Intensity in Young's Double Slit Experiment Questions in Hindi

(N/A) ध्रुवक की अनुपस्थिति में, मुख्य उच्चिष्ठ की तीव्रता $I_0 = 4I$ है, जहाँ $I$ प्रत्येक स्लिट से आने वाले प्रकाश की तीव्रता है।
जब एक पथ (मान लीजिए पथ $2$) में ध्रुवक रखा जाता है, तो उससे गुजरने वाला प्रकाश रैखिक रूप से ध्रुवित हो जाता है। मान लीजिए प्रत्येक स्लिट से प्रकाश का आयाम $a$ है। तीव्रता $I = a^2$ है।
बिना ध्रुवक वाली स्लिट के लिए, प्रकाश अध्रुवित रहता है। ध्रुवक वाली स्लिट के लिए, प्रकाश ध्रुवित हो जाता है।
जब ये दो किरणें अध्यारोपित होती हैं, तो अध्रुवित प्रकाश को परस्पर लंबवत दिशाओं में कंपन करने वाले $I/2$ तीव्रता के दो असंगत घटकों के रूप में माना जा सकता है।
दूसरी स्लिट से आने वाले ध्रुवित प्रकाश की तीव्रता $I' = I/2$ (ध्रुवक से गुजरने के बाद) है।
मुख्य उच्चिष्ठ पर, दोनों किरणें समान कला में होती हैं। अध्रुवित किरण की तीव्रता $I$ और ध्रुवित किरण की तीव्रता $I/2$ है। परिणामी तीव्रता $I_{max} = I + I/2 + 2\sqrt{I \cdot I/2} \cdot \cos(0) = I + I/2 + \sqrt{2}I = I(1.5 + 1.414) \approx 2.914I$ है। चूँकि $I_0 = 4I$, इसलिए $I = I_0/4$ है। अतः, $I_{max} = (2.914/4)I_0 = 0.7285I_0$।
प्रथम निम्निष्ठ पर, कलांतर $\pi$ है। तीव्रता $I_{min} = I + I/2 - 2\sqrt{I \cdot I/2} = I(1.5 - 1.414) = 0.086I = 0.086(I_0/4) = 0.0215I_0$ है।

(B) $(i)$ $R_1$ पर,$A$ और $B$ से आने वाली तरंगों के बीच पथ का अंतर $\lambda/2$ है,जो विनाशी व्यतिकरण (destructive interference) की ओर ले जाता है $(y_A + y_B = 0)$। इसी तरह,$C$ और $D$ से आने वाली तरंगें $R_1$ पर विनाशी व्यतिकरण करती हैं। अतः,$R_1$ पर कुल सिग्नल शून्य है। $R_2$ पर,पथ का अंतर अलग है,जो संपोषी व्यतिकरण (constructive interference) की ओर ले जाता है। इसलिए,$R_2$ बड़ा सिग्नल प्राप्त करता है।
$(ii)$ यदि $B$ को बंद कर दिया जाता है,तो $R_1$ पर विनाशी व्यतिकरण समाप्त हो जाता है,जिसके परिणामस्वरूप एक गैर-शून्य सिग्नल मिलता है। $R_2$ में भी बदलाव होता है,लेकिन $R_1$ अब अपनी पिछली शून्य स्थिति की तुलना में एक मजबूत परिणामी सिग्नल प्राप्त करता है। इसलिए,$R_1$ बड़ा सिग्नल प्राप्त करता है।
$(iii)$ यदि $D$ को बंद कर दिया जाता है,तो $R_1$ पर विनाशी व्यतिकरण समाप्त हो जाता है,जिसके परिणामस्वरूप एक गैर-शून्य सिग्नल मिलता है। $R_1$ बड़ा सिग्नल प्राप्त करता है।
$(iv)$ चूंकि $R_1$ और $R_2$ के सापेक्ष $B$ और $D$ के लिए पथ का अंतर अलग-अलग है,इसलिए रिसीवर पर सिग्नल की तीव्रता में होने वाला परिवर्तन प्रत्येक स्रोत के बंद होने के लिए अद्वितीय होगा। अतः,दोनों रिसीवर यह पहचान सकते हैं कि कौन सा स्रोत बंद किया गया है।

