Properties of Electromagnetic Waves Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે: વિદ્યુતક્ષેત્રનો કંપનવિસ્તાર $E_0 = 66\, Vm^{-1}$,તરંગલંબાઈ $\lambda = 3\, mm = 3 \times 10^{-3}\, m$,તરંગની ઝડપ $c = 3 \times 10^8\, ms^{-1}$.
$1$. ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપનવિસ્તાર $B_0$ શોધો:
$B_0 = E_0 / c = 66 / (3 \times 10^8) = 22 \times 10^{-8} = 2.2 \times 10^{-7}\, T$.
$2$. કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ શોધો:
$\omega = 2\pi f = 2\pi (c / \lambda) = 2\pi (3 \times 10^8 / 3 \times 10^{-3}) = 2\pi \times 10^{11}\, rad/s$.
$3$. દિશાઓ નક્કી કરો:
તરંગ $X$ દિશામાં ગતિ કરે છે અને $E$ એ $Y$ દિશામાં છે. પ્રસરણની દિશા $\vec{E} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવતી હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ $Z-$ દિશામાં હોવું જોઈએ.
$4$. સમીકરણો લખો:
$E_y = E_0 \cos(\omega(t - x/c)) = 66 \cos(2\pi \times 10^{11}(t - x/c))$.
$B_z = B_0 \cos(\omega(t - x/c)) = 2.2 \times 10^{-7} \cos(2\pi \times 10^{11}(t - x/c))$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $D$ આ મૂલ્યો સાથે મેળ ખાય છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની સરેરાશ તીવ્રતા $I_{av}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$I_{av} = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2$
આપેલ છે:
$E_0 = 36 \, V/m$
$c = 3 \times 10^8 \, m/s$
$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, C^2/(N \cdot m^2)$
કિંમતો મૂકતા:
$I_{av} = \frac{1}{2} \times (3 \times 10^8) \times (8.85 \times 10^{-12}) \times (36)^2$
$I_{av} = 0.5 \times 3 \times 10^8 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 1296$
$I_{av} = 1.5 \times 8.85 \times 1296 \times 10^{-4}$
$I_{av} = 17208.6 \times 10^{-4} \approx 1.72 \, W/m^2$

(B) બિંદુવત ઉદગમમાંથી ઉત્સર્જાતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I = \frac{P_{av}}{4 \pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વળી,મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_0$ ના પદમાં તીવ્રતા $I = \frac{E_0^2}{2 \mu_0 c}$ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{P_{av}}{4 \pi r^2} = \frac{E_0^2}{2 \mu_0 c}$.
$E_0$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $E_0 = \sqrt{\frac{\mu_0 c P_{av}}{2 \pi r^2}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $P_{av} = 800\,W$,$r = 3.5\,m$,$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7}\,T\cdot m/A$,અને $c = 3 \times 10^8\,m/s$.
$E_0 = \sqrt{\frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times (3 \times 10^8) \times 800}{2 \pi \times (3.5)^2}}$.
$E_0 = \sqrt{\frac{2 \times 10^{-7} \times 3 \times 10^8 \times 800}{12.25}} = \sqrt{\frac{48000}{12.25}} \approx 62.6\,V/m$.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર સાથે સંકળાયેલી ઉર્જા ઘનતા $u_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે સંકળાયેલી ઉર્જા ઘનતા $u_B = \frac{B^2}{2 \mu_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,કુલ ઉર્જા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલી હોય છે,જેથી $u_E = u_B$ થાય છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I = U_{av} c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રના સંદર્ભમાં, સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા $U_{av} = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} E_{0}^{2}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રના સંદર્ભમાં, સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા $U_{av} = \frac{1}{2} \frac{B_{0}^{2}}{\mu_{0}}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $E_{0}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $B_{0}$ વચ્ચેનો સંબંધ $E_{0} = c B_{0}$ હોવાથી, આપણે તેને વિદ્યુતક્ષેત્રની ઉર્જા ઘનતાના સમીકરણમાં મૂકી શકીએ:
$U_{av} (\text{વિદ્યુત}) = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} (c B_{0})^{2} = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} c^{2} B_{0}^{2}$.
સંબંધ $c^{2} = \frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે:
$U_{av} (\text{વિદ્યુત}) = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} \left( \frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}} \right) B_{0}^{2} = \frac{1}{2} \frac{B_{0}^{2}}{\mu_{0}} = U_{av} (\text{ચુંબકીય})$.
આમ, બંને ક્ષેત્રોનું યોગદાન સમાન છે, અને તેથી ગુણોત્તર $1 : 1$ છે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર માટેનું આપેલ સમીકરણ:
$E = 3.1 \cos [ (1.8) y + (5.4 \times 10^8) t ] \hat{i}$ .......... $(i)$
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ સાથે સરખાવતા:
$E = E_0 \cos (ky + \omega t)$ .......... $(ii)$
આપણને તરંગ સંખ્યા $k$ મળે છે:
$k = 1.8 \, rad \, m^{-1}$
તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને તરંગ સંખ્યા $k$ વચ્ચેનો સંબંધ:
$\lambda = \frac{2 \pi}{k}$
$k$ ની કિંમત મૂકતા અને $\pi \approx 3.14159$ લેતા:
$\lambda = \frac{2 \times 3.14159}{1.8} \approx 3.49 \, m$
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત:
$\lambda \approx 3.5 \, m$

