Mass-Energy, Nuclear Binding Energy, Nuclear Stability Questions in Gujarati

(C) ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઊર્જા એટલે ન્યુક્લિયસની કુલ બંધન ઊર્જાને તેના દળ ક્રમાંક $(A)$ વડે ભાગતા મળતું મૂલ્ય.
મોટાભાગના સ્થાયી ન્યુક્લિયસ માટે,ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઊર્જા $7 \,MeV$ થી $9 \,MeV$ ની રેન્જમાં હોય છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,મધ્યમ દળ ધરાવતા ન્યુક્લિયસ માટે તે આશરે $8 \,MeV$ હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$7.6 \,MeV$ એ ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઊર્જા માટેનો સાચો ક્રમ છે.

(C) જો નીપજોની કુલ બંધન ઊર્જા પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઊર્જા કરતા વધારે હોય,તો ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયામાં ઊર્જા મુક્ત થાય છે.
ધારો કે $BE_N$ એ પ્રતિ ન્યુક્લિઓન બંધન ઊર્જા છે. કુલ બંધન ઊર્જા $BE = A \times BE_N$ છે,જ્યાં $A$ એ દળ ક્રમાંક છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $W \rightarrow 2Y$
પ્રક્રિયક $W$: $A = 120, BE_N = 7.5 \text{ MeV}$. કુલ $BE = 120 \times 7.5 = 900 \text{ MeV}$.
નીપજો $2Y$: $A = 60, BE_N = 8.5 \text{ MeV}$. કુલ $BE = 2 \times (60 \times 8.5) = 1020 \text{ MeV}$.
$1020 \text{ MeV} > 900 \text{ MeV}$ હોવાથી,ઊર્જા મુક્ત થાય છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $Y \rightarrow 2Z$
પ્રક્રિયક $Y$: $A = 60, BE_N = 8.5 \text{ MeV}$. કુલ $BE = 510 \text{ MeV}$.
નીપજો $2Z$: $A = 30, BE_N = 5.0 \text{ MeV}$. કુલ $BE = 2 \times (30 \times 5.0) = 300 \text{ MeV}$.
$300 \text{ MeV} < 510 \text{ MeV}$ હોવાથી,ઊર્જાનું શોષણ થાય છે.
આમ,પ્રક્રિયા $W \rightarrow 2Y$ માં ઊર્જા મુક્ત થાય છે.

(D) ન્યુક્લિયસનું દળ $M$ હંમેશા તેના ઘટક ન્યુક્લિઓન્સ (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન) ના દળના સરવાળા કરતા ઓછું હોય છે,કારણ કે દળ ક્ષતિ $\Delta m$ એ બંધન ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$Z$ પરમાણુ ક્રમાંક અને $A$ દળ ક્રમાંક ધરાવતા ન્યુક્લિયસ માટે,પ્રોટોનની સંખ્યા $Z$ છે અને ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $(A - Z)$ છે.
વ્યક્તિગત ન્યુક્લિઓન્સના દળનો સરવાળો $Z M_p + (A - Z) M_n$ થાય છે.
બંધન ઉર્જા ધન હોવાથી,ન્યુક્લિયસનું દળ તેના ઘટકોના દળના સરવાળા કરતા ઓછું હોવું જોઈએ.
તેથી,$M < Z M_p + (A - Z) M_n$.

(C) ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયામાં, નીપજોનું કુલ દળ પ્રક્રિયકોના કુલ દળ કરતા ઓછું હોય છે. દળમાં થતા આ તફાવતને દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ કહેવામાં આવે છે.
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા તુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ, $E = \Delta m c^2$, જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
તેથી, ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી ઊર્જા એ દળ ક્ષતિને સમતુલ્ય ઊર્જા છે.

(B) પરમાણુમાંથી ઈલેક્ટ્રોન દૂર કરવા માટે જરૂરી ઊર્જાને આયનીકરણ ઊર્જા કહેવામાં આવે છે,જે સામાન્ય રીતે $eV$ (ઈલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ) ના ક્રમની હોય છે.
ન્યુક્લિયસમાંથી ન્યુક્લિઓન દૂર કરવા માટે જરૂરી ઊર્જાને ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઊર્જા કહેવામાં આવે છે,જે સામાન્ય રીતે $MeV$ (મેગા ઈલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ) ના ક્રમની હોય છે.
આમ,$1 \ MeV = 10^6 \ eV$ હોવાથી,ન્યુક્લિઓનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા એ ઈલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા કરતાં ઘણી વધારે હોય છે.
તેથી,$E_e < E_n$.

(A) ન્યુક્લિયસની સ્થિરતા તેના પ્રતિ ન્યુક્લિયોન બંધન ઊર્જા $(BE/A)$ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$1$. $_1H^2$ માટે: $BE/A = 2.22 / 2 = 1.11 \ MeV/nucleon$.
$2$. $_2He^4$ માટે: $BE/A = 28.3 / 4 = 7.075 \ MeV/nucleon$.
$3$. $_{26}Fe^{56}$ માટે: $BE/A = 492 / 56 \approx 8.79 \ MeV/nucleon$.
$4$. $_{92}U^{235}$ માટે: $BE/A = 1786 / 235 \approx 7.60 \ MeV/nucleon$.
જેમ કે $_{26}Fe^{56}$ ની પ્રતિ ન્યુક્લિયોન બંધન ઊર્જા સૌથી વધુ છે,તેથી તે સૌથી વધુ સ્થાયી ન્યુક્લિયસ છે.

(A) $\alpha$-કણ એ હિલિયમનું ન્યુક્લિયસ $(_{2}^{4}He^{2+})$ છે,જે $2$ પ્રોટોન અને $2$ ન્યુટ્રોનનું બનેલું હોય છે.
દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ન્યુક્લિયસનું દળ હંમેશા તેના ઘટક ન્યુક્લિયોન્સના વ્યક્તિગત દળના સરવાળા કરતા ઓછું હોય છે,કારણ કે દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ બંધન ઊર્જા $(E = \Delta m c^2)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,$\alpha$-કણનું દળ $2$ મુક્ત પ્રોટોન અને $2$ મુક્ત ન્યુટ્રોનના સંયુક્ત દળ કરતા થોડું ઓછું હોય છે.

