Properties of Electromagnetic Waves Questions in Gujarati

(N/A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની કુલ ઊર્જા ઘનતા $u$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે ઊર્જા ઘનતા $(u_E)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે ઊર્જા ઘનતા $(u_B)$ નો સરવાળો છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે ઊર્જા ઘનતા $u_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે ઊર્જા ઘનતા $u_B = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં ઊર્જા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલી હોવાથી $(u_E = u_B)$,કુલ ઊર્જા ઘનતા:
$u = u_E + u_B = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0}$ થાય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,તેને $u = \epsilon_0 E^2 = \frac{B^2}{\mu_0}$ તરીકે પણ દર્શાવી શકાય છે.

$(A)$ માઇક્રોવેવ એ $1 \text{ GHz}$ થી $300 \text{ GHz}$ સુધીની આવૃત્તિ ધરાવતા વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટનો એક ભાગ છે.
તેઓ ક્લાઇસ્ટ્રોન, મેગ્નેટ્રોન અને ગન ડાયોડ જેવી ખાસ વેક્યુમ ટ્યુબમાં ઇલેક્ટ્રોનના દોલનો દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે.
આ ઉપકરણો ઇલેક્ટ્રોનના ઝડપી દોલનને સરળ બનાવે છે, જે બદલામાં માઇક્રોવેવ આવૃત્તિ શ્રેણીમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો ઉત્પન્ન કરે છે.

(B) બ્રોડકાસ્ટિંગ સ્ટેશન દ્વારા ઉત્સર્જિત વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો સમતલ-ધ્રુવીભૂત હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે તરંગનો વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ એક ચોક્કસ સમતલમાં દોલન કરે છે.
મહત્તમ રિસેપ્શન માટે,પોર્ટેબલ રેડિયોનું એન્ટેના આવતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશની દિશાને સમાંતર હોવું જોઈએ.
જો એન્ટેના વિદ્યુત ક્ષેત્રને લંબ હોય,તો પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ ન્યૂનતમ હશે,જેના પરિણામે સિગ્નલ નબળું મળશે અથવા મળશે નહીં.

(N/A) માઇક્રોવેવ ઓવન પાણીના અણુઓ ધરાવતી ખાદ્ય વસ્તુઓને સૌથી વધુ કાર્યક્ષમ રીતે ગરમ કરે છે કારણ કે ઓવન દ્વારા ઉત્પન્ન થતા માઇક્રોવેવની આવૃત્તિ પાણીના અણુઓની અનુનાદિત આવૃત્તિ (resonant frequency) સાથે મેળ ખાય છે.
જ્યારે આ માઇક્રોવેવ પાણીના અણુઓ સાથે આંતરક્રિયા કરે છે,ત્યારે તે અનુનાદને કારણે અણુઓને ઝડપથી દોલન અને પરિભ્રમણ કરવા માટે પ્રેરે છે.
આ ઝડપી ગતિને કારણે અણુઓ વચ્ચે આંતરિક ઘર્ષણ થાય છે,જે ખાદ્ય પદાર્થમાં ઉષ્મીય ઊર્જા (ગરમી) ઉત્પન્ન કરે છે,જેના પરિણામે કાર્યક્ષમ રીતે ગરમ થાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $B = 12 \times 10^{-8} \sin(1.20 \times 10^7 z - 3.60 \times 10^{15} t) \text{ T}$ ને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $B_0 = 12 \times 10^{-8} \text{ T}$ મળે છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની સરેરાશ તીવ્રતા $I_{\text{avg}}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I_{\text{avg}} = \frac{B_0^2}{2\mu_0} c$
કિંમતો મૂકતા: $B_0 = 12 \times 10^{-8} \text{ T}$,$c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$,અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$:
$I_{\text{avg}} = \frac{(12 \times 10^{-8})^2 \times 3 \times 10^8}{2 \times 4\pi \times 10^{-7}}$
$I_{\text{avg}} = \frac{144 \times 10^{-16} \times 3 \times 10^8}{8\pi \times 10^{-7}}$
$I_{\text{avg}} = \frac{432 \times 10^{-8}}{25.12 \times 10^{-7}} \approx 1.72 \text{ W/m}^2$.

(N/A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,ધારો કે $\vec E$ એ $y$-દિશામાં છે,$\vec B$ એ $z$-દિશામાં છે અને વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ $x$-દિશામાં પ્રસરણ પામે છે. ઉર્જાનું પ્રસરણ $\vec E \times \vec B$ ની દિશામાં ($x$-દિશામાં) થશે.
$\vec E = E_0 \sin(\omega t - kx) \hat j$
$\vec B = B_0 \sin(\omega t - kx) \hat k$
$\therefore \vec S = \frac{1}{\mu_0}(\vec E \times \vec B) = \frac{1}{\mu_0} E_0 B_0 \sin^2(\omega t - kx) (\hat j \times \hat k)$
$\therefore \vec S = \frac{E_0 B_0}{\mu_0} \sin^2(\omega t - kx) \hat i$ [કારણ કે $\hat j \times \hat k = \hat i$]
$|\vec S|$ ના મૂલ્યમાં સમય સાથેનો ફેરફાર નીચેના આલેખમાં દર્શાવેલ છે. $|\vec S|$ નું મૂલ્ય $\sin^2(\omega t - kx)$ મુજબ બદલાય છે,જેનો અર્થ છે કે તે હંમેશા અ-ઋણ હોય છે અને વિદ્યુત અથવા ચુંબકીય ક્ષેત્ર કરતા બમણી આવૃત્તિ સાથે દોલન કરે છે,જેનો આવર્તકાળ $T = \frac{\pi}{\omega}$ છે.