(A) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના મૂલ્યનો ગુણોત્તર પ્રકાશની ઝડપ જેટલો હોય છે,એટલે કે $\frac{E}{B} = c$.
આ કિંમતને વિકલ્પ $A$ માં મૂકતા:
$\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0} \cdot \frac{E}{B} = \sqrt{\mu_0 \varepsilon_0} \cdot c = \sqrt{\mu_0 \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} = 1$.
$1$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક હોવાથી,પદ $\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0} \frac{E}{B}$ પરિમાણરહિત છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના પ્રસરણની દિશા પોઈન્ટિંગ સદિશ $\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} (\vec{E} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનો વેગ સદિશ $\vec{v}$ એ ઉર્જાના પ્રવાહ (પોઈન્ટિંગ સદિશ) ની દિશામાં જ હોય છે,તેથી વેગ $\vec{E} \times \vec{B}$ ની દિશામાં હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $E = E_0 \cos(\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $E_y = 2.5 \cos[(2\pi \times 10^6)t - (\pi \times 10^{-2})x]$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi \times 10^6 \, rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = \pi \times 10^{-2} \, rad/m$ મળે છે.
તરંગ $+x$ દિશામાં પ્રસરણ પામે છે કારણ કે પદ $(\omega t - kx)$ છે.
આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{2\pi \times 10^6}{2\pi} = 10^6 \, Hz$ છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\pi \times 10^{-2}} = 200 \, m$ છે.

(B) આપેલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_y = E_0 \cos(\omega t - kx)$ સ્વરૂપમાં છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ સાથે સરખાવતા, તરંગ ધન $X$-દિશામાં ગતિ કરે છે.
સમીકરણ પરથી, કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi \times 10^6 \, \text{rad/s}$ છે.
$\omega = 2\pi f$ હોવાથી, $2\pi f = 2\pi \times 10^6 \, \text{Hz}$, જે $f = 10^6 \, \text{Hz}$ આપે છે.
તરંગ સંખ્યા $k = \pi \times 10^{-2} \, \text{rad/m}$ છે.
$k = \frac{2\pi}{\lambda}$ હોવાથી, $\frac{2\pi}{\lambda} = \pi \times 10^{-2}$.
તરંગલંબાઈ માટે ઉકેલતા, $\lambda = \frac{2\pi}{\pi \times 10^{-2}} = 2 \times 10^2 = 200 \, \text{m}$.
આમ, તરંગ $10^6 \, \text{Hz}$ ની આવૃત્તિ અને $200 \, \text{m}$ ની તરંગલંબાઈ સાથે $X$-દિશામાં ગતિ કરે છે.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,વિદ્યુત ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $E_0$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $B_0$ વચ્ચેનો સંબંધ $E_0 = c B_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $B_0 = \mu_0 H_0$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $E_0 = c \mu_0 H_0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $E_0 = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \cdot \mu_0 H_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} H_0$.
$H_0$ ને કર્તા બનાવતા,આપણને મળે છે: $H_0 = E_0 \sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}}$.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = B \cdot c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
આપેલ છે: $E = 10^4 \, V/m$ અને $c = 3 \times 10^8 \, m/s$.
$B$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $B = \frac{E}{c}$.
કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{10^4}{3 \times 10^8} \, T$.
$B = \frac{1}{3} \times 10^{4-8} \, T = 0.333 \times 10^{-4} \, T = 3.33 \times 10^{-5} \, T$.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતાનું મૂલ્ય $3.3 \times 10^{-5} \, T$ થશે.

(C) શૂન્યાવકાશમાં પ્રસરણ પામતા વિદ્યુતચુંબકીય $(EM)$ તરંગમાં,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $(E)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ સમાન કળામાં દોલન કરે છે.
આનો અર્થ એ છે કે બંને ક્ષેત્રો અવકાશમાં એક જ સમયે અને એક જ સ્થાને તેમના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો પ્રાપ્ત કરે છે.
તેમના મૂલ્યો વચ્ચેનો સંબંધ $E = cB$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.

(D) શૂન્યાવકાશમાં પ્રસરતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુત ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $(E_0)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $(B_0)$ વચ્ચેનો સંબંધ $E_0 = cB_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર અને વિદ્યુત ક્ષેત્રના કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{B_0}{E_0} = \frac{1}{c}$ થાય છે.
આ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપના વ્યસ્ત બરાબર છે.

