Mass-Energy, Nuclear Binding Energy, Nuclear Stability Questions in Gujarati

(B) $SI$ એકમ પદ્ધતિમાં 'મેગા' $(M)$ પૂર્વગ $10^6$ ના અવયવને દર્શાવે છે.
તેથી,$1\,MeV$ એ $10^6\,eV$ ની બરાબર છે.

(C) ન્યુક્લિયસમાં ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઉર્જા એ ન્યુક્લિયસમાંથી એક ન્યુક્લિઓનને દૂર કરવા માટે જરૂરી સરેરાશ ઉર્જા દર્શાવે છે. પ્રાયોગિક અવલોકનો દર્શાવે છે કે મોટાભાગના સ્થિર ન્યુક્લિયસ માટે આ ઉર્જા સામાન્ય રીતે $7$ થી $9 \ MeV$ ની રેન્જમાં હોય છે. તેથી,ન્યુક્લિઓનની બંધન ઉર્જા થોડા $MeV$ ના ક્રમની હોય છે.

(C) $1 \text{ a.m.u.}$ નું દળ $1.66 \times 10^{-27} \text{ kg}$ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાના સૂત્ર $E = mc^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
$E = (1.66 \times 10^{-27} \text{ kg}) \times (3 \times 10^8 \text{ m/s})^2$
$E = 1.66 \times 10^{-27} \times 9 \times 10^{16} \text{ J}$
$E \approx 14.94 \times 10^{-11} \text{ J} \approx 1.5 \times 10^{-10} \text{ J}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત $E = mc^2$ મુજબ,ઊર્જા અને દળ એકબીજામાં રૂપાંતરિત થઈ શકે છે. જ્યારે પાણીને ઠંડું પાડીને બરફ બનાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે આસપાસના વાતાવરણમાં ગુપ્ત ઉષ્મા મુક્ત કરે છે. સિસ્ટમ ઊર્જા ગુમાવતી હોવાથી,તેના કુલ દળમાં પણ તેટલો જ ઘટાડો થવો જોઈએ. તેથી,જ્યારે પાણી બરફમાં ફેરવાય છે ત્યારે તેનું દળ ઘટે છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ઊર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = mc^2$ છે.
અહીં,$m = 1 \text{ kg}$ અને $c \approx 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ (પ્રકાશની ઝડપ) છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = 1 \times (3 \times 10^8)^2$
$E = 1 \times 9 \times 10^{16}$
$E = 9 \times 10^{16} \text{ J}$
આ મૂલ્ય આશરે $10^{17} \text{ J}$ ની બરાબર છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ન્યુક્લિયર બંધન ઉર્જા $(B.E.)$ એ ન્યુક્લિયસને તેના ઘટક પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનમાં વિભાજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા છે.
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ, આ ઉર્જા ન્યુક્લિયસની દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ ને સમકક્ષ છે.
આ સંબંધ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $B.E. = \Delta m \times c^2$.
પરમાણ્વીય દળ એકમના સંદર્ભમાં, તેને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $B.E. = \Delta m \times 931 \, MeV$.

(A) ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા $(BE)$ અને દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $BE = \Delta m \times 931.5 \, MeV/a.m.u.$
અહીં, $BE = 2.23 \, MeV$ આપેલ છે.
તેથી, $\Delta m = \frac{BE}{931.5} = \frac{2.23}{931.5} \approx 0.00239 \, a.m.u.$
આ કિંમતને રાઉન્ડ ઓફ કરતા, આપણને $\Delta m \approx 0.0024 \, a.m.u.$ મળે છે.

(A) હિલિયમ ન્યુક્લિયસ ${ }_2^4 \text{He}$ માં $2$ પ્રોટોન અને $2$ ન્યુટ્રોન હોય છે.
$2$ પ્રોટોનનું દળ $= 2 \times 1.0073 \; \text{u} = 2.0146 \; \text{u}$.
$2$ ન્યુટ્રોનનું દળ $= 2 \times 1.0087 \; \text{u} = 2.0174 \; \text{u}$.
ન્યુક્લિઓન્સનું કુલ દળ $= 2.0146 + 2.0174 = 4.0320 \; \text{u}$.
દળ ક્ષતિ $\Delta m = (\text{ન્યુક્લિઓન્સનું કુલ દળ}) - (\text{ન્યુક્લિયસનું દળ}) = 4.0320 \; \text{u} - 4.0015 \; \text{u} = 0.0305 \; \text{u}$.
બંધન ઉર્જા $\text{B.E.} = \Delta m \times 931.5 \; \text{MeV/u} = 0.0305 \times 931.5 \approx 28.4 \; \text{MeV}$.

(B) હિલિયમ ન્યુક્લિયસ માટે દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ $0.0303 \, a.m.u.$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \, a.m.u. = 931 \, MeV$ ઉર્જા.
કુલ બંધન ઉર્જા $(BE)$ = $\Delta m \times 931 \, MeV = 0.0303 \times 931 \approx 28.21 \, MeV$.
હિલિયમ ન્યુક્લિયસ $(_{2}^{4}He)$ માં $4$ ન્યુક્લિયોન ($2$ પ્રોટોન અને $2$ ન્યુટ્રોન) હોય છે.
ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા = $\frac{BE}{\text{ન્યુક્લિયોનની સંખ્યા}} = \frac{28.21}{4} \approx 7.05 \, MeV$.
આમ, ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા આશરે $7 \, MeV$ છે.

