Maxwell's equations , Concept of displacement current and Hertz experiment Questions in Gujarati

(D) બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,ગતિશીલ વિદ્યુતભાર (પ્રવાહ) દ્વારા ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન થાય છે.
વધુમાં,મેક્સવેલ-એમ્પીયરના નિયમ મુજબ,બદલાતું વિદ્યુતક્ષેત્ર (સ્થાનાંતર પ્રવાહ) પણ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,ગતિશીલ વિદ્યુતભાર અને બદલાતું વિદ્યુતક્ષેત્ર બંને ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરી શકે છે.

(C) મેક્સવેલના $EM$ સિદ્ધાંત મુજબ,સમય સાથે બદલાતું વિદ્યુતક્ષેત્ર સ્થાનાંતર પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે,જે બદલામાં ચુંબકીય ક્ષેત્રના સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે.
આ મેક્સવેલ-એમ્પીયરના નિયમ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $\oint B \cdot dl = \mu_0 (I_c + I_d)$,જ્યાં $I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ એ સ્થાનાંતર પ્રવાહ છે.
તેથી,બદલાતું વિદ્યુતક્ષેત્ર ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.

(D) મેક્સવેલના સમીકરણો વિદ્યુત અને ચુંબકત્વના મૂળભૂત નિયમોનું વર્ણન કરે છે.
આ સમીકરણો સમજાવે છે કે કેવી રીતે વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો એકબીજા દ્વારા તેમજ વિદ્યુતભારો અને પ્રવાહો દ્વારા ઉત્પન્ન અને બદલાય છે.
તેથી,તેઓ વિદ્યુત અને ચુંબકત્વ બંનેના સિદ્ધાંતોને આવરી લે છે.

(C) હેનરિક રુડોલ્ફ હર્ટ્ઝ એક જર્મન ભૌતિકશાસ્ત્રી હતા જેમણે સૌપ્રથમ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનું અસ્તિત્વ પ્રાયોગિક રીતે સાબિત કર્યું હતું,જેનું સૈદ્ધાંતિક અનુમાન જેમ્સ ક્લાર્ક મેક્સવેલ દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું.
તેમણે તેમની પ્રયોગશાળામાં આ તરંગો ઉત્પન્ન કરવા અને શોધવા માટે ઓસિલેટિંગ સર્કિટનો ઉપયોગ કર્યો હતો.
તેથી,સાચો જવાબ $C$ છે.

(B) સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_D$ નું સૂત્ર $I_D = \varepsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V}{d}$ અને વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_E = E \cdot A$ હોવાથી,$I_D = \varepsilon_0 \frac{A}{d} \frac{dV}{dt}$ મળે.
આપેલ છે: $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \, F/m$,$V = 400 \, V$,$A = 60 \, cm^2 = 60 \times 10^{-4} \, m^2$,$d = 2 \, mm = 2 \times 10^{-3} \, m$,અને $\Delta t = 10^{-6} \, s$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$I_D = \frac{8.854 \times 10^{-12} \times 60 \times 10^{-4} \times 400}{2 \times 10^{-3} \times 10^{-6}}$
$I_D = \frac{8.854 \times 60 \times 4 \times 10^{-12} \times 10^{-4} \times 10^2}{2 \times 10^{-9}}$
$I_D = \frac{2124.96 \times 10^{-14}}{2 \times 10^{-9}} = 1062.48 \times 10^{-5} = 1.06248 \times 10^{-2} \, A$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આયનોસ્ફિયરમાં,વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની પ્લાઝ્મા સાથેની આંતરક્રિયા બે પ્રકારના પ્રવાહો ઉત્પન્ન કરે છે: વહન પ્રવાહ (સ્પેસ પ્રવાહ) અને સ્થાનાંતર પ્રવાહ.
મેક્સવેલના સમીકરણો મુજબ,સ્થાનાંતર પ્રવાહ ઘનતા $J_d = \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાર્મોનિક તરંગ $E = E_0 \sin(\omega t)$ માટે,સ્થાનાંતર પ્રવાહ $J_d = \epsilon_0 \omega E_0 \cos(\omega t) = \epsilon_0 \omega E_0 \sin(\omega t + \pi / 2)$ થાય છે.
પ્લાઝ્મામાં વહન પ્રવાહ $J_c$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર સાથે $J_c = \sigma E$ દ્વારા સંબંધિત છે,જ્યાં $\sigma$ એ વાહકતા છે. આયનોસ્ફિયરમાં,ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ જડત્વને કારણે પ્રભુત્વ ધરાવે છે,જેનાથી પ્રવાહ વિદ્યુતક્ષેત્ર કરતા $\pi / 2$ જેટલો પાછળ રહે છે.
આમ,વહન પ્રવાહ $J_c$ એ $\sin(\omega t - \pi / 2)$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
સ્થાનાંતર પ્રવાહ $(\sin(\omega t + \pi / 2))$ અને વહન પ્રવાહ $(\sin(\omega t - \pi / 2))$ વચ્ચેનો કળાનો તફાવત $(\pi / 2) - (-\pi / 2) = \pi \, rad$ થાય છે.

(D) ઈલેક્ટ્રોન વિદ્યુતભાર ધરાવે છે. સ્થિર ઈલેક્ટ્રોન કોઈ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરતું નથી. અચળ વેગથી ગતિ કરતો ઈલેક્ટ્રોન સ્થાયી ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે,પરંતુ સ્થાયી ચુંબકીય ક્ષેત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરતું નથી. જ્યારે ઈલેક્ટ્રોન બદલાતા વેગ સાથે (એટલે કે પ્રવેગિત) ગતિ કરે છે,ત્યારે તે બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે,જે બદલાતું વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. આ રીતે બદલાતા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોનું સતત ચક્ર અવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ તરીકે પ્રસરણ પામે છે.

