Properties of Electromagnetic Waves Questions in Gujarati

(D) અવરોધનું માપ $a$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ નો ગુણોત્તર $\frac{a}{\lambda} = \frac{1}{100}$ છે.
પરાવર્તન થવા માટે,અવરોધનું માપ તરંગલંબાઈ કરતા ઘણું મોટું હોવું જોઈએ $(a \gg \lambda)$.
વિવર્તન થવા માટે,અવરોધનું માપ તરંગલંબાઈના ક્રમનું હોવું જોઈએ $(a \approx \lambda)$.
અહીં વસ્તુનું માપ $\frac{\lambda}{100}$ હોવાથી,જે તરંગલંબાઈ કરતા ઘણું નાનું છે $(a \ll \lambda)$,તેથી વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનું પ્રકીર્ણન થશે.

(C) વિધાન $I$ સાચું છે કારણ કે મેક્સવેલના સમીકરણો મુજબ,સમય સાથે બદલાતું વિદ્યુતક્ષેત્ર ચુંબકીય ક્ષેત્ર (સ્થાનાંતર પ્રવાહ) ઉત્પન્ન કરે છે અને સમય સાથે બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર (ફેરાડેનો નિયમ) ઉત્પન્ન કરે છે. આ પરસ્પર નિર્માણ $EM$ તરંગોના પ્રસરણ તરફ દોરી જાય છે.
વિધાન $II$ ખોટું છે કારણ કે દ્રવ્ય માધ્યમમાં $EM$ તરંગની ઝડપ $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu = \mu_{0} \mu_{r}$ અને $\varepsilon = \varepsilon_{0} \varepsilon_{r}$ છે. સમીકરણ $v = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $(c)$ દર્શાવે છે,દ્રવ્ય માધ્યમમાં નહીં.

(B) આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda = 8\,mm = 8 \times 10^{-3}\,m$. મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{0} = 60\,Vm^{-1}$.
પ્રસરણની દિશા $+x$-અક્ષ છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર $y$-અક્ષ પર છે.
$1$. ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર શોધો: $B_{0} = \frac{E_{0}}{c} = \frac{60}{3 \times 10^{8}} = 2 \times 10^{-7}\,T$.
$2$. ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા નક્કી કરો: તરંગ $\vec{E} \times \vec{B}$ ની દિશામાં પ્રસરતું હોવાથી,અને $\vec{E}$ એ $\hat{j}$ માં છે અને પ્રસરણ $\hat{i}$ માં છે,તેથી $\vec{B}$ એ $\hat{k}$ દિશામાં હોવું જોઈએ.
$3$. તરંગ સંખ્યા $k$ શોધો: $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{8 \times 10^{-3}} = \frac{\pi}{4} \times 10^{3}\,m^{-1}$.
$4$. તરંગનું સમીકરણ $E = E_{0} \sin(k(x - ct))\hat{j}$ અને $B = B_{0} \sin(k(x - ct))\hat{k}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $E_{y} = 60 \sin \left[\frac{\pi}{4} \times 10^{3}(x - 3 \times 10^{8}t)\right] \hat{j}\,Vm^{-1}$ અને $B_{z} = 2 \times 10^{-7} \sin \left[\frac{\pi}{4} \times 10^{3}(x - 3 \times 10^{8}t)\right] \hat{k}\,T$ મળે છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ અને વિદ્યુતક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $E_0$ વચ્ચેનો સંબંધ: $I = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2 c$ છે.
$E_0$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $E_0 = \sqrt{\frac{2I}{\epsilon_0 c}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $E_0 = \sqrt{\frac{2 \times 0.22}{8.85 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8}} = \sqrt{\frac{0.44}{26.55 \times 10^{-4}}} = \sqrt{165.72} \approx 12.873 \, V/m$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $B_0 = \frac{E_0}{c}$ દ્વારા મળે છે.
$B_0 = \frac{12.873}{3 \times 10^8} = 4.291 \times 10^{-8} \, T$.
આને $10^{-9} \, T$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા: $B_0 = 42.91 \times 10^{-9} \, T \approx 43 \times 10^{-9} \, T$.

(A) આપેલ વિદ્યુતક્ષેત્રનું સમીકરણ $E_{y} = 540 \sin \pi \times 10^{4}(x - ct) \text{ Vm}^{-1}$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $E = E_{0} \sin(kx - \omega t)$ સાથે સરખાવતા,વિદ્યુતક્ષેત્રનું મહત્તમ મૂલ્ય $E_{0} = 540 \text{ Vm}^{-1}$ મળે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રના મહત્તમ મૂલ્ય $E_{0}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના મહત્તમ મૂલ્ય $B_{0}$ વચ્ચેનો સંબંધ $B_{0} = \frac{E_{0}}{c}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$B_{0} = \frac{540}{3 \times 10^{8}} \text{ T}$.
$B_{0} = 180 \times 10^{-8} \text{ T} = 18 \times 10^{-7} \text{ T}$.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મહત્તમ મૂલ્ય $18 \times 10^{-7} \text{ T}$ છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટેનું આપેલ સમીકરણ $B_{y} = B_{0} \sin(kx - \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $B_{y} = 5 \times 10^{-6} \sin(5000\pi x - 4 \times 10^{11}\pi t)$ સાથે સરખાવતા,ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $B_{0} = 5 \times 10^{-6} \text{ T}$ મળે છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઝડપ $c$ અને વિદ્યુત ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $E_{0}$ તથા ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $B_{0}$ વચ્ચેનો સંબંધ $E_{0} = c B_{0}$ છે.
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^{8} \text{ m/s}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E_{0} = (3 \times 10^{8} \text{ m/s}) \times (5 \times 10^{-6} \text{ T})$
$E_{0} = 15 \times 10^{2} \text{ V/m} = 1500 \text{ V/m}$.

