरी $d = 0.1 \ mm = 10^{-4} \ m$,पर्दे की दूरी $D = 20 \ cm = 0.2 \ m$,और तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5460 \ \mathring{A} = 5460 \times 10^{-10} \ m$.
पहली अदीप्त फ्रिंज के लिए,पथ अंतर $\Delta x = \lambda / 2$ होता है।
कोणीय स्थिति $\theta$ का सूत्र $d \sin \theta = \Delta x = \lambda / 2$ है।
चूंकि $\theta$ बहुत छोटा है,इसलिए $\sin \theta \approx \theta$ (रेडियन में)।
$\theta = \frac{\lambda}{2d} = \frac{5460 \times 10^{-10}}{2 \times 10^{-4}} = 2730 \times 10^{-6} \ rad$.
रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए $(180 / \pi)$ से गुणा करने पर:
$\theta_{deg} = 2730 \times 10^{-6} \times \frac{180}{3.14159} \approx 0.1564^\circ$.
अतः,सही मान $0.16^\circ$ है।

(B) द्वि-स्लिट प्रयोग में कोणीय फ्रिंज चौड़ाई $\theta$ का सूत्र $\theta = \frac{\lambda}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $d$ स्लिट के बीच की दूरी है।
जब उपकरण को $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में डुबोया जाता है,तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है।
नई कोणीय चौड़ाई $\theta' = \frac{\lambda'}{d} = \frac{\lambda}{\mu d} = \frac{\theta}{\mu}$ हो जाती है।
यहाँ $\theta = 0.2^{\circ}$ और $\mu = 4/3$ दिया गया है,इसलिए $\theta' = \frac{0.2}{4/3} = 0.2 \times \frac{3}{4} = 0.15^{\circ}$।

(C) द्वि-झिरी प्रयोग में किसी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर (phase difference) है।
दिया गया है $I = I_{max}/4$,इसलिए $I_{max}/4 = I_{max} \cos^2(\phi/2)$।
इसे सरल करने पर $\cos^2(\phi/2) = 1/4$,अतः $\cos(\phi/2) = 1/2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\phi/2 = 60^{\circ} = \pi/3$ रेडियन,जिसका अर्थ है $\phi = 2\pi/3$।
पथ अंतर $\Delta$ का कलांतर के साथ संबंध $\Delta = (\lambda / 2\pi) \times \phi = (\lambda / 2\pi) \times (2\pi/3) = \lambda/3$ है।
छोटे कोणों के लिए,पथ अंतर $\Delta = d \sin \theta$ द्वारा भी दिया जाता है।
$\Delta$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $d \sin \theta = \lambda/3$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin \theta = \lambda/(3d)$,जिससे $\theta = sin^{-1}(\lambda/3d)$ प्राप्त होता है।

(B) यंग के डबल-स्लिट प्रयोग में,फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\beta = \frac{\lambda D}{d}$
जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंग दैर्ध्य है,$D$ स्क्रीन और स्लिट्स के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिट्स के बीच की दूरी है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि $\beta \propto \frac{1}{d}$ है।
यह संबंध एक आयताकार हाइपरबोला (rectangular hyperbola) को दर्शाता है,जिसमें $d$ के बढ़ने पर $\beta$ का मान घटता है।
इसलिए,सही वक्र वह है जो आयताकार हाइपरबोला को दर्शाता है।

(A) $Y.D.S.E$ में फ्रिंज की चौड़ाई $(\beta)$ का सूत्र $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ है।
दिए गए मान हैं:
स्लिट्स के बीच की दूरी, $d = 1 \, mm = 1 \times 10^{-3} \, m$.
स्क्रीन की दूरी, $D = 1 \, m$.
प्रकाश की तरंगदैर्ध्य, $\lambda = 500 \, nm = 500 \times 10^{-9} \, m = 5 \times 10^{-7} \, m$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\beta = \frac{1 \times 5 \times 10^{-7}}{1 \times 10^{-3}} = 5 \times 10^{-4} \, m$.

(D) तीव्रता $I$ स्लिट की चौड़ाई $w$ के सीधे समानुपाती होती है,अर्थात $I \propto w$। साथ ही,$I \propto A^2$,जहाँ $A$ आयाम है।
दिया गया है कि $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{25}{9}$।
हम जानते हैं कि $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(A_1 + A_2)^2}{(A_1 - A_2)^2} = \frac{25}{9}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} = \frac{5}{3}$।
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) नियम का उपयोग करने पर: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{5+3}{5-3} = \frac{8}{2} = \frac{4}{1}$।
चूंकि तीव्रता स्लिट की चौड़ाई के समानुपाती होती है,इसलिए दोनों स्लिटों की तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{A_1^2}{A_2^2} = \left(\frac{4}{1}\right)^2 = \frac{16}{1}$ होगा।
अतः,स्लिट की चौड़ाई का अनुपात $\frac{w_1}{w_2} = \frac{16}{1}$ है।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
जब एक किरण के पथ में पतली कांच की प्लेट रखी जाती है,तो यह एक अतिरिक्त पथ अंतर उत्पन्न करती है,जिससे पर्दे पर पूरी व्यतिकरण पैटर्न विस्थापित हो जाती है।
हालाँकि,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ केवल तरंगदैर्ध्य $\lambda$,दूरी $D$ और स्लिट पृथक्करण $d$ पर निर्भर करती है। चूंकि कांच की प्लेट डालने से इनमें से कोई भी पैरामीटर नहीं बदलता है,इसलिए फ्रिंज की चौड़ाई स्थिर रहती है।

