Biot-Savart's Law and its application Questions in Hindi

(D) दिया गया है: $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, H/m$, दूरी $d = 20 \, cm = 0.2 \, m$, और धारा $I = 4 \sqrt{2} \, A$ है।
अर्ध-अनंत तार के लिए, एक सिरे से लंबवत दूरी $d$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
तार $1$ के लिए, बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d} = 10^{-7} \times \frac{4 \sqrt{2}}{0.2} = 2 \sqrt{2} \times 10^{-6} \, T$ है।
तार $2$ के लिए, बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d} = 10^{-7} \times \frac{4 \sqrt{2}}{0.2} = 2 \sqrt{2} \times 10^{-6} \, T$ है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ और $B_2$ एक-दूसरे के लंबवत हैं, इसलिए बिंदु $P$ पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B$ होगा:
$B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \sqrt{(2 \sqrt{2} \times 10^{-6})^2 + (2 \sqrt{2} \times 10^{-6})^2}$
$B = \sqrt{8 \times 10^{-12} + 8 \times 10^{-12}} = \sqrt{16 \times 10^{-12}} = 4 \times 10^{-6} \, T = 4 \, \mu T$.

(A) डिस्क के केंद्र से $r$ दूरी पर $dr$ मोटाई की एक पतली रिंग पर विचार करें।
इस रिंग के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $dB = \frac{\mu_0 dI}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
घूमती हुई रिंग के कारण धारा $dI = \frac{dQ}{T} = \frac{dQ}{2\pi} \omega = \frac{\sigma(r) (2\pi r dr)}{2\pi} \omega = \sigma(r) \omega r dr$ है।
$\sigma(r) = \sigma_0 \left[1 + (\frac{r}{R})^\beta \right]$ रखने पर,हमें $dI = \sigma_0 \omega \left[1 + (\frac{r}{R})^\beta \right] r dr$ प्राप्त होता है।
केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B$ ज्ञात करने के लिए समाकलन करने पर:
$B = \int_0^R \frac{\mu_0}{2r} \sigma_0 \omega \left[1 + (\frac{r}{R})^\beta \right] r dr = \frac{\mu_0 \sigma_0 \omega}{2} \int_0^R \left[1 + (\frac{r}{R})^\beta \right] dr$.
$B = \frac{\mu_0 \sigma_0 \omega}{2} \left[ r + \frac{r^{\beta+1}}{R^\beta (\beta+1)} \right]_0^R = \frac{\mu_0 \sigma_0 \omega}{2} \left[ R + \frac{R}{\beta+1} \right] = \frac{\mu_0 \sigma_0 \omega R}{2} \left( \frac{\beta+2}{\beta+1} \right)$.
दिया गया है कि $B = \frac{9}{10} \mu_0 \sigma_0 \omega R$,इसलिए तुलना करने पर:
$\frac{1}{2} \left( \frac{\beta+2}{\beta+1} \right) = \frac{9}{10} \Rightarrow \frac{\beta+2}{\beta+1} = \frac{9}{5}$.
$5\beta + 10 = 9\beta + 9 \Rightarrow 4\beta = 1 \Rightarrow \beta = \frac{1}{4}$.

(D) $R_1$ त्रिज्या वाले और $i$ धारा वाले वृत्ताकार लूप की अक्ष पर उसके केंद्र से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i R_1^2}{2(R_1^2 + x^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,केंद्रों के बीच की दूरी $x = \sqrt{3} R_1$ है।
अतः,लूप $L_2$ के केंद्र पर लूप $L_1$ द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ है:
$B_1 = \frac{\mu_0 i R_1^2}{2(R_1^2 + (\sqrt{3} R_1)^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 i R_1^2}{2(R_1^2 + 3 R_1^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 i R_1^2}{2(4 R_1^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 i R_1^2}{2(8 R_1^3)} = \frac{\mu_0 i}{16 R_1}$.
अपनी स्वयं की धारा $i$ के कारण लूप $L_2$ के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 i}{2 R_2}$ है।
$L_2$ के केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य होने के लिए,$B_1$ और $B_2$ के परिमाण समान होने चाहिए क्योंकि धाराएं विपरीत हैं:
$B_1 = B_2 \implies \frac{\mu_0 i}{16 R_1} = \frac{\mu_0 i}{2 R_2}$.
$R_2$ के लिए हल करने पर,हमें $R_2 = 8 R_1$ प्राप्त होता है।

(C) बिंदु $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र सीधे तार के हिस्सों और वृत्ताकार चाप द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों का सदिश योग है।
$1$. सीधे तार के हिस्से बिंदु $O$ की ओर या उससे दूर एक ही रेखा पर हैं,इसलिए वे $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र में कोई योगदान नहीं देते हैं।
$2$. वृत्ताकार चाप केंद्र $O$ पर $\theta = 270^\circ = \frac{3\pi}{2}$ रेडियन का कोण बनाता है।
$3$. $I$ धारा ले जाने वाले $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi R}$ द्वारा दिया जाता है।
$4$. $\theta = \frac{3\pi}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B_{arc} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi R} \left(\frac{3\pi}{2}\right)$ प्राप्त होता है।
$5$. $O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{total} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi R} \left(1 + \frac{3\pi}{2}\right)$ है।