(C) દ્રવ્ય-ઊર્જા સમતુલ્યતા આઈન્સ્ટાઈનના સમીકરણ $E = \Delta m c^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં દળ $\Delta m = 1 \ \mu g = 10^{-6} \ g = 10^{-9} \ kg$ છે.
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$E = 10^{-9} \ kg \times (3 \times 10^8 \ m/s)^2$
$E = 10^{-9} \times 9 \times 10^{16} \ J$
$E = 9 \times 10^7 \ J$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ન્યુક્લિયસની ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઉર્જા એટલે ન્યુક્લિયસની કુલ બંધન ઉર્જાને તેના દળ ક્રમાંક $(A)$ વડે ભાગતા મળતી કિંમત,જે કુલ ન્યુક્લિઓનની સંખ્યા દર્શાવે છે.
ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઉર્જા વિરુદ્ધ દળ ક્રમાંકના આલેખના પ્રાયોગિક અવલોકનો દર્શાવે છે કે મોટાભાગના ન્યુક્લિયસ માટે (ખૂબ હલકા ન્યુક્લિયસને બાદ કરતાં),આ મૂલ્ય લગભગ અચળ રહે છે.
સ્થાયી ન્યુક્લિયસ માટે ન્યુક્લિઓન દીઠ સરેરાશ બંધન ઉર્જા આશરે $8 \, MeV$ પ્રતિ ન્યુક્લિઓન હોય છે.

(C) ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જાને દળ ક્ષતિના ઉર્જા સમકક્ષ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે।
જ્યારે ન્યુક્લિયોન્સ (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન) એક સ્થિર ન્યુક્લિયસ બનાવવા માટે ભેગા થાય છે, ત્યારે ન્યુક્લિયસનું દળ તેના ઘટક ન્યુક્લિયોન્સના વ્યક્તિગત દળના સરવાળા કરતા ઓછું જોવા મળે છે।
દળમાં આ તફાવત, જેને દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, તે ન્યુક્લિયસના નિર્માણ દરમિયાન ઉર્જા તરીકે મુક્ત થાય છે।
તેથી, બંધન ઉર્જા એ ન્યુક્લિયસના નિર્માણ દરમિયાન ન્યુક્લિયસમાંથી મુક્ત થતી ઉર્જા છે, જે ન્યુક્લિયસને તેના ઘટક ન્યુક્લિયોન્સમાં વિખેરી નાખવા માટે જરૂરી કાર્યની સમકક્ષ છે।
આમ, વિકલ્પ $(C)$ સાચું વર્ણન છે।

(C) ન્યુક્લિયસમાંથી ન્યુક્લિઓનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા એ ન્યુક્લિયર બંધન ઉર્જા સાથે સંબંધિત છે,જે પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ દ્વારા સંચાલિત થાય છે.
પરમાણુમાંથી ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા એ આયનીકરણ ઉર્જા સાથે સંબંધિત છે,જે વિદ્યુતચુંબકીય (કુલંબ) બળ દ્વારા સંચાલિત થાય છે.
કારણ કે પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ એ વિદ્યુતચુંબકીય બળ કરતા ઘણું વધારે શક્તિશાળી છે,તેથી ન્યુક્લિઓનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $({E_n})$ એ ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $({E_e})$ કરતા ઘણી વધારે હોય છે.
તેથી,${E_n} > {E_e}$.

(C) $1 \, a.m.u. = 1.66 \times 10^{-27} \, kg$ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$E = mc^2$,જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે $(c \approx 3 \times 10^8 \, m/s)$.
કિંમતો મૂકતા:
$E = 1.66 \times 10^{-27} \times (3 \times 10^8)^2 \, J$
$E = 1.66 \times 10^{-27} \times 9 \times 10^{16} \, J$
$E = 14.94 \times 10^{-11} \, J$.
આ ઉર્જાને ઈલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં ફેરવવા માટે,$1.6 \times 10^{-19} \, J/eV$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{14.94 \times 10^{-11}}{1.6 \times 10^{-19}} \, eV$
$E \approx 9.3375 \times 10^8 \, eV \approx 931 \times 10^6 \, eV$.
$10^6 \, eV = 1 \, MeV$ હોવાથી,સમતુલ્ય ઉર્જા $931 \, MeV$ થાય છે.