(B) ન્યુક્લિયસની બંધન ઊર્જા $(BE)$ અને તેની દળ ક્ષતિ $(\Delta M)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $BE = \Delta M \times 931 \, MeV/amu$.
અહીં $BE = 2.23 \, MeV$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2.23 = \Delta M \times 931$.
તેથી, $\Delta M = \frac{2.23}{931} \, amu$.
$\Delta M \approx 0.002395 \, amu \approx 0.0024 \, amu$.

(C) જો નીપજોની કુલ બંધન ઊર્જા પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઊર્જા કરતાં વધારે હોય,તો ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયામાં ઊર્જા મુક્ત થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે નીપજો પ્રક્રિયકો કરતાં વધુ સ્થાયી છે.
$(i) \, A + B \rightarrow C + \varepsilon$: અહીં,હલકા ન્યુક્લિયસ $A$ અને $B$ જોડાઈને ભારે ન્યુક્લિયસ $C$ બનાવે છે. $C$ ની ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઊર્જા $A$ અને $B$ કરતા વધારે હોવાથી,કુલ બંધન ઊર્જા વધે છે અને ઊર્જા મુક્ત થાય છે $(\varepsilon > 0)$.
$(ii) \, C \rightarrow A + B + \varepsilon$: આ પ્રક્રિયા $(i)$ થી ઉલટી છે. નીપજ ન્યુક્લિયસ ઓછા સ્થાયી હોવાથી,ઊર્જાનું શોષણ થાય છે $(\varepsilon < 0)$.
$(iii) \, D + E \rightarrow F + \varepsilon$: અહીં,$D$ અને $E$ પ્રમાણમાં ભારે ન્યુક્લિયસ છે. તેમને જોડીને $F$ (જે વધુ ભારે અને ઓછું સ્થાયી છે) બનાવવા માટે ઊર્જા આપવી પડે છે $(\varepsilon < 0)$.
$(iv) \, F \rightarrow D + E + \varepsilon$: આ ન્યુક્લિયર વિખંડન દર્શાવે છે જ્યાં ભારે,અસ્થાયી ન્યુક્લિયસ $F$ વધુ સ્થાયી,હલકા ન્યુક્લિયસ $D$ અને $E$ માં વિભાજિત થાય છે. કુલ બંધન ઊર્જા વધે છે,તેથી ઊર્જા મુક્ત થાય છે $(\varepsilon > 0)$.
તેથી,પ્રક્રિયા $(i)$ અને $(iv)$ માં ઊર્જા મુક્ત થાય છે.

(B) પ્રોટોનનું દળ આશરે $1.007276 \ u$ છે.
દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાના સંબંધ $E = mc^2$ નો ઉપયોગ કરતા.
કારણ કે $1 \ u$ એ $931.5 \ MeV/c^2$ ને સમતુલ્ય છે,તેથી પ્રોટોનના દળને સમતુલ્ય ઊર્જા નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$E = 1.007276 \ u \times 931.5 \ MeV/u \approx 938.27 \ MeV$.
જોકે,ઘણા પાઠ્યપુસ્તકોમાં સરળ ગણતરી માટે પ્રોટોનનું દળ $1 \ u$ (એટોમિક માસ યુનિટ) તરીકે લેવામાં આવે છે,જે આપે છે:
$E = 1 \ u \times 931.49 \ MeV/u = 931.49 \ MeV$.
આમ,ઉત્પન્ન થતી ઊર્જા $931.49 \ MeV$ છે.

(A) પ્રક્રિયા: $_1H^2 + _1H^2 \rightarrow {_2}{He}^4 + Q$ છે.
પ્રક્રિયકોમાં ન્યુક્લિયોનની કુલ સંખ્યા $2 + 2 = 4$ છે.
ડ્યુટેરોન માટે ન્યુક્લિયોનદીઠ બંધન-ઊર્જા $x_1$ છે, તેથી પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન-ઊર્જા $4x_1$ થાય.
નીપજમાં ન્યુક્લિયોનની કુલ સંખ્યા $4$ છે.
$\alpha$-કણ માટે ન્યુક્લિયોનદીઠ બંધન-ઊર્જા $x_2$ છે, તેથી નીપજની કુલ બંધન-ઊર્જા $4x_2$ થાય.
મુક્ત થતી ઊર્જા $Q$ એ કુલ બંધન-ઊર્જાના તફાવત જેટલી હોય છે: $Q = (\text{નીપજની કુલ બંધન-ઊર્જા}) - (\text{પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન-ઊર્જા})$.
તેથી, $Q = 4x_2 - 4x_1 = 4(x_2 - x_1)$.

(C) બંધન ઊર્જા $(B.E.)$ ની ગણતરી દળ ક્ષતિના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે: $B.E. = [Z m_p + (A - Z) m_n - M_{nucleus}] c^2$.
અહીં,$Z = 2$ (પ્રોટોનની સંખ્યા),$A = 4$ (દળ ક્રમાંક),$m_p = 1.0073 \, u$,$m_n = 1.0087 \, u$,અને $M_{nucleus} = 4.0015 \, u$ છે.
દળ ક્ષતિ $\Delta m = [2(1.0073) + 2(1.0087) - 4.0015] \, u$.
$\Delta m = [2.0146 + 2.0174 - 4.0015] \, u = [4.0320 - 4.0015] \, u = 0.0305 \, u$.
કારણ કે $1 \, u = 931.5 \, MeV/c^2$,તેથી બંધન ઊર્જા $B.E. = 0.0305 \times 931.5 \, MeV \approx 28.4 \, MeV$ થાય છે.

(C) ન્યુક્લિયસની બંધન-ઊર્જા $(BE)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $BE = [Z M_p + (A - Z) M_n - M_{nucleus}] c^2$.
ઑક્સિજનના સમસ્થાનિક $_8O^{17}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 8$ અને દળ ક્રમાંક $A = 17$ છે.
ન્યૂટ્રૉનની સંખ્યા $N = A - Z = 17 - 8 = 9$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$BE = [8 M_p + 9 M_n - M_0] c^2$.