(C) વિદ્યુત ક્ષેત્રને કારણે ઉર્જા ઘનતા $u_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે ઉર્જા ઘનતા $u_B = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = cB$ છે,જ્યાં $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ છે.
ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતાના સૂત્રમાં $B = \frac{E}{c}$ મૂકતા,આપણને $u_B = \frac{1}{2} \frac{(E/c)^2}{\mu_0} = \frac{1}{2} \frac{E^2}{c^2 \mu_0} = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 = u_E$ મળે છે.
આમ,સરેરાશ ઉર્જા ઘનતામાં વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો બંનેનો સમાન ફાળો હોય છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો એ વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેના કંપનોના પરિણામે ઉત્પન્ન થતા તરંગો છે.
આ તરંગોમાં,વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ એકબીજાને લંબ અને તરંગના પ્રસરણની દિશાને પણ લંબ રૂપે દોલનો કરે છે.
ક્ષેત્રોના દોલનો પ્રસરણની દિશાને લંબ હોવાથી,વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોને અલંબગત (transverse) તરંગો તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ છે: આવૃત્તિ $f = 3 \times 10^{10} \, Hz$,ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $B_0 = 10^{-7} \, T$.
વિદ્યુત ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $E_0 = c B_0 = (3 \times 10^8 \, m/s) \times (10^{-7} \, T) = 30 \, V/m$ છે.
તરંગ $X-$ દિશામાં પ્રસરણ પામે છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $Y-$ દિશામાં છે,તેથી વિદ્યુત ક્ષેત્ર $Z-$ દિશામાં $(E_z)$ હોવું જોઈએ.
તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi f}{c} = \frac{2\pi (3 \times 10^{10})}{3 \times 10^8} = 2\pi (100) \, rad/m$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f = 2\pi (3 \times 10^{10}) \, rad/s$ છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર માટેનું સમીકરણ $E_z = E_0 \sin(kx - \omega t) = 30 \sin(2\pi(100x - 3 \times 10^{10}t)) \, V/m$ થશે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\vec E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec B$ સમાન કળામાં દોલન કરે છે અને એકબીજાને લંબ હોય છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના ગુણધર્મો અનુસાર,તરંગના પ્રસરણની દિશા (જે વેગ સદિશ $\vec v$ ની દિશા છે) તે વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,વેગ સદિશ $\vec v$ એ $\vec E \times \vec B$ ને સમાંતર હોય છે.
આ પોઈન્ટિંગ સદિશ $\vec S = \frac{1}{\mu_0} (\vec E \times \vec B)$ સાથે પણ સંબંધિત છે,જે વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્રના દિશાત્મક ઉર્જા ફ્લક્સ (એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ એકમ સમયમાં થતું ઉર્જાનું સ્થાનાંતરણ) ને દર્શાવે છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટેનું આપેલ સમીકરણ $B_y = B_m \sin(kz - \omega t)$ છે.
તરંગ સમીકરણ $f(kz - \omega t)$ માં,$(kz - \omega t)$ પદ દર્શાવે છે કે તરંગ ધન $z-$ દિશામાં પ્રસરણ પામે છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો પ્રકૃતિમાં લંબગત હોય છે,જેનો અર્થ છે કે વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ અને પ્રસરણની દિશા $\vec{k}$ પરસ્પર લંબ હોય છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $y-$ અક્ષ પર દોલન કરે છે અને તરંગ $z-$ અક્ષ પર પ્રસરણ પામે છે,તેથી વિદ્યુત ક્ષેત્ર $x-$ અક્ષ પર દોલન કરવું જોઈએ (કારણ કે $\vec{E} \propto \vec{B} \times \vec{k}$).
તેથી,તરંગના પ્રસરણની દિશા $+z-$ અક્ષ છે અને વિદ્યુત સદિશ $x-$ અક્ષ પર દોલન કરે છે.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની કુલ ઉર્જા ઘનતા $u$ એ વિદ્યુત ઉર્જા ઘનતા $u_E$ અને ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા $u_B$ નો સરવાળો છે.
વિદ્યુત ઉર્જા ઘનતા $u_E = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા $u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,કુલ ઉર્જા ઘનતા $u = u_E + u_B = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{2\mu_0}$ થાય છે.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં દોલન કરતા વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ હોય છે.
આ સદિશો પરસ્પર લંબ સમતલોમાં દોલન કરે છે,જેનો અર્થ છે કે વિદ્યુત ક્ષેત્ર એ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોય છે.
વધુમાં,આ ક્ષેત્રો સમાન કળામાં દોલન કરે છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ અવકાશમાં એક જ સમયે અને એક જ સ્થાને તેમના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો પ્રાપ્ત કરે છે.
તેથી,સાચું વર્ણન એ છે કે તેઓ પરસ્પર લંબ સમતલોમાં પરંતુ સમાન કળામાં દોલન કરે છે.

(B) રેડિયો તરંગો એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે,જે પ્રકૃતિમાં લંબગત (transverse) હોય છે. માત્ર લંબગત તરંગોનું જ ધ્રુવીભવન થઈ શકે છે. તેથી,વિધાન સાચું છે.
હવામાં ધ્વનિ તરંગો એ સંગત તરંગો છે,જેનું ધ્રુવીભવન થઈ શકતું નથી. તેથી,કારણ પણ સાચું છે.
જોકે,ધ્વનિ તરંગો સંગત છે તે હકીકત એ સમજાવતી નથી કે રેડિયો તરંગોનું ધ્રુવીભવન શા માટે થઈ શકે છે. આમ,કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) માધ્યમમાં પ્રકાશનો વેગ $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\mu = \mu_{r} \mu_{0}$ અને $\epsilon = \epsilon_{r} \epsilon_{0}$ મૂકતા,આપણને $v = \frac{1}{\sqrt{\mu_{r} \epsilon_{r} \mu_{0} \epsilon_{0}}}$ મળે છે.
શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}}} = 3 \times 10^{8} \;m/s$ હોવાથી,સૂત્ર $v = \frac{c}{\sqrt{\mu_{r} \epsilon_{r}}}$ બને છે.
અહીં $\mu_{r} = 1.0$ અને $\epsilon_{r} = 1.44$ આપેલ છે,તેથી $v = \frac{3 \times 10^{8}}{\sqrt{1.0 \times 1.44}}$.
$v = \frac{3 \times 10^{8}}{\sqrt{1.44}} = \frac{3 \times 10^{8}}{1.2}$.
$v = 2.5 \times 10^{8} \;m/s$.

