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Mix Examples-Moving Charges and Magnetism Questions in Hindi
Class 12 Physics · Moving Charges and Magnetism · Mix Examples-Moving Charges and Magnetism
105+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 48 of 105 questions in Hindi
51
DifficultMCQ
एक लंबे,सीधे तार को $10\,cm$ त्रिज्या के लूप में मोड़ा जाता है (चित्र देखें)। यदि लूप से $8\,A$ की धारा प्रवाहित की जाती है,तो लूप के केंद्र $C$ पर चुंबकीय क्षेत्र का मान और उसकी दिशा लगभग क्या होगी?
A
$5.0 \times 10^{-5} \,T$,बाहर की ओर
B
$3.4 \times 10^{-5} \,T$,बाहर की ओर
C
$1.6 \times 10^{-5} \,T$,अंदर की ओर
D
$1.6 \times 10^{-5} \,T$,बाहर की ओर
Solution
(B) $i$ धारा ले जाने वाले वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मान $B_{\text{loop}} = \frac{\mu_0 i}{2r}$ (बाहर की ओर) होता है।
$r$ दूरी पर एक लंबे सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मान $B_{\text{wire}} = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ (अंदर की ओर) होता है।
दिया गया है: $i = 8\,A$,$r = 10\,cm = 0.1\,m$.
केंद्र $C$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_C = B_{\text{loop}} - B_{\text{wire}}$ है।
$B_C = \frac{\mu_0 i}{2r} - \frac{\mu_0 i}{2\pi r} = \frac{\mu_0 i}{2r} \left(1 - \frac{1}{\pi}\right)$.
मान रखने पर:
$B_C = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 8}{2 \times 0.1} \left(1 - \frac{1}{3.14}\right)$.
$B_C = \frac{4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 8}{0.2} \times \left(\frac{2.14}{3.14}\right)$.
$B_C = 160 \times 10^{-7} \times 2.14 = 342.4 \times 10^{-7} = 3.424 \times 10^{-5} \,T$.
चूंकि $B_{\text{loop}} > B_{\text{wire}}$,इसलिए दिशा बाहर की ओर होगी।
$r$ दूरी पर एक लंबे सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मान $B_{\text{wire}} = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ (अंदर की ओर) होता है।
दिया गया है: $i = 8\,A$,$r = 10\,cm = 0.1\,m$.
केंद्र $C$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_C = B_{\text{loop}} - B_{\text{wire}}$ है।
$B_C = \frac{\mu_0 i}{2r} - \frac{\mu_0 i}{2\pi r} = \frac{\mu_0 i}{2r} \left(1 - \frac{1}{\pi}\right)$.
मान रखने पर:
$B_C = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 8}{2 \times 0.1} \left(1 - \frac{1}{3.14}\right)$.
$B_C = \frac{4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 8}{0.2} \times \left(\frac{2.14}{3.14}\right)$.
$B_C = 160 \times 10^{-7} \times 2.14 = 342.4 \times 10^{-7} = 3.424 \times 10^{-5} \,T$.
चूंकि $B_{\text{loop}} > B_{\text{wire}}$,इसलिए दिशा बाहर की ओर होगी।
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MediumMCQ
समानांतर धारावाही तारों के एक जोड़े के लिए चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं का सही रेखाचित्र चुनें,जिसमें एक तार में धारा तल के अंदर $(\otimes)$ और दूसरे में तल के बाहर $(\odot)$ बह रही है।
A
B
C
D
Solution
(D) दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,तल के अंदर $(\otimes)$ धारा ले जाने वाले तार के लिए,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं उसके चारों ओर दक्षिणावर्त (clockwise) वृत्त बनाती हैं।
तल के बाहर $(\odot)$ धारा ले जाने वाले तार के लिए,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं उसके चारों ओर वामावर्त (counter-clockwise) वृत्त बनाती हैं।
जब इन दोनों तारों को अगल-बगल रखा जाता है,तो उनके बीच चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं एक ही दिशा में जुड़ जाती हैं,जबकि बाहर की ओर वे एक-दूसरे को निरस्त करती हैं या दोनों तारों के चारों ओर लूप बनाती हैं।
विशेष रूप से,क्षेत्र रेखाएं $\odot$ तार से निकलकर $\otimes$ तार में प्रवेश करती हैं,जिससे एक ऐसा पैटर्न बनता है जहां रेखाएं चित्र $823-$d652 में दिखाए अनुसार दोनों तारों के चारों ओर लूप बनाती हैं।
तल के बाहर $(\odot)$ धारा ले जाने वाले तार के लिए,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं उसके चारों ओर वामावर्त (counter-clockwise) वृत्त बनाती हैं।
जब इन दोनों तारों को अगल-बगल रखा जाता है,तो उनके बीच चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं एक ही दिशा में जुड़ जाती हैं,जबकि बाहर की ओर वे एक-दूसरे को निरस्त करती हैं या दोनों तारों के चारों ओर लूप बनाती हैं।
विशेष रूप से,क्षेत्र रेखाएं $\odot$ तार से निकलकर $\otimes$ तार में प्रवेश करती हैं,जिससे एक ऐसा पैटर्न बनता है जहां रेखाएं चित्र $823-$d652 में दिखाए अनुसार दोनों तारों के चारों ओर लूप बनाती हैं।
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DifficultMCQ
दो छोटी वृत्ताकार कुंडलियों (जिनमें से किसी में भी स्व-प्रेरकत्व नहीं है) में से एक को $V$-आकार के तांबे के तार से लटकाया गया है,जिसका तल क्षैतिज है। दूसरी कुंडली को पहली कुंडली के ठीक नीचे उसके तल को क्षैतिज रखते हुए रखा गया है। दोनों कुंडलियों को एक $dc$ आपूर्ति के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा गया है। कुंडलियाँ एक बल के साथ एक-दूसरे को आकर्षित करती हैं। निम्नलिखित में से कौन सा कथन गलत है?
A
दोनों कुंडलियों में धारा एक ही दिशा में बहती है।
B
यदि आपूर्ति एक $ac$ स्रोत है,तब भी कुंडलियाँ एक-दूसरे को आकर्षित करेंगी।
C
बल $d^{-1}$ के समानुपाती है।
D
बल $d^{-2}$ के समानुपाती है।
Solution
(C) जब दो समानांतर वृत्ताकार कुंडलियों में एक ही दिशा में विद्युत धारा प्रवाहित होती है,तो वे एक-दूसरे को आकर्षित करती हैं। चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए दोनों में धारा $I$ समान रहती है। दो चुंबकीय द्विध्रुवों के बीच का बल $F$,जो $d$ दूरी पर स्थित हैं,सामान्यतः $d^{-4}$ के समानुपाती होता है,लेकिन निकट क्षेत्र सन्निकटन में दो समानांतर धारावाही लूपों के बीच का बल $d^{-2}$ के समानुपाती होता है। अतः,यह कथन कि बल $d^{-1}$ के समानुपाती है,गलत है।
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MediumMCQ
$X-$ अक्ष के अनुदिश $J_x$ घनत्व वाली धारा ले जाने वाले एक धातु के नमूने को $B_z$ चुंबकीय क्षेत्र ($z-$ अक्ष के अनुदिश) में रखा जाता है। $Y-$ अक्ष के अनुदिश उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E_y$,$J_x$ और $B_z$ के सीधे समानुपाती है। समानुपातिकता नियतांक का $SI$ मात्रक क्या है?
A
$m^2/A$
B
$m^3/(A \cdot s)$
C
$m^2/(A \cdot s)$
D
$(A \cdot s)/m^3$
Solution
(B) हॉल प्रभाव के अनुसार,विद्युत क्षेत्र $E_y$ को $E_y = R_H J_x B_z$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_H$ हॉल नियतांक है।
समानुपातिकता नियतांक $K$ का मान $R_H = \frac{E_y}{J_x B_z}$ है।
$E_y$ का $SI$ मात्रक $V/m$ है।
$J_x$ का $SI$ मात्रक $A/m^2$ है।
$B_z$ का $SI$ मात्रक $T$ (टेस्ला) है,जहाँ $1 \ T = 1 \ N/(A \cdot m)$.
मात्रकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$K = \frac{V/m}{(A/m^2) \cdot (N/(A \cdot m))} = \frac{V/m}{N/m^3} = \frac{V \cdot m^2}{N}$.
चूँकि $V = (N \cdot m)/(A \cdot s)$,इसलिए:
$K = \frac{(N \cdot m / (A \cdot s)) \cdot m^2}{N} = \frac{m^3}{A \cdot s}$.
समानुपातिकता नियतांक $K$ का मान $R_H = \frac{E_y}{J_x B_z}$ है।
$E_y$ का $SI$ मात्रक $V/m$ है।
$J_x$ का $SI$ मात्रक $A/m^2$ है।
$B_z$ का $SI$ मात्रक $T$ (टेस्ला) है,जहाँ $1 \ T = 1 \ N/(A \cdot m)$.
मात्रकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$K = \frac{V/m}{(A/m^2) \cdot (N/(A \cdot m))} = \frac{V/m}{N/m^3} = \frac{V \cdot m^2}{N}$.
चूँकि $V = (N \cdot m)/(A \cdot s)$,इसलिए:
$K = \frac{(N \cdot m / (A \cdot s)) \cdot m^2}{N} = \frac{m^3}{A \cdot s}$.
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EasyMCQ
एक प्रोटॉन बीम उत्तर से दक्षिण की ओर जा रही है और एक इलेक्ट्रॉन बीम दक्षिण से उत्तर की ओर जा रही है। पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र की उपेक्षा करते हुए,इलेक्ट्रॉन बीम किस दिशा में विक्षेपित होगी (शून्य गुरुत्वाकर्षण मानते हुए):
A
प्रोटॉन बीम की ओर
B
प्रोटॉन बीम से दूर
C
ऊपर की ओर
D
नीचे की ओर
Solution
(A) $1$. प्रोटॉन बीम उत्तर से दक्षिण की ओर गति करती है,जो उत्तर से दक्षिण की ओर बहने वाली धारा $I_p$ के बराबर है।
$2$. इलेक्ट्रॉन बीम दक्षिण से उत्तर की ओर गति करती है,जिसका अर्थ है कि पारंपरिक धारा $I_e$ उत्तर से दक्षिण की ओर बहती है (क्योंकि इलेक्ट्रॉन का प्रवाह धारा की दिशा के विपरीत होता है)।
$3$. दोनों बीम एक ही दिशा (उत्तर से दक्षिण) में बहने वाली समानांतर धाराओं का प्रतिनिधित्व करती हैं।
$4$. एम्पीयर के नियम के अनुसार,एक ही दिशा में बहने वाली समानांतर धाराएं एक-दूसरे को आकर्षित करती हैं।
$5$. इसलिए,इलेक्ट्रॉन बीम प्रोटॉन बीम की ओर विक्षेपित होगी।
$2$. इलेक्ट्रॉन बीम दक्षिण से उत्तर की ओर गति करती है,जिसका अर्थ है कि पारंपरिक धारा $I_e$ उत्तर से दक्षिण की ओर बहती है (क्योंकि इलेक्ट्रॉन का प्रवाह धारा की दिशा के विपरीत होता है)।
$3$. दोनों बीम एक ही दिशा (उत्तर से दक्षिण) में बहने वाली समानांतर धाराओं का प्रतिनिधित्व करती हैं।
$4$. एम्पीयर के नियम के अनुसार,एक ही दिशा में बहने वाली समानांतर धाराएं एक-दूसरे को आकर्षित करती हैं।
$5$. इसलिए,इलेक्ट्रॉन बीम प्रोटॉन बीम की ओर विक्षेपित होगी।
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EasyMCQ
सही कथन को चिह्नित करें।
A
एक आवेशित कण को चुंबकीय क्षेत्र द्वारा त्वरित किया जा सकता है।
B
चुंबकीय क्षेत्र द्वारा आवेशित कण की गति बदली जा सकती है।
C
चुंबकीय क्षेत्र में रखे गए धारा लूप पर हमेशा शून्य बल कार्य करता है।
D
उपरोक्त में से कोई नहीं।
Solution
(A) एक आवेशित कण पर चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बल हमेशा वेग सदिश $\vec{v}$ के लंबवत होता है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र कण पर कोई कार्य नहीं करता है $(W = \vec{F} \cdot \vec{d} = 0)$।
परिणामस्वरूप,आवेशित कण की गतिज ऊर्जा और चाल स्थिर रहती है।
हालाँकि,वेग की दिशा बदल जाती है,जिसका अर्थ है कि कण त्वरित होता है (अभिकेंद्र त्वरण)।
इसलिए,एक चुंबकीय क्षेत्र एक आवेशित कण को त्वरित कर सकता है (उसके वेग सदिश को बदल सकता है) लेकिन उसकी चाल को नहीं बदल सकता है।
विकल्प $(C)$ के संबंध में,एक गैर-समान चुंबकीय क्षेत्र में रखे गए धारा लूप पर एक गैर-शून्य शुद्ध बल कार्य कर सकता है।
अतः,दिए गए कथनों $(A)$,$(B)$ या $(C)$ में से कोई भी पूरी तरह से सही नहीं है।
चूंकि बल हमेशा वेग सदिश $\vec{v}$ के लंबवत होता है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र कण पर कोई कार्य नहीं करता है $(W = \vec{F} \cdot \vec{d} = 0)$।
परिणामस्वरूप,आवेशित कण की गतिज ऊर्जा और चाल स्थिर रहती है।
हालाँकि,वेग की दिशा बदल जाती है,जिसका अर्थ है कि कण त्वरित होता है (अभिकेंद्र त्वरण)।
इसलिए,एक चुंबकीय क्षेत्र एक आवेशित कण को त्वरित कर सकता है (उसके वेग सदिश को बदल सकता है) लेकिन उसकी चाल को नहीं बदल सकता है।
विकल्प $(C)$ के संबंध में,एक गैर-समान चुंबकीय क्षेत्र में रखे गए धारा लूप पर एक गैर-शून्य शुद्ध बल कार्य कर सकता है।
अतः,दिए गए कथनों $(A)$,$(B)$ या $(C)$ में से कोई भी पूरी तरह से सही नहीं है।
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DifficultMCQ
संलग्न चित्र में $R$ त्रिज्या का एक बहुत लंबा अर्ध-बेलनाकार चालक खोल (shell) दिखाया गया है जिसमें $i$ धारा प्रवाहित हो रही है। एक अनंत लंबाई का सीधा धारावाही चालक अर्ध-बेलन की अक्ष के अनुदिश रखा है। यदि सीधे तार में प्रवाहित धारा $i_0$ है,तो चालक तार पर प्रति इकाई लंबाई बल क्या होगा?
A
$\frac{\mu_0 i i_0}{\pi^2 R}$
B
$\frac{\mu_0 i i_0}{\pi R^2}$
C
$\frac{\mu_0 i_0^2 i}{\pi^2 R}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) अर्ध-बेलनाकार खोल का एक छोटा अवयव लें जो अक्ष पर $d\theta$ कोण बनाता है। इस अवयव में धारा $di = \frac{i}{\pi R} \cdot R d\theta = \frac{i d\theta}{\pi}$ है।
सीधे तार द्वारा खोल पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i_0}{2\pi R}$ है।
$L$ लंबाई के अवयव पर बल $dF = B(di)L$ है। प्रति इकाई लंबाई $(L=1)$ के लिए,$dF = \frac{\mu_0 i_0}{2\pi R} \cdot \frac{i d\theta}{\pi} = \frac{\mu_0 i i_0}{2\pi^2 R} d\theta$ है।
सममिति के कारण,बल के क्षैतिज घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं और ऊर्ध्वाधर घटक जुड़ जाते हैं। ऊर्ध्वाधर घटक $dF_y = dF \cos\theta$ है।
$-\pi/2$ से $\pi/2$ तक समाकलन करना $2 \int_0^{\pi/2} dF \cos\theta$ के बराबर है।
$F = 2 \int_0^{\pi/2} \frac{\mu_0 i i_0}{2\pi^2 R} \cos\theta d\theta = \frac{\mu_0 i i_0}{\pi^2 R} [\sin\theta]_0^{\pi/2} = \frac{\mu_0 i i_0}{\pi^2 R}$.
सीधे तार द्वारा खोल पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i_0}{2\pi R}$ है।
$L$ लंबाई के अवयव पर बल $dF = B(di)L$ है। प्रति इकाई लंबाई $(L=1)$ के लिए,$dF = \frac{\mu_0 i_0}{2\pi R} \cdot \frac{i d\theta}{\pi} = \frac{\mu_0 i i_0}{2\pi^2 R} d\theta$ है।
सममिति के कारण,बल के क्षैतिज घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं और ऊर्ध्वाधर घटक जुड़ जाते हैं। ऊर्ध्वाधर घटक $dF_y = dF \cos\theta$ है।
$-\pi/2$ से $\pi/2$ तक समाकलन करना $2 \int_0^{\pi/2} dF \cos\theta$ के बराबर है।
$F = 2 \int_0^{\pi/2} \frac{\mu_0 i i_0}{2\pi^2 R} \cos\theta d\theta = \frac{\mu_0 i i_0}{\pi^2 R} [\sin\theta]_0^{\pi/2} = \frac{\mu_0 i i_0}{\pi^2 R}$.
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EasyMCQ
दो इलेक्ट्रॉन समान वेग के साथ समानांतर रेखाओं पर एक ही दिशा में गति कर रहे हैं। वे:
A
एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करेंगे
B
एक-दूसरे को आकर्षित करेंगे
C
एक-दूसरे पर कोई बल नहीं लगाएंगे
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) जब दो इलेक्ट्रॉन समान वेग के साथ एक-दूसरे के समानांतर गति करते हैं,तो वे दो प्रकार के बल अनुभव करते हैं:
$1$. स्थिर-वैद्युत बल: चूंकि दोनों ऋणात्मक रूप से आवेशित हैं,वे कूलम्ब के नियम के अनुसार प्रतिकर्षण बल का अनुभव करते हैं: $F_e = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$.
$2$. चुंबकीय बल: गतिमान आवेश विद्युत धारा का निर्माण करते हैं। एक ही दिशा में बहने वाली दो समानांतर धाराएं एक-दूसरे को आकर्षित करती हैं। चुंबकीय बल $F_m = \frac{\mu_0 e^2 v^2}{4\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
परिमाणों की तुलना करने पर,स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण बल चुंबकीय आकर्षण बल की तुलना में बहुत अधिक शक्तिशाली होता है ($c^2/v^2$ के कारक द्वारा,जहाँ $c$ प्रकाश की गति है)। इसलिए,कुल बल प्रतिकर्षण का होता है।
$1$. स्थिर-वैद्युत बल: चूंकि दोनों ऋणात्मक रूप से आवेशित हैं,वे कूलम्ब के नियम के अनुसार प्रतिकर्षण बल का अनुभव करते हैं: $F_e = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$.
