Intensity in Young's Double Slit Experiment Questions in Hindi

(B) माना कि दो तरंगों की तीव्रता $I_1$ और $I_2$ है।
दिया गया है कि तीव्रताओं का अनुपात $I_1 : I_2 = 9 : 1$ है। माना $I_1 = 9x$ और $I_2 = x$ है।
व्यतिकरण पैटर्न में अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता के अनुपात का सूत्र $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} \right)^2$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\sqrt{9x} + \sqrt{x}}{\sqrt{9x} - \sqrt{x}} \right)^2$.
इसे सरल करने पर $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{3\sqrt{x} + \sqrt{x}}{3\sqrt{x} - \sqrt{x}} \right)^2 = \left( \frac{4\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} \right)^2$.
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = (2)^2 = 4$.
अतः,अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $4 : 1$ है।

(C) दिया गया है कि दो तरंगों की तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{9}{1}$ है।
माना कि दो तरंगों के आयाम $A_1$ और $A_2$ हैं। चूँकि तीव्रता $I \propto A^2$ होती है,आयामों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \sqrt{\frac{9}{1}} = \frac{3}{1}$ होगा।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2$.
मान रखने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{3 + 1}{3 - 1} \right)^2 = \left( \frac{4}{2} \right)^2 = (2)^2 = \frac{4}{1}$.
अतः,अनुपात $4:1$ है।

(D) दिया गया है कि दो कला-संबद्ध स्रोतों की तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{100}{1}$ है।
मान लीजिए आयाम $A_1$ और $A_2$ हैं,ताकि $\frac{I_1}{I_2} = \frac{A_1^2}{A_2^2} = 100$,जिसका अर्थ है कि $\frac{A_1}{A_2} = 10$ है।
अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\text{max}}}{I_{\text{min}}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2 = \left( \frac{\frac{A_1}{A_2} + 1}{\frac{A_1}{A_2} - 1} \right)^2$.
$\frac{A_1}{A_2} = 10$ का मान रखने पर:
$\frac{I_{\text{max}}}{I_{\text{min}}} = \left( \frac{10 + 1}{10 - 1} \right)^2 = \left( \frac{11}{9} \right)^2 = \frac{121}{81}$.

(B) $I_1$ और $I_2$ तीव्रता और $\phi$ कलान्तर वाली दो व्यतिकरण करने वाली किरणों के लिए परिणामी तीव्रता $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $I_1 = I$ और $I_2 = 4I$ दिया गया है।
बिंदु $A$ पर,कलान्तर $\phi_A = \frac{\pi}{2}$ है।
$I_A = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\frac{\pi}{2}) = 5I + 0 = 5I$.
बिंदु $B$ पर,कलान्तर $\phi_B = \pi$ है।
$I_B = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\pi) = 5I + 2(2I)(-1) = 5I - 4I = I$.
अतः $A$ और $B$ पर परिणामी तीव्रताओं के बीच का अंतर $|I_A - I_B| = |5I - I| = 4I$ है।

(A) तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम $a$ के वर्ग के समानुपाती होती है,अर्थात $I \propto a^2$।
दिए गए आयामों का अनुपात $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{9}$ है।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2 = \left( \frac{\frac{a_1}{a_2} + 1}{\frac{a_1}{a_2} - 1} \right)^2$।
दिए गए अनुपात $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{9}$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\frac{1}{9} + 1}{\frac{1}{9} - 1} \right)^2 = \left( \frac{\frac{10}{9}}{-\frac{8}{9}} \right)^2 = \left( -\frac{10}{8} \right)^2 = \left( -\frac{5}{4} \right)^2 = \frac{25}{16}$।

(A) दिया गया है कि पहली स्लिट की तीव्रता $I_1 = 2I_2$,जहाँ $I_2$ दूसरी स्लिट की तीव्रता है।
व्यतिकरण पैटर्न में अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} \right)^2$
सूत्र में $I_1 = 2I_2$ रखने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\sqrt{2I_2} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{2I_2} - \sqrt{I_2}} \right)^2 = \left( \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} \right)^2$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} \right)^2 = (\sqrt{2} + 1)^4 = (2 + 1 + 2\sqrt{2})^2 = (3 + 2\sqrt{2})^2$
मान की गणना करने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = 9 + 8 + 12\sqrt{2} = 17 + 12(1.414) \approx 17 + 16.968 \approx 33.968 \approx 34$.

(A) व्यतिकरण फ्रिंजों की दृश्यता $V$ को $V = \frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यदि दो कला-सम्बद्ध स्रोतों की तीव्रताएँ $I_1$ और $I_2$ हैं,तो $I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ और $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ होता है।
इन मानों को $V$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$V = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 - (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 + (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2} = \frac{4\sqrt{I_1 I_2}}{2(I_1 + I_2)} = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2}$.
अंश और हर को $I_2$ से विभाजित करने पर:
$V = \frac{2\sqrt{I_1/I_2}}{I_1/I_2 + 1}$.
चूँकि अनुपात $p = I_1/I_2$ दिया गया है,इसलिए:
$V = \frac{2\sqrt{p}}{1 + p}$.