(N/A) રેડિયન્ટ ફ્લક્સ ઘનતા (પોઈન્ટિંગ વેક્ટર) $S = \frac{1}{\mu_0}(\vec{E} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $B = \frac{E}{c}$,તેથી તેનું મૂલ્ય $S = \frac{EB}{\mu_0} = \frac{E^2}{c\mu_0}$ થાય.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,$E = E_0 \cos(kx - \omega t)$ છે.
આ કિંમત $S$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $S = \frac{E_0^2 \cos^2(kx - \omega t)}{c\mu_0}$ મળે છે.
એક સંપૂર્ણ આવર્તકાળ $T$ પર $\cos^2(\theta)$ નું સરેરાશ મૂલ્ય $\frac{1}{T} \int_0^T \cos^2(\omega t) dt = \frac{1}{2}$ થાય છે.
તેથી,સરેરાશ રેડિયન્ટ ફ્લક્સ ઘનતા $\langle S \rangle = \frac{E_0^2}{c\mu_0} \times \frac{1}{2} = \frac{E_0^2}{2c\mu_0}$ મળે છે.

(N/A) વિકિરણ દબાણ $P$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,$P = \frac{F}{A}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર છે,$F = \frac{dp}{dt}$.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,ઉર્જા $U$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $p = \frac{U}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને બળના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $F = \frac{d}{dt} \left( \frac{U}{c} \right) = \frac{1}{c} \frac{dU}{dt}$.
તીવ્રતા $I$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ આપાત થતી ઉર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,$I = \frac{1}{A} \frac{dU}{dt}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dU}{dt} = I \cdot A$.
આને બળના સમીકરણમાં મૂકતા,$F = \frac{1}{c} (I \cdot A)$.
અંતે,દબાણ $P = \frac{F}{A} = \frac{I \cdot A}{A \cdot c} = \frac{I}{c}$.

(N/A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનું વિદ્યુતક્ષેત્ર એ દોલિત ક્ષેત્ર છે, અને તેથી તે વિદ્યુતભારિત કણ પર લગાડતું વિદ્યુતબળ પણ દોલિત હોય છે. આ બળ $F = qE_0 \sin(\omega t - kx)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જ્યારે તેને પૂર્ણ ચક્રની સંખ્યા પર સરેરાશ કરવામાં આવે છે, ત્યારે ચોખ્ખું બળ શૂન્ય થાય છે કારણ કે બળની દિશા દરેક અડધા ચક્રમાં બદલાય છે. વિકિરણ દબાણ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ સમય-સરેરાશ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી, દોલિત વિદ્યુતક્ષેત્ર તેમાં ફાળો આપતું નથી. જોકે, વિદ્યુતક્ષેત્ર વિદ્યુતભાર પર કાર્ય કરે છે, જેનાથી ઉર્જાનું સ્થાનાંતર થાય છે.

(N/A) $(i)$ લૂપ $1234$ પર રેખીય સંકલન $\oint \vec E \cdot d\vec l = \int_1^2 \vec E \cdot d\vec l + \int_2^3 \vec E \cdot d\vec l + \int_3^4 \vec E \cdot d\vec l + \int_4^1 \vec E \cdot d\vec l$ છે. $\vec E$ એ $\hat i$ દિશામાં હોવાથી અને વિભાગ $1-2$ તથા $3-4$ એ $\hat z$ દિશામાં હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે. વિભાગ $2-3$ અને $4-1$ માટે,$\vec E$ એ $d\vec l$ ને સમાંતર/પ્રતિ-સમાંતર છે. તેથી,$\oint \vec E \cdot d\vec l = h E_0 [\sin(kz_2 - \omega t) - \sin(kz_1 - \omega t)]$.
$(ii)$ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_B = \int \vec B \cdot d\vec s$ છે. $d\vec s = h dz \hat j$ લેતા,$\phi_B = \int_{z_1}^{z_2} B_0 \sin(kz - \omega t) h dz = \frac{B_0 h}{k} [\cos(kz_1 - \omega t) - \cos(kz_2 - \omega t)]$.
$(iii)$ ફેરાડેના નિયમ $\oint \vec E \cdot d\vec l = -\frac{d\phi_B}{dt}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે ફ્લક્સનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન કરીએ છીએ અને તેને રેખીય સંકલન સાથે સરખાવીએ છીએ. કંપવિસ્તારની સરખામણી કરતા,આપણને $E_0 = c B_0$ મળે છે,તેથી $\frac{E_0}{B_0} = c$.
$(iv)$ એમ્પીયર-મેક્સવેલના નિયમ $\oint \vec B \cdot d\vec l = \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ નો ઉપયોગ કરીને,જ્યાં $\phi_E = \int E dA$ છે. ફેરાડેના નિયમ જેવી જ ગણતરી કરતા,આપણને $B_0 = \mu_0 \epsilon_0 c E_0$ મળે છે. $E_0 = c B_0$ મૂકતા,$B_0 = \mu_0 \epsilon_0 c^2 B_0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}$ અથવા $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ થાય છે.

(N/A) $(i)$ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સાથે સંકળાયેલ ઉર્જા ઘનતા $u_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સાથે સંકળાયેલ ઉર્જા ઘનતા $u_B = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0}$ છે.
કુલ તત્કાલીન ઉર્જા ઘનતા $u = u_E + u_B = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0}$ છે.
સમતલ તરંગ માટે,$E = E_0 \sin(kz - \omega t)$ અને $B = B_0 \sin(kz - \omega t)$ છે.
એક ચક્ર પર $\sin^2(kz - \omega t)$ ની સમય સરેરાશ $\frac{1}{2}$ છે.
તેથી,$\langle E^2 \rangle = \frac{E_0^2}{2}$ અને $\langle B^2 \rangle = \frac{B_0^2}{2}$ થાય.
આ કિંમતોને સરેરાશ ઉર્જા ઘનતાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$U_{av} = \langle u_E \rangle + \langle u_B \rangle = \frac{1}{2} \epsilon_0 \left( \frac{E_0^2}{2} \right) + \frac{1}{2 \mu_0} \left( \frac{B_0^2}{2} \right) = \frac{1}{4} \epsilon_0 E_0^2 + \frac{1}{4} \frac{B_0^2}{\mu_0}$.
$(ii)$ $E_0 = c B_0$ હોવાથી,$B_0 = \frac{E_0}{c}$ મળે. વળી,$c^2 = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}$ હોવાથી,$\frac{1}{\mu_0} = c^2 \epsilon_0$ થાય.
ઉર્જા ઘનતાના સૂત્રમાં $B_0$ અને $\frac{1}{\mu_0}$ ની કિંમત મૂકતા:
$U_{av} = \frac{1}{4} \epsilon_0 E_0^2 + \frac{1}{4} (c^2 \epsilon_0) \left( \frac{E_0}{c} \right)^2 = \frac{1}{4} \epsilon_0 E_0^2 + \frac{1}{4} \epsilon_0 E_0^2 = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2$.
તીવ્રતા $I_{av}$ એ એકમ સમયમાં એકમ ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થતી ઉર્જા છે,જે $I_{av} = U_{av} \cdot c$ દ્વારા અપાય છે.
તેથી,$I_{av} = \left( \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2 \right) c = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2$.