$2$. चुंबकीय बल: गतिमान आवेश विद्युत धारा का निर्माण करते हैं। एक ही दिशा में बहने वाली दो समानांतर धाराएं एक-दूसरे को आकर्षित करती हैं। चुंबकीय बल $F_m = \frac{\mu_0 e^2 v^2}{4\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
परिमाणों की तुलना करने पर,स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण बल चुंबकीय आकर्षण बल की तुलना में बहुत अधिक शक्तिशाली होता है ($c^2/v^2$ के कारक द्वारा,जहाँ $c$ प्रकाश की गति है)। इसलिए,कुल बल प्रतिकर्षण का होता है।
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EasyMCQ
कथन : एक आवेश,चाहे वह स्थिर हो या गति में,अपने चारों ओर एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है।
कारण : गतिमान आवेश अपने आसपास के स्थान में केवल विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करते हैं।
कारण : गतिमान आवेश अपने आसपास के स्थान में केवल विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करते हैं।
A
यदि कथन और कारण दोनों सही हैं और कारण,कथन की सही व्याख्या है।
B
यदि कथन और कारण दोनों सही हैं,लेकिन कारण,कथन की सही व्याख्या नहीं है।
C
यदि कथन सही है लेकिन कारण गलत है।
D
यदि कथन और कारण दोनों गलत हैं।
Solution
(D) एक स्थिर आवेश अपने आसपास के स्थान में केवल विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है।
जब कोई आवेश गति में होता है,तो वह विद्युत धारा का निर्माण करता है,जो अपने आसपास के स्थान में विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र दोनों उत्पन्न करता है।
इसलिए,कथन गलत है क्योंकि एक स्थिर आवेश चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न नहीं करता है।
कारण भी गलत है क्योंकि गतिमान आवेश केवल विद्युत क्षेत्र ही नहीं,बल्कि विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र दोनों उत्पन्न करते हैं।
जब कोई आवेश गति में होता है,तो वह विद्युत धारा का निर्माण करता है,जो अपने आसपास के स्थान में विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र दोनों उत्पन्न करता है।
इसलिए,कथन गलत है क्योंकि एक स्थिर आवेश चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न नहीं करता है।
कारण भी गलत है क्योंकि गतिमान आवेश केवल विद्युत क्षेत्र ही नहीं,बल्कि विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र दोनों उत्पन्न करते हैं।
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DifficultMCQ
चित्र में एक बहुत लंबा तार $ABDMNDC$ दिखाया गया है जिसमें $I$ धारा प्रवाहित हो रही है। $AB$ और $BC$ भाग सीधे,लंबे और समकोण पर हैं। $D$ पर तार $R$ त्रिज्या का एक वृत्ताकार लूप $DMND$ बनाता है। $AB$ और $BC$ भाग $N$ और $D$ पर वृत्ताकार लूप के स्पर्शरेखीय हैं। वृत्त के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र है
A
$\frac{\mu_{0} I}{2 R}$
B
$\frac{\mu_{0} I}{2 \pi R}(\pi+1)$
C
$\frac{\mu_{0} I}{2 \pi R}\left(\pi+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
D
$\frac{\mu_{0} I}{2 \pi R}\left(\pi-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
Solution
(B) केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B$ तीन भागों द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का सदिश योग है: सीधा तार $AB$,वृत्ताकार लूप $DMND$,और सीधा तार $BC$।
$1$. सीधे तार $AB$ के कारण वृत्त के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र (जो $AB$ की रेखा से $R$ लंबवत दूरी पर है): $B_{AB} = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi R} (\sin 90^{\circ} + \sin 0^{\circ}) = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi R}$।
$2$. वृत्ताकार लूप $DMND$ के कारण उसके केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र: $B_{loop} = \frac{\mu_{0} I}{2 R}$।
$3$. सीधे तार $BC$ के कारण वृत्त के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र (जो $BC$ की रेखा से $R$ लंबवत दूरी पर है): $B_{BC} = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi R} (\sin 90^{\circ} + \sin 0^{\circ}) = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi R}$।
चूंकि सभी भागों के लिए धारा एक ही दिशा में प्रवाहित होती है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र जुड़ जाते हैं:
$B = B_{AB} + B_{loop} + B_{BC} = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi R} + \frac{\mu_{0} I}{2 R} + \frac{\mu_{0} I}{4 \pi R}$
$B = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi R} + \frac{\mu_{0} I}{2 R} = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi R} (1 + \pi)$।
$1$. सीधे तार $AB$ के कारण वृत्त के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र (जो $AB$ की रेखा से $R$ लंबवत दूरी पर है): $B_{AB} = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi R} (\sin 90^{\circ} + \sin 0^{\circ}) = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi R}$।
$2$. वृत्ताकार लूप $DMND$ के कारण उसके केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र: $B_{loop} = \frac{\mu_{0} I}{2 R}$।
$3$. सीधे तार $BC$ के कारण वृत्त के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र (जो $BC$ की रेखा से $R$ लंबवत दूरी पर है): $B_{BC} = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi R} (\sin 90^{\circ} + \sin 0^{\circ}) = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi R}$।
चूंकि सभी भागों के लिए धारा एक ही दिशा में प्रवाहित होती है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र जुड़ जाते हैं:
$B = B_{AB} + B_{loop} + B_{BC} = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi R} + \frac{\mu_{0} I}{2 R} + \frac{\mu_{0} I}{4 \pi R}$
$B = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi R} + \frac{\mu_{0} I}{2 R} = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi R} (1 + \pi)$।
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DifficultMCQ
$m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाला एक आवेशित कण,एकसमान विद्युत क्षेत्र $E\hat{i}$ और एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B\hat{k}$ के प्रभाव में गति करता है और चित्र में दिखाए अनुसार बिंदु $P$ से $Q$ तक का पथ अनुसरण करता है। $P$ और $Q$ पर वेग क्रमशः $v\hat{i}$ और $-2v\hat{j}$ हैं। तो निम्नलिखित में से कौन से कथन $(A, B, C, D)$ सही हैं? (दिखाया गया पथ योजनाबद्ध है और पैमाने पर नहीं है)
$(A)$ $E = \frac{3}{4}\left(\frac{mv^{2}}{qa}\right)$
$(B)$ $P$ पर विद्युत क्षेत्र द्वारा किए गए कार्य की दर $\frac{3}{4}\left(\frac{mv^{3}}{a}\right)$ है
$(C)$ $Q$ पर दोनों क्षेत्रों द्वारा किए गए कार्य की दर शून्य है
$(D)$ $P$ और $Q$ पर कण के कोणीय संवेग के परिमाण के बीच का अंतर $2mav$ है.
$(A)$ $E = \frac{3}{4}\left(\frac{mv^{2}}{qa}\right)$
$(B)$ $P$ पर विद्युत क्षेत्र द्वारा किए गए कार्य की दर $\frac{3}{4}\left(\frac{mv^{3}}{a}\right)$ है
$(C)$ $Q$ पर दोनों क्षेत्रों द्वारा किए गए कार्य की दर शून्य है
$(D)$ $P$ और $Q$ पर कण के कोणीय संवेग के परिमाण के बीच का अंतर $2mav$ है.
A
$(A), (B), (C), (D)$
B
$(A), (B), (C)$
C
$(B), (C), (D)$
D
$(A), (C), (D)$
Solution
(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए: $W_{net} = \Delta K$
$qE(2a) = \frac{1}{2}m(2v)^2 - \frac{1}{2}mv^2 = \frac{3}{2}mv^2$
$E = \frac{3mv^2}{4qa}$. अतः,$(A)$ सही है।
विद्युत क्षेत्र द्वारा कार्य की दर $P_E = \vec{F}_E \cdot \vec{v} = (qE\hat{i}) \cdot (v\hat{i}) = qEv = q\left(\frac{3mv^2}{4qa}\right)v = \frac{3mv^3}{4a}$. अतः,$(B)$ सही है।
$Q$ पर,वेग $-2v\hat{j}$ है। विद्युत बल $qE\hat{i}$ है। चूँकि $\vec{F}_E \perp \vec{v}$,विद्युत क्षेत्र द्वारा शक्ति $0$ है। चुंबकीय बल हमेशा वेग के लंबवत होता है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र द्वारा शक्ति $0$ है। अतः,$(C)$ सही है।
कोणीय संवेग $L = \vec{r} \times \vec{p}$। $P$ पर,$\vec{r}_P = a\hat{j}$,$\vec{p}_P = mv\hat{i}$,इसलिए $L_P = (a\hat{j}) \times (mv\hat{i}) = -mav\hat{k}$। परिमाण $|L_P| = mav$।
$Q$ पर,$\vec{r}_Q = 2a\hat{i}$,$\vec{p}_Q = -2mv\hat{j}$,इसलिए $L_Q = (2a\hat{i}) \times (-2mv\hat{j}) = -4mav\hat{k}$। परिमाण $|L_Q| = 4mav$।
अंतर $= 4mav - mav = 3mav$। अतः,$(D)$ गलत है।
$qE(2a) = \frac{1}{2}m(2v)^2 - \frac{1}{2}mv^2 = \frac{3}{2}mv^2$
$E = \frac{3mv^2}{4qa}$. अतः,$(A)$ सही है।
विद्युत क्षेत्र द्वारा कार्य की दर $P_E = \vec{F}_E \cdot \vec{v} = (qE\hat{i}) \cdot (v\hat{i}) = qEv = q\left(\frac{3mv^2}{4qa}\right)v = \frac{3mv^3}{4a}$. अतः,$(B)$ सही है।
$Q$ पर,वेग $-2v\hat{j}$ है। विद्युत बल $qE\hat{i}$ है। चूँकि $\vec{F}_E \perp \vec{v}$,विद्युत क्षेत्र द्वारा शक्ति $0$ है। चुंबकीय बल हमेशा वेग के लंबवत होता है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र द्वारा शक्ति $0$ है। अतः,$(C)$ सही है।
कोणीय संवेग $L = \vec{r} \times \vec{p}$। $P$ पर,$\vec{r}_P = a\hat{j}$,$\vec{p}_P = mv\hat{i}$,इसलिए $L_P = (a\hat{j}) \times (mv\hat{i}) = -mav\hat{k}$। परिमाण $|L_P| = mav$।
$Q$ पर,$\vec{r}_Q = 2a\hat{i}$,$\vec{p}_Q = -2mv\hat{j}$,इसलिए $L_Q = (2a\hat{i}) \times (-2mv\hat{j}) = -4mav\hat{k}$। परिमाण $|L_Q| = 4mav$।
अंतर $= 4mav - mav = 3mav$। अतः,$(D)$ गलत है।
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Difficult
$10\; cm$ त्रिज्या वाली $100$ फेरों वाली एक वृत्ताकार कुंडली में $3.2\; A$ की धारा प्रवाहित हो रही है।
$(a)$ कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र क्या है?
$(b)$ इस कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण क्या है?
कुंडली को एक ऊर्ध्वाधर तल में रखा गया है और यह अपने व्यास के साथ संपाती एक क्षैतिज अक्ष के परितः घूमने के लिए स्वतंत्र है। क्षैतिज दिशा में $2\; T$ का एक समान चुंबकीय क्षेत्र मौजूद है, जिससे प्रारंभ में कुंडली का अक्ष क्षेत्र की दिशा में होता है। कुंडली चुंबकीय क्षेत्र के प्रभाव में $90^{\circ}$ के कोण से घूमती है।
$(c)$ प्रारंभिक और अंतिम स्थिति में कुंडली पर लगने वाले बलाघूर्ण का परिमाण क्या है?
$(d)$ जब कुंडली $90^{\circ}$ घूम जाती है, तो उसके द्वारा प्राप्त कोणीय चाल क्या है? कुंडली का जड़त्व आघूर्ण $0.1\; kg\; m^{2}$ है।
$(a)$ कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र क्या है?
$(b)$ इस कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण क्या है?
कुंडली को एक ऊर्ध्वाधर तल में रखा गया है और यह अपने व्यास के साथ संपाती एक क्षैतिज अक्ष के परितः घूमने के लिए स्वतंत्र है। क्षैतिज दिशा में $2\; T$ का एक समान चुंबकीय क्षेत्र मौजूद है, जिससे प्रारंभ में कुंडली का अक्ष क्षेत्र की दिशा में होता है। कुंडली चुंबकीय क्षेत्र के प्रभाव में $90^{\circ}$ के कोण से घूमती है।
$(c)$ प्रारंभिक और अंतिम स्थिति में कुंडली पर लगने वाले बलाघूर्ण का परिमाण क्या है?
$(d)$ जब कुंडली $90^{\circ}$ घूम जाती है, तो उसके द्वारा प्राप्त कोणीय चाल क्या है? कुंडली का जड़त्व आघूर्ण $0.1\; kg\; m^{2}$ है।
Solution
$(a)$ केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} N I}{2 R}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $N = 100$, $I = 3.2\; A$, $R = 0.1\; m$.
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 100 \times 3.2}{2 \times 0.1} = 2 \times 10^{-3}\; T$.
$(b)$ चुंबकीय आघूर्ण $m = N I A = N I \pi R^{2}$ है।
$m = 100 \times 3.2 \times 3.14 \times (0.1)^{2} = 10\; A\; m^{2}$.
$(c)$ बलाघूर्ण $\tau = |\vec{m} \times \vec{B}| = m B \sin \theta$.
प्रारंभ में $\theta = 0^{\circ}$, इसलिए $\tau_{i} = 0\; N\; m$.
अंत में $\theta = 90^{\circ}$, इसलिए $\tau_{f} = m B = 10 \times 2 = 20\; N\; m$.
$(d)$ कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए, चुंबकीय बलाघूर्ण द्वारा किया गया कार्य घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \int_{0}^{\pi/2} m B \sin \theta \; d\theta = m B [-\cos \theta]_{0}^{\pi/2} = m B$.
$W = \frac{1}{2} I_{coil} \omega^{2} = m B$.
$\omega = \sqrt{\frac{2 m B}{I_{coil}}} = \sqrt{\frac{2 \times 10 \times 2}{0.1}} = \sqrt{400} = 20\; rad/s$.
यहाँ $N = 100$, $I = 3.2\; A$, $R = 0.1\; m$.
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 100 \times 3.2}{2 \times 0.1} = 2 \times 10^{-3}\; T$.
$(b)$ चुंबकीय आघूर्ण $m = N I A = N I \pi R^{2}$ है।
$m = 100 \times 3.2 \times 3.14 \times (0.1)^{2} = 10\; A\; m^{2}$.
$(c)$ बलाघूर्ण $\tau = |\vec{m} \times \vec{B}| = m B \sin \theta$.
प्रारंभ में $\theta = 0^{\circ}$, इसलिए $\tau_{i} = 0\; N\; m$.
अंत में $\theta = 90^{\circ}$, इसलिए $\tau_{f} = m B = 10 \times 2 = 20\; N\; m$.
$(d)$ कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए, चुंबकीय बलाघूर्ण द्वारा किया गया कार्य घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \int_{0}^{\pi/2} m B \sin \theta \; d\theta = m B [-\cos \theta]_{0}^{\pi/2} = m B$.
$W = \frac{1}{2} I_{coil} \omega^{2} = m B$.
$\omega = \sqrt{\frac{2 m B}{I_{coil}}} = \sqrt{\frac{2 \times 10 \times 2}{0.1}} = \sqrt{400} = 20\; rad/s$.
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Medium
निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:
$(a)$ एक कक्ष में एक ऐसा चुंबकीय क्षेत्र स्थापित किया गया है जिसका परिमाण बिंदु-दर-बिंदु बदलता है लेकिन दिशा स्थिर (पूर्व से पश्चिम) है। एक आवेशित कण कक्ष में प्रवेश करता है और बिना विक्षेपित हुए एक सीधी रेखा में स्थिर गति से यात्रा करता है। आप कण के प्रारंभिक वेग के बारे में क्या कह सकते हैं?
$(b)$ एक आवेशित कण एक मजबूत और असमान चुंबकीय क्षेत्र के वातावरण में प्रवेश करता है जो परिमाण और दिशा दोनों में बिंदु-दर-बिंदु बदलता है,और एक जटिल प्रक्षेपवक्र का अनुसरण करते हुए बाहर आता है। यदि यह वातावरण के साथ कोई टक्कर नहीं करता है,तो क्या इसकी अंतिम गति प्रारंभिक गति के बराबर होगी?
$(c)$ पश्चिम से पूर्व की ओर यात्रा करने वाला एक इलेक्ट्रॉन उत्तर से दक्षिण दिशा में एक समान इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र वाले कक्ष में प्रवेश करता है। उस दिशा को निर्दिष्ट करें जिसमें इलेक्ट्रॉन को उसके सीधे पथ से विक्षेपित होने से रोकने के लिए एक समान चुंबकीय क्षेत्र स्थापित किया जाना चाहिए।
$(a)$ एक कक्ष में एक ऐसा चुंबकीय क्षेत्र स्थापित किया गया है जिसका परिमाण बिंदु-दर-बिंदु बदलता है लेकिन दिशा स्थिर (पूर्व से पश्चिम) है। एक आवेशित कण कक्ष में प्रवेश करता है और बिना विक्षेपित हुए एक सीधी रेखा में स्थिर गति से यात्रा करता है। आप कण के प्रारंभिक वेग के बारे में क्या कह सकते हैं?
$(b)$ एक आवेशित कण एक मजबूत और असमान चुंबकीय क्षेत्र के वातावरण में प्रवेश करता है जो परिमाण और दिशा दोनों में बिंदु-दर-बिंदु बदलता है,और एक जटिल प्रक्षेपवक्र का अनुसरण करते हुए बाहर आता है। यदि यह वातावरण के साथ कोई टक्कर नहीं करता है,तो क्या इसकी अंतिम गति प्रारंभिक गति के बराबर होगी?
