Mass-Energy, Nuclear Binding Energy, Nuclear Stability Questions in Gujarati

(B) શરૂઆતની ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જાની ગણતરી આ મુજબ છે: $E_{i} = 242 \times 7.6\,MeV = 1839.2\,MeV$.
અંતિમ અવસ્થામાં બે ટુકડાઓ છે,જે દરેકનો દળ-ક્રમાંક $121$ છે. દરેક ટુકડા માટે પ્રતિ ન્યુક્લિયોન બંધન ઉર્જા $8.1\,MeV$ છે.
કુલ અંતિમ બંધન ઉર્જા છે: $E_{f} = (121 \times 8.1\,MeV) + (121 \times 8.1\,MeV) = 242 \times 8.1\,MeV = 1960.2\,MeV$.
બંધન ઉર્જામાં કુલ વધારો એ અંતિમ અને શરૂઆતની બંધન ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\Delta E = E_{f} - E_{i} = 242 \times (8.1 - 7.6)\,MeV$.
$\Delta E = 242 \times 0.5\,MeV = 121\,MeV$.

(D) ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી ઉર્જા $Q$ એ દળ ક્ષતિ અને $1 \, u$ ના ઉર્જા સમતુલ્ય $(931.5 \, MeV/c^2)$ ના ગુણાકાર જેટલી હોય છે.
દળ ક્ષતિ $\Delta m = (m_A - m_B - m_D)$.
$\Delta m = (238.05079 - 234.04363 - 4.00260) \, u$.
$\Delta m = 238.05079 - 238.04623 = 0.00456 \, u$.
મુક્ત થતી ઉર્જા $Q = \Delta m \times 931.5 \, MeV/u$.
$Q = 0.00456 \times 931.5 \, MeV \approx 4.24764 \, MeV$.
નજીકના મૂલ્યને ધ્યાનમાં લેતા,$Q \approx 4.25 \, MeV$.

(D) ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જાનો આલેખ દર્શાવે છે કે $30$ થી $170$ ની વચ્ચે દળ ક્રમાંક ધરાવતા ન્યુક્લિયસ માટે, ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા લગભગ અચળ (આશરે $8 \text{ MeV}$ પ્રતિ ન્યુક્લિયોન) રહે છે.
આ એટલા માટે થાય છે કારણ કે ન્યુક્લિયર બળ ટૂંકા ગાળાનું છે, જેનો અર્થ છે કે ન્યુક્લિયોન ફક્ત તેના નજીકના પડોશીઓ સાથે જ આંતરક્રિયા કરે છે.
જેમ જેમ દળ ક્રમાંક વધે છે, તેમ આપેલ ન્યુક્લિયોન માટે પડોશીઓની સંખ્યા અસરકારક રીતે અચળ રહે છે, જે ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જાને કુલ ન્યુક્લિયોનની સંખ્યાથી સ્વતંત્ર બનાવે છે.
તેથી, વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે, અને ન્યુક્લિયર બળનો ટૂંકા ગાળાનો સ્વભાવ એ ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જાના સંતૃપ્તિનું કારણ છે.

(C) ${ }_{6} C^{13}$ માંથી ન્યુટ્રોન દૂર કરવા માટેની ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે: ${ }_{6} C^{13} + \text{Energy} \rightarrow { }_{6} C^{12} + { }_{0} n^{1}$.
દળ ક્ષતિ $\Delta m$ એ નીપજોના દળ અને પ્રક્રિયકના દળ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\Delta m = (M({ }_{6} C^{12}) + M({ }_{0} n^{1})) - M({ }_{6} C^{13})$
$\Delta m = (12.000000 + 1.008665) - 13.003354$
$\Delta m = 13.008665 - 13.003354 = 0.005311 \ u$.
જરૂરી ઉર્જા $E = \Delta m \times 931.5 \ MeV/u$ દ્વારા મળે છે:
$E = 0.005311 \times 931.5 \ MeV \approx 4.947 \ MeV \approx 4.95 \ MeV$.

(B) મુક્ત થતી ઉર્જા આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = \Delta m c^2$.
આપેલ દળ ક્ષતિ $\Delta m = 0.4 \,g = 0.4 \times 10^{-3} \,kg$ અને પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \,m/s$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = (0.4 \times 10^{-3} \,kg) \times (3 \times 10^8 \,m/s)^2$.
$E = 0.4 \times 10^{-3} \times 9 \times 10^{16} \,J = 3.6 \times 10^{13} \,J$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \,kWh = 3.6 \times 10^6 \,J$,તેથી $1 \,J = \frac{1}{3.6 \times 10^6} \,kWh$.
$E = \frac{3.6 \times 10^{13}}{3.6 \times 10^6} \,kWh = 10^7 \,kWh$.
આને $n \times 10^7 \,kWh$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 1$ મળે છે.

(D) દળ ક્ષતિ $\Delta m$ અને બંધન ઉર્જા $BE$ વચ્ચેનો સંબંધ આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સંબંધ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $BE = \Delta m c^2$.
અહીં $BE = 18 \times 10^8 \ J$ અને પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $18 \times 10^8 = \Delta m \times (3 \times 10^8)^2$.
$18 \times 10^8 = \Delta m \times 9 \times 10^{16}$.
$\Delta m = \frac{18 \times 10^8}{9 \times 10^{16}} = 2 \times 10^{-8} \ kg$.
માઈક્રોગ્રામમાં ફેરવતા: $2 \times 10^{-8} \ kg = 2 \times 10^{-8} \times 10^9 \ \mu g = 20 \ \mu g$.