(A) આપેલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B} = B_0 \sin (kx + \omega t) \hat{j}$ છે,જ્યાં $B_0 = 3 \times 10^{-8} \; T$ છે.
તરંગ ઋણ $x$-દિશામાં પ્રસરણ પામે છે (કારણ કે $+kx$ છે),તેથી પ્રસરણની દિશા $-\hat{i}$ છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર વચ્ચેનો સંબંધ $E_0 = c B_0$ છે,જ્યાં $c = 3 \times 10^{8} \; m/s$ છે.
$E_0 = (3 \times 10^{8} \; m/s) \times (3 \times 10^{-8} \; T) = 9 \; V/m$.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,પ્રસરણની દિશા $\overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B}$ ની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$(-\hat{i}) = \hat{E} \times \hat{j}$ છે.
કારણ કે $\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$ થાય છે,તેથી વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\hat{k}$ દિશામાં હોવું જોઈએ.
આમ,$\overrightarrow{E} = 9 \sin (1.6 \times 10^{3} x + 48 \times 10^{10} t) \hat{k} \; V/m$ મળે છે.

(D) શૂન્યાવકાશમાં પ્રસરતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ અને વેગ સદિશ $\overrightarrow{c}$ વચ્ચેનો સંબંધ $\overrightarrow{E} = \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગ $z$-દિશામાં પ્રસરણ પામે છે,તેથી વેગ સદિશ $\overrightarrow{c} = c \hat{k} = (3 \times 10^{8}) \hat{k}\; m/s$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B} = 5 \times 10^{-8} \hat{j}\; T$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\overrightarrow{E} = (3 \times 10^{8} \hat{k}) \times (5 \times 10^{-8} \hat{j})$
એકમ સદિશોના ક્રોસ પ્રોડક્ટના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા $(\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i})$:
$\overrightarrow{E} = (3 \times 5) \times (10^{8} \times 10^{-8}) \times (\hat{k} \times \hat{j})$
$\overrightarrow{E} = 15 \times 1 \times (-\hat{i})$
$\overrightarrow{E} = -15 \hat{i}\; V/m$.

(A) પ્રસરણની દિશા $\hat{n} = \frac{\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્રનું પોલરાઈઝેશન $\hat{E} = \hat{k}$ છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,પ્રસરણની દિશા $\hat{n}$ એ વિદ્યુત ક્ષેત્રની દિશા $\hat{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા $\hat{B}$ ના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે,એટલે કે $\hat{n} = \hat{E} \times \hat{B}$.
જાણીતી કિંમતો મૂકતા: $\frac{\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{2}} = \hat{k} \times \hat{B}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$ અને $\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$.
તેથી,$\hat{k} \times \left( \frac{\hat{i}-\hat{j}}{\sqrt{2}} \right) = \frac{\hat{j} - (-\hat{i})}{\sqrt{2}} = \frac{\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{2}}$.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા $\hat{B} = \frac{\hat{i}-\hat{j}}{\sqrt{2}}$ છે.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B} = B_{0} \frac{\hat{i}-\hat{j}}{\sqrt{2}} \cos \left(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r}\right)$ થશે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્રો $\overrightarrow{E}_{1}=E_{0} \hat{j} \cos (\omega t-kx)$ અને $\overrightarrow{E}_{2}=E_{0} \hat{k} \cos (\omega t-ky)$ છે.
$t=0$ અને ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ પર,$\overrightarrow{E}_{1} = E_{0} \hat{j}$ અને $\overrightarrow{E}_{2} = E_{0} \hat{k}$ મળે.
અનુરૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રો $\overrightarrow{B} = \frac{1}{c} (\hat{n} \times \overrightarrow{E})$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $\hat{n}$ એ પ્રસરણની દિશા છે.
$\overrightarrow{E}_{1}$ માટે,$\hat{n} = \hat{i}$,તેથી $\overrightarrow{B}_{1} = \frac{1}{c} (\hat{i} \times E_{0} \hat{j}) = \frac{E_{0}}{c} \hat{k}$.
$\overrightarrow{E}_{2}$ માટે,$\hat{n} = \hat{j}$,તેથી $\overrightarrow{B}_{2} = \frac{1}{c} (\hat{j} \times E_{0} \hat{k}) = \frac{E_{0}}{c} \hat{i}$.
લોરેન્ઝ બળ $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{E}_{1} + \overrightarrow{E}_{2}) + q(\overrightarrow{v} \times (\overrightarrow{B}_{1} + \overrightarrow{B}_{2}))$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\overrightarrow{F} = q(E_{0} \hat{j} + E_{0} \hat{k}) + q(0.8 c \hat{j} \times (\frac{E_{0}}{c} \hat{k} + \frac{E_{0}}{c} \hat{i}))$.
$\overrightarrow{F} = q E_{0} \hat{j} + q E_{0} \hat{k} + 0.8 q E_{0} (\hat{j} \times \hat{k}) + 0.8 q E_{0} (\hat{j} \times \hat{i})$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$ અને $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\overrightarrow{F} = q E_{0} \hat{j} + q E_{0} \hat{k} + 0.8 q E_{0} \hat{i} - 0.8 q E_{0} \hat{k} = q E_{0} (0.8 \hat{i} + \hat{j} + 0.2 \hat{k})$.