(D) तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए $n$-वें निम्निष्ठ (minima) की शर्त $y_n = (2n-1) \frac{D\lambda}{2d}$ द्वारा दी जाती है।
दो तरंगदैर्ध्य के लिए अदीप्त फ्रिंजों के संपाती होने की शर्त: $(2n-1) \frac{D\lambda_1}{2d} = (2m-1) \frac{D\lambda_2}{2d}$ है।
यह समीकरण $(2n-1) \lambda_1 = (2m-1) \lambda_2$ में सरल हो जाता है।
मान रखने पर: $(2n-1) 400 = (2m-1) 560$.
$\frac{2n-1}{2m-1} = \frac{560}{400} = \frac{7}{5}$.
अतः,पहला संपाती बिंदु $2n-1 = 7$ (अर्थात $n=4$) और $2m-1 = 5$ (अर्थात $m=3$) पर होता है।
इस पहले संपाती बिंदु की स्थिति $y_1 = 7 \times \frac{1 \times 400 \times 10^{-6}}{2 \times 0.1 \times 10^{-3}} = 14\, mm$ है।
अगला संपाती बिंदु अनुपात $\frac{21}{15}$ पर होता है (जहाँ $2n-1=21$ और $2m-1=15$)।
इस दूसरे संपाती बिंदु की स्थिति $y_2 = 21 \times \frac{1 \times 400 \times 10^{-6}}{2 \times 0.1 \times 10^{-3}} = 42\, mm$ है।
पूर्ण अंधकार के दो क्रमिक क्षेत्रों के बीच की दूरी $y_2 - y_1 = 42\, mm - 14\, mm = 28\, mm$ है।

(C) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में,दो झिरियों $S_1$ और $S_2$ से पर्दे पर किसी बिंदु $P$ तक की तरंगों के बीच का पथ अंतर $\Delta x = S_2P - S_1P = d \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
स्थिर पथ अंतर के लिए,पर्दे पर बिंदुओं $P$ का बिंदुपथ एक वक्र बनाता है।
संपोषी या विनाशी व्यतिकरण के लिए शर्त $\Delta x = n\lambda$ या $\Delta x = (n + 1/2)\lambda$ है,जिसका अर्थ है कि एक दी गई फ्रिंज के लिए पथ अंतर स्थिर रहता है।
दो निश्चित बिंदुओं (झिरियों) से दूरियों का अंतर स्थिर रखने वाले बिंदुओं का बिंदुपथ एक अतिपरवलय (Hyperbola) होता है।
इसलिए,पर्दे पर बनने वाली व्यतिकरण फ्रिंजें अतिपरवलयाकार होती हैं।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{\max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
दिया गया है कि तीव्रता अधिकतम तीव्रता की आधी है,इसलिए $\frac{I_{\max}}{2} = I_{\max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$.
इसे सरल करने पर $\cos^2(\frac{\phi}{2}) = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\cos(\frac{\phi}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{4}$,जिससे कलांतर $\phi = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
पथ अंतर $\Delta x$ और कलांतर के बीच संबंध $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \phi$ है।
$\phi = \frac{\pi}{2}$ रखने पर,हमें $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\lambda}{4}$ प्राप्त होता है।
केंद्रीय बिंदु से दूरी $x$ का मान $x = \frac{\Delta x \cdot D}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
$\Delta x$ का मान रखने पर,हमें $x = \frac{\lambda D}{4d}$ प्राप्त होता है।

(D) $YDSE$ में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्क्रीन और स्लिट्स के बीच की दूरी है,और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ स्लिट्स के बीच की दूरी $d$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\beta \propto \frac{1}{d}$।
यदि स्लिट्स के बीच की दूरी $4$ गुना बढ़ा दी जाती है,तो नई दूरी $d' = 4d$ हो जाती है।
इसलिए,नई फ्रिंज की चौड़ाई $\beta' = \frac{\lambda D}{d'} = \frac{\lambda D}{4d} = \frac{\beta}{4}$ होगी।
अतः,फ्रिंज की चौड़ाई $4$ गुना घट जाएगी।

(C) व्यतिकरण पैटर्न तब गायब हो जाता है जब फ्रिंजों के बीच का कोणीय पृथक्करण मानव आँख के कोणीय विभेदन से कम हो जाता है।
कोणीय फ्रिंज चौड़ाई $\beta_{\theta} = \frac{\lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है।
आँख का कोणीय विभेदन $\Delta\theta = \frac{1}{60}^o = \frac{1}{60} \times \frac{\pi}{180} \text{ रेडियन}$ है।
पैटर्न के गायब होने के लिए,कोणीय फ्रिंज चौड़ाई को आँख के कोणीय विभेदन के बराबर होना चाहिए: $\frac{\lambda}{d_0} = \Delta\theta$.
मान रखने पर: $d_0 = \frac{\lambda}{\Delta\theta} = \frac{600 \times 10^{-9} \text{ m}}{\frac{1}{60} \times \frac{\pi}{180} \text{ rad}}$.
$d_0 = \frac{600 \times 10^{-9} \times 60 \times 180}{\pi} \approx \frac{6.48 \times 10^{-3}}{3.14} \approx 2.06 \times 10^{-3} \text{ m}$.
अतः,$d_0 \approx 2 \text{ mm}$.

