Mass-Energy, Nuclear Binding Energy, Nuclear Stability Questions in Gujarati

(A) ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા એ ન્યુક્લિયસની સ્થિરતાનું માપ છે. ન્યુક્લિયોન દીઠ ઉચ્ચ બંધન ઉર્જા સૂચવે છે કે ન્યુક્લિયસ વધુ મજબૂતીથી બંધાયેલું છે અને તેથી તે વધુ સ્થિર છે. સ્થિર ન્યુક્લિયસ સરળતાથી ક્ષય પામતા નથી અને લાંબા સમય સુધી ટકી રહેવાની શક્યતા વધુ હોય છે,તેથી જ તેઓ પ્રકૃતિમાં વિપુલ પ્રમાણમાં જોવા મળે છે.

(C) $A > 100$ ધરાવતા ન્યુક્લિયસ માટે ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા ઘટે છે કારણ કે ન્યુક્લિયર બળ ટૂંકા ગાળાનું છે,જ્યારે પ્રોટોન વચ્ચેનું કુલંબ અપાકર્ષણ લાંબા ગાળાનું છે.
જેમ જેમ પરમાણુ દળાંક $A$ વધે છે,તેમ ન્યુક્લિયસનું કદ વધે છે. ન્યુક્લિયર બળ માત્ર નજીકના પાડોશીઓ વચ્ચે જ કાર્ય કરતું હોવાથી,કુલ ન્યુક્લિયર બંધન ઉર્જા આશરે $A$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
જો કે,કુલંબ અપાકર્ષણ તમામ પ્રોટોન જોડીઓ વચ્ચે કાર્ય કરે છે,અને જોડીઓની સંખ્યા $A^2$ ના પ્રમાણમાં વધે છે. આના કારણે ભારે ન્યુક્લિયસ માટે ન્યુક્લિયોન દીઠ ચોખ્ખી બંધન ઉર્જા ઘટે છે.
કારણનું વિધાન તકનીકી રીતે ખોટું છે કારણ કે ન્યુક્લિયર બળ પોતે ભારે ન્યુક્લિયસ માટે 'નબળું' બનતું નથી; પરંતુ તેની ટૂંકા ગાળાની પ્રકૃતિને લીધે,જેમ ન્યુક્લિયસ મોટું થાય છે તેમ તે લાંબા ગાળાના કુલંબ અપાકર્ષણને વળતર આપી શકતું નથી.

(A) ન્યુક્લિયર ક્ષય પ્રક્રિયામાં, ઉર્જા મુક્ત થાય છે કારણ કે નીપજોનું કુલ દળ પિતૃ ન્યુક્લિયસના દળ કરતાં ઓછું હોય છે. આ દળ તફાવત, જેને દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, તે આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત $E = \Delta m c^2$ મુજબ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઉર્જા મુક્ત થતી હોવાથી, ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું પાલન કરવા માટે નીપજોની કુલ સ્થિર દળ ઉર્જા પિતૃ ન્યુક્લિયસની સ્થિર દળ ઉર્જા કરતાં ઓછી હોવી જોઈએ.
તેથી, વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે, અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુનું ન્યુક્લિયસ $(_{1}^{1}H)$ માત્ર એક પ્રોટોનનું બનેલું હોય છે.
ન્યુક્લિયર બંધન ઉર્જા એટલે ન્યુક્લિયસને તેના ઘટક પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન (ન્યુક્લિયોન્સ) માં વિભાજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા.
હાઇડ્રોજન ન્યુક્લિયસમાં માત્ર એક જ ન્યુક્લિયોન (પ્રોટોન) હોવાથી,તેની સાથે બંધન કરવા માટે અન્ય કોઈ ન્યુક્લિયોન હોતા નથી,અને તેથી તેને જકડી રાખવા માટે કોઈ ન્યુક્લિયર બળ કાર્ય કરતું નથી.
તેથી,હાઇડ્રોજન ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા અને દળ ક્ષતિ શૂન્ય છે.
વિધાન સાચું છે અને કારણ એ સમજાવે છે કે શા માટે બંધન ઉર્જા શૂન્ય છે (માત્ર એક ન્યુક્લિયોનની હાજરીને કારણે),તેથી સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$m$ દળને સમતુલ્ય ઊર્જા $E$ એ $E = mc^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
આપેલ દળ $m = 1\; g = 10^{-3}\; kg$.
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^{8}\; m/s$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$E = 10^{-3} \times (3 \times 10^{8})^2\; J$
$E = 10^{-3} \times 9 \times 10^{16}\; J$
$E = 9 \times 10^{13}\; J$
આમ,$1\; g$ પદાર્થનું ઊર્જા સમતુલ્ય $9 \times 10^{13}\; J$ છે.

(N/A) એક પરમાણ્વીય દળ એકમનું દળ $1 \, u = 1.6605 \times 10^{-27} \, kg$ છે.
આને ઊર્જા એકમોમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમતુલ્ય સંબંધ $E = mc^2$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$E = 1.6605 \times 10^{-27} \, kg \times (2.9979 \times 10^8 \, m/s)^2$
$E = 1.4924 \times 10^{-10} \, J$.
આ ઊર્જાને $MeV$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે $1.602 \times 10^{-13} \, J/MeV$ વડે ભાગીએ છીએ:
$E = \frac{1.4924 \times 10^{-10}}{1.602 \times 10^{-13}} \, MeV \approx 931.5 \, MeV$.
આમ,$1 \, u = 931.5 \, MeV/c^2$.
$_{8}^{16} O$ માટે,દળ ક્ષતિ $\Delta M = 0.13691 \, u$ છે.
આને $MeV/c^2$ માં રૂપાંતરિત કરતા:
$\Delta M = 0.13691 \times 931.5 \, MeV/c^2 \approx 127.5 \, MeV/c^2$.

(N/A) $^{238}_{92}U$ નો આલ્ફા ક્ષય સમીકરણ: $^{238}_{92}U \rightarrow ^{234}_{90}Th + ^{4}_{2}He$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી ઉર્જા ($Q$-મૂલ્ય) $Q = (M_{U} - M_{Th} - M_{He})c^{2}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલા પરમાણ્વીય દળ મૂકતા:
$Q = (238.05079 - 234.04363 - 4.00260) \; u \times c^{2}$
$Q = 0.00456 \; u \times c^{2}$
રૂપાંતરણ અવયવ $1 \; u = 931.5 \; MeV/c^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$Q = 0.00456 \times 931.5 \; MeV = 4.25 \; MeV$.
$(b)$ જો $^{238}_{92}U$ સ્વયંભૂ પ્રોટોનનું ઉત્સર્જન કરે,તો ક્ષય પ્રક્રિયા આ મુજબ થાય: $^{238}_{92}U \rightarrow ^{237}_{91}Pa + ^{1}_{1}H$.
આ પ્રક્રિયા માટે $Q$-મૂલ્ય:
$Q = (M_{U} - M_{Pa} - M_{H})c^{2}$
$Q = (238.05079 - 237.05121 - 1.00783) \; u \times c^{2}$
$Q = -0.00825 \; u \times c^{2}$
$Q = -0.00825 \times 931.5 \; MeV = -7.68 \; MeV$.
અહીં $Q$-મૂલ્ય ઋણ હોવાથી,આ પ્રક્રિયા ઉષ્માશોષક છે અને તે સ્વયંભૂ થઈ શકતી નથી. પ્રોટોન ઉત્સર્જન માટે $^{238}_{92}U$ ન્યુક્લિયસને $7.68 \; MeV$ જેટલી બાહ્ય ઉર્જા આપવી પડે.