(C) મેક્સવેલના સમીકરણો એ ચાર આંશિક વિકલન સમીકરણોનો સમૂહ છે જે શાસ્ત્રીય વિદ્યુતચુંબકત્વનું વ્યાપક વર્ણન આપે છે.
તેઓ વર્ણવે છે કે કેવી રીતે વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો વિદ્યુતભારો,પ્રવાહો અને એકબીજા દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે.
તેથી,આ સમીકરણો વિદ્યુત અને ચુંબકત્વના મૂળભૂત નિયમો પરથી મેળવવામાં આવ્યા છે.

(B) હર્ટ્ઝના પ્રયોગમાં,બે ધાતુના સળિયાઓને ઇન્ડક્શન કોઇલ સાથે જોડવામાં આવ્યા હતા.
આ સળિયાઓ કેપેસિટર તરીકે વર્તે છે કારણ કે જ્યારે ઉચ્ચ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત લાગુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ તેમની વચ્ચેના વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ઊર્જાનો સંગ્રહ કરે છે.
જ્યારે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત હવાના ગેપના બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ કરતા વધી જાય છે,ત્યારે તણખો (spark) ઉત્પન્ન થાય છે અને સિસ્ટમ દોલન કરે છે,જેનાથી વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો ઉત્પન્ન થાય છે.

(A) જેમ્સ ક્લાર્ક મેક્સવેલે $1865$ માં સૌ પ્રથમ વખત સૈદ્ધાંતિક રીતે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના અસ્તિત્વની આગાહી કરી હતી. તેમણે તેમના ચાર સમીકરણોના સમૂહ દ્વારા વિદ્યુત અને ચુંબકત્વના નિયમોને એકીકૃત કર્યા,જે મેક્સવેલના સમીકરણો તરીકે ઓળખાય છે. આ સમીકરણો સૂચવે છે કે સમય સાથે બદલાતું વિદ્યુતક્ષેત્ર સમય સાથે બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે અને તેનાથી ઉલટું,જે મુક્ત અવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના પ્રસરણ તરફ દોરી જાય છે.

(C) કેપેસિટરમાં સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$.
વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E = E \cdot A = \frac{V}{d} \cdot A = \frac{V \cdot A}{d}$ હોવાથી, અને કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ હોવાથી, આપણે સ્થાનાંતર પ્રવાહને $I_d = C \frac{dV}{dt}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આપેલ કિંમતો $C = 2 \; \mu F = 2 \times 10^{-6} \; F$ અને $\frac{dV}{dt} = 10^6 \; V/s$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$I_d = (2 \times 10^{-6} \; F) \times (10^6 \; V/s) = 2 \; A$.
તેથી, સ્થાનાંતર પ્રવાહ $2 \; A$ છે.

(A) મેક્સવેલ-એમ્પિયરના નિયમ અનુસાર,સુધારેલ એમ્પિયરનો નિયમ નીચે મુજબ છે:
$\nabla \times B = \mu_0 \left( J + \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t} \right)$
અહીં,પદ $\epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t}$ એ સ્થાનાંતર પ્રવાહ ઘનતા દર્શાવે છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે સમય સાથે બદલાતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\frac{\partial E}{\partial t}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માટે ઉદ્ગમ તરીકે કાર્ય કરે છે.
તેથી,બદલાતું જતું વિદ્યુતક્ષેત્ર ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.

(C) એમ્પિયરનો મૂળ સર્કિટલ નિયમ સમય સાથે બદલાતા વિદ્યુતક્ષેત્રો માટે અસંગત જણાયો હતો.
જેમ્સ ક્લાર્ક મેક્સવેલે આ અસંગતતાને દૂર કરવા માટે સ્થાનાંતર પ્રવાહ (displacement current),$I_d = \epsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ નો ખ્યાલ રજૂ કર્યો.
સુધારેલ એમ્પિયર-મેક્સવેલ નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ માર્ગની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું રેખીય સંકલન એ વહન પ્રવાહ $i$ અને સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d$ ના સરવાળાના $\mu_0$ ગણા જેટલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 (i + I_d) = \mu_0 i + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$.

(D) સ્થાનાંતર પ્રવાહ $i_d$ ને $i_d = \epsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi_E$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુત ફ્લક્સ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_E = \frac{q}{\epsilon_0}$ હોવાથી,$i_d = \frac{dq}{dt}$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે પણ કૅપેસિટરની પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $q$ સમય સાથે બદલાતો હોય ત્યારે સ્થાનાંતર પ્રવાહ ઉત્પન્ન થાય છે.
તેથી,કૅપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર કાં તો વધી રહ્યો હોય છે (ચાર્જિંગ દરમિયાન) અથવા ઘટી રહ્યો હોય છે (ડિસ્ચાર્જિંગ દરમિયાન).
આમ,$A$ અને $B$ બંને સાચા છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકત્વના સિદ્ધાંત મુજબ,સ્થિર વિદ્યુતભાર માત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
અચળ વેગથી ગતિ કરતો વિદ્યુતભાર વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને ઉત્પન્ન કરે છે,પરંતુ તે ઉર્જાનું ઉત્સર્જન કરતું નથી.
પ્રવેગી ગતિ કરતો વિદ્યુતભાર (અથવા દોલિત વિદ્યુતભાર) સમય સાથે બદલાતા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો ઉત્પન્ન કરે છે,જે અવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો તરીકે પ્રસરણ પામે છે.
તેથી,પ્રવેગી ગતિ કરતો વિદ્યુતભાર એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનો સ્ત્રોત છે.

(D) હેનરિક રુડોલ્ફ હર્ટ્ઝ એક જર્મન ભૌતિકશાસ્ત્રી હતા જેમણે સૌ પ્રથમ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના અસ્તિત્વને નિર્ણાયક રીતે સાબિત કર્યું હતું,જેનું સૈદ્ધાંતિક અનુમાન જેમ્સ ક્લાર્ક મેક્સવેલ દ્વારા કરવામાં આવ્યું હતું.
સ્પાર્ક-ગેપ ટ્રાન્સમીટરનો ઉપયોગ કરીને,તેમણે દર્શાવ્યું હતું કે પ્રયોગશાળામાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો ઉત્પન્ન કરી શકાય છે અને તેને શોધી શકાય છે.
તેથી,$Hertz$ એ વ્યક્તિ છે જેમણે સૌ પ્રથમ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો ઉત્પન્ન કર્યા અને પ્રાયોગિક રીતે સાબિત કર્યા.