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\Delta \phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0$ प्रत्येक स्लिट की तीव्रता है और $\Delta \phi$ कलांतर है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ पर,तीव्रता $I_{max} = 4I_0$ होती है।
हम वह स्थिति $y$ ज्ञात करना चाहते हैं जहाँ तीव्रता $I$ अधिकतम तीव्रता की आधी हो जाए,अर्थात $I = \frac{I_{max}}{2} = 2I_0$।
इसे तीव्रता के सूत्र में रखने पर: $2I_0 = 4I_0 \cos^2(\frac{\Delta \phi}{2}) \implies \cos^2(\frac{\Delta \phi}{2}) = \frac{1}{2} \implies \cos(\frac{\Delta \phi}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इसका अर्थ है $\frac{\Delta \phi}{2} = \frac{\pi}{4}$,इसलिए कलांतर $\Delta \phi = \frac{\pi}{2}$ है।
चूँकि कलांतर $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ होता है,इसलिए $\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$,जिससे पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ प्राप्त होता है।
छोटे कोणों के लिए,पथ अंतर $\Delta x = \frac{dy}{D}$ होता है।
दोनों की तुलना करने पर: $\frac{dy}{D} = \frac{\lambda}{4} \implies y = \frac{\lambda D}{4d}$।
चूँकि फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,इसलिए यह मान रखने पर $y = \frac{\beta}{4}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि माइका शीट की मोटाई $t = 1.8 \times 10^{-6} \ m$,अपवर्तनांक $\mu = 1.6$,और विस्थापन $y = (\mu - 1)t \frac{D}{d}$ है।
पहले मामले में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
तीसरे मामले में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta' = \frac{\lambda (2D)}{d} = 2\beta$ है।
दी गई शर्त $y = \beta'$ के अनुसार,$(\mu - 1)t \frac{D}{d} = 2 \frac{\lambda D}{d}$ है।
सरल करने पर,$(\mu - 1)t = 2\lambda$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $(1.6 - 1) \times 1.8 \times 10^{-6} = 2\lambda$.
$0.6 \times 1.8 \times 10^{-6} = 2\lambda$.
$1.08 \times 10^{-6} = 2\lambda$.
$\lambda = 0.54 \times 10^{-6} \ m = 540 \ nm$.

(C) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\theta = \frac{2 \lambda}{b}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $b$ स्लिट की चौड़ाई है।
यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में क्रमागत व्यतिकरण उच्चिष्ठों के बीच कोणीय पृथक्करण $\Delta \theta = \frac{\lambda}{d}$ है,जहाँ $d$ स्लिटों के बीच की दूरी है।
विवर्तन के केंद्रीय उच्चिष्ठ के भीतर आने वाले व्यतिकरण उच्चिष्ठों की संख्या $n$,केंद्रीय विवर्तन उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई और व्यतिकरण फ्रिंजों के कोणीय पृथक्करण के अनुपात द्वारा दी जाती है:
$n = \frac{2 \lambda / b}{\lambda / d} = \frac{2d}{b}$.
दिया गया है कि $d = 6.1b$,इसलिए:
$n = \frac{2 \times (6.1b)}{b} = 12.2$.
चूंकि उच्चिष्ठों की संख्या एक पूर्णांक होनी चाहिए,इसलिए केंद्रीय विवर्तन एनवलप के भीतर $12$ तीव्रता उच्चिष्ठ देखे जाते हैं।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{D\lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $D$ पर्दे की दूरी है,$d$ स्लिटों के बीच की दूरी है,और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
$W$ चौड़ाई के दृश्य क्षेत्र में देखी जा सकने वाली फ्रिंजों की संख्या $N$ को $N = \frac{W}{\beta} = \frac{Wd}{D\lambda}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
इस संबंध से,$N \propto \frac{1}{\lambda}$। अतः,जैसे-जैसे तरंगदैर्ध्य $\lambda$ बढ़ती है,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ बढ़ती है,और दृश्य क्षेत्र में देखी जाने वाली फ्रिंजों की संख्या $N$ कम हो जाती है। इसके विपरीत,छोटी तरंगदैर्ध्य के लिए,फ्रिंज की चौड़ाई कम होती है,जिससे अधिक फ्रिंज देखी जा सकती हैं।
इसलिए,कथन-$1$ सत्य है,कथन-$2$ सत्य है,और कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या प्रदान करता है।