(A) ન્યુક્લિયર બંધન ઉર્જા $(B.E.)$ ને દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ ના ઉર્જા સમતુલ્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સમસ્થાનિક ${ }_{5}^{12} B$ માં $Z = 5$ પ્રોટોન અને $A - Z = 12 - 5 = 7$ ન્યુટ્રોન છે.
દળ ક્ષતિ $\Delta m$ એ વ્યક્તિગત ન્યુક્લિયોન્સના દળના સરવાળા અને ન્યુક્લિયસના વાસ્તવિક દળ $(M_0)$ વચ્ચેના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta m = (Z M_p + (A - Z) M_n) - M_0$
$\Delta m = (5 M_p + 7 M_n - M_0)$
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્ય સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,$B.E. = \Delta m C^2$:
$B.E. = (5 M_p + 7 M_n - M_0) C^2$.

(D) $\text{આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમકક્ષતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: } E = mc^2$.
$\text{આપેલ દળ } m = 1 \,g = 10^{-3} \,kg$.
$\text{પ્રકાશની ઝડપ } c = 3 \times 10^8 \,m/s$.
$E = (10^{-3} \,kg) \times (3 \times 10^8 \,m/s)^2 = 9 \times 10^{13} \,J$.
$\text{જૂલને } MeV \text{ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે, આપણે રૂપાંતરણ અવયવ } 1 \,eV = 1.602 \times 10^{-19} \,J \text{ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ, તેથી } 1 \,MeV = 1.602 \times 10^{-13} \,J$.
$E = \frac{9 \times 10^{13} \,J}{1.602 \times 10^{-13} \,J/MeV} \approx 5.618 \times 10^{26} \,MeV$.
$\text{આમ, ઊર્જા સમકક્ષતા આશરે } 5.6 \times 10^{26} \,MeV \text{ છે.}$

(A) જો પ્રક્રિયામાં નીપજોની કુલ બાઈન્ડિંગ એનર્જી પ્રક્રિયકોની કુલ બાઈન્ડિંગ એનર્જી કરતા વધારે હોય,તો ઉર્જા મુક્ત થાય છે. એટલે કે,$\Delta E = (BE)_{\text{final}} - (BE)_{\text{initial}} > 0$.
આલેખ પરથી:
$1 < A < 100$ માટે,$B/A = 2 \text{ MeV}$.
$100 < A < 200$ માટે,$B/A = 8 \text{ MeV}$.
$200 < A < 260$ માટે,$B/A = 4 \text{ MeV}$.
$(A)$ $A \approx 50$ (દરેક માટે $B/A = 2$) ધરાવતા બે ન્યુક્લિયસનું સંલયન થવાથી $A \approx 100$ $(B/A = 8)$ વાળું ન્યુક્લિયસ બને છે. અંતિમ $B/A$ વધારે હોવાથી ઉર્જા મુક્ત થાય છે. સાચું.
$(B)$ $A \approx 75$ (દરેક માટે $B/A = 2$) ધરાવતા બે ન્યુક્લિયસનું સંલયન થવાથી $A \approx 150$ $(B/A = 8)$ વાળું ન્યુક્લિયસ બને છે. અંતિમ $B/A$ વધારે હોવાથી ઉર્જા મુક્ત થાય છે. સાચું.
$(C)$ $A \approx 150$ $(B/A = 8)$ ધરાવતા ન્યુક્લિયસનું $A \approx 75$ $(B/A = 2)$ ના બે ટુકડાઓમાં વિખંડન. અંતિમ $B/A$ ઓછું હોવાથી ઉર્જા શોષાય છે. ખોટું.
$(D)$ $A \approx 240$ $(B/A = 4)$ ધરાવતા ન્યુક્લિયસનું $A \approx 120$ $(B/A = 8)$ ના બે ટુકડાઓમાં વિખંડન. અંતિમ $B/A$ વધારે હોવાથી ઉર્જા મુક્ત થાય છે. સાચું.
આમ,$(A)$,$(B)$ અને $(D)$ સાચા છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી $(A)$ અને $(D)$ સૌથી યોગ્ય પસંદગી છે.

(C) $Z > 20$ ધરાવતા સ્થાયી ન્યુક્લિયસ માટે,$N/Z$ ગુણોત્તર $1$ કરતા વધારે હોય છે. $1$ કરતા ઓછો $N/Z$ ગુણોત્તર ધરાવતા અસ્થાયી ન્યુક્લિયસમાં પ્રોટોનનું પ્રમાણ વધારે હોય છે.
$N/Z$ ગુણોત્તર વધારવા અને સ્થિરતાની રેખા તરફ જવા માટે,ન્યુક્લિયસે પ્રોટોનની સંખ્યા ઘટાડવી અથવા ન્યુટ્રોનની સંખ્યા વધારવી પડે.
$1$. $\beta^{+}$-ક્ષય (પોઝિટ્રોન ઉત્સર્જન): $^A_Z X \rightarrow ^A_{Z-1} Y + ^0_{+1} e + \nu_e$. અહીં,એક પ્રોટોન ન્યુટ્રોનમાં રૂપાંતરિત થાય છે,જેનાથી $N/Z$ ગુણોત્તર વધે છે.
$2$. $K$-ઇલેક્ટ્રોન કેપ્ચર: $^A_Z X + ^0_{-1} e \rightarrow ^A_{Z-1} Y +
u_e$. અહીં,ન્યુક્લિયસ દ્વારા કક્ષાનો ઇલેક્ટ્રોન પકડવામાં આવે છે,જે પ્રોટોનને ન્યુટ્રોનમાં રૂપાંતરિત કરે છે,જે $N/Z$ ગુણોત્તર પણ વધારે છે.
બંને પ્રક્રિયાઓ અસરકારક રીતે $N/Z$ ગુણોત્તરને $1$ ની નજીક લાવે છે,જેથી ન્યુક્લિયસ સ્થિર થાય છે. આમ,સાચા વિકલ્પો $B$ અને $D$ છે.