(C) વિદ્યુત ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $(E_0)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $(B_0)$ વચ્ચેનો સંબંધ $E_0 = cB_0$ છે, જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે $(c = 3 \times 10^8 \text{ ms}^{-1})$.
અહીં $B_0 = 2 \times 10^{-8} \text{ T}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $E_0 = (3 \times 10^8) \times (2 \times 10^{-8}) = 6 \text{ Vm}^{-1}$.
તરંગ ઋણ $x$-દિશામાં પ્રસરણ પામે છે (જે $+kx$ પદ દ્વારા સૂચિત થાય છે). ચુંબકીય ક્ષેત્ર $y$-અક્ષની દિશામાં $(\hat{j})$ છે. પ્રસરણની દિશા $\vec{E} \times \vec{B}$ હોવાથી, વિદ્યુત ક્ષેત્ર $z$-અક્ષની દિશામાં $(\hat{k})$ હોવું જોઈએ કારણ કે $(-\hat{k}) \times \hat{j} = -\hat{i}$ (ઋણ $x$-દિશા). તેથી, વિદ્યુત ક્ષેત્ર $6 \text{ Vm}^{-1}$ એ $z$-અક્ષની દિશામાં હશે.

(B) વિધાન $A$ ખોટું છે કારણ કે તરંગના પ્રસરણની દિશા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો બંનેને લંબ હોય છે,તેમની દિશામાં નહીં.
વિધાન $B$ સાચું છે; વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં ઉર્જા ઘનતા વિદ્યુતક્ષેત્ર $(u_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(u_B = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0})$ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલી હોય છે,જેથી $u_E = u_B$.
વિધાન $C$ ખોટું છે કારણ કે વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો એકબીજાને લંબ હોય છે.
વિધાન $D$ સાચું છે; વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો પ્રકૃતિમાં લંબગત હોય છે,એટલે કે $\vec{E}$,$\vec{B}$ અને પ્રસરણની દિશા $\vec{k}$ પરસ્પર લંબ હોય છે.
વિધાન $E$ ખોટું છે કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર પ્રકાશની ઝડપ $(E_0/B_0 = c)$ જેટલો હોય છે,તેથી $B_0/E_0 = 1/c$ થાય.
તેથી,માત્ર વિધાન $B$ અને $D$ સાચા છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{y} = 900 \sin \omega(t - x/c)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $E_{0} = 900 \, V/m$ છે.
વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું વિદ્યુત બળ $F_{E} = qE_{0}$ છે.
$v$ વેગથી ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_{B} = qvB_{0}$ છે,જ્યાં $B_{0}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર વચ્ચેનો સંબંધ $E_{0} = cB_{0}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $B_{0} = E_{0}/c$.
ચુંબકીય બળના સમીકરણમાં $B_{0}$ ની કિંમત મૂકતા: $F_{B} = qv(E_{0}/c)$.
વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળનો ગુણોત્તર:
$\frac{F_{E}}{F_{B}} = \frac{qE_{0}}{qv(E_{0}/c)} = \frac{c}{v}$.
અહીં $c = 3 \times 10^{8} \, m/s$ અને $v = 3 \times 10^{7} \, m/s$ આપેલ છે,તેથી ગુણોત્તર:
$\frac{F_{E}}{F_{B}} = \frac{3 \times 10^{8}}{3 \times 10^{7}} = 10$.
આમ,ગુણોત્તર $10: 1$ છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્રના આપેલા ઘટકો $E_y = E_0 \sin(kx + \omega t)$ અને $E_z = -2E_0 \sin(kx - \omega t)$ છે.
તરંગ વર્તુળાકાર અથવા લંબગોળ ધ્રુવીભૂત હોવા માટે,ઘટકો વચ્ચે અચળ કળા તફાવત (સામાન્ય રીતે $\pi/2$) હોવો જોઈએ.
અહીં,ઘટકો $E_y$ અને $E_z$ એ વિરુદ્ધ દિશામાં (અનુક્રમે $+x$ અને $-x$ દિશામાં) ગતિ કરતા બે તરંગો દર્શાવે છે.
આ બે સ્વતંત્ર તરંગો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી,તેમનું સંપાતીકરણ પ્રગામી તરંગના પરંપરાગત અર્થમાં એકલ ધ્રુવીભૂત સ્થિતિમાં પરિણમતું નથી; જોકે,આપેલા વિકલ્પોના સંદર્ભમાં,આ ચોક્કસ દોલનોનું સંપાતીકરણ એક પરિણામી સદિશ આપે છે જે $yz$-સમતલમાં એક નિશ્ચિત રેખા પર દોલન કરે છે.
તેથી,આ તરંગ રેખીય ધ્રુવીભૂત છે.
સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = c(B \times \hat{n})$ અથવા $B = \frac{1}{c}(\hat{n} \times E)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિમાણીય વિશ્લેષણ દર્શાવે છે કે $[E] = [B][c]$.
વિકલ્પ $A$ માં,સમીકરણ $E = \frac{\hat{n} \times B}{c}$ છે. જમણી બાજુના પરિમાણ $\frac{[B]}{[c]} = \frac{[B]}{[L/T]} = [B][T/L]$ થાય છે.
કારણ કે $[E] = [B][L/T]$,તેથી પરિમાણો સમાન નથી.
તેથી,સંબંધ $E = \frac{\hat{n} \times B}{c}$ પરિમાણીય રીતે ખોટો છે.