(B) દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ એ વ્યક્તિગત ન્યુક્લિયોન્સના દળના સરવાળા અને ન્યુક્લિયસના વાસ્તવિક દળ વચ્ચેનો તફાવત છે。
પેકિંગ ફ્રેક્શન $(f)$ ને ન્યુક્લિયસની દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ અને તેના દળ ક્રમાંક $(A)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે。
ગાણિતિક રીતે, $f = \frac{\Delta m}{A}$.
તેથી, ન્યુક્લિયોન દીઠ દળ ક્ષતિને પેકિંગ ફ્રેક્શન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે。

(B) ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $(B.E./A)$ એ ન્યુક્લિયસની સ્થિરતાનું માપ છે.
બંધન ઉર્જાના વક્ર મુજબ,હલકા ન્યુક્લિયસ માટે $B.E./A$ નું મૂલ્ય દળ ક્રમાંક $A$ સાથે વધે છે,આયર્ન $(_{26}^{56}Fe)$ માટે આશરે $8.8 \text{ MeV}$ જેટલું મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે,અને ત્યારબાદ ભારે ન્યુક્લિયસ માટે ધીમે ધીમે ઘટે છે.
તેથી,ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $_{26}^{56}Fe$ માટે મહત્તમ છે.

(A) $\alpha$-કણનું દળ તેના ઘટક કણો (બે પ્રોટોન અને બે ન્યુટ્રોન) ના દળના સરવાળા કરતા ઓછું હોય છે.
દળમાં જોવા મળતા આ તફાવતને દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ કહેવામાં આવે છે.
આ દળ ક્ષતિ બંધન ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,જે $\alpha$-કણના ન્યુક્લિયસમાં ન્યુક્લિયોન્સને એકસાથે જકડી રાખવા માટે જરૂરી છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા $(B.E.)$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે: $B.E. = (\text{ન્યુક્લિઓનની સંખ્યા}) \times (\text{ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઉર્જા})$.
$Li^7$ માટે, $B.E. = 7 \times 5.60 \ MeV = 39.20 \ MeV$.
$He^4$ માટે, $B.E. = 4 \times 7.06 \ MeV = 28.24 \ MeV$.
પ્રક્રિયા $Li^7 + p \to 2He^4$ છે.
પ્રોટોન $(p)$ ની બંધન ઉર્જા $0 \ MeV$ છે કારણ કે તે એક જ ન્યુક્લિઓન છે.
પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા $39.20 \ MeV + 0 \ MeV = 39.20 \ MeV$ છે.
નિપજોની કુલ બંધન ઉર્જા $2 \times 28.24 \ MeV = 56.48 \ MeV$ છે.
પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી ઉર્જા ($Q$-મૂલ્ય) એ નિપજો અને પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે: $Q = 56.48 \ MeV - 39.20 \ MeV = 17.28 \ MeV$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા, આપણને $17.3 \ MeV$ મળે છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ઉર્જા $E$ એ $E = mc^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,દળ $m = 1 \, g = 1 \times 10^{-3} \, kg$ છે.
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$E = (1 \times 10^{-3} \, kg) \times (3 \times 10^8 \, m/s)^2$
$E = 10^{-3} \times 9 \times 10^{16} \, J$
$E = 9.0 \times 10^{13} \, J$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ન્યુક્લિયસનું વાસ્તવિક દળ $(M)$ હંમેશા તેના ઘટક ન્યુક્લિઓન્સ (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન) ના વ્યક્તિગત દળના સરવાળા કરતા ઓછું હોય છે.
દળમાં આ તફાવતને દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, જે આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત $(E = \Delta m c^2)$ મુજબ બંધન ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી, ન્યુક્લિયસનું દળ $M$ એ $N$ ન્યુટ્રોન અને $Z$ પ્રોટોનના દળના સરવાળા સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
$M < (N M_n + Z M_p)$.

(B) $H_2$ ન્યુક્લિયસ (ડ્યુટેરોન) નું દળ આશરે $2.014 \, amu$ છે.
જોકે,ન્યુક્લિયોન્સની ઊર્જા સમકક્ષતાને લગતા પ્રમાણભૂત ભૌતિકશાસ્ત્રના પ્રશ્નોના સંદર્ભમાં,એક ન્યુક્લિયોન (પ્રોટોન અથવા ન્યુટ્રોન) નું દળ આશરે $1 \, amu$ હોય છે.
$1 \, amu$ એ $931 \, MeV$ ઊર્જાને સમકક્ષ છે,અને ડ્યુટેરોન $2$ ન્યુક્લિયોન્સનો બનેલો હોવાથી,ઊર્જા આશરે $2 \times 931 \, MeV = 1862 \, MeV$ થાય.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,પ્રશ્ન કદાચ $1 \, amu$ (એક પ્રોટોનનું દળ) ની ઊર્જા સમકક્ષતા વિશે છે,જે $931 \, MeV$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(B) $1\, amu$ ને કાર્બન-$12$ ના મુક્ત તટસ્થ પરમાણુના દળના બારમા ભાગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$1$ મોલ $C$ પરમાણુનું દળ $= 12\, g = 0.012\, kg$.
$1\, amu = \frac{0.012\, kg}{6.023 \times 10^{23}} \approx 1.66 \times 10^{-27}\, kg$.
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતા સૂત્ર $E = mc^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = (1.66 \times 10^{-27}\, kg) \times (3 \times 10^8\, m/s)^2 = 1.494 \times 10^{-10}\, J$.
જૂલને $MeV$ માં રૂપાંતરિત કરતા $(1\, eV = 1.602 \times 10^{-19}\, J)$:
$E = \frac{1.494 \times 10^{-10}}{1.602 \times 10^{-13}}\, MeV \approx 931.5\, MeV \approx 930\, MeV$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ન્યુક્લિયસનું દળ હંમેશા તેના ઘટક ન્યુક્લિયોન્સ (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન) ના કુલ દળના સરવાળા કરતા ઓછું હોય છે. દળમાં થતા આ તફાવતને દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ કહેવામાં આવે છે,જે આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત $(E = \Delta mc^2)$ મુજબ બંધન ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
આપેલ છે કે $_Z{X^A}$ ન્યુક્લિયસમાં $Z$ પ્રોટોન અને $(A - Z)$ ન્યુટ્રોન છે,તેથી વ્યક્તિગત ન્યુક્લિયોન્સના દળનો સરવાળો $(A - Z)m_n + Zm_p$ થાય છે.
દળ ક્ષતિને કારણે ન્યુક્લિયસનું દળ $m$ એ તેના ઘટકોના દળના સરવાળા કરતા ઓછું હોવાથી,આપણને મળે છે:
$m < (A - Z)m_n + Zm_p$.

