Properties of Electromagnetic Waves Questions in Gujarati

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ અને વિદ્યુતક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $E_0$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $I = \frac{1}{2} \epsilon_0 c E_0^2$.
$E_0$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $E_0 = \sqrt{\frac{2I}{\epsilon_0 c}}$.
આપેલ છે: $I = \frac{500}{\pi} \, W/m^2$,$\epsilon_0 = \frac{1}{36\pi \times 10^9} \, F/m$,અને $c = 3 \times 10^8 \, m/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$E_0 = \sqrt{\frac{2 \times (500/\pi)}{(1 / (36\pi \times 10^9)) \times 3 \times 10^8}}$
$E_0 = \sqrt{\frac{1000}{\pi} \times \frac{36\pi \times 10^9}{3 \times 10^8}}$
$E_0 = \sqrt{1000 \times 12 \times 10} = \sqrt{120000} = \sqrt{12 \times 10^4} = 2\sqrt{3} \times 10^2 \, N/C$.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર $I = \frac{B_0^2}{2\mu_0} c$ છે,જ્યાં $B_0$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મહત્તમ મૂલ્ય છે,$\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી $(4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A})$ છે,અને $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ $(3 \times 10^8 \text{ m/s})$ છે.
અહીં $B_0 = 100 \text{ nT} = 100 \times 10^{-9} \text{ T} = 10^{-7} \text{ T}$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{(10^{-7})^2}{2 \times 4\pi \times 10^{-7}} \times 3 \times 10^8$
$I = \frac{10^{-14}}{8\pi \times 10^{-7}} \times 3 \times 10^8$
$I = \frac{3 \times 10^{-14} \times 10^8}{8\pi \times 10^{-7}}$
$I = \frac{3 \times 10^{-6}}{8\pi \times 10^{-7}} = \frac{30}{8\pi} = \frac{15}{4\pi} \approx 1.1936 \text{ W/m}^2$.
આમ,તીવ્રતા આશરે $1.2 \text{ W/m}^2$ મળે છે.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,મહત્તમ વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા $(E_0)$ અને મહત્તમ ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા $(B_0)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $B_0 = \frac{E_0}{c}$,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે $(c \approx 3 \times 10^8 \, m/s)$.
આપેલ છે: $E_0 = 10^{-4} \, V/m$.
કિંમતો મૂકતા: $B_0 = \frac{10^{-4}}{3 \times 10^8} \, T$.
$B_0 = \frac{1}{3} \times 10^{-12} \, T = 0.333 \times 10^{-12} \, T = 3.33 \times 10^{-13} \, T$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,વિદ્યુતક્ષેત્રની સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા $\langle u_E \rangle$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા $\langle u_B \rangle$ જેટલી હોય છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રની સરેરાશ ઉર્જા ઘનતાનું સૂત્ર $\langle u_E \rangle = \frac{1}{4} \varepsilon_0 E_0^2$ છે.
અહીં,કંપનવિસ્તાર $E_0 = 2 \, V/m$ અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, F/m$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\langle u_B \rangle = \langle u_E \rangle = \frac{1}{4} \times (8.85 \times 10^{-12}) \times (2)^2$
$\langle u_B \rangle = \frac{1}{4} \times 8.85 \times 10^{-12} \times 4$
$\langle u_B \rangle = 8.85 \times 10^{-12} \, J/m^3$.

(B) બિંદુવત સ્ત્રોતથી $R$ અંતરે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગની તીવ્રતા $I = \frac{P}{4 \pi R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વળી,મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_0$ ના સંદર્ભમાં તીવ્રતા $I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c$ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{P}{4 \pi R^2} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c$.
$E_0$ માટે ઉકેલતા: $E_0 = \sqrt{\frac{P}{2 \pi R^2 \varepsilon_0 c}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $P = 800\,W$,$R = 4.0\,m$,$\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\,F/m$,અને $c = 3 \times 10^8\,m/s$.
$E_0 = \sqrt{\frac{800}{2 \times 3.1416 \times (4.0)^2 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8}}$.
$E_0 = \sqrt{\frac{800}{133.27 \times 10^{-4}}} \approx \sqrt{60028.5} \approx 54.77\,V/m$.