(D) तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए,$n$-वीं अधिकतम तीव्रता की शर्त पथ अंतर $\Delta x = n\lambda$ है,और $m$-वीं न्यूनतम तीव्रता की शर्त पथ अंतर $\Delta x = (m + 1/2)\lambda$ है।
मान लीजिए पथ अंतर $\Delta x$ है। इंटरफेरेंस पैटर्न के अस्पष्ट होने की शर्त यह है कि $\lambda_1$ की अधिकतम तीव्रता $\lambda_2$ की न्यूनतम तीव्रता के साथ संपाती हो।
स्थिति $1$: $\lambda_1$ की अधिकतम तीव्रता $\lambda_2$ की न्यूनतम तीव्रता के साथ संपाती हो:
$\Delta x = n\lambda_1 = (m + 1/2)\lambda_2$
$n(500) = (m + 1/2)(600)$
$5n = 6m + 3$
सबसे छोटे पूर्णांक मानों के लिए,यदि $m = 2$ लें,तो $5n = 15 \Rightarrow n = 3$.
अतः,$\Delta x = 3 \times 500 = 1500\,nm$.
स्थिति $2$: $\lambda_2$ की अधिकतम तीव्रता $\lambda_1$ की न्यूनतम तीव्रता के साथ संपाती हो:
$\Delta x = n\lambda_2 = (m + 1/2)\lambda_1$
$n(600) = (m + 1/2)(500)$
$6n = 5m + 2.5 \Rightarrow 12n = 10m + 5$.
यह स्थिति पूर्णांक $n, m$ के लिए संभव नहीं है।
इसलिए,अस्पष्टता का पहला बिंदु $\Delta x = 1500\,nm$ पर प्राप्त होता है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,संपोषी व्यतिकरण (उच्चिष्ठ) के लिए शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ है,जहाँ $d$ स्लिट पृथक्करण है,$\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,और $n$ उच्चिष्ठ का क्रम है।
दिया गया है $d = 1.8 \lambda$,अतः शर्त $1.8 \lambda \sin \theta = n \lambda$ हो जाती है,जो सरल होकर $n = 1.8 \sin \theta$ प्राप्त होती है।
चूँकि $\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए $n$ का अधिकतम मान $1.8 \times 1 = 1.8$ है।
अतः,$n$ के लिए संभव पूर्णांक मान $0, \pm 1$ हैं।
इसलिए,उच्चिष्ठों की कुल संख्या $1$ ($n=0$ के लिए) $+ 2$ ($n=1$ और $n=-1$ के लिए),जो कि $3$ के बराबर है।

(C) हम जानते हैं कि व्यतिकरण पैटर्न में अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात इस प्रकार दिया जाता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{\frac{\omega_1}{\omega_2}} + 1)^2}{(\sqrt{\frac{\omega_1}{\omega_2}} - 1)^2}$
जहाँ $\omega_1$ और $\omega_2$ दो स्लिट्स की चौड़ाई हैं।
दिया गया है कि स्लिट की चौड़ाई का अनुपात $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{1}{25}$ है।
इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{\frac{1}{25}} + 1)^2}{(\sqrt{\frac{1}{25}} - 1)^2} = \frac{(\frac{1}{5} + 1)^2}{(\frac{1}{5} - 1)^2}$
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\frac{6}{5})^2}{(\frac{-4}{5})^2} = \frac{\frac{36}{25}}{\frac{16}{25}} = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$
अतः,उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ पर तीव्रता का अनुपात $9 : 4$ है।

(D) दीप्त फ्रिंजों के लिए शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ है,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
यहाँ $d = 0.320 \, mm = 0.320 \times 10^{-3} \, m$ और $\lambda = 500 \, nm = 500 \times 10^{-9} \, m$ दिया गया है।
$\theta = 30^\circ$ पर अधिकतम पथ अंतर $\Delta X_{\max} = d \sin 30^\circ = 0.320 \times 10^{-3} \times 0.5 = 0.16 \times 10^{-3} \, m$ है।
अधिकतम क्रम $n = \frac{\Delta X_{\max}}{\lambda} = \frac{0.16 \times 10^{-3}}{500 \times 10^{-9}} = \frac{0.16 \times 10^6}{500} = 320$ प्राप्त होता है।
चूँकि परास $-30^\circ \le \theta \le 30^\circ$ है,हम $n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots, \pm 320$ के लिए दीप्त फ्रिंजें देख सकते हैं।
अतः,दीप्त फ्रिंजों की कुल संख्या $2n + 1 = 2(320) + 1 = 641$ है।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में दीप्त फ्रिंज (उच्चिष्ठ) के लिए शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ है,जहाँ $n$ फ्रिंज का क्रम है।
चूंकि $\theta$ छोटा है,$\sin \theta \approx \theta = \frac{1}{40}\, rad$।
दिया गया है $d = 0.1\, mm = 10^{-4}\, m$।
शर्त $d \theta = n \lambda$ हो जाती है,इसलिए $\lambda = \frac{d \theta}{n}$।
मान रखने पर: $\lambda = \frac{10^{-4} \times (1/40)}{n} = \frac{10^{-4}}{40n} = \frac{10^{-5}}{4n} = \frac{2500\, nm}{n}$।
$\lambda$ के दृश्य सीमा ($380\, nm$ से $740\, nm$) में होने के लिए:
यदि $n=4$ है,तो $\lambda = \frac{2500}{4} = 625\, nm$।
यदि $n=5$ है,तो $\lambda = \frac{2500}{5} = 500\, nm$।
दोनों मान $625\, nm$ और $500\, nm$ दृश्य सीमा के भीतर हैं। अतः,तरंगदैर्ध्य $625\, nm$ और $500\, nm$ हैं।

(A) बिंदु $P$ (सीधे $S_1$ के सामने) पर पहला निम्निष्ठ प्राप्त होने के लिए,$S_1$ और $S_2$ से आने वाली तरंगों के बीच पथ का अंतर $\frac{\lambda}{2}$ के बराबर होना चाहिए।
$S_1$ से $P$ की दूरी $2d$ है।
$S_2$ से $P$ की दूरी $\sqrt{(2d)^2 + d^2} = \sqrt{4d^2 + d^2} = \sqrt{5}d$ है।
पथ का अंतर $\Delta x = S_2P - S_1P = \sqrt{5}d - 2d = d(\sqrt{5} - 2)$ है।
पहले निम्निष्ठ के लिए पथ के अंतर को $\frac{\lambda}{2}$ के बराबर रखने पर:
$d(\sqrt{5} - 2) = \frac{\lambda}{2}$
अतः,स्लिट पृथक्करण $d$ का मान है:
$d = \frac{\lambda}{2(\sqrt{5} - 2)}$