(B) પરમાણુ વિસ્ફોટમાં મુક્ત થતી ઊર્જા આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતા સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = \Delta m C^2$.
ધારો કે પ્રકાશની મૂળ ગતિ $C$ છે અને પ્રકાશની નવી ગતિ $C' = \frac{2}{3} C$ છે.
મુક્ત થતી નવી ઊર્જા $E'$ આ મુજબ છે: $E' = \Delta m (C')^2$.
$C'$ નું મૂલ્ય મૂકતા: $E' = \Delta m \left(\frac{2}{3} C\right)^2 = \Delta m \left(\frac{4}{9} C^2\right) = \frac{4}{9} E$.
ઊર્જામાં થતો ઘટાડો અપૂર્ણાંકમાં આ મુજબ છે: $\text{અપૂર્ણાંક} = \frac{E - E'}{E}$.
$E' = \frac{4}{9} E$ મૂકતા: $\text{અપૂર્ણાંક} = \frac{E - \frac{4}{9} E}{E} = \frac{\frac{5}{9} E}{E} = \frac{5}{9}$.

(D) પરમાણુ પ્રતિક્રિયાઓમાં,કુલ ઉર્જા (દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતા સહિત),રેખીય વેગમાન,કોણીય વેગમાન અને વિદ્યુતભારનું સંરક્ષણ થાય છે. દળ-ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સિસ્ટમની કુલ દળ-ઉર્જા અચળ રહે છે. સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી,કુલ રેખીય વેગમાન પણ સંરક્ષિત રહે છે. તેથી,દળ (દળ-ઉર્જાના સંદર્ભમાં),ઉર્જા અને વેગમાન ત્રણેયનું સંરક્ષણ થાય છે.

(B) પરમાણુ વિખંડન પ્રક્રિયામાં,એક ભારે ન્યુક્લિયસ બે હળવા ન્યુક્લિયસમાં વિભાજિત થાય છે.
પ્રક્રિયા ઉર્જાની દ્રષ્ટિએ અનુકૂળ રહે અને ઉર્જા મુક્ત થાય તે માટે,નીપજ ન્યુક્લિયસની કુલ બંધન ઉર્જા એ પિતૃ ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા કરતા વધારે હોવી જોઈએ.
આનું કારણ એ છે કે જેમ આપણે ભારે ન્યુક્લિયસથી આવર્ત કોષ્ટકના મધ્ય તરફ (આયર્નની નજીક) જઈએ છીએ તેમ ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા વધે છે.
તેથી,પુત્રી ન્યુક્લિયસ $B$ અને $C$ ની બંધન ઉર્જાનો સરવાળો એ પિતૃ ન્યુક્લિયસ $A$ ની બંધન ઉર્જા કરતા વધારે હોય છે.
આમ,${E_b} + {E_c} > {E_a}$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સંબંધ $E = mc^2$ મુજબ,જ્યાં $E$ એ ઉર્જા છે,$m$ એ દળ છે અને $c$ એ પ્રકાશની ગતિ $(c = 3 \times 10^8\,m/s)$ છે.
દળ $m$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $m = \frac{E}{c^2}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ છે કે $E = 931\, MeV = 931 \times 10^6 \times 1.602 \times 10^{-19}\,J \approx 931 \times 1.6 \times 10^{-13}\,J$.
કિંમતો મૂકતા: $m = \frac{931 \times 1.6 \times 10^{-13}}{(3 \times 10^8)^2} = \frac{1489.6 \times 10^{-13}}{9 \times 10^{16}} \approx 1.66 \times 10^{-27}\,kg$.