(N/A) રાસાયણિક સમીકરણ એ અર્થમાં સંતુલિત હોય છે કે દરેક તત્વના પરમાણુઓની સંખ્યા બંને બાજુ સમાન હોય છે. રાસાયણિક પ્રતિક્રિયા માત્ર પરમાણુઓના જોડાણને બદલે છે. ન્યુક્લિયર પ્રતિક્રિયામાં,તત્વોનું રૂપાંતર થઈ શકે છે,તેથી દરેક તત્વના પરમાણુઓની સંખ્યાનું સંરક્ષણ થવું જરૂરી નથી. જો કે,ન્યુક્લિયર પ્રતિક્રિયામાં પ્રોટોનની કુલ સંખ્યા અને ન્યુટ્રોનની કુલ સંખ્યાનું અલગ-અલગ સંરક્ષણ થાય છે. આમ,ન્યુક્લિયર પ્રતિક્રિયાઓ પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનની કુલ સંખ્યાની દ્રષ્ટિએ સંતુલિત હોય છે.
$(b)$ ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા તેના દળમાં નકારાત્મક ફાળો આપે છે (દળ ક્ષતિ). જ્યારે પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનની કુલ સંખ્યાનું સંરક્ષણ થાય છે,ત્યારે પ્રક્રિયકો અને નીપજોની બાજુએ ન્યુક્લિયસની કુલ બંધન ઉર્જા અલગ હોઈ શકે છે. બંધન ઉર્જામાં આ તફાવત મુક્ત થતી અથવા શોષાતી ઉર્જા તરીકે દેખાય છે. બંધન ઉર્જા દળમાં ફાળો આપતી હોવાથી,બંને બાજુના ન્યુક્લિયસના કુલ દળમાં રહેલો તફાવત ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે અથવા તેનાથી ઉલટું.
$(c)$ સૈદ્ધાંતિક રીતે,દળ-ઉર્જા આંતરરૂપાંતરની દ્રષ્ટિએ રાસાયણિક પ્રતિક્રિયાઓ ન્યુક્લિયર પ્રતિક્રિયાઓ જેવી જ છે. રાસાયણિક પ્રતિક્રિયામાં મુક્ત થતી કે શોષાતી ઉર્જા પરમાણુઓ અને અણુઓની રાસાયણિક બંધન ઉર્જાના તફાવતને કારણે હોય છે. રાસાયણિક બંધન ઉર્જા પણ કુલ દળમાં નકારાત્મક ફાળો (દળ ક્ષતિ) આપતી હોવાથી,પ્રક્રિયકો અને નીપજો વચ્ચેના દળનો તફાવત ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. જો કે,રાસાયણિક પ્રતિક્રિયાઓમાં આ દળ ક્ષતિ ન્યુક્લિયર પ્રતિક્રિયાઓ કરતા લગભગ દસ લાખ ગણી ઓછી હોય છે,જેના કારણે એવી ખોટી માન્યતા પ્રવર્તે છે કે રાસાયણિક પ્રતિક્રિયાઓમાં દળ-ઉર્જા આંતરરૂપાંતર થતું નથી.

(B) નાઇટ્રોજન $\left(^{14}_{7} N \right)$ નું પરમાણ્વીય દળ $m = 14.00307 \; u$ છે.
$^{14}_{7} N$ ના ન્યુક્લિયસમાં $7$ પ્રોટોન અને $7$ ન્યુટ્રોન હોય છે.
દળ ક્ષતિ $\Delta m$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\Delta m = [Z m_{H} + (A - Z) m_{n}] - m_{nucleus}$
જ્યાં $Z = 7$ (પ્રોટોનની સંખ્યા) અને $A - Z = 7$ (ન્યુટ્રોનની સંખ્યા).
$\Delta m = 7 \times 1.007825 \; u + 7 \times 1.008665 \; u - 14.00307 \; u$
$\Delta m = 7.054775 \; u + 7.060655 \; u - 14.00307 \; u$
$\Delta m = 14.11543 \; u - 14.00307 \; u = 0.11236 \; u$
$1 \; u = 931.5 \; MeV/c^{2}$ હોવાથી,બંધન ઉર્જા $E_{b}$:
$E_{b} = \Delta m \times 931.5 \; MeV/u$
$E_{b} = 0.11236 \times 931.5 \; MeV$
$E_{b} \approx 104.66 \; MeV$.
આમ,નાઇટ્રોજન ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા $104.66 \; MeV$ છે.

(C) $^{56}_{26} Fe$ માટે:
પ્રોટોનની સંખ્યા $Z = 26$,ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $N = 56 - 26 = 30$.
દળ ક્ષતિ $\Delta m = Z m_H + N m_n - m(^{56}_{26} Fe)$.
$m_H = 1.007825 \; u$ અને $m_n = 1.008665 \; u$ લેતા:
$\Delta m = 26(1.007825) + 30(1.008665) - 55.934939 = 0.528461 \; u$.
બંધન ઉર્જા $E_{b1} = 0.528461 \times 931.5 \; MeV \approx 492.26 \; MeV$.
ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $= 492.26 / 56 \approx 8.79 \; MeV$.
$^{209}_{83} Bi$ માટે:
પ્રોટોનની સંખ્યા $Z = 83$,ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $N = 209 - 83 = 126$.
દળ ક્ષતિ $\Delta m' = 83 m_H + 126 m_n - m(^{209}_{83} Bi)$.
$\Delta m' = 83(1.007825) + 126(1.008665) - 208.980388 = 1.760877 \; u$.
બંધન ઉર્જા $E_{b2} = 1.760877 \times 931.5 \; MeV \approx 1640.26 \; MeV$.
ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $= 1640.26 / 209 \approx 7.85 \; MeV$.

(N/A) તાંબાના સિક્કાનું દળ, $m' = 3\; g$.
$_{29}^{63} Cu$ પરમાણુનું પરમાણ્વીય દળ, $m = 62.92960\; u$.
સિક્કામાં રહેલા $_{29}^{63} Cu$ પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા $N = \frac{N_A \times m'}{\text{દળ ક્રમાંક}}$.
જ્યાં $N_A = 6.023 \times 10^{23}\; \text{atoms/mol}$ અને દળ ક્રમાંક $= 63\; g/mol$.
$N = \frac{6.023 \times 10^{23} \times 3}{63} = 2.868 \times 10^{22}$ પરમાણુઓ.
$_{29}^{63} Cu$ ન્યુક્લિયસમાં $29$ પ્રોટોન અને $(63 - 29) = 34$ ન્યુટ્રોન હોય છે.
એક ન્યુક્લિયસ માટે દળ ક્ષતિ, $\Delta m' = 29 \times m_H + 34 \times m_n - m$.
$m_H = 1.007825\; u$ અને $m_n = 1.008665\; u$ લેતા:
$\Delta m' = 29(1.007825) + 34(1.008665) - 62.9296 = 0.591935\; u$.
બધા પરમાણુઓ માટે કુલ દળ ક્ષતિ, $\Delta m = 0.591935 \times 2.868 \times 10^{22} = 1.69767 \times 10^{22}\; u$.
$1\; u = 931.5\; MeV/c^2$ નો ઉપયોગ કરતા, બંધન ઉર્જા $E_b = \Delta m \times 931.5\; MeV$.
$E_b = 1.69767 \times 10^{22} \times 931.5 = 1.581 \times 10^{25}\; MeV$.
જૂલમાં રૂપાંતર કરતા $(1\; MeV = 1.602 \times 10^{-13}\; J)$:
$E_b = 1.581 \times 10^{25} \times 1.602 \times 10^{-13} \approx 2.53 \times 10^{12}\; J$.