(D) बिंदु $P$ पर $\theta_1$ और $\theta_2$ कोण बनाने वाले परिमित तार के टुकड़े से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ इस प्रकार दिया जाता है:
$B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$
चित्र की ज्यामिति से:
$1$. $P$ से तार की लंबवत दूरी $r = d \sin \alpha$ है।
$2$. अनंत सिरे द्वारा बनाया गया कोण $\theta_1 = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\sin \theta_1 = \sin 90^{\circ} = 1$।
$3$. $O$ सिरे द्वारा बनाया गया कोण $\theta_2 = (90^{\circ} - \alpha)$ है,इसलिए $\sin \theta_2 = \sin(90^{\circ} - \alpha) = \cos \alpha$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d \sin \alpha} (1 - \cos \alpha)$।

(B) एक सिरे से लंबवत दूरी $d$ पर स्थित बिंदु $O$ पर एक अर्ध-अनंत सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, धारा $i = 10 \,A$ और लंबवत दूरी $d = 0.5 \,cm = 0.5 \times 10^{-2} \,m = 5 \times 10^{-3} \,m$ है।
एक सीधे खंड के लिए, $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र है:
$B_1 = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 10}{4 \pi \times (0.5 \times 10^{-2})} = \frac{10^{-6}}{0.5 \times 10^{-2}} = 2 \times 10^{-4} \,T$.
चूंकि दोनों समानांतर खंडों में धारा विपरीत दिशाओं में बहती है, इसलिए बिंदु $O$ पर दोनों खंडों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में होते हैं (दाएं हाथ के नियम का उपयोग करके)।
इसलिए, कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{total} = B_1 + B_2 = 2 \times 10^{-4} + 2 \times 10^{-4} = 4 \times 10^{-4} \,T$ है।

(C) $r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई वाली एक सूक्ष्म वलय (ring) पर विचार करें।
वलय पर आवेश $dq = \text{क्षेत्रफल} \times \sigma = (2\pi r dr) \sigma$ है।
वलय से प्रवाहित धारा $di = \frac{dq}{T}$ है,जहाँ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ आवर्तकाल है।
अतः,$di = \frac{\omega dq}{2\pi} = \frac{\omega (2\pi r dr) \sigma}{2\pi} = \omega r \sigma dr$ है।
इस सूक्ष्म वलय के कारण केंद्र पर चुंबकीय प्रेरण $dB = \frac{\mu_0 di}{2r} = \frac{\mu_0 (\omega r \sigma dr)}{2r} = \frac{\mu_0 \omega \sigma dr}{2}$ प्राप्त होता है।
$\sigma = \sigma_0 \left(1 + \sqrt{\frac{r}{R}}\right)$ रखने पर,$dB = \frac{\mu_0 \omega \sigma_0}{2} \left(1 + \sqrt{\frac{r}{R}}\right) dr$ मिलता है।
केंद्र पर कुल चुंबकीय प्रेरण $B$ ज्ञात करने के लिए,हम $r = 0$ से $r = R$ तक समाकलन करते हैं:
$B = \int_0^R \frac{\mu_0 \omega \sigma_0}{2} \left(1 + \sqrt{\frac{r}{R}}\right) dr = \frac{\mu_0 \omega \sigma_0}{2} \left[ r + \frac{r^{3/2}}{\sqrt{R} \cdot (3/2)} \right]_0^R = \frac{\mu_0 \omega \sigma_0}{2} \left[ r + \frac{2r^{3/2}}{3\sqrt{R}} \right]_0^R$.
सीमाओं का मान रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 \omega \sigma_0}{2} \left( R + \frac{2R^{3/2}}{3\sqrt{R}} \right) = \frac{\mu_0 \omega \sigma_0}{2} \left( R + \frac{2}{3}R \right) = \frac{\mu_0 \omega \sigma_0}{2} \left( \frac{5}{3}R \right) = \frac{5}{6} \mu_0 \omega \sigma_0 R$.
अतः,$\frac{B}{\mu_0 \sigma_0 \omega R} = \frac{5}{6}$।

(C) ओर्स्टेड के प्रयोग के अनुसार,जब किसी चालक से विद्युत धारा प्रवाहित होती है,तो यह अपने आसपास के क्षेत्र में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है। जबकि एक स्थिर आवेश केवल विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है,एक गतिशील आवेश (या धारा) विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र दोनों उत्पन्न करता है। हालाँकि,एक धारावाही तार के संदर्भ में जहाँ कुल आवेश शून्य होता है,उसके पड़ोस में मुख्य रूप से चुंबकीय क्षेत्र देखा जाता है।

(A) लंबाई के सीधे तार जिसमें $i$ धारा प्रवाहित हो रही है, के लिए लंबवत दूरी $r$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin \phi_1 + \sin \phi_2)$ द्वारा दिया जाता है।
समबाहु त्रिभुज के लिए, केंद्रक से किसी भी भुजा की लंबवत दूरी $r = \frac{a}{2 \sqrt{3}}$ है।
केंद्रक पर कोण $\phi_1 = \phi_2 = 60^{\circ}$ हैं।
एक भुजा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (a / 2 \sqrt{3})} (\sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ}) = \frac{3 \mu_0 i}{2 \pi a}$ है।
तीनों भुजाओं के कारण कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = 3 B_1 = \frac{9 \mu_0 i}{2 \pi a}$ है।
मान रखने पर: $B = 3 \times \frac{10^{-7} \times 1 \times (\sqrt{3} + \sqrt{3})}{4.5 \times 10^{-2} / 2 \sqrt{3}} = 3 \times \frac{10^{-7} \times 2 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{3}}{4.5 \times 10^{-2}} = 3 \times \frac{10^{-7} \times 12}{4.5 \times 10^{-2}} = 4 \times 10^{-5} \,T$.