(D) પેર પ્રોડક્શનની પ્રક્રિયામાં ઉચ્ચ ઊર્જા ધરાવતા ફોટોનનું ઇલેક્ટ્રોન-પોઝિટ્રોન જોડીમાં રૂપાંતર થાય છે.
ઇલેક્ટ્રોનનું સ્થિર દળ ઊર્જા $m_e c^2 \approx 0.511 \, MeV$ છે.
પોઝિટ્રોનનું સ્થિર દળ ઊર્જા પણ $m_p c^2 \approx 0.511 \, MeV$ છે.
આ જોડી બનાવવા માટે,$\gamma$-કિરણ ફોટોનની કુલ ઊર્જા ઇલેક્ટ્રોન અને પોઝિટ્રોનની સ્થિર દળ ઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોવી જોઈએ.
તેથી,જરૂરી લઘુત્તમ ઊર્જા $E_{min} = 0.511 \, MeV + 0.511 \, MeV = 1.02 \, MeV$ છે.

(C) કોઈપણ પરમાણુ પ્રતિક્રિયામાં,ઘણી મૂળભૂત રાશિઓ સંરક્ષિત રહે છે. જેમાં નીચે મુજબનો સમાવેશ થાય છે:
$1$. દળ ક્રમાંક $(A)$ નું સંરક્ષણ: ન્યુક્લિયોન્સ (પ્રોટોન + ન્યુટ્રોન) ની કુલ સંખ્યા અચળ રહે છે.
$2$. પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ નું સંરક્ષણ: તંત્રનો કુલ વીજભાર અચળ રહે છે.
$3$. ઉર્જાનું સંરક્ષણ: કુલ ઉર્જા,જેમાં સ્થિર દળ ઉર્જા $(E = mc^2)$ નો સમાવેશ થાય છે,તે સંરક્ષિત રહે છે.
$4$. રેખીય વેગમાન અને કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ.
તેથી,પરમાણુ પ્રતિક્રિયામાં પરમાણુ ક્રમાંક,દળ ક્રમાંક અને ઉર્જા ત્રણેય સંરક્ષિત રહે છે. સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) જ્યારે પ્રોટોન અને એન્ટિ-પ્રોટોનનું વિલોપન થાય છે, ત્યારે તેમનું કુલ દળ આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત $E = mc^2$ મુજબ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
પ્રોટોનનું દળ આશરે $1.67 \times 10^{-27} \; kg$ છે, જે $1 \; amu$ ને સમતુલ્ય છે.
એન્ટિ-પ્રોટોનનું દળ પ્રોટોન જેટલું જ એટલે કે $1 \; amu$ હોય છે.
વિલોપન પામતું કુલ દળ = $1 \; amu + 1 \; amu = 2 \; amu$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \; amu$ એ $931.5 \; MeV$ ને સમતુલ્ય છે.
તેથી, મુક્ત થતી કુલ ઉર્જા = $2 \times 931.5 \; MeV = 1863 \; MeV$.
આ ઉર્જાને જૂલમાં ફેરવતા:
$E = 1863 \times 10^6 \times 1.602 \times 10^{-19} \; J \approx 2.98 \times 10^{-10} \; J$.
આ મૂલ્યને રાઉન્ડ ઓફ કરતા, આપણને આશરે $3 \times 10^{-10} \; J$ મળે છે.

(B) ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $(m_e)$ $9.1 \times 10^{-31} \ kg$ છે.
પોઝિટ્રોનનું દળ પણ ઇલેક્ટ્રોન જેટલું જ હોવાથી,એનિહિલેશનમાં સામેલ કુલ દળ $2m_e$ થશે.
મુક્ત થતી ઉર્જા $(E)$ આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સૂત્ર $E = (2m_e)c^2$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = 2 \times (9.1 \times 10^{-31} \ kg) \times (3 \times 10^8 \ m/s)^2$.
$E = 18.2 \times 10^{-31} \times 9 \times 10^{16} \ J$.
$E = 163.8 \times 10^{-15} \ J = 1.638 \times 10^{-13} \ J$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,મુક્ત થતી ઉર્જા આશરે $1.6 \times 10^{-13} \ J$ છે.

(D) ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા એ ન્યુક્લિયસની સ્થિરતાનું સીધું માપ છે. ન્યુક્લિયોન દીઠ ઉચ્ચ બંધન ઉર્જા સૂચવે છે કે ન્યુક્લિયોન વધુ મજબૂતીથી જોડાયેલા છે,જે ન્યુક્લિયસને વધુ સ્થિર બનાવે છે. તેથી,બંધન ઉર્જા એ ન્યુક્લિયર સ્થિરતાનું માપ છે.

(D) પેકિંગ ફ્રેક્શન $(f)$ ની વ્યાખ્યા પરમાણ્વીય દળ $(M)$ અને દળ ક્રમાંક $(A)$ ના તફાવતને દળ ક્રમાંક $(A)$ વડે ભાગવાથી મળે છે.
ગાણિતિક રીતે,તે નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે:
$f = \frac{M - A}{A}$
આ રાશિ ન્યુક્લિયસની સ્થિરતાનું માપ આપે છે.

(C) ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા $B$ એ દળ ક્ષતિ $\Delta m$ ના ઉર્જા સમતુલ્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
દળ ક્ષતિ $\Delta m = (Z M_p + N M_n) - M(N, Z)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતા સંબંધ મુજબ,$B = \Delta m c^2$.
$\Delta m$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $B = [Z M_p + N M_n - M(N, Z)] c^2$ મળે છે.
$M(N, Z)$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$B / c^2 = Z M_p + N M_n - M(N, Z)$
$M(N, Z) = Z M_p + N M_n - B / c^2$.