(C) ${ }_8^{15} O$ $(Z=8)$ અને ${ }_7^{15} N$ $(Z=7)$ વચ્ચેની સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E_c = E_O - E_N = \frac{3}{5} \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 R} [8(7) - 7(6)] = \frac{3}{5} \frac{1.44}{R} [56 - 42] = \frac{3}{5} \times \frac{1.44 \times 14}{R} = \frac{12.096}{R} \ MeV$ છે.
ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા $B = [Z m_H + (A-Z) m_n - M_{atom}] c^2$ દ્વારા મળે છે.
${ }_7^{15} N$ માટે: $B_N = [7(1.007825) + 8(1.008665) - 15.000109] \times 931.5 \ MeV = 0.123986 \times 931.5 \ MeV$.
${ }_8^{15} O$ માટે: $B_O = [8(1.007825) + 7(1.008665) - 15.003065] \times 931.5 \ MeV = 0.120190 \times 931.5 \ MeV$.
બંધન ઉર્જામાં તફાવત $\Delta B = B_N - B_O = (0.123986 - 0.120190) \times 931.5 = 3.536 \ MeV$ છે.
$\Delta E_c = \Delta B$ લેતા: $\frac{12.096}{R} = 3.536 \implies R = \frac{12.096}{3.536} \approx 3.42 \ fm$.

(C) ન્યુક્લિયર બળ ચાર્જ-સ્વતંત્ર છે, તેથી ન્યુક્લિયર બંધન ઉર્જાનું યોગદાન પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન બંને માટે સમાન છે. બંધન ઉર્જામાં તફાવત મુખ્યત્વે પ્રોટોન દ્વારા અનુભવાતી ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક સ્થિતિ ઉર્જા (કુલંબ અપાકર્ષણ) ને કારણે ઉદ્ભવે છે.
$E_b^p - E_b^n = \text{ન્યુક્લિયસમાં પ્રોટોનની ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક સ્થિતિ ઉર્જા}$.
દરેક $Z$ પ્રોટોન અન્ય $(Z-1)$ પ્રોટોનથી અપાકર્ષણ અનુભવે છે, તેથી કુલ ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક ઉર્જા $U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Z(Z-1)e^2}{2R}$ છે. પ્રોટોન દીઠ સરેરાશ સ્થિતિ ઉર્જા $U/Z = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{(Z-1)e^2}{2R}$ છે.
$R = R_0 A^{1/3}$ આપેલ હોવાથી, આપણને $E_b^p - E_b^n \propto \frac{Z-1}{A^{1/3}}$ મળે છે.
વિધાન $(A)$ સાચું છે કારણ કે તે $Z(Z-1)$ ના પ્રમાણમાં છે જો આપણે કુલ ઉર્જા ફેરફારને ધ્યાનમાં લઈએ, પરંતુ ખાસ કરીને, પ્રોટોન દીઠ તફાવત $(Z-1)$ ના પ્રમાણમાં છે. જો કે, આ પ્રકારના પ્રમાણભૂત ભૌતિકશાસ્ત્રના પ્રશ્નોના સંદર્ભમાં, તફાવત ઘણીવાર $E_b^p - E_b^n \propto \frac{Z-1}{A^{1/3}}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
વિધાન $(C)$ ખોટું છે કારણ કે પ્રોટોન અપાકર્ષક કુલંબ બળો અનુભવે છે, જે તેમને ન્યુટ્રોન કરતા ઓછા મજબૂત રીતે બંધાયેલા બનાવે છે $(E_b^p < E_b^n)$. આમ, $E_b^p - E_b^n$ ઋણ છે.
સાચા વિકલ્પો $(A)$ અને $(B)$ છે.

(B) ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જાનો આલેખ દર્શાવે છે કે $30$ થી $170$ ની વચ્ચે દળ ક્રમાંક ધરાવતા ન્યુક્લિયસ માટે,ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા આશરે અચળ (ન્યુક્લિયોન દીઠ આશરે $8 \text{ MeV}$) રહે છે. આનું કારણ એ છે કે ન્યુક્લિયર બળ ટૂંકા અંતરનું છે અને તે સંતૃપ્ત થાય છે,જેનો અર્થ છે કે દરેક ન્યુક્લિયોન ફક્ત તેના નજીકના પડોશીઓ સાથે જ આંતરક્રિયા કરે છે. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે. કારણ $(R)$ જણાવે છે કે ન્યુક્લિયર બળ લાંબા અંતરનું છે,જે ખોટું છે; ન્યુક્લિયર બળ એ ટૂંકા અંતરનું બળ છે. આમ,$(A)$ સાચું છે પણ $(R)$ ખોટું છે.

(D) ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી ઉર્જા એ નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા અને પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા વચ્ચેના તફાવત જેટલી હોય છે.
નીપજ ${ }_2^4 He$ ની કુલ બંધન ઉર્જા $= \text{ન્યુક્લિયોનની સંખ્યા} \times \text{ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા} = 4 \times 7.0 \ MeV = 28.0 \ MeV$.
પ્રક્રિયકો $2 \times ({ }_1^2 H)$ ની કુલ બંધન ઉર્જા $= 2 \times (2 \times 1.1 \ MeV) = 2 \times 2.2 \ MeV = 4.4 \ MeV$.
મુક્ત થતી ઉર્જા $\Delta E = (28.0 \ MeV) - (4.4 \ MeV) = 23.6 \ MeV$.