$(c)$ पश्चिम से पूर्व की ओर यात्रा करने वाला एक इलेक्ट्रॉन उत्तर से दक्षिण दिशा में एक समान इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र वाले कक्ष में प्रवेश करता है। उस दिशा को निर्दिष्ट करें जिसमें इलेक्ट्रॉन को उसके सीधे पथ से विक्षेपित होने से रोकने के लिए एक समान चुंबकीय क्षेत्र स्थापित किया जाना चाहिए।
Solution
(N/A) आवेशित कण पर चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है। कण के बिना विक्षेपित हुए यात्रा करने के लिए,चुंबकीय बल शून्य होना चाहिए। यह तब होता है जब वेग $\vec{v}$,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के समानांतर या प्रति-समानांतर हो। अतः,कण का प्रारंभिक वेग चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर या प्रति-समानांतर है।
$(b)$ हाँ,आवेशित कण की अंतिम गति उसकी प्रारंभिक गति के बराबर होगी। चुंबकीय बल हमेशा वेग सदिश के लंबवत कार्य करता है,जिसका अर्थ है कि यह कण पर कोई कार्य नहीं करता है $(W = \vec{F} \cdot \vec{d} = 0)$। कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा और इसलिए गति स्थिर रहती है।
$(c)$ इलेक्ट्रॉन पश्चिम से पूर्व की ओर यात्रा करता है। इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र उत्तर से दक्षिण दिशा में है,इसलिए इलेक्ट्रॉन (जो ऋणात्मक है) पर लगने वाला विद्युत बल दक्षिण से उत्तर दिशा में कार्य करता है। इलेक्ट्रॉन को विक्षेपित होने से रोकने के लिए,चुंबकीय बल को उत्तर से दक्षिण दिशा में कार्य करना चाहिए। ऋणात्मक आवेश के लिए फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,चुंबकीय क्षेत्र को लंबवत नीचे की दिशा में लागू किया जाना चाहिए।
$(b)$ हाँ,आवेशित कण की अंतिम गति उसकी प्रारंभिक गति के बराबर होगी। चुंबकीय बल हमेशा वेग सदिश के लंबवत कार्य करता है,जिसका अर्थ है कि यह कण पर कोई कार्य नहीं करता है $(W = \vec{F} \cdot \vec{d} = 0)$। कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा और इसलिए गति स्थिर रहती है।
$(c)$ इलेक्ट्रॉन पश्चिम से पूर्व की ओर यात्रा करता है। इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र उत्तर से दक्षिण दिशा में है,इसलिए इलेक्ट्रॉन (जो ऋणात्मक है) पर लगने वाला विद्युत बल दक्षिण से उत्तर दिशा में कार्य करता है। इलेक्ट्रॉन को विक्षेपित होने से रोकने के लिए,चुंबकीय बल को उत्तर से दक्षिण दिशा में कार्य करना चाहिए। ऋणात्मक आवेश के लिए फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,चुंबकीय क्षेत्र को लंबवत नीचे की दिशा में लागू किया जाना चाहिए।
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Medium
एक दिक्सूचक सुई जो क्षैतिज तल में घूमने के लिए स्वतंत्र है,उसे $30$ फेरों और $12 \;cm$ त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार कुंडली के केंद्र में रखा गया है। कुंडली एक ऊर्ध्वाधर तल में है जो चुंबकीय याम्योत्तर के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती है। जब कुंडली में धारा $0.35 \;A$ होती है,तो सुई पश्चिम से पूर्व की ओर इंगित करती है।
$(a)$ उस स्थान पर पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक का निर्धारण करें।
$(b)$ कुंडली में धारा को उलट दिया जाता है,और कुंडली को उसकी ऊर्ध्वाधर धुरी के परितः ऊपर से देखने पर वामावर्त दिशा में $90^{\circ}$ के कोण से घुमाया जाता है। सुई की दिशा का अनुमान लगाएं। स्थान पर चुंबकीय दिक्पात को शून्य मान लें।
$(a)$ उस स्थान पर पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक का निर्धारण करें।
$(b)$ कुंडली में धारा को उलट दिया जाता है,और कुंडली को उसकी ऊर्ध्वाधर धुरी के परितः ऊपर से देखने पर वामावर्त दिशा में $90^{\circ}$ के कोण से घुमाया जाता है। सुई की दिशा का अनुमान लगाएं। स्थान पर चुंबकीय दिक्पात को शून्य मान लें।
Solution
(A) दिया गया है:
फेरों की संख्या,$N = 30$
त्रिज्या,$r = 12 \;cm = 0.12 \;m$
धारा,$I = 0.35 \;A$
कुंडली तल और चुंबकीय याम्योत्तर के बीच का कोण,$\theta = 45^{\circ}$
$(a)$ कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N I}{2r} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 30 \times 0.35}{2 \times 0.12} = 5.497 \times 10^{-5} \;T$ है।
चुंबकीय याम्योत्तर के लंबवत $B$ का घटक $B \sin(45^{\circ})$ है। चूंकि सुई पश्चिम से पूर्व की ओर इंगित करती है,इसलिए यह घटक पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक $B_H$ को संतुलित करता है।
$B_H = B \sin(45^{\circ}) = 5.497 \times 10^{-5} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 3.89 \times 10^{-5} \;T = 0.389 \;G$ है।
$(b)$ धारा को उलटने से $B$ की दिशा उलट जाती है। कुंडली को $90^{\circ}$ वामावर्त घुमाने से याम्योत्तर के सापेक्ष कुंडली के तल का अभिविन्यास बदल जाता है। इन क्रियाओं का शुद्ध प्रभाव यह होता है कि कुंडली का चुंबकीय क्षेत्र अभी भी पृथ्वी के क्षैतिज घटक का विरोध करता है। अतः,सुई पूर्व से पश्चिम की ओर इंगित करेगी।
फेरों की संख्या,$N = 30$
त्रिज्या,$r = 12 \;cm = 0.12 \;m$
धारा,$I = 0.35 \;A$
कुंडली तल और चुंबकीय याम्योत्तर के बीच का कोण,$\theta = 45^{\circ}$
$(a)$ कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N I}{2r} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 30 \times 0.35}{2 \times 0.12} = 5.497 \times 10^{-5} \;T$ है।
चुंबकीय याम्योत्तर के लंबवत $B$ का घटक $B \sin(45^{\circ})$ है। चूंकि सुई पश्चिम से पूर्व की ओर इंगित करती है,इसलिए यह घटक पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक $B_H$ को संतुलित करता है।
$B_H = B \sin(45^{\circ}) = 5.497 \times 10^{-5} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 3.89 \times 10^{-5} \;T = 0.389 \;G$ है।
$(b)$ धारा को उलटने से $B$ की दिशा उलट जाती है। कुंडली को $90^{\circ}$ वामावर्त घुमाने से याम्योत्तर के सापेक्ष कुंडली के तल का अभिविन्यास बदल जाता है। इन क्रियाओं का शुद्ध प्रभाव यह होता है कि कुंडली का चुंबकीय क्षेत्र अभी भी पृथ्वी के क्षैतिज घटक का विरोध करता है। अतः,सुई पूर्व से पश्चिम की ओर इंगित करेगी।
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DifficultMCQ
यदि दो प्रोटॉन एक-दूसरे के समानांतर $v = 4.5 \times 10^{5} \, m/s$ की गति से चल रहे हैं,तो उनके बीच स्थिर-वैद्युत बल और चुंबकीय बल का अनुपात क्या होगा?
A
$4.4 \times 10^{5}$
B
$2.2 \times 10^{5}$
C
$3.3 \times 10^{5}$
D
$1.1 \times 10^{5}$
Solution
(A) $r$ दूरी पर स्थित दो प्रोटॉन के बीच स्थिर-वैद्युत बल $F_{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \frac{e^{2}}{r^{2}} = \frac{k e^{2}}{r^{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
समानांतर गति करने वाले दो आवेशों के बीच चुंबकीय बल $F_{M} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{e^{2} v^{2}}{r^{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
स्थिर-वैद्युत बल और चुंबकीय बल का अनुपात लेने पर:
$\frac{F_{E}}{F_{M}} = \frac{\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \frac{e^{2}}{r^{2}}}{\frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{e^{2} v^{2}}{r^{2}}} = \frac{1}{\epsilon_{0} \mu_{0} v^{2}}$.
हम जानते हैं कि $c^{2} = \frac{1}{\epsilon_{0} \mu_{0}}$,जहाँ $c = 3 \times 10^{8} \, m/s$ प्रकाश की गति है।
अतः,अनुपात $\frac{F_{E}}{F_{M}} = \frac{c^{2}}{v^{2}} = \left( \frac{c}{v} \right)^{2}$ होगा।
दिए गए मान $c = 3 \times 10^{8} \, m/s$ और $v = 4.5 \times 10^{5} \, m/s$ रखने पर:
$\frac{F_{E}}{F_{M}} = \left( \frac{3 \times 10^{8}}{4.5 \times 10^{5}} \right)^{2} = \left( \frac{3000}{4.5} \right)^{2} = \left( \frac{30000}{45} \right)^{2} = \left( \frac{2000}{3} \right)^{2} \approx (666.67)^{2} \approx 4.44 \times 10^{5}$.
समानांतर गति करने वाले दो आवेशों के बीच चुंबकीय बल $F_{M} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{e^{2} v^{2}}{r^{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
स्थिर-वैद्युत बल और चुंबकीय बल का अनुपात लेने पर:
$\frac{F_{E}}{F_{M}} = \frac{\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \frac{e^{2}}{r^{2}}}{\frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{e^{2} v^{2}}{r^{2}}} = \frac{1}{\epsilon_{0} \mu_{0} v^{2}}$.
हम जानते हैं कि $c^{2} = \frac{1}{\epsilon_{0} \mu_{0}}$,जहाँ $c = 3 \times 10^{8} \, m/s$ प्रकाश की गति है।
अतः,अनुपात $\frac{F_{E}}{F_{M}} = \frac{c^{2}}{v^{2}} = \left( \frac{c}{v} \right)^{2}$ होगा।
दिए गए मान $c = 3 \times 10^{8} \, m/s$ और $v = 4.5 \times 10^{5} \, m/s$ रखने पर:
$\frac{F_{E}}{F_{M}} = \left( \frac{3 \times 10^{8}}{4.5 \times 10^{5}} \right)^{2} = \left( \frac{3000}{4.5} \right)^{2} = \left( \frac{30000}{45} \right)^{2} = \left( \frac{2000}{3} \right)^{2} \approx (666.67)^{2} \approx 4.44 \times 10^{5}$.
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MediumMCQ
$\left(\frac{B^{2}}{\mu_{0}}\right)$ की विमाएँ क्या होंगी? (जहाँ $\mu_{0}$ मुक्त आकाश की पारगम्यता है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र है)
A
$[ML^{2}T^{-2}]$
B
$[MLT^{-2}]$
C
$[ML^{-1}T^{-2}]$
D
$[ML^{2}T^{-2}A^{-1}]$
Solution
(C) चुंबकीय क्षेत्र $B$ से जुड़ी ऊर्जा घनत्व $u$ का सूत्र $u = \frac{B^{2}}{2\mu_{0}}$ है।
यहाँ,$u$ प्रति इकाई आयतन ऊर्जा को दर्शाता है।
ऊर्जा की विमाएँ $[ML^{2}T^{-2}]$ हैं और आयतन की विमाएँ $[L^{3}]$ हैं।
इसलिए,ऊर्जा घनत्व $u$ की विमाएँ $\frac{[ML^{2}T^{-2}]}{[L^{3}]} = [ML^{-1}T^{-2}]$ हैं।
चूंकि $\frac{B^{2}}{\mu_{0}} = 2u$,इसलिए $\left(\frac{B^{2}}{\mu_{0}}\right)$ की विमाएँ $u$ की विमाओं के समान अर्थात $[ML^{-1}T^{-2}]$ होंगी।
यहाँ,$u$ प्रति इकाई आयतन ऊर्जा को दर्शाता है।
ऊर्जा की विमाएँ $[ML^{2}T^{-2}]$ हैं और आयतन की विमाएँ $[L^{3}]$ हैं।
इसलिए,ऊर्जा घनत्व $u$ की विमाएँ $\frac{[ML^{2}T^{-2}]}{[L^{3}]} = [ML^{-1}T^{-2}]$ हैं।
चूंकि $\frac{B^{2}}{\mu_{0}} = 2u$,इसलिए $\left(\frac{B^{2}}{\mu_{0}}\right)$ की विमाएँ $u$ की विमाओं के समान अर्थात $[ML^{-1}T^{-2}]$ होंगी।
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AdvancedMCQ
एक घन (बाईं आकृति में दिखाया गया है) के $A B C D$ पथ के अनुदिश बहने वाली धारा घन के केंद्र पर $B$ परिमाण का चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है। टूटी हुई रेखाएं घन के अचालक भाग को दर्शाती हैं। दाईं ओर दिखाए गए घनाकार आकार पर विचार करें जो आकार और आकृति में बाईं ओर के समान है। यदि अब वही धारा $D A E F G C D$ पथ के अनुदिश बहती है,तो केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण होगा
A
शून्य
B
$\sqrt{2} B$
C
$\sqrt{3} B$
D
$B$
Solution
(C) वर्गाकार लूप $A B C D$ के कारण घन के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ दिया गया है।
$D A E F G C D$ पथ को $xy$,$yz$ और $zx$ तलों में स्थित तीन वर्गाकार लूपों के अध्यारोपण (superposition) के रूप में देखा जा सकता है।
अध्यारोपण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र इन तीन लूपों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों का सदिश योग है।
मान लीजिए कि चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}_1 = B \hat{i}$,$\vec{B}_2 = B \hat{j}$,और $\vec{B}_3 = -B \hat{k}$ हैं।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_{net} = B \hat{i} + B \hat{j} - B \hat{k}$ है।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $|\vec{B}_{net}| = \sqrt{B^2 + B^2 + (-B)^2} = \sqrt{3B^2} = \sqrt{3} B$ होगा।
$D A E F G C D$ पथ को $xy$,$yz$ और $zx$ तलों में स्थित तीन वर्गाकार लूपों के अध्यारोपण (superposition) के रूप में देखा जा सकता है।
अध्यारोपण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र इन तीन लूपों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों का सदिश योग है।
मान लीजिए कि चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}_1 = B \hat{i}$,$\vec{B}_2 = B \hat{j}$,और $\vec{B}_3 = -B \hat{k}$ हैं।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_{net} = B \hat{i} + B \hat{j} - B \hat{k}$ है।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $|\vec{B}_{net}| = \sqrt{B^2 + B^2 + (-B)^2} = \sqrt{3B^2} = \sqrt{3} B$ होगा।
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DifficultMCQ
दो अनंत लंबाई के तार जिनमें से प्रत्येक में समान दिशा में धारा $I$ प्रवाहित हो रही है,उन्हें नीचे दिए गए चित्र में दिखाई गई ज्यामिति में व्यवस्थित किया गया है। बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र क्या होगा?
A
$\frac{\mu_0 I}{\pi r}$
B
$\frac{\mu_0 I}{r}\left(\frac{1}{\pi}+\frac{1}{4}\right)$
C
शून्य
D
$\frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
Solution
(D) दी गई व्यवस्था में,बिंदु $P$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र सीधे तार के खंडों $AB$,$CD$,$EF$,$GH$ और वृत्ताकार चाप खंडों $BC$ और $FG$ द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों का सदिश योग है।
$1$. बिंदु $P$ सीधे तारों $EF$ और $GH$ की अक्ष पर स्थित है। इसलिए,इन खंडों के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है: $B_{EF} = B_{GH} = 0$.
$2$. अपने सिरे से $r$ दूरी पर स्थित अर्ध-अनंत तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ होता है।
$3$. सीधे खंड $AB$ के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{AB} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ (पृष्ठ के अंदर की दिशा में) है।
$4$. सीधे खंड $CD$ के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{CD} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ (पृष्ठ के अंदर की दिशा में) है।
$5$. चतुर्थांश वृत्ताकार चाप $BC$ के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{BC} = \frac{\mu_0 I}{8 r}$ (पृष्ठ के बाहर की दिशा में) है।
$6$. चतुर्थांश वृत्ताकार चाप $FG$ के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{FG} = \frac{\mu_0 I}{8 r}$ (पृष्ठ के अंदर की दिशा में) है।
$7$. कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_{AB} + B_{CD} + B_{FG} - B_{BC} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{8 r} - \frac{\mu_0 I}{8 r} = \frac{2 \mu_0 I}{4 \pi r} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$.
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।
$1$. बिंदु $P$ सीधे तारों $EF$ और $GH$ की अक्ष पर स्थित है। इसलिए,इन खंडों के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है: $B_{EF} = B_{GH} = 0$.
$2$. अपने सिरे से $r$ दूरी पर स्थित अर्ध-अनंत तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ होता है।
$3$. सीधे खंड $AB$ के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{AB} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ (पृष्ठ के अंदर की दिशा में) है।
$4$. सीधे खंड $CD$ के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{CD} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ (पृष्ठ के अंदर की दिशा में) है।
$5$. चतुर्थांश वृत्ताकार चाप $BC$ के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{BC} = \frac{\mu_0 I}{8 r}$ (पृष्ठ के बाहर की दिशा में) है।
$6$. चतुर्थांश वृत्ताकार चाप $FG$ के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{FG} = \frac{\mu_0 I}{8 r}$ (पृष्ठ के अंदर की दिशा में) है।
$7$. कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_{AB} + B_{CD} + B_{FG} - B_{BC} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{8 r} - \frac{\mu_0 I}{8 r} = \frac{2 \mu_0 I}{4 \pi r} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$.
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।
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MediumMCQ
$i$ धारा वाले एक लूप के बिंदु $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता क्या होगी,जिसका आकार नीचे दर्शाया गया है?
A
$\frac{\mu_0 i}{4 \pi}\left[\frac{3 \pi}{2 a}+\frac{\sqrt{2}}{b}\right]$
B
$\frac{\mu_0 i}{4 \pi^2}\left[\frac{2}{a}+b\right]$
C
$\frac{\mu_0 i}{2 \pi}\left[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right]$
D
$\frac{\mu_0 i}{4 \pi}\left[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right]$
Solution
(A) यह लूप दो भागों से बना है: एक वर्गाकार भाग और एक वृत्ताकार चाप भाग।
$1$. वर्गाकार भाग के कारण चुंबकीय क्षेत्र:
$O$ से गुजरने वाली अक्षों पर स्थित तारों के भागों के कारण $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य होगा क्योंकि धारा $O$ की ओर या उससे दूर जा रही है। $b$ लंबाई के अन्य दो भागों के लिए,$O$ से लंबवत दूरी $b/2$ है। प्रत्येक भाग $O$ पर $45^{\circ}$ का कोण बनाता है।
सीमित तार के सूत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi d}(\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $d = b/2$ और $\theta_1 = 45^{\circ}, \theta_2 = 0^{\circ}$:
$B_1 = 2 \times \left[ \frac{\mu_0 i}{4 \pi (b/2)} (\sin 45^{\circ} + 0) \right] = 2 \times \frac{\mu_0 i}{2 \pi b} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\mu_0 i}{\sqrt{2} \pi b}$.
$2$. वृत्ताकार चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र:
चाप केंद्र पर $270^{\circ}$ या $\frac{3 \pi}{2}$ रेडियन का कोण बनाता है। वृत्ताकार चाप के लिए चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 i \theta}{4 \pi a} = \frac{\mu_0 i (3 \pi / 2)}{4 \pi a} = \frac{3 \mu_0 i}{8 a}$ है।
$3$. कुल चुंबकीय क्षेत्र:
चूंकि दोनों क्षेत्र एक ही दिशा में (तल के अंदर) हैं,इसलिए कुल क्षेत्र:
$B_{\text{net}} = B_1 + B_2 = \frac{\mu_0 i}{\sqrt{2} \pi b} + \frac{3 \mu_0 i}{8 a} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi} \left[ \frac{3 \pi}{2 a} + \frac{\sqrt{2}}{b} \right]$.
$1$. वर्गाकार भाग के कारण चुंबकीय क्षेत्र:
$O$ से गुजरने वाली अक्षों पर स्थित तारों के भागों के कारण $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य होगा क्योंकि धारा $O$ की ओर या उससे दूर जा रही है। $b$ लंबाई के अन्य दो भागों के लिए,$O$ से लंबवत दूरी $b/2$ है। प्रत्येक भाग $O$ पर $45^{\circ}$ का कोण बनाता है।
सीमित तार के सूत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi d}(\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $d = b/2$ और $\theta_1 = 45^{\circ}, \theta_2 = 0^{\circ}$:
$B_1 = 2 \times \left[ \frac{\mu_0 i}{4 \pi (b/2)} (\sin 45^{\circ} + 0) \right] = 2 \times \frac{\mu_0 i}{2 \pi b} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\mu_0 i}{\sqrt{2} \pi b}$.