(D) दी गई तीव्रताओं का अनुपात $I_1 : I_2 = 9 : 4$ है।
माना $I_1 = 9k$ और $I_2 = 4k$ है।
आयाम तीव्रता के वर्गमूल के समानुपाती होते हैं,इसलिए $a_1 = \sqrt{I_1} = 3\sqrt{k}$ और $a_2 = \sqrt{I_2} = 2\sqrt{k}$ है।
अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{max}}{I_{min}} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2$.
मान रखने पर:
$\frac{I_{max}}{I_{min}} = \left( \frac{3\sqrt{k} + 2\sqrt{k}}{3\sqrt{k} - 2\sqrt{k}} \right)^2 = \left( \frac{5\sqrt{k}}{1\sqrt{k}} \right)^2 = 5^2 = 25$.
अतः,अनुपात $25 : 1$ है।

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक स्लिट के कारण पर्दे पर प्रकाश की तीव्रता $I_0$ है।
पर्दे के केंद्र पर अधिकतम तीव्रता $I_{max} = 4I_0$ है।
जिस बिंदु पर कलांतर $\phi$ है,वहां तीव्रता $I = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} \cos \phi = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ द्वारा दी जाती है।
हमें दिया गया है कि तीव्रता अधिकतम तीव्रता की आधी हो जाती है,इसलिए $I = \frac{I_{max}}{2} = 2I_0$.
अतः,$2I_0 = 4I_0 \cos^2(\phi/2) \implies \cos^2(\phi/2) = 1/2 \implies \cos(\phi/2) = 1/\sqrt{2}$.
इससे $\phi/2 = \pi/4$ प्राप्त होता है,इसलिए कलांतर $\phi = \pi/2$.
कलांतर,पथ अंतर $\Delta x$ से $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ द्वारा संबंधित है।
अतः,$\frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{\pi}{2} \implies \Delta x = \frac{\lambda}{4}$.
छोटे कोणों के लिए,पथ अंतर $\Delta x = d \sin \theta \approx d \tan \theta = d(y/D)$.
दोनों की तुलना करने पर,हमें $d(y/D) = \lambda/4 \implies y = \frac{\lambda D}{4d}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\lambda = 5000 \ \mathring{A} = 5 \times 10^{-7} \ m$,$d = 1.0 \ mm = 10^{-3} \ m$,और $D = 1.0 \ m$.
$y = \frac{5 \times 10^{-7} \times 1}{4 \times 10^{-3}} = 1.25 \times 10^{-4} \ m = 125 \times 10^{-6} \ m$.
इसलिए,दूरी $125$ है।

(D) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में किसी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2\left(\frac{\Delta \phi}{2}\right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\Delta \phi$ कलांतर (phase difference) है।
दिया गया है कि $I = \frac{I_{max}}{4}$,इसलिए $\frac{I_{max}}{4} = I_{max} \cos^2\left(\frac{\Delta \phi}{2}\right)$.
इसे सरल करने पर $\cos^2\left(\frac{\Delta \phi}{2}\right) = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\cos\left(\frac{\Delta \phi}{2}\right) = \frac{1}{2}$.
अतः,$\frac{\Delta \phi}{2} = \frac{\pi}{3}$,जिससे कलांतर $\Delta \phi = \frac{2\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
कलांतर और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है। चूँकि $\Delta x = \frac{yd}{D}$,इसलिए $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \left(\frac{yd}{D}\right)$.
$\Delta \phi$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{2\pi}{\lambda} \left(\frac{yd}{D}\right) = \frac{2\pi}{3}$.
$y$ के लिए हल करने पर: $y = \frac{\lambda D}{3d}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $y = \frac{600 \times 10^{-9} \ m \times 1.0 \ m}{3 \times 1.0 \times 10^{-3} \ m} = \frac{600 \times 10^{-9}}{3 \times 10^{-3}} \ m = 200 \times 10^{-6} \ m$.
चूँकि $1 \ \mu m = 10^{-6} \ m$,इसलिए दूरी $y = 200 \ \mu m$ है।