(C) જો પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઊર્જા કરતા નીપજોની કુલ બંધન ઊર્જા વધારે હોય,તો ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયામાં ઊર્જા મુક્ત થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે નીપજ ન્યુક્લિયસની ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઊર્જા એ પ્રક્રિયક ન્યુક્લિયસ કરતા વધારે હોવી જોઈએ.
ચાલો આપેલા વિકલ્પોનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$A$) $y \longrightarrow 2 z$: $y$ ની ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઊર્જા $8.5 \text{ MeV}$ છે અને $z$ ની $5 \text{ MeV}$ છે. $5 < 8.5$ હોવાથી,આ પ્રક્રિયા ઊર્જાનું શોષણ કરે છે.
$B$) $w \rightarrow x+z$: $w$ ની ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઊર્જા $7.5 \text{ MeV}$,$x$ ની $8 \text{ MeV}$ અને $z$ ની $5 \text{ MeV}$ છે. નીપજો $(x+z)$ ની સરેરાશ ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઊર્જા $\frac{90 \times 8 + 30 \times 5}{120} = \frac{720 + 150}{120} = \frac{870}{120} = 7.25 \text{ MeV}$ છે. $7.25 < 7.5$ હોવાથી,આ પ્રક્રિયા ઊર્જાનું શોષણ કરે છે.
$C$) $w \rightarrow 2 y$: $w$ ની ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઊર્જા $7.5 \text{ MeV}$ છે અને $y$ ની $8.5 \text{ MeV}$ છે. $8.5 > 7.5$ હોવાથી,ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઊર્જા વધે છે,તેથી ઊર્જા મુક્ત થાય છે.
$D$) $x \rightarrow y+z$: $x$ ની ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઊર્જા $8 \text{ MeV}$,$y$ ની $8.5 \text{ MeV}$ અને $z$ ની $5 \text{ MeV}$ છે. નીપજોની સરેરાશ ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઊર્જા $\frac{60 \times 8.5 + 30 \times 5}{90} = \frac{510 + 150}{90} = \frac{660}{90} \approx 7.33 \text{ MeV}$ છે. $7.33 < 8$ હોવાથી,આ પ્રક્રિયા ઊર્જાનું શોષણ કરે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા $(BE)$ એ ન્યુક્લિયોન્સની સંખ્યા $(A)$ અને ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $(BE/A)$ ના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે.
$^{17}O$ માટે, કુલ બંધન ઉર્જા $BE(^{17}O) = 17 \times 7.75 \ \text{MeV} = 131.75 \ \text{MeV}$ છે।
$^{16}O$ માટે, કુલ બંધન ઉર્જા $BE(^{16}O) = 16 \times 7.97 \ \text{MeV} = 127.52 \ \text{MeV}$ છે।
$^{17}O$ માંથી ન્યુટ્રોન દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા એ બંધન ઉર્જાનો તફાવત છે: $E = BE(^{17}O) - BE(^{16}O)$.
$E = 131.75 \ \text{MeV} - 127.52 \ \text{MeV} = 4.23 \ \text{MeV}$.

(D) $(P)$ હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની ઉર્જા $E = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। તેથી, $E \propto Z^2$. તેથી, $P \rightarrow 5$.
$(Q)$ મોઝલેના નિયમ મુજબ, લાક્ષણિક $x-$કિરણોની ઉર્જા $E = 13.6(Z-1)^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। તેથી, $E \propto (Z-1)^2$. તેથી, $Q \rightarrow 1$.
$(R)$ ન્યુક્લિયર બંધન ઉર્જાનો સ્થિત-વિદ્યુત (કુલંબ) ભાગ પ્રોટોન જોડીઓની સંખ્યાના પ્રમાણમાં હોય છે, જે $\frac{Z(Z-1)}{2}$ છે। તેથી, $E \propto Z(Z-1)$. તેથી, $R \rightarrow 2$.
$(S)$ $30$ થી $170$ ની રેન્જમાં દળ ક્રમાંક ધરાવતા સ્થાયી ન્યુક્લિયસ માટે, ન્યુક્લિયોન દીઠ સરેરાશ બંધન ઉર્જા લગભગ અચળ (ન્યુક્લિયોન દીઠ આશરે $8 \text{ MeV}$) હોય છે। તેથી, $S \rightarrow 4$.
સાચી જોડી $P \rightarrow 5, Q \rightarrow 1, R \rightarrow 2, S \rightarrow 4$ છે.

(D) ઓક્સિજન આઈસોટોપ ${ }_{8}^{17}O$ માં પ્રોટોનની સંખ્યા $Z = 8$ છે.
ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $A - Z = 17 - 8 = 9$ છે.
ઘટક ન્યુક્લિયોન્સનું કુલ દળ $8 M_{p} + 9 M_{N}$ થાય.
દળ ક્ષતિ $\Delta m$ એ ઘટક ન્યુક્લિયોન્સના દળ અને ન્યુક્લિયસના દળ વચ્ચેનો તફાવત છે: $\Delta m = (8 M_{p} + 9 M_{N}) - M_{O}$.
બંધન ઉર્જા એ દળ ક્ષતિને સમતુલ્ય ઉર્જા છે,જેનું સૂત્ર $BE = [Z M_{p} + (A-Z) M_{N} - M_{O}] C^2$ છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,બંધન ઉર્જા દર્શાવતું યોગ્ય પદ $(M_{O} - 8 M_{p} - 9 M_{N}) C^2$ છે,તેથી વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) ન્યુક્લિયર બંધન ઉર્જા $(BE)$ એ દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ ના ઉર્જા સમકક્ષ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
દળ ક્ષતિ એ વ્યક્તિગત ન્યુક્લિયોન્સના દળના સરવાળા અને ન્યુક્લિયસના વાસ્તવિક દળ વચ્ચેનો તફાવત છે.
ઓક્સિજન આઈસોટોપ ${ }_{8}^{17}O$ માટે, પ્રોટોનની સંખ્યા $(Z)$ $8$ છે અને ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $(N)$ $A - Z = 17 - 8 = 9$ છે.
ન્યુક્લિયોન્સનું કુલ દળ $(8 M_{p} + 9 M_{n})$ છે.
દળ ક્ષતિ $\Delta m = (8 M_{p} + 9 M_{n} - M_{O})$ છે.
બંધન ઉર્જા $BE = (8 M_{p} + 9 M_{n} - M_{O}) c^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) સ્થાયી ન્યુક્લિયસનું દળ હંમેશા તેના ઘટક પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનના દળના સરવાળા કરતા ઓછું જોવા મળે છે. દળમાં આ તફાવતને દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
દળ ક્ષતિ $\Delta m = (Z m_{p} + N m_{n}) - M$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થાયી ન્યુક્લિયસ માટે દળ ક્ષતિ ધન હોવાથી, તેનો અર્થ એ છે કે $M < (Z m_{p} + N m_{n})$.
આ ખૂટતું દળ બંધન ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે, જે ન્યુક્લિયસને જકડી રાખે છે.