(C) $_8O^{17}$ માંથી ન્યૂટ્રૉનને દૂર કરવાની પ્રક્રિયા: $_8O^{17} \rightarrow _8O^{16} + _0n^1$.
ન્યુક્લિયસની કુલ બંધન-ઊર્જા $BE = A \times (BE/A)$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $A$ એ દળ-ક્રમાંક છે.
$_8O^{17}$ ની કુલ બંધન-ઊર્જા $= 17 \times 7.75 \, MeV = 131.75 \, MeV$.
$_8O^{16}$ ની કુલ બંધન-ઊર્જા $= 16 \times 7.97 \, MeV = 127.52 \, MeV$.
ન્યૂટ્રૉનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા એ કુલ બંધન-ઊર્જાનો તફાવત છે:
$E = BE(O^{17}) - BE(O^{16}) = 131.75 \, MeV - 127.52 \, MeV = 4.23 \, MeV$.

(B) $\,_3^7\,Li\,\,$ ન્યુક્લિયસની બંધન ઊર્જા $= 7 \times 5.60 = 39.2 \,MeV$.
$\,_2^4\,He\,\,$ ન્યુક્લિયસની બંધન ઊર્જા $= 4 \times 7.06 = 28.24 \,MeV$.
આપેલ પ્રક્રિયા $p + \,_3^7\,Li \to 2\,_2^4\,He$ છે.
પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી ઊર્જા ($Q$-મૂલ્ય) એ નીપજો અને પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઊર્જાના તફાવત જેટલી હોય છે.
$Q = [2 \times (\,_2^4\,He\,\, \text{ની બંધન ઊર્જા})] - [(\,_3^7\,Li\,\, \text{ની બંધન ઊર્જા}) + (p \text{ ની બંધન ઊર્જા})]$.
મુક્ત પ્રોટોનની બંધન ઊર્જા $0$ હોવાથી:
$Q = (2 \times 28.24) - 39.2 = 56.48 - 39.2 = 17.28 \,MeV$.

(B) $_3^7Li$ ન્યુક્લિયસ માટે,દળ-ક્ષતિ $\Delta m = 0.042 \, u$ છે.
આપેલ છે કે $1 \, u \approx 931.5 \, MeV/c^2$,તેથી કુલ બંધન-ઊર્જા $E_b$ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$E_b = \Delta m \times 931.5 \, MeV = 0.042 \times 931.5 \, MeV \approx 39.123 \, MeV$.
$_3^7Li$ માટે દળ-ક્રમાંક $A = 7$ છે.
ન્યુક્લિયોનદીઠ બંધન-ઊર્જા $E_{bn}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$E_{bn} = \frac{E_b}{A} = \frac{39.123 \, MeV}{7} \approx 5.589 \, MeV$.
નજીકના મૂલ્યને ધ્યાનમાં લેતા,આપણને $5.6 \, MeV$ મળે છે.

(B) ઈલેક્ટ્રોન (અથવા પોઝિટ્રોન) ની વિરામ દ્રવ્યમાન ઊર્જા $E_0 = m_0 c^2 = 0.511 \, \text{MeV}$ છે.
આને જૂલમાં ફેરવતા: $E_0 = 0.511 \times 10^6 \, \text{eV} \times 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J/eV} \approx 8.186 \times 10^{-14} \, \text{J}$.
ઈલેક્ટ્રોન-પોઝિટ્રોન યુગ્મની કુલ ઊર્જા $(2 \times 0.511 \, \text{MeV})$ બે ફોટોન વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે,તેથી દરેક ફોટોનની ઊર્જા એક કણની વિરામ દ્રવ્યમાન ઊર્જા જેટલી હોય છે.
તેથી,દરેક ફોટોનની ઊર્જા $E = 8.2 \times 10^{-14} \, \text{J}$ છે.

(D) આપેલ ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા: $_3{Li}^7 + _1H^1 \rightarrow 2 \, _2{He}^4$ છે.
પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઊર્જા:
$BE_{reactants} = (7 \times 5.60) + (0) = 39.2 \, MeV$ (કારણ કે પ્રોટોનની બંધન ઊર્જા $0$ હોય છે).
નિપજોની કુલ બંધન ઊર્જા:
$BE_{products} = 2 \times (4 \times 7.06) = 2 \times 28.24 = 56.48 \, MeV$.
મુક્ત થતી ઊર્જા $(Q)$ એ નિપજો અને પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઊર્જાનો તફાવત છે:
$Q = BE_{products} - BE_{reactants}$
$Q = 56.48 \, MeV - 39.2 \, MeV = 17.28 \, MeV \approx 17.3 \, MeV$.

(A) ન્યુક્લિયસની બંધન-ઊર્જા $(BE)$ એ દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ ના સમતુલ્ય ઊર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
દળ ક્ષતિ એ વ્યક્તિગત ન્યુક્લિયોન્સના દળના સરવાળા અને ન્યુક્લિયસના વાસ્તવિક દળ વચ્ચેનો તફાવત છે.
પ્રોટોનની સંખ્યા = $Z$.
ન્યુટ્રોનની સંખ્યા = $A - Z$.
ન્યુક્લિયોન્સનું કુલ દળ = $ZM_p + (A - Z)M_n$.
દળ ક્ષતિ $\Delta m = [ZM_p + (A - Z)M_n - M(A, Z)]$.
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતા સંબંધ $E = mc^2$ નો ઉપયોગ કરતા, બંધન-ઊર્જા $BE = \Delta m c^2$ થાય છે.
તેથી, $BE = [ZM_p + (A - Z)M_n - M(A, Z)]c^2$.

(B) ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $(m_e)$ એ પોઝિટ્રોનના દળ $(m_p)$ જેટલું જ હોય છે,જે $9.1 \times 10^{-31} \, kg$ છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન અને પોઝિટ્રોન એકબીજા સાથે સંલગ્ન થાય છે,ત્યારે તેમનું કુલ દળ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
કુલ દળ $M = m_e + m_p = 2 \times 9.1 \times 10^{-31} \, kg = 18.2 \times 10^{-31} \, kg$ થાય છે.
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાના સૂત્ર $E = Mc^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ છે:
$E = (18.2 \times 10^{-31} \, kg) \times (3 \times 10^8 \, m/s)^2$
$E = 18.2 \times 10^{-31} \times 9 \times 10^{16} \, J$
$E = 163.8 \times 10^{-15} \, J = 1.638 \times 10^{-13} \, J$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,મુક્ત થતી ઊર્જા આશરે $1.6 \times 10^{-13} \, J$ છે.