(B) व्यतिकरण प्रतिरूप में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
दिया गया है कि तीव्रता अधिकतम तीव्रता की आधी है,इसलिए $I = \frac{I_{max}}{2}$।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{I_{max}}{2} = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$।
इससे $\cos^2(\frac{\phi}{2}) = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\cos(\frac{\phi}{2}) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \dots$,जिससे $\phi = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \dots$ प्राप्त होता है।
सामान्य रूप में,$\phi = (2n+1) \frac{\pi}{2}$।
चूँकि पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \phi$ होता है,$\phi$ का मान रखने पर:
$\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \times (2n+1) \frac{\pi}{2} = (2n+1) \frac{\lambda}{4}$।

(B) मान लीजिए कि दो कला-संबद्ध स्रोतों की तीव्रता $I_1$ और $I_2$ है। तीव्रताओं का अनुपात $b = \frac{I_1}{I_2}$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $I_{\text{max}} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ और $I_{\text{min}} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ होता है।
वांछित अनुपात $R = \frac{I_{\text{max}} + I_{\text{min}}}{I_{\text{max}} - I_{\text{min}}}$ है।
$I_{\text{max}}$ और $I_{\text{min}}$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$R = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 + (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 - (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}$.
पदों का विस्तार करने पर:
$R = \frac{(I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}) + (I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1I_2})}{(I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}) - (I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1I_2})} = \frac{2(I_1 + I_2)}{4\sqrt{I_1I_2}} = \frac{I_1 + I_2}{2\sqrt{I_1I_2}}$.
अंश और हर को $I_2$ से विभाजित करने पर:
$R = \frac{\frac{I_1}{I_2} + 1}{2\sqrt{\frac{I_1}{I_2}}} = \frac{b + 1}{2\sqrt{b}}$.

(B) अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\max }}{I_{\min }}=\frac{(\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2})^2}$
दिया गया है कि $\frac{I_{\max }}{I_{\min }} = \frac{9}{1}$,इसलिए:
$\frac{9}{1} = \frac{(\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2})^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{3}{1} = \frac{\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2}}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$3(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2}) = 1(\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2})$
$3\sqrt{I_1} - 3\sqrt{I_2} = \sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}$
$2\sqrt{I_1} = 4\sqrt{I_2}$
$\sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \frac{4}{2} = 2$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{4}{1}$
अतः,प्रकाश स्रोतों की तीव्रताओं का अनुपात $4: 1$ है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में प्रकाश की तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0$ प्रत्येक स्लिट की तीव्रता है और $\phi$ कलांतर है।
स्थिति $1$: पथ अंतर $\Delta x = \lambda$.
कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$.
दी गई तीव्रता $I = x$,इसलिए $x = 4I_0 \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = 4I_0 \cos^2(\pi) = 4I_0(1)^2 = 4I_0$.
अतः,$4I_0 = x$.
स्थिति $2$: पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$.
कलांतर $\phi' = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$.
नई तीव्रता $I'$ है $I' = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi'}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4})$.
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $I' = 4I_0 \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 4I_0 \times \frac{1}{2} = 2I_0$.
चूंकि $4I_0 = x$,इसलिए $2I_0 = \frac{x}{2}$.
अतः,तीव्रता $\frac{x}{2}$ होगी।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में पर्दे पर किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times (\text{पथ अंतर} \Delta x)$.
बिंदु $P$ के लिए,पथ अंतर $\Delta x_P = 0$,इसलिए $\phi_P = 0$. तीव्रता $I_P = I_{max} \cos^2(0) = I_{max}$.
बिंदु $Q$ के लिए,पथ अंतर $\Delta x_Q = \frac{\lambda}{4}$,इसलिए $\phi_Q = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2} = 90^{\circ}$.
तीव्रता $I_Q = I_{max} \cos^2(\frac{90^{\circ}}{2}) = I_{max} \cos^2(45^{\circ}) = I_{max} \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_{max}}{2}$.
तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_P}{I_Q} = \frac{I_{max}}{I_{max}/2} = 2: 1$ होगा।