(C) પ્રકાશના તરંગો વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે કારણ કે તેમને પ્રસરણ માટે કોઈ ભૌતિક માધ્યમની જરૂર હોતી નથી.
તેઓ સ્વભાવે લંબગત (Transverse) હોય છે કારણ કે દોલન કરતા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના સદિશો તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ હોય છે.

(B) ના. ન્યૂટનના ગતિના નિયમો કણો અને સાતત્યપૂર્ણ માધ્યમો (દ્રવ્ય) ના મિકેનિક્સ પર આધારિત છે. વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો એ દોલિત વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના બનેલા હોય છે અને તેમને પ્રસરણ માટે કોઈ ભૌતિક માધ્યમની જરૂર હોતી નથી. તેથી,ન્યૂટનના નિયમોને વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો પર તે જ રીતે લાગુ કરી શકાતા નથી જે રીતે તે યાંત્રિક તરંગો પર લાગુ થાય છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના પ્રસરણની દિશા પોઈન્ટિંગ સદિશની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $\hat{E} \times \hat{B}$ છે.
આપેલ છે કે,વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા $\hat{E} = \hat{k}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા સદિશ $\vec{B} = 2\hat{i} - 2\hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટેનો એકમ સદિશ $\hat{B} = \frac{\vec{B}}{|B|} = \frac{2\hat{i} - 2\hat{j}}{\sqrt{2^2 + (-2)^2}} = \frac{2\hat{i} - 2\hat{j}}{\sqrt{8}} = \frac{2\hat{i} - 2\hat{j}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i} - \hat{j})$ છે.
પ્રસરણની દિશા $\hat{C} = \hat{E} \times \hat{B} = \hat{k} \times [\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i} - \hat{j})]$ છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના નિયમો $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$ અને $\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\hat{C} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{k} \times \hat{i} - \hat{k} \times \hat{j}) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{j} - (-\hat{i})) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i} + \hat{j})$.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની કુલ ઉર્જા ઘનતા $u$ નું સૂત્ર $u = \frac{B_0^2}{2 \mu_0}$ છે.
અહીં $u = 1.02 \times 10^{-8} \ J/m^3$ અને $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$ આપેલ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $B_0$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા:
$B_0^2 = 2 \mu_0 u$
$B_0^2 = 2 \times (4 \pi \times 10^{-7}) \times (1.02 \times 10^{-8})$
$B_0^2 = 8 \pi \times 1.02 \times 10^{-15}$
$B_0^2 \approx 25.13 \times 1.02 \times 10^{-15} \approx 25.63 \times 10^{-15} \approx 256.3 \times 10^{-16}$
વર્ગમૂળ લેતા:
$B_0 \approx 16 \times 10^{-8} \ T$
$1 \ nT = 10^{-9} \ T$ હોવાથી,$B_0 = 160 \times 10^{-9} \ T = 160 \ nT$ મળે છે.

(C) $x$-દિશામાં પ્રસરતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $y$-દિશામાં $(\hat{j})$ છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $z$-દિશામાં $(\hat{k})$ હોવું જોઈએ કારણ કે પ્રસરણની દિશા $\overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{E} = E_{0} \cos(\omega t - kx) \hat{j}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $B_{0} = \frac{E_{0}}{c}$ છે,જ્યાં $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}}}$.
તેથી,$B_{0} = E_{0} \sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનું તરંગ સમીકરણ $\overrightarrow{B} = B_{0} \cos(\omega t - kx) \hat{k}$ છે.
$t = 0$ સમયે,$\overrightarrow{B} = B_{0} \cos(-kx) \hat{k} = B_{0} \cos(kx) \hat{k}$.
$B_{0}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\overrightarrow{B} = E_{0} \sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}} \cos(kx) \hat{k}$ મળે છે.

(B) આપેલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર: $\overrightarrow{B} = 3 \times 10^{-8} \sin [200 \pi(y + ct)] \hat{i} \, T$.
વિદ્યુતક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $E_0$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $B_0$ વચ્ચેનો સંબંધ $E_0 = c B_0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $E_0 = (3 \times 10^{8} \, m/s) \times (3 \times 10^{-8} \, T) = 9 \, V/m$.
તરંગના પ્રસરણની દિશા $(y + ct)$ પદ દ્વારા દર્શાવેલ છે,જેનો અર્થ છે કે તરંગ ઋણ $y$-દિશામાં પ્રસરણ પામે છે,તેથી $\hat{k}_{prop} = -\hat{j}$.
વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા $\hat{E} = \hat{k}_{prop} \times \hat{B}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $\hat{B} = \hat{i}$ અને $\hat{k}_{prop} = -\hat{j}$ છે.
તેથી,$\hat{E} = -\hat{j} \times \hat{i} = -(-\hat{k}) = \hat{k}$.
પરંતુ,વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો માટે $\vec{E} \times \vec{B}$ ની દિશા પ્રસરણની દિશામાં હોય છે. તેથી $\vec{E} = -9 \sin [200 \pi(y + ct)] \hat{k} \, V/m$ મળે છે.