(D) $n$ फेरों और $r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर $i$ धारा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 n i}{2 r}$ द्वारा दिया जाता है।
माना तार की लंबाई $L$ है। एक फेरे के लिए $(n_1 = 1)$,परिधि $2 \pi r_1 = L$ है,इसलिए $r_1 = \frac{L}{2 \pi}$।
चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = B = \frac{\mu_0 (1) i}{2 r_1} = \frac{\mu_0 i}{2 (L / 2 \pi)} = \frac{\mu_0 i \pi}{L}$ है।
जब उसी तार को $n$ फेरों में मोड़ा जाता है $(n_2 = n)$,तो प्रत्येक फेरे की नई परिधि $2 \pi r_2 = \frac{L}{n}$ होती है,इसलिए $r_2 = \frac{L}{2 \pi n}$।
नया चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 n i}{2 r_2} = \frac{\mu_0 n i}{2 (L / 2 \pi n)} = \frac{\mu_0 n i \pi n}{L} = n^2 \left( \frac{\mu_0 i \pi}{L} \right)$ है।
कोष्ठक में दिए गए पद के लिए $B$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B_2 = n^2 B$ प्राप्त होता है।

(C) केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र सीधे तार और वृत्ताकार लूप के कारण चुंबकीय क्षेत्र का सदिश योग है।
$1$. केंद्र $O$ से $R$ दूरी पर स्थित लंबे सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र:
$B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R}$ (बाहर की दिशा में,तल के लंबवत)।
$2$. $R$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार लूप के केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र:
$B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ (बाहर की दिशा में,तल के लंबवत)।
चूंकि दोनों क्षेत्र एक ही दिशा (बाहर की ओर) में हैं,इसलिए परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B$ होगा:
$B = B_1 + B_2$
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R} + \frac{\mu_0 I}{2 R}$
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R} (1 + \pi)$
अतः,चुंबकीय प्रेरण का परिमाण $\frac{\mu_0 I}{2 \pi R}(\pi+1)$ है।

(C) $I$ धारा ले जाने वाले $R$ त्रिज्या के एक वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि लूप की परिधि $l = 2 \pi R$ है,इसलिए $R = \frac{l}{2 \pi}$ है।
इसे $B$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,$B = \frac{\mu_0 I}{2(l / 2 \pi)} = \frac{\mu_0 I \pi}{l}$ प्राप्त होता है।
जब $l$ लंबाई के उसी तार को दो लूप (दो फेरों) में मोड़ा जाता है,तो मान लें कि नई त्रिज्या $r'$ है।
तार की कुल लंबाई $l = 2(2 \pi r')$ है,जिसका अर्थ है $r' = \frac{l}{4 \pi} = \frac{R}{2}$।
$N$ फेरों वाली कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B' = N \frac{\mu_0 I}{2r'}$ होता है।
यहाँ,$N = 2$ और $r' = \frac{R}{2}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$B' = 2 \cdot \frac{\mu_0 I}{2(R / 2)} = 2 \cdot \frac{\mu_0 I}{R} = 4 \cdot \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right) = 4B$ प्राप्त होता है।
अतः,नया चुंबकीय क्षेत्र $4B$ होगा।

(B) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N i}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों कुंडलियों में धारा विपरीत दिशाओं में बह रही है,इसलिए केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र दोनों क्षेत्रों का अंतर होगा।
दिया गया है: $N = 10$,$i_1 = 0.2 \ A$,$r_1 = 0.2 \ m$,$i_2 = 0.3 \ A$,$r_2 = 0.4 \ m$.
$B_{\text{net}} = |B_1 - B_2| = \frac{\mu_0 N}{2} |\frac{i_1}{r_1} - \frac{i_2}{r_2}|$
$B_{\text{net}} = \frac{10 \mu_0}{2} |\frac{0.2}{0.2} - \frac{0.3}{0.4}|$
$B_{\text{net}} = 5 \mu_0 |1 - 0.75|$
$B_{\text{net}} = 5 \mu_0 \times 0.25 = \frac{5}{4} \mu_0$.

(A) तार $A$ के लिए,वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i_1}{2r}$ है।
तार $A$ की लंबाई $40 \ cm$ दी गई है,इसलिए परिधि $2\pi r = 40 \ cm$,जिससे $r = \frac{40}{2\pi}$ प्राप्त होता है।
तार $B$ के लिए,$r$ त्रिज्या के चाप द्वारा केंद्र पर बनने वाला कोण $\theta$ हो तो चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 i_2 \theta}{4\pi r}$ है।
तार $B$ की लंबाई $30 \ cm$ है,इसलिए चाप की लंबाई $s = r\theta = 30 \ cm$ है।
अतः,$\theta = \frac{30}{r} = \frac{30}{40/2\pi} = \frac{3}{2}\pi$ है।
$B_1 = B_2$ रखने पर:
$\frac{\mu_0 i_1}{2r} = \frac{\mu_0 i_2 \theta}{4\pi r}$
$\frac{i_1}{2} = \frac{i_2 \theta}{4\pi} = \frac{i_2 (3\pi/2)}{4\pi} = \frac{3i_2}{8}$
$\frac{i_1}{i_2} = \frac{3}{8} \times 2 = \frac{3}{4}$ है।
अतः,$i_1: i_2$ का अनुपात $3: 4$ है।