(B) ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા $n \to p + e^- + \bar{\nu}$ છે.
પ્રક્રિયકનું દળ (ન્યુટ્રોન) $m_n = 1.6747 \times 10^{-27} \ kg$.
નીપજનું દળ (પ્રોટોન + ઈલેક્ટ્રોન) $m_p + m_e = (1.6725 \times 10^{-27} + 9 \times 10^{-31}) \ kg$.
$m_p + m_e = (1.6725 + 0.0009) \times 10^{-27} \ kg = 1.6734 \times 10^{-27} \ kg$.
દળ ક્ષતિ $\Delta m = m_n - (m_p + m_e) = (1.6747 - 1.6734) \times 10^{-27} \ kg = 0.0013 \times 10^{-27} \ kg = 1.3 \times 10^{-30} \ kg$.
મુક્ત થતી ઊર્જા $E = \Delta m c^2 = (1.3 \times 10^{-30}) \times (3 \times 10^8)^2 \ J$.
$E = 1.3 \times 10^{-30} \times 9 \times 10^{16} \ J = 11.7 \times 10^{-14} \ J$.
ઊર્જાને $MeV$ માં ફેરવવા માટે,$1.6 \times 10^{-13} \ J/MeV$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{11.7 \times 10^{-14}}{1.6 \times 10^{-13}} \ MeV = \frac{1.17}{1.6} \ MeV \approx 0.73 \ MeV$.

(D) $1\, amu$ ને કાર્બન-$12$ પરમાણુના દળના $1/12$ ભાગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાના સંબંધ $E = mc^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $m = 1.660539 \times 10^{-27}\, kg$ અને $c = 2.99792458 \times 10^8\, m/s$ છે:
$E = (1.660539 \times 10^{-27}\, kg) \times (2.99792458 \times 10^8\, m/s)^2$
$E \approx 1.4924 \times 10^{-10}\, J$
આ ઊર્જાને $MeV$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે તેને $1.60218 \times 10^{-13}\, J/MeV$ વડે ભાગીએ છીએ:
$E = \frac{1.4924 \times 10^{-10}}{1.60218 \times 10^{-13}}\, MeV \approx 931.5\, MeV$.
તેથી,$1\, amu$ એ આશરે $931.5\, MeV$ ઊર્જાને સમતુલ્ય છે.

(B) દળ ક્ષતિ $\Delta m$ એ પ્રારંભિક દળ અને અંતિમ દળ વચ્ચેના તફાવત દ્વારા મળે છે.
$\Delta m = 1 \,g - 0.993 \,g = 0.007 \,g = 0.007 \times 10^{-3} \,kg = 7 \times 10^{-6} \,kg$.
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$E = \Delta m c^2$,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \,m/s$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
$E = (7 \times 10^{-6} \,kg) \times (3 \times 10^8 \,m/s)^2$.
$E = 7 \times 10^{-6} \times 9 \times 10^{16} \,J$.
$E = 63 \times 10^{10} \,J$.

(C) ${O^{17}}$ માંથી ન્યુટ્રોન દૂર કરવાની ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા આ મુજબ છે: ${O^{17}} \to {O^{16}} + {n^1}$.
ન્યુક્લિયસની કુલ બંધનઊર્જા નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે: $BE = (\text{ન્યુક્લિઓનની સંખ્યા}) \times (\text{ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધનઊર્જા})$.
${O^{17}}$ ની કુલ બંધનઊર્જા $= 17 \times 7.75 \, MeV = 131.75 \, MeV$.
${O^{16}}$ ની કુલ બંધનઊર્જા $= 16 \times 7.97 \, MeV = 127.52 \, MeV$.
ન્યુટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા એ કુલ બંધનઊર્જાનો તફાવત છે: $\Delta E = BE({O^{17}}) - BE({O^{16}})$.
$\Delta E = 131.75 \, MeV - 127.52 \, MeV = 4.23 \, MeV$.

(C) જો પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઊર્જા કરતા નીપજોની કુલ બંધન ઊર્જા વધારે હોય,તો ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયામાં ઊર્જા મુક્ત થાય છે.
ચાલો વિકલ્પ $C$ તપાસીએ: $W \rightarrow 2Y$.
પ્રક્રિયક $W$ માટે $(A=120, B_N=7.5 \, MeV)$: કુલ બંધન ઊર્જા $= 120 \times 7.5 = 900 \, MeV$.
નીપજ $2Y$ માટે $(A=60, B_N=8.5 \, MeV)$: કુલ બંધન ઊર્જા $= 2 \times (60 \times 8.5) = 1020 \, MeV$.
અહીં $1020 \, MeV > 900 \, MeV$ હોવાથી,આ પ્રક્રિયામાં ઊર્જા મુક્ત થશે.

(A) ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા $(B.E.)$ એ દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ ના સમતુલ્ય ઉર્જા છે.
દળ ક્ષતિ એ વ્યક્તિગત ન્યુક્લિયોન્સ (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન) ના દળના સરવાળા અને ન્યુક્લિયસના વાસ્તવિક દળ વચ્ચેનો તફાવત છે.
પ્રોટોનની સંખ્યા = $Z$
ન્યુટ્રોનની સંખ્યા = $A - Z$
દળ ક્ષતિ $\Delta m = [Z M_p + (A - Z) M_n - M(A, Z)]$
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ, $B.E. = \Delta m c^2$.
તેથી, $B.E. = [Z M_p + (A - Z) M_n - M(A, Z)] c^2$.