(B) આપેલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = E_{0}(\hat{x} + \hat{y}) \sin(kz - \omega t)$ છે.
તરંગના પ્રસરણની દિશા $+z$-અક્ષની દિશામાં છે,તેથી $\hat{k} = \hat{z}$.
તરંગના પ્રસરણની દિશા,વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો સંબંધ $\hat{k} = \hat{E} \times \hat{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર માટેનો એકમ સદિશ $\hat{E} = \frac{\hat{x} + \hat{y}}{\sqrt{2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\hat{z} = \left(\frac{\hat{x} + \hat{y}}{\sqrt{2}}\right) \times \hat{B}$.
$\hat{B}$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\hat{B} = \frac{-\hat{x} + \hat{y}}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B_{0} = \frac{E_{0}}{c}$ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B} = \frac{E_{0}}{c}(-\hat{x} + \hat{y}) \sin(kz - \omega t)$ થશે.

(B) $x = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ દર્શાવે છે,તેથી તેનું પરિમાણ $[x] = [L^{1}T^{-1}]$ છે.
$y = \frac{E}{B}$ એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઝડપ દર્શાવે છે,તેથી તેનું પરિમાણ $[y] = [L^{1}T^{-1}]$ છે.
$z = \frac{l}{CR}$ જ્યાં $RC$ એ ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $(\tau)$ છે,તેથી $z = \frac{l}{\tau}$. તેનું પરિમાણ $[z] = \frac{[L]}{[T]} = [L^{1}T^{-1}]$ છે.
આમ,ત્રણેય રાશિઓના પરિમાણ સમાન $[L^{1}T^{-1}]$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = E_0 \sin(kx - \omega t) \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_0 = 30 \, V/m$,$\omega = 1.5 \times 10^7 \, rad/s$,અને $k = 5 \times 10^{-2} \, rad/m$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $B_0$ એ વિદ્યુત ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $E_0$ સાથે $B_0 = \frac{E_0}{c}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
$B_0 = \frac{30}{3 \times 10^8} = 10^{-7} \, T$.
ઇલેક્ટ્રોન $y$-અક્ષ પર $\overrightarrow{v} = 0.1 c \hat{j} = 0.1 \times 3 \times 10^8 \hat{j} = 3 \times 10^7 \hat{j} \, m/s$ ના વેગથી ગતિ કરે છે.
ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F}_{mag} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $\overrightarrow{v}$ એ $y$-અક્ષ પર છે અને $\overrightarrow{E}$ એ $y$-અક્ષ પર છે,તરંગ $x$-અક્ષ પર પ્રસરણ પામે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ એ પ્રસરણની દિશા ($x$-અક્ષ) અને વિદ્યુત ક્ષેત્ર ($y$-અક્ષ) બંનેને લંબ હોવું જોઈએ,તેથી $\overrightarrow{B}$ એ $z$-અક્ષ પર છે.
$F_{max} = q v B_0 = (1.6 \times 10^{-19} \, C) \times (3 \times 10^7 \, m/s) \times (10^{-7} \, T)$.
$F_{max} = 1.6 \times 3 \times 10^{-19} = 4.8 \times 10^{-19} \, N$.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E_0$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0$ વચ્ચેનો સંબંધ $E_0 = c B_0$ છે.
અહીં $c = 3 \times 10^{8} \text{ m/s}$ અને $B_0 = 1.2 \times 10^{-7} \text{ T}$ આપેલ છે,તેથી $E_0 = 3 \times 10^{8} \times 1.2 \times 10^{-7} = 36 \text{ V/m}$.
તરંગ $-x$ દિશામાં પ્રસરણ પામે છે કારણ કે સાઈન વિધેયનો તર્ક $(kx + \omega t)$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\hat{k}$ દિશામાં ($z$-અક્ષ) છે.
પ્રસરણની દિશા $\vec{E} \times \vec{B}$ દ્વારા મળે છે,અને પ્રસરણ $-\hat{i}$ દિશામાં હોવાથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$. તેથી $-\hat{i}$ મેળવવા માટે,આપણે $(-\hat{j}) \times \hat{k} = -\hat{i}$ લેવું પડે.
આમ,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\overrightarrow{ E }( x , t ) = [-36 \sin (0.5 \times 10^{3} x + 1.5 \times 10^{11} t) \hat{ j }] \text{ V/m}$ થશે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ અને $rms$ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{rms}$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $I = \epsilon_0 E_{rms}^2 c$.
$E_{rms}^2$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $E_{rms}^2 = \frac{I}{\epsilon_0 c}$.
અહીં $I = \frac{315}{\pi} \ W/m^2$,$\epsilon_0 = 8.86 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2}$,અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N m^2 C^{-2}$,તેથી $\frac{1}{\epsilon_0} = 4\pi \times 9 \times 10^9 = 36\pi \times 10^9$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$E_{rms}^2 = \frac{315}{\pi} \times (36\pi \times 10^9) \times \frac{1}{3 \times 10^8}$
$E_{rms}^2 = 315 \times 36 \times 10^9 \times \frac{1}{3 \times 10^8}$
$E_{rms}^2 = 315 \times 12 \times 10 = 37800$.
વર્ગમૂળ લેતા: $E_{rms} = \sqrt{37800} \approx 194.42 \ V/m$.
નજીકનો પૂર્ણાંક $194$ છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ $(EMW)$ માં,વિદ્યુતક્ષેત્ર સાથે સંકળાયેલી ઉર્જા ઘનતા $u_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે સંકળાયેલી ઉર્જા ઘનતા $u_B = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0}$ છે.
જેમ કે $E = cB$ અને $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$,તેથી $u_E = u_B$ થાય છે.
તરંગની તીવ્રતા ઉર્જા ઘનતાના પ્રમાણમાં હોવાથી,કુલ તીવ્રતામાં વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના ઘટકોનું યોગદાન સમાન હોય છે.
તેથી,ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(A) સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $B = B_{0} \sin (kx + \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $B_{y} = 2 \times 10^{-7} \sin (\pi \times 10^{3} x + 3 \pi \times 10^{11} t) \; T$ સાથે સરખાવતા, આપણને તરંગ સંખ્યા $k$ મળે છે:
$k = \pi \times 10^{3} \; \text{rad/m}$.
તરંગ સંખ્યા $k$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા:
$\pi \times 10^{3} = \frac{2\pi}{\lambda}$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા:
$\lambda = \frac{2\pi}{\pi \times 10^{3}} = 2 \times 10^{-3} \; m$.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ વચ્ચેનો સંબંધ $\overrightarrow{E} = c(\overrightarrow{B} \times \hat{n})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\hat{n}$ એ તરંગના પ્રસરણની દિશા છે.
અહીં,તરંગ $y$-દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી $\hat{n} = \hat{y}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B} = 8.0 \times 10^{-8} \hat{z}\, T$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\overrightarrow{E} = (3 \times 10^{8}\, m/s) \times (8.0 \times 10^{-8} \hat{z} \times \hat{y})$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{z} \times \hat{y} = -\hat{x}$,તેથી:
$\overrightarrow{E} = (3 \times 8.0) \times (-\hat{x}) = -24 \hat{x}\, V/m$.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ $(EMW)$ માં,વિદ્યુત ક્ષેત્ર સાથે સંકળાયેલ સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા $U_{e} = \frac{1}{4} \epsilon_{0} E_{0}^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે સંકળાયેલ સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા $U_{m} = \frac{1}{4} \frac{B_{0}^{2}}{\mu_{0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $E_{0} = c B_{0}$ અને $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}}}$,તેથી $E_{0}^{2} = c^{2} B_{0}^{2} = \frac{B_{0}^{2}}{\mu_{0} \epsilon_{0}}$.
આ કિંમત $U_{e}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $U_{e} = \frac{1}{4} \epsilon_{0} \left( \frac{B_{0}^{2}}{\mu_{0} \epsilon_{0}} \right) = \frac{1}{4} \frac{B_{0}^{2}}{\mu_{0}} = U_{m}$.
આમ,વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોને કારણે સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા સમાન હોય છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું મૂલ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સાથે $E = B \cdot c$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલું છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે $(c = 3 \times 10^8 \, m/s)$.
આપેલ છે કે $B = 2.0 \times 10^{-8} \, T$,તેથી $E = (2.0 \times 10^{-8} \, T) \times (3 \times 10^8 \, m/s) = 6.0 \, V/m$.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના પ્રસરણની દિશા $\overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B}$ સદિશની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,તરંગ $x$-દિશામાં $(\hat{i})$ ગતિ કરે છે,અને $\overrightarrow{B}$ એ $z$-દિશામાં $(\hat{k})$ છે.
કારણ કે $\hat{i} = \hat{j} \times \hat{k}$,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ એ $y$-દિશામાં $(\hat{j})$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$\overrightarrow{E} = 6.0 \hat{j} \, V/m$.