$2$. वृत्ताकार चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र:
चाप केंद्र पर $270^{\circ}$ या $\frac{3 \pi}{2}$ रेडियन का कोण बनाता है। वृत्ताकार चाप के लिए चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 i \theta}{4 \pi a} = \frac{\mu_0 i (3 \pi / 2)}{4 \pi a} = \frac{3 \mu_0 i}{8 a}$ है।
$3$. कुल चुंबकीय क्षेत्र:
चूंकि दोनों क्षेत्र एक ही दिशा में (तल के अंदर) हैं,इसलिए कुल क्षेत्र:
$B_{\text{net}} = B_1 + B_2 = \frac{\mu_0 i}{\sqrt{2} \pi b} + \frac{3 \mu_0 i}{8 a} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi} \left[ \frac{3 \pi}{2 a} + \frac{\sqrt{2}}{b} \right]$.
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MediumMCQ
सही कथन चुनिए।
A
एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में धारा लूप का बिना घूमे स्थिर रहना संभव है।
B
यदि एक घनाकार क्षेत्र में एकसमान चुंबकीय क्षेत्र मौजूद है और बाहर शून्य है,तो बाहर से किसी आवेशित कण को क्षेत्र में इस प्रकार प्रक्षेपित करना संभव नहीं है कि वह क्षेत्र में एक पूर्ण वृत्त का वर्णन करे।
C
एक गतिमान आवेशित कण को चुंबकीय क्षेत्र द्वारा त्वरित किया जा सकता है।
D
उपरोक्त सभी।
Solution
(D) कथन $A$ सही है: एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में एक धारा लूप पर बल आघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ कार्य करता है। यदि चुंबकीय आघूर्ण $\vec{m}$,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के समानांतर या प्रति-समानांतर है,तो बल आघूर्ण शून्य होता है और लूप बिना घूमे संतुलन में रहता है।
कथन $B$ सही है: एक आवेशित कण के लिए एक पूर्ण वृत्त का वर्णन करने हेतु,पूरा वृत्ताकार पथ एकसमान चुंबकीय क्षेत्र के भीतर होना चाहिए। यदि क्षेत्र एक घनाकार क्षेत्र तक सीमित है,तो बाहर से प्रवेश करने वाला कण एक पूर्ण वृत्त पूरा करने से पहले ही क्षेत्र से बाहर निकल जाएगा।
कथन $C$ सही है: यद्यपि चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ आवेशित कण पर कोई कार्य नहीं करता है (चाल स्थिर रहती है),लेकिन कण की दिशा लगातार बदलती रहती है। चूंकि वेग एक सदिश राशि है,इसलिए दिशा में परिवर्तन का अर्थ है त्वरण $(\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} \neq 0)$।
अतः,सभी कथन सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।
कथन $B$ सही है: एक आवेशित कण के लिए एक पूर्ण वृत्त का वर्णन करने हेतु,पूरा वृत्ताकार पथ एकसमान चुंबकीय क्षेत्र के भीतर होना चाहिए। यदि क्षेत्र एक घनाकार क्षेत्र तक सीमित है,तो बाहर से प्रवेश करने वाला कण एक पूर्ण वृत्त पूरा करने से पहले ही क्षेत्र से बाहर निकल जाएगा।
कथन $C$ सही है: यद्यपि चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ आवेशित कण पर कोई कार्य नहीं करता है (चाल स्थिर रहती है),लेकिन कण की दिशा लगातार बदलती रहती है। चूंकि वेग एक सदिश राशि है,इसलिए दिशा में परिवर्तन का अर्थ है त्वरण $(\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} \neq 0)$।
अतः,सभी कथन सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।
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EasyMCQ
लचीले चालक तार से बने अनियमित आकार के एक लूप में दक्षिणावर्त (clockwise) धारा प्रवाहित हो रही है। इसे एक समान अंदर की ओर निर्देशित चुंबकीय क्षेत्र में इस प्रकार रखा गया है कि इसका तल क्षेत्र के लंबवत है। तब लूप:
A
चुंबकीय बल का अनुभव करता है।
B
अल्प समय के लिए प्रेरित धारा उत्पन्न करता है।
C
वृत्ताकार लूप में परिवर्तित हो जाता है।
D
उपरोक्त सभी।
Solution
(D) जब एक लचीले धारावाही लूप को एक समान चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है,तो तार के प्रत्येक खंड पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = I(\vec{dl} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
अंदर की ओर निर्देशित चुंबकीय क्षेत्र और दक्षिणावर्त धारा के लिए,तार के प्रत्येक खंड पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर होता है।
यह बाहरी बल लचीले तार को तब तक फैलाता है जब तक कि वह एक वृत्त का आकार न ले ले,जो दी गई परिधि के लिए घिरे हुए क्षेत्रफल को अधिकतम करता है।
जैसे-जैसे लूप फैलता है,लूप द्वारा घिरा क्षेत्रफल बढ़ता है,जिससे लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स बदल जाता है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,चुंबकीय फ्लक्स में यह परिवर्तन लूप में अल्प समय के लिए विद्युत वाहक बल $(EMF)$ और परिणामस्वरूप प्रेरित धारा उत्पन्न करता है,जब तक कि लूप अपनी स्थिर वृत्ताकार संतुलन स्थिति में नहीं पहुँच जाता।
अतः,लूप चुंबकीय बल का अनुभव करता है,प्रेरित धारा विकसित करता है और अपना आकार बदलकर वृत्त हो जाता है। इस प्रकार,दिए गए सभी कथन सही हैं।
अंदर की ओर निर्देशित चुंबकीय क्षेत्र और दक्षिणावर्त धारा के लिए,तार के प्रत्येक खंड पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर होता है।
यह बाहरी बल लचीले तार को तब तक फैलाता है जब तक कि वह एक वृत्त का आकार न ले ले,जो दी गई परिधि के लिए घिरे हुए क्षेत्रफल को अधिकतम करता है।
जैसे-जैसे लूप फैलता है,लूप द्वारा घिरा क्षेत्रफल बढ़ता है,जिससे लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स बदल जाता है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,चुंबकीय फ्लक्स में यह परिवर्तन लूप में अल्प समय के लिए विद्युत वाहक बल $(EMF)$ और परिणामस्वरूप प्रेरित धारा उत्पन्न करता है,जब तक कि लूप अपनी स्थिर वृत्ताकार संतुलन स्थिति में नहीं पहुँच जाता।
अतः,लूप चुंबकीय बल का अनुभव करता है,प्रेरित धारा विकसित करता है और अपना आकार बदलकर वृत्त हो जाता है। इस प्रकार,दिए गए सभी कथन सही हैं।
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DifficultMCQ
एक नियत वेग से गति करता हुआ प्रोटॉन अपने वेग में बिना किसी परिवर्तन के अंतरिक्ष के एक क्षेत्र से गुजरता है। यदि $\vec{E}$ और $\vec{B}$ क्रमशः विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों को दर्शाते हैं,तो अंतरिक्ष के उस क्षेत्र में क्या हो सकता है:
$(A)$ $E=0, B=0$
$(B)$ $E=0, B \neq 0$
$(C)$ $E \neq 0, B=0$
$(D)$ $E \neq 0, B \neq 0$
नीचे दिए गए विकल्पों में से सबसे उपयुक्त उत्तर चुनें:
$(A)$ $E=0, B=0$
$(B)$ $E=0, B \neq 0$
$(C)$ $E \neq 0, B=0$
$(D)$ $E \neq 0, B \neq 0$
नीचे दिए गए विकल्पों में से सबसे उपयुक्त उत्तर चुनें:
A
केवल $(A), (B)$ और $(C)$
B
केवल $(A), (C)$ और $(D)$
C
केवल $(A), (B)$ और $(D)$
D
केवल $(B), (C)$ और $(D)$
Solution
(C) नियत वेग से गति करने वाले आवेशित कण पर कुल बल शून्य होना चाहिए। लॉरेंट्ज़ बल $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है। $\vec{F} = 0$ के लिए,$\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} = 0$ होना चाहिए।
स्थिति $(A)$: यदि $\vec{E} = 0$ और $\vec{B} = 0$ है,तो $\vec{F} = 0$ होगा। अतः वेग नियत रहता है।
स्थिति $(B)$: यदि $\vec{E} = 0$ और $\vec{B} \neq 0$ है,तो कण नियत वेग से गति कर सकता है यदि $\vec{v}$ और $\vec{B}$ समानांतर या प्रति-समानांतर हों (क्योंकि $\vec{v} \times \vec{B} = 0$ होगा)।
स्थिति $(C)$: यदि $\vec{E} \neq 0$ और $\vec{B} = 0$ है,तो विद्युत बल $q\vec{E}$ के कारण त्वरण उत्पन्न होगा,इसलिए वेग नियत नहीं रह सकता। अतः,$(C)$ संभव नहीं है।
स्थिति $(D)$: यदि $\vec{E} \neq 0$ और $\vec{B} \neq 0$ है,तो कण नियत वेग से गति कर सकता है यदि $\vec{E} = -(\vec{v} \times \vec{B})$ हो। यह संभव है (उदाहरण के लिए,वेग चयनकर्ता में)।
इसलिए,स्थितियाँ $(A), (B)$ और $(D)$ संभव हैं।
स्थिति $(A)$: यदि $\vec{E} = 0$ और $\vec{B} = 0$ है,तो $\vec{F} = 0$ होगा। अतः वेग नियत रहता है।
स्थिति $(B)$: यदि $\vec{E} = 0$ और $\vec{B} \neq 0$ है,तो कण नियत वेग से गति कर सकता है यदि $\vec{v}$ और $\vec{B}$ समानांतर या प्रति-समानांतर हों (क्योंकि $\vec{v} \times \vec{B} = 0$ होगा)।
स्थिति $(C)$: यदि $\vec{E} \neq 0$ और $\vec{B} = 0$ है,तो विद्युत बल $q\vec{E}$ के कारण त्वरण उत्पन्न होगा,इसलिए वेग नियत नहीं रह सकता। अतः,$(C)$ संभव नहीं है।
स्थिति $(D)$: यदि $\vec{E} \neq 0$ और $\vec{B} \neq 0$ है,तो कण नियत वेग से गति कर सकता है यदि $\vec{E} = -(\vec{v} \times \vec{B})$ हो। यह संभव है (उदाहरण के लिए,वेग चयनकर्ता में)।
इसलिए,स्थितियाँ $(A), (B)$ और $(D)$ संभव हैं।
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DifficultMCQ
सूची-$I$ को सूची-$II$ के साथ सुमेलित कीजिए और नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए:
| सूची-$I$ ($Y$ बनाम $X$) | सूची-$II$ (ग्राफ का आकार) |
| :--- | :--- |
| $(A)$ $Y$ = चुंबकीय प्रवृत्ति (magnetic susceptibility), $X$ = चुम्बकन क्षेत्र | $(I)$ मूल बिंदु से गुजरने वाला रैखिक ग्राफ |
| $(B)$ $Y$ = चुंबकीय क्षेत्र, $X$ = धारावाही तार के केंद्र से दूरी $x < a$ के लिए (जहाँ $a$ = तार की त्रिज्या) | $(II)$ अक्ष की ओर घटता हुआ वक्र ग्राफ |
| $(C)$ $Y$ = चुंबकीय क्षेत्र, $X$ = धारावाही तार के केंद्र से दूरी $x > a$ के लिए (जहाँ $a$ = तार की त्रिज्या) | $(III)$ क्षैतिज सीधी रेखा का ग्राफ |
| $(D)$ $Y$ = परिनालिका (solenoid) के अंदर चुंबकीय क्षेत्र, $X$ = केंद्र से दूरी | $(IV)$ मूल बिंदु से शुरू होने वाला रैखिक ग्राफ |
| सूची-$I$ ($Y$ बनाम $X$) | सूची-$II$ (ग्राफ का आकार) |
| :--- | :--- |
| $(A)$ $Y$ = चुंबकीय प्रवृत्ति (magnetic susceptibility), $X$ = चुम्बकन क्षेत्र | $(I)$ मूल बिंदु से गुजरने वाला रैखिक ग्राफ |
| $(B)$ $Y$ = चुंबकीय क्षेत्र, $X$ = धारावाही तार के केंद्र से दूरी $x < a$ के लिए (जहाँ $a$ = तार की त्रिज्या) | $(II)$ अक्ष की ओर घटता हुआ वक्र ग्राफ |
| $(C)$ $Y$ = चुंबकीय क्षेत्र, $X$ = धारावाही तार के केंद्र से दूरी $x > a$ के लिए (जहाँ $a$ = तार की त्रिज्या) | $(III)$ क्षैतिज सीधी रेखा का ग्राफ |
| $(D)$ $Y$ = परिनालिका (solenoid) के अंदर चुंबकीय क्षेत्र, $X$ = केंद्र से दूरी | $(IV)$ मूल बिंदु से शुरू होने वाला रैखिक ग्राफ |
A
$(A)-(III), (B)-(IV), (C)-(II), (D)-(I)$
B
$(A)-(I), (B)-(III), (C)-(II), (D)-(IV)$
C
$(A)-(IV), (B)-(I), (C)-(III), (D)-(II)$
D
$(A)-(III), (B)-(IV), (C)-(I), (D)-(II)$
Solution
(A) सही मिलान इस प्रकार हैं:
$(A)$ एक रैखिक चुंबकीय पदार्थ के लिए, चुंबकीय प्रवृत्ति $(\chi)$ चुम्बकन क्षेत्र $(H)$ से स्वतंत्र होती है। अतः, ग्राफ एक क्षैतिज सीधी रेखा है। यह $(III)$ के अनुरूप है।
$(B)$ धारावाही तार के लिए, अंदर का चुंबकीय क्षेत्र $(x < a)$ $B = \frac{\mu_0 i x}{2 \pi a^2}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $B \propto x$, ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। यह $(IV)$ के अनुरूप है।
$(C)$ धारावाही तार के लिए, बाहर का चुंबकीय क्षेत्र $(x > a)$ $B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi x}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $B \propto \frac{1}{x}$, ग्राफ एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) है। यह $(II)$ के अनुरूप है।
$(D)$ एक आदर्श लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र एकसमान होता है, जिसका अर्थ है कि यह केंद्र से दूरी के साथ नहीं बदलता है। अतः यह $(III)$ के अनुरूप है।
$(A)$ एक रैखिक चुंबकीय पदार्थ के लिए, चुंबकीय प्रवृत्ति $(\chi)$ चुम्बकन क्षेत्र $(H)$ से स्वतंत्र होती है। अतः, ग्राफ एक क्षैतिज सीधी रेखा है। यह $(III)$ के अनुरूप है।
$(B)$ धारावाही तार के लिए, अंदर का चुंबकीय क्षेत्र $(x < a)$ $B = \frac{\mu_0 i x}{2 \pi a^2}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $B \propto x$, ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। यह $(IV)$ के अनुरूप है।
$(C)$ धारावाही तार के लिए, बाहर का चुंबकीय क्षेत्र $(x > a)$ $B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi x}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $B \propto \frac{1}{x}$, ग्राफ एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) है। यह $(II)$ के अनुरूप है।
$(D)$ एक आदर्श लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र एकसमान होता है, जिसका अर्थ है कि यह केंद्र से दूरी के साथ नहीं बदलता है। अतः यह $(III)$ के अनुरूप है।
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AdvancedMCQ
दो तार जिनमें से प्रत्येक में $I$ धारा प्रवाहित हो रही है,कॉलम $I$ में चार विन्यासों में दिखाए गए हैं। परिणामी प्रभावों में से कुछ कॉलम $II$ में वर्णित हैं। कॉलम $I$ के कथनों का कॉलम $II$ के कथनों से मिलान करें।
| कॉलम $I$ | कॉलम $II$ |
| $(A)$ दो समानांतर तार जिनमें धारा समान दिशा में है,$P$ मध्य बिंदु है। | $(p)$ तारों में धारा के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ समान दिशा में हैं। |
| $(B)$ दो समाक्षीय वृत्ताकार लूप जिनमें धारा समान दिशा में है,$P$ अक्ष पर मध्य बिंदु है। | $(q)$ तारों में धारा के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ विपरीत दिशा में हैं। |
| $(C)$ दो समतलीय वृत्ताकार लूप जिनमें धारा विपरीत दिशा में है,$P$ मध्य बिंदु है। | $(r)$ $P$ पर कोई चुंबकीय क्षेत्र नहीं है। |
| $(D)$ दो संकेंद्रित समतलीय वृत्ताकार लूप जिनमें धारा समान दिशा में है,$P$ सामान्य केंद्र है। | $(s)$ तार एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं। |
A
$A \rightarrow (s) \& (r), B \rightarrow (p), C \rightarrow (q) \& (r), D \rightarrow (r)$
B
$A \rightarrow (q) \& (r), B \rightarrow (p), C \rightarrow (q) \& (r), D \rightarrow (q)$
C
$A \rightarrow (s) \& (r), B \rightarrow (s), C \rightarrow (q) \& (r), D \rightarrow (p)$
D
$A \rightarrow (q) \& (r), B \rightarrow (s), C \rightarrow (q) \& (r), D \rightarrow (r)$
Solution
(A) समान दिशा में धारा ले जाने वाले दो समानांतर तार एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं $(s)$। मध्य बिंदु $P$ पर,ऊपरी तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के अंदर की ओर है,और निचले तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के बाहर की ओर है। इस प्रकार,वे एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जिसके परिणामस्वरूप चुंबकीय क्षेत्र शून्य हो जाता है $(r)$।
$(B)$ समान दिशा में धारा वाले दो समाक्षीय लूप अक्ष पर मध्य बिंदु पर समान दिशा में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं $(p)$।
$(C)$ विपरीत दिशा में धारा वाले दो समतलीय लूप मध्य बिंदु $P$ पर समान दिशा में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं $(p)$।
$(D)$ समान दिशा में धारा वाले दो संकेंद्रित लूप केंद्र पर समान दिशा में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं।
$(B)$ समान दिशा में धारा वाले दो समाक्षीय लूप अक्ष पर मध्य बिंदु पर समान दिशा में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं $(p)$।
$(C)$ विपरीत दिशा में धारा वाले दो समतलीय लूप मध्य बिंदु $P$ पर समान दिशा में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं $(p)$।
$(D)$ समान दिशा में धारा वाले दो संकेंद्रित लूप केंद्र पर समान दिशा में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं।
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DifficultMCQ
छह बिंदु आवेश,प्रत्येक का परिमाण $q$ है,चित्र में दिखाए अनुसार अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित हैं। प्रत्येक मामले में,एक बिंदु $M$ और $M$ से गुजरने वाली एक रेखा $PQ$ दिखाई गई है। मान लीजिए $E$ विद्युत क्षेत्र है और $V$ बिंदु $M$ पर विद्युत विभव है (अनंत पर विभव शून्य है) जब आवेश वितरण स्थिर है। अब,पूरी प्रणाली को रेखा $PQ$ के परितः एक स्थिर कोणीय वेग से घुमाया जाता है। मान लीजिए $B$ बिंदु $M$ पर चुंबकीय क्षेत्र है और $\mu$ इस स्थिति में प्रणाली का चुंबकीय आघूर्ण है। प्रत्येक घूमते हुए आवेश को एक स्थिर धारा के समतुल्य मानें। कॉलम $I$ की शर्तों का कॉलम $II$ के विन्यासों के साथ मिलान करें।
| कॉलम $I$ | कॉलम $II$ |
| $(A)$ $E=0$ | $(p)$ नियमित षट्भुज के कोनों पर आवेश। $M$ केंद्र है। $PQ$ तल के लंबवत है। |
| $(B)$ $V \neq 0$ | $(q)$ $PQ$ के लंबवत रेखा पर समान अंतराल पर आवेश। $M$ मध्य-बिंदु है। |
| $(C)$ $B=0$ | $(r)$ दो समतलीय संकेंद्रित वलयों पर आवेश। $M$ सामान्य केंद्र है। $PQ$ तल के लंबवत है। |
| $(D)$ $\mu \neq 0$ | $(s)$ आयत के कोनों और मध्य-बिंदुओं पर आवेश। $M$ केंद्र है। $PQ$ लंबी भुजाओं के समानांतर है। |
| $(t)$ दो समतलीय,समान वलयों पर आवेश। $M$ केंद्रों के बीच का मध्य-बिंदु है। $PQ$ केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत है। |
A
$(A) \rightarrow p, r, s; (B) \rightarrow r, s; (C) \rightarrow p, q, t; (D) \rightarrow r, s$
B
$(A) \rightarrow p, t, s; (B) \rightarrow r, p; (C) \rightarrow r, q, t; (D) \rightarrow r, q$
C
$(A) \rightarrow q, r, s; (B) \rightarrow r, p; (C) \rightarrow t, q, t; (D) \rightarrow r, t$
D
$(A) \rightarrow t, q, p; (B) \rightarrow p, q; (C) \rightarrow r, q, s; (D) \rightarrow r, s$
Solution
(A) $M$ पर $E=0$ के लिए,आवेश वितरण ऐसा होना चाहिए कि सभी आवेशों से विद्युत क्षेत्रों का सदिश योग शून्य हो। यह $(p)$,$(r)$,और $(s)$ में होता है।
$M$ पर $V \neq 0$ के लिए,धनात्मक और ऋणात्मक आवेशों के कारण विभव एक-दूसरे को निरस्त नहीं करना चाहिए। $(r)$ और $(s)$ में,$M$ से समान दूरी पर धनात्मक और ऋणात्मक आवेशों की समरूपता के कारण विभव शून्य है। अतः,$(p)$,$(q)$,और $(t)$ के लिए $V \neq 0$ है।
$M$ पर $B=0$ के लिए,घूमते हुए आवेशों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों को एक-दूसरे को निरस्त करना चाहिए। यह सममित धारा लूप के कारण $(p)$,$(q)$,और $(t)$ में होता है।
$\mu \neq 0$ के लिए,प्रणाली का एक शुद्ध चुंबकीय आघूर्ण होना चाहिए। यह $(r)$ और $(s)$ में होता है जहाँ धारा लूप एक-दूसरे को निरस्त नहीं करते हैं।
$M$ पर $V \neq 0$ के लिए,धनात्मक और ऋणात्मक आवेशों के कारण विभव एक-दूसरे को निरस्त नहीं करना चाहिए। $(r)$ और $(s)$ में,$M$ से समान दूरी पर धनात्मक और ऋणात्मक आवेशों की समरूपता के कारण विभव शून्य है। अतः,$(p)$,$(q)$,और $(t)$ के लिए $V \neq 0$ है।
$M$ पर $B=0$ के लिए,घूमते हुए आवेशों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों को एक-दूसरे को निरस्त करना चाहिए। यह सममित धारा लूप के कारण $(p)$,$(q)$,और $(t)$ में होता है।
$\mu \neq 0$ के लिए,प्रणाली का एक शुद्ध चुंबकीय आघूर्ण होना चाहिए। यह $(r)$ और $(s)$ में होता है जहाँ धारा लूप एक-दूसरे को निरस्त नहीं करते हैं।
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Advanced
एक आवेशित कण (इलेक्ट्रॉन या प्रोटॉन) को मूल बिंदु $(x=0, y=0, z=0)$ पर एक दिए गए प्रारंभिक वेग $\overrightarrow{v}$ के साथ प्रवेश कराया जाता है। एकसमान विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ क्रमशः कॉलम $I, II$ और $III$ में दिए गए हैं। $E_0, B_0$ के परिमाण धनात्मक हैं।
$(1)$ किस स्थिति में कण नियत वेग के साथ एक सीधी रेखा में गति करेगा?