(A) બંધન ઉર્જા $(BE)$ એ દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ ને સમતુલ્ય ઉર્જા છે,જે ન્યુક્લિયસના ઘટક ન્યુક્લિયોન્સના કુલ દળ અને ન્યુક્લિયસના વાસ્તવિક દળ વચ્ચેનો તફાવત છે.
દળ ક્ષતિ $\Delta m = [ZM_p + (A-Z)M_n] - M(A, Z)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$BE = \Delta m \times c^2$.
$\Delta m$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા,આપણને $BE = [ZM_p + (A-Z)M_n - M(A, Z)] \times c^2$ મળે છે.
$c^2$ વડે ભાગતા,$BE/c^2 = ZM_p + (A-Z)M_n - M(A, Z)$ મળે છે.
$M(A, Z)$ માટે પદોની ગોઠવણી કરતા,$M(A, Z) = ZM_p + (A-Z)M_n - BE/c^2$ મળે છે.
આમ,સાચો સંબંધ $M(A, Z) = ZM_p + (A-Z)M_n - BE/c^2$ છે.

(B) ${}_{3}^{7}Li$ ન્યુક્લિયસ માટે,દળ ક્ષતિ $\Delta M = 0.042 \, u$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \, u = 931.5 \, MeV/c^2$.
તેથી,કુલ બંધન ઉર્જા $E_b$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$E_b = \Delta M \times 931.5 \, MeV/u = 0.042 \times 931.5 \, MeV \approx 39.123 \, MeV$.
${}_{3}^{7}Li$ માં ન્યુક્લિઓન્સની સંખ્યા $A = 7$ છે.
ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઉર્જા $E_{bn} = \frac{E_b}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E_{bn} = \frac{39.123 \, MeV}{7} \approx 5.589 \, MeV \approx 5.6 \, MeV$.

(D) ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા $BE = (\text{ન્યુક્લિયોનની સંખ્યા}) \times (\text{ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
${}_3^7Li$ માટે: $BE_1 = 7 \times 5.60\,MeV = 39.2\,MeV$.
${}_1^1H$ માટે: તેની બંધન ઉર્જા $0\,MeV$ છે કારણ કે તે એક પ્રોટોન છે.
$2{}_2^4He$ માટે: $BE_2 = 2 \times (4 \times 7.06\,MeV) = 2 \times 28.24\,MeV = 56.48\,MeV$.
મુક્ત થતી ઉર્જા $Q$ એ નીપજો અને પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે:
$Q = BE_{\text{products}} - BE_{\text{reactants}}$
$Q = 56.48\,MeV - (39.2\,MeV + 0\,MeV)$
$Q = 17.28\,MeV \approx 17.3\,MeV$.

(B) પરમાણુ પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી ઉર્જા એ નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા અને પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા વચ્ચેના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રક્રિયક $X$ ની કુલ બંધન ઉર્જા $= 200 \times 7.4 \, MeV = 1480 \, MeV$.
નીપજો $A$ અને $B$ ની કુલ બંધન ઉર્જા $= (110 \times 8.2 \, MeV) + (90 \times 8.2 \, MeV) = (110 + 90) \times 8.2 \, MeV = 200 \times 8.2 \, MeV = 1640 \, MeV$.
મુક્ત થતી ઉર્જા $Q = (\text{નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા}) - (\text{પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા})$.
$Q = 1640 \, MeV - 1480 \, MeV = 160 \, MeV$.

(A) $C^{13}$ માંથી ન્યુટ્રોન દૂર કરવાની ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે: $C^{13} + \text{Energy} \rightarrow C^{12} + n$.
ન્યુક્લિયસની કુલ બંધન ઉર્જા એ ન્યુક્લિયોનની સંખ્યા $(A)$ અને ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $(BE/A)$ ના ગુણાકાર તરીકે ગણવામાં આવે છે.
$C^{13}$ ની કુલ બંધન ઉર્જા $= 13 \times 7.5 \text{ MeV} = 97.5 \text{ MeV}$.
$C^{12}$ ની કુલ બંધન ઉર્જા $= 12 \times 7.68 \text{ MeV} = 92.16 \text{ MeV}$.
ન્યુટ્રોન દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા એ $C^{13}$ અને $C^{12}$ ની કુલ બંધન ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\text{Energy} = (13 \times 7.5) - (12 \times 7.68) \text{ MeV}$.
$\text{Energy} = 97.5 - 92.16 = 5.34 \text{ MeV}$.

(D) ડ્યુટેરોનની દળ-ઉર્જા $E_d = 1876 \, MeV$ છે.
પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનની સંયુક્ત દળ-ઉર્જા $E_p + E_n = 939 \, MeV + 940 \, MeV = 1879 \, MeV$ છે.
ડ્યુટેરોનને પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનમાં વિઘટિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $\Delta E = (E_p + E_n) - E_d = 1879 \, MeV - 1876 \, MeV = 3 \, MeV$ છે.
ડ્યુટેરોન તેના ઘટકોના સરવાળા કરતા ઓછી ઉર્જા ધરાવતું હોવાથી,વિઘટન માટે તેણે બહારના સ્ત્રોતમાંથી ઉર્જાનું શોષણ કરવું પડે.
તેથી,વિઘટન માટે જરૂરી બંધન ઉર્જા પૂરી પાડવા માટે ડ્યુટેરોને $3 \, MeV$ ઉર્જાનો $\gamma$-કિરણ ફોટોન શોષવો પડે.

(D) હલકા ન્યુક્લિયસ માટે,પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનની સંખ્યા લગભગ સમાન હોય છે,તેથી ન્યુટ્રોન-પ્રોટોન ગુણોત્તર આશરે $1$ હોય છે. જેમ પરમાણુ ક્રમાંક $A$ વધે છે,તેમ પ્રોટોન વચ્ચેનું કુલંબ અપાકર્ષણ વધે છે,જેના કારણે સ્થિરતા જાળવવા માટે વધારાના ન્યુક્લિયર બળની જરૂર પડે છે,જેથી ગુણોત્તર $1$ થી વધી જાય છે.
બંધન ઉર્જાના સંદર્ભમાં,હલકા ન્યુક્લિયસ માટે,દળ ક્રમાંક વધવાની સાથે ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા વધે છે,જે $Fe$ $(A \approx 56)$ જેવા ન્યુક્લિયસ માટે મહત્તમ બને છે. ભારે ન્યુક્લિયસ માટે,પ્રોટોન વચ્ચે વધતા કુલંબ અપાકર્ષણને કારણે ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા ઘટે છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(D) ન્યુક્લિયસનું દળ હંમેશા તેના ઘટક ન્યુક્લિયોન્સના દળના સરવાળા કરતા ઓછું હોય છે,જે દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ ને કારણે છે,જે બંધન ઉર્જા $(B.E.)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
${}_{10}^{20}Ne$ માટે,$M_1 < 10(m_p + m_n)$.
${}_{20}^{40}Ca$ માટે,$M_2 < 20(m_p + m_n)$.
કારણ કે ${}_{20}^{40}Ca$ માટે ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા ${}_{10}^{20}Ne$ કરતા વધારે છે,તેથી ${}_{20}^{40}Ca$ માટે ન્યુક્લિયોન દીઠ દળ ક્ષતિ વધારે છે.
તેથી,${}_{20}^{40}Ca$ ન્યુક્લિયસનું દળ ${}_{10}^{20}Ne$ ન્યુક્લિયસના દળ કરતા બમણા કરતા થોડું ઓછું છે,એટલે કે $M_2 < 2M_1$.