(B) $I_1$ और $I_2$ तीव्रता वाले दो कला-संबद्ध स्रोत व्यतिकरण पैटर्न में अधिकतम तीव्रता $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ और न्यूनतम तीव्रता $I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ उत्पन्न करते हैं।
अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $I_1 = 2I_2$,इस मान को अनुपात में रखने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{2I_2} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{2I_2} - \sqrt{I_2})^2} = \frac{(\sqrt{I_2}(\sqrt{2} + 1))^2}{(\sqrt{I_2}(\sqrt{2} - 1))^2} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{(\sqrt{2} - 1)^2}$.
वर्गों का विस्तार करने पर: $\frac{2 + 1 + 2\sqrt{2}}{2 + 1 - 2\sqrt{2}} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{(3 + 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})}{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} = \frac{9 + 8 + 12\sqrt{2}}{9 - 8} = 17 + 12\sqrt{2} \approx 33.97 \approx 34$.
अतः,अनुपात $34:1$ है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में तीव्रता $I = I_{max} \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
दिया गया है कि पथ अंतर $\Delta x = \lambda$ पर तीव्रता $K$ है। चूँकि $\Delta x = \lambda$ का अर्थ कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \lambda = 2\pi$ है,इसलिए $I = I_{max} \cos^2(\pi) = I_{max} = K$ प्राप्त होता है।
अब,पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$ के लिए,कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3}$ है।
इस बिंदु पर तीव्रता $I = K \cos^2 \left( \frac{\pi/3}{2} \right) = K \cos^2 \left( \frac{\pi}{6} \right)$ होगी।
$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ रखने पर,हमें $I = K \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = K \left( \frac{3}{4} \right) = \frac{3K}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में तीव्रता $I$ का सूत्र $I = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ है,जहाँ $\phi$ कलांतर (phase difference) है।
दिया गया है कि $\lambda$ पथ अंतर पर तीव्रता $\beta$ है। $\lambda$ पथ अंतर के लिए कलांतर $\phi = (2\pi/\lambda) \times \lambda = 2\pi$ होता है।
अतः,$\beta = I_{max} \cos^2(2\pi/2) = I_{max} \cos^2(\pi) = I_{max}(1)^2 = I_{max}$।
अब,$\Delta x = \lambda/3$ पथ अंतर के लिए,कलांतर $\phi = (2\pi/\lambda) \times (\lambda/3) = 2\pi/3$ होगा।
इस बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\phi/2) = \beta \cos^2((2\pi/3)/2) = \beta \cos^2(\pi/3)$ होगी।
चूंकि $\cos(\pi/3) = 1/2$,इसलिए $I = \beta (1/2)^2 = \beta/4$ प्राप्त होता है।

(B) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर (phase difference) है।
कलांतर $\phi$ पथ अंतर $\Delta x$ से $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ द्वारा संबंधित है।
पथ अंतर $\Delta x = \lambda$ के लिए,कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$ है।
दी गई तीव्रता $K = 4I_0 \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = 4I_0 \cos^2(\pi) = 4I_0(1)^2 = 4I_0$ है।
अब,पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ के लिए,कलांतर $\phi' = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
नई तीव्रता $K'$ का मान $K' = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4})$ होगा।
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $K' = 4I_0 \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 4I_0 \times \frac{1}{2} = 2I_0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $K = 4I_0$,इसलिए $2I_0 = \frac{K}{2}$ है।
अतः,तीव्रता $\frac{K}{2}$ होगी।