(B) દળ $m$ ની ઉર્જા સમકક્ષતા આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમકક્ષતાના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = mc^2$.
આપેલ દળ $m = 1 \ g = 10^{-3} \ kg$.
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = 10^{-3} \ kg \times (3 \times 10^8 \ m/s)^2$.
$E = 10^{-3} \times 9 \times 10^{16} \ J$.
$E = 9 \times 10^{13} \ J$.

(C) ${ }_{8}^{17}O$ માંથી એક ન્યુટ્રોન દૂર કરવાની પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે: ${ }_{8}^{17}O \rightarrow { }_{8}^{16}O + { }_{0}^{1}n$.
જરૂરી ઉર્જા શોધવા માટે,આપણે નીપજો અને પ્રક્રિયકની કુલ બંધન ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત ગણીએ છીએ.
${ }_{8}^{17}O$ ની કુલ બંધન ઉર્જા = $17 \times 7.75 \text{ MeV} = 131.75 \text{ MeV}$.
${ }_{8}^{16}O$ ની કુલ બંધન ઉર્જા = $16 \times 7.97 \text{ MeV} = 127.52 \text{ MeV}$.
ન્યુટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા એ કુલ બંધન ઉર્જાનો તફાવત છે:
$E = 131.75 \text{ MeV} - 127.52 \text{ MeV} = 4.23 \text{ MeV}$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાના સંબંધ મુજબ,ઊર્જા $E = mc^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ દળ $m = 1 \mu g = 1 \times 10^{-6} \ kg$.
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^{8} \ m/s$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$E = (1 \times 10^{-6} \ kg) \times (3 \times 10^{8} \ m/s)^2$
$E = 1 \times 10^{-6} \times 9 \times 10^{16} \ J$
$E = 9 \times 10^{10} \ J$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) સાચો જવાબ $D$. આયર્ન $(Fe)$ છે.
ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જાનો આલેખ દર્શાવે છે કે હલકા ન્યુક્લિયસ માટે દળ ક્રમાંક $A$ સાથે બંધન ઉર્જા વધે છે અને $40$ થી $120$ ની વચ્ચેના દળ ક્રમાંક ધરાવતા ન્યુક્લિયસ માટે તે મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.
આયર્ન $(^{56}Fe)$ માટે,ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા આશરે $8.75 \text{ MeV}$ છે,જે આપેલા વિકલ્પોમાં સૌથી વધુ છે.
તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી આયર્ન સૌથી વધુ સ્થાયી ન્યુક્લિયસ છે.

(D) દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાના સંબંધ મુજબ:
$E = mc^{2}$
તેથી,$m = \frac{E}{c^{2}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$m = \frac{9 \times 10^{13}}{(3 \times 10^{8})^{2}}$
$m = \frac{9 \times 10^{13}}{9 \times 10^{16}}$
$m = 10^{-3} \text{ kg}$
કારણ કે $1 \text{ kg} = 1000 \text{ g}$,તેથી:
$m = 10^{-3} \times 10^{3} \text{ g} = 1 \text{ g}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા એ ન્યુક્લિયસની કુલ બંધન ઉર્જાને દળ ક્રમાંક $ A $ વડે ભાગતા મળે છે.
બંધન ઉર્જા $ B.E. = (\Delta m \times 931) \ MeV $.
આપેલ દળ ક્ષતિ $ \Delta m = 0.03 \ u $ છે.
કુલ બંધન ઉર્જા $ = 0.03 \times 931 = 27.93 \ MeV $.
હિલિયમ $ { }_{2}^{4} He $ માટે,દળ ક્રમાંક $ A = 4 $ છે.
ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $ = \frac{B.E.}{A} = \frac{27.93}{4} = 6.9825 \ MeV $.

(D) નાઈટ્રોજન ન્યુક્લિયસ $\left[{ }_7^{14} N\right]$ માં $Z = 7$ પ્રોટોન અને $N = (14 - 7) = 7$ ન્યુટ્રોન હોય છે.
$7$ પ્રોટોનનું દળ $= 7 \times 1.00783 \ u = 7.05481 \ u$.
$7$ ન્યુટ્રોનનું દળ $= 7 \times 1.00867 \ u = 7.06069 \ u$.
ન્યુક્લિયોન્સનું કુલ દળ $= 7.05481 \ u + 7.06069 \ u = 14.11550 \ u$.
દળ ક્ષતિ $\Delta m = (\text{ન્યુક્લિયોન્સનું કુલ દળ}) - (\text{ન્યુક્લિયસનું દળ})$.
$\Delta m = 14.11550 \ u - 14.00307 \ u = 0.11243 \ u$.
બંધન ઉર્જા $BE = \Delta m \times 931.5 \ MeV/u$.
$BE = 0.11243 \times 931.5 \approx 104.73 \ MeV$.
સૌથી નજીકના વિકલ્પ મુજબ,બંધન ઉર્જા $104.7 \ MeV$ છે.