(C) ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા એ ન્યુક્લિઓન્સની સંખ્યા અને ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઉર્જાના ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$_3^7Li$ માટે,કુલ બંધન ઉર્જા $7 \times 5.60 \, MeV = 39.20 \, MeV$ છે.
$_2^4He$ માટે,એક ન્યુક્લિયસની કુલ બંધન ઉર્જા $4 \times 7.06 \, MeV = 28.24 \, MeV$ છે.
પ્રક્રિયા $p + {}_3^7Li \to 2 {}_2^4He$ માં,કુલ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થવું જોઈએ.
પ્રોટોનની ઉર્જા $(E_p)$ વત્તા પ્રક્રિયક ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા એ નીપજ ન્યુક્લિયસની કુલ બંધન ઉર્જા જેટલી હોવી જોઈએ.
$E_p + 39.20 \, MeV = 2 \times (28.24 \, MeV)$.
$E_p + 39.20 = 56.48$.
$E_p = 56.48 - 39.20 = 17.28 \, MeV$.

(C) ન્યુક્લિયસની ન્યુક્લિયર બંધન ઉર્જા એ દળ ક્ષતિ (mass defect) ના સમતુલ્ય ઉર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B.E. = \Delta m c^2 = (\text{ન્યુક્લિઓન્સનું દળ} - \text{ન્યુક્લિયસનું દળ}) c^2$
જ્યાં $\Delta m$ એ દળ ક્ષતિ છે.
ઓક્સિજન આઈસોટોપ $_8O^{17}$ માટે:
પ્રોટોનની સંખ્યા $(p)$ = $8$
ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $(n)$ = $17 - 8 = 9$
ન્યુક્લિઓન્સનું કુલ દળ = $8 M_p + 9 M_n$
ન્યુક્લિયસનું દળ = $M_o$
તેથી,બંધન ઉર્જા:
$B.E. = (8 M_p + 9 M_n - M_o) c^2$

(A) જો ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયામાં નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા કરતા વધારે હોય, તો ઉર્જા મુક્ત થાય છે $(\varepsilon > 0)$.
$1$. પ્રક્રિયા $(i)$, $A + B \to C + \varepsilon$ માટે: ન્યુક્લિયસ $C$ ની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $A$ અને $B$ કરતા વધારે છે. આમ, નીપજ $C$ ની કુલ બંધન ઉર્જા એ $A$ અને $B$ ની બંધન ઉર્જાના સરવાળા કરતા વધારે છે. તેથી, $\varepsilon > 0$.
$2$. પ્રક્રિયા $(iv)$, $F \to D + E + \varepsilon$ માટે: ન્યુક્લિયસ $D$ અને $E$ ની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $F$ કરતા વધારે છે. આમ, નીપજો $D$ અને $E$ ની કુલ બંધન ઉર્જા એ પ્રક્રિયક $F$ ની બંધન ઉર્જા કરતા વધારે છે. તેથી, $\varepsilon > 0$.
આમ, પ્રક્રિયા $(i)$ અને $(iv)$ માં $\varepsilon$ ધન છે.

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,વિઘટન પહેલાની કુલ ઉર્જા એ વિઘટન પછીની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
પ્રારંભિક ઉર્જા એ સ્થિર દળ ઉર્જા છે: $E_i = (M + \Delta m)c^2$.
અંતિમ ઉર્જા એ બે ડોટર ન્યુક્લિયસની સ્થિર દળ ઉર્જા અને તેમની ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે: $E_f = 2 \times (\frac{M}{2})c^2 + 2 \times (\frac{1}{2} \times \frac{M}{2} \times v^2)$.
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા:
$(M + \Delta m)c^2 = Mc^2 + \frac{M}{2}v^2$.
બંને બાજુથી $Mc^2$ બાદ કરતા:
$\Delta m c^2 = \frac{M}{2}v^2$.
$v$ માટે ઉકેલતા:
$v^2 = \frac{2 \Delta m c^2}{M} \Rightarrow v = c \sqrt{\frac{2 \Delta m}{M}}$.

(D) ન્યુક્લિયર ક્ષય અથવા વિખંડન પ્રક્રિયામાં,તંત્ર વધુ સ્થાયી અવસ્થા તરફ ગતિ કરે છે.
સ્થિરતા ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
જે ન્યુક્લિયસની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા વધારે હોય તે વધુ સ્થાયી હોય છે.
કારણ કે પિતૃ ન્યુક્લિયસ બે ડોટર ન્યુક્લિયસમાં વિભાજિત થાય છે,તેથી ઉર્જા મુક્ત થવાની શરત સંતોષવા માટે ડોટર ન્યુક્લિયસ પિતૃ ન્યુક્લિયસ કરતા વધુ સ્થાયી હોવા જોઈએ.
તેથી,ડોટર ન્યુક્લિયસની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $(E_2)$ એ પિતૃ ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા $(E_1)$ કરતા વધારે હોવી જોઈએ.
આમ,$E_2 > E_1$.