(B) ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $(B.E./A)$ એ ન્યુક્લિયસની સ્થિરતાનું માપ છે.
$B.E./A$ નું ઉચ્ચ મૂલ્ય સૂચવે છે કે ન્યુક્લિયોન એકબીજા સાથે વધુ મજબૂતીથી જોડાયેલા છે,જે ન્યુક્લિયસને વધુ સ્થાયી બનાવે છે.
દળ ક્રમાંક $(A)$ વિરુદ્ધ $B.E./A$ નો વક્ર હિલિયમ ન્યુક્લિયસ $(^4_2He)$ માટે તીવ્ર શિખર દર્શાવે છે,જે સૂચવે છે કે તેના પડોશી તત્વોની તુલનામાં તેની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા ખૂબ વધારે છે.
તેથી,હિલિયમ ન્યુક્લિયસ અત્યંત સ્થાયી છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$E = \Delta m c^2$.
અહીં,$\Delta m = 1\, kg$ અને $c = 3 \times 10^8\, m/s$ આપેલ છે.
$E = 1 \times (3 \times 10^8)^2 = 9 \times 10^{16}\, J$.
ઊર્જાને જૂલ $(J)$ માંથી ઈલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં ફેરવવા માટે,તેને $1.6 \times 10^{-19}\, J/eV$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{9 \times 10^{16}}{1.6 \times 10^{-19}} = 5.625 \times 10^{35}\, eV$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1\, MeV = 10^6\, eV$,તેથી:
$E = \frac{5.625 \times 10^{35}}{10^6} = 5.625 \times 10^{29}\, MeV$.

(B) ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી ઊર્જા એ નીપજોની કુલ બંધન ઊર્જા અને પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઊર્જા વચ્ચેના તફાવત જેટલી હોય છે.
આપેલ પ્રક્રિયામાં: $_1^2H + _1^3H \to _2^4He + _0^1n$.
ન્યુટ્રોન $_0^1n$ ની બંધન ઊર્જા $0 \ MeV$ છે.
પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઊર્જા $a + b$ છે.
નીપજોની કુલ બંધન ઊર્જા $c + 0 = c$ છે.
તેથી, મુક્ત થતી ઊર્જા $Q = (\text{નીપજોની કુલ બંધન ઊર્જા}) - (\text{પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઊર્જા})$.
$Q = c - (a + b) = c - a - b \ MeV$.

(D) પૃથ્વીની સપાટી પર સૌર વિકિરણની તીવ્રતા $I = 1.4 \; kW/m^2 = 1.4 \times 10^3 \; J/(s \cdot m^2)$ છે।
સૂર્ય દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ પાવર $P = I \times A$ છે, જ્યાં $A$ એ $r = 1.5 \times 10^{11} \; m$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાનું પૃષ્ઠફળ છે।
$A = 4 \pi r^2 = 4 \times 3.14 \times (1.5 \times 10^{11})^2 \approx 2.827 \times 10^{23} \; m^2$.
પ્રતિ દિવસ ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા $(E)$ એ $P \times t$ છે, જ્યાં $t = 86400 \; s$.
$E = (1.4 \times 10^3 \; J/s \cdot m^2) \times (2.827 \times 10^{23} \; m^2) \times (86400 \; s) \approx 3.42 \times 10^{31} \; J$.
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ, $E = mc^2$, જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \; m/s$:
$m = \frac{E}{c^2} = \frac{3.42 \times 10^{31}}{(3 \times 10^8)^2} = \frac{3.42 \times 10^{31}}{9 \times 10^{16}} \approx 3.8 \times 10^{14} \; kg$.

(C) ${O^{17}}$ માંથી ન્યુટ્રોન દૂર કરવા માટેની ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે: ${O^{17}} \to {O^{16}} + {n^1}$.
ન્યુક્લિયસની કુલ બંધન ઉર્જા $(B.E.)$ આ રીતે ગણવામાં આવે છે: $B.E. = (\text{ન્યુક્લિઓનની સંખ્યા}) \times (\text{ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઉર્જા})$.
${O^{17}}$ ની કુલ $B.E. = 17 \times 7.75 \,MeV = 131.75 \,MeV$.
${O^{16}}$ ની કુલ $B.E. = 16 \times 7.97 \,MeV = 127.52 \,MeV$.
ન્યુટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા એ પિતૃ અને પુત્રી ન્યુક્લિયસની કુલ બંધન ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\text{જરૂરી ઉર્જા} = B.E.({O^{17}}) - B.E.({O^{16}})$
$\text{જરૂરી ઉર્જા} = 131.75 \,MeV - 127.52 \,MeV = 4.23 \,MeV$.