$(2)$ किस स्थिति में कण धनात्मक $z$ दिशा के अनुदिश अक्ष के साथ एक कुंडलित (हेलिकल) पथ का वर्णन करेगा?
$(3)$ किस स्थिति में कण $y$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा में (अर्थात $-\hat{y}$ के अनुदिश) एक सीधी रेखा में गति करेगा?
$(1)$ किस स्थिति में कण नियत वेग के साथ एक सीधी रेखा में गति करेगा?
$(2)$ किस स्थिति में कण धनात्मक $z$ दिशा के अनुदिश अक्ष के साथ एक कुंडलित (हेलिकल) पथ का वर्णन करेगा?
$(3)$ किस स्थिति में कण $y$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा में (अर्थात $-\hat{y}$ के अनुदिश) एक सीधी रेखा में गति करेगा?
Solution
(A) कण के नियत वेग से गति करने के लिए, कुल लॉरेंट्ज़ बल शून्य होना चाहिए: $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}) = 0$.
$(1)$ नियत वेग के लिए, विद्युत बल और चुंबकीय बल को एक-दूसरे को संतुलित करना चाहिए। स्थिति $(II)(iii)(Q)$ वेग चयनकर्ता (velocity selector) की स्थिति को संतुष्ट करती है।
$(2)$ $z$-अक्ष के अनुदिश हेलिकल पथ के लिए, चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ को $z$-अक्ष $(S)$ पर होना चाहिए। स्थिति $(IV)(i)(S)$ में, वेग $\vec{B}$ के लंबवत है और $\vec{E}$, $\vec{B}$ के समानांतर है, जो हेलिकल गति प्रदान करता है।
$(3)$ $-\hat{y}$ दिशा में गति के लिए, कुल बल $-\hat{y}$ दिशा में होना चाहिए। स्थिति $(III)(ii)(R)$ में, प्रोटॉन पर कार्य करने वाला विद्युत बल $\vec{F} = e(-E_0\hat{y})$ उसे $-\hat{y}$ दिशा में गति कराएगा।
$(1)$ नियत वेग के लिए, विद्युत बल और चुंबकीय बल को एक-दूसरे को संतुलित करना चाहिए। स्थिति $(II)(iii)(Q)$ वेग चयनकर्ता (velocity selector) की स्थिति को संतुष्ट करती है।
$(2)$ $z$-अक्ष के अनुदिश हेलिकल पथ के लिए, चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ को $z$-अक्ष $(S)$ पर होना चाहिए। स्थिति $(IV)(i)(S)$ में, वेग $\vec{B}$ के लंबवत है और $\vec{E}$, $\vec{B}$ के समानांतर है, जो हेलिकल गति प्रदान करता है।
$(3)$ $-\hat{y}$ दिशा में गति के लिए, कुल बल $-\hat{y}$ दिशा में होना चाहिए। स्थिति $(III)(ii)(R)$ में, प्रोटॉन पर कार्य करने वाला विद्युत बल $\vec{F} = e(-E_0\hat{y})$ उसे $-\hat{y}$ दिशा में गति कराएगा।
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AdvancedMCQ
आकृति में $a$ त्रिज्या का एक वृत्ताकार लूप और दो लंबे समानांतर तार (संख्या $1$ और $2$) दिखाए गए हैं,जो सभी कागज के तल में हैं। लूप के केंद्र से प्रत्येक तार की दूरी $d$ है। लूप और तार समान धारा $I$ ले जा रहे हैं। ऊपर से देखने पर लूप में धारा वामावर्त दिशा में है।
$1.$ जब $d \approx a$ होता है लेकिन तार लूप को स्पर्श नहीं कर रहे होते हैं,तो यह पाया जाता है कि लूप की अक्ष पर लूप के ऊपर $h$ ऊंचाई पर कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य है। उस स्थिति में
$(A)$ तार $1$ और तार $2$ में धारा क्रमशः $PQ$ और $RS$ दिशा में है और $h \approx a$
$(B)$ तार $1$ और तार $2$ में धारा क्रमशः $PQ$ और $SR$ दिशा में है और $h \approx a$
$(C)$ तार $1$ और तार $2$ में धारा क्रमशः $PQ$ और $SR$ दिशा में है और $h \approx 1.2 a$
$(D)$ तार $1$ और तार $2$ में धारा क्रमशः $PQ$ और $RS$ दिशा में है और $h \approx 1.2 a$
$2.$ मान लीजिए $d \gg a$ है,और लूप को आकृति में दिखाई गई स्थिति से तारों के समानांतर उसके व्यास के परितः $30^{\circ}$ घुमाया जाता है। यदि तारों में धारा विपरीत दिशाओं में है,तो लूप पर लगने वाला टॉर्क क्या होगा? (मान लें कि तारों के कारण कुल क्षेत्र लूप पर स्थिर है)
$(A)$ $\frac{\mu_0 I^2 a^2}{d}$ $(B)$ $\frac{\mu_0 I^2 a^2}{2 d}$ $(C)$ $\frac{\sqrt{3} \mu_0 I^2 a^2}{d}$ $(D)$ $\frac{\sqrt{3} \mu_0 I^2 a^2}{2 d}$
प्रश्न $1$ और $2$ के लिए उत्तर दें।
$1.$ जब $d \approx a$ होता है लेकिन तार लूप को स्पर्श नहीं कर रहे होते हैं,तो यह पाया जाता है कि लूप की अक्ष पर लूप के ऊपर $h$ ऊंचाई पर कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य है। उस स्थिति में
$(A)$ तार $1$ और तार $2$ में धारा क्रमशः $PQ$ और $RS$ दिशा में है और $h \approx a$
$(B)$ तार $1$ और तार $2$ में धारा क्रमशः $PQ$ और $SR$ दिशा में है और $h \approx a$
$(C)$ तार $1$ और तार $2$ में धारा क्रमशः $PQ$ और $SR$ दिशा में है और $h \approx 1.2 a$
$(D)$ तार $1$ और तार $2$ में धारा क्रमशः $PQ$ और $RS$ दिशा में है और $h \approx 1.2 a$
$2.$ मान लीजिए $d \gg a$ है,और लूप को आकृति में दिखाई गई स्थिति से तारों के समानांतर उसके व्यास के परितः $30^{\circ}$ घुमाया जाता है। यदि तारों में धारा विपरीत दिशाओं में है,तो लूप पर लगने वाला टॉर्क क्या होगा? (मान लें कि तारों के कारण कुल क्षेत्र लूप पर स्थिर है)
$(A)$ $\frac{\mu_0 I^2 a^2}{d}$ $(B)$ $\frac{\mu_0 I^2 a^2}{2 d}$ $(C)$ $\frac{\sqrt{3} \mu_0 I^2 a^2}{d}$ $(D)$ $\frac{\sqrt{3} \mu_0 I^2 a^2}{2 d}$
प्रश्न $1$ और $2$ के लिए उत्तर दें।
A
$(B, D)$
B
$(B, C)$
C
$(A, C)$
D
$(C, B)$
Solution
(B) $1.$ मान लीजिए $\vec{B}_R$ लूप की अक्ष पर $h$ ऊंचाई पर लूप के कारण चुंबकीय क्षेत्र है,जो $\vec{B}_R = \frac{\mu_0 I a^2}{2(a^2 + h^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $\vec{B}_1$ और $\vec{B}_2$ क्रमशः तार $1$ और तार $2$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र हैं।
कुल क्षेत्र को शून्य होने के लिए,$\vec{B}_1$ और $\vec{B}_2$ के क्षैतिज घटकों को एक-दूसरे को रद्द करना चाहिए,जिसके लिए विपरीत दिशाओं (जैसे,$PQ$ और $SR$) में धारा की आवश्यकता होती है।
ऊर्ध्वाधर घटकों का योग $\vec{B}_R$ के परिमाण के बराबर होना चाहिए। $h$ ऊंचाई पर दो तारों का परिणामी क्षेत्र $B_{wires} = 2 \left( \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \right) \cos \theta$ है,जहाँ $r = \sqrt{d^2 + h^2}$ और $\cos \theta = \frac{d}{r}$ है।
$B_{wires} = B_R$ रखने पर और $d \approx a$ के लिए $h$ का मान निकालने पर $h \approx 1.2 a$ प्राप्त होता है।
अतः,सही स्थितियाँ $PQ$ और $SR$ दिशा में धारा और $h \approx 1.2 a$ हैं।
$2.$ विपरीत धाराओं वाले दो तारों के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d} + \frac{\mu_0 I}{2 \pi d} = \frac{\mu_0 I}{\pi d}$ (कागज के अंदर की ओर) है।
लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M = I A = I \pi a^2$ है।
टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ है,इसलिए $\tau = M B \sin \theta$।
लूप को $30^{\circ}$ घुमाने पर,क्षेत्रफल सदिश और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $90^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ}$ या $60^{\circ}$ होता है। ज्यामिति के अनुसार,$\tau = (I \pi a^2) \left( \frac{\mu_0 I}{\pi d} \right) \sin 60^{\circ} = \frac{\mu_0 I^2 a^2}{d} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} \mu_0 I^2 a^2}{2 d}$।
मान लीजिए $\vec{B}_1$ और $\vec{B}_2$ क्रमशः तार $1$ और तार $2$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र हैं।
कुल क्षेत्र को शून्य होने के लिए,$\vec{B}_1$ और $\vec{B}_2$ के क्षैतिज घटकों को एक-दूसरे को रद्द करना चाहिए,जिसके लिए विपरीत दिशाओं (जैसे,$PQ$ और $SR$) में धारा की आवश्यकता होती है।
ऊर्ध्वाधर घटकों का योग $\vec{B}_R$ के परिमाण के बराबर होना चाहिए। $h$ ऊंचाई पर दो तारों का परिणामी क्षेत्र $B_{wires} = 2 \left( \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \right) \cos \theta$ है,जहाँ $r = \sqrt{d^2 + h^2}$ और $\cos \theta = \frac{d}{r}$ है।
$B_{wires} = B_R$ रखने पर और $d \approx a$ के लिए $h$ का मान निकालने पर $h \approx 1.2 a$ प्राप्त होता है।
अतः,सही स्थितियाँ $PQ$ और $SR$ दिशा में धारा और $h \approx 1.2 a$ हैं।
$2.$ विपरीत धाराओं वाले दो तारों के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d} + \frac{\mu_0 I}{2 \pi d} = \frac{\mu_0 I}{\pi d}$ (कागज के अंदर की ओर) है।
लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M = I A = I \pi a^2$ है।
टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ है,इसलिए $\tau = M B \sin \theta$।
लूप को $30^{\circ}$ घुमाने पर,क्षेत्रफल सदिश और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $90^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ}$ या $60^{\circ}$ होता है। ज्यामिति के अनुसार,$\tau = (I \pi a^2) \left( \frac{\mu_0 I}{\pi d} \right) \sin 60^{\circ} = \frac{\mu_0 I^2 a^2}{d} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} \mu_0 I^2 a^2}{2 d}$।
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Advanced
एक पतली आयताकार धात्विक पट्टी में, चित्र में दिखाए अनुसार धनात्मक $x$-दिशा में एक स्थिर धारा $I$ बहती है। पट्टी की लंबाई, चौड़ाई और मोटाई क्रमशः $\ell$, $w$ और $d$ हैं। पट्टी पर धनात्मक $y$-दिशा में एक समान चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ लगाया जाता है। इसके कारण, आवेश वाहक $z$-दिशा में एक शुद्ध विक्षेपण का अनुभव करते हैं। इसके परिणामस्वरूप सतह $PQRS$ पर आवेश वाहकों का संचय होता है और $PQRS$ के विपरीत फलक पर समान और विपरीत आवेश दिखाई देते हैं। इस प्रकार $z$-दिशा में एक विभवांतर विकसित होता है। आवेश का संचय तब तक जारी रहता है जब तक कि चुंबकीय बल विद्युत बल द्वारा संतुलित न हो जाए। यह माना जाता है कि धारा पट्टी के अनुप्रस्थ काट पर समान रूप से वितरित है और इलेक्ट्रॉनों द्वारा ले जाई जाती है।
$1.$ समान पदार्थ की दो अलग-अलग धात्विक पट्टियों ($1$ और $2$) पर विचार करें। उनकी लंबाई समान है, चौड़ाई क्रमशः $w_1$ और $w_2$ है और मोटाई क्रमशः $d_1$ और $d_2$ है। दो बिंदु $K$ और $M$ $x$-$y$ तल के समानांतर विपरीत फलकों पर सममित रूप से स्थित हैं (चित्र देखें)। $V_1$ और $V_2$ क्रमशः पट्टी $1$ और $2$ में $K$ और $M$ के बीच के विभवांतर हैं। तो, दिए गए चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $B$ में उनके माध्यम से बहने वाली दी गई धारा $I$ के लिए, सही कथन है(हैं):
$(A)$ यदि $w_1=w_2$ और $d_1=2d_2$, तो $V_2=2V_1$
$(B)$ यदि $w_1=w_2$ और $d_1=2d_2$, तो $V_2=V_1$
$(C)$ यदि $w_1=2w_2$ और $d_1=d_2$, तो $V_2=2V_1$
$(D)$ यदि $w_1=2w_2$ और $d_1=d_2$, तो $V_2=V_1$
$2.$ समान आयामों (लंबाई $\ell$, चौड़ाई $w$ और मोटाई $d$) और क्रमशः वाहक घनत्व $n_1$ और $n_2$ वाली दो अलग-अलग धात्विक पट्टियों ($1$ और $2$) पर विचार करें। पट्टी $1$ को चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ में और पट्टी $2$ को चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ में रखा गया है, दोनों धनात्मक $y$-दिशा में। तो $V_1$ और $V_2$ क्रमशः पट्टी $1$ और $2$ में $K$ और $M$ के बीच विकसित विभवांतर हैं। यह मानते हुए कि दोनों पट्टियों के लिए धारा $I$ समान है, सही विकल्प है(हैं):
$(A)$ यदि $B_1=B_2$ और $n_1=2n_2$, तो $V_2=2V_1$
$(B)$ यदि $B_1=B_2$ और $n_1=2n_2$, तो $V_2=V_1$
$(C)$ यदि $B_1=2B_2$ और $n_1=n_2$, तो $V_2=0.5V_1$
$(D)$ यदि $B_1=2B_2$ और $n_1=n_2$, तो $V_2=V_1$
प्रश्न $1$ और $2$ का उत्तर दें।
$1.$ समान पदार्थ की दो अलग-अलग धात्विक पट्टियों ($1$ और $2$) पर विचार करें। उनकी लंबाई समान है, चौड़ाई क्रमशः $w_1$ और $w_2$ है और मोटाई क्रमशः $d_1$ और $d_2$ है। दो बिंदु $K$ और $M$ $x$-$y$ तल के समानांतर विपरीत फलकों पर सममित रूप से स्थित हैं (चित्र देखें)। $V_1$ और $V_2$ क्रमशः पट्टी $1$ और $2$ में $K$ और $M$ के बीच के विभवांतर हैं। तो, दिए गए चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $B$ में उनके माध्यम से बहने वाली दी गई धारा $I$ के लिए, सही कथन है(हैं):
$(A)$ यदि $w_1=w_2$ और $d_1=2d_2$, तो $V_2=2V_1$
$(B)$ यदि $w_1=w_2$ और $d_1=2d_2$, तो $V_2=V_1$
$(C)$ यदि $w_1=2w_2$ और $d_1=d_2$, तो $V_2=2V_1$
$(D)$ यदि $w_1=2w_2$ और $d_1=d_2$, तो $V_2=V_1$
$2.$ समान आयामों (लंबाई $\ell$, चौड़ाई $w$ और मोटाई $d$) और क्रमशः वाहक घनत्व $n_1$ और $n_2$ वाली दो अलग-अलग धात्विक पट्टियों ($1$ और $2$) पर विचार करें। पट्टी $1$ को चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ में और पट्टी $2$ को चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ में रखा गया है, दोनों धनात्मक $y$-दिशा में। तो $V_1$ और $V_2$ क्रमशः पट्टी $1$ और $2$ में $K$ और $M$ के बीच विकसित विभवांतर हैं। यह मानते हुए कि दोनों पट्टियों के लिए धारा $I$ समान है, सही विकल्प है(हैं):
$(A)$ यदि $B_1=B_2$ और $n_1=2n_2$, तो $V_2=2V_1$
$(B)$ यदि $B_1=B_2$ और $n_1=2n_2$, तो $V_2=V_1$
$(C)$ यदि $B_1=2B_2$ और $n_1=n_2$, तो $V_2=0.5V_1$
$(D)$ यदि $B_1=2B_2$ और $n_1=n_2$, तो $V_2=V_1$
प्रश्न $1$ और $2$ का उत्तर दें।
Solution
(D) हॉल वोल्टेज $V$ को $V = v B w$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $v$ अपवाह वेग है, $B$ चुंबकीय क्षेत्र है, और $w$ चौड़ाई है।
चूंकि $I = n e A v = n e (w d) v$, हमारे पास $v = \frac{I}{n e w d}$ है।
$V$ के व्यंजक में $v$ को प्रतिस्थापित करने पर: $V = \left(\frac{I}{n e w d}\right) B w = \frac{I B}{n e d}$।
$1.$ समान पदार्थ ($n$ स्थिर है) और समान धारा $I$ और क्षेत्र $B$ के लिए, $V \propto \frac{1}{d}$।
अतः, $\frac{V_2}{V_1} = \frac{d_1}{d_2}$।
यदि $w_1=w_2$ और $d_1=2d_2$, तो $V_2 = \frac{2d_2}{d_2} V_1 = 2V_1$। (विकल्प $A$ सही है)।
यदि $w_1=2w_2$ और $d_1=d_2$, तो $V_2 = \frac{d_1}{d_1} V_1 = V_1$। (विकल्प $D$ सही है)।
$2.$ समान आयामों ($w, d$ स्थिर) और समान धारा $I$ के लिए, $V \propto \frac{B}{n}$।
अतः, $\frac{V_2}{V_1} = \frac{B_2}{B_1} \cdot \frac{n_1}{n_2}$।