(B) पथ का अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{8}$ दिया गया है।
कलांतर $\phi$ और पथ के अंतर के बीच संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
$\Delta x$ का मान रखने पर,$\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{8} = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
किसी भी बिंदु पर परिणामी तीव्रता $I = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} \cos \phi = 2I_0(1 + \cos \phi)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0$ प्रत्येक तरंग की तीव्रता है।
दीप्त फ्रिंज के केंद्र पर,कलांतर $0$ होता है,इसलिए अधिकतम तीव्रता $I_{max} = 2I_0(1 + \cos 0) = 4I_0$ होती है।
दिए गए बिंदु पर,तीव्रता $I = 2I_0(1 + \cos(\pi/4)) = 2I_0(1 + \frac{1}{\sqrt{2}})$ है।
अनुपात $\frac{I}{I_{max}} = \frac{2I_0(1 + 1/\sqrt{2})}{4I_0} = \frac{1 + 0.707}{2} = \frac{1.707}{2} \approx 0.85$ है।

(A) प्रकाश की तीव्रता $I$,स्लिट की चौड़ाई $w$ के सीधे आनुपातिक होती है,इसलिए $I_1/I_2 = w_1/w_2 = 4/1$ है।
मान लीजिए $I_1 = 4I_0$ और $I_2 = I_0$ है।
आयाम $a_1 = \sqrt{I_1} = 2\sqrt{I_0}$ और $a_2 = \sqrt{I_2} = \sqrt{I_0}$ हैं।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{2\sqrt{I_0} + \sqrt{I_0}}{2\sqrt{I_0} - \sqrt{I_0}} \right)^2 = \left( \frac{3\sqrt{I_0}}{\sqrt{I_0}} \right)^2 = (3)^2 = 9/1$।

(C) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग $(YDSE)$ में,फ्रिंज की कोणीय चौड़ाई $(\beta_{\theta})$ का सूत्र है:
$\beta_{\theta} = \frac{\lambda}{d}$
दिया गया है:
कोणीय चौड़ाई $\beta_{\theta} = 0.1 \ radian$
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6000 \ \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10} \ m = 6 \times 10^{-7} \ m$
हमें झिरियों के बीच की दूरी $(d)$ ज्ञात करनी है:
$d = \frac{\lambda}{\beta_{\theta}}$
$d = \frac{6 \times 10^{-7} \ m}{0.1}$
$d = 6 \times 10^{-6} \ m$
चूंकि $1 \ \mu m = 10^{-6} \ m$,इसलिए:
$d = 6 \ \mu m$
अतः,दोनों झिरियों के बीच की दूरी $6 \ \mu m$ है।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश स्रोत की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिट्स के बीच की दूरी है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ स्लिट के अलगाव $d$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है (अर्थात,$\beta \propto \frac{1}{d}$)।
इसलिए,यदि हम स्लिट्स के बीच की दूरी $(d)$ को कम करते हैं,तो फ्रिंज की चौड़ाई $(\beta)$ बढ़ जाएगी।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट्स और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
जैसे-जैसे स्लिट्स के बीच की दूरी $d$ बढ़ाई जाती है,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ घटती जाती है।
जैसे-जैसे $d$ बढ़ता रहता है,फ्रिंज की चौड़ाई इतनी कम हो जाती है कि अंततः फ्रिंज अलग-अलग दिखाई नहीं देतीं और गायब हो जाती हैं।

(D) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग (Young's Double Slit Experiment) में दीप्त फ्रिंज के निर्माण की शर्त $y = \frac{n D \lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि फ्रिंज एक ही स्थान पर बनती हैं,इसलिए उनकी स्थितियां समान हैं: $y_{\text{blue}} = y_{\text{red}}$.
$(n + 4)^{th}$ नीली दीप्त फ्रिंज के लिए: $y_{\text{blue}} = (n + 4) \frac{D \lambda_{\text{blue}}}{d}$.
$n^{th}$ लाल दीप्त फ्रिंज के लिए: $y_{\text{red}} = n \frac{D \lambda_{\text{red}}}{d}$.
दोनों को बराबर करने पर: $(n + 4) \lambda_{\text{blue}} = n \lambda_{\text{red}}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(n + 4) \times 5200\,\mathring{A} = n \times 7800\,\mathring{A}$.
दोनों पक्षों को $2600\,\mathring{A}$ से विभाजित करने पर: $(n + 4) \times 2 = n \times 3$.
$2n + 8 = 3n$.
$n = 8$.

(C) इलेक्ट्रॉन के लिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $v$ इसका वेग है।
$Y.D.S.E.$ में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है और $d$ स्लिट के बीच की दूरी है।
$\lambda$ के व्यंजक को फ्रिंज चौड़ाई के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\beta = \frac{hD}{mvd}$ प्राप्त होता है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $\beta \propto \frac{1}{v}$ है।
इसलिए,जब इलेक्ट्रॉनों का वेग $v$ बढ़ाया जाता है,तो फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ घट जाती है।

(A) एक तरंगदैर्ध्य की $n^{th}$ फ्रिंज और दूसरी तरंगदैर्ध्य की $(n+1)^{th}$ फ्रिंज के संपाती होने की शर्त $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$ है।
यहाँ,$n_1 = n$,$\lambda_1 = 7800 \, \mathring{A}$,$n_2 = n+1$,और $\lambda_2 = 5200 \, \mathring{A}$ है।
मान रखने पर: $n \times 7800 = (n + 1) \times 5200$.
दोनों पक्षों को $2600$ से विभाजित करने पर: $n \times 3 = (n + 1) \times 2$.
$3n = 2n + 2$.
$n = 2$.