(N/A) ન્યુટ્રોન સેપરેશન એનર્જી $S_n$ એ ન્યુક્લિયસમાંથી ન્યુટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા છે,જે $S_n = [m(A-1, Z) + m_n - m(A, Z)] \times 931.5 \; MeV/u$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$_{20}^{41} Ca$ માટે:
પ્રક્રિયા: $_{20}^{41} Ca \rightarrow _{20}^{40} Ca + _{0}^{1} n$
દળ ક્ષતિ $\Delta m = m(_{20}^{40} Ca) + m_n - m(_{20}^{41} Ca)$
$\Delta m = 39.962591 + 1.008665 - 40.962278 = 0.008978 \; u$
$S_n = 0.008978 \times 931.5 \; MeV \approx 8.363 \; MeV$.
$_{13}^{27} Al$ માટે:
પ્રક્રિયા: $_{13}^{27} Al \rightarrow _{13}^{26} Al + _{0}^{1} n$
દળ ક્ષતિ $\Delta m = m(_{13}^{26} Al) + m_n - m(_{13}^{27} Al)$
$\Delta m = 25.986895 + 1.008665 - 26.981541 = 0.014019 \; u$
$S_n = 0.014019 \times 931.5 \; MeV \approx 13.059 \; MeV$.

(N/A) દળ અને ઊર્જાની તુલ્યતા: આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈને સૂચવ્યું હતું કે દળ અને ઊર્જા એકબીજામાં રૂપાંતરિત થઈ શકે છે,જે $E = mc^2$ સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે,જ્યાં $E$ એ ઊર્જા છે,$m$ એ દળ છે અને $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ગતિ $(3 \times 10^8 \ m/s)$ છે. આનો અર્થ એ છે કે થોડાક દળમાંથી મોટી માત્રામાં ઊર્જા મેળવી શકાય છે.
$(b)$ ન્યુક્લિયર ઊર્જા: આ ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયાઓ દરમિયાન મુક્ત થતી ઊર્જા છે,જેમ કે ન્યુક્લિયર વિખંડન (ભારે ન્યુક્લિયસનું વિભાજન) અથવા ન્યુક્લિયર સંલયન (હલકા ન્યુક્લિયસનું જોડાણ). મુક્ત થતી ઊર્જા 'માસ ડિફેક્ટ' (દળ ક્ષતિ) ને કારણે હોય છે,જેમાં નીપજોનું દળ પ્રક્રિયકોના દળ કરતા થોડું ઓછું હોય છે,અને તફાવત $E = \Delta mc^2$ મુજબ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$(c)$ ઊર્જા સંરક્ષણનો સિદ્ધાંત: આ સિદ્ધાંત મુજબ ઊર્જાનું સર્જન કે વિનાશ શક્ય નથી,માત્ર તેનું એક સ્વરૂપમાંથી બીજા સ્વરૂપમાં રૂપાંતર થઈ શકે છે. અલગ કરેલી સિસ્ટમમાં,કુલ ઊર્જા સમય જતાં અચળ રહે છે.

(B) રાસાયણિક ઉર્જા એ રાસાયણિક સંયોજનોના બંધમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જાનું એક સ્વરૂપ છે.
રાસાયણિક પ્રક્રિયા દરમિયાન,નવા પદાર્થો બનાવવા માટે પરમાણુઓની પુનઃગોઠવણી થાય છે.
આ પુનઃગોઠવણીમાં અસ્તિત્વમાં રહેલા રાસાયણિક બંધો તૂટવા અને નવા બંધો બનવાની પ્રક્રિયા સામેલ છે.
ઉર્જામાં ફેરફાર મુખ્યત્વે ઇલેક્ટ્રોન અને ન્યુક્લિયસની સ્થિર વિદ્યુત સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફારને કારણે હોય છે કારણ કે તેઓ નવી ગોઠવણીમાં જાય છે.
તેથી,સાચું કારણ પરમાણુઓની પુનઃગોઠવણીને કારણે ઇલેક્ટ્રોન અને ન્યુક્લિયસની સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે.

(N/A) આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈન દ્વારા પ્રસ્તાવિત દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે દળ અને ઊર્જા એકબીજામાં રૂપાંતરિત થઈ શકે છે. તેનું સમીકરણ $E = mc^2$ છે,જ્યાં $E$ એ ઊર્જા છે,$m$ એ દળ છે અને $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે $(c \approx 3 \times 10^8 \ m/s)$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$m$ દળને સમતુલ્ય ઉર્જા $E$ એ $E = mc^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ગતિ છે.
અહીં આપેલ દળ $m = 1 \ kg$ છે.
પ્રકાશની ગતિ $c \approx 3 \times 10^8 \ m/s$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$E = 1 \ kg \times (3 \times 10^8 \ m/s)^2$
$E = 1 \times 9 \times 10^{16} \ J$
$E = 9 \times 10^{16} \ J$.
તેથી,એક કિલોગ્રામ દળને સમતુલ્ય ઉર્જા $9 \times 10^{16} \ J$ છે.

(N/A) જ્યારે એક પ્રોટોન અને એક ઇલેક્ટ્રોન જોડાઈને $H$-પરમાણુ બનાવે છે,ત્યારે તંત્ર મહત્તમ સ્થિરતા પ્રાપ્ત કરવા માટે ઓછી સ્થિતિ ઊર્જા ધરાવતી અવસ્થામાં જાય છે. આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત $E = mc^2$ મુજબ,સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો આ ઘટાડો તંત્રના દળમાં ઘટાડાને અનુરૂપ છે. આ દળ ક્ષતિ પરમાણુના નિર્માણ દરમિયાન ઊર્જા (બંધન ઊર્જા) તરીકે મુક્ત થાય છે. પરિણામે,$H$-પરમાણુનું દળ તેના ઘટક કણોના મુક્ત અવસ્થામાં રહેલા દળના સરવાળા કરતા ઓછું હોય છે.

(N/A) આઈન્સ્ટાઈનના વિશિષ્ટ સાપેક્ષતાવાદના સિદ્ધાંત મુજબ,દ્રવ્યમાનને ઊર્જાનું એક સ્વરૂપ માનવામાં આવે છે.
આ સિદ્ધાંત પહેલાં એવી ધારણા હતી કે કોઈપણ ભૌતિક પ્રક્રિયામાં દ્રવ્યમાન અને ઊર્જાનું અલગ-અલગ સંરક્ષણ થાય છે.
આઈન્સ્ટાઈને દર્શાવ્યું કે દ્રવ્યમાન એ ઊર્જાનું જ એક સ્વરૂપ છે અને તેને ગતિઊર્જા જેવા અન્ય સ્વરૂપોમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે અને તેનાથી ઉલટું પણ શક્ય છે.
આ દ્રવ્યમાન-ઊર્જા સમતુલ્યતા $E = mc^2$ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દ્રવ્યમાન છે અને $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશનો વેગ છે,જેનું મૂલ્ય આશરે $3 \times 10^8 \ m/s$ છે.
આ સંબંધની પ્રાયોગિક ચકાસણી ન્યુક્લિયોન્સ,ન્યુક્લિયસ,ઈલેક્ટ્રોન અને અન્ય અપરમાણ્વીય કણો સાથેની ન્યુક્લિયર પ્રતિક્રિયાઓના અભ્યાસ દ્વારા કરવામાં આવી છે.
આવી પ્રતિક્રિયાઓમાં,ઊર્જા સંરક્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે દ્રવ્યમાન-ઊર્જા રૂપાંતરણને ધ્યાનમાં લેતા,કુલ પ્રારંભિક ઊર્જા અને કુલ અંતિમ ઊર્જા સમાન હોવી જોઈએ.
આ ખ્યાલ ન્યુક્લિયર બંધન ઊર્જા,ન્યુક્લિયર દ્રવ્યમાન અને ન્યુક્લિયસ વચ્ચેની આંતરક્રિયાઓને સમજવા માટે પાયારૂપ છે.