यदि $B_1=B_2$ और $n_1=2n_2$, तो $\frac{V_2}{V_1} = 1 \cdot \frac{2n_2}{n_2} = 2$, इसलिए $V_2=2V_1$। (विकल्प $A$ सही है)।
यदि $B_1=2B_2$ और $n_1=n_2$, तो $\frac{V_2}{V_1} = \frac{B_2}{2B_2} \cdot 1 = 0.5$, इसलिए $V_2=0.5V_1$। (विकल्प $C$ सही है)।
अतः, सही उत्तर $AD$ और $AC$ हैं।
चूंकि $I = n e A v = n e (w d) v$, हमारे पास $v = \frac{I}{n e w d}$ है।
$V$ के व्यंजक में $v$ को प्रतिस्थापित करने पर: $V = \left(\frac{I}{n e w d}\right) B w = \frac{I B}{n e d}$।
$1.$ समान पदार्थ ($n$ स्थिर है) और समान धारा $I$ और क्षेत्र $B$ के लिए, $V \propto \frac{1}{d}$।
अतः, $\frac{V_2}{V_1} = \frac{d_1}{d_2}$।
यदि $w_1=w_2$ और $d_1=2d_2$, तो $V_2 = \frac{2d_2}{d_2} V_1 = 2V_1$। (विकल्प $A$ सही है)।
यदि $w_1=2w_2$ और $d_1=d_2$, तो $V_2 = \frac{d_1}{d_1} V_1 = V_1$। (विकल्प $D$ सही है)।
$2.$ समान आयामों ($w, d$ स्थिर) और समान धारा $I$ के लिए, $V \propto \frac{B}{n}$।
अतः, $\frac{V_2}{V_1} = \frac{B_2}{B_1} \cdot \frac{n_1}{n_2}$।
यदि $B_1=B_2$ और $n_1=2n_2$, तो $\frac{V_2}{V_1} = 1 \cdot \frac{2n_2}{n_2} = 2$, इसलिए $V_2=2V_1$। (विकल्प $A$ सही है)।
यदि $B_1=2B_2$ और $n_1=n_2$, तो $\frac{V_2}{V_1} = \frac{B_2}{2B_2} \cdot 1 = 0.5$, इसलिए $V_2=0.5V_1$। (विकल्प $C$ सही है)।
अतः, सही उत्तर $AD$ और $AC$ हैं।
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MediumMCQ
सूची-$I$ का मिलान सूची-$II$ से करें।
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:
| सूची-$I$ | सूची-$II$ |
| $(A)$ निर्वात की पारगम्यता (Permeability) | $(I) \ [M L^2 T^{-2}]$ |
| $(B)$ चुंबकीय क्षेत्र | $(II) \ [M T^{-2} A^{-1}]$ |
| $(C)$ चुंबकीय आघूर्ण | $(III) \ [M L T^{-2} A^{-2}]$ |
| $(D)$ मरोड़ी नियतांक (Torsional constant) | $(IV) \ [L^2 A]$ |
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:
A
$(A)-(I), (B)-(IV), (C)-(II), (D)-(III)$
B
$(A)-(II), (B)-(I), (C)-(III), (D)-(IV)$
C
$(A)-(IV), (B)-(III), (C)-(I), (D)-(II)$
D
$(A)-(III), (B)-(II), (C)-(IV), (D)-(I)$
Solution
(D) $1$. निर्वात की पारगम्यता $(\mu_0)$: $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ से,$[\mu_0] = [\frac{B \cdot r}{I}] = [\frac{(M T^{-2} A^{-1}) \cdot L}{A}] = [M L T^{-2} A^{-2}]$. अतः,$(A)-(III)$.
$2$. चुंबकीय क्षेत्र $(B)$: $F = qvB$ से,$[B] = [\frac{F}{qv}] = [\frac{M L T^{-2}}{A T \cdot L T^{-1}}] = [M T^{-2} A^{-1}]$. अतः,$(B)-(II)$.
$3$. चुंबकीय आघूर्ण $(M)$: $M = I \cdot A$,जहाँ $I$ धारा है और $A$ क्षेत्रफल है। अतः,$[M] = [A \cdot L^2] = [L^2 A]$. अतः,$(C)-(IV)$.
$4$. मरोड़ी नियतांक $(c)$: $\tau = c \theta$ से,जहाँ $\tau$ टॉर्क है और $\theta$ विमाहीन कोण है,$[c] = [\tau] = [M L^2 T^{-2}]$. अतः,$(D)-(I)$.
$2$. चुंबकीय क्षेत्र $(B)$: $F = qvB$ से,$[B] = [\frac{F}{qv}] = [\frac{M L T^{-2}}{A T \cdot L T^{-1}}] = [M T^{-2} A^{-1}]$. अतः,$(B)-(II)$.
$3$. चुंबकीय आघूर्ण $(M)$: $M = I \cdot A$,जहाँ $I$ धारा है और $A$ क्षेत्रफल है। अतः,$[M] = [A \cdot L^2] = [L^2 A]$. अतः,$(C)-(IV)$.
$4$. मरोड़ी नियतांक $(c)$: $\tau = c \theta$ से,जहाँ $\tau$ टॉर्क है और $\theta$ विमाहीन कोण है,$[c] = [\tau] = [M L^2 T^{-2}]$. अतः,$(D)-(I)$.
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MediumMCQ
एक इलेक्ट्रॉन (द्रव्यमान $9 \times 10^{-31} \ kg$ और आवेश $1.6 \times 10^{-19} \ C$) जो $v = c/100$ $(c = 3 \times 10^8 \ ms^{-1})$ की गति से चल रहा है,उसे उसकी गति की दिशा के लंबवत चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ $(9 \times 10^{-4} \ T)$ में प्रवेश कराया जाता है। हम चुंबकीय क्षेत्र के साथ एक समान विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ लागू करना चाहते हैं ताकि इलेक्ट्रॉन अपने पथ से विचलित न हो। तो:
A
$\vec{E}$,$\vec{B}$ के लंबवत है और इसका परिमाण $27 \times 10^4 \ V \ m^{-1}$ है
B
$\vec{E}$,$\vec{B}$ के लंबवत है और इसका परिमाण $27 \times 10^2 \ V \ m^{-1}$ है
C
$\vec{E}$,$\vec{B}$ के समानांतर है और इसका परिमाण $27 \times 10^2 \ V \ m^{-1}$ है
D
$\vec{E}$,$\vec{B}$ के समानांतर है और इसका परिमाण $27 \times 10^4 \ V \ m^{-1}$ है
Solution
(B) इलेक्ट्रॉन के बिना विचलित हुए गति करने के लिए,कुल लॉरेंट्ज़ बल शून्य होना चाहिए: $\vec{F}_e + \vec{F}_m = 0$,जिसका अर्थ है $\vec{F}_e = -\vec{F}_m$.
चूंकि चुंबकीय बल $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ है,इसका परिमाण $F_m = qvB \sin(90^\circ) = qvB$ होगा।
विद्युत बल $F_e = qE$ है।
बलों के परिमाण की तुलना करने पर: $qE = qvB \implies E = vB$.
यहाँ $v = c/100 = (3 \times 10^8) / 100 = 3 \times 10^6 \ ms^{-1}$ है।
और $B = 9 \times 10^{-4} \ T$ दिया गया है।
$E$ की गणना करने पर: $E = (3 \times 10^6) \times (9 \times 10^{-4}) = 27 \times 10^2 \ V \ m^{-1}$।
बलों को एक-दूसरे को रद्द करने के लिए,$\vec{E}$ को $\vec{v}$ और $\vec{B}$ दोनों के लंबवत होना चाहिए। चूंकि $\vec{v}$,$\vec{B}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{E}$ को $\vec{B}$ के लंबवत होना चाहिए।
चूंकि चुंबकीय बल $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ है,इसका परिमाण $F_m = qvB \sin(90^\circ) = qvB$ होगा।
विद्युत बल $F_e = qE$ है।
बलों के परिमाण की तुलना करने पर: $qE = qvB \implies E = vB$.
यहाँ $v = c/100 = (3 \times 10^8) / 100 = 3 \times 10^6 \ ms^{-1}$ है।
और $B = 9 \times 10^{-4} \ T$ दिया गया है।
$E$ की गणना करने पर: $E = (3 \times 10^6) \times (9 \times 10^{-4}) = 27 \times 10^2 \ V \ m^{-1}$।
बलों को एक-दूसरे को रद्द करने के लिए,$\vec{E}$ को $\vec{v}$ और $\vec{B}$ दोनों के लंबवत होना चाहिए। चूंकि $\vec{v}$,$\vec{B}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{E}$ को $\vec{B}$ के लंबवत होना चाहिए।
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DifficultMCQ
दो वृत्ताकार कुंडलियाँ $1$ और $2$ एक ही तार से बनाई गई हैं,लेकिन पहली कुंडली की त्रिज्या दूसरी कुंडली की त्रिज्या से दोगुनी है। उनके सिरों पर लगाए गए विभवांतर का अनुपात क्या होगा ताकि उनके केंद्रों पर चुंबकीय क्षेत्र समान रहे?
A
$2: 1$
B
$4: 1$
C
$1: 2$
D
$1: 4$
Solution
(B) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $B_1 = B_2$,इसलिए $\frac{i_1}{r_1} = \frac{i_2}{r_2}$.
चूँकि $r_1 = 2r_2$,हमें प्राप्त होता है $\frac{i_1}{2r_2} = \frac{i_2}{r_2}$,जिसका अर्थ है $i_1 = 2i_2$.
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ होता है। चूँकि दोनों कुंडलियाँ एक ही तार से बनी हैं,$\rho$ और $A$ स्थिर हैं। लंबाई $L = 2\pi r$.
अतः,$R_1 = 2\pi r_1$ और $R_2 = 2\pi r_2$. चूँकि $r_1 = 2r_2$,इसलिए $R_1 = 2R_2$.
विभवांतर $V = iR$ है। इसलिए,$\frac{V_1}{V_2} = \frac{i_1 R_1}{i_2 R_2}$.
मान रखने पर: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{(2i_2)(2R_2)}{i_2 R_2} = 4$.
अतः,अनुपात $4: 1$ है।
दिया गया है कि $B_1 = B_2$,इसलिए $\frac{i_1}{r_1} = \frac{i_2}{r_2}$.
चूँकि $r_1 = 2r_2$,हमें प्राप्त होता है $\frac{i_1}{2r_2} = \frac{i_2}{r_2}$,जिसका अर्थ है $i_1 = 2i_2$.
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ होता है। चूँकि दोनों कुंडलियाँ एक ही तार से बनी हैं,$\rho$ और $A$ स्थिर हैं। लंबाई $L = 2\pi r$.
अतः,$R_1 = 2\pi r_1$ और $R_2 = 2\pi r_2$. चूँकि $r_1 = 2r_2$,इसलिए $R_1 = 2R_2$.
विभवांतर $V = iR$ है। इसलिए,$\frac{V_1}{V_2} = \frac{i_1 R_1}{i_2 R_2}$.
मान रखने पर: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{(2i_2)(2R_2)}{i_2 R_2} = 4$.
अतः,अनुपात $4: 1$ है।
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MediumMCQ
चित्र में $i$ धारा वाली एक वृत्ताकार कुंडली दिखाई गई है,जिसे $i$ धारा वाले एक सीधे चालक पर बिंदु $A$ पर बहुत करीब रखा गया है लेकिन यह उसे स्पर्श नहीं करती है। वृत्ताकार कुंडली के केंद्र $O$ पर चुंबकीय प्रेरण का परिमाण क्या होगा?
A
$\frac{\mu_0 i}{2 r}\left[1-\frac{1}{\pi}\right]$
B
$\frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$
C
$\frac{\mu_0 i}{2 r}$
D
शून्य
Solution
(A) वृत्ताकार धारावाही लूप के केंद्र $O$ पर चुंबकीय प्रेरण $B_1 = \frac{\mu_0 i}{2 r}$ (कागज के तल के अंदर की दिशा में) द्वारा दिया जाता है।
सीधे तार के कारण $r$ दूरी पर स्थित केंद्र $O$ पर चुंबकीय प्रेरण $B_2 = \frac{\mu_0}{2 \pi} \cdot \frac{i}{r}$ (कागज के तल के बाहर की दिशा में) द्वारा दिया जाता है।
$O$ पर कुल चुंबकीय प्रेरण इन दो परिमाणों का अंतर है:
$B = B_1 - B_2 = \frac{\mu_0 i}{2 r} - \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$
$B = \frac{\mu_0 i}{2 r} \left[1 - \frac{1}{\pi}\right]$
सीधे तार के कारण $r$ दूरी पर स्थित केंद्र $O$ पर चुंबकीय प्रेरण $B_2 = \frac{\mu_0}{2 \pi} \cdot \frac{i}{r}$ (कागज के तल के बाहर की दिशा में) द्वारा दिया जाता है।
$O$ पर कुल चुंबकीय प्रेरण इन दो परिमाणों का अंतर है:
$B = B_1 - B_2 = \frac{\mu_0 i}{2 r} - \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$
$B = \frac{\mu_0 i}{2 r} \left[1 - \frac{1}{\pi}\right]$
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MediumMCQ
$10 \ eV$ ऊर्जा का एक $\alpha$ कण एक समान चुंबकीय क्षेत्र में वृत्ताकार पथ पर गति कर रहा है। उसी पथ और उसी चुंबकीय क्षेत्र में गति करने वाले प्रोटॉन की ऊर्जा क्या होगी ($eV$ में)? [$\alpha$ कण का द्रव्यमान $= 4 \times$ प्रोटॉन का द्रव्यमान]
A
$4$
B
$8$
C
$16$
D
$10$
Solution
(D) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में गति करने वाले आवेशित कण की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K$ गतिज ऊर्जा है।
चूंकि पथ $(r)$ और चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ दोनों कणों के लिए समान हैं,इसलिए $\frac{\sqrt{2m_{\alpha}K_{\alpha}}}{q_{\alpha}B} = \frac{\sqrt{2m_{p}K_{p}}}{q_{p}B}$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्ग करने और पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{2m_{\alpha}K_{\alpha}}{q_{\alpha}^2} = \frac{2m_{p}K_{p}}{q_{p}^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $K_{p} = K_{\alpha} \cdot \left(\frac{m_{\alpha}}{m_{p}}\right) \cdot \left(\frac{q_{p}}{q_{\alpha}}\right)^2$।
दिया गया है $m_{\alpha} = 4m_{p}$ और $q_{\alpha} = 2q_{p}$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$K_{p} = 10 \ eV \cdot \left(\frac{4m_{p}}{m_{p}}\right) \cdot \left(\frac{q_{p}}{2q_{p}}\right)^2 = 10 \ eV \cdot 4 \cdot \frac{1}{4} = 10 \ eV$।
चूंकि पथ $(r)$ और चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ दोनों कणों के लिए समान हैं,इसलिए $\frac{\sqrt{2m_{\alpha}K_{\alpha}}}{q_{\alpha}B} = \frac{\sqrt{2m_{p}K_{p}}}{q_{p}B}$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्ग करने और पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{2m_{\alpha}K_{\alpha}}{q_{\alpha}^2} = \frac{2m_{p}K_{p}}{q_{p}^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $K_{p} = K_{\alpha} \cdot \left(\frac{m_{\alpha}}{m_{p}}\right) \cdot \left(\frac{q_{p}}{q_{\alpha}}\right)^2$।
दिया गया है $m_{\alpha} = 4m_{p}$ और $q_{\alpha} = 2q_{p}$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$K_{p} = 10 \ eV \cdot \left(\frac{4m_{p}}{m_{p}}\right) \cdot \left(\frac{q_{p}}{2q_{p}}\right)^2 = 10 \ eV \cdot 4 \cdot \frac{1}{4} = 10 \ eV$।
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EasyMCQ
यदि एक थर्मोकपल के ठंडे जंक्शन का तापमान कम कर दिया जाए,तो उदासीन तापमान
A
बढ़ता है
B
व्युत्क्रमण तापमान के करीब आता है
C
घटता है
D
समान रहता है
Solution
(D) थर्मोकपल का उदासीन तापमान $(T_n)$ थर्मोकपल बनाने के लिए उपयोग की जाने वाली सामग्रियों का एक विशिष्ट गुण है। यह केवल उपयोग की गई धातुओं की प्रकृति पर निर्भर करता है और ठंडे जंक्शन के तापमान $(T_c)$ तथा व्युत्क्रमण तापमान $(T_i)$ से स्वतंत्र होता है। इसलिए,यदि ठंडे जंक्शन का तापमान कम किया जाता है,तो उदासीन तापमान समान रहता है।
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MediumMCQ
$\frac{B^2}{2\mu_0}$ का विमीय सूत्र चुनिए।
A
$M^1 L^1 T^{-2}$
B
$M^{-1} L^1 T^2$
C
$M^{-1} L^{-1} T^{-2}$
D
$M^1 L^{-1} T^{-2}$
Solution
(D) व्यंजक $\frac{B^2}{2\mu_0}$ चुंबकीय क्षेत्र में संचित चुंबकीय ऊर्जा घनत्व $(u_B)$ को दर्शाता है।
ऊर्जा घनत्व को प्रति इकाई आयतन ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$u_B = \frac{B^2}{2\mu_0} = \frac{\text{ऊर्जा}}{\text{आयतन}}$
ऊर्जा का विमीय सूत्र $[M^1 L^2 T^{-2}]$ है और आयतन का विमीय सूत्र $[L^3]$ है।
अतः,चुंबकीय ऊर्जा घनत्व का विमीय सूत्र है:
$\frac{[M^1 L^2 T^{-2}]}{[L^3]} = [M^1 L^{-1} T^{-2}]$
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।
ऊर्जा घनत्व को प्रति इकाई आयतन ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$u_B = \frac{B^2}{2\mu_0} = \frac{\text{ऊर्जा}}{\text{आयतन}}$
ऊर्जा का विमीय सूत्र $[M^1 L^2 T^{-2}]$ है और आयतन का विमीय सूत्र $[L^3]$ है।
अतः,चुंबकीय ऊर्जा घनत्व का विमीय सूत्र है:
$\frac{[M^1 L^2 T^{-2}]}{[L^3]} = [M^1 L^{-1} T^{-2}]$
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।
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EasyMCQ
निम्नलिखित में से कौन सा चुंबकीय प्रेरण का मात्रक नहीं है?