(C) તરંગ સદિશ $\vec{k}$ ની દિશામાં પ્રસરતા સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એકબીજાને લંબ હોય છે અને બંને પ્રસરણની દિશા $\vec{k}$ ને પણ લંબ હોય છે.
અહીં તરંગ y-દિશામાં પ્રસરણ પામે છે,તેથી પ્રસરણની દિશા $\hat{j}$ છે.
તેથી,$\vec{E}$ અને $\vec{B}$ બંને xz-સમતલમાં હોવા જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે તેમના ઘટકો ફક્ત x અથવા z દિશામાં જ હોઈ શકે છે.
ચોક્કસ રીતે,જો $\vec{E}$ એ x-અક્ષ પર હોય $(E_{x})$,તો $\vec{B}$ એ z-અક્ષ પર હોવું જોઈએ $(B_{z})$,કારણ કે $\vec{E} \times \vec{B}$ એ પ્રસરણની દિશામાં હોવું જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા: $\vec{E}$ અને $\vec{B}$ ના ઘટકો x અને z દિશામાં હોવા જોઈએ. વિકલ્પ $(C)$ માં $E_{x}, B_{z}$ અથવા $E_{z}, B_{x}$ આપેલ છે,જે શરતનું પાલન કરે છે કે બંને ક્ષેત્રો પ્રસરણની y-દિશાને લંબ છે.

(C) આપેલ છે: તરંગની આવૃત્તિ $f = 5\, GHz = 5 \times 10^{9}\, Hz$.
સાપેક્ષ પરમિટિવિટી,$\epsilon_{r} = 2$.
સાપેક્ષ પરમિયેબિલિટી,$\mu_{r} = 2$.
માધ્યમમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઝડપનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}} = \frac{1}{\sqrt{\mu_{r} \mu_{0} \cdot \epsilon_{r} \epsilon_{0}}}$
$v = \frac{1}{\sqrt{\mu_{r} \epsilon_{r}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_{r} \epsilon_{r}}}$
જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે $(c \approx 3 \times 10^{8}\, m/s)$.
કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{3 \times 10^{8}}{\sqrt{2 \times 2}} = \frac{3 \times 10^{8}}{\sqrt{4}} = \frac{3 \times 10^{8}}{2} = 1.5 \times 10^{8}\, m/s$.
$v = 15 \times 10^{7}\, m/s$.
તેથી,વેગ $15 \times 10^{7}\, m/s$ છે.

(A) બલ્બ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P_{rad} = \text{કાર્યક્ષમતા} \times P_{total} = \frac{1.25}{100} \times 1000 \, W = 12.5 \, W$ છે.
$r = 2 \, m$ અંતરે તીવ્રતા $I = \frac{P_{rad}}{4 \pi r^2} = \frac{12.5}{4 \pi (2)^2} = \frac{12.5}{16 \pi} \, W/m^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તીવ્રતા અને મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_0$ વચ્ચેનો સંબંધ $I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c$ છે.
તીવ્રતા માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{12.5}{16 \pi} = \frac{1}{2} \times 8.85 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8 \times E_0^2$.
$E_0^2 = \frac{12.5 \times 2}{16 \times 3.14159 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8} \approx \frac{25}{132.73} \times 10^4 \approx 188.35$.
$E_0 = \sqrt{188.35} \approx 13.724 \, V/m$.
આને $x \times 10^{-1} \, V/m$ તરીકે દર્શાવતા, આપણને $E_0 = 137.24 \times 10^{-1} \, V/m$ મળે છે.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ-ઓફ કરતા, $x = 137$।

(A) તરંગની આવૃત્તિ $f = 3 \, GHz = 3 \times 10^9 \, Hz$ છે.
શૂન્યાવકાશમાં તરંગલંબાઈ $\lambda_0 = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8 \, m/s}{3 \times 10^9 \, Hz} = 0.1 \, m = 10 \, cm$ છે.
માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n = \sqrt{\epsilon_r \mu_r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. માધ્યમ અચુંબકીય છે તેમ ધારતા,$\mu_r = 1$ મળે.
તેથી,$n = \sqrt{2.25} = 1.5$ થાય.
માધ્યમમાં તરંગલંબાઈ $\lambda_m = \frac{\lambda_0}{n} = \frac{10 \, cm}{1.5} = \frac{100}{15} \, cm = 6.666... \, cm \approx 6.67 \, cm$ મળે.
આને $x \times 10^{-2} \, cm$ સ્વરૂપમાં લખતા,$6.67 \, cm = 667 \times 10^{-2} \, cm$ મળે.