(A) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2r} \quad \dots(i)$
हम जानते हैं कि प्रकाश की गति $c$,पारगम्यता $\mu_0$ और विद्युतशीलता $\varepsilon_0$ के बीच संबंध है:
$c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0} \implies \mu_0 = \frac{1}{\varepsilon_0 c^2}$
इस मान को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$B = \left( \frac{1}{\varepsilon_0 c^2} \right) \frac{I}{2r}$
दी गई मान: $I = 0.9 \,A$,$r = 5 \,cm = 5 \times 10^{-2} \,m$,$c = 3 \times 10^8 \,ms^{-1}$.
$B = \frac{1}{\varepsilon_0 (3 \times 10^8)^2} \times \frac{0.9}{2 \times 5 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{1}{\varepsilon_0 \times 9 \times 10^{16}} \times \frac{0.9}{10 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{1}{\varepsilon_0 \times 9 \times 10^{16}} \times \frac{0.9}{0.1} = \frac{1}{\varepsilon_0 \times 9 \times 10^{16}} \times 9$
$B = \frac{1}{\varepsilon_0 \times 10^{16}}$

(C) $n$ फेरों और $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर $i$ धारा के कारण चुंबकीय प्रेरण $B = \frac{\mu_0 n i}{2 R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $B \propto \frac{n}{R}$,इसलिए $\frac{B_1}{B_2} = \frac{n_1}{n_2} \times \frac{R_2}{R_1}$ होगा।
पहली कुंडली के लिए,$n_1 = 1$ और लंबाई $l = 2 \pi R_1$,इसलिए $R_1 = \frac{l}{2 \pi}$।
दूसरी कुंडली के लिए,$n_2 = 2$ और लंबाई $l = 2 \times (2 \pi R_2)$,इसलिए $R_2 = \frac{l}{4 \pi}$।
अतः,$\frac{R_2}{R_1} = \frac{l / 4 \pi}{l / 2 \pi} = \frac{1}{2}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$।
इसलिए,अनुपात $B_1: B_2 = 1: 4$ है।

(C) दिया गया है: धारा $i = 30 \ A$,बाहरी चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = 4 \times 10^{-4} \ T$,दूरी $r = 2 \ cm = 2 \times 10^{-2} \ m$।
सीधे तार द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $B_2 = \frac{2 \times 10^{-7} \times 30}{2 \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{-4} \ T$।
चूंकि बाहरी चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ तार के समानांतर है,तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ (जो तार के चारों ओर वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखीय है) $B_1$ के लंबवत है।
इसलिए,परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ होगा।
$B = \sqrt{(4 \times 10^{-4})^2 + (3 \times 10^{-4})^2} = \sqrt{16 \times 10^{-8} + 9 \times 10^{-8}} = \sqrt{25 \times 10^{-8}} = 5 \times 10^{-4} \ T$।

(C) दिया गया है: त्रिज्या $r = 0.4 \text{ Å} = 0.4 \times 10^{-10} \text{ m}$,गति $v = 10^6 \text{ m/s}$,आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$।
गतिमान इलेक्ट्रॉन एक विद्युत धारा $i$ बनाता है,जो $i = \frac{q}{T}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ आवर्तकाल है।
चूंकि $T = \frac{2\pi r}{v}$,इसलिए $i = \frac{qv}{2\pi r}$।
मान रखने पर:
$i = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 10^6}{2\pi \times 0.4 \times 10^{-10}} = \frac{1.6 \times 10^{-13}}{0.8\pi \times 10^{-10}} = \frac{2 \times 10^{-3}}{\pi} \text{ A}$।
वृत्ताकार धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ होता है।
मान रखने पर:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7}}{2 \times 0.4 \times 10^{-10}} \times \frac{2 \times 10^{-3}}{\pi} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 2 \times 10^{-3}}{0.8\pi \times 10^{-10}} = \frac{8\pi \times 10^{-10}}{0.8\pi \times 10^{-10}} = 10 \text{ T}$।

(C) वर्ग की एक भुजा (जैसे,भुजा $AB$) द्वारा केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र परिमित लंबाई के तार के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin \phi_1 + \sin \phi_2)$.
यहाँ,केंद्र से भुजा की दूरी $r = \frac{a}{2}$ है,और भुजा के सिरों द्वारा केंद्र पर बनने वाले कोण $\phi_1 = 45^{\circ}$ और $\phi_2 = 45^{\circ}$ हैं।
इन मानों को रखने पर: $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (a/2)} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) = \frac{\mu_0 i}{2 \pi a} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 i}{2 \pi a} (\frac{2}{\sqrt{2}}) = \frac{\sqrt{2} \mu_0 i}{2 \pi a} = \frac{\mu_0 i}{\sqrt{2} \pi a}$.
चूंकि वर्ग में $4$ समान भुजाएँ होती हैं,इसलिए केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = 4 B_1 = 4 \times \frac{\mu_0 i}{2 \sqrt{2} \pi a} = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 i}{\pi a}$ होगा।