(N/A) ન્યુક્લિયસ પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનનું બનેલું છે। તેથી, એવી અપેક્ષા રાખી શકાય કે ન્યુક્લિયસનું દળ તેના વ્યક્તિગત પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનના કુલ દળ જેટલું હોય।
જોકે, ન્યુક્લિયર દળ $M$ હંમેશા તેના ઘટકો (ન્યુટ્રોન અને પ્રોટોન) ના મુક્ત અવસ્થામાં રહેલા દળના સરવાળા કરતા ઓછું જોવા મળે છે।
ધારો કે $_{Z}^{A}X$ ન્યુક્લિયસનું દળ $M$ છે। જો આપણે પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનનું મુક્ત અવસ્થામાં દળ અનુક્રમે $m_{p}$ અને $m_{n}$ લઈએ, તો $M < (Z m_{p} + N m_{n})$ થાય, જ્યાં $N = A - Z$ એ ન્યુટ્રોન સંખ્યા છે। ન્યુક્લિયસના ઘટકોના કુલ દળ અને ન્યુક્લિયસના વાસ્તવિક દળ વચ્ચેના તફાવતને દળ-ક્ષતિ $(\Delta M)$ કહેવામાં આવે છે।
$\therefore \Delta M = [Z m_{p} + (A - Z) m_{n}] - M$ એ દળ-ક્ષતિનું સૂત્ર છે।
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ, દળ-ક્ષતિને સમતુલ્ય ઉર્જા $E_{b} = \Delta M c^{2}$ છે, જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશનો વેગ છે $(c \approx 3 \times 10^{8} \ m/s)$।
આ ઉર્જા $E_{b}$ ને ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા કહેવામાં આવે છે। તે $Z$ પ્રોટોન અને $N$ ન્યુટ્રોન જોડાઈને ન્યુક્લિયસ બનાવે ત્યારે મુક્ત થતી ઉર્જા અથવા ન્યુક્લિયસને તેના વ્યક્તિગત ન્યુક્લિયોન્સમાં અલગ કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા દર્શાવે છે।
ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જાને કુલ ન્યુક્લિયોન સંખ્યા $(A)$ વડે ભાગતા, ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $(E_{bn})$ મળે છે।
$\therefore E_{bn} = \frac{E_{b}}{A}$
ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા એ ન્યુક્લિયસની સ્થિરતાનું માપદંડ છે।

(N/A) ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઉર્જા $(E_{bn})$ વિરુદ્ધ પરમાણુ દળાંક $(A)$ નો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
આ આલેખની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ નીચે મુજબ છે:
$(i)$ મધ્યમ દળાંક ધરાવતા ન્યુક્લિયસ $(30 < A < 170)$ માટે ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઉર્જા $(E_{bn})$ વ્યવહારિક રીતે અચળ રહે છે અને તે પરમાણુ દળાંક પર આધારિત નથી. $E_{bn}$ નું મહત્તમ મૂલ્ય આશરે $8.75 \text{ MeV/nucleon}$ છે,જે આયર્ન $(^{56}\text{Fe})$ ન્યુક્લિયસ માટે જોવા મળે છે. યુરેનિયમ $(^{238}\text{U})$ જેવા ભારે ન્યુક્લિયસ માટે $E_{bn}$ નું મૂલ્ય ઘટીને આશરે $7.6 \text{ MeV/nucleon}$ થાય છે.
$(ii)$ હલકા ન્યુક્લિયસ $(A < 30)$ અને ભારે ન્યુક્લિયસ $(A > 170)$ બંને માટે $E_{bn}$ નું મૂલ્ય ઓછું હોય છે,જે દર્શાવે છે કે તેઓ મધ્યમ દળાંક ધરાવતા ન્યુક્લિયસની સરખામણીમાં ઓછા સ્થાયી છે. આલેખ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ડ્યુટેરોન $(^{2}_{1}\text{H})$ માટે ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઉર્જા સૌથી ઓછી છે.
$(iii)$ હલકા ન્યુક્લિયસ માટે,જ્યારે ન્યુટ્રોન અને પ્રોટોનનો ગુણોત્તર આશરે $1:1$ હોય ત્યારે સ્થિરતા પ્રાપ્ત થાય છે. જોકે,ભારે ન્યુક્લિયસ માટે,પ્રોટોન વચ્ચેના વધતા ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક અપાકર્ષણને સંતુલિત કરવા માટે આ ગુણોત્તર વધીને આશરે $3:2$ જેટલો થાય છે.

(N/A) ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જાના આલેખની બે મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ નીચે મુજબના તારણો આપે છે:
$(i)$ ન્યુક્લિયર બળ આકર્ષી છે અને તે $30 < A < 170$ ધરાવતા ન્યુક્લિયસ માટે આશરે $8 \text{ MeV}$ જેટલી ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા ઉત્પન્ન કરવા માટે પૂરતું પ્રબળ છે. આ દર્શાવે છે કે ન્યુક્લિયર બળ ટૂંકા ગાળાનું છે અને તે સંતૃપ્તિનો ગુણધર્મ ધરાવે છે.
$(ii)$ ખૂબ જ ભારે ન્યુક્લિયસ $(A > 170)$ માટે,ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા ઘટે છે. આનું કારણ એ છે કે પ્રોટોન વચ્ચેનું લાંબા ગાળાનું કુલંબ અપાકર્ષણ નોંધપાત્ર બને છે,જે સ્થિરતા ઘટાડે છે. પરિણામે,જો ભારે ન્યુક્લિયસ $(A = 240)$ બે હળવા ન્યુક્લિયસ $(A = 120)$ માં વિભાજિત થાય,તો ન્યુક્લિયોન વધુ મજબૂતીથી બંધાય છે અને ઉર્જા મુક્ત થાય છે. આ પ્રક્રિયાને ન્યુક્લિયર વિખંડન કહેવામાં આવે છે.
$(iii)$ ખૂબ જ હળવા ન્યુક્લિયસ $(A \leq 10)$ માટે,ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા ઓછી હોય છે. જ્યારે બે હળવા ન્યુક્લિયસ જોડાઈને ભારે ન્યુક્લિયસ બનાવે છે,ત્યારે પરિણામી ન્યુક્લિયસ વધુ મજબૂતીથી બંધાયેલું હોય છે,જેનાથી ઉર્જા મુક્ત થાય છે. આ પ્રક્રિયાને ન્યુક્લિયર સંલયન કહેવામાં આવે છે,જે સૂર્ય અને હાઇડ્રોજન બોમ્બનો ઉર્જા સ્ત્રોત છે.

(N/A) આઈન્સ્ટાઈનનો સાપેક્ષતાનો વિશિષ્ટ સિદ્ધાંત બે પાયાના પૂર્વધારણાઓ પર આધારિત છે:
$1$. ભૌતિકવિજ્ઞાનના નિયમો તમામ જડત્વીય સંદર્ભ ફ્રેમમાં સમાન રહે છે.
$2$. શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ તમામ અવલોકનકારો માટે સમાન રહે છે,પછી ભલે પ્રકાશનો સ્ત્રોત કે અવલોકનકાર ગતિમાં હોય.
આ સિદ્ધાંતના પરિણામ સ્વરૂપે,આઈન્સ્ટાઈને દળ-ઊર્જા તુલ્યતાનું સૂત્ર આપ્યું,જે દર્શાવે છે કે દળ અને ઊર્જા એકબીજામાં રૂપાંતરિત થઈ શકે છે. આ સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = mc^2$
જ્યાં:
$E$ એ દળની ઊર્જા તુલ્યતા છે,
$m$ એ પદાર્થનું દળ છે,
$c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે (આશરે $3 \times 10^8 \ m/s$).