(N/A) બિન-યાંત્રિક તરંગો એવા તરંગો છે જેને પ્રસરણ માટે કોઈ ભૌતિક માધ્યમની જરૂર હોતી નથી. આ તરંગો શૂન્યાવકાશમાં પણ ગતિ કરી શકે છે.
તેમને વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.
બિન-યાંત્રિક તરંગોના ઉદાહરણો નીચે મુજબ છે:
$1$. પ્રકાશના તરંગો
$2$. રેડિયો તરંગો
$3$. $X$-કિરણો
$4$. ગામા કિરણો
$5$. માઇક્રોવેવ્સ

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું મૂલ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સાથે $B = \frac{E}{c}$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલું છે,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \; m/s$ એ મુક્ત અવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{6.3 \; V/m}{3 \times 10^8 \; m/s} = 2.1 \times 10^{-8} \; T$.
દિશા શોધવા માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ $\vec{E} \times \vec{B}$ સદિશની દિશામાં પ્રસરણ પામે છે.
આપેલ છે કે તરંગ $x$-દિશામાં $(\hat{i})$ ગતિ કરે છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $y$-દિશામાં $(\hat{j})$ છે,તેથી $\hat{j} \times \hat{B} = \hat{i}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $z$-દિશામાં $(\hat{k})$ હોવું જોઈએ.
આમ,$\vec{B} = 2.1 \times 10^{-8} \hat{k} \; T$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $B_y = B_0 \sin(kx + \omega t)$ સાથે સરખાવતા:
અહીં,$k = 0.5 \times 10^3 \, rad/m$ અને $\omega = 1.5 \times 10^{11} \, rad/s$ છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2 \times 3.14}{0.5 \times 10^3} \approx 1.26 \, m$.
આવૃત્તિ $\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1.5 \times 10^{11}}{2 \times 3.14} \approx 2.39 \times 10^{10} \, Hz = 23.9 \, GHz$.
$(b)$ વિદ્યુત ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $E_0 = B_0 c = (2 \times 10^{-7} \, T) \times (3 \times 10^8 \, m/s) = 60 \, V/m$ છે.
તરંગ ઋણ $x$-દિશામાં પ્રસરણ પામે છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $y$-અક્ષ પર હોવાથી,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $z$-અક્ષ પર હોવું જોઈએ. તેથી,સમીકરણ:
$E_z = 60 \sin (0.5 \times 10^3 x + 1.5 \times 10^{11} t) \, V/m$.

(A) બલ્બ,એક બિંદુવત ઉદગમ તરીકે,બધી દિશાઓમાં સમાન રીતે પ્રકાશનું ઉત્સર્જન કરે છે. $r = 3\; m$ ના અંતરે,આસપાસના ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $A = 4\pi r^2 = 4\pi(3)^2 = 113\; m^2$ છે.
બલ્બ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = 100\; W \times 2.5\% = 2.5\; W$ છે.
આ અંતરે તીવ્રતા $I = \frac{P}{A} = \frac{2.5\; W}{113\; m^2} \approx 0.022\; W/m^2$ છે.
સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા વિદ્યુત ક્ષેત્ર સાથે $I = \varepsilon_0 E_{rms}^2 c$ દ્વારા સંબંધિત છે. તેથી,$E_{rms} = \sqrt{\frac{I}{\varepsilon_0 c}}$.
કિંમતો મૂકતા: $E_{rms} = \sqrt{\frac{0.022}{(8.85 \times 10^{-12})(3 \times 10^8)}} \approx 2.87\; V/m \approx 2.9\; V/m$.
મહત્તમ વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E_0 = \sqrt{2} E_{rms} = \sqrt{2} \times 2.9 \approx 4.1\; V/m$.
રૂટ મીન સ્ક્વેર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{rms} = \frac{E_{rms}}{c} = \frac{2.9}{3 \times 10^8} \approx 9.7 \times 10^{-9}\; T$ છે.
મહત્તમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0 = \sqrt{2} B_{rms} = \sqrt{2} \times 9.7 \times 10^{-9} \approx 1.37 \times 10^{-8}\; T$ છે.

(C) બધા જ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો,તેમની તરંગલંબાઈ કે આવૃત્તિ ગમે તે હોય,શૂન્યાવકાશમાં સમાન ઝડપે ગતિ કરે છે.
આ ઝડપને $c$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે અને તેનું મૂલ્ય આશરે $3 \times 10^{8} \; m/s$ છે.
$X$-કિરણો,લાલ પ્રકાશ અને રેડિયો તરંગો એ બધા વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના ભાગ હોવાથી,તેઓ શૂન્યાવકાશમાં આ મૂળભૂત ગુણધર્મ સમાન રીતે ધરાવે છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ શૂન્યાવકાશમાં $z$-દિશામાં ગતિ કરે છે. વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ એ $x-y$ સમતલમાં હોય છે અને તેઓ એકબીજાને તથા તરંગના પ્રસરણની દિશા ($z$-દિશા) ને લંબ હોય છે.
આપેલ તરંગની આવૃત્તિ,$\nu = 30 \; MHz = 30 \times 10^{6} \; s^{-1}$.
શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ,$c = 3 \times 10^{8} \; m/s$.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\lambda = \frac{c}{\nu}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{3 \times 10^{8}}{30 \times 10^{6}} = \frac{300 \times 10^{6}}{30 \times 10^{6}} = 10 \; m$.