(A) दी गई तीव्रताओं का अनुपात: $\frac{I_1}{I_2} = \frac{9}{1}$ है।
चूंकि तीव्रता $I \propto A^2$ होती है,इसलिए आयामों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \sqrt{\frac{9}{1}} = \frac{3}{1}$ होगा।
मान लीजिए $A_1 = 3x$ और $A_2 = x$ है।
अधिकतम आयाम $A_{max} = A_1 + A_2 = 3x + x = 4x$ होगा।
न्यूनतम आयाम $A_{min} = |A_1 - A_2| = |3x - x| = 2x$ होगा।
अतः,अधिकतम आयाम और न्यूनतम आयाम का अनुपात $\frac{A_{max}}{A_{min}} = \frac{4x}{2x} = \frac{2}{1}$ प्राप्त होता है।

(A) व्यतिकरण प्रतिरूप में,तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता के लिए,$\cos \phi$ क्रमशः $1$ और $-1$ होता है।
$I_{\text{max}} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ और $I_{\text{min}} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$।
दिया गया है कि $\frac{I_{\text{max}}}{I_{\text{min}}} = \frac{9}{1}$,इसलिए $\frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2} = 9$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} = 3$।
योगानुपात और अंतरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर: $\frac{\sqrt{I_1}}{\sqrt{I_2}} = \frac{3+1}{3-1} = \frac{4}{2} = 2$।
अतः,स्रोतों की तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = (2)^2 = 4$ है।

(C) प्रकाश की तीव्रता $I$,स्लिट की चौड़ाई $W$ के सीधे आनुपातिक होती है,इसलिए $\frac{I_1}{I_2} = \frac{W_1}{W_2} = \frac{4}{9}$ है।
मान लीजिए $I_1 = 4k$ और $I_2 = 9k$ है। आयाम तीव्रता के वर्गमूल के आनुपातिक होते हैं,इसलिए $A_1 = \sqrt{4k} = 2\sqrt{k}$ और $A_2 = \sqrt{9k} = 3\sqrt{k}$ होगा।
अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{(A_1 + A_2)^2}{(A_1 - A_2)^2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{(2\sqrt{k} + 3\sqrt{k})^2}{(2\sqrt{k} - 3\sqrt{k})^2} = \frac{(5\sqrt{k})^2}{(-\sqrt{k})^2} = \frac{25k}{k} = \frac{25}{1}$।
अतः,अनुपात $25:1$ है।

(D) द्वि-स्लिट प्रयोग में तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = (2\pi/\lambda) \Delta x$ है।
स्थिति $1$: पथ अंतर $\Delta x = \lambda$. अतः $\phi = (2\pi/\lambda) \times \lambda = 2\pi$.
तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2(2\pi/2) = 4I_0 \cos^2(\pi) = 4I_0(1)^2 = 4I_0 = K$.
स्थिति $2$: पथ अंतर $\Delta x = \lambda/4$. अतः $\phi = (2\pi/\lambda) \times (\lambda/4) = \pi/2$.
तीव्रता $I' = 4I_0 \cos^2((\pi/2)/2) = 4I_0 \cos^2(\pi/4) = 4I_0 (1/\sqrt{2})^2 = 4I_0(1/2) = 2I_0$.
चूँकि $K = 4I_0$,इसलिए $2I_0 = K/2$.
अतः,उस बिंदु पर तीव्रता $K/2$ है।

(A) कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच का संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
पहले बिंदु के लिए,पथ अंतर $\Delta x_1 = \lambda$ है। अतः,कलांतर $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$ है।
तीव्रता का सूत्र $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ है। चूँकि स्रोत समान हैं,$I_1 = I_2 = I_0$,इसलिए $I = 2I_0 + 2I_0 \cos \phi = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ है।
पहले बिंदु के लिए: $K = 4I_0 \cos^2(2\pi/2) = 4I_0 \cos^2(\pi) = 4I_0(1)^2 = 4I_0$। इसलिए,$I_0 = K/4$ प्राप्त होता है।
दूसरे बिंदु के लिए,पथ अंतर $\Delta x_2 = \lambda/4$ है। कलांतर $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
इस बिंदु पर तीव्रता $I' = 4I_0 \cos^2(\phi_2/2) = 4I_0 \cos^2(\pi/4) = 4I_0 (1/\sqrt{2})^2 = 4I_0 (1/2) = 2I_0$ है।
$I_0 = K/4$ रखने पर,$I' = 2(K/4) = K/2$ इकाई प्राप्त होती है।

(B) कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
जब पथ अंतर $\Delta x_1 = \lambda$ है,तो कलांतर $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$ होता है।
तीव्रता का सूत्र $I = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ है।
$\phi_1 = 2\pi$ के लिए,$I_1 = I_{max} \cos^2(\pi) = I_{max} = k$ प्राप्त होता है।
जब पथ अंतर $\Delta x_2 = \lambda/4$ है,तो कलांतर $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ होता है।
इस बिंदु पर तीव्रता $I_2 = I_{max} \cos^2(\phi_2/2) = k \cos^2(\pi/4)$ होगी।
चूंकि $\cos(\pi/4) = 1/\sqrt{2}$,इसलिए $I_2 = k \times (1/\sqrt{2})^2 = k/2$ प्राप्त होता है।

(B) स्क्रीन पर किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0$ प्रत्येक तरंग की तीव्रता है और $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = (2\pi / \lambda) \times \Delta x$ है।
स्थिति $1$: जब पथ अंतर $\Delta x = \lambda$ है,तो कलांतर $\phi = (2\pi / \lambda) \times \lambda = 2\pi$ होता है।
तीव्रता के सूत्र में मान रखने पर: $I = 4I_0 \cos^2(2\pi / 2) = 4I_0 \cos^2(\pi) = 4I_0(1)^2 = 4I_0$. दिया गया है कि यह तीव्रता $K$ है,इसलिए $K = 4I_0$ है।
स्थिति $2$: जब पथ अंतर $\Delta x = \lambda / 4$ है,तो कलांतर $\phi = (2\pi / \lambda) \times (\lambda / 4) = \pi / 2$ होता है।
तीव्रता के सूत्र में मान रखने पर: $I' = 4I_0 \cos^2((\pi / 2) / 2) = 4I_0 \cos^2(\pi / 4) = 4I_0 (1 / \sqrt{2})^2 = 4I_0 (1 / 2) = 2I_0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $K = 4I_0$ है,इसलिए $2I_0 = K / 2$ होगा। अतः,तीव्रता $K / 2$ होगी।