(N/A) દળ ક્ષતિ એટલે ન્યુક્લિયસના ઘટક ન્યુક્લિઓન્સ (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન) ના દળના સરવાળા અને ન્યુક્લિયસના વાસ્તવિક દળ વચ્ચેનો તફાવત.
તે એ દળ દર્શાવે છે જે ન્યુક્લિયસને જકડી રાખવા માટે બંધન ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\Delta m = [Z m_p + (A - Z) m_n] - M_{nucleus}$
જ્યાં:
$Z$ = પરમાણુ ક્રમાંક (પ્રોટોનની સંખ્યા)
$A$ = દળ ક્રમાંક (ન્યુક્લિઓન્સની કુલ સંખ્યા)
$m_p$ = પ્રોટોનનું દળ
$m_n$ = ન્યુટ્રોનનું દળ
$M_{nucleus}$ = ન્યુક્લિયસનું વાસ્તવિક દળ

(N/A) $1$. ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા $(BE)$: ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા એટલે ન્યુક્લિયસના ન્યુક્લિયોન્સ (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન) ને એકબીજાથી અનંત અંતરે અલગ કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા. તે દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ અને પ્રકાશની ગતિના વર્ગ $(c^2)$ ના ગુણાકાર જેટલી હોય છે.
સૂત્ર: $BE = \Delta m \times c^2 = [Z m_p + (A - Z) m_n - M_{nucleus}] c^2$, જ્યાં $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે, $A$ એ દળ ક્રમાંક છે, $m_p$ એ પ્રોટોનનું દળ છે, $m_n$ એ ન્યુટ્રોનનું દળ છે અને $M_{nucleus}$ એ ન્યુક્લિયસનું વાસ્તવિક દળ છે.
$2$. ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $(BE/A)$: આ ન્યુક્લિયસમાંથી એક ન્યુક્લિયોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી સરેરાશ ઉર્જા છે. તેની ગણતરી ન્યુક્લિયસની કુલ બંધન ઉર્જાને કુલ ન્યુક્લિયોન્સની સંખ્યા (દળ ક્રમાંક $A$) વડે ભાગીને કરવામાં આવે છે.
સૂત્ર: $BE/A = \frac{BE}{A}$.

(A) ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા એટલે ન્યુક્લિયસની કુલ બંધન ઉર્જાને તેના દળ ક્રમાંક $(A)$ વડે ભાગતા મળતું મૂલ્ય.
તે ન્યુક્લિયસની સ્થિરતાનું સીધું માપ છે.
ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જાનું મૂલ્ય જેટલું વધારે,તેટલા ન્યુક્લિયોન વધુ મજબૂતીથી જોડાયેલા હોય છે,જે ન્યુક્લિયસને વધુ સ્થિર બનાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા એ ન્યુક્લિયસની સ્થિરતાનું માપ છે.
પ્રાયોગિક ડેટા દર્શાવે છે કે $A = 50$ થી $A = 60$ ની રેન્જમાં દળ સંખ્યા ધરાવતા ન્યુક્લિયસ માટે ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા મહત્તમ હોય છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,નિકલ-$62$ $(^{62}Ni)$ આઇસોટોપની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા સૌથી વધુ છે,જે આશરે $8.79 \ MeV$ થી $8.8 \ MeV$ જેટલી છે.
જોકે આયર્ન-$56$ $(^{56}Fe)$ તેની વધુ વિપુલતા અને સ્થિરતાને કારણે પાઠ્યપુસ્તકોમાં વારંવાર ઉલ્લેખવામાં આવે છે,પરંતુ નિકલ-$62$ પાસે તેનું નિરપેક્ષ મહત્તમ મૂલ્ય છે.

(N/A) ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા દરમિયાન મુક્ત થતી ઉર્જાને ન્યુક્લિયર ઉર્જા કહેવામાં આવે છે.
આકૃતિમાં $A=30$ થી $A=170$ ના વિસ્તારમાં ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા લગભગ અચળ $(8.0 \text{ MeV})$ રહે છે.
$A<30$ અને $A>170$ ના વિસ્તારના ન્યુક્લિયસ માટે,ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $8.0 \text{ MeV}$ કરતા ઓછી હોય છે.
જેટલી બંધન ઉર્જા વધારે,તેટલું ન્યુક્લિયસનું કુલ દળ ઓછું.
$[\text{ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા} = \frac{E_{bn}}{A}]$
$\therefore$ ન્યુક્લિયસની કુલ બંધન ઉર્જા = (ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા) $\times A$.
જો ઓછી કુલ બંધન ઉર્જા ધરાવતા ન્યુક્લિયસ,વધુ બંધન ઉર્જા ધરાવતા ન્યુક્લિયસમાં રૂપાંતરિત થાય,તો ચોખ્ખી ઉર્જા મુક્ત થાય છે. આ રીતે,ઉર્જા મેળવવા માટે બે પ્રકારની ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયાઓ છે:
$1$. ન્યુક્લિયર વિખંડન (Nuclear Fission): જ્યારે ભારે ન્યુક્લિયસ બે કે તેથી વધુ મધ્યમ દળના ટુકડાઓમાં વિભાજિત થાય છે,ત્યારે ઉર્જા મુક્ત થાય છે. આ પરમાણુ બોમ્બનો સિદ્ધાંત છે.
$2$. ન્યુક્લિયર સંલયન (Nuclear Fusion): જ્યારે બે કે તેથી વધુ હલકા ન્યુક્લિયસ જોડાઈને ભારે ન્યુક્લિયસ બનાવે છે,ત્યારે પણ ઉર્જા ઉત્સર્જિત થાય છે. આ હાઇડ્રોજન બોમ્બનો સિદ્ધાંત છે.
ઉષ્માક્ષેપક રાસાયણિક પ્રતિક્રિયાઓ કોલસો અથવા પેટ્રોલિયમ જેવા પરંપરાગત ઉર્જા સ્ત્રોતો હેઠળ આવે છે. તેની સાથે સંકળાયેલી ઉર્જા $\text{eV}$ ના ક્રમની હોય છે.
જ્યારે ન્યુક્લિયર પ્રતિક્રિયામાં ઉર્જા મુક્તિ $\text{MeV}$ ના ક્રમની હોય છે.
આમ,પદાર્થના સમાન જથ્થા માટે,ન્યુક્લિયર સ્ત્રોતો રાસાયણિક સ્ત્રોત કરતા દસ લાખ $(10^6)$ ગણી વધુ ઉર્જા ઉત્પન્ન કરે છે.
ઉદાહરણ તરીકે: $1 \text{ kg}$ યુરેનિયમ $10^{14} \text{ J}$ ઉર્જા ઉત્પન્ન કરે છે,જેની સરખામણી $1 \text{ kg}$ કોલસાના દહન સાથે કરીએ તો તે $10^7 \text{ J}$ આપે છે.

(B) ના,તેમની બંધન ઉર્જા સમાન નથી.
બંધન ઉર્જા ન્યુક્લિયસમાં રહેલા પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે.
$_{1}H^{3}$ (ટ્રિટિયમ) માટે,ન્યુક્લિયસમાં $1$ પ્રોટોન અને $2$ ન્યુટ્રોન હોય છે.
$_{2}He^{3}$ માટે,ન્યુક્લિયસમાં $2$ પ્રોટોન અને $1$ ન્યુટ્રોન હોય છે.
ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા ન્યુક્લિયર બળ દ્વારા પ્રભાવિત થાય છે,જે ન્યુક્લિયોન વચ્ચે આકર્ષી હોય છે.
કારણ કે $_{1}H^{3}$ નો ન્યુટ્રોન-પ્રોટોન ગુણોત્તર અલગ છે અને તેમાં પેરિંગ અસરો અલગ છે,તેથી તેની કુલ બંધન ઉર્જા $_{2}He^{3}$ કરતા અલગ હોય છે.
સામાન્ય રીતે,$_{1}H^{3}$ ની બંધન ઉર્જા આશરે $8.48 \text{ MeV}$ છે,જ્યારે $_{2}He^{3}$ ની બંધન ઉર્જા આશરે $7.72 \text{ MeV}$ છે.
તેથી,બંધન ઉર્જા સમાન નથી.