(C) $R$ त्रिज्या और $\theta$ कोण वाले वृत्ताकार चाप के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi R}$ द्वारा दिया जाता है। सीधे त्रिज्यीय खंड केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र में कोई योगदान नहीं देते हैं।
परिपथ $1$ के लिए: क्षेत्र $3r$ त्रिज्या के बड़े चाप और $r$ त्रिज्या के छोटे चाप के कारण है। केंद्र के सापेक्ष इन दो चापों में धारा विपरीत दिशाओं में बहती है,इसलिए क्षेत्रों को घटाया जाता है: $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi} (\frac{\pi}{3r} - \frac{\pi}{r}) = \frac{\mu_0 I}{4} (\frac{1}{r} - \frac{1}{3r}) = \frac{\mu_0 I}{6r}$.
परिपथ $2$ के लिए: क्षेत्र $\pi/2$ कोण को कवर करने वाले $r$ और $3r$ त्रिज्या के दो चापों के कारण है। क्षेत्रों को घटाया जाता है: $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi} (\frac{\pi/2}{r} - \frac{\pi/2}{3r}) = \frac{\mu_0 I}{8} (\frac{2}{3r}) = \frac{\mu_0 I}{12r}$.
परिपथ $3$ के लिए: क्षेत्र $3\pi/2$ कोण को कवर करने वाले $r$ और $3r$ त्रिज्या के दो चापों के कारण है। क्षेत्रों को घटाया जाता है: $B_3 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi} (\frac{3\pi/2}{r} - \frac{3\pi/2}{3r}) = \frac{3\mu_0 I}{8} (\frac{2}{3r}) = \frac{\mu_0 I}{4r}$.
परिमाणों की तुलना करने पर: $B_3 = 0.25 \frac{\mu_0 I}{r}$,$B_1 = 0.166 \frac{\mu_0 I}{r}$,$B_2 = 0.083 \frac{\mu_0 I}{r}$.
अतः,$B_3 > B_1 > B_2$.

(A) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ है।
दी गई मान हैं:
निर्वात की पारगम्यता,$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$
धारा,$I = 0.9 \,A$
त्रिज्या,$r = 5 \,cm = 5 \times 10^{-2} \,m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 0.9}{2 \times 5 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{3.6\pi \times 10^{-7}}{10 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{3.6\pi \times 10^{-7}}{10^{-1}}$
$B = 3.6\pi \times 10^{-6} \,T$
$B = 36\pi \times 10^{-7} \,T$

(B) $I$ धारा प्रवाहित करने वाले $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
स्थिति $(I)$: $r$ त्रिज्या वाले लूप के लिए,लंबाई $l_1 = 2\pi r$ है। प्रतिरोध $R_1 = \rho \frac{l_1}{A} = \rho \frac{2\pi r}{A}$ है। धारा $I_1 = \frac{V}{R_1}$ है। चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2r}$ है।
स्थिति $(II)$: $2r$ त्रिज्या वाले लूप के लिए,लंबाई $l_2 = 2\pi(2r) = 2l_1$ है। प्रतिरोध $R_2 = \rho \frac{l_2}{A} = 2R_1$ है। धारा $I_2 = \frac{V}{R_2} = \frac{V}{2R_1} = \frac{I_1}{2}$ है।
नया चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2(2r)} = \frac{\mu_0 (I_1/2)}{4r} = \frac{1}{4} \left( \frac{\mu_0 I_1}{2r} \right) = \frac{B_1}{4}$ होगा।

(B) $I$ धारा वहन करने वाले $L$ लंबाई के एक सीमित तार खंड के लिए,उसके लंब समद्विभाजक पर $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$,बायो-सावर्ट नियम के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$B = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi r} (\sin \theta_{1} + \sin \theta_{2})$
$L$ लंबाई के खंड के लिए,$\sin \theta_{1} = \sin \theta_{2} = \frac{L/2}{\sqrt{r^{2} + (L/2)^{2}}}$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$B = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi r} \cdot \frac{L}{\sqrt{r^{2} + (L/2)^{2}}}$.
चूंकि $r >> L$,हर में $\sqrt{r^{2} + (L/2)^{2}} \approx r$ लिया जा सकता है।
अतः,$B \approx \frac{\mu_{0} I L}{4 \pi r^{2}}$.
इस प्रकार,चुंबकीय क्षेत्र $\frac{1}{r^{2}}$ के अनुपात में घटता है।

(D) $r$ लंबवत दूरी पर एक परिमित सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi r} (\sin \theta_{1} + \sin \theta_{2})$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई ज्यामिति के लिए,बिंदु $P$ मोड़ से कोण समद्विभाजक के साथ $d$ दूरी पर है। प्रत्येक तार खंड से $P$ की लंबवत दूरी $r = d \sin(60^{\circ}) = \frac{d \sqrt{3}}{2}$ है।
बिंदु $P$ पर तार के सिरों द्वारा बनाए गए कोण $\theta_{1} = 90^{\circ}$ और $\theta_{2} = 30^{\circ}$ हैं।
चूंकि दो समान खंड हैं,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{net}} = 2 \times \frac{\mu_{0} I}{4 \pi r} (\sin 90^{\circ} + \sin 30^{\circ})$ होगा।
मान रखने पर:
$B_{\text{net}} = 2 \times \frac{\mu_{0} I}{4 \pi (d \sqrt{3} / 2)} \times (1 + 1/2)$
$B_{\text{net}} = 2 \times \frac{\mu_{0} I}{2 \pi d \sqrt{3}} \times \frac{3}{2}$
$B_{\text{net}} = \frac{3 \mu_{0} I}{2 \pi d \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} \mu_{0} I}{2 \pi d}$.