(B) प्रकाश की तीव्रता $I$,स्लिट की चौड़ाई $W$ के सीधे आनुपातिक होती है,और तरंग के आयाम $A$ के वर्ग के भी आनुपातिक होती है।
$\therefore \frac{I_1}{I_2} = \frac{W_1}{W_2} = \frac{A_1^2}{A_2^2}$
दी गई चौड़ाई का अनुपात $\frac{W_1}{W_2} = \frac{1}{25}$ है,इसलिए:
$\frac{A_1^2}{A_2^2} = \frac{1}{25} \implies \frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$
अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{(A_1 + A_2)^2}{(A_1 - A_2)^2} = \left( \frac{\frac{A_1}{A_2} + 1}{\frac{A_1}{A_2} - 1} \right)^2$
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{5}$ का मान रखने पर:
$\frac{I_{max}}{I_{min}} = \left( \frac{\frac{1}{5} + 1}{\frac{1}{5} - 1} \right)^2 = \left( \frac{\frac{6}{5}}{-\frac{4}{5}} \right)^2 = \left( -\frac{6}{4} \right)^2 = \left( -\frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4}$

(A) मान लीजिए कि दो स्रोतों की तीव्रता $I_1$ और $I_2$ है,जहाँ $\frac{I_1}{I_2} = \alpha$ है। चूंकि $I \propto A^2$,इसलिए $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\alpha}$ होगा।
व्यतिकरण पैटर्न में अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता $I_{max} = (A_1 + A_2)^2$ और $I_{min} = (A_1 - A_2)^2$ द्वारा दी जाती है।
हमें $\frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}}$ का मान ज्ञात करना है।
$I_{max}$ और $I_{min}$ के व्यंजक रखने पर:
$\frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}} = \frac{(A_1 + A_2)^2 - (A_1 - A_2)^2}{(A_1 + A_2)^2 + (A_1 - A_2)^2}$
वर्गों का विस्तार करने पर:
$= \frac{(A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2) - (A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2)}{(A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2) + (A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2)}$
$= \frac{4A_1A_2}{2(A_1^2 + A_2^2)} = \frac{2A_1A_2}{A_1^2 + A_2^2}$
अंश और हर को $A_2^2$ से विभाजित करने पर:
$= \frac{2(A_1/A_2)}{(A_1/A_2)^2 + 1}$
चूंकि $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\alpha}$,इस मान को रखने पर:
$= \frac{2\sqrt{\alpha}}{(\sqrt{\alpha})^2 + 1} = \frac{2\sqrt{\alpha}}{\alpha + 1}$।

(B) फ्रिंज दृश्यता $V$ को $V = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
दिया गया है कि दो स्रोतों की तीव्रता $I_1$ और $I_2$ है,जहाँ $\frac{I_1}{I_2} = p$ है।
अधिकतम तीव्रता $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ और न्यूनतम तीव्रता $I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ है।
इन मानों को दृश्यता के सूत्र में रखने पर:
$V = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 - (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 + (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2} = \frac{4\sqrt{I_1 I_2}}{2(I_1 + I_2)} = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2}$.
अंश और हर को $I_2$ से विभाजित करने पर:
$V = \frac{2\sqrt{I_1/I_2}}{I_1/I_2 + 1} = \frac{2\sqrt{p}}{p + 1}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) व्यतिकरण प्रतिरूप में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
दिए गए पथ अंतर $\Delta = \frac{\lambda}{4}$ के लिए,कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta = \frac{2\pi}{\lambda} \left( \frac{\lambda}{4} \right) = \frac{\pi}{2}$ है।
इस बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2 \left( \frac{\pi/2}{2} \right) = I_{max} \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} \right) = I_{max} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{I_{max}}{2}$ है।
केंद्रीय फ्रिंज पर पथ का अंतर $0$ होता है,इसलिए वहाँ तीव्रता $I_{max}$ होती है।
अतः,इस बिंदु पर तीव्रता और केंद्रीय फ्रिंज पर तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{max}/2}{I_{max}} = \frac{1}{2}$ या $1:2$ होगा।

(A) अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} = \frac{49}{9}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\frac{a+b}{a-b} = \frac{7}{3}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर,$3(a+b) = 7(a-b)$,जो $3a + 3b = 7a - 7b$ में सरल हो जाता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$4a = 10b$,इसलिए आयामों का अनुपात $\frac{a}{b} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$ है।
चूंकि तीव्रता $I \propto a^2$ होती है,इसलिए घटक तरंगों की तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{a^2}{b^2} = \left(\frac{a}{b}\right)^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} = 6.25$ है।