(B) यंग के डबल स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
दिए गए मान हैं:
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6000\,\mathring{A} = 6000 \times 10^{-10}\, m = 6 \times 10^{-7}\, m$.
स्लिट्स के बीच की दूरी $d = 4\, mm = 4 \times 10^{-3}\, m$.
पर्दे की दूरी $D = 2\, m$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\beta = \frac{6 \times 10^{-7} \times 2}{4 \times 10^{-3}}$
$\beta = \frac{12 \times 10^{-7}}{4 \times 10^{-3}}$
$\beta = 3 \times 10^{-4}\, m$.
मीटर को मिलीमीटर में बदलने पर:
$\beta = 3 \times 10^{-4} \times 10^3\, mm = 0.3\, mm$.

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,स्क्रीन पर किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\Delta\phi)$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $I_1 = I_2 = I_0$ दिया गया है,इसलिए सूत्र $I = 2I_0 + 2I_0 \cos(\Delta\phi) = 4I_0 \cos^2(\frac{\Delta\phi}{2})$ हो जाता है।
एक स्लिट के सामने की स्थिति $y = \frac{d}{2}$ के अनुरूप है।
पथ अंतर $\Delta x = d \sin \theta \approx d \tan \theta = d \cdot \frac{y}{D}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$y = \frac{d}{2}$ और $D = 10d$ रखने पर,हमें $\Delta x = d \cdot \frac{d/2}{10d} = \frac{d}{20}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $d = 5\lambda$ दिया गया है,पथ अंतर $\Delta x = \frac{5\lambda}{20} = \frac{\lambda}{4}$ है।
कलांतर $\Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
अब,तीव्रता $I = 2I_0(1 + \cos(\frac{\pi}{2})) = 2I_0(1 + 0) = 2I_0$ प्राप्त होती है।

(D) तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है,$I \propto A^2$।
यहाँ दो स्रोतों के आयाम $A_1 = 3a$ और $A_2 = a$ दिए गए हैं।
दीप्त फ्रिंज के लिए अधिकतम तीव्रता $(I_{\max})$ इस प्रकार है: $I_{\max} = (A_1 + A_2)^2 = (3a + a)^2 = (4a)^2 = 16a^2$।
अदीप्त फ्रिंज के लिए न्यूनतम तीव्रता $(I_{\min})$ इस प्रकार है: $I_{\min} = (A_1 - A_2)^2 = (3a - a)^2 = (2a)^2 = 4a^2$।
अतः,दीप्त और अदीप्त फ्रिंजों की तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{16a^2}{4a^2} = \frac{4}{1}$ होगा।

(C) केंद्रीय उच्चिष्ठ की स्थिति माध्यम पर निर्भर नहीं करती है,इसलिए यह $Y = 2 \, cm$ पर ही रहेगा।
फ्रिंज चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है। जब इसे $n = 1.5$ अपवर्तनांक वाले द्रव में डुबोया जाता है,तो तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{\lambda}{n}$ हो जाती है।
अतः,नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta' = \frac{\beta}{n} = \frac{\beta}{1.5}$ हो जाती है।
प्रारंभ में केंद्रीय उच्चिष्ठ और $10$ वें उच्चिष्ठ के बीच की दूरी $\Delta Y = 5 \, cm - 2 \, cm = 3 \, cm$ है।
द्रव में,नई दूरी $\Delta Y' = \frac{\Delta Y}{n} = \frac{3 \, cm}{1.5} = 2 \, cm$ होगी।
इसलिए,$10$ वें उच्चिष्ठ की नई स्थिति $Y' = Y_{central} + \Delta Y' = 2 \, cm + 2 \, cm = 4 \, cm$ होगी।

(C) द्वि-स्लिट प्रयोग में किसी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\phi / 2)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
दिया गया है $I = I_{max} / 4$,इसलिए $I_{max} / 4 = I_{max} \cos^2(\phi / 2)$।
इसे सरल करने पर $\cos^2(\phi / 2) = 1/4$ प्राप्त होता है,अतः $\cos(\phi / 2) = 1/2$।
इस प्रकार,$\phi / 2 = 60^{\circ}$ या $\pi / 3$ रेडियन,जिसका अर्थ है कि कलांतर $\phi = 120^{\circ}$ या $2\pi / 3$ रेडियन है।
पथ अंतर $\Delta$ कलांतर से $\Delta = (\lambda / 2\pi) \times \phi$ द्वारा संबंधित है।
$\phi = 2\pi / 3$ रखने पर,हमें $\Delta = (\lambda / 2\pi) \times (2\pi / 3) = \lambda / 3$ प्राप्त होता है।
छोटे कोणों के लिए,पथ अंतर $\Delta = d \sin \theta$ होता है,जहाँ $d$ स्लिट के बीच की दूरी है।
इसलिए,$d \sin \theta = \lambda / 3$,जिससे $\sin \theta = \lambda / (3d)$ प्राप्त होता है।
अतः,कोणीय स्थिति $\theta = \sin ^{-1}(\lambda / 3d)$ है।