(A) સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d$ નું સૂત્ર $I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ છે.
કેપેસિટર માટે,$\Phi_E = E \cdot A$ અને $V = E \cdot d$ હોવાથી,$I_d = C \frac{dV}{dt}$ લખી શકાય.
આપેલ છે: કેપેસિટન્સ $C = 2 \ pF = 2 \times 10^{-12} \ F$.
સ્થિતિમાનમાં ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt} = 10^{12} \ V \ s^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $I_d = (2 \times 10^{-12} \ F) \times (10^{12} \ V \ s^{-1})$.
$I_d = 2 \ A$.

(C) કેપેસિટરમાં સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_D$ એ પરિપથમાંથી વહેતા વહન પ્રવાહ જેટલો જ હોય છે,જે પ્લેટો પરના વિદ્યુતભારના ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$I_D = \frac{dq}{dt}$
આપેલ છે કે $q = q_0 \sin(2\pi nt)$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$I_D = \frac{d}{dt} [q_0 \sin(2\pi nt)]$
$I_D = q_0 \cdot \cos(2\pi nt) \cdot \frac{d}{dt}(2\pi nt)$
$I_D = 2\pi n q_0 \cos(2\pi nt)$.

(C) મેક્સવેલ-એમ્પિયરના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ સ્થાનાંતર પ્રવાહ ઘનતાના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે વિદ્યુતક્ષેત્રના ફેરફારના દર $\frac{dE}{dt}$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આપેલ છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સમય સાથે $E \propto t^2$ મુજબ બદલાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રના ફેરફારના દર સાથે સંબંધિત છે: $B \propto \frac{dE}{dt}$.
આપેલ ફેરફારને મૂકતા: $B \propto \frac{d}{dt}(t^2)$.
વિકલન કરતા: $B \propto 2t$.
તેથી,પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમય સાથે $B \propto t$ મુજબ બદલાય છે.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{Q}{\varepsilon_0 A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q$ એ $t$ સમયે કેપેસિટર પરનો વીજભાર છે.
પ્લેટોની વચ્ચે સમાંતર અને સંમિત રીતે મૂકવામાં આવેલી $A' = A/2$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતી સપાટી માટે,આ ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_E = E \cdot A' = \left( \frac{Q}{\varepsilon_0 A} \right) \left( \frac{A}{2} \right) = \frac{Q}{2\varepsilon_0}$ છે.
સ્થાનાંતર પ્રવાહ $i_d$ ની વ્યાખ્યા $i_d = \varepsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ છે.
$\phi_E$ નું પદ મૂકતા,આપણને મળે છે $i_d = \varepsilon_0 \frac{d}{dt} \left( \frac{Q}{2\varepsilon_0} \right) = \frac{1}{2} \frac{dQ}{dt}$.
ચાર્જિંગ પ્રવાહ $i = \frac{dQ}{dt}$ હોવાથી,સ્થાનાંતર પ્રવાહ $i_d = \frac{i}{2}$ થશે.

(B) વહન પ્રવાહ ઘનતા $J_c = \sigma E$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E = E_0 \sin(\omega t - kx)$. તેથી,તેનું મૂલ્ય $J_c = \sigma E_0$ છે.
સ્થાનાંતર પ્રવાહ ઘનતા $J_d = \varepsilon \varepsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E = E_0 \sin(\omega t - kx)$ હોવાથી,$\frac{\partial E}{\partial t} = E_0 \omega \cos(\omega t - kx)$ મળે.
તેથી,સ્થાનાંતર પ્રવાહ ઘનતાનું મૂલ્ય $J_d = \varepsilon \varepsilon_0 E_0 \omega$ છે.
વહન પ્રવાહ ઘનતા અને સ્થાનાંતર પ્રવાહ ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{J_c}{J_d} = \frac{\sigma E_0}{\varepsilon \varepsilon_0 E_0 \omega} = \frac{\sigma}{\varepsilon \varepsilon_0 \omega}$ થાય.

(D) સ્થાનાંતર પ્રવાહનું સૂત્ર $I_d = \epsilon_0 A \frac{dE}{dt}$ છે.
અહીં $\epsilon_0$ અને $A$ અચળ હોવાથી, સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રના ફેરફારના દર એટલે કે $E-t$ આલેખના ઢાળ $(\frac{dE}{dt})$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
આપણે વિવિધ અંતરાલો માટે ઢાળ $(\frac{dE}{dt})$ ની ગણતરી કરીએ:
$1$. $t = 0$ થી $2 \ \mu s$ માટે: ઢાળ = $\frac{1.0 - 0.5}{2 - 0} = 0.25 \ (N/C)/\mu s$.
$2$. $t = 2$ થી $10 \ \mu s$ માટે: ઢાળ = $\frac{-1.0 - 1.0}{10 - 2} = \frac{-2.0}{8} = -0.25 \ (N/C)/\mu s$.
$3$. $t = 10$ થી $13 \ \mu s$ માટે: ઢાળ = $\frac{0 - (-1.0)}{13 - 10} = \frac{1.0}{3} \approx 0.33 \ (N/C)/\mu s$.
ઢાળનું મૂલ્ય $t = 10$ થી $13 \ \mu s$ ના અંતરાલમાં સૌથી વધુ છે, જ્યાં ઢાળ $0.33$ છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી, $t = 12 \ \mu s$ આ અંતરાલમાં આવે છે.