(B) $\text{આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ, } m \text{ દળને સમતુલ્ય ઉર્જા } E \text{ નું સૂત્ર } E = mc^2 \text{ છે, જ્યાં } c \text{ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.}$
$\text{આપેલ દળ } m = 1 \,g = 1 \times 10^{-3} \,kg.$
$\text{પ્રકાશની ઝડપ } c = 3 \times 10^8 \,m/s.$
$\text{આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:}$
$E = (1 \times 10^{-3} \,kg) \times (3 \times 10^8 \,m/s)^2$
$E = 1 \times 10^{-3} \times 9 \times 10^{16} \,J$
$E = 9 \times 10^{13} \,J.$
$\text{તેથી, } 1 \,g \text{ દળ ધરાવતા પદાર્થને સમતુલ્ય ઉર્જા } 9 \times 10^{13} \,J \text{ છે.}$

(B) ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી ઊર્જા $\Delta E = E_{\text{final}} - E_{\text{initial}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E = \text{દળ ક્રમાંક} \times \text{વિશિષ્ટ બંધન ઊર્જા}$.
પ્રક્રિયા $(1): D \rightarrow 2B$ માટે
$\Delta E = (2 \times 60 \times 8.5) - (120 \times 7) = 1020 - 840 = +180 \text{ MeV}$. (ઊર્જા મુક્ત થાય છે)
પ્રક્રિયા $(2): C \rightarrow B + A$ માટે
$\Delta E = (60 \times 8.5 + 30 \times 5) - (90 \times 8) = (510 + 150) - 720 = 660 - 720 = -60 \text{ MeV}$. (ઊર્જાનું શોષણ થાય છે)
પ્રક્રિયા $(3): B \rightarrow 2A$ માટે
$\Delta E = (2 \times 30 \times 5) - (60 \times 8.5) = 300 - 510 = -210 \text{ MeV}$. (ઊર્જાનું શોષણ થાય છે)
આમ,માત્ર પ્રક્રિયા $(1)$ માં ઊર્જા મુક્ત થાય છે.

(D) વિશિષ્ટ બંધન ઉર્જા એટલે ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા.
રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસ સામાન્ય રીતે અસ્થાયી હોય છે અને વધુ સ્થાયી પુત્રી ન્યુક્લિયસમાં ક્ષય પામવાનું વલણ ધરાવે છે.
$\alpha$-કણના ઉત્સર્જનથી ન્યુક્લિયસ વધુ સ્થાયી બને છે,તેથી પરિણામી ન્યુક્લિયસની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા મૂળ ન્યુક્લિયસ કરતા વધારે હોવી જોઈએ.
તેથી,$E_{2} > E_{1}$.

(B) જો પ્રક્રિયામાં મળતી નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા કરતા વધારે હોય,તો ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયામાં ઉર્જા મુક્ત થાય છે. આ વિશિષ્ટ બંધન ઉર્જા (ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા) માં થતા વધારાને અનુરૂપ છે.
આલેખ પરથી:
$1$. $1 < A < 100$ માટે,વિશિષ્ટ બંધન ઉર્જા $2 \text{ MeV/nucleon}$ છે.
$2$. $100 < A < 200$ માટે,વિશિષ્ટ બંધન ઉર્જા $8 \text{ MeV/nucleon}$ છે.
$3$. $200 < A < 250$ માટે,વિશિષ્ટ બંધન ઉર્જા $4 \text{ MeV/nucleon}$ છે.
જો $51 < A < 100$ ની રેન્જમાં દળ ક્રમાંક ધરાવતા બે ન્યુક્લિયસ (દરેકની વિશિષ્ટ બંધન ઉર્જા $2 \text{ MeV/nucleon}$) સંલયન પામીને $100 < A < 200$ ની રેન્જમાં દળ ક્રમાંક ધરાવતો ન્યુક્લિયસ (વિશિષ્ટ બંધન ઉર્જા $8 \text{ MeV/nucleon}$) બનાવે,તો અંતિમ અવસ્થામાં વિશિષ્ટ બંધન ઉર્જા વધારે હોય છે. તેથી,ઉર્જા મુક્ત થાય છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સંબંધ $E = mc^2$ મુજબ.
અહીં દળ $m = 1 \mu g = 10^{-6} g = 10^{-9} kg$ છે.
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 m/s$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$E = 10^{-9} \times (3 \times 10^8)^2 = 10^{-9} \times 9 \times 10^{16} = 9 \times 10^7 J$.
જૂલને કિલોવોટ-અવર $(kWh)$ માં ફેરવવા માટે,આપણે $3.6 \times 10^6 J/kWh$ વડે ભાગાકાર કરીએ છીએ:
$E = \frac{9 \times 10^7}{3.6 \times 10^6} kWh = 25 kWh$.

(B) આપેલ છે: ન્યુક્લિયસનું દળ $ M = 20 u = 20 \times 1.6 \times 10^{-27} kg = 3.2 \times 10^{-26} kg $.
ફોટોનની ઉર્જા $ E = 6 MeV = 6 \times 10^6 eV = 6 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} J = 9.6 \times 10^{-13} J $.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, ન્યુક્લિયસનું વેગમાન $ p_n $ એ ફોટોનના વેગમાન $ p_p $ જેટલું હોવું જોઈએ.
$ p_p = \frac{E}{c} = \frac{9.6 \times 10^{-13} J}{3 \times 10^8 m/s} = 3.2 \times 10^{-21} kg \cdot m/s $.
$ p_n = p_p $ હોવાથી, ન્યુક્લિયસની ગતિ ઉર્જા $ K_n = \frac{p_n^2}{2M} $ દ્વારા મળે છે.
$ K_n = \frac{(3.2 \times 10^{-21})^2}{2 \times 3.2 \times 10^{-26}} = \frac{10.24 \times 10^{-42}}{6.4 \times 10^{-26}} = 1.6 \times 10^{-16} J $.
$ eV $ માં રૂપાંતર કરતા: $ K_n = \frac{1.6 \times 10^{-16} J}{1.6 \times 10^{-19} J/eV} = 10^3 eV = 1 keV $.
આમ, ન્યુક્લિયસની ગતિ ઉર્જા $ 1 keV $ છે.

