Biot-Savart's Law and its application Questions in Hindi

(B) '$a$' त्रिज्या वाले और '$I$' धारा ले जाने वाले एक लंबे बेलनाकार तार के लिए:
$1$. तार के अंदर $(r < a)$,चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I r}{2\pi a^2}$ द्वारा दिया जाता है। यह दर्शाता है कि $B$,$r$ के सीधे आनुपातिक है $(B \propto r)$,जिसके परिणामस्वरूप केंद्र से सतह तक रैखिक वृद्धि होती है।
$2$. तार के बाहर $(r > a)$,चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है। यह दर्शाता है कि $B$,$r$ के व्युत्क्रमानुपाती है $(B \propto 1/r)$,जिसके परिणामस्वरूप दूरी बढ़ने पर हाइपरबोलिक कमी होती है।
$3$. इन दोनों को मिलाने पर,ग्राफ $r = a$ तक रैखिक वृद्धि और $r > a$ के लिए हाइपरबोलिक कमी दिखाता है। यह ग्राफ $B$ के अनुरूप है।

(A) एक लंबे सीधे धारावाही तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ होता है।
यहाँ दिए गए मान धारा $I = 90 \text{ A}$ और दूरी $r = 1.5 \text{ m}$ हैं।
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 90}{2\pi \times 1.5}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 90}{1.5}$
$B = 2 \times 10^{-7} \times 60 = 120 \times 10^{-7} = 1.2 \times 10^{-5} \text{ T}$.
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,यदि धारा पूर्व से पश्चिम की ओर बहती है,तो तार के ऊपर किसी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र उत्तर दिशा की ओर होता है।

(B) मान लीजिए कि दो समानांतर तार $d = 30 \text{ cm} = 0.3 \text{ m}$ की दूरी पर हैं।
प्रत्येक तार में धारा $I = 8 \text{ A}$ है।
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में बह रही हैं,इसलिए दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार मध्य बिंदु $(r = d/2 = 0.15 \text{ m})$ पर दोनों तारों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में होगा।
एक लंबे सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ होता है।
पहले तार के लिए,$B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi (d/2)} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 8}{0.15} = \frac{16 \times 10^{-7}}{0.15} = 106.67 \mu \text{T}$।
चूंकि दोनों तार एक ही दिशा में योगदान करते हैं,इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{total} = B_1 + B_2 = 2 \times 106.67 \mu \text{T} = 213.33 \mu \text{T}$ होगा।

(C) तार $I$ के लिए: केंद्र $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र दो सीधे खंडों और अर्धवृत्ताकार चाप के कारण उत्पन्न क्षेत्रों का योग है। $r$ दूरी पर स्थित अर्ध-अनंत तार के कारण क्षेत्र $B_{straight} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$ होता है। चूंकि ऐसे दो खंड हैं,उनका योगदान $2 \times \frac{\mu_0 I}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ है। अर्धवृत्ताकार चाप के कारण क्षेत्र $B_{arc} = \frac{\mu_0 I}{4r}$ है। अतः,$B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} + \frac{\mu_0 I}{4r} = \frac{\mu_0 I}{4r} (\frac{2}{\pi} + 1) = \frac{\mu_0 I}{4r} (\frac{2+\pi}{\pi})$ है।
तार $II$ के लिए: केंद्र $Q$ पर चुंबकीय क्षेत्र अर्धवृत्ताकार चाप के कारण क्षेत्र और सीधे खंडों के कारण क्षेत्र का अंतर है। सीधे खंड प्रत्येक $B_{straight} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$ का योगदान देते हैं। ज्यामिति के आधार पर,कुल क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4r} - \frac{\mu_0 I}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I}{4r} (1 - \frac{1}{\pi}) = \frac{\mu_0 I}{4r} (\frac{\pi-1}{\pi})$ है।
अनुपात लेने पर,$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{2+\pi}{\pi}}{\frac{\pi-1}{\pi}} = \frac{2+\pi}{\pi-1}$।

(A) वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 2}{2 \times 0.1} = 4\pi \times 10^{-6} \text{ T}$.
चुंबकीय ऊर्जा घनत्व $u = \frac{B^2}{2\mu_0}$ द्वारा दिया जाता है।
$u = \frac{(4\pi \times 10^{-6})^2}{2 \times 4\pi \times 10^{-7}} = \frac{16\pi^2 \times 10^{-12}}{8\pi \times 10^{-7}} = 2\pi \times 10^{-5} \text{ J/m}^3$.
घन का आयतन $V = (1 \text{ mm})^3 = (10^{-3} \text{ m})^3 = 10^{-9} \text{ m}^3$.
संचित चुंबकीय ऊर्जा $U = u \times V$.
$U = (2\pi \times 10^{-5}) \times 10^{-9} = 2\pi \times 10^{-14} \text{ J}$.
$\pi = 3.14$ का उपयोग करने पर,$U = 2 \times 3.14 \times 10^{-14} = 6.28 \times 10^{-14} \text{ J}$.
इसे $\alpha \times 10^{-14} \text{ J}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 6.28$ प्राप्त होता है।

(A) चालक के अंदर $(r < a)$,चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi a^2}$ द्वारा दिया जाता है,जो दर्शाता है कि $B \propto r$ है। यह चालक की अक्ष से सतह तक चुंबकीय क्षेत्र में एक रैखिक वृद्धि को दर्शाता है।
चालक के बाहर $(r > a)$,चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है,जो दर्शाता है कि $B \propto \frac{1}{r}$ है। यह चालक से दूरी बढ़ने के साथ चुंबकीय क्षेत्र में व्युत्क्रमानुपाती कमी को दर्शाता है।
ग्राफ $(A)$ सही ढंग से एक रैखिक वृद्धि और उसके बाद एक व्युत्क्रमानुपाती कमी को प्रदर्शित करता है। अतः,विकल्प $(A)$ सही है।