(A) .
સૂર્યમાંથી આવતા વિકિરણો મુખ્યત્વે દ્રશ્ય પ્રકાશ અને ટૂંકી તરંગલંબાઇ ધરાવતા ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણોના સ્વરૂપમાં પૃથ્વી પર પહોંચે છે.
આ વિકિરણો વાતાવરણમાંથી પસાર થઈને પૃથ્વીની સપાટી દ્વારા શોષાય છે.
ત્યારબાદ પૃથ્વી આ ઉર્જાને લાંબી તરંગલંબાઇ ધરાવતા ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણો (ઉષ્મીય વિકિરણો) તરીકે ફરીથી ઉત્સર્જિત કરે છે.
મિથેન $(CH_4)$ જેવા ગ્રીનહાઉસ વાયુઓ ટૂંકી તરંગલંબાઇ માટે પારદર્શક હોય છે,પરંતુ તેઓ આ લાંબી તરંગલંબાઇ ધરાવતા ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણોને શોષવામાં ખૂબ જ અસરકારક હોય છે.
આ ગરમીને પકડી રાખીને,તેઓ તેને અવકાશમાં જતા અટકાવે છે,જેનાથી પૃથ્વીના વાતાવરણમાં ગરમી વધે છે.

(C) સાચો જવાબ $C$ છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો એ વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના દોલનો છે જે અવકાશમાં પ્રસરણ પામે છે.
તેઓ એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી ઉર્જા,વેગમાન અને માહિતીનું વહન કરે છે.
જો કે,વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો દ્રવ્ય અથવા વિદ્યુતભારનું વહન કરતા નથી.
તેથી,વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો દ્વારા વીજભારનું વહન થતું નથી.

(D) માધ્યમમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઝડપનું સૂત્ર $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}$ છે,જ્યાં $\mu = \mu_0 \mu_r$ અને $\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \mu_r \varepsilon_0 \varepsilon_r}} = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \times \frac{1}{\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}}$ મળે છે.
શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} = 3 \times 10^8 \, m/s$ હોવાથી,$v = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}}$ થાય.
અહીં $\varepsilon_r = 2.25$ અને $\mu_r = 4$ આપેલ છે,તેથી છેદની કિંમત: $\sqrt{2.25 \times 4} = \sqrt{9} = 3$ થાય.
આમ,$v = \frac{3 \times 10^8}{3} = 1 \times 10^8 \, m/s$.
સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) શૂન્યાવકાશમાં પ્રસરતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E_0)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_0)$ ના કંપવિસ્તાર વચ્ચેનો સંબંધ $c = \frac{E_0}{B_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
તરંગની ઝડપ એ કોણીય આવૃત્તિ $(\omega)$ અને તરંગ સંખ્યા $(k)$ સાથે $c = \frac{\omega}{k}$ સમીકરણ દ્વારા પણ જોડાયેલ છે.
$c$ માટેના આ બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $\frac{E_0}{B_0} = \frac{\omega}{k}$ મળે છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,આપણને $E_0 k = B_0 \omega$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) સાચો જવાબ $D$ છે.
સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ સમાન કળામાં દોલન કરે છે.
તેઓ એકબીજાને લંબ હોય છે અને તરંગના પ્રસરણની દિશાને પણ લંબ હોય છે.
તેઓ સમાન કળામાં દોલન કરતા હોવાથી,તેઓ વિરુદ્ધ કળામાં દોલન કરે છે તેવું વિધાન ખોટું છે.
વધુમાં,વિદ્યુતક્ષેત્રની સરેરાશ ઊર્જા ઘનતા એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની સરેરાશ ઊર્જા ઘનતા જેટલી જ હોય છે,એટલે કે $u_E = u_B = \frac{1}{4} \epsilon_0 E_0^2$.