(N/A) રેડિયો લઘુત્તમ આવૃત્તિ $v_{1} = 7.5\; MHz = 7.5 \times 10^{6}\; Hz$ પર ટ્યુન થાય છે.
મહત્તમ આવૃત્તિ $v_{2} = 12\; MHz = 12 \times 10^{6}\; Hz$ છે.
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^{8}\; m/s$ છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને આવૃત્તિ $v$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{c}{v}$ છે.
લઘુત્તમ આવૃત્તિ $v_{1}$ માટે,મહત્તમ તરંગલંબાઈ $\lambda_{1}$ નીચે મુજબ મળે:
$\lambda_{1} = \frac{c}{v_{1}} = \frac{3 \times 10^{8}}{7.5 \times 10^{6}} = 40\; m$.
મહત્તમ આવૃત્તિ $v_{2}$ માટે,લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ $\lambda_{2}$ નીચે મુજબ મળે:
$\lambda_{2} = \frac{c}{v_{2}} = \frac{3 \times 10^{8}}{12 \times 10^{6}} = 25\; m$.
આમ,અનુરૂપ તરંગલંબાઈનો બેન્ડ $25\; m$ થી $40\; m$ છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના સિદ્ધાંત મુજબ,દોલન કરતો વિદ્યુતભાર એ વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણનો સ્ત્રોત છે. દોલન કરતા વિદ્યુતભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની આવૃત્તિ એ વિદ્યુતભારના પોતાના દોલનની આવૃત્તિ જેટલી જ હોય છે. તેથી,વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની આવૃત્તિ $10^9 \; Hz$ છે.

(D) શૂન્યાવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $B_0 = 510 \; nT = 510 \times 10^{-9} \; T$ આપેલ છે.
શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \; m/s$ છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના વિદ્યુત ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $(E_0)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $(B_0)$ વચ્ચેનો સંબંધ $E_0 = c B_0$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$E_0 = (3 \times 10^8 \; m/s) \times (510 \times 10^{-9} \; T)$
$E_0 = 3 \times 510 \times 10^{-1} \; N/C$
$E_0 = 1530 \times 10^{-1} \; N/C = 153 \; N/C$.
તેથી,તરંગના વિદ્યુત ક્ષેત્રના ભાગનો કંપવિસ્તાર $153 \; N/C$ છે.

(N/A) વિદ્યુતક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર,$E_{0} = 120 \; N/C$.
સ્ત્રોતની આવૃત્તિ,$\nu = 50.0 \; MHz = 50 \times 10^{6} \; Hz$.
પ્રકાશની ઝડપ,$c = 3 \times 10^{8} \; m/s$.
$(a)$ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતાનું મૂલ્ય નીચે મુજબ છે:
$B_{0} = \frac{E_{0}}{c} = \frac{120}{3 \times 10^{8}} = 4 \times 10^{-7} \; T = 400 \; nT$.
કોણીય આવૃત્તિ નીચે મુજબ છે:
$\omega = 2 \pi \nu = 2 \pi \times 50 \times 10^{6} = 3.14 \times 10^{8} \; rad/s$.
પ્રસરણ અચળાંક નીચે મુજબ છે:
$k = \frac{\omega}{c} = \frac{3.14 \times 10^{8}}{3 \times 10^{8}} = 1.05 \; rad/m$.
તરંગલંબાઇ નીચે મુજબ છે:
$\lambda = \frac{c}{\nu} = \frac{3 \times 10^{8}}{50 \times 10^{6}} = 6.0 \; m$.
$(b)$ ધારો કે તરંગ ધન $x$-દિશામાં પ્રસરણ પામે છે. તો,વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ ધન $y$-દિશામાં અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ ધન $z$-દિશામાં હશે. કારણ કે આ ત્રણેય સદિશો પરસ્પર લંબ છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશનું સમીકરણ:
$\vec{E} = 120 \sin(1.05x - 3.14 \times 10^{8}t) \hat{j} \; V/m$.
અને,ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશનું સમીકરણ:
$\vec{B} = (4 \times 10^{-7}) \sin(1.05x - 3.14 \times 10^{8}t) \hat{k} \; T$.

(A) આપેલ છે:
આવૃત્તિ $v = 2.0 \times 10^{10} \; Hz$
વિદ્યુતક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $E_{0} = 48 \; V m^{-1}$
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^{8} \; m s^{-1}$
$(a)$ તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{c}{v} = \frac{3 \times 10^{8}}{2.0 \times 10^{10}} = 0.015 \; m$.
$(b)$ ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $B_{0} = \frac{E_{0}}{c} = \frac{48}{3 \times 10^{8}} = 1.6 \times 10^{-7} \; T$.
$(c)$ વિદ્યુતક્ષેત્રની ઊર્જા ઘનતા $U_{E} = \frac{1}{2} \epsilon_{0} E^{2}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટે $U_{B} = \frac{B^{2}}{2 \mu_{0}}$ છે.
$E = cB$ અને $c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_{0} \mu_{0}}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $E^{2} = c^{2} B^{2} = \frac{B^{2}}{\epsilon_{0} \mu_{0}}$ મળે છે.
આમ,$\epsilon_{0} E^{2} = \frac{B^{2}}{\mu_{0}}$.
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{2} \epsilon_{0} E^{2} = \frac{B^{2}}{2 \mu_{0}}$,જે દર્શાવે છે કે $U_{E} = U_{B}$.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $x$-અક્ષની દિશામાં દોલન કરે છે અને $y$ તથા $t$ સાથે બદલાય છે. કોસાઇન વિધેયનો તર્ક $(ky + \omega t)$ હોવાથી,તરંગ ઋણ $y$-દિશામાં એટલે કે $-\hat{j}$ દિશામાં પ્રસરણ પામે છે.
$(b)$ આપેલ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $E = E_0 \cos(ky + \omega t)$ સાથે સરખાવતા,$k = 1.8 \; rad/m$ મળે છે. તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2 \times 3.14}{1.8} \approx 3.49 \; m$.
$(c)$ કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 5.4 \times 10^{6} \; rad/s$ છે. આવૃત્તિ $\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{5.4 \times 10^{6}}{2 \times 3.14} \approx 8.6 \times 10^{5} \; Hz$.
$(d)$ ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $B_0 = \frac{E_0}{c}$,જ્યાં $E_0 = 3.1 \; N/C$ અને $c = 3 \times 10^{8} \; m/s$ છે. તેથી,$B_0 = \frac{3.1}{3 \times 10^{8}} \approx 1.03 \times 10^{-8} \; T$.
$(e)$ $\vec{E}$ એ $\hat{i}$ દિશામાં છે અને પ્રસરણ $-\hat{j}$ દિશામાં છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ $\hat{k}$ દિશામાં હોવું જોઈએ (કારણ કે $\vec{E} \times \vec{B}$ એ પ્રસરણની દિશા આપે છે). સમીકરણ: $\vec{B} = \{(1.03 \times 10^{-8} \; T) \cos [(1.8 \; rad/m) y + (5.4 \times 10^{6} \; rad/s) t] \} \hat{k}$.