(D) એમ્પીયર-મેક્સવેલનો નિયમ એ એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમનું સુધારેલું સ્વરૂપ છે,જેમાં સ્થાનાંતર પ્રવાહનો સમાવેશ થાય છે,જે સમય સાથે બદલાતા વિદ્યુત ક્ષેત્રને ધ્યાનમાં લે છે.
સામાન્યીકૃત એમ્પીયર-મેક્સવેલનો નિયમ નીચે મુજબ છે:
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 i_c + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$
જ્યાં:
$1. \oint \vec{B} \cdot d\vec{l}$ એ બંધ ગાળાની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું રેખીય સંકલન છે.
$2. i_c$ એ વહન પ્રવાહ છે.
$3. \epsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ એ સ્થાનાંતર પ્રવાહ $(i_d)$ છે.
આમ,સાચું સમીકરણ $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 i_{\text{enclosed}} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ છે.

(B) જ્યારે એક ઇન્સ્યુલેટર (ડાયઇલેક્ટ્રિક) પ્લેટ કેપેસિટરમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે કેપેસીટન્સ $C$ વધે છે કારણ કે $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$.
કેપેસિટર બેટરી સાથે જોડાયેલ હોવાથી,પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ અચળ રહે છે.
જેમ પ્લેટ અંદર પ્રવેશે છે તેમ કેપેસિટર પરનો ચાર્જ $Q = CV$ વધે છે.
ચાર્જમાં આ વધારાને કારણે બેટરીમાંથી કેપેસિટરની પ્લેટો તરફ પ્રવાહ વહે છે,જે બાહ્ય સર્કિટમાં ચાર્જિંગ પ્રવાહને અનુરૂપ છે.
કેપેસિટરની અંદર,સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d$ એ બાહ્ય સર્કિટમાં વહન પ્રવાહ જેટલો હોય છે,તેથી તે એવી દિશામાં વહે છે જે ચાર્જિંગ પ્રક્રિયાને ટેકો આપે છે (ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં).
જેમ ઇન્સ્યુલેટર પ્લેટ કેપેસિટરમાંથી બહાર નીકળે છે,તેમ કેપેસીટન્સ $C$ ઘટે છે,જેના કારણે કેપેસિટર પરનો ચાર્જ $Q$ ઘટે છે.
આના પરિણામે ડિસ્ચાર્જ પ્રવાહ કેપેસિટરમાંથી બહાર વહે છે,જેનો અર્થ છે કે સ્થાનાંતર પ્રવાહ હવે વિરુદ્ધ દિશામાં (ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં) વહે છે.
તેથી,સ્થાનાંતર પ્રવાહ પહેલા ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં અને પછી ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં વહે છે.

(A) જ્યારે એક ઇન્સ્યુલેટર (ડાયઇલેક્ટ્રિક) પ્લેટ કેપેસિટરમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે કેપેસીટન્સ $C$ વધે છે. $Q = CV$ હોવાથી,પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર વધે છે. આ વિદ્યુતભારમાં વધારો પ્લેટો વચ્ચેના વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ફેરફાર કરે છે. જેમ પ્લેટ અંદર પ્રવેશે છે,તેમ વિદ્યુત ફ્લક્સ વધે છે,જેના પરિણામે વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં (ધન પ્લેટ $A$ થી ઋણ પ્લેટ $B$ તરફ) સ્થાનાંતર પ્રવાહ વહે છે. જેમ પ્લેટ બહાર નીકળે છે,તેમ કેપેસીટન્સ ઘટે છે,વિદ્યુતભાર ઘટે છે અને વિદ્યુત ફ્લક્સ ઘટે છે,જેના કારણે સ્થાનાંતર પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં ($B$ થી $A$ તરફ) વહે છે. તેથી,તે પહેલા $A$ થી $B$ તરફ અને પછી $B$ થી $A$ તરફ વહે છે.

(A) કેપેસિટરમાં સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d$ એ પ્લેટો પરના વિદ્યુતભારના ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે કેપેસિટરમાં વહેતા વહન પ્રવાહ $I_c$ જેટલો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$I_d = I_c = \frac{dq}{dt}$.
અહીં આપેલ છે કે વિદ્યુતભાર ગુમાવવાનો દર $\frac{dq}{dt} = 1.8 \times 10^{-8}\, C/s$ છે.
તેથી,સ્થાનાંતર પ્રવાહનું મૂલ્ય $I_d = 1.8 \times 10^{-8}\, A$ થશે.

(D) મેક્સવેલ-એમ્પીયરના નિયમ મુજબ,સમય સાથે બદલાતા વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ છે: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નળાકાર વિસ્તાર માટે જેમાં સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સમય સાથે બદલાય છે,આપણે અક્ષ પર કેન્દ્રિત $r$ $(r < R)$ ત્રિજ્યાનો એમ્પીયરિયન લૂપ વિચારીએ.
આ લૂપમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E = E \cdot \pi r^2$ છે.
આ કિંમત મેક્સવેલ-એમ્પીયરના નિયમમાં મૂકતા: $B(2\pi r) = \mu_0 \epsilon_0 \frac{d}{dt}(E \pi r^2)$.
અહીં $E$ અવકાશમાં સમાન હોવાથી,$\frac{dE}{dt}$ એ $r$ ની સાપેક્ષમાં અચળ છે.
$B(2\pi r) = \mu_0 \epsilon_0 \pi r^2 \frac{dE}{dt}$.
$B$ માટે ઉકેલતા,આપણને $B = \frac{\mu_0 \epsilon_0 r}{2} \frac{dE}{dt}$ મળે છે.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું મૂલ્ય $r$ ના પ્રમાણમાં છે.

(D) કેપેસિટરમાં સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_D$ નું સૂત્ર $I_D = C \frac{dV}{dt}$ છે,જ્યાં $C$ એ કેપેસિટન્સ છે અને $\frac{dV}{dt}$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતમાં થતો ફેરફારનો દર છે.
આપેલ છે કે,$I_D = 2\,A$ અને $C = 1\,\mu F = 10^{-6}\,F$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$2 = 10^{-6} \times \frac{dV}{dt}$
$\frac{dV}{dt} = \frac{2}{10^{-6}} = 2 \times 10^6\,V/s$.
આમ,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $2 \times 10^6\,V/s$ ના દરે બદલવો પડશે.