(A) हवा में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
दिया गया है: स्लिट पृथक्करण $d = 0.2 \, cm = 2 \times 10^{-3} \, m$,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 600 \, nm = 600 \times 10^{-9} \, m$,और पर्दे की दूरी $D = 1 \, m$ है।
सबसे पहले,हवा में फ्रिंज की चौड़ाई की गणना करें: $\beta = \frac{600 \times 10^{-9} \times 1}{2 \times 10^{-3}} = 300 \times 10^{-6} \, m = 0.3 \, mm$ है।
जब सिस्टम को $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में डुबोया जाता है,तो तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है,इसलिए नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta' = \frac{\beta}{\mu}$ होती है।
यहाँ $\mu = \frac{4}{3}$ दिया गया है,इसलिए नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta' = \frac{0.3}{4/3} = 0.3 \times \frac{3}{4} = 0.225 \, mm$ होगी।

(B) $Y.D.S.E.$ में उच्चिष्ठ के लिए शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ उच्चिष्ठ का क्रम है।
अधिकतम संभव क्रम $n$ के लिए,हम सीमा $\theta \to 90^{\circ}$ पर विचार करते हैं,इसलिए $\sin \theta \to 1$ होता है।
अतः,$n < \frac{d}{\lambda}$।
यहाँ $d = 700 \ nm$ और $\lambda = 200 \ nm$ दिया गया है,इसलिए $n < \frac{700}{200} = 3.5$।
$n$ के लिए संभावित पूर्णांक मान $0, \pm 1, \pm 2, \pm 3$ हैं।
कुल उच्चिष्ठों की संख्या $= 2n_{max} + 1 = 2(3) + 1 = 7$।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,केंद्रीय उच्चिष्ठ से $n$-वें दीप्त फ्रिंज (उच्चिष्ठ) की स्थिति का सूत्र है: $x_n = \frac{n \lambda D}{d}$.
यहाँ,$n = 4$ (चौथे उच्चिष्ठ के लिए),$D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ दोनों स्लिटों के बीच की दूरी है।
चूंकि दोनों प्रयोगों के लिए $n$,$D$ और $d$ स्थिर हैं,इसलिए स्थिति $x$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के सीधे आनुपातिक है $(x \propto \lambda)$।
दिया गया है कि $\lambda_{blue} = 4360 \, \mathring{A}$ और $\lambda_{green} = 5460 \, \mathring{A}$।
चूंकि $\lambda_{blue} < \lambda_{green}$,इसलिए $X_{blue} < X_{green}$ होगा।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र है: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ पर्दे और स्लिटों के बीच की दूरी है,और $d$ स्लिटों के बीच की दूरी है।
फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ को समान बनाए रखने के लिए,अनुपात $\frac{D}{d}$ को स्थिर रहना चाहिए।
यदि स्लिटों के बीच की दूरी $d$ को दोगुना कर दिया जाए (अर्थात $d' = 2d$),तो $\beta$ को स्थिर रखने के लिए,हमारे पास $\frac{D'}{d'} = \frac{D}{d}$ होना चाहिए।
$d' = 2d$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{D'}{2d} = \frac{D}{d}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $D' = 2D$।
अतः,दूरी $D$ को दोगुना करना आवश्यक है।

(A) जब $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली कांच की प्लेट को एक किरण के पथ में रखा जाता है,तो उत्पन्न पथ अंतर $\Delta x = (\mu - 1)t$ होता है।
मूल केंद्रीय उच्चिष्ठ की स्थिति पर तीव्रता अपरिवर्तित रहने की शर्त यह है कि नया पथ अंतर तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए,ताकि कलांतर $2\pi$ का गुणज हो।
तीव्रता समान रहने के लिए (अर्थात संपोषी व्यतिकरण),पथ अंतर $\Delta x = n\lambda$ होना चाहिए,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ है।
प्रथम क्रम के संपोषी व्यतिकरण $(n = 1)$ के लिए पथ अंतर को बराबर रखने पर:
$(\mu - 1)t = \lambda$
यहाँ $\mu = 1.5$ दिया गया है:
$(1.5 - 1)t = \lambda$
$0.5t = \lambda$
$t = 2\lambda$
अतः,न्यूनतम मोटाई $2\lambda$ है।

(C) $YDSE$ में फ्रिंज की कोणीय चौड़ाई $\beta_{\theta} = \frac{\lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है और $d$ स्लिट के बीच की दूरी है।
दिया गया है: $\beta_{\theta} = 1^o = \frac{\pi}{180} \text{ रेडियन}$ और $d = 0.01\,mm = 10^{-5}\,m$.
मान रखने पर: $\lambda = \beta_{\theta} \times d = \frac{\pi}{180} \times 10^{-5}\,m$.
$\lambda = 0.01745 \times 10^{-5}\,m = 1.745 \times 10^{-7}\,m$.
माइक्रोमीटर में बदलने पर: $\lambda = 0.1745 \times 10^{-6}\,m = 0.1745\,\mu m \approx 0.174\,\mu m$.