(D) ન્યુક્લિયસ વધુ સ્થિર અવસ્થા પ્રાપ્ત કરવા માટે ક્ષય પામે છે. રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય ત્યારે થાય છે જ્યારે પિતૃ ન્યુક્લિયસની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા તેની નીપજો કરતા ઓછી હોય,જે પિતૃ ન્યુક્લિયસને અસ્થિર બનાવે છે. તેથી,આ વિધાન કે 'ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા તેના નીપજો કરતા વધારે છે' તે ખોટું છે,કારણ કે આનો અર્થ એ થાય કે ન્યુક્લિયસ તેના સંભવિત ક્ષય નીપજો કરતા પહેલેથી જ વધુ સ્થિર અવસ્થામાં છે.

(A) $^{11}_{6}C$ માટે $\beta^+$-ક્ષયનું સમીકરણ:
$^{11}_{6}C \longrightarrow ^{11}_{5}B + ^{0}_{+1}e + \nu + Q$
$Q$-મૂલ્યની ગણતરી કરવા માટે,આપણે પરમાણુ દળનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. $^{A}_{Z}X$ ન્યુક્લિયસનો $^{A}_{Z-1}Y$ માં $\beta^+$ ઉત્સર્જન દ્વારા ક્ષય નીચે મુજબ છે:
$Q = [m(^{A}_{Z}X) - m(^{A}_{Z-1}Y) - 2m_e]c^2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$Q = [11.011434 \ u - 11.009305 \ u - 2(0.000548 \ u)] \times 931.5 \ MeV/u$
$Q = [11.011434 - 11.009305 - 0.001096] \times 931.5 \ MeV$
$Q = [0.001033] \times 931.5 \ MeV$
$Q \approx 0.962 \ MeV$

(C) કોઈપણ ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા સ્વયંભૂ થવા માટે,નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા કરતા વધારે હોવી જોઈએ,એટલે કે $Q$-મૂલ્ય ધન હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે અંતિમ નીપજો પ્રારંભિક પ્રક્રિયકો કરતા વધુ સ્થિર (ન્યુક્લિયોન દીઠ વધુ બંધન ઉર્જા) હોવી જોઈએ.
ધારો કે $BE_A, BE_B, BE_C, BE_D$ એ અનુક્રમે ન્યુક્લિયસ $A, B, C, D$ માટે ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા છે.
આલેખ પરથી:
$BE_A = 8.1 \text{ MeV}$,$BE_B = 8.7 \text{ MeV}$,$BE_C = 8.4 \text{ MeV}$,$BE_D = 8.0 \text{ MeV}$.
$(A)$ $C \to 2B$: પ્રારંભિક $BE = 120 \times 8.4 = 1008 \text{ MeV}$. અંતિમ $BE = 2 \times (60 \times 8.7) = 1044 \text{ MeV}$. $1044 > 1008$ હોવાથી,આ પ્રક્રિયા સ્વયંભૂ છે.
$(B)$ $D \to B+C$: પ્રારંભિક $BE = 180 \times 8.0 = 1440 \text{ MeV}$. અંતિમ $BE = (60 \times 8.7) + (120 \times 8.4) = 522 + 1008 = 1530 \text{ MeV}$. $1530 > 1440$ હોવાથી,આ પ્રક્રિયા સ્વયંભૂ છે.
$(C)$ $B \to 2A$: પ્રારંભિક $BE = 60 \times 8.7 = 522 \text{ MeV}$. અંતિમ $BE = 2 \times (30 \times 8.1) = 486 \text{ MeV}$. $486 < 522$ હોવાથી,આ પ્રક્રિયા સ્વયંભૂ નથી.
તેથી,પ્રક્રિયા $B \to 2A$ સ્વયંભૂ રીતે આગળ વધશે નહીં.

(B) સિસ્ટમની પ્રારંભિક ઉર્જા એ ન્યુક્લિયસ $X^A$ ની દળ ઉર્જા અને ન્યુટ્રોનની ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે.
ધારો કે $X^A$ ની બંધન ઉર્જા $BE_X$ છે,તેથી $BE_X = 8A \ MeV$.
પ્રક્રિયા પહેલાની કુલ ઉર્જા $E_i = (M_X + m_n)c^2 + K_n = (M_X c^2 + m_n c^2) + 2 \ MeV$ છે.
$BE = Z m_p c^2 + N m_n c^2 - M c^2$ હોવાથી,આપણી પાસે $M_X c^2 = Z m_p c^2 + (A-Z) m_n c^2 - 8A$ છે.
પ્રક્રિયા પછીની કુલ ઉર્જા $E_f = M_Y c^2 + E_{\gamma 1} + E_{\gamma 2} = M_Y c^2 + 1 + 4 = M_Y c^2 + 5 \ MeV$ છે.
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા:
$(M_X c^2 + m_n c^2) + 2 = M_Y c^2 + 5$
$M_Y c^2 = M_X c^2 + m_n c^2 - 3$.
બંધન ઉર્જાના સંદર્ભમાં દળના સમીકરણો મૂકતા:
$(A+1) BE_Y = 8A + 3$.
તેથી,$Y$ ની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $BE_Y = \frac{8A + 3}{A + 1} \ MeV$ છે.

(B) ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયાનું $Q$-મૂલ્ય એ નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા અને પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા વચ્ચેના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Q = (BE_{\text{products}}) - (BE_{\text{reactants}})$
અહીં,પ્રક્રિયકો બે ડ્યુટેરોન $(1H^2)$ છે અને નીપજો એક ન્યુટ્રોન $(0n^1)$ અને એક હિલિયમ-$3$ ન્યુક્લિયસ $(2He^3)$ છે.
ન્યુટ્રોનની બંધન ઉર્જા $0 \ MeV$ છે.
તેથી,$Q = (BE(2He^3) + BE(0n^1)) - (2 \times BE(1H^2))$.
આપેલ છે કે $Q = 3.27 \ MeV$,$BE(1H^2) = 2.23 \ MeV$,અને $BE(0n^1) = 0 \ MeV$.
$3.27 = BE(2He^3) + 0 - (2 \times 2.23)$.
$3.27 = BE(2He^3) - 4.46$.
$BE(2He^3) = 3.27 + 4.46 = 7.73 \ MeV$.