(C) बायो-सावर्ट के नियम के अनुसार,एक धारा अवयव $I \vec{dl}$ के कारण स्थिति सदिश $\vec{r}$ पर चुंबकीय क्षेत्र $d \vec{B}$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$d \vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I (\vec{dl} \times \vec{r})}{r^3}$
चूंकि $\vec{r} = r \hat{r}$,हम इसे $d \vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I (\vec{dl} \times \hat{r})}{r^2}$ के रूप में भी लिख सकते हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $C$ सही सदिश रूप का प्रतिनिधित्व करता है।

(D) विद्युत धारा $I$ एक बिंदु पर प्रवेश करती है और वृत्ताकार तार के व्यास के विपरीत बिंदु से बाहर निकलती है। यह तार को दो अर्धवृत्ताकार चापों में विभाजित करता है,जिनमें से प्रत्येक $I/2$ धारा का वहन करता है।
प्रत्येक अर्धवृत्ताकार चाप के लिए,वृत्त के केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र की गणना बायो-सावर्ट नियम का उपयोग करके की जा सकती है। एक अर्धवृत्ताकार चाप के कारण उसके केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} I_{arc}}{4r}$ होता है।
चूंकि दोनों अर्धवृत्ताकार चाप केंद्र के सापेक्ष विपरीत दिशाओं में धारा का वहन करते हैं,इसलिए उनके द्वारा केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र परिमाण में समान लेकिन दिशा में विपरीत होते हैं।
विशेष रूप से,यदि एक चाप कागज के अंदर की ओर चुंबकीय क्षेत्र $B$ उत्पन्न करता है,तो दूसरा चाप कागज के बाहर की ओर चुंबकीय क्षेत्र $B$ उत्पन्न करता है।
इसलिए,वृत्त के केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B - B = 0$ होता है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से गतिमान $q$ आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल $F = q(v \times B)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = 0$ है,इसलिए कण द्वारा अनुभव किया गया चुंबकीय बल $F = q(v \times 0) = 0$ होगा।

(C) तीसरे तार पर कोई शुद्ध चुंबकीय बल कार्य न करे,इसके लिए पहले और दूसरे तार द्वारा तीसरे तार की स्थिति पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होने चाहिए।
एक लंबे सीधे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि पहले और दूसरे तार में धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए उनके द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र उनके बीच के क्षेत्र में एक ही दिशा में होंगे और उनके बाहर के क्षेत्रों में विपरीत दिशाओं में होंगे।
मान लीजिए कि तीसरा तार पहले तार से $x$ दूरी पर रखा गया है। यदि इसे दोनों तारों के बीच के क्षेत्र के बाहर (छोटी धारा,यानी $1 \ A$ वाले तार की ओर) रखा जाता है,तो क्षेत्र विपरीत दिशाओं में होंगे।
चुंबकीय क्षेत्रों के परिमाणों की तुलना करने पर:
$B_1 = B_2$
$\frac{\mu_0 I_1}{2 \pi x} = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi (0.1 + x)}$
दिए गए मान $I_1 = 1 \ A$ और $I_2 = 2 \ A$ रखने पर:
$\frac{1}{x} = \frac{2}{0.1 + x}$
$0.1 + x = 2x$
$x = 0.1 \ m$
इस प्रकार,तीसरा तार पहले तार से $0.1 \ m$ की दूरी पर,दूसरे तार से दूर रखा गया है।

(B) अनंत लंबे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों तारों के लिए मूल बिंदु $O(0,0)$ से दूरी $r = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{2}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र सदिश,स्थिति सदिश $\vec{r}$ और धारा की दिशा $\hat{k}$ के लंबवत होता है।
बिंदु $L(-1, 1)$ पर स्थित तार के लिए,स्थिति सदिश $\vec{r}_L = -\hat{i} + \hat{j}$ है। चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_L$,$\vec{I} \times \vec{r}_L = \hat{k} \times (-\hat{i} + \hat{j}) = -\hat{j} - \hat{i}$ के समानुपाती है।
बिंदु $M(-1, -1)$ पर स्थित तार के लिए,स्थिति सदिश $\vec{r}_M = -\hat{i} - \hat{j}$ है। चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_M$,$\vec{I} \times \vec{r}_M = \hat{k} \times (-\hat{i} - \hat{j}) = -\hat{j} + \hat{i}$ के समानुपाती है।
दोनों क्षेत्रों को जोड़ने पर,$\hat{i}$ घटक कट जाते हैं: $\vec{B}_{net} = \vec{B}_L + \vec{B}_M = 2 \times \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \times \sin(\theta) \hat{j}$,जहाँ $\sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
$\vec{B}_{net} = 2 \times \frac{\mu_0 I}{2 \pi \sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi} \hat{j}$.

(D) धारावाही वृत्ताकार लूप की अक्ष पर उसके केंद्र से $d$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र इस प्रकार दिया जाता है:
$B = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2} + d^{2})^{3/2}}$
चूंकि छड़ को $T$ आवर्तकाल के साथ घुमाया जाता है,इसलिए समतुल्य धारा $I$ है:
$I = \frac{q}{T} = \frac{\lambda (2 \pi R)}{T}$
$I$ का मान चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{\mu_{0} (2 \pi R \lambda / T) R^{2}}{2(R^{2} + d^{2})^{3/2}}$
$d >> R$ के लिए,हम $(R^{2} + d^{2})^{3/2} \approx (d^{2})^{3/2} = d^{3}$ मान सकते हैं।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र हो जाता है:
$B \approx \frac{\mu_{0} (2 \pi R \lambda) R^{2}}{2 T d^{3}} = \frac{\mu_{0} \pi \lambda}{T} \frac{R^{3}}{d^{3}}$
इसे दिए गए रूप $B \propto \frac{R^{m}}{d^{n}}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $m = 3$ और $n = 3$ प्राप्त होता है।