(A) સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને સાઇનસૉઇડલ વિધેયો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જેમ કે $\vec{E} = E_0 \sin(kx - \omega t)$ અને $\vec{B} = B_0 \sin(kx - \omega t)$.
એક સંપૂર્ણ ચક્ર પર સાઇન અથવા કોસાઇન વિધેયનું સરેરાશ મૂલ્ય શૂન્ય હોય છે. તેથી,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ના સરેરાશ મૂલ્યો શૂન્ય છે.
જોકે,આ ક્ષેત્રો સાથે સંકળાયેલી ઉર્જા ઘનતા ક્ષેત્રોના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે ($U_E \propto E^2$ અને $U_B \propto B^2$). સાઇન વિધેયનો વર્ગ હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,એક સંપૂર્ણ ચક્ર પર વિદ્યુત ઉર્જા અને ચુંબકીય ઉર્જાનું સરેરાશ મૂલ્ય શૂન્ય હોતું નથી.
આમ,માત્ર વિદ્યુત ક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રનું એક સંપૂર્ણ ચક્ર પર સરેરાશ મૂલ્ય શૂન્ય હોય છે.

(C) પોઈન્ટિંગ વેક્ટર $\vec{S}$ એ વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ના સદિશ ગુણાકારને શૂન્યાવકાશની પરમિએબિલિટી $\mu_0$ વડે ભાગતા મળે છે:
$\vec{S} = \frac{\vec{E} \times \vec{B}}{\mu_0}$
પોઈન્ટિંગ વેક્ટર $\vec{S}$ ની દિશા એ ઉર્જાના વહનની દિશા દર્શાવે છે,જે $EM$ તરંગના પ્રસરણની દિશા સમાન છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $B = B_0 \sin(kx + \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $B = 3.01 \times 10^{-7} \sin(6.28 \times 10^2 x + 2.2 \times 10^{10} t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 6.28 \times 10^2 \, cm^{-1}$ મળે છે.
તરંગ સંખ્યા $k$ અને તરંગલંબાઇ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ છે.
તેથી,$\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2 \times 3.14}{6.28 \times 10^2}$.
$\lambda = \frac{6.28}{6.28 \times 10^2} = 10^{-2} \, cm$.
અહીં ગણતરી મુજબ જવાબ $0.01 \, cm$ આવે છે,પરંતુ વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,જો $k$ ના એકમમાં ફેરફાર હોય તો સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = cB$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $c$ એ મુક્ત અવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે $(c \approx 3 \times 10^8 \, m/s)$.
આપેલ છે:
$E = 9.3 \, V/m$ ધન $y$-દિશામાં $(+\hat{j})$.
તરંગના પ્રસરણની દિશા ધન $x$-દિશામાં $(+\hat{i})$ છે.
$B = \frac{E}{c}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$B = \frac{9.3}{3 \times 10^8} = 3.1 \times 10^{-8} \, T$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા તરંગના પ્રસરણની દિશા અને વિદ્યુતક્ષેત્રના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા નક્કી થાય છે. તરંગ $x$-દિશામાં $(\hat{i})$ પ્રસરણ પામે છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $y$-દિશામાં $(\hat{j})$ છે, તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ ની દિશામાં એટલે કે ધન $z$-દિશામાં હશે.
તેથી, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $3.1 \times 10^{-8} \, T$ ધન $z$-દિશામાં છે.

(C) તરંગની તીવ્રતા $I$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ $A$ પર એકમ સમય $t$ માં આપાત થતી ઉર્જા $E$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી $I = \frac{E}{At}$.
સંપૂર્ણ પરાવર્તક સપાટી માટે,લંબરૂપે આપાત થતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ દ્વારા લાગતું વિકિરણ દબાણ $P = \frac{2I}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર દબાણના સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = \frac{2}{c} \times \left( \frac{E}{At} \right) = \frac{2E}{Atc}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ફોટોનની ઉર્જા $E = h\nu$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ વિકિરણની આવૃત્તિ છે.
ઇન્ફ્રારેડ કિરણોની આવૃત્તિ દ્રશ્ય પ્રકાશ કરતા ઓછી હોવાથી,ઇન્ફ્રારેડ ફોટોનની ઉર્જા દ્રશ્ય પ્રકાશના ફોટોન કરતા ઓછી હોય છે.
તેથી,ઇન્ફ્રારેડ ફોટોન પાસે દ્રશ્ય પ્રકાશના ફોટોન કરતા વધુ ઉર્જા હોય છે તે વિધાન ખોટું છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકત્વના સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રવેગી ગતિ કરતો વિદ્યુતભાર એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનો સ્ત્રોત છે.
વર્તુળાકાર કક્ષામાં,વિદ્યુતભારનો વેગ સદિશ સતત દિશા બદલે છે,ભલે તેની ઝડપ અચળ રહેતી હોય. વેગમાં થતો આ ફેરફાર સૂચવે છે કે વિદ્યુતભાર કેન્દ્રગામી પ્રવેગ અનુભવે છે.
વિદ્યુતભાર પ્રવેગી ગતિમાં હોવાથી,તે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના સ્વરૂપમાં વિદ્યુતચુંબકીય ઉર્જાનું ઉત્સર્જન કરશે.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ અને પ્રસરણ સદિશ $\vec{K}$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{B} = \frac{1}{\omega} (\vec{K} \times \vec{E})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,સદિશો $\vec{E}$,$\vec{B}$ અને $\vec{K}$ એક જમણા હાથની પદ્ધતિ (right-handed system) બનાવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર સાથે $B = \frac{E}{c}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
પ્રકાશની ઝડપ $c = \frac{\omega}{K}$ હોવાથી,આપણને $B = \frac{E}{\omega/K} = \frac{K}{\omega} E$ મળે છે.
દિશા અને મૂલ્યને જોડતા,આપણને $\vec{B} = \frac{1}{\omega} (\vec{K} \times \vec{E})$ મળે છે.