(A) બલ્બનો પાવર રેટિંગ,$P = 100 \; W$.
આપેલ છે કે તેના પાવરના લગભગ $5 \%$ દ્રશ્યમાન વિકિરણમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$\therefore$ દ્રશ્યમાન વિકિરણનો પાવર,$P' = \frac{5}{100} \times 100 = 5 \; W$.
$(a)$ બલ્બથી $d = 1 \; m$ ના અંતરે,તીવ્રતા $I$ સૂત્ર $I = \frac{P'}{4 \pi d^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I = \frac{5}{4 \times 3.14 \times (1)^2} \approx 0.398 \; W/m^2$.
$(b)$ બલ્બથી $d = 10 \; m$ ના અંતરે,તીવ્રતા $I$ સૂત્ર $I = \frac{P'}{4 \pi d^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I = \frac{5}{4 \times 3.14 \times (10)^2} = \frac{5}{1256} \approx 0.00398 \; W/m^2$.

(N/A) લાંબા અંતરના રેડિયો પ્રસારણ શોર્ટ-વેવ બેન્ડનો ઉપયોગ કરે છે કારણ કે આ તરંગો આયનોસ્ફિયર દ્વારા વક્રીભવન પામે છે,જે તેમને પૃથ્વીના વળાંકની આસપાસ લાંબા અંતર સુધી મુસાફરી કરવા દે છે.
$(b)$ $TV$ સિગ્નલો ખૂબ જ ઉચ્ચ આવર્તન અને ઉચ્ચ ઉર્જા ધરાવે છે. તેઓ આયનોસ્ફિયર દ્વારા પરાવર્તિત થતા નથી; તેથી,લાંબા અંતરના સંચાર માટે આ સિગ્નલો મેળવવા અને ફરીથી પ્રસારિત કરવા માટે ઉપગ્રહોની જરૂર પડે છે.
$(c)$ પૃથ્વીનું વાતાવરણ $X$-કિરણોને શોષી લે છે,જે તેમને જમીન સુધી પહોંચતા અટકાવે છે. જો કે,દ્રશ્ય પ્રકાશ અને રેડિયો તરંગો વાતાવરણમાં પ્રવેશ કરી શકે છે,જેનાથી ઓપ્ટિકલ અને રેડિયો ટેલિસ્કોપ જમીન પર કામ કરી શકે છે.
$(d)$ ઓઝોન સ્તર સૂર્યમાંથી આવતા હાનિકારક અલ્ટ્રાવાયોલેટ $(UV)$ કિરણોત્સર્ગને શોષી લે છે,જે અન્યથા સજીવોને ગંભીર નુકસાન પહોંચાડી શકે છે,જેમાં ત્વચાનું કેન્સર અને આનુવંશિક પરિવર્તનનો સમાવેશ થાય છે.
$(e)$ વાતાવરણ વિના,ગ્રીનહાઉસ અસર હોત નહીં. પૃથ્વીનું સરેરાશ સપાટીનું તાપમાન અત્યારે છે તેના કરતા ઘણું ઓછું હોત કારણ કે વાતાવરણ સપાટી પરથી ઉત્સર્જિત ગરમીને જકડી રાખે છે.
$(f)$ વૈશ્વિક પરમાણુ યુદ્ધ વાતાવરણમાં મોટા પ્રમાણમાં ધુમાડો અને ધૂળ છોડશે. આ કણો સૂર્યપ્રકાશને પૃથ્વીની સપાટી સુધી પહોંચતા અટકાવશે,જેના કારણે તાપમાનમાં ભારે ઘટાડો થશે,જેને 'ન્યુક્લિયર વિન્ટર' કહેવાય છે,અને ઓઝોન સ્તરનો નાશ થશે.

(N/A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો એ વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેના કંપનોના પરિણામે ઉત્પન્ન થતા તરંગો છે.
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો,વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો એ એકબીજાને અને તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ હોય તેવા દોલિત વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના બનેલા હોય છે.
આ તરંગોને પ્રસરણ માટે કોઈ ભૌતિક માધ્યમની જરૂર હોતી નથી અને તે શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપે,$c \approx 3 \times 10^8 \ m/s$ ની ઝડપે ગતિ કરી શકે છે.