(A) આપેલ ન્યુક્લાઇડ $_{11}^{23}Na$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z_1 = 11$ અને દળ ક્રમાંક $A = 23$ છે. ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $N_1 = A - Z_1 = 23 - 11 = 12$ છે.
મિરર આઇસોબાર માટે,નવો પરમાણુ ક્રમાંક $Z_2 = N_1 = 12$ અને નવા ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $N_2 = Z_1 = 11$ થાય. દળ ક્રમાંક $A = Z_2 + N_2 = 12 + 11 = 23$ રહે છે. $12$ પરમાણુ ક્રમાંક ધરાવતું તત્વ મેગ્નેશિયમ $(Mg)$ છે. આમ,મિરર આઇસોબાર $_{12}^{23}Mg$ છે.
$(b)$ ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનની સમાનતા દ્વારા પ્રભાવિત થાય છે. $_{11}^{23}Na$ માં $11$ પ્રોટોન અને $12$ ન્યુટ્રોન છે,જ્યારે $_{12}^{23}Mg$ માં $12$ પ્રોટોન અને $11$ ન્યુટ્રોન છે. પ્રોટોનની સાપેક્ષમાં વધુ ન્યુટ્રોન ધરાવતું ન્યુક્લિયસ સામાન્ય રીતે વધુ મજબૂત આકર્ષણ બળ અનુભવે છે કારણ કે પ્રોટોન વચ્ચે વધારાનું કુલંબ અપાકર્ષણ ઓછું હોય છે. તેથી,$_{11}^{23}Na$ ની બંધન ઉર્જા $_{12}^{23}Mg$ કરતા વધારે છે.

(D) ધારો કે ડ્યુટેરોન ન્યુક્લિયસ સ્થિર છે. જ્યારે $E$ ઉર્જાનું $\gamma$-કિરણ તેના પર આપાત થાય છે,ત્યારે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $E = B + K_p + K_n$,જ્યાં $K_p$ અને $K_n$ એ પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનની ગતિ ઉર્જા છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણ મુજબ,ફોટોનનું વેગમાન પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનના વેગમાનના સરવાળા જેટલું હોવું જોઈએ: $p_{\gamma} = p_p + p_n$. ફોટોનનું વેગમાન $p_{\gamma} = E/c$ હોવાથી,$p_p + p_n = E/c$ મળે છે.
જો $E = B$ હોય,તો $K_p + K_n = 0$ થાય. ગતિ ઉર્જા ઋણ હોઈ શકતી નથી,તેથી $K_p = 0$ અને $K_n = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $p_p = 0$ અને $p_n = 0$. જોકે,આ વેગમાન સંરક્ષણના સમીકરણ $p_p + p_n = E/c$ સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે,કારણ કે $E/c \neq 0$. આમ,$E = B$ શક્ય નથી.
આ પ્રક્રિયા થવા માટે,$E > B$ હોવું જોઈએ. ધારો કે $E = B + \Delta E$. ગતિ ઉર્જા $K_p = p_p^2 / 2m$ અને $K_n = p_n^2 / 2m$ છે. જરૂરી ઉર્જા ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે ધારીએ છીએ કે કણો સમાન વેગ સાથે ગતિ કરે છે,તેથી $p_p = p_n = p/2$. પછી $p = E/c$,તેથી $p_p = p_n = E/2c$.
ઉર્જા સમીકરણમાં મૂકતા: $E - B = (E/2c)^2 / 2m + (E/2c)^2 / 2m = E^2 / 4mc^2$.
$E \approx B$ હોવાથી,$\Delta E \approx B^2 / 4mc^2$ મળે છે.

(D) $H$-પરમાણુની બંધન ઉર્જાનું સૂત્ર:
$E = \frac{m_e e^4}{8 \epsilon_0^2 h^2} = 13.6 \text{ eV}$ ... $(1)$
હવે,ડ્યુટેરોન ન્યુક્લિયસને દ્વિ-તંત્ર તરીકે ગણતા,આપણે $m_e$ ને રિડ્યુસ્ડ માસ $m'$ અને $e$ ને અસરકારક વીજભાર $e'$ સાથે બદલીએ છીએ. ડ્યુટેરોનની બંધન ઉર્જા:
$E' = \frac{m' e'^4}{8 \epsilon_0^2 h^2} = 2.2 \times 10^6 \text{ eV}$ ... $(2)$
સમીકરણ $(2)$ અને $(1)$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{m'}{m_e} \times \left(\frac{e'}{e}\right)^4 = \frac{2.2 \times 10^6}{13.6} \approx 1.617 \times 10^5$ ... $(3)$
ડ્યુટેરોન (પ્રોટોન-ન્યુટ્રોન તંત્ર) માટે રિડ્યુસ્ડ માસ $m'$:
$m' = \frac{m_p m_n}{m_p + m_n} = \frac{m \times m}{2m} = \frac{m}{2}$
$m \approx 1836 m_e$ આપેલ હોવાથી,$m' = \frac{1836 m_e}{2} = 918 m_e$.
તેથી,$\frac{m'}{m_e} = 918$.
આ કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$918 \times \left(\frac{e'}{e}\right)^4 = 1.617 \times 10^5$
$\left(\frac{e'}{e}\right)^4 = \frac{1.617 \times 10^5}{918} \approx 176.14$
$\frac{e'}{e} = (176.14)^{1/4} \approx 3.65$.

(N/A) આપણે જાણીએ છીએ કે $1\,u = 1.6605 \times 10^{-27}\,kg$ અને $c = 3 \times 10^8\,m/s$.
$E = mc^2$ લાગુ પાડતા:
$E = (1.6605 \times 10^{-27}\,kg) \times (3 \times 10^8\,m/s)^2$
$E = 1.6605 \times 9 \times 10^{-11}\,J = 14.9445 \times 10^{-11}\,J$
આને $MeV$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,$1.6 \times 10^{-13}\,J/MeV$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{14.9445 \times 10^{-11}}{1.6 \times 10^{-13}}\,MeV \approx 934\,MeV$ (ચોક્કસ $1\,u = 1.660539 \times 10^{-27}\,kg$ નો ઉપયોગ કરતા $931.5\,MeV$ મળે છે).
$(b)$ સંબંધ $1\,u = 931.5\,MeV$ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ ખોટો છે કારણ કે દળ એ ઊર્જાની બરાબર ન હોઈ શકે. સાચો સંબંધ $1\,u \times c^2 = 931.5\,MeV$ છે.

(A) પ્રોટોનની સંખ્યા $Z = 50$ અને ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $N = A - Z = 120 - 50 = 70$ છે.
ન્યુક્લિયસનું અપેક્ષિત દળ $M_{expected} = Z m_{p} + N m_{n}$ છે.
$M_{expected} = 50(1.00783) + 70(1.00867) = 50.3915 + 70.6069 = 120.9984 \, U$.
દળ ક્ષતિ $\Delta m = M_{expected} - m_{Sn} = 120.9984 - 119.902199 = 1.096201 \, U$.
બંધન ઉર્જા $B.E. = \Delta m \times 931 \, MeV/U = 1.096201 \times 931 \approx 1020.56 \, MeV$.
ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઉર્જા $\frac{B.E.}{A} = \frac{1020.56}{120} \approx 8.5 \, MeV$ છે.