(D) બલ્બનો પાવર $P = 80\, W$ છે. કાર્યક્ષમતા $10\, \%$ હોવાથી,ઉત્સર્જિત પાવર $P_{rad} = 80 \times 0.10 = 8\, W$ થશે.
તે બિંદુવત ઉદગમ હોવાથી,$r = 10\, m$ અંતરે તીવ્રતા $I = \frac{P_{rad}}{4 \pi r^{2}} = \frac{8}{4 \pi (10)^{2}} = \frac{8}{400 \pi} = \frac{1}{50 \pi} \, W/m^{2}$ મળે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા અને મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{0}$ વચ્ચેનો સંબંધ $I = \frac{1}{2} c \epsilon_{0} E_{0}^{2}$ છે.
$\epsilon_{0} = \frac{1}{\mu_{0} c^{2}}$ મૂકતા,$I = \frac{1}{2} c \left( \frac{1}{\mu_{0} c^{2}} \right) E_{0}^{2} = \frac{E_{0}^{2}}{2 \mu_{0} c}$ મળે.
$I$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{E_{0}^{2}}{2 \mu_{0} c} = \frac{1}{50 \pi}$.
$E_{0}^{2} = \frac{2 \mu_{0} c}{50 \pi} = \frac{\mu_{0} c}{25 \pi}$.
$E_{0} = \sqrt{\frac{\mu_{0} c}{25 \pi}} = \frac{1}{5} \sqrt{\frac{\mu_{0} c}{\pi}} = \frac{2}{10} \sqrt{\frac{\mu_{0} c}{\pi}}$.
આને $\frac{x}{10} \sqrt{\frac{\mu_{0} c}{\pi}}$ સાથે સરખાવતા,$x = 2$ મળે છે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $E_{0} = 200 \text{ V/m}$ છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} E_{0}^{2} c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંપૂર્ણ પરાવર્તક સપાટી માટે,વિકિરણ દબાણ $P = \frac{2I}{c}$ છે.
દબાણના સૂત્રમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા: $P = \frac{2}{c} \left( \frac{1}{2} \varepsilon_{0} E_{0}^{2} c \right) = \varepsilon_{0} E_{0}^{2}$.
$\varepsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12} \text{ F/m}$ નો ઉપયોગ કરતા,$P = 8.85 \times 10^{-12} \times (200)^{2}$ મળે.
$P = 8.85 \times 10^{-12} \times 40000 = 8.85 \times 4 \times 10^{-8} = 35.4 \times 10^{-8} = \frac{354}{10^{9}} \text{ N/m}^{2}$.
આને $\frac{x}{10^{9}} \text{ N/m}^{2}$ સાથે સરખાવતા,$x = 354$ મળે છે.

(D) વિદ્યુત ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $E_0 = 800 \text{ V/m}$ છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $E_0$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $B_0$ વચ્ચેનો સંબંધ $B_0 = E_0 / c$ છે,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે.
$B_0 = \frac{800}{3 \times 10^8} \text{ T}$.
ગતિશીલ વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = qvB \sin \theta$ છે. મહત્તમ બળ માટે,ઇલેક્ટ્રોન ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રૂપે ગતિ કરે છે,તેથી $\theta = 90^\circ$ અને $\sin 90^\circ = 1$ થાય.
$F_{\max} = e v B_0 = (1.6 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (3 \times 10^7 \text{ m/s}) \times \left( \frac{800}{3 \times 10^8} \text{ T} \right)$.
$F_{\max} = 1.6 \times 10^{-19} \times 800 \times 10^{-1} = 1.6 \times 8 \times 10^{-18} = 12.8 \times 10^{-18} \text{ N}$.

(A) વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ નો એકમ $\text{volt/metre}$ $(V/m)$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H$ નો એકમ $\text{Ampere/metre}$ $(A/m)$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $E/H$ નો એકમ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{E}{H} = \frac{\text{volt/metre}}{\text{Ampere/metre}} = \frac{\text{volt}}{\text{Ampere}}$.
ઓમના નિયમ મુજબ,$R = V/I$ હોવાથી,$V/I$ નો એકમ $ohm$ $(\Omega)$ છે.
આમ,$E/H$ નો એકમ $ohm$ છે.

(C) સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટેનું સામાન્ય સમીકરણ $E = E_0 \sin(kx - \omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $E = 50 \sin(500x - 10 \times 10^{10}t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
તરંગ સંખ્યા $k = 500 \, \text{rad/m}$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 10 \times 10^{10} \, \text{rad/s}$
તરંગનો વેગ $v$ એ $v = \frac{\omega}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{10 \times 10^{10}}{500} = \frac{10^{11}}{5 \times 10^2} = 2 \times 10^8 \, \text{m/s}$.
શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $C = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $v = \frac{2}{3} \times 3 \times 10^8 = \frac{2}{3} C$.