(C) दिया गया है: स्लिट पृथक्करण $d = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$,पर्दे की दूरी $D = 1 \, m$,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5 \times 10^{-7} \, m$.
$n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_{bright} = n \frac{D \lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$5^{th}$ दीप्त फ्रिंज के लिए $(n=5)$: $y_1 = 5 \frac{D \lambda}{d}$.
$n^{th}$ अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_{dark} = (n - 0.5) \frac{D \lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$3^{rd}$ अदीप्त फ्रिंज के लिए $(n=3)$: $y_2 = (3 - 0.5) \frac{D \lambda}{d} = 2.5 \frac{D \lambda}{d}$.
उनके बीच की दूरी $\Delta y = |y_1 - y_2| = |5 - 2.5| \frac{D \lambda}{d} = 2.5 \frac{D \lambda}{d}$ है।
मान रखने पर:
$\Delta y = 2.5 \times \frac{1 \times 5 \times 10^{-7}}{10^{-3}} \, m$
$\Delta y = 2.5 \times 5 \times 10^{-4} \, m = 12.5 \times 10^{-4} \, m = 1.25 \times 10^{-3} \, m = 1.25 \, mm$.

(D) $YDSE$ में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\omega = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट्स और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
दिया गया है कि नई दूरी $d' = \frac{d}{2}$ और नई दूरी $D' = 2D$ है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\omega'$ होगी: $\omega' = \frac{\lambda D'}{d'} = \frac{\lambda (2D)}{(d/2)} = 4 \times \frac{\lambda D}{d} = 4\omega$.
अतः,फ्रिंज की चौड़ाई मूल मान की $4$ गुनी हो जाएगी।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $n$-वें क्रम की दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = n \lambda \frac{D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$\lambda_1$ तरंगदैर्घ्य के लिए तीसरी क्रम की दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_1 = 3 \lambda_1 \frac{D}{d}$ है।
$\lambda_2$ तरंगदैर्घ्य के लिए चौथी क्रम की दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_2 = 4 \lambda_2 \frac{D}{d}$ है।
यह दिया गया है कि फ्रिंज संपाती हैं,इसलिए $y_1 = y_2$ है।
अतः,$3 \lambda_1 \frac{D}{d} = 4 \lambda_2 \frac{D}{d}$।
समीकरण को सरल करने पर,हमें $3 \lambda_1 = 4 \lambda_2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{4}{3}$ है।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई (फ्रिंज पृथक्करण) का सूत्र $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ है।
दिया गया है:
स्लिट्स के बीच की दूरी,$d = 1\, mm = 1 \times 10^{-3}\, m$.
स्क्रीन की दूरी,$D = 1\, m$.
प्रकाश की तरंगदैर्ध्य,$\lambda = 500\, nm = 500 \times 10^{-9}\, m = 5 \times 10^{-7}\, m$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\beta = \frac{1 \times 5 \times 10^{-7}}{1 \times 10^{-3}} = 5 \times 10^{-4}\, m$.
अतः,फ्रिंज पृथक्करण $5 \times 10^{-4}\, m$ है।

(A) अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2 = \frac{25}{9}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} = \frac{5}{3}$ प्राप्त होता है।
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) नियम का उपयोग करने पर,$\frac{A_1}{A_2} = \frac{5+3}{5-3} = \frac{8}{2} = \frac{4}{1}$ प्राप्त होता है।
स्लिटों की चौड़ाई का अनुपात $(w_1/w_2)$ उनके आयामों के वर्गों के अनुपात $(A_1^2/A_2^2)$ के समानुपाती होता है।
अतः,$\frac{w_1}{w_2} = \left( \frac{A_1}{A_2} \right)^2 = \left( \frac{4}{1} \right)^2 = \frac{16}{1}$।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में एक स्थिर व्यतिकरण पैटर्न प्राप्त करने के लिए,प्रकाश स्रोत सुसंगत (coherent) होने चाहिए।
$(1)$ प्रकाश का एक सामान्य विस्तारित स्रोत यादृच्छिक कला अंतर वाले तरंगों का उत्सर्जन करता है। एक संकीर्ण स्लिट एक द्वितीयक स्रोत के रूप में कार्य करती है,जो स्थानिक सुसंगतता सुनिश्चित करती है,जो व्यतिकरण के लिए आवश्यक है।
$(2)$ प्रकाश की एक अच्छी तरह से कोलिमेटेड किरण (जैसे लेजर) स्वाभाविक रूप से सुसंगत होती है। इसलिए,सुसंगतता स्थापित करने के लिए प्रारंभिक स्लिट की आवश्यकता नहीं होती है।
$(3)$ एक स्थानिक रूप से सुसंगत बिंदु स्रोत पहले से ही स्थिर कला संबंध वाली तरंगें प्रदान करता है। इसलिए,सुसंगतता बनाने के लिए किसी अतिरिक्त स्लिट की आवश्यकता नहीं है।
चूंकि तीनों कथन व्यतिकरण प्रयोगों में सुसंगतता प्राप्त करने के लिए मान्य स्थितियों का वर्णन करते हैं,इसलिए सभी कथन सही हैं।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,$\lambda$ तरंगदैर्ध्य के लिए $n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
दो तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 2500 \,\mathring{A}$ और $\lambda_2 = 3500 \,\mathring{A}$ के लिए एक ही स्थान $y$ पर संपाती होने के लिए:
$n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$n_1 \times 2500 = n_2 \times 3500$
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{3500}{2500} = \frac{7}{5}$
इसका अर्थ है कि $1^{st}$ स्रोत $(\lambda_1 = 2500 \,\mathring{A})$ की $7^{th}$ क्रम की फ्रिंज,$2^{nd}$ स्रोत $(\lambda_2 = 3500 \,\mathring{A})$ की $5^{th}$ क्रम की फ्रिंज के साथ संपाती होती है।