(A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ કોઈ પ્રક્રિયા શક્ય બનવા માટે,પ્રક્રિયકોનું કુલ દળ નીપજોના કુલ દળ કરતા વધારે અથવા સમાન હોવું જોઈએ.
ચાલો $A$ તપાસીએ: $n + p \rightarrow d + \gamma$.
પ્રક્રિયકોનું દળ: $m_{n} + m_{p} = 1.0087 + 1.0072 = 2.0159 \ u$.
નીપજનું દળ: $m_{d} = 2.0141 \ u$.
અહીં $2.0159 \ u > 2.0141 \ u$ હોવાથી,દળનો તફાવત ઉર્જા (ફોટોન $\gamma$) તરીકે મુક્ત થાય છે,જે સંરક્ષણના નિયમોનું પાલન કરે છે.
$B$ તપાસતા: $e^{+} + e^{-} \rightarrow \gamma$ એ વેગમાન સંરક્ષણનું ઉલ્લંઘન કરે છે (એક ફોટોન ઉર્જા અને વેગમાન બંનેનું સંરક્ષણ કરી શકતો નથી).
$D$ તપાસતા: $p \rightarrow n + e^{+} + \bar{v}$ મુક્ત પ્રોટોન માટે શક્ય નથી કારણ કે $m_{p} < m_{n} + m_{e}$.
આમ,સાચી પ્રક્રિયા $A$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ઉર્જા $E$ એ સૂત્ર $E = mc^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ દળ $m = 0.5\, g = 0.5 \times 10^{-3}\, kg$.
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8\, m/s$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$E = (0.5 \times 10^{-3}\, kg) \times (3 \times 10^8\, m/s)^2$
$E = 0.5 \times 10^{-3} \times 9 \times 10^{16}\, J$
$E = 4.5 \times 10^{13}\, J$.

(B) પ્રોટોનની સંખ્યા $Z = 26$ અને ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $N = 56 - 26 = 30$ છે.
દળ ક્ષતિ $\Delta m$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\Delta m = [Z m_{p} + N m_{n} - m({^{56}Fe})]$
$\Delta m = [26 \times 1.00727 + 30 \times 1.00866 - 55.936] \ u$
$\Delta m = [26.18902 + 30.2598 - 55.936] \ u = 0.51282 \ u$.
કુલ બંધન ઉર્જા $BE$:
$BE = \Delta m \times 931.5 \ MeV/u$
$BE = 0.51282 \times 931.5 \approx 477.7 \ MeV$.
ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા:
$BE/A = \frac{477.7}{56} \approx 8.53 \ MeV$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $8.52 \ MeV$ છે.

(B) $\gamma$-કિરણ ફોટોનની ઉર્જા $E_{\gamma} = h\nu$ છે.
$\gamma$-કિરણ ફોટોનનું વેગમાન $p_{\gamma} = \frac{h\nu}{c}$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ન્યુક્લિયસે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં વેગમાન $p_N = p_{\gamma} = \frac{h\nu}{c}$ સાથે પાછા ફરવું (recoil) જોઈએ.
પાછા ફરતા ન્યુક્લિયસની ગતિ ઉર્જા $K_N = \frac{p_N^2}{2M} = \frac{(h\nu/c)^2}{2M} = \frac{(h\nu)^2}{2Mc^2}$ છે.
ન્યુક્લિયસની આંતરિક ઉર્જામાં થતો કુલ ઘટાડો એ ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા અને પાછા ફરતા ન્યુક્લિયસની ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$\Delta E = E_{\gamma} + K_N = h\nu + \frac{(h\nu)^2}{2Mc^2} = h\nu \left[1 + \frac{h\nu}{2Mc^2}\right]$.

(C) દળ ક્ષતિ $\Delta m$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે: $\Delta m = (Z m_p + (A - Z) m_n) - M_{Al}$.
અહીં,$Z = 13$ (પ્રોટોનની સંખ્યા) અને $A - Z = 14$ (ન્યુટ્રોનની સંખ્યા).
$\Delta m = (13 \times 1.00726 + 14 \times 1.00866) - 27.18846$.
$\Delta m = 27.21562 - 27.18846 = 0.02716 \, {u}$.
આપેલ છે કે $1 \, {u}$ એ $1 \, {J}$ ઉર્જાને અનુરૂપ છે,તેથી બંધન ઉર્જા $E = 0.02716 \, {J}$.
આને $x \times 10^{-3} \, {J}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવતા,$E = 27.16 \times 10^{-3} \, {J}$ મળે છે.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,જવાબ $27$ મળે છે.

(D) પરમાણુ વિખંડન પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી ઉર્જા એ નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા અને પ્રક્રિયકની કુલ બંધન ઉર્જા વચ્ચેના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રક્રિયક (ન્યુક્લિયસ $A$) ની કુલ બંધન ઉર્જા:
$BE_A = 220 \times 5.6 \, MeV = 1232 \, MeV$.
નીપજો (ન્યુક્લિયસ $B$ અને $C$) ની કુલ બંધન ઉર્જા:
$BE_{B+C} = (105 \times 6.4) + (115 \times 6.4) \, MeV = (105 + 115) \times 6.4 \, MeV = 220 \times 6.4 \, MeV = 1408 \, MeV$.
મુક્ત થતી ઉર્જા $Q$:
$Q = BE_{\text{products}} - BE_{\text{reactant}}$
$Q = 1408 \, MeV - 1232 \, MeV = 176 \, MeV$.

(D) ધારો કે એક ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા $x + p \rightarrow y + b$ છે,જ્યાં $x$ એ લક્ષ્ય ન્યુક્લિયસ છે,$p$ એ પ્રક્ષિપ્ત કણ છે,$y$ એ નીપજ ન્યુક્લિયસ છે અને $b$ એ ઉત્સર્જિત કણ છે.
ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયાનું $Q$-મૂલ્ય એ અંતિમ ગતિઊર્જા અને પ્રારંભિક ગતિઊર્જાના તફાવત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,અથવા દળ ક્ષતિને કારણે મુક્ત થતી ઊર્જા તરીકે: $Q = K_{f} + K_{b} - K_{p}$.
આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $Q + K_{p} = K_{f} + K_{b}$ મળે છે.
કારણ કે નીપજ કણોની ગતિઊર્જા ($K_{f}$ અને $K_{b}$) ઋણ ન હોઈ શકે (એટલે કે $K_{f} \geq 0$ અને $K_{b} \geq 0$),તેથી તેમનો સરવાળો શૂન્ય અથવા શૂન્યથી વધુ હોવો જોઈએ.
તેથી,પ્રક્રિયા થવા માટે,ઉપલબ્ધ કુલ ઊર્જાએ $(K_{p} + Q) > 0$ શરતનું પાલન કરવું આવશ્યક છે.

(A) ${ }_5 B ^{11}$ માંથી ન્યુટ્રોન દૂર કરવાની પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
${ }_5 B ^{11} \longrightarrow { }_5 B ^{10} + { }_0 n ^1$
ન્યુક્લિયસની કુલ બંધન ઉર્જા નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$BE = (\text{ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઉર્જા}) \times (\text{દળ ક્રમાંક } A)$
${ }_5 B ^{11}$ માટે:
$BE({ }_5 B ^{11}) = 7.5 \,MeV \times 11 = 82.5 \,MeV$
${ }_5 B ^{10}$ માટે:
$BE({ }_5 B ^{10}) = 8.0 \,MeV \times 10 = 80.0 \,MeV$
ન્યુટ્રોન દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા એ બંધન ઉર્જાઓનો તફાવત છે:
$E = BE({ }_5 B ^{11}) - BE({ }_5 B ^{10})$
$E = 82.5 \,MeV - 80.0 \,MeV = 2.5 \,MeV$

(B) ${ }_8 O ^{16}$ માંથી પ્રોટોન દૂર કરવાની પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે: ${ }_8 O ^{16} + \text{Energy} \longrightarrow { }_7 N ^{15} + { }_1 H ^1$.
દળ ક્ષતિ $\Delta m$ ની ગણતરી આ રીતે થાય છે: $\Delta m = (M_{N} + M_{H}) - M_{O}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\Delta m = (15.000108 + 1.007825) - 15.994915 \text{ a.m.u.}$.
$\Delta m = 16.007933 - 15.994915 = 0.013018 \text{ a.m.u.}$.
જરૂરી ઉર્જા $E = \Delta m \times 931.5 \text{ MeV/a.m.u.}$ છે.
$E = 0.013018 \times 931.5 \approx 12.126 \text{ MeV}$,જે આશરે $12.13 \text{ MeV}$ થાય છે.