(B) મુક્ત અવકાશમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ના મૂલ્યો વચ્ચેનો સંબંધ $B = \frac{E}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
અહીં $E = 6 \text{ V/m}$ અને $c = 3 \times 10^{8} \text{ m/s}$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{6}{3 \times 10^{8}} \text{ T}$
$B = 2 \times 10^{-8} \text{ T}$
આને આપેલ સમીકરણ $x \times 10^{-8} \text{ T}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = E_0 \sin \omega(t - x/c)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_0 = 50 \, NC^{-1}$ છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઉર્જા ઘનતા $u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2$ છે.
$V$ કદમાં કુલ ઉર્જા $U = u \cdot V = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2 V$ છે.
આપેલ છે $U = 5.5 \times 10^{-12} \, J$ અને $\epsilon_0 = 8.8 \times 10^{-12} \, C^2 N^{-1} m^{-2}$,તેથી:
$5.5 \times 10^{-12} = \frac{1}{2} \times (8.8 \times 10^{-12}) \times (50)^2 \times V$.
$5.5 = 0.5 \times 8.8 \times 2500 \times V$.
$5.5 = 4.4 \times 2500 \times V$.
$5.5 = 11000 \times V$.
$V = \frac{5.5}{11000} = 0.0005 \, m^3$.
$m^3$ ને $cm^3$ માં ફેરવતા:
$V = 0.0005 \times (100 \, cm)^3 = 0.0005 \times 10^6 \, cm^3 = 500 \, cm^3$.

(A) સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $E = E_0 \cos(\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $E = 20 \cos(2 \times 10^{10} t - 200 x)$ સાથે સરખાવતા,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \times 10^{10} \, rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 200 \, rad/m$ મળે છે.
માધ્યમમાં તરંગની ઝડપ $v = \omega / k = (2 \times 10^{10}) / 200 = 10^8 \, m/s$ છે.
માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n = c / v$ છે,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
તેથી,$n = (3 \times 10^8) / 10^8 = 3$.
બિન-ચુંબકીય માધ્યમ માટે,વક્રીભવનાંક $n = \sqrt{\epsilon_r \mu_r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\mu_r = 1$ આપેલ હોવાથી,$n = \sqrt{\epsilon_r}$ મળે.
$n$ ની કિંમત મૂકતા,$3 = \sqrt{\epsilon_r}$,જેનો અર્થ છે કે $\epsilon_r = 3^2 = 9$.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના પ્રસરણની દિશા પોઈન્ટિંગ સદિશની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $\vec{E} \times \vec{B}$ છે.
તરંગ $x$-દિશામાં પ્રસરતું હોવાથી,આપણી પાસે $\vec{E} \times \vec{B} = \hat{i}$ હોવું જોઈએ.
ચાલો વિકલ્પ $B$ તપાસીએ: $\vec{E} = -\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{B} = -\hat{j} - \hat{k}$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $(-\hat{j} + \hat{k}) \times (-\hat{j} - \hat{k}) = (-\hat{j} \times -\hat{j}) - (\hat{j} \times -\hat{k}) + (\hat{k} \times -\hat{j}) - (\hat{k} \times -\hat{k})$.
$= 0 + (\hat{j} \times \hat{k}) - (\hat{k} \times \hat{j}) - 0 = \hat{i} - (-\hat{i}) = 2\hat{i}$.
પરિણામી સદિશ $x$-દિશામાં હોવાથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના પ્રસરણની દિશા પોઈન્ટિંગ સદિશની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $\vec{E} \times \vec{B}$ ને સમાંતર હોય છે.
અહીં $\vec{E} = E_{0} \hat{i}$ અને $\vec{B} = B_{0} \hat{k}$ આપેલ છે.
પ્રસરણની દિશા $\hat{i} \times \hat{k}$ છે.
એકમ સદિશોના ક્રોસ પ્રોડક્ટના નિયમો મુજબ: $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,અને $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$.
ક્રમ ઉલટો હોવાથી,$\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ થાય.
તેથી,પ્રસરણની દિશા $-\hat{j}$ છે.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ અને મહત્તમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0$ વચ્ચેનો સંબંધ: $I = \frac{B_0^2 c}{2 \mu_0}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$,તેથી $\frac{1}{\mu_0} = \epsilon_0 c^2$.
આ કિંમત તીવ્રતાના સૂત્રમાં મૂકતા: $I = \frac{B_0^2 c}{2} (\epsilon_0 c^2) = \frac{1}{2} \epsilon_0 c^3 B_0^2$.
$B_0$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $B_0 = \sqrt{\frac{2I}{\epsilon_0 c^3}}$.
અહીં $I = 0.092 \, W/m^2$,$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, F/m$,અને $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ છે:
$B_0 = \sqrt{\frac{2 \times 0.092}{8.85 \times 10^{-12} \times (3 \times 10^8)^3}}$.
ગણતરી કરતા: $B_0 \approx 2.77 \times 10^{-8} \, T$.

(D) આપાત તરંગ $+z$ દિશામાં ગતિ કરે છે,જે $\cos(kz - \omega t)$ સ્વરૂપમાં છે.
જ્યારે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ સંપૂર્ણ પરાવર્તક દીવાલ પર લંબરૂપે આપાત થાય છે,ત્યારે પરાવર્તિત તરંગ વિરુદ્ધ દિશામાં ($-z$ દિશામાં) ગતિ કરે છે.
પરાવર્તિત તરંગ $\cos(kz + \omega t)$ સ્વરૂપમાં હશે.
આપેલ આપાત તરંગ $E_i = 3.1 \cos \left[(1.8)z - (5.4 \times 10^6)t\right] \hat{i}$ માટે,પરાવર્તિત તરંગ $E_r$ નો કંપવિસ્તાર અને આવૃત્તિ સમાન હશે પરંતુ પ્રસરણની દિશા ઉલટાઈ જશે.
તેથી,$E_r = 3.1 \cos \left[(1.8)z + (5.4 \times 10^6)t\right] \hat{i} \text{ N/C}$ થશે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) માધ્યમમાં પ્રકાશનો વેગ $v = \frac{c}{\sqrt{\mu_{r} \varepsilon_{r}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $(3 \times 10^{8} \text{ m/s})$ છે,$\mu_{r}$ એ સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી છે અને $\varepsilon_{r}$ એ સાપેક્ષ પરમિટિવિટી છે.
આપેલ છે $\mu_{r} = 1$ અને $\varepsilon_{r} = 81$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \frac{3 \times 10^{8}}{\sqrt{1 \times 81}}$
$v = \frac{3 \times 10^{8}}{9}$
$v = 0.333 \times 10^{8} \text{ m/s}$
$v = 3.33 \times 10^{7} \text{ m/s}$.