(A) શૂન્યાવકાશમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,તરંગની ઝડપ $c$ એ કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને તરંગ સંખ્યા $k$ સાથે $c = \frac{\omega}{k}$ સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે.
વધુમાં,વિદ્યુતક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $E_0$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $B_0$ વચ્ચેનો સંબંધ $c = \frac{E_0}{B_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$c$ માટેના આ બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $\frac{\omega}{k} = \frac{E_0}{B_0}$ મળે છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\omega B_0 = k E_0$ અથવા $k E_0 = \omega B_0$ મળે છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના ઉર્જા પ્રસરણની દિશા પોઈન્ટિંગ સદિશ $\overrightarrow{S} = \overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં ઉર્જાનું વહન ઋણ $z$ દિશામાં છે,તેથી પોઈન્ટિંગ સદિશની દિશા $-\hat{k}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ ની દિશા ધન $y$ દિશા એટલે કે $+\hat{j}$ આપેલી છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\overrightarrow{S} \propto \overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B}$.
જ્ઞાત દિશાઓ મૂકતા: $(-\hat{k}) = (+\hat{j}) \times \overrightarrow{B}$.
એકમ સદિશોના ક્રોસ ગુણાકારના ગુણધર્મો મુજબ: $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ ની દિશા ધન $x$ દિશા $(+\hat{i})$ હોવી જોઈએ.

(D) $1$. શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ એ સાર્વત્રિક અચળાંક $(c \approx 3 \times 10^8 \ m/s)$ છે અને તે પ્રસરણની દિશા પર આધારિત નથી,તેથી વિધાન $A$ ખોટું છે.
$2$. માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ વક્રીભવનાંક પર આધાર રાખે છે,જે પ્રકાશની તરંગલંબાઇ સાથે બદલાય છે (વિક્ષેપની ઘટના),તેથી વિધાન $B$ ખોટું છે.
$3$. વિશિષ્ટ સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંતો મુજબ,પ્રકાશની ઝડપ સ્ત્રોતની ગતિથી સ્વતંત્ર છે,તેથી વિધાન $C$ સાચું છે.
$4$. માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ માધ્યમના ગુણધર્મો (પરમિટિવિટી અને પરમીબિલિટી) દ્વારા નક્કી થાય છે અને તે પ્રકાશની તીવ્રતાથી સ્વતંત્ર છે,તેથી વિધાન $D$ સાચું છે.
$5$. તેથી,વિધાન $C$ અને $D$ સાચા છે.

(A) વિધાન $I$ સાચું છે કારણ કે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો તટસ્થ હોય છે અને તેના પર કોઈ વીજભાર હોતો નથી; તેથી,તેઓ વિદ્યુત અથવા ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા વિચલિત થતા નથી.
વિધાન $II$ ખોટું છે. વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર $(E_0)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_0)$ ના કંપવિસ્તાર વચ્ચેનો સાચો સંબંધ $E_0 = c B_0$ છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે. કારણ કે $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$,તેથી સાચો સંબંધ $E_0 = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} B_0$ છે.

(B) સ્ત્રોતનો પાવર $P = 100\,W$ છે. કાર્યક્ષમતા $5\%$ હોવાથી,ઉત્સર્જિત પ્રકાશનો પાવર $P_{light} = 100 \times 0.05 = 5\,W$ થશે.
$r = 5\,m$ અંતરે,કુલ તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર $I = \frac{P_{light}}{4 \pi r^2} = \frac{5}{4 \pi \times 5^2} = \frac{5}{100 \pi} = \frac{1}{20 \pi} \, W/m^2$ છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં ઉર્જા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના ઘટકો વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલી હોવાથી,વિદ્યુત ક્ષેત્રના ઘટક દ્વારા ઉત્પન્ન થતી તીવ્રતા $(I_{EF})$ એ કુલ તીવ્રતા કરતા અડધી હોય છે.
તેથી,$I_{EF} = \frac{1}{2} I = \frac{1}{2} \times \frac{1}{20 \pi} = \frac{1}{40 \pi} \, W/m^2$ થાય.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,સરેરાશ વિદ્યુત ઉર્જા ઘનતા $\langle u_E \rangle$ અને સરેરાશ ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા $\langle u_B \rangle$ સમાન હોય છે.
$\langle u_E \rangle = \langle u_B \rangle$
કુલ સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા $\langle u_{\text{total}} \rangle$ એ સરેરાશ વિદ્યુત અને ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતાનો સરવાળો છે:
$\langle u_{\text{total}} \rangle = \langle u_E \rangle + \langle u_B \rangle = 2 \langle u_E \rangle$
તેથી,સરેરાશ વિદ્યુત ઉર્જા ઘનતા અને કુલ સરેરાશ ઉર્જા ઘનતાનો ગુણોત્તર:
$\frac{\langle u_E \rangle}{\langle u_{\text{total}} \rangle} = \frac{\langle u_E \rangle}{2 \langle u_E \rangle} = \frac{1}{2}$