(B) ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા એ ન્યુક્લિયસની સ્થિરતાનું માપદંડ છે.
પ્રાયોગિક અવલોકનો દર્શાવે છે કે $30 < A < 170$ ની રેન્જમાં દળ ક્રમાંક ધરાવતા ન્યુક્લિયસ માટે ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા મહત્તમ હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,${ }_{26}^{56} Fe$ (આયર્ન-$56$) નો દળ ક્રમાંક $56$ છે,જે આ રેન્જમાં આવે છે.
તે સુસ્થાપિત છે કે ${ }_{26}^{56} Fe$ ન્યુક્લિયોન દીઠ સૌથી વધુ બંધન ઉર્જા ધરાવે છે,જે આશરે $8.8 \text{ MeV/nucleon}$ છે,જે તેને સૌથી સ્થિર ન્યુક્લિયસમાંનું એક બનાવે છે.

(A) સ્થાયી ન્યુક્લિયસનું દળ હંમેશા તેના ઘટક પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનના દળના સરવાળા કરતા ઓછું હોય છે. દળમાં આ તફાવતને દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત $(E = \Delta m c^2)$ મુજબ, આ દળ ક્ષતિ બંધન ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે, જે ન્યુક્લિયસને જકડી રાખે છે.
જ્યારે ન્યુક્લિયસ બને છે ત્યારે ઉર્જા મુક્ત થતી હોવાથી, સિસ્ટમ નીચી ઉર્જા અવસ્થા પ્રાપ્ત કરે છે, જેનો અર્થ છે કે બંધાયેલા ન્યુક્લિયસનું દળ તેના વ્યક્તિગત ન્યુક્લિયોન્સના દળના સરવાળા કરતા ઓછું હોવું જોઈએ.
તેથી, વિકલ્પ $A$ સાચું વિધાન છે.

(D) બંધન ઉર્જા એ પ્રબળ બળ સાથે સંકળાયેલી ઉર્જા છે જે ન્યુક્લિયસમાં ન્યુક્લિયોન્સને એકસાથે જકડી રાખે છે.
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$E = \Delta m c^2$,જ્યાં $\Delta m$ એ દળ ક્ષતિ છે.
ન્યુક્લિયસનું દળ હંમેશા તેના વ્યક્તિગત ઘટક ન્યુક્લિયોન્સના દળના સરવાળા કરતા ઓછું હોય છે.
દળમાં રહેલો આ તફાવત,જેને દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે,તે ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,જે બંધન ઉર્જા તરીકે કાર્ય કરે છે અને ન્યુક્લિયસને જકડી રાખે છે.

(C) $N^{14}$ ની કુલ બંધન ઉર્જા $BE(N^{14}) = 7.5 \times 14 \text{ MeV} = 105 \text{ MeV}$ છે.
$N^{15}$ ની કુલ બંધન ઉર્જા $BE(N^{15}) = 7.7 \times 15 \text{ MeV} = 115.5 \text{ MeV}$ છે.
$N^{15}$ માંથી એક ન્યુટ્રોન દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા એ $N^{15}$ અને $N^{14}$ ની કુલ બંધન ઉર્જાઓ વચ્ચેનો તફાવત છે.
$E = BE(N^{15}) - BE(N^{14})$
$E = 115.5 \text{ MeV} - 105 \text{ MeV} = 10.5 \text{ MeV}$.

(C) ન્યુક્લિયર ક્ષયમાં મુક્ત થતી ઉર્જા એ નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા અને પિતૃ ન્યુક્લિયસની કુલ બંધન ઉર્જા વચ્ચેના તફાવત જેટલી હોય છે.
પિતૃ ન્યુક્લિયસની કુલ બંધન ઉર્જા = $200 \times 6.5 \text{ MeV} = 1300 \text{ MeV}$.
બાળ ન્યુક્લિયસની કુલ બંધન ઉર્જા = $(80 \times 7 \text{ MeV}) + (120 \times 8 \text{ MeV}) = 560 \text{ MeV} + 960 \text{ MeV} = 1520 \text{ MeV}$.
મુક્ત થતી ઉર્જા = (નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા) - (પિતૃની કુલ બંધન ઉર્જા) = $1520 \text{ MeV} - 1300 \text{ MeV} = 220 \text{ MeV}$.

(D) આપેલ દળ ક્ષતિ,$\Delta m = 0.3 \,g = 0.3 \times 10^{-3} \,kg = 3 \times 10^{-4} \,kg$.
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$E = \Delta m c^2$.
કિંમતો મૂકતા,$E = (3 \times 10^{-4} \,kg) \times (3 \times 10^8 \,m/s)^2$.
$E = 3 \times 10^{-4} \times 9 \times 10^{16} = 27 \times 10^{12} \,J$.
જૂલને કિલોવોટ-અવર $(kWh)$ માં ફેરવવા માટે,આપણે $3.6 \times 10^6 \,J/kWh$ વડે ભાગાકાર કરીશું.
$E = \frac{27 \times 10^{12}}{3.6 \times 10^6} \,kWh$.
$E = 7.5 \times 10^6 \,kWh$.

(B) પરમાણુ (Atomic) ઉર્જા સ્તરો સામાન્ય રીતે $eV$ (ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ) ના ક્રમમાં હોય છે,જે $10^0 \ eV$ થી $10^1 \ eV$ જેટલા હોય છે.
ન્યુક્લિયર (Nuclear) ઉર્જા સ્તરો સામાન્ય રીતે $MeV$ (મેગા ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ) ના ક્રમમાં હોય છે,જે $10^6 \ eV$ જેટલા હોય છે.
અણુ ઉર્જા સ્તરનું અંતર $1 \ eV$ ના ક્રમનું છે.
ન્યુક્લિયર ઉર્જા સ્તરનું અંતર $1 \ MeV = 10^6 \ eV$ ના ક્રમનું છે.
તેથી,ન્યુક્લિયર ઉર્જા સ્તરો અને અણુ ઉર્જા સ્તરોના અંતરનો ગુણોત્તર $10^6 / 1 = 10^6$ થાય છે.