(A) व्यतिकरण पैटर्न में तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
केंद्रीय दीप्त फ्रिंज पर,कलांतर $\phi = 0$ है,इसलिए $I_1 = 4I_0 \cos^2(0) = 4I_0$।
केंद्र से $x = \frac{\beta}{4}$ दूरी पर स्थित बिंदु के लिए,जहाँ $\beta$ फ्रिंज चौड़ाई है,कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\beta} \cdot x$ द्वारा प्राप्त होता है।
$x = \frac{\beta}{4}$ रखने पर,हमें $\phi = \frac{2\pi}{\beta} \cdot \frac{\beta}{4} = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
इस बिंदु पर तीव्रता $I_2 = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4}) = 4I_0 (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 4I_0 \cdot \frac{1}{2} = 2I_0$ है।
तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{4I_0}{2I_0} = 2$ है।

(C) पथ अंतर $\Delta p = \frac{xd}{D}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $x = 4 \times 10^{-5} \, m$,$d = 0.25 \, cm = 2.5 \times 10^{-3} \, m$,और $D = 100 \, cm = 1 \, m$ है।
$\Delta p = \frac{(4 \times 10^{-5} \, m) \times (2.5 \times 10^{-3} \, m)}{1 \, m} = 10^{-7} \, m$.
कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta p$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\lambda = 6000 \mathring{A} = 6 \times 10^{-7} \, m$ है।
$\phi = \frac{2\pi}{6 \times 10^{-7}} \times 10^{-7} = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$.
परिणामी तीव्रता $I = I_0 \cos^2(\phi / 2)$ द्वारा दी जाती है।
$I = I_0 \cos^2(60^{\circ} / 2) = I_0 \cos^2(30^{\circ})$.
चूंकि $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $I = I_0 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = I_0 \times \frac{3}{4} = \frac{3I_0}{4}$.

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में पर्दे पर किसी बिंदु पर तीव्रता $I$ का सूत्र $I = I_0 \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right)$ है,जहाँ $I_0$ अधिकतम तीव्रता है और $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
दिए गए पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$ के लिए,हम कलांतर की गणना करते हैं:
$\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3}$.
अब,$\phi$ का मान तीव्रता के सूत्र में रखने पर:
$\frac{I}{I_0} = \cos^2 \left( \frac{\pi/3}{2} \right) = \cos^2 \left( \frac{\pi}{6} \right)$.
चूंकि $\cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए:
$\frac{I}{I_0} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{3}{4}$.

(A) माना आयाम $a_1 = a$ और $a_2 = 2a$ हैं। तीव्रताएँ $I_1 = a^2$ और $I_2 = (2a)^2 = 4a^2 = 4I_1$ हैं।
परिणामी तीव्रता $I$ का सूत्र $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ है।
मान रखने पर: $I = I_1 + 4I_1 + 2\sqrt{I_1(4I_1)} \cos \phi = 5I_1 + 4I_1 \cos \phi$.
अधिकतम तीव्रता $I_m$ तब होती है जब $\cos \phi = 1$,अतः $I_m = (a_1 + a_2)^2 = (a + 2a)^2 = 9a^2 = 9I_1$.
इस प्रकार,$I_1 = \frac{I_m}{9}$.
$I_1$ का मान $I$ के समीकरण में रखने पर:
$I = \frac{5I_m}{9} + \frac{4I_m}{9} \cos \phi = \frac{I_m}{9}(5 + 4 \cos \phi)$.
सर्वसमिका $\cos \phi = 2\cos^2 \frac{\phi}{2} - 1$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{I_m}{9}(5 + 4(2\cos^2 \frac{\phi}{2} - 1)) = \frac{I_m}{9}(5 + 8\cos^2 \frac{\phi}{2} - 4) = \frac{I_m}{9}(1 + 8\cos^2 \frac{\phi}{2})$.

(B) मान लीजिए कि दो सुसंबद्ध स्रोतों की तीव्रताएँ $I_1$ और $I_2$ हैं। दिया गया अनुपात $\beta = \frac{I_1}{I_2}$ है।
अधिकतम तीव्रता $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$.
न्यूनतम तीव्रता $I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$.
हमें $X = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}}$ की गणना करनी है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I_{\max} - I_{\min} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 - (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2 = 4\sqrt{I_1 I_2}$.
$I_{\max} + I_{\min} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 + (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2 = 2(I_1 + I_2)$.
अतः,$X = \frac{4\sqrt{I_1 I_2}}{2(I_1 + I_2)} = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2}$.
अंश और हर को $I_2$ से विभाजित करने पर:
$X = \frac{2\sqrt{I_1/I_2}}{I_1/I_2 + 1} = \frac{2\sqrt{\beta}}{\beta + 1}$.

(D) माना कि दो किरणों की तीव्रता $I_1 = I$ और $I_2 = I + \Delta I$ है।
दिया गया है कि तीव्रता में अंतर $1\%$ है,इसलिए $\frac{\Delta I}{I} = 1\% = 10^{-2}$।
$YDSE$ में निम्निष्ठ की तीव्रता का सूत्र $I_{\text{min}} = (\sqrt{I_2} - \sqrt{I_1})^2$ है।
मान रखने पर: $I_{\text{min}} = (\sqrt{I + \Delta I} - \sqrt{I})^2 = I \left( \sqrt{1 + \frac{\Delta I}{I}} - 1 \right)^2$।
छोटे $x$ के लिए द्विपद सन्निकटन $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ का उपयोग करने पर:
$I_{\text{min}} \approx I \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{\Delta I}{I} - 1 \right)^2 = I \left( \frac{1}{2} \frac{\Delta I}{I} \right)^2$।
$I_{\text{min}} = \frac{I}{4} \left( \frac{\Delta I}{I} \right)^2 = \frac{I}{4} (10^{-2})^2 = \frac{I}{4} (10^{-4})$।