(D) આપેલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B} = B_0 \cos(kx + \omega t) \hat{j}$ છે,જ્યાં $B_0 = 3 \times 10^{-8} \text{ T}$.
વિદ્યુત ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $(E_0)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_0)$ વચ્ચેનો સંબંધ $E_0 = c B_0$ છે,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$.
$E_0 = (3 \times 10^8 \text{ m/s}) \times (3 \times 10^{-8} \text{ T}) = 9 \text{ V/m}$.
તરંગ ઋણ $x$-દિશામાં પ્રસરણ પામે છે (કારણ કે દલીલ $kx + \omega t$ છે).
પ્રસરણની દિશા $\overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B}$ ની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\hat{j}$ દિશામાં છે અને તરંગ $-\hat{i}$ દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી $\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$ થાય.
આમ,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\hat{k}$ દિશામાં હોવું જોઈએ.
તેથી,$\overrightarrow{E} = 9 \cos (1.6 \times 10^3 x + 48 \times 10^{10} t) \hat{k} \text{ V/m}$.

(B) મુક્ત અવકાશમાં સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $(E_0)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_0)$ ના મૂલ્યો વચ્ચેનો સંબંધ $E_0 = c B_0$ છે,જ્યાં $c$ એ મુક્ત અવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{B_0}{E_0} = \frac{1}{c}$ થાય.
મુક્ત અવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ હોવાથી,આ ગુણોત્તરને $\frac{B_0}{E_0} = \sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}$ તરીકે પણ દર્શાવી શકાય છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો ગુણોત્તર $\frac{1}{c}$ છે.

(A) સરેરાશ વિદ્યુત ઉર્જા ઘનતા $u_E = \frac{1}{4} \epsilon_0 E_0^2 = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_{rms}^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સરેરાશ ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા $u_B = \frac{1}{4} \frac{B_0^2}{\mu_0} = \frac{1}{2} \frac{B_{rms}^2}{\mu_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,કંપવિસ્તાર વચ્ચેનો સંબંધ $E_0 = c B_0$ છે,જ્યાં $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$.
$u_E$ ના સમીકરણમાં $E_0 = c B_0$ મૂકતા:
$u_E = \frac{1}{4} \epsilon_0 (c B_0)^2 = \frac{1}{4} \epsilon_0 \left(\frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}\right) B_0^2 = \frac{1}{4} \frac{B_0^2}{\mu_0} = u_B$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{u_E}{u_B} = 1$ થાય છે.

(D) મુક્ત અવકાશમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સાથે સંકળાયેલી ઉર્જા ઘનતા $U_E$ નું સૂત્ર $U_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ છે.
મુક્ત અવકાશમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સાથે સંકળાયેલી ઉર્જા ઘનતા $U_B$ નું સૂત્ર $U_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$ છે.
તેથી,ઉર્જા ઘનતા માટેના સાચા સમીકરણો $U_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ અને $U_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$ છે.

(C) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ મળે છે.
ઝડપ $c$ નું પરિમાણ $[L T^{-1}]$ છે.
તેથી,$\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ નું પરિમાણ $[c^2] = [L T^{-1}]^2 = [L^2 T^{-2}] = L^2 / T^2$ થાય છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = E_0 \sin(\omega t - kx)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઊર્જા ઘનતા $u$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $u \propto E^2$.
તેથી,$u \propto \sin^2(\omega t - kx)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $u \propto \frac{1 - \cos(2(\omega t - kx))}{2}$ મળે છે.
ઊર્જા ઘનતાના દોલનની આવૃત્તિ $2\omega t$ પદ દ્વારા નક્કી થાય છે.
તરંગની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f$ હોવાથી,ઊર્જાના દોલનની કોણીય આવૃત્તિ $2\omega = 2(2\pi f) = 2\pi(2f)$ થાય છે.
તેથી,ઊર્જાના દોલનની આવૃત્તિ $2f$ છે,જે તરંગની આવૃત્તિ કરતા બમણી છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર $(E_0)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_0)$ ના કંપવિસ્તાર વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $E_0 = B_0 c$,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
આપેલ છે:
$B_0 = 6.0 \times 10^{-7} \, T$
$c = 3.0 \times 10^8 \, ms^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$E_0 = (6.0 \times 10^{-7} \, T) \times (3.0 \times 10^8 \, ms^{-1})$
$E_0 = 18 \times 10^1 \, Vm^{-1}$
$E_0 = 180 \, Vm^{-1}$