(D) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में प्रकाश की तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0$ प्रत्येक तरंग की तीव्रता है और $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi$ पथ अंतर $\Delta x$ से $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ द्वारा संबंधित है।
पथ अंतर $\Delta x = \lambda$ के लिए,कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \lambda = 2\pi$ है।
दी गई तीव्रता $K = 4I_0 \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = 4I_0 \cos^2(\pi) = 4I_0(1)^2 = 4I_0$ है।
पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ के लिए,कलांतर $\phi' = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
नई तीव्रता $I'$ का मान $I' = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4})$ है।
चूँकि $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $I' = 4I_0 \cdot (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 4I_0 \cdot \frac{1}{2} = 2I_0$ है।
चूँकि $K = 4I_0$,इसलिए $2I_0 = \frac{K}{2}$ होगा।
अतः,तीव्रता $\frac{K}{2}$ होगी।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में परिणामी तीव्रता $I_R = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0$ प्रत्येक स्लिट की तीव्रता है और $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
स्थिति $1$: जब $\Delta x = \lambda$,तो $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$। तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = 4I_0 \cos^2(\pi) = 4I_0(-1)^2 = 4I_0$।
स्थिति $2$: जब $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$,तो $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$।
नई तीव्रता $I' = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4}) = 4I_0 (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 4I_0 \times \frac{1}{2} = 2I_0$।
चूंकि $I = 4I_0$,इसलिए $I_0 = \frac{I}{4}$।
$I'$ के व्यंजक में $I_0$ का मान रखने पर,हमें $I' = 2(\frac{I}{4}) = \frac{I}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) $I_1$ और $I_2$ तीव्रता वाली और $\phi$ कलांतर वाली दो व्यतिकारी किरणों के लिए परिणामी तीव्रता $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $I_1 = I$ और $I_2 = 4I$ दिया गया है।
बिंदु $A$ पर,कलांतर $\phi_A = \pi / 2$ है। अतः,$I_A = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\pi / 2) = 5I + 4I(0) = 5I$.
बिंदु $B$ पर,कलांतर $\phi_B = \pi$ है। अतः,$I_B = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\pi) = 5I + 4I(-1) = 5I - 4I = I$.
$A$ और $B$ पर परिणामी तीव्रताओं के बीच का अंतर $I_A - I_B = 5I - I = 4I$ है।

(D) कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध है: $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$.
दिए गए पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$ के लिए,कलांतर: $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$.
स्क्रीन पर किसी बिंदु पर तीव्रता $I$ का सूत्र $I = I_{0} \cos^{2}\left(\frac{\phi}{2}\right)$ है,जहाँ $I_{0}$ अधिकतम तीव्रता है।
$\phi$ का मान रखने पर: $\frac{I}{I_{0}} = \cos^{2}\left(\frac{60^{\circ}}{2}\right) = \cos^{2}(30^{\circ})$.
चूंकि $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\frac{I}{I_{0}} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} = \frac{3}{4} = 0.75$.

(C) दो कला-संबद्ध स्रोतों की तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = 2x$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ और $I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ होता है।
गणना करने के लिए व्यंजक $V = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}}$ है।
$I_{\max}$ और $I_{\min}$ के मान रखने पर:
$V = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 - (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 + (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}$।
बीजगणितीय सर्वसमिकाओं $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ और $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2 + b^2)$ का उपयोग करने पर:
$V = \frac{4\sqrt{I_1 I_2}}{2(I_1 + I_2)} = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2}$।
अंश और हर को $I_2$ से विभाजित करने पर:
$V = \frac{2\sqrt{I_1/I_2}}{I_1/I_2 + 1}$।
$\frac{I_1}{I_2} = 2x$ रखने पर:
$V = \frac{2\sqrt{2x}}{2x + 1}$।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में, पर्दे पर किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right)$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\phi$ कलांतर है。
दिया गया है कि केंद्रीय फ्रिंज की तीव्रता $I_0$ है, इसलिए $I_{max} = I_0$ है。
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta p$ के बीच संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta p$ है。
केंद्रीय फ्रिंज से $x$ दूरी पर स्थित बिंदु के लिए, पथ अंतर $\Delta p = d \sin \theta \approx d \tan \theta = d \left( \frac{x}{D} \right)$ है。
अतः, $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \left( \frac{dx}{D} \right)$ है。
हम जानते हैं कि फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है, जिसका अर्थ है कि $\frac{d}{\lambda D} = \frac{1}{\beta}$ है。
इस मान को कलांतर के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\phi = 2\pi \left( \frac{x}{\beta} \right)$ प्राप्त होता है。
अब, $\phi$ को तीव्रता के सूत्र में रखने पर: $I = I_0 \cos^2 \left( \frac{2\pi x / \beta}{2} \right) = I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi x}{\beta} \right)$。