(B) ફોટોનનું વેગમાન $p = \frac{E}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E = 7 \, MeV = 7 \times 10^6 \, eV$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ન્યુક્લિયસનું રિકોઈલ વેગમાન $p_N$ એ ફોટોનના વેગમાન $p_{Ph}$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$p_N = p_{Ph} = \frac{E}{c}$.
ન્યુક્લિયસની રિકોઈલ ગતિ ઉર્જા $K = \frac{p_N^2}{2M}$ છે.
$p_N = \frac{E}{c}$ મૂકતા,આપણને $K = \frac{E^2}{2Mc^2}$ મળે છે.
અહીં $M = 24 \, amu$ આપેલ છે. $1 \, amu \approx 931.5 \, MeV/c^2$ હોવાથી,$Mc^2 = 24 \times 931.5 \, MeV = 22356 \, MeV$ થાય.
હવે,$K = \frac{(7 \, MeV)^2}{2 \times 22356 \, MeV} = \frac{49}{44712} \, MeV$.
$K \approx 0.0010959 \, MeV$.
$1000$ વડે ગુણીને $keV$ માં ફેરવતા: $K \approx 1.0959 \, keV \approx 1.1 \, keV$.

(A) ન્યુક્લિયર ક્ષયમાં મુક્ત થતી ઉર્જા એ તંત્રની બંધન ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલી હોય છે.
$X$ ની પ્રારંભિક બંધન ઉર્જા $= 6A \ MeV$ છે.
$Y$ ની અંતિમ બંધન ઉર્જા $= BE_Y$ (જ્યાં $BE_Y$ એ ન્યુક્લિયસ $Y$ ની કુલ બંધન ઉર્જા છે).
ઇલેક્ટ્રોન અને એન્ટિન્યુટ્રિનોની બંધન ઉર્જા નહિવત હોવાથી, નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા $BE_Y$ થશે.
મુક્ત થતી ઉર્જા ($Q$-મૂલ્ય) એ બંધન ઉર્જાના તફાવત દ્વારા મળે છે: $Q = BE_{\text{અંતિમ}} - BE_{\text{પ્રારંભિક}}$.
અહીં $Q = 3 \ MeV$ આપેલ છે, તેથી:
$3 = BE_Y - 6A$
$BE_Y = 6A + 3$.
આમ, $Y$ ની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $\frac{BE_Y}{A} = \frac{6A + 3}{A}$ થશે.

(C) જો ન્યુક્લિયર પ્રતિક્રિયામાં નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા કરતા વધારે હોય,તો ઉર્જા મુક્ત થાય છે $(\varepsilon > 0)$. આ એક એવી પ્રક્રિયા છે જેમાં સિસ્ટમ ન્યુક્લિયોન દીઠ ઉચ્ચ બંધન ઉર્જા $(E_b/A)$ ધરાવતી સ્થિતિ તરફ આગળ વધે છે.
$1$. પ્રતિક્રિયા $(i)$,$A + B \to C$ માં,નીપજ $C$ ની $E_b/A$ એ પ્રક્રિયકો $A$ અને $B$ કરતા વધારે છે. તેથી,ઉર્જા મુક્ત થાય છે $(\varepsilon > 0)$.
$2$. પ્રતિક્રિયા $(iv)$,$F \to D + E$ માં,નીપજો $D$ અને $E$ ની $E_b/A$ એ પ્રક્રિયક $F$ કરતા વધારે છે. તેથી,ઉર્જા મુક્ત થાય છે $(\varepsilon > 0)$.
આમ,પ્રતિક્રિયા $(i)$ અને $(iv)$ માં $\varepsilon$ ધન છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$E = mc^2$.
અહીં દળ $m = 1\,mg = 1 \times 10^{-6}\,kg$ આપેલ છે.
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8\,m/s$ છે.
$E = (1 \times 10^{-6}\,kg) \times (3 \times 10^8\,m/s)^2 = 9 \times 10^{10}\,J$.
જૂલને $eV$ માં ફેરવવા માટે $1.6 \times 10^{-19}\,J/eV$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{9 \times 10^{10}}{1.6 \times 10^{-19}}\,eV = 5.625 \times 10^{29}\,eV$.
$1\,MeV = 10^6\,eV$ હોવાથી:
$E = \frac{5.625 \times 10^{29}}{10^6}\,MeV = 5.625 \times 10^{23}\,MeV$.

(D) આપેલ ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા: $_{1}^{2}H + {}_{1}^{2}H \to {}_{2}^{4}He + Q$ છે.
$_{1}^{2}H$ માટે ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $x_1$ છે. ડ્યુટેરોનમાં $2$ ન્યુક્લિયોન હોવાથી,એક ડ્યુટેરોનની કુલ બંધન ઉર્જા $2x_1$ થાય.
$_{2}^{4}He$ માટે ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $x_2$ છે. $\alpha -$ કણમાં $4$ ન્યુક્લિયોન હોવાથી,એક $\alpha -$ કણની કુલ બંધન ઉર્જા $4x_2$ થાય.
ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી ઉર્જા $(Q)$ એ નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા અને પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા વચ્ચેના તફાવત જેટલી હોય છે.
$Q = (\text{નીપજોની કુલ બંધન ઉર્જા}) - (\text{પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા})$
$Q = (4x_2) - (2x_1 + 2x_1)$
$Q = 4x_2 - 4x_1 = 4(x_2 - x_1)$.

(C) ન્યુક્લિયસની દળ ક્ષતિ $\Delta m$ એ તેના ઘટક ન્યુક્લિયોન્સના દળના સરવાળા અને ન્યુક્લિયસના વાસ્તવિક દળ વચ્ચેના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta m = [ZM_p + (A - Z)M_n] - M(A, Z)$.
બંધન ઉર્જા $BE$ એ દળ ક્ષતિ સાથે $BE = \Delta m \cdot c^2$ સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે,જેનો અર્થ છે કે $\Delta m = BE/c^2$.
આ કિંમતને દળ ક્ષતિના સમીકરણમાં મૂકતા: $BE/c^2 = [ZM_p + (A - Z)M_n] - M(A, Z)$.
ન્યુક્લિયર દળ $M(A, Z)$ માટે પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $M(A, Z) = [ZM_p + (A - Z)M_n] - BE/c^2$.