(D) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
આ કિસ્સામાં,પ્લેટો વચ્ચેનું માધ્યમ થોડું વાહક છે,જેનો અર્થ છે કે પ્લેટો વચ્ચે $I_c = -\frac{dq}{dt} = 2.5\times10^{-8}\, A$ જેટલો વહન પ્રવાહ વહે છે.
સુધારેલા એમ્પીયર-મેક્સવેલના નિયમ મુજબ,કુલ પ્રવાહ $I_{total} = I_c + I_d$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સ્ત્રોત છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,વહન પ્રવાહ $I_c$ અને સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d$ મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે (અથવા આ ચોક્કસ આદર્શ પરિસ્થિતિમાં પ્લેટો વચ્ચે ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રના સંદર્ભમાં એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે).
આમ,પ્લેટો વચ્ચેનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થાય છે.

(C) સ્થાનાંતર પ્રવાહ $(i_d)$ એ એક એવી રાશિ છે જે એમ્પીયરના સુધારેલા નિયમમાં જોવા મળે છે,જે સમય સાથે બદલાતા વિદ્યુત ક્ષેત્ર દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમજાવે છે.
સ્થાનાંતર પ્રવાહનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$i_d = \varepsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$
જ્યાં:
$\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
$\phi_E$ એ વિદ્યુત ફ્લક્સ છે.
$\frac{d\phi_E}{dt}$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વિદ્યુત ફ્લક્સમાં થતો ફેરફારનો દર છે.

(B) કેપેસિટરમાં સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_D$ એ પ્લેટો પરના વિદ્યુતભારના ફેરફારના દર જેટલો હોય છે,જે વહન પ્રવાહ $I_C$ છે.
આપેલ વિદ્યુતભાર $q = q_0 \cos(2\pi \nu t)$ છે.
સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_D = \frac{dq}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I_D = \frac{d}{dt} [q_0 \cos(2\pi \nu t)]$.
વિકલન માટે ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d}{dt} \cos(kt) = -k \sin(kt)$.
$I_D = q_0 \cdot (-2\pi \nu) \sin(2\pi \nu t)$.
$I_D = -q_0 \, 2\pi \nu \sin(2\pi \nu t)$.

(C) સ્થાનાંતર પ્રવાહ $(I_d)$ એ પ્રવાહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે વહન પ્રવાહ ઉપરાંત અસ્તિત્વમાં આવે છે જ્યારે પણ વિદ્યુત ક્ષેત્ર અને તેથી વિદ્યુત ફ્લક્સ સમય સાથે બદલાય છે. ગાણિતિક રીતે, તે $I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\Phi_E$ એ વિદ્યુત ફ્લક્સ છે. તેથી, તે સમય સાથે વિદ્યુત ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારને કારણે છે.

(B) કેપેસિટરમાં સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_D$ નું સૂત્ર $I_D = C \frac{dV}{dt}$ છે,જ્યાં $C$ એ કેપેસિટન્સ છે અને $\frac{dV}{dt}$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતમાં થતો ફેરફારનો દર છે.
આપેલ છે: $I_D = 1 \, A$ અને $C = 2 \, \mu F = 2 \times 10^{-6} \, F$.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $1 = (2 \times 10^{-6}) \times \frac{dV}{dt}$.
$\frac{dV}{dt}$ માટે ઉકેલતા: $\frac{dV}{dt} = \frac{1}{2 \times 10^{-6}} = 0.5 \times 10^{6} \, V/s$.

(A) દોલિત વિદ્યુત ડાયપોલ એવા વિદ્યુતભારોનો બનેલો છે જે પ્રવેગિત ગતિ કરે છે.
વિદ્યુતચુંબકત્વના મૂળભૂત સિદ્ધાંતો અનુસાર,પ્રવેગિત વિદ્યુતભાર વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે.
ડાયપોલના દોલનોમાં વિદ્યુતભારો પ્રવેગિત થતા હોવાથી,તેઓ અનિવાર્યપણે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(B) કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = CV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $C$ એ કેપેસિટન્સ છે અને $V$ એ પોટેન્શિયલ તફાવત છે.
કનેક્ટિંગ વાયરમાં વહન પ્રવાહ $i_c$ એ વિદ્યુતભારના ફેરફારનો દર છે: $i_c = \frac{dQ}{dt} = C \frac{dV}{dt}$.
અહીં $C = 20 \; \mu F$ અને $\frac{dV}{dt} = 3 \; V/s$ આપેલ છે, તેથી $i_c = 20 \; \mu F \times 3 \; V/s = 60 \; \mu A$.
એમ્પીયરના નિયમમાં મેક્સવેલના સુધારા મુજબ, કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનો સ્થાનાંતર પ્રવાહ $i_d$ એ કનેક્ટિંગ વાયરમાં વહેતા વહન પ્રવાહ જેટલો જ હોય છે.
તેથી, $i_d = i_c = 60 \; \mu A$.
આમ, વહન પ્રવાહ $60 \; \mu A$ છે અને સ્થાનાંતર પ્રવાહ $60 \; \mu A$ છે.

(N/A) ઓર્સ્ટેડના અવલોકન પછી, વૈજ્ઞાનિકોએ મહત્વપૂર્ણ સંશોધન કર્યું:
$1864$ માં, વીજળી અને ચુંબકત્વના નિયમોને જેમ્સ ક્લાર્ક મેક્સવેલ દ્વારા એકીકૃત અને સૂત્રબદ્ધ કરવામાં આવ્યા હતા, જેમણે ત્યારબાદ અનુભવ્યું કે પ્રકાશ એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે.
રેડિયો તરંગોની શોધ હેનરિક હર્ટ્ઝ દ્વારા કરવામાં આવી હતી અને $19$ મી સદીના અંત સુધીમાં $J. C. Bose$ અને $G. Marconi$ દ્વારા તેનું ઉત્પાદન કરવામાં આવ્યું હતું.
$20$ મી સદીમાં નોંધપાત્ર વૈજ્ઞાનિક અને તકનીકી પ્રગતિ થઈ, જે મુખ્યત્વે વિદ્યુતચુંબકત્વની વધેલી સમજ અને વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના ઉત્પાદન, પ્રવર્ધન, પ્રસારણ અને શોધ માટેના ઉપકરણોની શોધને કારણે છે.