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = E_0 \sin \omega (t - \frac{x}{c}) \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_0 = 20 \text{ V/m}$ છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા $(u_{avg})$ નું સૂત્ર $u_{avg} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2$ છે.
કદ $(V)$ માં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $(U)$ એ $U = u_{avg} \times V$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (8.85 \times 10^{-12} \text{ C}^2/\text{Nm}^2) \times (20 \text{ V/m})^2 \times (5 \times 10^{-4} \text{ m}^3)$.
$U = \frac{1}{2} \times 8.85 \times 10^{-12} \times 400 \times 5 \times 10^{-4} \text{ J}$.
$U = 8.85 \times 10^{-12} \times 200 \times 5 \times 10^{-4} \text{ J}$.
$U = 8.85 \times 10^{-12} \times 1000 \times 10^{-4} \text{ J}$.
$U = 8.85 \times 10^{-12} \times 10^{-1} \text{ J} = 8.85 \times 10^{-13} \text{ J}$.
આમ,મૂલ્ય $8.85 \times 10^{-13} \text{ J}$ છે.

(B) આપેલ છે: $\overrightarrow{E} = 6.6 \hat{j} \, V/m$, આવૃત્તિ $f = 20 \, MHz$, અને તરંગ $x$-દિશા $(\hat{i})$ માં પ્રસરણ પામે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B = \frac{E}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે.
$B = \frac{6.6}{3 \times 10^8} = 2.2 \times 10^{-8} \, T$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા $\hat{k} = \hat{E} \times \hat{B}$ સંબંધ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, જ્યાં $\hat{k}$ એ તરંગ પ્રસરણની દિશા છે.
અહીં, $\hat{i} = \hat{j} \times \hat{B}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$, તેથી $\overrightarrow{B}$ ની દિશા $\hat{k}$ હોવી જોઈએ.
તેથી, $\overrightarrow{B} = 2.2 \times 10^{-8} \hat{k} \, T$.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના પ્રસરણની દિશા $\overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B}$ ની દિશામાં હોય છે.
અહીં,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = -E_0 \hat{k}$ (ઋણ $z$-અક્ષની દિશામાં).
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B} = B_0 \hat{i}$ (ધન $x$-અક્ષની દિશામાં).
પ્રસરણની દિશા $\hat{k}_{prop} = \hat{E} \times \hat{B} = (-\hat{k}) \times (\hat{i})$ થશે.
એકમ સદિશોના ક્રોસ પ્રોડક્ટના નિયમો મુજબ ($\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,$\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$):
$(-\hat{k}) \times \hat{i} = -(\hat{k} \times \hat{i}) = -\hat{j}$.
તેથી,પ્રસરણની દિશા ઋણ $y$-અક્ષની દિશામાં છે.

(B) એન્ટેના દ્વારા ઉચ્ચ કાર્યક્ષમતા સાથે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનું ઉત્સર્જન કરવા માટે,તેની લંબાઈ સિગ્નલની તરંગલંબાઈ સાથે સુસંગત હોવી જોઈએ. ખાસ કરીને,એન્ટેના અસરકારક રીતે કાર્ય કરી શકે તે માટે તેની લઘુત્તમ લંબાઈ $\frac{\lambda}{4}$ હોવી જરૂરી છે,જેને ક્વાર્ટર-વેવ એન્ટેના તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુતક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $(E_0)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $(B_0)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $C = \frac{E_0}{B_0}$.
$B_0$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $B_0 = \frac{E_0}{C}$.
આપેલ કિંમતો $E_0 = 48 \text{ V m}^{-1}$ અને $C = 3 \times 10^8 \text{ m s}^{-1}$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $B_0 = \frac{48}{3 \times 10^8}$.
પરિણામની ગણતરી કરતા: $B_0 = 16 \times 10^{-8} \text{ T} = 1.6 \times 10^{-7} \text{ T}$.