(B) व्यतिकरण प्रतिरूप में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_0 \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
दिए गए पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$ के लिए,कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3}$ होगा।
इस मान को तीव्रता के सूत्र में रखने पर:
$I = I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi/3}{2} \right) = I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi}{6} \right)$.
चूंकि $\cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए:
$I = I_0 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = I_0 \times \frac{3}{4}$.
अतः,अनुपात $\frac{I_0}{I} = \frac{4}{3}$ है।

(C) तीव्रता $I$ आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है $(I \propto A^2)$।
दिए गए आयाम $A$ और $2A$ हैं,इसलिए तीव्रताएँ $I_1 = I$ और $I_2 = 4I$ होंगी।
अधिकतम तीव्रता $I_0 = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 = (\sqrt{I} + \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} + 2\sqrt{I})^2 = (3\sqrt{I})^2 = 9I$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$I = \frac{I_0}{9}$।
कलांतर $\phi$ वाले बिंदु पर परिणामी तीव्रता $I' = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $I' = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos \phi = 5I + 4I \cos \phi$।
$I = \frac{I_0}{9}$ रखने पर,हमें $I' = \frac{I_0}{9} (5 + 4 \cos \phi)$ प्राप्त होता है।

(D) माना कि दो सुसंगत किरणों की तीव्रता $I_1 = I$ और $I_2 = I + \Delta I$ है।
दिया गया है कि तीव्रता में अंतर $1\%$ है,इसलिए $\frac{\Delta I}{I} = 1\% = 10^{-2}$ है।
$YDSE$ सेटअप में निम्निष्ठ तीव्रता का सूत्र $I_{\text{min}} = (\sqrt{I_2} - \sqrt{I_1})^2$ होता है।
मान रखने पर,$I_{\text{min}} = (\sqrt{I + \Delta I} - \sqrt{I})^2 = I \left( \sqrt{1 + \frac{\Delta I}{I}} - 1 \right)^2$ प्राप्त होता है।
छोटे $x$ के लिए द्विपद सन्निकटन $(1+x)^n \approx 1 + nx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $x = \frac{\Delta I}{I} = 10^{-2}$:
$I_{\text{min}} \approx I \left( (1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\Delta I}{I}) - 1 \right)^2 = I \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{\Delta I}{I} \right)^2$ है।
$I_{\text{min}} = I \cdot \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{\Delta I}{I} \right)^2 = \frac{I}{4} (10^{-2})^2 = \frac{I}{4} (10^{-4})$।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में परिणामी तीव्रता का सूत्र $I_R = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right)$ है,जहाँ $I = 4I_0$ अधिकतम तीव्रता है।
दिया गया है कि किसी बिंदु पर तीव्रता $I' = \frac{I}{4} = \frac{4I_0}{4} = I_0$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $I_0 = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right)$।
$\cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right) = \frac{1}{4} \implies \cos\left(\frac{\phi}{2}\right) = \frac{1}{2}$।
इसका अर्थ है कि $\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{3} \implies \phi = \frac{2\pi}{3}$।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
चूँकि $\Delta x = d \sin \theta$,इसलिए $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} d \sin \theta$ होगा।
$\phi$ के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{2\pi}{\lambda} d \sin \theta = \frac{2\pi}{3}$।
$\sin \theta$ के लिए हल करने पर: $\sin \theta = \frac{\lambda}{3d}$।
अतः,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{\lambda}{3d}\right)$।

(C) दिया गया आयाम का अनुपात $A_1 : A_2 = 2 : 3$ है।
चूंकि तीव्रता $I \propto A^2$ होती है,इसलिए तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ है।
मान लीजिए $I_1 = 4k$ और $I_2 = 9k$ है।
न्यूनतम तीव्रता $I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2 = (\sqrt{4k} - \sqrt{9k})^2 = (2\sqrt{k} - 3\sqrt{k})^2 = (-\sqrt{k})^2 = k$ है।
अधिकतम तीव्रता $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 = (\sqrt{4k} + \sqrt{9k})^2 = (2\sqrt{k} + 3\sqrt{k})^2 = (5\sqrt{k})^2 = 25k$ है।
अतः,अनुपात $\frac{I_{\min}}{I_{\max}} = \frac{k}{25k} = \frac{1}{25}$ होगा।

(B) $YDSE$ में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_{max}$ केंद्रीय दीप्त फ्रिंज की तीव्रता है।
दिया गया है $I_{max} = 8 \, mW/m^2$ और पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$ है।
कलांतर $\phi$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3}$।
तीव्रता के सूत्र में मान रखने पर:
$I = 8 \cos^2(\frac{\pi/3}{2}) = 8 \cos^2(\frac{\pi}{6})$।
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\cos^2(\frac{\pi}{6}) = \frac{3}{4}$।
अतः,$I = 8 \times \frac{3}{4} = 6 \, mW/m^2$।

(A) माना कि दो स्रोतों की तीव्रताएँ $I_1$ और $I_2$ हैं। अधिकतम तीव्रता $I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ और न्यूनतम तीव्रता $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ है।
औसत तीव्रता $I_{avg} = I_1 + I_2$ है।
तीव्रता में परिवर्तन औसत तीव्रता का $5\%$ दिया गया है,इसलिए $I_{max} - I_{min} = 0.05 I_{avg}$ है।
हम जानते हैं कि $I_{max} - I_{min} = 4\sqrt{I_1 I_2}$ और $I_{avg} = I_1 + I_2$ होता है।
अतः,$4\sqrt{I_1 I_2} = 0.05(I_1 + I_2)$।
माना $x = I_1/I_2$ है। तो $4\sqrt{x} = 0.05(x + 1)$।
इस समीकरण को हल करने पर,हमें $x = \frac{1681}{1}$ प्राप्त होता है।