(A) $CR$ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = CR = (10^{-9} \; F) \times (10^6 \; \Omega) = 10^{-3} \; s$ છે.
$t$ સમયે કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q(t) = CV[1 - \exp(-t/\tau)] = (10^{-9} \; F)(2 \; V)[1 - \exp(-t/10^{-3})] = 2 \times 10^{-9} [1 - \exp(-t/10^{-3})] \; C$ છે.
પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{q(t)}{\varepsilon_0 A}$ છે,જ્યાં $A = \pi r_0^2 = \pi(1)^2 = \pi \; m^2$ છે.
બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતી $r = 0.5 \; m$ ત્રિજ્યાની ગોળાકાર લૂપ ધ્યાનમાં લો. આ લૂપમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E = E \times (\pi r^2) = \frac{q(t)}{\varepsilon_0 A} \times (\pi r^2) = \frac{q(t)}{\varepsilon_0 \pi} \times \pi (0.5)^2 = \frac{q(t)}{4 \varepsilon_0}$ છે.
સ્થાનાંતર પ્રવાહ $i_d = \varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt} = \varepsilon_0 \frac{d}{dt} \left( \frac{q(t)}{4 \varepsilon_0} \right) = \frac{1}{4} \frac{dq}{dt}$ છે.
કારણ કે $\frac{dq}{dt} = \frac{d}{dt} [CV(1 - e^{-t/\tau})] = \frac{CV}{\tau} e^{-t/\tau} = \frac{V}{R} e^{-t/\tau}$,$t = 10^{-3} \; s$ (જે $t = \tau$ છે) સમયે,$\frac{dq}{dt} = \frac{2 \; V}{10^6 \; \Omega} e^{-1} = 2 \times 10^{-6} e^{-1} \; A$ થાય.
આમ,$i_d = \frac{1}{4} (2 \times 10^{-6} e^{-1}) = 0.5 \times 10^{-6} e^{-1} \; A$ મળે.
એમ્પિયર-મેક્સવેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\oint B \cdot dl = \mu_0 i_d \implies B(2 \pi r) = \mu_0 i_d$ મળે.
$B = \frac{\mu_0 i_d}{2 \pi (0.5)} = \frac{\mu_0 i_d}{\pi} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 0.5 \times 10^{-6} \times e^{-1}}{\pi} = 2 \times 10^{-13} \times e^{-1} \; T$ મળે.
$e^{-1} \approx 0.3678$ લેતા,$B \approx 2 \times 10^{-13} \times 0.3678 \approx 0.7356 \times 10^{-13} \; T \approx 0.74 \times 10^{-13} \; T$ મળે.

(N/A) દરેક વર્તુળાકાર પ્લેટની ત્રિજ્યા,$r = 12 \; cm = 0.12 \; m$
પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર,$d = 5 \; cm = 0.05 \; m$
ચાર્જિંગ પ્રવાહ,$I = 0.15 \; A$
શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી,$\varepsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12} \; C^{2} \; N^{-1} \; m^{-2}$
$(a)$ કેપેસિટન્સ $C$ એ $C = \frac{\varepsilon_{0} A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = \pi r^{2}$.
$C = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times \pi \times (0.12)^{2}}{0.05} \approx 8.0032 \times 10^{-12} \; F = 80.032 \; pF$.
$q = CV$ હોવાથી,સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $\frac{dq}{dt} = C \frac{dV}{dt}$ મળે.
આપેલ છે કે $\frac{dq}{dt} = I$,તેથી $\frac{dV}{dt} = \frac{I}{C} = \frac{0.15}{80.032 \times 10^{-12}} \approx 1.87 \times 10^{9} \; V/s$.
$(b)$ પ્લેટો વચ્ચેનો સ્થાનાંતર પ્રવાહ $i_{d}$ એ વાયરમાં વહેતા વહન પ્રવાહ $I$ જેટલો જ હોય છે. તેથી,$i_{d} = 0.15 \; A$.
$(c)$ હા,જો આપણે કુલ પ્રવાહને વહન પ્રવાહ અને સ્થાનાંતર પ્રવાહના સરવાળા તરીકે લઈએ,તો કેપેસિટરની દરેક પ્લેટ પર કિર્ચોફનો પ્રથમ નિયમ માન્ય છે.

(N/A) દરેક વર્તુળાકાર પ્લેટની ત્રિજ્યા,$R = 6.0 \; cm = 0.06 \; m$
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ,$C = 100 \; pF = 100 \times 10^{-12} \; F$
સપ્લાય વોલ્ટેજ,$V = 230 \; V$
કોણીય આવૃત્તિ,$\omega = 300 \; rad \; s^{-1}$
$(a)$ વહન પ્રવાહનું rms મૂલ્ય $I = \frac{V}{X_C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_C = \frac{1}{\omega C}$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ છે.
તેથી,$I = V \omega C = 230 \times 300 \times 100 \times 10^{-12} \; A = 6.9 \times 10^{-6} \; A = 6.9 \; \mu A$.
$(b)$ હા,પરિપથમાં વહન પ્રવાહ એ સ્થાનાંતર પ્રવાહ જેટલો જ હોય છે.
$(c)$ પ્લેટોની વચ્ચે અક્ષથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 r}{2 \pi R^2} I_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0 = \sqrt{2} I$ એ મહત્તમ પ્રવાહ છે.
અહીં $r = 3.0 \; cm = 0.03 \; m$ અને $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \; T \; m \; A^{-1}$ છે.
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 0.03 \times \sqrt{2} \times 6.9 \times 10^{-6}}{2 \pi \times (0.06)^2} \approx 1.63 \times 10^{-11} \; T$.

