Mass-Energy, Nuclear Binding Energy, Nuclear Stability Questions in Gujarati

(A) પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 14$ અને દળ ક્રમાંક $A = 29$ છે.
પ્રોટોનની સંખ્યા $Z = 14$ છે.
ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $N = A - Z = 29 - 14 = 15$ છે.
દળ ક્ષતિ $\Delta m$ નીચે મુજબ મળે છે: $\Delta m = [Z m_p + N m_n] - M_{nucleus}$.
$\Delta m = [14 \times 1.007276 u + 15 \times 1.008664 u] - 28.976495 u$.
$\Delta m = [14.101864 u + 15.129960 u] - 28.976495 u$.
$\Delta m = 29.231824 u - 28.976495 u = 0.255329 u$.
બંધન ઉર્જા $B.E. = \Delta m \times 931.5 MeV/u$.
$B.E. = 0.255329 \times 931.5 MeV \approx 237.84 MeV$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $237.86 MeV$ છે.

(B) વિધાન $(i)$ ખોટું છે કારણ કે ન્યુક્લિયસનું દળ હંમેશા તેના વ્યક્તિગત ન્યુક્લિયોન્સના દળના સરવાળા કરતા ઓછું હોય છે. આ દળ તફાવત,જેને દળ ક્ષતિ કહેવાય છે,તે ન્યુક્લિયસ બનતી વખતે મુક્ત થતી બંધન ઉર્જાને અનુરૂપ છે. તેથી,ન્યુક્લિયસની દળ ઉર્જા તેના વ્યક્તિગત પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનની કુલ દળ ઉર્જા કરતા ઓછી હોય છે.
વિધાન $(ii)$ સાચું છે. ન્યુક્લિયસને તેના ઘટક ન્યુક્લિયોન્સમાં અલગ કરવા માટે,પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે,જેના માટે બંધન ઉર્જા જેટલી ઉર્જા આપવી જરૂરી છે.
વિધાન $(iii)$ સાચું છે. ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા એ ન્યુક્લિયર સ્થિરતાનું પ્રમાણભૂત માપ છે; ઉચ્ચ મૂલ્યો સૂચવે છે કે ન્યુક્લિયોન્સ વધુ મજબૂતીથી જોડાયેલા છે.
વિધાન $(iv)$ સાચું છે. ન્યુક્લિયર વિખંડનમાં,એક ભારે ન્યુક્લિયસ ન્યુક્લિયોન દીઠ ઉચ્ચ બંધન ઉર્જા ધરાવતા હળવા ન્યુક્લિયસમાં વિભાજિત થાય છે,જેના પરિણામે ઉર્જા મુક્ત થાય છે.
આમ,વિધાનો $(ii)$,$(iii)$ અને $(iv)$ સાચા છે.

(A) આલ્ફા કણ $\left({ }^{4} He\right)$ માં $2$ પ્રોટોન અને $2$ ન્યુટ્રોન હોય છે.
ઘટકોનું કુલ દળ $m_{c} = 2(m_{p} + m_{n}) = 2(1.00783 + 1.00867) = 2(2.01650) = 4.03300 \ amu$ થાય.
દળ ક્ષતિ $\Delta m = m_{c} - m_{He} = 4.03300 - 4.00300 = 0.0300 \ amu$ મળે.
બંધન ઉર્જા $E$ શોધવા માટે $1 \ amu = 931 \ MeV$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \Delta m \times 931 \ MeV/amu = 0.0300 \times 931 = 27.93 \ MeV$.
આમ,બંધન ઉર્જા આશરે $27.9 \ MeV$ છે.

(A) ન્યુક્લિયસની સ્થિરતા તેની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા સાથે સીધી રીતે સંબંધિત છે. જોકે,આ પ્રક્રિયાઓમાં આપણે સાપેક્ષ સ્થિરતા નક્કી કરવા માટે સીધી બંધન ઉર્જા $(BE)$ ની સરખામણી કરી શકીએ છીએ.
પ્રથમ પ્રક્રિયા પરથી: ${ }_2 He ^3 + { }_0 n ^1 \rightarrow { }_2 He ^4 + 20 \ MeV$. મુક્ત થતી ઉર્જા $(Q = 20 \ MeV)$ સૂચવે છે કે $BE({ }_2 He ^4) - BE({ }_2 He ^3) = 20 \ MeV$. તેથી,$BE({ }_2 He ^4) > BE({ }_2 He ^3)$.
બીજી પ્રક્રિયા પરથી: ${ }_2 He ^4 + { }_0 n ^1 \rightarrow { }_2 He ^5 - 0.9 \ MeV$. શોષાયેલી ઉર્જા $(Q = -0.9 \ MeV)$ સૂચવે છે કે $BE({ }_2 He ^5) - BE({ }_2 He ^4) = -0.9 \ MeV$. તેથી,$BE({ }_2 He ^4) > BE({ }_2 He ^5)$.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $BE({ }_2 He ^4) > BE({ }_2 He ^3)$ અને $BE({ }_2 He ^4) > BE({ }_2 He ^5)$ મળે છે.
${ }_2 He ^4$ એ ખૂબ જ સ્થિર આલ્ફા કણ (મેજિક નંબર $Z=2, N=2$) હોવાથી,તેની સ્થિરતા સૌથી વધુ છે. ${ }_2 He ^3$ અને ${ }_2 He ^5$ ની સરખામણી કરતા,${ }_2 He ^3$ એ ${ }_2 He ^5$ કરતા વધુ સ્થિર છે કારણ કે ${ }_2 He ^5$ અત્યંત અસ્થિર છે અને ઝડપથી ક્ષય પામે છે.
તેથી,સ્થિરતાનો સાચો ક્રમ $X_4 > X_3 > X_5$ છે.