(A) एक दीप्त फ्रिंज के केंद्र $(P_1)$ पर,तीव्रता अधिकतम होती है,$I_1 = I_{max} = 4I_0$,जहाँ $I_0$ प्रत्येक झिरी की तीव्रता है।
केंद्र से $y$ दूरी पर पथ अंतर $\Delta x = \frac{yd}{D}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $y = \frac{\beta}{4}$,जहाँ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ फ्रिंज चौड़ाई है।
अतः,$\Delta x = \frac{(\lambda D / 4d) \cdot d}{D} = \frac{\lambda}{4}$.
कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$.
किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है।
बिंदु $P_2$ के लिए,$I_2 = I_1 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = I_1 \cos^2(\frac{\pi}{4})$.
चूँकि $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\cos^2(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$.
अतः,$I_2 = I_1 \cdot \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{I_1}{I_2} = 2$.

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक स्लिट की तीव्रता $I_0$ है। परिणामी तीव्रता $I_R = 4I_0 \cos^2(\frac{\Delta \phi}{2})$ द्वारा दी जाती है।
पथ अंतर $\Delta x = \lambda$ के लिए,कलांतर $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \lambda = 2\pi$ होता है।
$\Delta x = \lambda$ पर $I_R = M$ दिया गया है,इसलिए $M = 4I_0 \cos^2(\pi) = 4I_0(1)^2 = 4I_0$। अतः,$I_0 = \frac{M}{4}$।
पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{3}$ के लिए,कलांतर $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$ होता है।
परिणामी तीव्रता $I_R' = 4I_0 \cos^2(\frac{2\pi/3}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi}{3})$ है।
$I_0 = \frac{M}{4}$ और $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ रखने पर,हमें $I_R' = 4(\frac{M}{4}) \cdot (\frac{1}{2})^2 = M \cdot \frac{1}{4} = \frac{M}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) माना कि दो कला-संबद्ध स्रोतों की तीव्रता $I_1$ और $I_2$ है। दिए गए अनुपात $I_1/I_2 = \beta/1$ के अनुसार,$I_1 = \beta I$ और $I_2 = I$ है।
फ्रिंज दृश्यता (या कंट्रास्ट) $V$ को अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता के अंतर और उनके योग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$V = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}}$
हम जानते हैं कि $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ और $I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 - (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 + (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2} = \frac{4\sqrt{I_1 I_2}}{2(I_1 + I_2)} = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2}$
अब $I_1 = \beta I$ और $I_2 = I$ रखने पर:
$V = \frac{2\sqrt{(\beta I)(I)}}{\beta I + I} = \frac{2\sqrt{\beta} I}{I(\beta + 1)} = \frac{2\sqrt{\beta}}{1 + \beta}$

(A) कलांतर $\Delta \phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच का संबंध: $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$ है।
यहाँ $\Delta x = \frac{\lambda}{8}$ दिया गया है,इसलिए $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{8} = \frac{\pi}{4}$ होगा।
किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\Delta \phi)$ सूत्र द्वारा दी जाती है। यदि $I_1 = I_2 = I_0$ मान लें,तो $I = 2I_0 + 2I_0 \cos(\frac{\pi}{4}) = 2I_0(1 + \frac{1}{\sqrt{2}})$ होगा।
केंद्रीय फ्रिंज पर तीव्रता (जहाँ $\Delta x = 0$) $I_{max} = (\sqrt{I_0} + \sqrt{I_0})^2 = 4I_0$ होती है।
तीव्रता का अनुपात $\frac{I}{I_{max}} = \frac{2I_0(1 + 0.707)}{4I_0} = \frac{1.707}{2} = 0.8535 \approx 0.853$ होगा।

(D) $I_1$ और $I_2$ तीव्रता वाले और $\phi$ कलांतर वाले दो व्यतिकरण करने वाले पुंजों के लिए परिणामी तीव्रता $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\phi)$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $I_1 = I$ और $I_2 = 4I$ दिया गया है।
बिंदु $A$ पर,कलांतर $\phi_A = \frac{\pi}{2}$ है।
$I_A = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 5I + 2(2I)(0) = 5I$.
बिंदु $B$ पर,कलांतर $\phi_B = 2\pi$ है।
$I_B = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(2\pi) = 5I + 2(2I)(1) = 5I + 4I = 9I$.
परिणामी तीव्रताओं के बीच का अंतर $I_B - I_A = 9I - 5I = 4I$ है।

(D) दो व्यतिकारी तरंगों,जिनकी तीव्रताएँ $I_1$ और $I_2$ हैं और कलांतर $\phi$ है,की परिणामी तीव्रता $I$ का सूत्र इस प्रकार है:
$I = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$
यहाँ दिया गया है कि प्रत्येक तरंग की तीव्रता $I_0$ है,इसलिए $I_1 = I_0$ और $I_2 = I_0$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$I = I_0 + I_0 + 2 \sqrt{I_0 \cdot I_0} \cos \phi$
$I = 2I_0 + 2I_0 \cos \phi$
$I = 2I_0 (1 + \cos \phi)$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) माना कि दो तरंगों की तीव्रताएँ $I_1$ और $I_2$ हैं।
तीव्रताओं का दिया गया अनुपात: $\frac{I_1}{I_2} = \frac{16}{1}$ है।
व्यतिकरण में अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} \right)^2$.
अंश और हर को $\sqrt{I_2}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\sqrt{\frac{I_1}{I_2}} + 1}{\sqrt{\frac{I_1}{I_2}} - 1} \right)^2$.
दिया गया मान $\frac{I_1}{I_2} = 16$ रखने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\sqrt{16} + 1}{\sqrt{16} - 1} \right)^2 = \left( \frac{4 + 1}{4 - 1} \right)^2 = \left( \frac{5}{3} \right)^2 = \frac{25}{9}$.