(B) એમ્પીયરનો સર્કિટલ નિયમ,તેના મૂળ સ્વરૂપમાં,જણાવે છે કે $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_c$,જ્યાં $I_c$ એ વહન પ્રવાહ (conduction current) છે.
મેક્સવેલે અવલોકન કર્યું કે આ નિયમ અસ્થિર પ્રવાહો માટે અસંગત હતો,જેમ કે ચાર્જિંગ કેપેસિટરમાં,જ્યાં ડાયલેક્ટ્રિકમાંથી પ્રવાહ સતત વહેતો નથી.
આ ક્ષતિને દૂર કરવા માટે,મેક્સવેલે સૂચવ્યું કે સમય સાથે બદલાતું વિદ્યુતક્ષેત્ર ચુંબકીય ક્ષેત્રના સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે,જે રીતે વહન પ્રવાહ કાર્ય કરે છે.
તેમણે 'સ્થાનાંતર પ્રવાહ' (displacement current) $(I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt})$ નામનો નવો પદ ઉમેર્યો.
આમ,સુધારેલ એમ્પીયર-મેક્સવેલ નિયમ $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 (I_c + I_d)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(N/A) મેક્સવેલના સમીકરણો એ ચાર મૂળભૂત સમીકરણોનો સમૂહ છે જે વર્ણવે છે કે વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો કેવી રીતે વિદ્યુતભારો,પ્રવાહો અને એકબીજા દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. આ સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$(1)$ વિદ્યુત માટે ગૌસનો નિયમ: $\oint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{A} = \frac{Q}{\epsilon_{0}}$
$(2)$ ચુંબકત્વ માટે ગૌસનો નિયમ: $\oint \overrightarrow{B} \cdot d\overrightarrow{A} = 0$
$(3)$ ફેરાડેનો પ્રેરણનો નિયમ: $\oint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{l} = -\frac{d\Phi_{B}}{dt}$
$(4)$ એમ્પીયર-મેક્સવેલનો નિયમ: $\oint \overrightarrow{B} \cdot d\overrightarrow{l} = \mu_{0} i_{C} + \mu_{0} \epsilon_{0} \frac{d\Phi_{E}}{dt}$
આ સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને અને લોરેન્ટ્ઝ બળના નિયમ સાથે,વિદ્યુતચુંબકત્વના તમામ મૂળભૂત સિદ્ધાંતોને ગાણિતિક રીતે રજૂ કરી શકાય છે.

(N/A) મેક્સવેલના સમીકરણોનું સૌથી મહત્વનું તારણ એ છે કે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનું અસ્તિત્વ છે,જે અવકાશમાં સમય સાથે બદલાતા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના સંયુક્ત પ્રસરણને દર્શાવે છે.
સમય સાથે બદલાતા આ ક્ષેત્રોના પ્રસરણને કારણે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો ઉત્પન્ન થાય છે,જે અવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ એટલે કે $c = 3 \times 10^{8} \text{ m/s}$ ની ઝડપે ગતિ કરે છે.
આમ,મેક્સવેલે વિદ્યુત,ચુંબકીય અને પ્રકાશીય ક્ષેત્રો વચ્ચેનો પાયાનો સંબંધ સ્થાપિત કર્યો.
$1887$ માં વૈજ્ઞાનિક હેનરિક હર્ટ્ઝે પ્રયોગશાળામાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો ઉત્પન્ન કરીને મેક્સવેલની સૈદ્ધાંતિક આગાહીઓને સાબિત કરી. આ ટેકનોલોજીના ઉપયોગે આધુનિક સંચાર વ્યવસ્થામાં ક્રાંતિ લાવી છે.

(A) મૂળ એમ્પીયરનો સર્કિટલ નિયમ $\oint B \cdot dl = \mu_0 I_c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_c$ એ વહન પ્રવાહ છે.
મેક્સવેલે અવલોકન કર્યું કે આ નિયમ અસ્થિર પ્રવાહો માટે અસંગત હતો,જેમ કે ચાર્જિંગ કેપેસિટરમાં.
તેમણે સૂચવ્યું કે બદલાતું વિદ્યુત ક્ષેત્ર એક પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે,જેને તેમણે સ્થાનાંતર પ્રવાહ (displacement current) કહ્યો,જે $I_d = \epsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આમ,સુધારેલ મેક્સવેલ-એમ્પીયર નિયમ $\oint B \cdot dl = \mu_0 (I_c + I_d)$ છે.
તેથી,મેક્સવેલ દ્વારા ઓળખવામાં આવેલ ખૂટતું પદ સ્થાનાંતર પ્રવાહ છે.

(A) મેક્સવેલના સમીકરણો એ ચાર મૂળભૂત સમીકરણોનો સમૂહ છે જે વર્ણવે છે કે વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો કેવી રીતે વીજભાર,પ્રવાહ અને એકબીજા દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. આ સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$1$. વિદ્યુત માટે ગૌસનો નિયમ: $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$
$2$. ચુંબકત્વ માટે ગૌસનો નિયમ: $\oint B \cdot dA = 0$
$3$. ફેરાડેનો પ્રેરણનો નિયમ: $\oint E \cdot dl = -\frac{d\Phi_B}{dt}$
$4$. એમ્પીયર-મેક્સવેલનો નિયમ: $\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{enclosed} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) $1887$ માં,જર્મન ભૌતિકશાસ્ત્રી $Heinrich \text{ } Hertz$ એ પ્રયોગશાળામાં સૌપ્રથમ વખત સફળતાપૂર્વક વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો ઉત્પન્ન કર્યા અને તેનું સંસૂચન કર્યું. આ પ્રયોગે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના અસ્તિત્વ અને પ્રકાશની ઝડપે તેમના પ્રસરણ અંગે $James \text{ } Clerk \text{ } Maxwell$ દ્વારા કરવામાં આવેલી સૈદ્ધાંતિક આગાહીઓની પુષ્ટિ કરી.