(N/A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની લાક્ષણિકતાઓ નીચે મુજબ છે:
$(1)$ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર એકબીજાને લંબ હોય છે,તેમજ તરંગના પ્રસરણની દિશાને પણ લંબ હોય છે.
$(2)$ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો લંબગત પ્રકૃતિના હોય છે. જો સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ $z$-દિશામાં પ્રસરણ પામતું હોય,તો વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{x}$ એ $x$-દિશામાં અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{y}$ એ $y$-દિશામાં દોલનો કરે છે. તેઓ સાઈન વિધેય અનુસાર બદલાય છે.
$(3)$ તેનું ગાણિતિક સ્વરૂપ નીચે મુજબ છે:
$E_{x} = E_{0} \sin(kz - \omega t)$
$B_{y} = B_{0} \sin(kz - \omega t)$
આમ,$\vec{E} = E_{0} \sin(kz - \omega t) \hat{i}$ અને $\vec{B} = B_{0} \sin(kz - \omega t) \hat{j}$.
$(4)$ શૂન્યાવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની ઝડપ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c = \frac{\omega}{k}$.
$(5)$ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના પ્રસરણ માટે કોઈ ભૌતિક માધ્યમની જરૂર હોતી નથી; તેઓ શૂન્યાવકાશમાં પણ ગતિ કરી શકે છે.

(A) જગદીશ ચંદ્ર બોઝ રેડિયો તરંગોના અભ્યાસમાં અગ્રણી હતા. $1895$ માં,તેમણે સફળતાપૂર્વક મિલીમીટર રેન્જના,ખાસ કરીને $5 \ mm$ થી $25 \ mm$ ની વચ્ચેના વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો ઉત્પન્ન કર્યા અને શોધી કાઢ્યા હતા. આ કાર્ય આધુનિક વાયરલેસ કોમ્યુનિકેશનના વિકાસમાં એક મહત્વપૂર્ણ યોગદાન હતું.

(A) જ્યારે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ $+x$ દિશામાં પ્રસરણ પામતું હોય,ત્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ એ $y$-દિશામાં અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ એ $z$-દિશામાં દોલન કરે છે.
$+x$ દિશામાં ગતિ કરતા સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનું સામાન્ય સ્વરૂપ નીચે મુજબ છે:
$E_y = E_0 \sin(kx - \omega t)$
$B_z = B_0 \sin(kx - \omega t)$
અહીં,$E_0$ અને $B_0$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર છે,$k$ એ તરંગ સદિશ છે,અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે. આ ક્ષેત્રો સમાન કળામાં હોય છે અને $E_0 = cB_0$ સંબંધનું પાલન કરે છે,જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ વચ્ચેનો સંબંધ સમીકરણ $E = cB$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ગુણોત્તર $\frac{E}{B} = c$ થાય છે.
આ ગુણોત્તર માધ્યમમાં (અથવા શૂન્યાવકાશમાં) પ્રકાશની ઝડપ દર્શાવે છે.

(C) ધન $x$-દિશામાં ગતિ કરતા સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં દોલન કરતા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો હોય છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $y$-અક્ષ પર દોલન કરે છે અને તે $E_y = E_0 \sin(kx - \omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $z$-અક્ષ પર દોલન કરે છે અને તે $B_z = B_0 \sin(kx - \omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$E_0$ અને $B_0$ એ વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના કંપવિસ્તાર છે,$k$ એ તરંગ સંખ્યા છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
તેથી,બંને સમીકરણો સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ દર્શાવે છે.

(A) મુક્ત અવકાશ (શૂન્યાવકાશ) માં પ્રકાશની ઝડપ એ એક સાર્વત્રિક ભૌતિક અચળાંક છે જેને $c$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેનું મૂલ્ય આશરે $3 \times 10^8 \ m/s$ (વધુ ચોક્કસ રીતે $299,792,458 \ m/s$) છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) સરળ લોલકમાં,સ્થાનાંતરને કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જે દોરી દ્વારા શિરોલંબ અક્ષ સાથે બનાવવામાં આવતો ખૂણો છે.
પ્રકાશના પ્રસરણમાં (જે એક વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ છે),સ્થાનાંતર ચલ એ દોલન કરતો વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ (અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$) છે,જે અવકાશ અને સમયમાં સામયિક રીતે બદલાય છે.

આપણે જાણીએ છીએ કે સ્થિત-વિદ્યુત અચળાંક $\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \text{ Nm}^{2}/\text{C}^{2}$ છે અને ચુંબકીય અચળાંક $\frac{\mu_{0}}{4 \pi} = 10^{-7} \text{ Tm/A}$ છે.
આ બંને અચળાંકોનો ગુણાકાર કરતા:
$\mu_{0} \epsilon_{0} = \left( \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \right) \left( 4 \pi \epsilon_{0} \right) = (10^{-7}) \left( \frac{1}{9 \times 10^{9}} \right) = \frac{1}{9 \times 10^{16}}$.
શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^{8} \text{ m/s}$ હોવાથી, આપણે લખી શકીએ:
$\mu_{0} \epsilon_{0} = \frac{1}{(3 \times 10^{8})^{2}} = \frac{1}{c^{2}}$.
તેથી, સંબંધ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}}}$ છે.