(C) માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n$ એ તેની સાપેક્ષ પરમિટિવિટી $\varepsilon_{r}$ અને સાપેક્ષ પરમીબિલિટી $\mu_{r}$ સાથે નીચેના સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે: $n = \sqrt{\varepsilon_{r}\mu_{r}}$.
વક્રીભવનાંકને શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c$ અને માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી $n = \frac{c}{v}$.
આ સમીકરણને $v$ માટે ગોઠવતા,આપણને $v = \frac{c}{n}$ મળે છે.
$n$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા,માધ્યમમાં પ્રકાશનો વેગ $v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{r}\mu_{r}}}$ મળે છે.

(B) બિંદુવત ઉદગમથી $r$ અંતરે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I = \frac{\eta P}{4 \pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\eta = 0.035$ કાર્યક્ષમતા છે અને $P = 200 \, W$ પાવર છે.
તીવ્રતા અને મહત્તમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0$ વચ્ચેનો સંબંધ $I = \frac{c B_0^2}{2 \mu_0}$ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{\eta P}{4 \pi r^2} = \frac{c B_0^2}{2 \mu_0}$.
$B_0$ માટે સૂત્ર: $B_0 = \sqrt{\frac{\mu_0 \eta P}{2 \pi c r^2}} = \frac{1}{r} \sqrt{\frac{\mu_0 \eta P}{2 \pi c}}$.
આપેલ કિંમતો: $\frac{\mu_0}{4 \pi} = 10^{-7} \, T \cdot m/A$,$c = 3 \times 10^8 \, m/s$,$r = 4 \, m$,$\eta = 0.035$,અને $P = 200 \, W$.
ગણતરી કરતા: $B_0 = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{2 \times 10^{-7} \times 0.035 \times 200}{3 \times 10^8}} = 1.71 \times 10^{-8} \, T$ મળે છે.

(C) માધ્યમમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઝડપ $v = \frac{c}{\sqrt{\mu_{r} \epsilon_{r}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $\mu_{r} = 1.61$ અને $\epsilon_{r} = 6.44$,તેથી ઝડપ $v = \frac{3 \times 10^{8}}{\sqrt{1.61 \times 6.44}} = \frac{3 \times 10^{8}}{\sqrt{10.3684}} = \frac{3 \times 10^{8}}{3.22} \approx 9.317 \times 10^{7} \; m s^{-1}$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = vB$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_{0} \mu_{r} H$ હોવાથી,$E = v \mu_{0} \mu_{r} H$ મળે.
$E = (9.317 \times 10^{7}) \times (4 \pi \times 10^{-7}) \times (1.61) \times (4.5 \times 10^{-2})$.
$E = 9.317 \times 4 \times 3.1416 \times 1.61 \times 4.5 \times 10^{-2} \approx 8.48 \; V m^{-1}$.

(A) માધ્યમમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની ઝડપ $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\mu = \mu_0 \mu_r$ અને $\epsilon = \epsilon_0 \epsilon_r$ હોવાથી,$v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \mu_r \epsilon_0 \epsilon_r}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \epsilon_r}}$ થાય,જ્યાં $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} = 3.0 \times 10^8 \ m/s$ છે.
આપેલ છે કે $v = 2.0 \times 10^8 \ m/s$ અને $\mu_r = 1.0$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{c}{v} = \sqrt{\mu_r \epsilon_r}$.
$\frac{3.0 \times 10^8}{2.0 \times 10^8} = \sqrt{1.0 \times \epsilon_r}$.
$1.5 = \sqrt{\epsilon_r}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\epsilon_r = (1.5)^2 = 2.25$.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર: $I = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} E_{0}^{2} c$ છે.
અહીં,મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{0} = 56.5 \; V/m$,$\varepsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12} \; C^{2} N^{-1} m^{-2}$,અને $c = 3 \times 10^{8} \; m/s$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \times (8.85 \times 10^{-12}) \times (56.5)^{2} \times (3 \times 10^{8})$.
$I = 0.5 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 3192.25 \times 3 \times 10^{8}$.
$I = 4.24 \; W m^{-2}$.

(C) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E} = -301.6 \sin (kz - \omega t) \hat{a}_{x} + 452.4 \sin (kz - \omega t) \hat{a}_{y}$ છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,કંપવિસ્તાર વચ્ચેનો સંબંધ $B_{0} = E_{0} / c$ અને $H_{0} = B_{0} / \mu_{0} = E_{0} / (c \mu_{0})$ છે.
અહીં $c = 3 \times 10^{8} \text{ m/s}$ અને $\mu_{0} = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$ આપેલ છે,તેથી મુક્ત અવકાશનો અવરોધ $Z_{0} = \mu_{0} c = 4\pi \times 10^{-7} \times 3 \times 10^{8} \approx 377 \text{ } \Omega$ થાય.
ચુંબકીય ક્ષેત્રના ઘટકો $H_{x} = -E_{y} / Z_{0}$ અને $H_{y} = E_{x} / Z_{0}$ છે.
ગુણાંકની ગણતરી કરતા: $301.6 / 377 = 0.8$ અને $452.4 / 377 = 1.2$ મળે છે.
દિશાના ગુણધર્મ $\hat{k} = \hat{E} \times \hat{H}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\vec{E} = E_{x} \hat{i} + E_{y} \hat{j}$ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{H} = \frac{1}{Z_{0}} (E_{y} \hat{i} - E_{x} \hat{j})$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{H} = \frac{1}{377} [452.4 \sin (kz - \omega t) \hat{i} - (-301.6 \sin (kz - \omega t)) \hat{j}] = 1.2 \sin (kz - \omega t) \hat{i} + 0.8 \sin (kz - \omega t) \hat{j}$.
તરંગ પ્રસરણની દિશા $+z$ હોવાથી,સાચો જવાબ $\vec{H} = -0.8 \sin (kz - \omega t) \hat{a}_{y} - 1.2 \sin (kz - \omega t) \hat{a}_{x}$ મળે છે.