(N/A) મેક્સવેલે તાર્કિક રીતે દર્શાવ્યું હતું કે બદલાતા વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા ચુંબકીય ક્ષેત્ર મેળવી શકાય છે. આ ઘટના ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે.
ઐતિહાસિક રીતે, આ ઘટના સૌપ્રથમ ઓર્સ્ટેડ દ્વારા દર્શાવવામાં આવી હતી, જેઓ ભૌતિકવિજ્ઞાનના શિક્ષક હતા.
આ ઘટના રેડિયો તરંગો, ગામા તરંગો, વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો અને વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના અન્ય સ્વરૂપોને સમજાવે છે.
બદલાતા વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા ચુંબકીય ક્ષેત્રનું નિર્માણ એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરીને કેપેસિટરના ચાર્જિંગ દ્વારા સમજાવી શકાય છે.

(N/A) જ્યારે ચાર્જિંગ કેપેસિટરને ઘેરતા લૂપ પર એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, ત્યારે આપણને વિરોધાભાસ જોવા મળે છે.
આકૃતિ $(a)$ માં દર્શાવ્યા મુજબ કેપેસિટર પ્લેટોની બહાર $r$ ત્રિજ્યાનું લૂપ ધ્યાનમાં લો. એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરતા $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 i(t)$ મળે છે, જે શૂન્યતર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i(t)}{2\pi r}$ આપે છે.
હવે, આ જ લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલી સપાટી ધ્યાનમાં લો જે કેપેસિટર પ્લેટો વચ્ચેના વિસ્તારમાંથી પસાર થાય છે, જે આકૃતિ $(b)$ અને $(c)$ માં દર્શાવેલ છે. પ્લેટો વચ્ચે કોઈ વહન પ્રવાહ વહેતો ન હોવાથી, આ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રવાહ શૂન્ય છે $(\sum I = 0)$.
આ સપાટી માટે એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરતા $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 (0) = 0$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $B = 0$.
આ એક વિરોધાભાસ છે કારણ કે સમાન બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્યતર અને શૂન્ય બંને ન હોઈ શકે. આ અસંગતતાને કારણે મેક્સવેલે નિયમને પૂર્ણ કરવા માટે સ્થાનાંતર પ્રવાહ $i_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ ના અસ્તિત્વનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો.

(N/A) એમ્પીયરનો સર્કિટલ નિયમ જણાવે છે કે $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I$. જોકે,સમય સાથે બદલાતા વિદ્યુતક્ષેત્રો માટે,જેમ કે ચાર્જિંગ કેપેસિટરની અંદર,આ નિયમ અસંગત છે.
ધારો કે $A$ ક્ષેત્રફળ અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતું સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર છે. પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0} = \frac{Q}{A \epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપેસિટરની અંદર $A$ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E = E A = \left( \frac{Q}{A \epsilon_0} \right) A = \frac{Q}{\epsilon_0}$ છે.
તેથી,$Q = \epsilon_0 \Phi_E$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dQ}{dt} = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ મળે છે.
વહન પ્રવાહ $I_c = \frac{dQ}{dt}$ હોવાથી,આપણે સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d$ ને $I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.
વ્યાખ્યા: સ્થાનાંતર પ્રવાહ એ એવો પ્રવાહ છે જે વાસ્તવિક વિદ્યુતભાર વાહકોની ગેરહાજરીમાં પણ કોઈ વિસ્તારમાં સમય સાથે બદલાતા વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે ઉદ્ભવે છે.
$SI$ એકમ: સ્થાનાંતર પ્રવાહનો $SI$ એકમ એમ્પીયર $(A)$ છે.

(N/A) સ્થાનભ્રંશ પ્રવાહ વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના નિયમોને વધુ સપ્રમાણ રીતે રજૂ કરવાની મંજૂરી આપે છે.
ફેરાડેનો વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણનો નિયમ જણાવે છે કે સમય સાથે બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર વિદ્યુત ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
એમ્પીયરના નિયમમાં મેક્સવેલનું સંશોધન (એમ્પીયર-મેક્સવેલ નિયમ) જણાવે છે કે સમય સાથે બદલાતું વિદ્યુત ક્ષેત્ર (જે સ્થાનભ્રંશ પ્રવાહ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે) ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
આમ,સમય સાથે બદલાતા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો એકબીજાને ઉત્પન્ન કરે છે.
વિદ્યુતચુંબકત્વના નિયમોમાં આ સપ્રમાણતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના અસ્તિત્વની આગાહી તરફ દોરી જાય છે,જે અવકાશમાં વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના સ્વ-ટકાઉ દોલનો તરીકે પ્રસરણ પામે છે.

(N/A) $(1)$ વિદ્યુત માટે ગૌસનો નિયમ: $\oint \overrightarrow{E} \cdot d \overrightarrow{A} = \frac{Q}{\epsilon_{0}}$
$(2)$ ચુંબકત્વ માટે ગૌસનો નિયમ: $\oint \overrightarrow{B} \cdot d \overrightarrow{A} = 0$
$(3)$ ફેરાડેનો નિયમ: $\oint \overrightarrow{E} \cdot d \vec{l} = -\frac{d \Phi_{B}}{d t}$
$(4)$ એમ્પીયર-મેક્સવેલનો નિયમ: $\oint \overrightarrow{B} \cdot d \vec{l} = \mu_{0} i_{c} + \mu_{0} \epsilon_{0} \frac{d \Phi_{E}}{d t}$
જ્યાં:
$\overrightarrow{E} = \text{વિદ્યુત ક્ષેત્ર}$
$\overrightarrow{B} = \text{ચુંબકીય ક્ષેત્ર}$
$d \overrightarrow{A} = \text{ક્ષેત્રફળ ખંડ}$
$d \vec{l} = \text{લંબાઈનો ખંડ}$
$\frac{d \Phi_{B}}{d t} = \text{ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફારનો દર}$
$\frac{d \Phi_{E}}{d t} = \text{વિદ્યુત ફ્લક્સમાં ફેરફારનો દર}$
$i_{c} = \text{વહન પ્રવાહ}$
$i_{d} = \epsilon_{0} \frac{d \Phi_{E}}{d t} = \text{સ્થાનાંતર પ્રવાહ}$
$\mu_{0} = \text{શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી}$