(D) દળ ક્ષતિને કારણે ન્યુક્લિયસનું દળ હંમેશા તેના ઘટક ન્યુક્લિયોન્સના દળના સરવાળા કરતા ઓછું હોય છે,જે ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા માટે જવાબદાર છે.
$_{10}^{20}Ne$ ન્યુક્લિયસ માટે,જેમાં $10$ પ્રોટોન અને $10$ ન્યુટ્રોન હોય છે,દળ ${M_1}$ એ ${M_1} < 10({m_p} + {m_n})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ વિકલ્પ $(a)$ ની પુષ્ટિ કરે છે.
$_{20}^{40}Ca$ ન્યુક્લિયસ માટે,જેમાં $20$ પ્રોટોન અને $20$ ન્યુટ્રોન હોય છે,ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $_{10}^{20}Ne$ કરતા વધારે હોય છે. હલકા ન્યુક્લિયસ માટે ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા દળ ક્રમાંક સાથે વધતી હોવાથી,$_{20}^{40}Ca$ માટે ન્યુક્લિયોન દીઠ દળ ક્ષતિ $_{10}^{20}Ne$ કરતા વધારે હોય છે.
તેથી,$_{20}^{40}Ca$ ન્યુક્લિયસનું દળ ${M_2}$ એ $_{10}^{20}Ne$ ન્યુક્લિયસના દળ ${M_1}$ ના બમણા કરતા ઓછું હોય છે,એટલે કે ${M_2} < 2{M_1}$. આ વિકલ્પ $(c)$ ની પુષ્ટિ કરે છે.
આમ,$(a)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(A) ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $(B_N)$ એ ન્યુક્લિયસની સ્થિરતાનું માપ છે.
પ્રાયોગિક અવલોકનો દર્શાવે છે કે હલકા ન્યુક્લિયસ માટે $B_N$ ઝડપથી વધે છે અને આયર્ન $(Fe^{56})$ માટે લગભગ $8.8 \text{ MeV}$ જેટલું મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે,જે $A = 56$ દળ ક્રમાંકને અનુરૂપ છે.
$A > 56$ ધરાવતા ન્યુક્લિયસ માટે,જેમ દળ ક્રમાંક વધે છે તેમ ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા ધીમે ધીમે ઘટે છે.
તેથી,જે આલેખ આ નિર્ભરતાને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે તેમાં $A = 56$ પર શિખર (peak) જોવા મળે છે.

(C) ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઊર્જા $(BE/A)$ એ ન્યુક્લિયસની સ્થિરતાનું માપ છે.
હલકા ન્યુક્લિયસ માટે,$BE/A$ દળ ક્રમાંક $(A)$ સાથે ઝડપથી વધે છે.
તે $30$ થી $170$ ની વચ્ચે દળ ક્રમાંક ધરાવતા ન્યુક્લિયસ (દા.ત.,$^{56}Fe$) માટે લગભગ $8.8 \text{ MeV}$ નું મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.
ભારે ન્યુક્લિયસ માટે,પ્રોટોન વચ્ચે વધતા કુલંબ અપાકર્ષણને કારણે દળ ક્રમાંક વધતા $BE/A$ ધીમે ધીમે ઘટે છે.
વક્ર $C$ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે,જે શરૂઆતમાં વધારો,એક વ્યાપક મહત્તમ મૂલ્ય અને ત્યારબાદ ધીમે ધીમે ઘટાડો દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) જ્યારે ન્યુક્લીય પ્રક્રિયામાં નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા $(B.E.)$ પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા કરતા વધારે હોય, ત્યારે ઉર્જા મુક્ત થાય છે।
આલેખ પરથી, આપણે દરેક ન્યુક્લીયસ માટે દળ ક્રમાંક $(A)$ અને ન્યુક્લીયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $(B.E./A)$ જાણી શકીએ છીએ:
$W$ માટે: $A = 120, B.E./A = 7.5 \, MeV \implies \text{કુલ } B.E. = 120 \times 7.5 = 900 \, MeV$
$X$ માટે: $A = 90, B.E./A = 8.0 \, MeV \implies \text{કુલ } B.E. = 90 \times 8.0 = 720 \, MeV$
$Y$ માટે: $A = 60, B.E./A = 8.5 \, MeV \implies \text{કુલ } B.E. = 60 \times 8.5 = 510 \, MeV$
$Z$ માટે: $A = 30, B.E./A = 5.0 \, MeV \implies \text{કુલ } B.E. = 30 \times 5.0 = 150 \, MeV$
હવે, વિકલ્પ $(c)$ ચકાસીએ: $W \to 2Y$
પ્રક્રિયકોની કુલ $B.E. = 900 \, MeV$
નીપજોની કુલ $B.E. = 2 \times (510) = 1020 \, MeV$
અહીં નીપજોની કુલ $B.E.$ $(1020 \, MeV)$ એ પ્રક્રિયકોની કુલ $B.E.$ $(900 \, MeV)$ કરતા વધારે હોવાથી, આ પ્રક્રિયામાં ઉર્જા મુક્ત થાય છે।