(C) तारों से बिंदु $P$ की दूरियाँ $r_1 = 3 \ m$ और $r_2 = 4 \ m$ हैं। तारों के बीच की दूरी $5 \ m$ है। चूँकि $3^2 + 4^2 = 5^2$,दो तारों और बिंदु $P$ द्वारा निर्मित त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है,जिसका समकोण $P$ पर है।
पहले तार के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r_1} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (3)} = \frac{\mu_0 I}{6 \pi}$ है।
दूसरे तार के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r_2} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (4)} = \frac{\mu_0 I}{8 \pi}$ है।
चूँकि धाराएँ विपरीत दिशाओं में हैं,चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}_1$ और $\vec{B}_2$ बिंदु $P$ पर एक-दूसरे के लंबवत हैं क्योंकि त्रिभुज $P$ पर समकोण है। अतः,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ होगा।
$B = \sqrt{\left( \frac{\mu_0 I}{6 \pi} \right)^2 + \left( \frac{\mu_0 I}{8 \pi} \right)^2} = \frac{\mu_0 I}{\pi} \sqrt{\frac{1}{36} + \frac{1}{64}} = \frac{\mu_0 I}{\pi} \sqrt{\frac{16 + 9}{576}} = \frac{\mu_0 I}{\pi} \sqrt{\frac{25}{576}} = \frac{5}{24} \left( \frac{\mu_0 I}{\pi} \right)$.

(D) धारा $I$ बिंदु $A$ पर प्रवेश करती है और दो रास्तों में विभाजित हो जाती है: एक $AB$ के माध्यम से और दूसरा $AC$ के माध्यम से। चूँकि तार समान हैं, पथ $AB$ का प्रतिरोध $R$ है और पथ $AC$ का प्रतिरोध $R$ है।
$BC$ के मध्य बिंदु (मान लीजिए $M$) पर, $B$ से $M$ और $C$ से $M$ तक की धारा फिर से मिलकर बाहर निकलती है।
समबाहु त्रिभुज की समरूपता और धारा वितरण के कारण, केंद्रक $O$ पर खंड $AB$ और $BM$ में बहने वाली धारा द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र, खंड $AC$ और $CM$ में बहने वाली धारा द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र के परिमाण में बराबर लेकिन दिशा में विपरीत होता है।
इसलिए, केंद्रक $O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_{left} + B_{right} = 0$ है।

(B) $P$ बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $BC$ और $B^{\prime} C^{\prime}$ खंडों द्वारा उत्पन्न होता है।
$AB$ और $A^{\prime} B^{\prime}$ खंड $P$ युक्त अक्ष की ओर और उससे दूर निर्देशित हैं,इसलिए इन खंडों के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है क्योंकि $P$ इन धारा तत्वों की रेखा पर स्थित है।
अर्ध-अनंत तार $BC$ के लिए,सिरे $B$ से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ है।
इसी प्रकार,अर्ध-अनंत तार $B^{\prime} C^{\prime}$ के लिए,सिरे $B^{\prime}$ से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ है।
दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,$P$ पर दोनों क्षेत्र एक ही दिशा में (कागज के अंदर की ओर) हैं।
इसलिए,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_1 + B_2 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \left( \frac{2 I}{r} \right)$ है।

(D) सीमित लंबाई के सीधे तार के कारण लंबवत दूरी $r$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
$L$ भुजा वाले वर्गाकार लूप के लिए,केंद्र से किसी भी भुजा की लंबवत दूरी $r = L/2$ है।
प्रत्येक भुजा के सिरों द्वारा केंद्र पर बनने वाले कोण $\theta_1 = 45^{\circ}$ और $\theta_2 = 45^{\circ}$ हैं।
चूंकि $4$ समान भुजाएं हैं,इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{total}$ एक भुजा के कारण क्षेत्र का $4$ गुना होगा:
$B_{total} = 4 \times \left[ \frac{\mu_0 I}{4 \pi (L/2)} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) \right]$
$B_{total} = 4 \times \left[ \frac{\mu_0 I}{2 \pi L} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) \right]$
$B_{total} = 4 \times \left[ \frac{\mu_0 I}{2 \pi L} (\frac{2}{\sqrt{2}}) \right]$
$B_{total} = 4 \times \left[ \frac{\mu_0 I}{\pi L} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times 2 \right] = \frac{8 \mu_0 I}{2 \sqrt{2} \pi L} = \frac{4 \mu_0 I}{\sqrt{2} \pi L} = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 I}{\pi L}$.