(D) द्वि-स्लिट प्रयोग में तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\phi$ कलांतर है。
हमें दिया गया है कि $I = 0.5 I_{max}$, इसलिए $0.5 I_{max} = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$.
इसका अर्थ है कि $\cos^2(\frac{\phi}{2}) = 0.5$, या $\cos(\frac{\phi}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः, $\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{4}$, जिससे $\phi = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है。
कलांतर $\phi$ का पथ अंतर $\Delta x$ के साथ संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है。
$\phi = \frac{\pi}{2}$ रखने पर, हमें $\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$.
केंद्रीय उच्चिष्ठ से $y$ दूरी पर स्थित बिंदु के लिए पथ अंतर $\Delta x = \frac{yd}{D}$ है。
दोनों की तुलना करने पर, $\frac{yd}{D} = \frac{\lambda}{4}$, इसलिए $y = \frac{\lambda D}{4d}$.
दिया गया है कि $\lambda = 6600 \, Å = 6.6 \times 10^{-7} \, m$, $D = 4 \, m$, और $d = 0.6 \, mm = 6 \times 10^{-4} \, m$.
$y = \frac{(6.6 \times 10^{-7} \, m) \times (4 \, m)}{4 \times (6 \times 10^{-4} \, m)} = \frac{6.6 \times 10^{-7}}{6 \times 10^{-4}} \, m = 1.1 \times 10^{-3} \, m = 1.1 \, mm$.

(B) दिया गया है: एकवर्णी प्रकाश की दो किरणों की तीव्रता $I_1 = 64 \ mW$ और $I_2 = 4 \ mW$ है।
दो व्यतिकरण करने वाली तरंगों की परिणामी तीव्रता का सूत्र $I = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ है।
जब तीव्रता घटकर $84 \ mW$ हो जाती है,तो हम समीकरण में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$84 = 64 + 4 + 2 \sqrt{64 \times 4} \cos \phi$
$84 = 68 + 2 \times 8 \times 2 \cos \phi$
$84 - 68 = 32 \cos \phi$
$16 = 32 \cos \phi$
$\cos \phi = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$
अतः,$\phi = \cos^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) = 60^\circ$.

(D) व्यतिकरण पैटर्न में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I_p = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
यहाँ $I_{max} = I$ (केंद्रीय दीप्त फ्रिंज की तीव्रता) दिया गया है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
दिया गया है कि $\Delta x = \frac{\lambda}{3}$,इसलिए $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$ है।
इस मान को तीव्रता के सूत्र में रखने पर:
$I_p = I \cos^2(\frac{2\pi/3}{2}) = I \cos^2(\frac{\pi}{3})$.
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $I_p = I (\frac{1}{2})^2 = \frac{I}{4}$ प्राप्त होता है।

(A) द्वि-स्लिट प्रयोग में प्रकाश की तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\frac{\pi \Delta x}{\lambda})$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $\Delta x$ पथ अंतर है।
प्रथम बिंदु के लिए,$\Delta x_1 = 2000 \ Å$ और $\lambda = 6000 \ Å$ है।
कलांतर $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x_1 = \frac{2\pi}{6000} \times 2000 = \frac{2\pi}{3} = 120^{\circ}$ है।
तीव्रता $I_1 = I_{max} \cos^2(\frac{120^{\circ}}{2}) = I_{max} \cos^2(60^{\circ}) = I_{max} (1/2)^2 = I_{max}/4$ है।
दूसरे बिंदु के लिए,$\Delta x_2 = 1000 \ Å$ है।
कलांतर $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x_2 = \frac{2\pi}{6000} \times 1000 = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$ है।
तीव्रता $I_2 = I_{max} \cos^2(\frac{60^{\circ}}{2}) = I_{max} \cos^2(30^{\circ}) = I_{max} (\sqrt{3}/2)^2 = 3I_{max}/4$ है।
अतः,अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{I_{max}/4}{3I_{max}/4} = \frac{1}{3}$ है।
इस प्रकार,$I_1: I_2 = 1: 3$ है।