(A) વિકલ્પ $(b)$ ખોટો છે કારણ કે દળ ક્ષતિને કારણે ન્યુક્લિયર દળ તેના ઘટકોના દળ કરતા ઓછું હોય છે.
વિકલ્પ $(c)$ ખોટો છે કારણ કે સમાન સંખ્યામાં પ્રોટોન ધરાવતા ન્યુક્લાઇડ્સને આઇસોટોપ્સ કહેવામાં આવે છે.
વિકલ્પ $(d)$ ખોટો છે કારણ કે ન્યુક્લિયર ફ્યુઝનમાં,બે કે તેથી વધુ હલકા ન્યુક્લિયસ જોડાઈને ભારે ન્યુક્લિયસ બનાવે છે.
વિકલ્પ $(a)$ સાચો છે; કારણ કે ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયામાં $Q$-મૂલ્ય $= K.E_{\text{final}} - K.E_{\text{initial}}$ છે.

(C) આપેલ છે કે પરમાણુ દળ $= 1 \text{ amu} = 1.66 \times 10^{-27} \text{ kg}$.
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સંબંધ $E = mc^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
$E = (1.66 \times 10^{-27} \text{ kg}) \times (3 \times 10^8 \text{ m/s})^2 = 1.494 \times 10^{-11} \text{ J}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \text{ MeV} = 1.602 \times 10^{-13} \text{ J}$.
તેથી,$E = \frac{1.494 \times 10^{-11} \text{ J}}{1.602 \times 10^{-13} \text{ J/MeV}} \approx 931 \text{ MeV}$.
આમ,$1 \text{ amu}$ એ $931 \text{ MeV}$ ઊર્જાને સમકક્ષ છે.

(D) સફેદ વામન એ તારાના કોરનો અવશેષ છે જે મુખ્યત્વે ઇલેક્ટ્રોન-ડિજનરેટ દ્રવ્યનો બનેલો હોય છે. સ્થિર સફેદ વામનનું મહત્તમ દળ જેને ચંદ્રશેખર મર્યાદા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
જો સફેદ વામનનું દળ આ મર્યાદા કરતા વધી જાય,તો ડિજનરેટ ઇલેક્ટ્રોન દબાણ ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો સામનો કરવા માટે પૂરતું રહેતું નથી,જેના પરિણામે કોરનું પતન થાય છે.
ચંદ્રશેખર મર્યાદા સૂર્યના દળ $(M_{\odot})$ ના આશરે $1.4$ ગણી છે.
તેથી,$n$ નું મૂલ્ય $1.4$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા તુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$m$ દળને સમતુલ્ય ઉર્જા $E$ એ $E = mc^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
અહીં આપેલ દળ $m = 1 \,kg$ અને પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \,m/s$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$E = 1 \,kg \times (3 \times 10^8 \,m/s)^2$
$E = 1 \times 9 \times 10^{16} \,J$
$E = 9 \times 10^{16} \,J$.

(A) આપેલ છે:
ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $(BE)$ $= 7.14 \text{ MeV}$
તત્વની કુલ $BE$ $= 28.6 \text{ MeV}$
આપણે જાણીએ છીએ કે કુલ બંધન ઉર્જા એ ન્યુક્લિયોનની સંખ્યા $(A)$ અને ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જાનો ગુણાકાર છે.
તેથી,$\text{ન્યુક્લિયોનની સંખ્યા} (A) = \frac{\text{કુલ BE}}{\text{ન્યુક્લિયોન દીઠ BE}}$
$A = \frac{28.6}{7.14} = 4$
આમ,તત્વમાં ન્યુક્લિયોનની સંખ્યા $4$ છે.

(A) ન્યુક્લિયસની અંદરના ન્યુક્લિયોન્સ ખૂબ જ મજબૂતીથી બંધાયેલા હોય છે અને ન્યુક્લિયસમાંથી ન્યુક્લિયોનને અલગ કરવા માટે થોડા $MeV$ જેટલી ઉર્જાની જરૂર પડે છે.
તેથી,પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનને અલગ કરવા માટે ન્યૂનતમ ઉર્જાની જરૂર પડે છે અને તે ઉર્જાને ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા (binding energy) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
જો $Z$ પ્રોટોનની સંખ્યા હોય અને $N$ ન્યુટ્રોનની સંખ્યા હોય,અને ન્યુક્લિયસનું દળ $M(A, Z)$ હોય,તો બંધન ઉર્જા $E_B = [Z m_p + N m_n - M(A, Z)] C^2 > 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m_p$ અને $m_n$ અનુક્રમે પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનના દળ છે.
$E_B > 0$ હોવાથી,તેનો અર્થ એ છે કે $Z m_p + N m_n > M(A, Z)$.
તેથી,ન્યુક્લિયસનું દળ તેના ઘટક ન્યુટ્રોન અને પ્રોટોનના દળના સરવાળા કરતાં ઓછું હોવું જોઈએ.

(A) આપેલ દળ: $m_n = 1.00893 \text{ amu}$,$m_p = 1.00813 \text{ amu}$,$m_d = 2.01473 \text{ amu}$.
ડ્યુટેરોન $({}_1H^2)$ ન્યુક્લિયસ એક પ્રોટોન અને એક ન્યુટ્રોનનું બનેલું છે.
દળ ક્ષતિ $\Delta m = (m_n + m_p) - m_d$.
$\Delta m = (1.00893 + 1.00813) - 2.01473 = 2.01706 - 2.01473 = 0.00233 \text{ amu}$.
પેકિંગ ફ્રેક્શન એ દળ ક્ષતિ અને દળ ક્રમાંક $(A)$ નો ગુણોત્તર છે.
ડ્યુટેરોન માટે,$A = 2$.
પેકિંગ ફ્રેક્શન $= \frac{\Delta m}{A} = \frac{0.00233}{2} = 0.001165 = 11.65 \times 10^{-4}$.