(B) $r$ त्रिज्या और $I$ धारा वाले वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
e.m.u. (इलेक्ट्रोमैग्नेटिक यूनिट) प्रणाली में,मुक्त स्थान की पारगम्यता को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि $\frac{\mu_0}{4\pi} = 1$ हो।
चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $H$,चुंबकीय क्षेत्र $B$ से $B = \mu_0 H$ के माध्यम से संबंधित है,जिसका अर्थ है $H = \frac{B}{\mu_0}$।
$B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ को $H$ के व्यंजक में रखने पर,हमें $H = \frac{\mu_0 I / 2r}{\mu_0} = \frac{I}{2r}$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,e.m.u. प्रणाली में,धारा $I$ को एबएम्पियर में मापा जाता है और वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता का सूत्र $H = \frac{2\pi I}{r}$ ओर्स्टेड होता है।

(C) वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{center} = \frac{\mu_0 I}{2R} = 16 \ \mu T$ द्वारा दिया जाता है।
लूप की अक्ष पर $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(x^2 + R^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $x = \sqrt{3}R$ दिया गया है,अतः सूत्र में मान रखने पर:
$B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2((\sqrt{3}R)^2 + R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(3R^2 + R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(4R^2)^{3/2}}$.
हर का सरलीकरण करने पर:
$(4R^2)^{3/2} = (2R)^3 = 8R^3$.
अतः,$B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2 \times 8R^3} = \frac{1}{8} \times \left(\frac{\mu_0 I}{2R}\right)$.
$B_{center} = 16 \ \mu T$ का मान रखने पर:
$B_{axis} = \frac{1}{8} \times 16 \ \mu T = 2 \ \mu T$.

(C) $L$ लंबाई के सीधे तार के कारण $d$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
$a = 4\sqrt{3} \text{ cm}$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के लिए,केंद्रक से किसी भी भुजा की लंबवत दूरी $d = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 2 \text{ cm} = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$ है।
केंद्रक पर कोनों द्वारा अंतरित कोण प्रत्येक $60^{\circ}$ हैं,इसलिए $\theta_1 = \theta_2 = 60^{\circ}$।
एक भुजा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (\sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ}) = \frac{10^{-7} \times 2}{2 \times 10^{-2}} (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = 10^{-5} \times \sqrt{3} \text{ T}$ है।
चूंकि $3$ भुजाएं हैं,इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = 3 \times B_1 = 3\sqrt{3} \times 10^{-5} \text{ T}$ है।
इसे $\alpha \times 10^{-5} \text{ T}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 3\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(D) $r$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार लूप की अक्ष पर उसके केंद्र से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + x^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,दोनों लूप $P$ और $Q$ के लिए,केंद्र $O$ से दूरी $x = r$ है।
अतः,$O$ पर लूप $P$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $(B_P)$ का मान $B_P = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + r^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(2r^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(2\sqrt{2}r^3)} = \frac{\mu_0 I}{4\sqrt{2}r}$ है।
$O$ से देखने पर $P$ में धारा दक्षिणावर्त होने के कारण,चुंबकीय क्षेत्र $B_P$,$P$ की ओर ($Q$ से दूर) निर्देशित होता है।
$O$ पर लूप $Q$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $(B_Q)$ का मान $B_Q = \frac{\mu_0 (4I) r^2}{2(r^2 + r^2)^{3/2}} = \frac{4\mu_0 I r^2}{2(2\sqrt{2}r^3)} = \frac{4\mu_0 I}{4\sqrt{2}r}$ है।
$O$ से देखने पर $Q$ में धारा भी दक्षिणावर्त होने के कारण,चुंबकीय क्षेत्र $B_Q$,$Q$ की ओर ($P$ से दूर) निर्देशित होता है।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_Q - B_P = \frac{4\mu_0 I}{4\sqrt{2}r} - \frac{\mu_0 I}{4\sqrt{2}r} = \frac{3\mu_0 I}{4\sqrt{2}r}$,$Q$ की ओर।

(B) केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र सीधे खंडों $AB$,$DE$ और वृत्ताकार चाप $BCD$ के कारण क्षेत्रों का सदिश योग है।
बायो-सावर्ट नियम का उपयोग करते हुए,अपने सिरे से $r$ दूरी पर एक अर्ध-अनंत तार के कारण क्षेत्र $\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \hat{k}$ है।
खंड $AB$ के लिए,$O$ पर क्षेत्र $\vec{B}_{AB} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \hat{k}$ है।
खंड $DE$ के लिए,$O$ पर क्षेत्र $\vec{B}_{DE} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \hat{k}$ है।
वृत्ताकार चाप $BCD$ के लिए,क्षेत्र $\vec{B}_{BCD} = -\frac{\mu_0 I}{2 r} \hat{k}$ है।
इनका योग करने पर: $\vec{B}_O = \vec{B}_{AB} + \vec{B}_{DE} + \vec{B}_{BCD} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \hat{k} + \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \hat{k} - \frac{\mu_0 I}{2 r} \hat{k} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \hat{k} - \frac{\mu_0 I}{2 r} \hat{k} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} (1 - \pi) \hat{k} = -\frac{\mu_0 I}{2 \pi r} (\pi - 1) \hat{k}$.

(A) $I$ धारा वहन करने वाली वृत्ताकार रिंग के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_c = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
रिंग के केंद्र से $x$ दूरी पर उसकी अक्ष पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_a = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2+x^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $x = 2\sqrt{2}R$ दिया गया है,इसलिए $(R^2+x^2)$ का मान:
$R^2 + x^2 = R^2 + (2\sqrt{2}R)^2 = R^2 + 8R^2 = 9R^2$.
इस मान को $B_a$ के सूत्र में रखने पर:
$B_a = \frac{\mu_0 I R^2}{2(9R^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(27R^3)} = \frac{\mu_0 I}{54R}$.
अब,$B_c/B_a$ का अनुपात:
$\frac{B_c}{B_a} = \frac{\mu_0 I}{2R} \div \frac{\mu_0 I}{54R} = \frac{54}{2} = 27$.
अतः,अभीष्ट अनुपात $27:1$ है।