(B) माना कि दो किरणों की तीव्रता $I_1$ और $I_2$ है। अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \beta$ दिया गया है।
चूंकि तीव्रता $I \propto A^2$ होती है,इसलिए $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\beta}$ होगा।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता $I_{\max} = (A_1 + A_2)^2$ और $I_{\min} = (A_1 - A_2)^2$ द्वारा दी जाती है।
हमें $X = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}}$ का मान ज्ञात करना है।
$I_{\max}$ और $I_{\min}$ के व्यंजक रखने पर:
$X = \frac{(A_1 + A_2)^2 - (A_1 - A_2)^2}{(A_1 + A_2)^2 + (A_1 - A_2)^2} = \frac{4A_1 A_2}{2(A_1^2 + A_2^2)} = \frac{2A_1 A_2}{A_1^2 + A_2^2}$।
अंश और हर को $A_2^2$ से विभाजित करने पर:
$X = \frac{2(A_1/A_2)}{(A_1/A_2)^2 + 1} = \frac{2\sqrt{\beta}}{\beta + 1}$।

(A) व्यतिकरण प्रतिरूप में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I' = I_0 \cos^2(\phi/2)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = (2\pi / \lambda) \times \Delta x$ है।
यहाँ पथ अंतर $\Delta x = \lambda / 6$ दिया गया है,इसलिए कलांतर:
$\phi = (2\pi / \lambda) \times (\lambda / 6) = \pi / 3$.
अब,इस मान को तीव्रता के सूत्र में रखने पर:
$I' = I_0 \cos^2(\pi / 6)$.
हम जानते हैं कि $\cos(\pi / 6) = \sqrt{3} / 2$,इसलिए:
$I' = I_0 (\sqrt{3} / 2)^2 = I_0 (3 / 4)$.
अतः,अनुपात $I'/I_0 = 3/4$ है।

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक झिरी की तीव्रता $I_{0}$ है। किसी भी बिंदु पर परिणामी तीव्रता $I = 4I_{0} \cos^{2}(\phi/2)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times (\text{पथ अंतर})$.
पथ अंतर $\Delta x = \lambda$ के लिए,कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$.
तीव्रता $I = 4I_{0} \cos^{2}(2\pi/2) = 4I_{0} \cos^{2}(\pi) = 4I_{0}(1)^{2} = 4I_{0}$.
यह दिया गया है कि यह तीव्रता $K$ है,इसलिए $4I_{0} = K$,जिसका अर्थ है $I_{0} = K/4$.
अब,पथ अंतर $\Delta x = \lambda/3$ के लिए,कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
नई तीव्रता $I' = 4I_{0} \cos^{2}(\phi/2) = 4I_{0} \cos^{2}(\frac{2\pi/3}{2}) = 4I_{0} \cos^{2}(\pi/3)$.
चूंकि $\cos(\pi/3) = 1/2$,इसलिए $I' = 4I_{0} \times (1/2)^{2} = 4I_{0} \times (1/4) = I_{0}$.
$I_{0} = K/4$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I' = K/4$ इकाई प्राप्त होती है।

(N/A) संपोषी व्यतिकरण:
जब दो तरंगें एक बिंदु पर अध्यारोपित होती हैं,तो संपोषी व्यतिकरण तब होता है जब वे समान कला में होती हैं। यह तब होता है जब तरंगों के बीच का पथ अंतर तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का एक पूर्णांक गुणज होता है।
पथ अंतर $\Delta x = n\lambda$,जहाँ $n = 0, 1, 2, 3, \dots$
चूंकि $\lambda$ का पथ अंतर $2\pi$ के कला अंतर के बराबर होता है,इसलिए कला अंतर $\phi$ के संदर्भ में संपोषी व्यतिकरण की शर्त है:
$\phi = 2n\pi$,जहाँ $n = 0, 1, 2, 3, \dots$
इन बिंदुओं पर,परिणामी आयाम अधिकतम $(2a)$ होता है और तीव्रता $I_{max} = (a + a)^2 = 4I_0$ होती है।
विनाशी व्यतिकरण:
विनाशी व्यतिकरण तब होता है जब दो तरंगें $\pi$ (या $\pi$ के विषम गुणज) के कला अंतर से विपरीत कला में होती हैं। यह तब होता है जब पथ अंतर तरंगदैर्ध्य के आधे $(\lambda/2)$ का विषम गुणज होता है।
पथ अंतर $\Delta x = (2n + 1)\frac{\lambda}{2}$,जहाँ $n = 0, 1, 2, 3, \dots$
कला अंतर $\phi$ के संदर्भ में विनाशी व्यतिकरण की शर्त है:
$\phi = (2n + 1)\pi$,जहाँ $n = 0, 1, 2, 3, \dots$
इन बिंदुओं पर,परिणामी आयाम न्यूनतम $(a - a = 0)$ होता है और तीव्रता $I_{min} = 0$ होती है।