A
$\frac{\text{वेबर}}{\text{मीटर}^2}$
B
$\frac{\text{न्यूटन-मीटर}}{\text{एम्पियर}}$
C
टेस्ला
D
$\frac{\text{न्यूटन}}{\text{मीटर-एम्पियर}}$
Solution
(B) चुंबकीय प्रेरण $B$ को $I$ धारा ले जाने वाले $l$ लंबाई के तार पर लगने वाले बल $F$ द्वारा $F = BIl \sin \theta$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अतः,चुंबकीय प्रेरण का $SI$ मात्रक $\frac{\text{न्यूटन}}{\text{एम्पियर-मीटर}}$ है।
चूंकि $1 \text{ टेस्ला} = 1 \frac{\text{वेबर}}{\text{मीटर}^2} = 1 \frac{\text{न्यूटन}}{\text{एम्पियर-मीटर}}$,इसलिए विकल्प $A$,$C$,और $D$ चुंबकीय प्रेरण के वैध मात्रक हैं।
विकल्प $B$,$\frac{\text{न्यूटन-मीटर}}{\text{एम्पियर}}$,चुंबकीय प्रेरण का मात्रक नहीं है।
अतः,चुंबकीय प्रेरण का $SI$ मात्रक $\frac{\text{न्यूटन}}{\text{एम्पियर-मीटर}}$ है।
चूंकि $1 \text{ टेस्ला} = 1 \frac{\text{वेबर}}{\text{मीटर}^2} = 1 \frac{\text{न्यूटन}}{\text{एम्पियर-मीटर}}$,इसलिए विकल्प $A$,$C$,और $D$ चुंबकीय प्रेरण के वैध मात्रक हैं।
विकल्प $B$,$\frac{\text{न्यूटन-मीटर}}{\text{एम्पियर}}$,चुंबकीय प्रेरण का मात्रक नहीं है।
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EasyMCQ
एक आवेश $q$ को $V$ विभवांतर के माध्यम से त्वरित किया जाता है। इसके बाद इसे एक समान चुंबकीय क्षेत्र में लंबवत रूप से गुजारा जाता है,जहाँ यह $r$ त्रिज्या के वृत्त में गति करता है। इसे $2r$ त्रिज्या के वृत्त में गति कराने के लिए आवश्यक विभवांतर है ($V$ में)
A
$12$
B
$4$
C
$1$
D
$3$
Solution
(B) जब एक आवेश $q$ को $V$ विभवांतर से त्वरित किया जाता है,तो उसकी गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}mv^2 = qV$ होती है।
इससे $mv = \sqrt{2mqV}$ प्राप्त होता है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ में वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ होती है।
$mv$ का मान रखने पर,$r = \frac{\sqrt{2mqV}}{qB}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $m, q$ और $B$ स्थिर हैं,इसलिए $r \propto \sqrt{V}$ होता है।
यदि त्रिज्या $2r$ हो जाती है,तो $\frac{r'}{r} = \frac{\sqrt{V'}}{\sqrt{V}} = 2$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{V'}{V} = 4$,जिससे $V' = 4V$ प्राप्त होता है।
इससे $mv = \sqrt{2mqV}$ प्राप्त होता है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ में वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ होती है।
$mv$ का मान रखने पर,$r = \frac{\sqrt{2mqV}}{qB}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $m, q$ और $B$ स्थिर हैं,इसलिए $r \propto \sqrt{V}$ होता है।
यदि त्रिज्या $2r$ हो जाती है,तो $\frac{r'}{r} = \frac{\sqrt{V'}}{\sqrt{V}} = 2$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{V'}{V} = 4$,जिससे $V' = 4V$ प्राप्त होता है।
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MediumMCQ
दो लंबे सीधे समानांतर तार एक-दूसरे से $2d$ की दूरी पर हैं। उनमें कागज के तल से बाहर की ओर बहने वाली समान स्थिर धारा प्रवाहित हो रही है। रेखा $xx'$ के अनुदिश चुंबकीय क्षेत्र $B$ में परिवर्तन किसके द्वारा दिया गया है?
A
B
C
D
Solution
(A) मान लीजिए कि दो तार $xx'$ अक्ष पर $x = -d$ और $x = +d$ पर स्थित हैं। धारा कागज के तल से बाहर की ओर बह रही है।
दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए, $i$ धारा ले जाने वाले तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ होता है।
$x = -d$ पर स्थित तार के लिए, $x > -d$ के लिए क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i}{2\pi (x+d)}$ है, जो $(-\hat{j})$ दिशा में है।
$x = +d$ पर स्थित तार के लिए, $x < d$ के लिए क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 i}{2\pi (d-x)}$ है, जो $\hat{j}$ दिशा में है।
तारों के बीच के क्षेत्र $(-d < x < d)$ में, कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_2 - B_1 = \frac{\mu_0 i}{2\pi} \left[ \frac{1}{d-x} - \frac{1}{d+x} \right]$ है।
मध्य बिंदु $x = 0$ पर, $B_{net} = 0$ होता है। जैसे-जैसे $x$, $d$ के करीब पहुंचता है, $B_{net} \to \infty$ $\hat{j}$ दिशा में हो जाता है। जैसे-जैसे $x$, $-d$ के करीब पहुंचता है, $B_{net} \to -\infty$ $(-\hat{j})$ दिशा में हो जाता है।
तारों के बाहर, क्षेत्रों का परिमाण जुड़ जाता है। सही ग्राफिकल निरूपण जो मध्य बिंदु पर क्षेत्र को शून्य और दोनों तरफ विपरीत दिशाओं को दर्शाता है, वह विकल्प $A$ द्वारा दिया गया है।
दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए, $i$ धारा ले जाने वाले तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ होता है।
$x = -d$ पर स्थित तार के लिए, $x > -d$ के लिए क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i}{2\pi (x+d)}$ है, जो $(-\hat{j})$ दिशा में है।
$x = +d$ पर स्थित तार के लिए, $x < d$ के लिए क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 i}{2\pi (d-x)}$ है, जो $\hat{j}$ दिशा में है।
तारों के बीच के क्षेत्र $(-d < x < d)$ में, कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_2 - B_1 = \frac{\mu_0 i}{2\pi} \left[ \frac{1}{d-x} - \frac{1}{d+x} \right]$ है।
मध्य बिंदु $x = 0$ पर, $B_{net} = 0$ होता है। जैसे-जैसे $x$, $d$ के करीब पहुंचता है, $B_{net} \to \infty$ $\hat{j}$ दिशा में हो जाता है। जैसे-जैसे $x$, $-d$ के करीब पहुंचता है, $B_{net} \to -\infty$ $(-\hat{j})$ दिशा में हो जाता है।
तारों के बाहर, क्षेत्रों का परिमाण जुड़ जाता है। सही ग्राफिकल निरूपण जो मध्य बिंदु पर क्षेत्र को शून्य और दोनों तरफ विपरीत दिशाओं को दर्शाता है, वह विकल्प $A$ द्वारा दिया गया है।
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EasyMCQ
गलत कथन चुनिए।
A
विराम अवस्था में इलेक्ट्रॉन चुंबकीय क्षेत्र में कोई बल अनुभव नहीं करता है।
B
चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करने वाले इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा में वृद्धि शून्य होती है।
C
जब एक इलेक्ट्रॉन को विद्युत क्षेत्र के लंबवत प्रक्षेपित किया जाता है,तो वह एक परवलयाकार पथ का अनुसरण करता है।
D
विद्युत क्षेत्र की दिशा में गति करने वाला इलेक्ट्रॉन गतिज ऊर्जा प्राप्त करता है।
Solution
(D) गतिमान आवेश पर चुंबकीय बल $F = q(v \times B)$ द्वारा दिया जाता है। यदि इलेक्ट्रॉन विराम अवस्था में है $(v = 0)$,तो बल शून्य होता है। अतः,विकल्प $A$ सही है।
जब एक इलेक्ट्रॉन चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करता है,तो बल हमेशा वेग के लंबवत होता है,इसलिए कोई कार्य नहीं होता है और गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है। अतः,विकल्प $B$ सही है।
जब एक इलेक्ट्रॉन विद्युत क्षेत्र में लंबवत प्रवेश करता है,तो वह अपने प्रारंभिक वेग के लंबवत एक स्थिर बल का अनुभव करता है,जिसके परिणामस्वरूप वह एक परवलयाकार पथ पर चलता है। अतः,विकल्प $C$ सही है।
इलेक्ट्रॉन ऋणावेशित होता है,इसलिए यह विद्युत क्षेत्र की दिशा के विपरीत स्थिरवैद्युत बल $F = -eE$ का अनुभव करता है। यदि यह विद्युत क्षेत्र की दिशा में गति करता है,तो इसकी गति धीमी हो जाती है,जिसका अर्थ है कि यह गतिज ऊर्जा खो देता है। अतः,विकल्प $D$ गलत कथन है।
जब एक इलेक्ट्रॉन चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करता है,तो बल हमेशा वेग के लंबवत होता है,इसलिए कोई कार्य नहीं होता है और गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है। अतः,विकल्प $B$ सही है।
जब एक इलेक्ट्रॉन विद्युत क्षेत्र में लंबवत प्रवेश करता है,तो वह अपने प्रारंभिक वेग के लंबवत एक स्थिर बल का अनुभव करता है,जिसके परिणामस्वरूप वह एक परवलयाकार पथ पर चलता है। अतः,विकल्प $C$ सही है।
इलेक्ट्रॉन ऋणावेशित होता है,इसलिए यह विद्युत क्षेत्र की दिशा के विपरीत स्थिरवैद्युत बल $F = -eE$ का अनुभव करता है। यदि यह विद्युत क्षेत्र की दिशा में गति करता है,तो इसकी गति धीमी हो जाती है,जिसका अर्थ है कि यह गतिज ऊर्जा खो देता है। अतः,विकल्प $D$ गलत कथन है।
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MediumMCQ
$10 \,cm$ भुजा वाले एक घन में $(i)$ $10^7 \,Vm^{-1}$ का एक समान विद्युत क्षेत्र और (ii) $0.25 \,Wbm^{-2}$ का एक समान चुंबकीय क्षेत्र स्थापित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा क्रमशः लगभग कितनी होगी? $(\mu_0=4 \pi \times 10^{-7} \,Hm^{-1}, \varepsilon_0=8.9 \times 10^{-12} \,Fm^{-1})$
A
$0.445 \,J, 25 \,J$
B
$4.45 \,J, 2.5 \,J$
C
$44.5 \,J, 25 \,J$
D
$0.44 \,J, 2.5 \,J$
Solution
(A) विद्युत क्षेत्र का ऊर्जा घनत्व $u_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ है और चुंबकीय क्षेत्र का ऊर्जा घनत्व $u_B = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0}$ है।
घन का आयतन:
$V = l^3 = (0.1 \,m)^3 = 10^{-3} \,m^3$
विद्युत क्षेत्र के लिए:
$U_E = u_E \times V = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 \times V$
$U_E = \frac{1}{2} \times 8.9 \times 10^{-12} \times (10^7)^2 \times 10^{-3}$
$U_E = 4.45 \times 10^{-12+14-3} = 4.45 \times 10^{-1} = 0.445 \,J$
चुंबकीय क्षेत्र के लिए:
$U_B = u_B \times V = \frac{B^2}{2 \mu_0} \times V$
$U_B = \frac{(0.25)^2 \times 10^{-3}}{2 \times 4 \pi \times 10^{-7}}$
$U_B = \frac{0.0625 \times 10^{-3}}{8 \pi \times 10^{-7}}$
$U_B \approx \frac{0.0625 \times 10^4}{25.13} \approx 24.87 \,J \approx 25 \,J$
घन का आयतन:
$V = l^3 = (0.1 \,m)^3 = 10^{-3} \,m^3$
विद्युत क्षेत्र के लिए:
$U_E = u_E \times V = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 \times V$
$U_E = \frac{1}{2} \times 8.9 \times 10^{-12} \times (10^7)^2 \times 10^{-3}$
$U_E = 4.45 \times 10^{-12+14-3} = 4.45 \times 10^{-1} = 0.445 \,J$
चुंबकीय क्षेत्र के लिए:
$U_B = u_B \times V = \frac{B^2}{2 \mu_0} \times V$
$U_B = \frac{(0.25)^2 \times 10^{-3}}{2 \times 4 \pi \times 10^{-7}}$
$U_B = \frac{0.0625 \times 10^{-3}}{8 \pi \times 10^{-7}}$
$U_B \approx \frac{0.0625 \times 10^4}{25.13} \approx 24.87 \,J \approx 25 \,J$
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MediumMCQ
दो संकेंद्रित लूप $A$ और $B$ जिनकी त्रिज्या समान $R = 2 \pi \,cm = 2 \pi \times 10^{-2} \,m$ है, एक-दूसरे के लंबवत रखे गए हैं। यदि $A$ और $B$ से बहने वाली धारा क्रमशः $I_A = 3 \,A$ और $I_B = 4 \,A$ है, तो उनके सामान्य केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र क्या होगा?
A
$0.5 \times 10^{-5} \,T$
B
$1.0 \times 10^{-5} \,T$
C
$2.5 \times 10^{-5} \,T$
D
$5.0 \times 10^{-5} \,T$
Solution
(D) वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $R = 2 \pi \times 10^{-2} \,m$, $I_A = 3 \,A$, और $I_B = 4 \,A$ दिया गया है।
लूप $A$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_A = \frac{\mu_0 I_A}{2R} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 3}{2 \times 2 \pi \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{-5} \,T$ है।
लूप $B$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_B = \frac{\mu_0 I_B}{2R} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 4}{2 \times 2 \pi \times 10^{-2}} = 4 \times 10^{-5} \,T$ है।
चूंकि लूप एक-दूसरे के लंबवत हैं, इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = \sqrt{B_A^2 + B_B^2} = \sqrt{(3 \times 10^{-5})^2 + (4 \times 10^{-5})^2} = \sqrt{9 + 16} \times 10^{-5} = 5 \times 10^{-5} \,T$ होगा।
यहाँ $R = 2 \pi \times 10^{-2} \,m$, $I_A = 3 \,A$, और $I_B = 4 \,A$ दिया गया है।
लूप $A$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_A = \frac{\mu_0 I_A}{2R} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 3}{2 \times 2 \pi \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{-5} \,T$ है।
लूप $B$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_B = \frac{\mu_0 I_B}{2R} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 4}{2 \times 2 \pi \times 10^{-2}} = 4 \times 10^{-5} \,T$ है।
चूंकि लूप एक-दूसरे के लंबवत हैं, इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = \sqrt{B_A^2 + B_B^2} = \sqrt{(3 \times 10^{-5})^2 + (4 \times 10^{-5})^2} = \sqrt{9 + 16} \times 10^{-5} = 5 \times 10^{-5} \,T$ होगा।
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EasyMCQ
निम्नलिखित का मिलान करें:
सही उत्तर है:
| सूची-$I$ | सूची-$II$ |
| $a$. फ्लेमिंग का बाएं हाथ का नियम | $e$. प्रेरित धारा की दिशा |
| $b$. फ्लेमिंग का दाएं हाथ का नियम | $f$. दक्षिणी ध्रुव |
| $c$. दक्षिणावर्त धारा | $g$. उत्तरी ध्रुव |
| $d$. वामावर्त धारा | $h$. बल की दिशा |
सही उत्तर है:
A
$a-h; b-e; c-f; d-g$
B
$a-e; b-h; c-f; d-g$
C
$a-g; b-e; c-f; d-h$
D
$a-h; b-e; c-g; d-f$
Solution
(A) $1$. फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम का उपयोग चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही चालक पर लगने वाले बल की दिशा निर्धारित करने के लिए किया जाता है $(a-h)$.
$2$. फ्लेमिंग के दाएं हाथ के नियम का उपयोग चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान चालक में प्रेरित धारा की दिशा निर्धारित करने के लिए किया जाता है $(b-e)$.
$3$. क्लॉक नियम के अनुसार,दक्षिणावर्त (clockwise) धारा ले जाने वाले लूप का एक फलक दक्षिणी ध्रुव के रूप में कार्य करता है $(c-f)$.
$4$. वामावर्त (anticlockwise) धारा ले जाने वाले लूप का एक फलक उत्तरी ध्रुव के रूप में कार्य करता है $(d-g)$.