(B) પ્રોટોનની સંખ્યા $Z = 6$ અને ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $N = 12 - 6 = 6$ છે.
દળ ક્ષતિ $\Delta m$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\Delta m = [Z \cdot m_H + N \cdot m_n] - M_{nucleus}$
$\Delta m = [6 \times 1.007825 + 6 \times 1.008665] - 12.00000$
$\Delta m = [6.04695 + 6.05199] - 12.00000$
$\Delta m = 12.09894 - 12.00000 = 0.09894 \text{ a.m.u.}$
બંધન ઉર્જા $BE = \Delta m \times 931.5 \text{ MeV/a.m.u.}$
$BE = 0.09894 \times 931.5 \approx 92.162 \text{ MeV}$
ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $BE/A = 92.162 / 12 \approx 7.68 \text{ MeV}$ થાય.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સૌથી નજીકની કિંમત $7.675 \text{ MeV}$ છે.

(B) પરમાણુ પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી ઉર્જા એ નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા અને પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા વચ્ચેના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રક્રિયક $X$ ની કુલ બંધન ઉર્જા $= 200 \times 7.4 \, MeV = 1480 \, MeV$.
નીપજો $A$ અને $B$ ની કુલ બંધન ઉર્જા $= (110 \times 8.2 \, MeV) + (90 \times 8.2 \, MeV) = (110 + 90) \times 8.2 \, MeV = 200 \times 8.2 \, MeV = 1640 \, MeV$.
મુક્ત થતી ઉર્જા $Q = \text{નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા} - \text{પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા}$.
$Q = 1640 \, MeV - 1480 \, MeV = 160 \, MeV$.

(D) છેલ્લા પ્રોટોનની બંધન ઉર્જા (જેને પ્રોટોન સેપરેશન એનર્જી પણ કહેવાય છે) પ્રક્રિયાના દળ ક્ષતિ દ્વારા આપવામાં આવે છે: ${ }_8 O ^{16} \rightarrow { }_7 N ^{15} + { }_1 H ^1$.
દળ ક્ષતિ $\Delta m$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\Delta m = [M({ }_7 N ^{15}) + m_p] - M({ }_8 O ^{16})$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta m = 15.00011 \ amu + 1.00783 \ amu - 15.99492 \ amu$
$\Delta m = 16.00794 \ amu - 15.99492 \ amu = 0.01302 \ amu$
કારણ કે $1 \ amu = 931.5 \ MeV/c^2$,તેથી બંધન ઉર્જા $E$:
$E = 0.01302 \times 931.5 \ MeV \approx 12.13 \ MeV$.

(A) ન્યુક્લિયસની સ્થિરતા તેના ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $(BE/A)$ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
${ }_1^2 H$ માટે: $BE/A = 2.22 / 2 = 1.11 \text{ MeV/nucleon}$.
${ }_2^4 He$ માટે: $BE/A = 28.3 / 4 = 7.075 \text{ MeV/nucleon}$.
${ }_{26}^{56} Fe$ માટે: $BE/A = 492 / 56 \approx 8.79 \text{ MeV/nucleon}$.
${ }_{92}^{235} U$ માટે: $BE/A = 1786 / 235 \approx 7.60 \text{ MeV/nucleon}$.
આમ,${ }_{26}^{56} Fe$ ની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા સૌથી વધુ હોવાથી,તે આપેલા વિકલ્પોમાં સૌથી વધુ સ્થાયી ન્યુક્લિયસ છે.

(B) હિલિયમ ન્યુક્લિયસ $(_{2}^{4}He)$ માં $2$ પ્રોટોન અને $2$ ન્યુટ્રોન હોય છે.
દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ નીચે મુજબ મળે છે: $\Delta m = (2 m_p + 2 m_n) - m_{He}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\Delta m = [2(1.0073) + 2(1.0087)] - 4.0015$.
$\Delta m = [2.0146 + 2.0174] - 4.0015 = 4.0320 - 4.0015 = 0.0305\,u$.
કારણ કે $1\,u = 931.5\,MeV/c^2$, તેથી બંધન ઉર્જા $(B.E.)$:
$B.E. = \Delta m \times 931.5\,MeV$.
$B.E. = 0.0305 \times 931.5 \approx 28.4\,MeV$.

(D) ન્યુક્લિયસ $A$ માટે, પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 17$. પ્રોટોનની સંખ્યા અને ન્યુટ્રોનની સંખ્યા સમાન હોવાથી, ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $N = 17$. તેથી, દળ ક્રમાંક $A_{mass} = Z + N = 17 + 17 = 34$ થશે.
$A$ ની કુલ બંધન ઉર્જા: $BE_A = (\text{ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા}) \times (\text{દળ ક્રમાંક}) = 1.2 \, MeV \times 34 = 40.8 \, MeV$.
ન્યુક્લિયસ $B$ માટે, દળ ક્રમાંક $A_{mass} = 26$ અને ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $1.8 \, MeV$ છે.
$B$ ની કુલ બંધન ઉર્જા: $BE_B = 1.8 \, MeV \times 26 = 46.8 \, MeV$.
બંધન ઉર્જાનો તફાવત: $\Delta BE = BE_B - BE_A = 46.8 \, MeV - 40.8 \, MeV = 6 \, MeV$.

(A) અર્ધ-અનુભવજન્ય દળ સૂત્ર મુજબ:
$1$. સપાટી ઉર્જા પદ $E_s = -a_s A^{2/3}$ છે. ન્યુક્લિયોન દીઠ સપાટી ઉર્જા $b_s = E_s/A = -a_s A^{-1/3}$ છે. આમ,વિધાન $A$ ખોટું છે.
$2$. કુલંબ ઉર્જા પદ $E_c = -a_c \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}$ છે. આમ,વિધાન $B$ ખોટું છે કારણ કે છેદમાં $A^{1/3}$ છે,$A^{4/3}$ નથી.
$3$. કદ ઉર્જા પદ $E_v = a_v A$ છે. ન્યુક્લિયોન દીઠ કદ ઉર્જા $b_v = E_v/A = a_v$ છે. વિધાન $C$ સાચું છે કારણ કે કદ ઉર્જા $A$ ના પ્રમાણમાં છે.
$4$. સપાટી ઉર્જા ઉદ્ભવે છે કારણ કે સપાટી પરના ન્યુક્લિયોન પાસે અંદરના ભાગ કરતા ઓછા પાડોશી હોય છે. સપાટી પરના ન્યુક્લિયોનની સંખ્યા સપાટીના ક્ષેત્રફળ $(4\pi R^2 \propto A^{2/3})$ ના પ્રમાણમાં હોય છે. આમ,બંધન ઉર્જામાં ઘટાડો સપાટીના ક્ષેત્રફળના પ્રમાણમાં હોય છે. વિધાન $D$ સાચું છે.
$5$. લિક્વિડ ડ્રોપ મોડેલમાં,એવું માનવામાં આવે છે કે દરેક ન્યુક્લિયોન મર્યાદિત સંખ્યામાં પાડોશીઓ સાથે આંતરક્રિયા કરે છે (સામાન્ય રીતે ક્લોઝ-પેક્ડ સ્ટ્રક્ચરમાં $12$),પરંતુ સપાટી ઉર્જા સુધારો સપાટી પરની ખૂટતી આંતરક્રિયાઓ માટે જવાબદાર છે. વિધાન $E$ આ મોડેલમાં એક પ્રમાણભૂત ધારણા છે.