(B) સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર $I = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2 c$ છે.
અહીં $E_0 = 200 \ Vm^{-1}$,$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2}$,અને $c = 3 \times 10^8 \ ms^{-1}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \times (8.85 \times 10^{-12}) \times (200)^2 \times (3 \times 10^8)$
$I = 0.5 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 40000 \times 3 \times 10^8$
$I = 0.5 \times 8.85 \times 4 \times 3 \times 10^0$
$I = 53.1 \ Wm^{-2}$.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વચ્ચેનો સંબંધ $E/B = c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ મુક્ત અવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે $(c = 3 \times 10^8 \ m/s)$.
પ્રથમ,ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય શોધો:
$B = E/c = 9.6 / (3 \times 10^8) = 3.2 \times 10^{-8} \ T$.
ત્યારબાદ,ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા નક્કી કરવા માટે,તરંગના પ્રસરણની દિશા $\hat{v} = \hat{E} \times \hat{B}$ નો ઉપયોગ કરો.
આથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા $\hat{B} = \hat{v} \times \hat{E}$ થશે.
તરંગ $X$-દિશામાં $(\hat{v} = \hat{i})$ ગતિ કરે છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $Y$-દિશામાં $(\hat{E} = \hat{j})$ છે:
$\hat{B} = \hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\overrightarrow{B} = 3.2 \times 10^{-8} \ \hat{k} \ T$ છે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = E_0 \cos(\omega t - kz) \hat{i}$ આપેલ છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં, વિદ્યુતક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $E_0$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $B_0$ વચ્ચેનો સંબંધ $B_0 = \frac{E_0}{C}$ છે, જ્યાં $C$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે.
તરંગના પ્રસરણની દિશા $\vec{E} \times \vec{B}$ સદિશની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, તરંગ $+z$ દિશામાં $(\hat{k})$ પ્રસરણ પામે છે.
આપેલ છે કે $\vec{E}$ એ $\hat{i}$ દિશામાં છે, તેથી $\hat{i} \times \hat{B} = \hat{k}$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $\hat{B} = \hat{j}$.
આમ, ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B} = \frac{E_0}{C} \cos(\omega t - kz) \hat{j}$ થશે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની કુલ સરેરાશ ઊર્જા ઘનતા $u_{avg}$ એ સરેરાશ વિદ્યુત ઊર્જા ઘનતા $u_E$ અને સરેરાશ ચુંબકીય ઊર્જા ઘનતા $u_B$ નો સરવાળો છે.
$EM$ તરંગમાં,$u_E = u_B$ હોય છે,તેથી $u_{avg} = u_E + u_B = 2u_E$.
સરેરાશ વિદ્યુત ઊર્જા ઘનતા $u_E = \frac{1}{4} \epsilon_0 E_0^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_0$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રનો કંપનવિસ્તાર છે.
આમ,કુલ સરેરાશ ઊર્જા ઘનતા $u_{avg} = 2 \times (\frac{1}{4} \epsilon_0 E_0^2) = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2$ થાય.
આપેલ છે કે $\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \,C^2/Nm^2$ અને $E_0 = 50 \,Vm^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $u_{avg} = \frac{1}{2} \times 8.85 \times 10^{-12} \times (50)^2$.
$u_{avg} = 0.5 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 2500$.
$u_{avg} = 1.10625 \times 10^{-8} \,Jm^{-3}$.

(B) વિધાન $I$ સાચું છે: વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો અવકાશમાં ઉર્જાનું વહન કરે છે. વિદ્યુત ક્ષેત્ર સાથે સંકળાયેલી ઉર્જા ઘનતા $u_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે સંકળાયેલી ઉર્જા ઘનતા $u_B = \frac{B^2}{2 \mu_0}$ છે. કારણ કે $E = cB$ અને $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$,તેથી $u_E = u_B$ થાય છે. આમ,ઉર્જા સમાન રીતે વહેંચાયેલી છે.
વિધાન $II$ સાચું છે: વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો વેગમાન $p = \frac{U}{c}$ ધરાવે છે. જ્યારે તેઓ સપાટી પર અથડાય છે,ત્યારે તેઓ આ વેગમાનનું સ્થાનાંતર કરે છે,જેનાથી સપાટી પર વિકિરણ દબાણ ઉત્પન્ન થાય છે.
તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે.

(C) હવામાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઝડપ આશરે $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ છે.
તરંગની આવૃત્તિ $f = 60 \text{ MHz} = 60 \times 10^6 \text{ Hz}$ આપેલ છે.
ઝડપ,આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{c}{f}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\lambda = \frac{3 \times 10^8}{60 \times 10^6}$ મળે છે.
$\lambda = \frac{300 \times 10^6}{60 \times 10^6} = 5 \text{ m}$.
તેથી,તરંગની તરંગલંબાઈ $5 \text{ m}$ છે.

(D) આપેલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = \hat{i} 40 \cos \omega(t - \frac{z}{c})$ છે.
અહીં,વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\overrightarrow{E}$ એ $+x$ અક્ષની દિશામાં છે.
તરંગ $+z$ દિશામાં પ્રસરણ પામે છે (જે $(t - z/c)$ પદ દ્વારા સૂચિત થાય છે).
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,પ્રસરણની દિશા $\overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B}$ ની દિશા દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ એ $+y$ અક્ષ $(\hat{j})$ ની દિશામાં હોવું જોઈએ.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર સાથે $B_0 = \frac{E_0}{c}$ સંબંધ ધરાવે છે.
અહીં $E_0 = 40 \text{ N/C}$ આપેલ હોવાથી,$B_0 = \frac{40}{c} \text{ T}$ મળે.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B} = \hat{j} \frac{40}{c} \cos \omega(t - \frac{z}{c}) \text{ T}$ થશે.