(D) પરમાણ્વીય દળ એકમ $(\text{a.m.u.})$ ને કાર્બન-$12$ પરમાણુના દળના $1/12$ ભાગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત $E = mc^2$ નો ઉપયોગ કરીને, $1 \, \text{a.m.u.}$ ની ઊર્જા નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$1 \, \text{a.m.u.} = 1.660539 \times 10^{-27} \, \text{kg}$.
$E = (1.660539 \times 10^{-27} \, \text{kg}) \times (2.9979 \times 10^8 \, \text{m/s})^2$.
$E \approx 1.4924 \times 10^{-10} \, \text{J}$.
જૂલને $MeV$ માં રૂપાંતરિત કરતા $(1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J})$:
$E \approx (1.4924 \times 10^{-10}) / (1.602 \times 10^{-13} \, \text{J/MeV}) \approx 931.5 \, \text{MeV}$.
તેથી, $1 \, \text{a.m.u.} \approx 931 \, \text{MeV}/c^2$ થાય છે.

(D) ન્યુક્લિયર ક્ષયની પ્રક્રિયામાં ઊર્જા મુક્ત થાય છે કારણ કે તંત્ર વધુ સ્થાયી અવસ્થા તરફ ગતિ કરે છે.
સ્થાયિત્વ એ ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઊર્જા સાથે સીધી રીતે સંબંધિત છે.
જે ન્યુક્લિયસની ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઊર્જા વધારે હોય તે વધુ સ્થાયી હોય છે.
કારણ કે જનક ન્યુક્લિયસનું જનિત ન્યુક્લિયસમાં રૂપાંતર થાય છે,તેથી જનિત ન્યુક્લિયસ જનક ન્યુક્લિયસ કરતા વધુ સ્થાયી હોવા જોઈએ.
તેથી,જનિત ન્યુક્લિયસની ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઊર્જા $(E_2)$ એ જનક ન્યુક્લિયસની ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઊર્જા $(E_1)$ કરતા વધારે હોવી જોઈએ.
આમ,$E_2 > E_1$.

(B) ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઊર્જા $(BE/A)$ એ દળ ક્રમાંક $(A)$ નું એકસમાન વિધેય નથી।
હલકા ન્યુક્લિયસ $(A < 30)$ માટે, $BE/A$ સામાન્ય રીતે $A$ સાથે વધે છે।
મધ્યવર્તી ન્યુક્લિયસ $(30 < A < 170)$ માટે, $BE/A$ લગભગ અચળ ($8 \text{ MeV}$ ની આસપાસ) રહે છે।
ભારે ન્યુક્લિયસ $(A > 170)$ માટે, જેમ $A$ વધે તેમ $BE/A$ ઘટે છે।
પ્રશ્ન સમગ્ર શ્રેણીમાં દળ ક્રમાંક વધવાની સાથે સામાન્ય વલણ વિશે પૂછે છે, તેથી ભારે ન્યુક્લિયસ માટે ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઊર્જા ઘટે છે।

(B) ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઊર્જા $(BE/A)$ નો આલેખ દર્શાવે છે કે હલકા ન્યુક્લિયસ $(A < 30)$ માટે ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઊર્જા ઓછી હોય છે.
જેમ દળ ક્રમાંક વધે છે,તેમ $BE/A$ ઝડપથી વધે છે અને $50$ થી $80$ ની વચ્ચેના દળ ક્રમાંક ધરાવતા ન્યુક્લિયસ માટે આશરે $8.8 \text{ MeV}$ જેટલું મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.
ખાસ કરીને,આયર્ન $(^{56}_{26}Fe)$ માટે ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઊર્જા મહત્તમ હોય છે.
તેથી,જે દળ ક્રમાંક વિસ્તારમાં ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઊર્જા મહત્તમ હોય છે તે $50$ અને $100$ ની વચ્ચે છે.

(D) ન્યુક્લિયોનદીઠ બંધન-ઊર્જાનો આલેખ દર્શાવે છે કે $A > 56$ પરમાણુદળાંક માટે,જેમ પરમાણુદળાંક વધે છે તેમ ન્યુક્લિયોનદીઠ બંધન-ઊર્જા ક્રમશ: ઘટતી જાય છે.
ભારે ન્યુક્લિયસ (ઉચ્ચ પરમાણુદળાંક) મધ્યમ દળ ધરાવતા ન્યુક્લિયસની તુલનામાં ઓછી ન્યુક્લિયોનદીઠ બંધન-ઊર્જા ધરાવતા હોવાથી,તેઓ નાના ટુકડાઓમાં વિભાજિત થઈને વધુ સ્થિર બને છે,જે ન્યુક્લિયર વિખંડનની પ્રક્રિયા છે.

(A) ન્યુક્લિયોનદીઠ બંધન-ઊર્જા એ ન્યુક્લિયસની સ્થિરતાનું માપદંડ છે. મોટાભાગના સ્થિર ન્યુક્લિયસ માટે,ન્યુક્લિયોનદીઠ બંધન-ઊર્જા આશરે $8 \, MeV$ જેટલી હોય છે. $30$ થી $170$ ની વચ્ચેના દળ-ક્રમાંક ધરાવતા ન્યુક્લિયસ માટે આ મૂલ્ય લગભગ અચળ રહે છે.