(D) વિધાન $I$ ખોટું છે કારણ કે ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા એ દળ ક્રમાંકનું એકધારી રીતે વધતું વિધેય નથી. તે શરૂઆતમાં વધે છે,આયર્ન $(Fe)$ માટે મહત્તમ સુધી પહોંચે છે,અને ત્યારબાદ ભારે ન્યુક્લિયસ માટે ઘટે છે.
વિધાન $II$ સાચું છે કારણ કે ઓછી ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા ધરાવતા ન્યુક્લિયસ ઓછા સ્થાયી હોય છે. ન્યુક્લિયર વિખંડન (ભારે ન્યુક્લિયસ માટે) અથવા ન્યુક્લિયર સંલયન (હલકા ન્યુક્લિયસ માટે) જેવી પ્રક્રિયાઓ દ્વારા,તેઓ વધુ સ્થાયી ન્યુક્લિયસમાં રૂપાંતરિત થવાનું વલણ ધરાવે છે જેની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા વધારે હોય છે,જેથી તેઓ ઓછી ઉર્જા ધરાવતી સ્થિતિ પ્રાપ્ત કરી શકે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ઉર્જા $E$ એ $E = mc^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$m$ એ પદાર્થનું દળ છે અને $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ગતિ છે.
આપેલ છે:
દળ $m = 1.0 \text{ kg}$
પ્રકાશની ગતિ $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = 1.0 \text{ kg} \times (3 \times 10^8 \text{ m/s})^2$
$E = 1.0 \times 9 \times 10^{16} \text{ J}$
$E = 9 \times 10^{16} \text{ J}$
તેથી,$1.0 \text{ kg}$ પદાર્થનું ઉર્જા સમતુલ્ય $9 \times 10^{16} \text{ J}$ છે.
સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) પ્રોટોનની સંખ્યા $Z = 83$ અને ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $N = 209 - 83 = 126$ છે.
દળ ક્ષતિ $\Delta m$ ની ગણતરી આ મુજબ થાય છે: $\Delta m = [Z m_p + N m_n - M_{nucleus}]$.
$\Delta m = [83 \times 1.007825 + 126 \times 1.008665 - 208.980388] \text{ u}$.
$\Delta m = [83.649475 + 127.09179 - 208.980388] \text{ u} = 1.760877 \text{ u}$.
કુલ બંધન ઉર્જા $BE = \Delta m \times 931 \text{ MeV/u} = 1.760877 \times 931 \approx 1639.376 \text{ MeV}$ છે.
ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઉર્જા $\frac{BE}{A} = \frac{1639.376}{209} \approx 7.84 \text{ MeV}$ થાય છે.

(C) ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે: $2 \times X(A=3) + Y(A=4) \to Z(A=10)$.
પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા $= (2 \times 3 \times 5.6 \text{ MeV}) + (4 \times 7.4 \text{ MeV}) = 33.6 \text{ MeV} + 29.6 \text{ MeV} = 63.2 \text{ MeV}$.
નિપજની કુલ બંધન ઉર્જા $= 10 \times 6.1 \text{ MeV} = 61.0 \text{ MeV}$.
પ્રક્રિયામાં ઉર્જાનો ફેરફાર $\Delta E = E_{\text{product}} - E_{\text{reactants}} = 61.0 \text{ MeV} - 63.2 \text{ MeV} = -2.2 \text{ MeV}$.
આ પ્રક્રિયામાં સંકળાયેલ ઉર્જાના ફેરફારનું મૂલ્ય $2.2 \text{ MeV}$ છે.
તેથી,$\Delta Mc^2 = 2.2 \text{ MeV}$.

(B) $^{12}_{6}C$ ના ન્યુક્લિયસમાં $6$ પ્રોટોન અને $6$ ન્યુટ્રોન હોય છે.
ઘટક ન્યુક્લિઓન્સનું કુલ દળ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$M_{nucleons} = 6 \times m_p + 6 \times m_n$
$M_{nucleons} = 6 \times 1.00727 \text{ u} + 6 \times 1.00866 \text{ u}$
$M_{nucleons} = 6.04362 \text{ u} + 6.05196 \text{ u} = 12.09558 \text{ u}$.
દળ ક્ષતિ $\Delta m$ એ ન્યુક્લિઓન્સના દળના સરવાળા અને ન્યુક્લિયસના વાસ્તવિક દળ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\Delta m = M_{nucleons} - M_{nucleus}$
$\Delta m = 12.09558 \text{ u} - 12.00000 \text{ u} = 0.09558 \text{ u}$.