(N/A) मान लीजिए कि चित्र में दिखाए अनुसार बिंदु $G$ है और उस बिंदु पर दो विस्थापनों के बीच कलांतर $\phi$ है।
यदि $S_{1}$ द्वारा $G$ पर उत्पन्न विस्थापन $y_{1} = a \cos \omega t$ है,तो $S_{2}$ द्वारा $G$ पर उत्पन्न विस्थापन $y_{2} = a \cos (\omega t + \phi)$ होगा।
अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार परिणामी विस्थापन:
$y = y_{1} + y_{2} = a \cos \omega t + a \cos (\omega t + \phi)$
$y = a [\cos \omega t + \cos (\omega t + \phi)]$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos A + \cos B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$y = 2a \cos \left(\frac{\phi}{2}\right) \cos \left(\omega t + \frac{\phi}{2}\right)$
परिणामी विस्थापन का आयाम $A_{res} = 2a \cos \left(\frac{\phi}{2}\right)$ है।
चूंकि तीव्रता $I \propto A_{res}^2$ होती है,इसलिए:
$I \propto 4a^2 \cos^2 \left(\frac{\phi}{2}\right)$
$I = 4I_{0} \cos^2 \left(\frac{\phi}{2}\right)$,जहाँ $I_{0} \propto a^2$ प्रत्येक व्यक्तिगत स्रोत की तीव्रता है।
संपोषी व्यतिकरण (अधिकतम तीव्रता) के लिए,कलांतर $\phi = 0, \pm 2\pi, \pm 4\pi, \dots$ (अर्थात $\phi = 2n\pi$ जहाँ $n$ एक पूर्णांक है) होना चाहिए।
विनाशी व्यतिकरण (न्यूनतम तीव्रता) के लिए,कलांतर $\phi = \pm \pi, \pm 3\pi, \pm 5\pi, \dots$ (अर्थात $\phi = (2n+1)\pi$ जहाँ $n$ एक पूर्णांक है) होना चाहिए।

(A) प्रकाश तरंग की तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ दो व्यतिकरण करने वाली तरंगों के बीच का कलांतर है।
एक पूर्ण चक्र पर तीव्रता का समय-औसत मान $\langle I \rangle = \frac{1}{2} I_{max}$ होता है।
हमें वह कलांतर $\phi$ ज्ञात करना है जब तीव्रता $I = \frac{1}{2} I_{max}$ हो।
इसे तीव्रता के सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{2} I_{max} = I_{max} \cos^2(\phi/2)$
$\frac{1}{2} = \cos^2(\phi/2)$
$\cos(\phi/2) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\phi/2 = \pi/4$
$\phi = \pi/2$.

(N/A) चित्र द्वि-स्लिट प्रयोग के लिए तीव्रता वितरण को दर्शाता है। समग्र लिफाफा (envelope) एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न का प्रतिनिधित्व करता है,जबकि इस लिफाफे के भीतर की महीन फ्रिंज द्वि-स्लिट व्यतिकरण पैटर्न का प्रतिनिधित्व करती हैं।
द्वि-स्लिट प्रयोग में,स्क्रीन पर प्राप्त परिणामी तीव्रता पैटर्न प्रत्येक एकल स्लिट से प्राप्त विवर्तन पैटर्न और द्वि-स्लिट व्यतिकरण पैटर्न का अध्यारोपण है। चित्र में दिखाए अनुसार,विवर्तन के व्यापक शिखर में कई छोटी व्यतिकरण फ्रिंज दिखाई देती हैं।
केंद्रीय विवर्तन शिखर के भीतर दिखाई देने वाली व्यतिकरण फ्रिंजों की संख्या अनुपात $\frac{d}{a}$ पर निर्भर करती है,जहाँ $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है और $a$ प्रत्येक स्लिट की चौड़ाई है।
जैसे-जैसे स्लिट की चौड़ाई $a$ बहुत छोटी होती जाती है,विवर्तन का लिफाफा बहुत चौड़ा और सपाट होता जाता है।
यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि विवर्तन पैटर्न देखने के लिए व्यतिकरण की घटना आवश्यक है,लेकिन सामान्य व्यतिकरण पैटर्न देखने के लिए विवर्तन की घटना आवश्यक नहीं है।

(D) यहाँ,प्रश्न में दी गई स्थिति को चित्र में दर्शाया गया है। प्रश्न के अनुसार,स्लिट से पर्दे की दूरी $D$ है और स्लिटों के बीच की दूरी $d$ है। हमें दिया गया है कि $D = d/2$,जिसका अर्थ है $d = 2D$.
बिंदु $P$ पर अध्यारोपित होने वाली तरंगों के बीच पथांतर $\Delta x = r_2 - r_1 = S_2P - S_1P$ है।
चित्र की ज्यामिति से:
$S_2P = \sqrt{D^2 + (d/2 + D)^2} = \sqrt{D^2 + (D + D)^2} = \sqrt{D^2 + 4D^2} = \sqrt{5}D$.
$S_1P = \sqrt{D^2 + (d/2 - D)^2} = \sqrt{D^2 + (D - D)^2} = D$.
अतः,पथांतर $\Delta x = \sqrt{5}D - D = D(\sqrt{5} - 1)$ है।
प्रथम कोटि के निम्निष्ठ (विनाशी व्यतिकरण) के लिए,शर्त $\Delta x = \frac{\lambda}{2}$ है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$D(\sqrt{5} - 1) = \frac{\lambda}{2}$.
$D = \frac{\lambda}{2(\sqrt{5} - 1)}$.
$\sqrt{5} \approx 2.236$ का उपयोग करने पर:
$D = \frac{\lambda}{2(2.236 - 1)} = \frac{\lambda}{2(1.236)} = \frac{\lambda}{2.472} \approx 0.404\lambda$.