अतः,सही मिलान $a-h, b-e, c-f, d-g$ है।
$2$. फ्लेमिंग के दाएं हाथ के नियम का उपयोग चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान चालक में प्रेरित धारा की दिशा निर्धारित करने के लिए किया जाता है $(b-e)$.
$3$. क्लॉक नियम के अनुसार,दक्षिणावर्त (clockwise) धारा ले जाने वाले लूप का एक फलक दक्षिणी ध्रुव के रूप में कार्य करता है $(c-f)$.
$4$. वामावर्त (anticlockwise) धारा ले जाने वाले लूप का एक फलक उत्तरी ध्रुव के रूप में कार्य करता है $(d-g)$.
अतः,सही मिलान $a-h, b-e, c-f, d-g$ है।
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DifficultMCQ
$E$ emf वाली बैटरी से जुड़ी एक वृत्ताकार कुंडली अपने केंद्र पर एक निश्चित चुंबकीय प्रेरण क्षेत्र उत्पन्न करती है। कुंडली को खोलकर उसकी लंबाई दोगुनी कर दी जाती है,मूल त्रिज्या के $1/3$ भाग की त्रिज्या वाली कुंडली में फिर से लपेटा जाता है और केंद्र पर समान क्षेत्र उत्पन्न करने के लिए $E^{\prime}$ emf वाली बैटरी से जोड़ा जाता है। तब $E^{\prime}$ है
A
$\frac{2 E}{9}$
B
$\frac{3 E}{7}$
C
$\frac{9 E}{4}$
D
$\frac{7 E}{4}$
Solution
(A) $n$ फेरों वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 i n}{2 r}$ है।
माना मूल लंबाई $L = 2 \pi r n$ है। जब तार को खींचकर लंबाई दोगुनी की जाती है,तो $L^{\prime} = 2L = 4 \pi r n$ हो जाता है।
नई त्रिज्या $r^{\prime} = r/3$ है। फेरों की नई संख्या $n^{\prime}$ के लिए $L^{\prime} = 2 \pi r^{\prime} n^{\prime} \Rightarrow 4 \pi r n = 2 \pi (r/3) n^{\prime} \Rightarrow n^{\prime} = 6n$ प्राप्त होता है।
केंद्र पर समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लिए,$\frac{\mu_0 i n}{2 r} = \frac{\mu_0 i^{\prime} n^{\prime}}{2 r^{\prime}}$.
$n^{\prime} = 6n$ और $r^{\prime} = r/3$ रखने पर,$\frac{i n}{r} = \frac{i^{\prime} (6n)}{r/3} \Rightarrow \frac{i n}{r} = \frac{18 i^{\prime} n}{r} \Rightarrow i^{\prime} = \frac{i}{18}$ प्राप्त होता है।
चूंकि तार का आयतन स्थिर रहता है,$A L = A^{\prime} L^{\prime} \Rightarrow A L = A^{\prime} (2L) \Rightarrow A^{\prime} = A/2$.
नया प्रतिरोध $R^{\prime} = \rho \frac{L^{\prime}}{A^{\prime}} = \rho \frac{2L}{A/2} = 4 \rho \frac{L}{A} = 4R$ होता है।
नया emf $E^{\prime} = i^{\prime} R^{\prime} = (i/18) (4R) = \frac{2}{9} (iR) = \frac{2}{9} E$ है।
माना मूल लंबाई $L = 2 \pi r n$ है। जब तार को खींचकर लंबाई दोगुनी की जाती है,तो $L^{\prime} = 2L = 4 \pi r n$ हो जाता है।
नई त्रिज्या $r^{\prime} = r/3$ है। फेरों की नई संख्या $n^{\prime}$ के लिए $L^{\prime} = 2 \pi r^{\prime} n^{\prime} \Rightarrow 4 \pi r n = 2 \pi (r/3) n^{\prime} \Rightarrow n^{\prime} = 6n$ प्राप्त होता है।
केंद्र पर समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लिए,$\frac{\mu_0 i n}{2 r} = \frac{\mu_0 i^{\prime} n^{\prime}}{2 r^{\prime}}$.
$n^{\prime} = 6n$ और $r^{\prime} = r/3$ रखने पर,$\frac{i n}{r} = \frac{i^{\prime} (6n)}{r/3} \Rightarrow \frac{i n}{r} = \frac{18 i^{\prime} n}{r} \Rightarrow i^{\prime} = \frac{i}{18}$ प्राप्त होता है।
चूंकि तार का आयतन स्थिर रहता है,$A L = A^{\prime} L^{\prime} \Rightarrow A L = A^{\prime} (2L) \Rightarrow A^{\prime} = A/2$.
नया प्रतिरोध $R^{\prime} = \rho \frac{L^{\prime}}{A^{\prime}} = \rho \frac{2L}{A/2} = 4 \rho \frac{L}{A} = 4R$ होता है।
नया emf $E^{\prime} = i^{\prime} R^{\prime} = (i/18) (4R) = \frac{2}{9} (iR) = \frac{2}{9} E$ है।
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निम्नलिखित का मिलान करें और सही जोड़े ज्ञात करें।
| सूची-$I$ | सूची-$II$ |
|---|---|
| $(A)$ फ्लेमिंग का बाएं हाथ का नियम | $(i)$ प्रेरित धारा की दिशा |
| $(B)$ दाएं हाथ के अंगूठे का नियम | (ii) चुंबकीय प्रेरण का परिमाण और दिशा |
| $(C)$ बायो-सावर्ट का नियम | (iii) चुंबकीय प्रेरण के कारण बल की दिशा |
| $(D)$ फ्लेमिंग का दाएं हाथ का नियम | (iv) धारा के कारण चुंबकीय रेखाओं की दिशा |
A
$(A)-(iii), (B)-(i), (C)-(ii), (D)-(iv)$
B
$(A)-(iii), (B)-(iv), (C)-(ii), (D)-(i)$
C
$(A)-(ii), (B)-(iv), (C)-(iii), (D)-(i)$
D
$(A)-(iv), (B)-(iii), (C)-(i), (D)-(ii)$
Solution
(B) सही मिलान इस प्रकार हैं:
$(A)$ फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम का उपयोग चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही चालक पर लगने वाले बल की दिशा ज्ञात करने के लिए किया जाता है,जो (iii) के अनुरूप है।
$(B)$ दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग धारावाही चालक के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं की दिशा निर्धारित करने के लिए किया जाता है,जो (iv) के अनुरूप है।
$(C)$ बायो-सावर्ट के नियम का उपयोग छोटे धारा अवयव के कारण चुंबकीय प्रेरण का परिमाण और दिशा ज्ञात करने के लिए किया जाता है,जो (ii) के अनुरूप है।
$(D)$ फ्लेमिंग के दाएं हाथ के नियम का उपयोग चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान चालक में प्रेरित धारा की दिशा ज्ञात करने के लिए किया जाता है,जो $(i)$ के अनुरूप है।
अतः,सही मिलान $(A)-(iii), (B)-(iv), (C)-(ii), (D)-(i)$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $(b)$ है।
$(A)$ फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम का उपयोग चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही चालक पर लगने वाले बल की दिशा ज्ञात करने के लिए किया जाता है,जो (iii) के अनुरूप है।
$(B)$ दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग धारावाही चालक के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं की दिशा निर्धारित करने के लिए किया जाता है,जो (iv) के अनुरूप है।
$(C)$ बायो-सावर्ट के नियम का उपयोग छोटे धारा अवयव के कारण चुंबकीय प्रेरण का परिमाण और दिशा ज्ञात करने के लिए किया जाता है,जो (ii) के अनुरूप है।
$(D)$ फ्लेमिंग के दाएं हाथ के नियम का उपयोग चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान चालक में प्रेरित धारा की दिशा ज्ञात करने के लिए किया जाता है,जो $(i)$ के अनुरूप है।
अतः,सही मिलान $(A)-(iii), (B)-(iv), (C)-(ii), (D)-(i)$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $(b)$ है।
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समान आवेश वाले दो कण $150 \ km/s$ की गति से एक-दूसरे के समानांतर चलते हैं। यदि $F_1$ और $F_2$ दो आवेशित कणों के बीच चुंबकीय और विद्युत बल हैं,तो $\frac{|F_1|}{|F_2|}$ क्या होगा? (मान लीजिए $\mu_0 \varepsilon_0 = \frac{1}{9 \times 10^{16}} \ s^2/m^2$)
A
$1.0 \times 10^{-6}$
B
$1.5 \times 10^{-7}$
C
$3.0 \times 10^{-6}$
D
$2.5 \times 10^{-7}$
Solution
(D) समान आवेश $q$ वाले दो कण $v = 150 \ km/s = 1.5 \times 10^5 \ m/s$ की गति से चल रहे हैं।
$r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों के बीच विद्युत बल $|F_2|$ कूलम्ब के नियम के अनुसार:
$|F_2| = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{r^2}$ $(i)$
गतिमान दो आवेशों के बीच चुंबकीय बल $|F_1|$:
$|F_1| = \frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{q^2 v^2}{r^2}$ (ii)
समीकरण (ii) को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{|F_1|}{|F_2|} = \frac{\frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{q^2 v^2}{r^2}}{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{r^2}} = \mu_0 \varepsilon_0 v^2$
दिए गए मान $\mu_0 \varepsilon_0 = \frac{1}{9 \times 10^{16}} \ s^2/m^2$ और $v = 1.5 \times 10^5 \ m/s$ रखने पर:
$\frac{|F_1|}{|F_2|} = \frac{1}{9 \times 10^{16}} \times (1.5 \times 10^5)^2 = \frac{2.25 \times 10^{10}}{9 \times 10^{16}} = 0.25 \times 10^{-6} = 2.5 \times 10^{-7}$.
$r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों के बीच विद्युत बल $|F_2|$ कूलम्ब के नियम के अनुसार:
$|F_2| = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{r^2}$ $(i)$
गतिमान दो आवेशों के बीच चुंबकीय बल $|F_1|$:
$|F_1| = \frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{q^2 v^2}{r^2}$ (ii)
समीकरण (ii) को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{|F_1|}{|F_2|} = \frac{\frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{q^2 v^2}{r^2}}{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{r^2}} = \mu_0 \varepsilon_0 v^2$
दिए गए मान $\mu_0 \varepsilon_0 = \frac{1}{9 \times 10^{16}} \ s^2/m^2$ और $v = 1.5 \times 10^5 \ m/s$ रखने पर:
$\frac{|F_1|}{|F_2|} = \frac{1}{9 \times 10^{16}} \times (1.5 \times 10^5)^2 = \frac{2.25 \times 10^{10}}{9 \times 10^{16}} = 0.25 \times 10^{-6} = 2.5 \times 10^{-7}$.
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कथन $(I)$: एक समान विद्युत क्षेत्र और एक समान चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में इंगित हैं। यदि एक इलेक्ट्रॉन को उसी दिशा में प्रक्षेपित किया जाता है,तो इलेक्ट्रॉन के वेग का परिमाण कम हो जाएगा।
कथन $(II)$: दो अनंत लंबे समानांतर तार एक ही दिशा में धारा ले जा रहे हैं। तारों के बीच के मध्य बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है।
कथन $(III)$: एक समान चुंबकीय क्षेत्र में निलंबित स्थिर धारा ले जाने वाली आयताकार कुंडली पर कोई नेट बल कार्य नहीं करता है।
निम्नलिखित में से कौन सा सही है?
कथन $(II)$: दो अनंत लंबे समानांतर तार एक ही दिशा में धारा ले जा रहे हैं। तारों के बीच के मध्य बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है।
कथन $(III)$: एक समान चुंबकीय क्षेत्र में निलंबित स्थिर धारा ले जाने वाली आयताकार कुंडली पर कोई नेट बल कार्य नहीं करता है।
निम्नलिखित में से कौन सा सही है?
A
कथन $I$,$II$ और $III$ सत्य हैं।
B
कथन $I$ और $II$ सत्य हैं,लेकिन कथन $III$ असत्य है।
C
कथन $II$ और $III$ सत्य हैं,लेकिन कथन $I$ असत्य है।
D
कथन $I$ और $III$ सत्य हैं,लेकिन कथन $II$ असत्य है।
Solution
(A) कथन $(I)$: इलेक्ट्रॉन पर चुंबकीय बल $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B}) = 0$ है क्योंकि वेग $\vec{v}$ चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के समानांतर है। विद्युत बल $\vec{F}_e = q\vec{E} = -e\vec{E}$ है। चूंकि इलेक्ट्रॉन ऋणात्मक रूप से आवेशित है,इसलिए विद्युत बल विद्युत क्षेत्र की दिशा के विपरीत कार्य करता है। जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉन क्षेत्र की दिशा में आगे बढ़ता है,विद्युत बल उसकी गति के विपरीत कार्य करता है,जिससे उसका वेग कम हो जाता है। अतः,कथन $(I)$ सत्य है।
कथन $(II)$: एक ही दिशा में $i$ धारा ले जाने वाले दो समानांतर तारों के लिए,मध्य बिंदु पर प्रत्येक तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र परिमाण में समान लेकिन दिशा में विपरीत होता है (दाएं हाथ के नियम का उपयोग करके)। इसलिए,कुल चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_{\text{net}} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = 0$ है। अतः,कथन $(II)$ सत्य है।
कथन $(III)$: एक समान चुंबकीय क्षेत्र में स्थिर धारा ले जाने वाली आयताकार कुंडली के लिए,विपरीत भुजाओं पर लगने वाले बल समान और विपरीत होते हैं,जिसके परिणामस्वरूप नेट बल शून्य होता है। अतः,कथन $(III)$ सत्य है।
इसलिए,सभी कथन सत्य हैं।
कथन $(II)$: एक ही दिशा में $i$ धारा ले जाने वाले दो समानांतर तारों के लिए,मध्य बिंदु पर प्रत्येक तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र परिमाण में समान लेकिन दिशा में विपरीत होता है (दाएं हाथ के नियम का उपयोग करके)। इसलिए,कुल चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_{\text{net}} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = 0$ है। अतः,कथन $(II)$ सत्य है।
कथन $(III)$: एक समान चुंबकीय क्षेत्र में स्थिर धारा ले जाने वाली आयताकार कुंडली के लिए,विपरीत भुजाओं पर लगने वाले बल समान और विपरीत होते हैं,जिसके परिणामस्वरूप नेट बल शून्य होता है। अतः,कथन $(III)$ सत्य है।
इसलिए,सभी कथन सत्य हैं।
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EasyMCQ
चित्र में दिखाए गए धारावाही तार पर विचार करें। यदि तार के घुमावदार भाग की त्रिज्या $R$ है और रैखिक भागों को बहुत लंबा माना जाता है,तो बिंदु $O$ पर क्षेत्र का चुंबकीय प्रेरण क्या होगा?
A
$\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{i}{R}(2+\pi)$
B
$\frac{\mu_0}{2 \pi R}$
C
$\frac{\mu_0}{2} \frac{i}{R}$
D
$\frac{\mu_0}{4} \frac{i}{R}$
Solution
(A) बिंदु $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र तार के तीन खंडों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों का सदिश योग है: दो लंबे सीधे भाग और अर्ध-वृत्ताकार भाग।
$1$. अर्ध-अनंत सीधे तार के लिए,उसके सिरे पर तार के लंबवत रेखा पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi R}$ होता है।
$2$. $R$ त्रिज्या के अर्ध-वृत्ताकार चाप के लिए,उसके केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 i}{4 R}$ होता है।
$3$. दोनों सीधे भाग अर्ध-अनंत हैं और $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र में समान दिशा में समान योगदान देते हैं।
$4$. कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_{\text{straight1}} + B_{\text{arc}} + B_{\text{straight2}} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi R} + \frac{\mu_0 i}{4 R} + \frac{\mu_0 i}{4 \pi R}$ है।
$5$. व्यंजक को सरल करने पर: $B = \frac{2 \mu_0 i}{4 \pi R} + \frac{\mu_0 i}{4 R} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi R} (2 + \pi)$।
$1$. अर्ध-अनंत सीधे तार के लिए,उसके सिरे पर तार के लंबवत रेखा पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi R}$ होता है।
$2$. $R$ त्रिज्या के अर्ध-वृत्ताकार चाप के लिए,उसके केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 i}{4 R}$ होता है।
$3$. दोनों सीधे भाग अर्ध-अनंत हैं और $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र में समान दिशा में समान योगदान देते हैं।
$4$. कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_{\text{straight1}} + B_{\text{arc}} + B_{\text{straight2}} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi R} + \frac{\mu_0 i}{4 R} + \frac{\mu_0 i}{4 \pi R}$ है।
$5$. व्यंजक को सरल करने पर: $B = \frac{2 \mu_0 i}{4 \pi R} + \frac{\mu_0 i}{4 R} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi R} (2 + \pi)$।
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$\frac{1}{2} \mu_0 H^2$ (जहाँ $\mu_0$ निर्वात की पारगम्यता है और $H$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है) का विमीय सूत्र क्या है?
A
$[MLT^{-1}]$
B
$[ML^2 T^{-2}]$
C
$[ML^{-1} T^{-2}]$
D
$[ML^2 T^{-1}]$
Solution
(C) व्यंजक $\frac{1}{2} \mu_0 H^2$ चुंबकीय क्षेत्र के ऊर्जा घनत्व को दर्शाता है।
ऊर्जा घनत्व को प्रति इकाई आयतन ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
ऊर्जा का विमीय सूत्र $[ML^2 T^{-2}]$ है और आयतन का $[L^3]$ है।
इसलिए,ऊर्जा घनत्व का विमीय सूत्र $\frac{[ML^2 T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1} T^{-2}]$ है।
वैकल्पिक रूप से,दी गई राशियों के आयामों का उपयोग करते हुए:
$[\mu_0] = [MLT^{-2} A^{-2}]$ और $[H] = [AL^{-1}]$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$[\frac{1}{2} \mu_0 H^2] = [MLT^{-2} A^{-2}] \times [AL^{-1}]^2 = [MLT^{-2} A^{-2}] \times [A^2 L^{-2}] = [ML^{-1} T^{-2}]$.
ऊर्जा घनत्व को प्रति इकाई आयतन ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
ऊर्जा का विमीय सूत्र $[ML^2 T^{-2}]$ है और आयतन का $[L^3]$ है।
इसलिए,ऊर्जा घनत्व का विमीय सूत्र $\frac{[ML^2 T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1} T^{-2}]$ है।
वैकल्पिक रूप से,दी गई राशियों के आयामों का उपयोग करते हुए:
$[\mu_0] = [MLT^{-2} A^{-2}]$ और $[H] = [AL^{-1}]$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$[\frac{1}{2} \mu_0 H^2] = [MLT^{-2} A^{-2}] \times [AL^{-1}]^2 = [MLT^{-2} A^{-2}] \times [A^2 L^{-2}] = [ML^{-1} T^{-2}]$.
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View SolutionMoving Charges and Magnetism — Mix Examples-Moving Charges and Magnetism · Frequently Asked Questions
1Are these Moving Charges and Magnetism questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
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