(C) किसी बिंदु पर परिणामी तीव्रता $I_R$ का सूत्र $I_R = I_{\max} \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right)$ है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
दिया गया है कि $I_R = 75 \% \text{ of } I_{\max} = 0.75 I_{\max} = \frac{3}{4} I_{\max}$।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$\frac{3}{4} I_{\max} = I_{\max} \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right)$
$\cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right) = \frac{3}{4}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\cos \left( \frac{\phi}{2} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
चूँकि $\cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए:
$\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{6}$
$\phi = \frac{\pi}{3}$

(C) प्रकाश की तीव्रता $I$,झिरी की चौड़ाई $w$ के सीधे आनुपातिक होती है,अर्थात $I \propto w$।
दिया गया है कि पहली झिरी की चौड़ाई $w_1 = 4w_2$ है,इसलिए तीव्रताओं का संबंध $I_1 = 4I_2$ होगा।
मान लीजिए $I_2 = I$,तो $I_1 = 4I$ होगा।
अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}$
मान रखने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{4I} + \sqrt{I})^2}{(\sqrt{4I} - \sqrt{I})^2} = \frac{(2\sqrt{I} + \sqrt{I})^2}{(2\sqrt{I} - \sqrt{I})^2}$
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(3\sqrt{I})^2}{(\sqrt{I})^2} = \frac{9I}{I} = \frac{9}{1}$
अतः,अनुपात $9: 1$ है।

(B) मान लीजिए कि दो झिरियों से आने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_1$ और $I_2$ है। दिया गया है कि $I_1 = 1.5 I_2$,इसलिए अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = 1.5 = \frac{3}{2}$ है।
व्यतिकरण प्रतिरूप में अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} \right)^2$.
अंश और हर को $\sqrt{I_2}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\sqrt{I_1/I_2} + 1}{\sqrt{I_1/I_2} - 1} \right)^2$.
$\frac{I_1}{I_2} = 1.5$ का मान रखने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\sqrt{1.5} + 1}{\sqrt{1.5} - 1} \right)^2 \approx \left( \frac{1.225 + 1}{1.225 - 1} \right)^2 = \left( \frac{2.225}{0.225} \right)^2 \approx (9.88)^2 \approx 97.7 \approx 98$.

(B) केंद्र से $y$ ऊर्ध्वाधर दूरी पर पर्दे पर स्थित बिंदु के लिए पथ अंतर $\Delta x = d \sin \theta \approx dy/D$ द्वारा दिया जाता है।
एक स्लिट के ठीक सामने स्थित बिंदु के लिए,ऊर्ध्वाधर दूरी $y = d/2$ होती है।
इसे पथ अंतर के सूत्र में रखने पर,हमें $\Delta x = d(d/2) / D = d^2 / (2D)$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $D = 10d$,अतः पथ अंतर $\Delta x = d^2 / (20d) = d/20$ है।
दिया गया है $d = 5\lambda$,अतः $\Delta x = 5\lambda / 20 = \lambda/4$ प्राप्त होता है।
कलांतर $\phi$ की गणना $\phi = (2\pi/\lambda) \Delta x = (2\pi/\lambda) \times (\lambda/4) = \pi/2$ के रूप में की जाती है।
इस बिंदु पर तीव्रता $I = I_0 \cos^2(\phi/2)$ द्वारा दी जाती है।
$\phi = \pi/2$ रखने पर,हमें $I = I_0 \cos^2(\pi/4) = I_0 (1/\sqrt{2})^2 = I_0/2$ प्राप्त होता है।