(B) સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $\vec E = E_0 \cos(ky + \omega t)\hat i$ અથવા $\vec E = E_0 \cos(ky - \omega t)\hat i$ છે.
આપેલ સમીકરણ $\vec E = 3\cos(1.8y + 5.4 \times 10^8 t)\hat i$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\vec E = E_0 \cos(ky + \omega t)\hat i$ સાથે સરખાવતા, આપણને તરંગ સદિશ $k = 1.8 \, \text{rad/m}$ મળે છે.
$ky$ અને $\omega t$ વચ્ચેનું ધન ચિહ્ન દર્શાવે છે કે તરંગ ઋણ $y$-દિશામાં પ્રસરણ પામે છે, જે એકમ સદિશ $-\hat j$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ ની ગણતરી $\lambda = \frac{2\pi}{k}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.
$k = 1.8$ મૂકતા, આપણને $\lambda = \frac{2 \times 3.14159}{1.8} \approx 3.49 \, \text{m}$ મળે છે, જે આશરે $3.5 \, \text{m}$ છે.
આમ, પ્રસરણની દિશા $-\hat j$ છે અને તરંગલંબાઈ $3.5 \, \text{m}$ છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ એ દોલન કરતા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોનું બનેલું છે જે એકબીજાને અને તરંગ પ્રસરણની દિશાને લંબ હોય છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના ગુણધર્મો અનુસાર,પ્રસરણની દિશા પોઈન્ટિંગ સદિશ $\vec S$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $\vec S = \frac{1}{\mu_0} (\vec E \times \vec B)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
$\mu_0$ એ ધન અચળાંક હોવાથી,તરંગ પ્રસરણની દિશા એ વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\vec E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec B$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) ની દિશામાં જ હોય છે.
તેથી,પ્રસરણની દિશા $\vec E \times \vec B$ છે.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ એકબીજાને પરસ્પર લંબ હોય છે અને તે તરંગના પ્રસરણની દિશાને પણ લંબ હોય છે.
તેથી,વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના સદિશો એકબીજાને સમાંતર હોય છે તે વિધાન ખોટું છે.
વિકલ્પ $D$ સાચો જવાબ છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના પ્રસરણની દિશા $\vec{E} \times \vec{B}$ ના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,પ્રસરણની દિશા ધન $y-$ અક્ષની દિશામાં છે,તેથી દિશા $\hat{j}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ની દિશા ધન $x-$ અક્ષની દિશામાં છે,તેથી દિશા $\hat{i}$ છે.
ધારો કે વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ ની દિશા $\hat{n}$ છે.
તેથી,$\hat{n} \times \hat{i} = \hat{j}$.
કાર્ટેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં એકમ સદિશોના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$.
તેથી,વિદ્યુત ક્ષેત્ર ધન $z-$ અક્ષની દિશામાં કંપન કરે છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I = 6 \, W/m^2$ છે. અરીસાનું ક્ષેત્રફળ $A = 30 \, cm^2 = 30 \times 10^{-4} \, m^2$ છે.
પૂર્ણ પરાવર્તક સપાટી માટે,વિકિરણ દબાણ $P = \frac{2I}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે.
અરીસા પર લાગતું બળ $F = P \times A = \frac{2I}{c} \times A$ છે.
દર સેકન્ડે સ્થાનાંતરિત વેગમાન એ અરીસા પર લાગતા બળ જેટલું હોય છે.
કિંમતો મૂકતા: $F = \frac{2 \times 6 \times 30 \times 10^{-4}}{3 \times 10^8}$.
$F = \frac{360 \times 10^{-4}}{3 \times 10^8} = 120 \times 10^{-12} = 1.2 \times 10^{-10} \, kg \cdot m/s$.

(D) આપેલ છે: $\lambda = 10.6 \times 10^{-6} \, m$,$E_{max} = 1.5 \times 10^6 \, V/m$,પ્રસરણની દિશા $-\hat i$ છે.
$1$. $B_{max}$ ની ગણતરી: $B_{max} = \frac{E_{max}}{c} = \frac{1.5 \times 10^6}{3.0 \times 10^8} = 5.0 \times 10^{-3} \, T$.
$2$. તરંગ સંખ્યા $k$ ની ગણતરી: $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2 \times 3.14159}{10.6 \times 10^{-6}} \approx 5.93 \times 10^5 \, rad/m$.
$3$. કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ ની ગણતરી: $\omega = c k = (3 \times 10^8) \times (5.93 \times 10^5) = 1.78 \times 10^{14} \, rad/s$.
$4$. દિશા નક્કી કરવી: તરંગ $-\hat i$ દિશામાં ગતિ કરે છે. $\vec E$ એ $\hat k$ દિશામાં છે,અને પ્રસરણની દિશા $\vec E \times \vec B$ છે,તેથી $-\hat i = \hat k \times \vec B$. આનો અર્થ એ છે કે $\vec B$ એ $\hat j$ દિશામાં હોવું જોઈએ કારણ કે $\hat k \times \hat j = -\hat i$.
$5$. તરંગ સમીકરણ ઋણ $x-$ દિશા માટે $\cos(kx + \omega t)$ છે. તેથી,$\vec E = \hat k [1.5 \times 10^6 \cos(5.93 \times 10^5 x + 1.78 \times 10^{14} t)]$ અને $\vec B = \hat j [5.0 \times 10^{-3} \cos(5.93 \times 10^5 x + 1.78 \times 10^{14} t)]$. સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના પ્રસરણની દિશા પોઈન્ટિંગ વેક્ટર $\vec S = \vec E \times \vec B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રસરણનો એકમ સદિશ $\hat k_{prop} = \hat E \times \hat B$ થાય.
અહીં તરંગ $-z$ અક્ષની દિશામાં પ્રસરણ પામે છે,તેથી પ્રસરણની દિશા $-\hat k$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $C$ માટે: $\vec E = E_0 \hat j$ અને $\vec B = B_0 \hat i$.
તેથી $\hat E \times \hat B = \hat j \times \hat i = -\hat k$.
આ પ્રસરણની દિશા $-\hat k$ સાથે સુસંગત છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) મેક્સવેલે તારવ્યું હતું કે શૂન્યાવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના પ્રસરણની ઝડપ મુક્ત અવકાશની પરમીએબિલિટી $\mu_0$ અને પરમિટિવિટી $\epsilon_0$ દ્વારા નીચે મુજબ નક્કી થાય છે:
$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$
જ્યાં $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T m/A}$ અને $\epsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12} \, \text{C}^2 \text{N}^{-1} \text{m}^{-2}$ કિંમતો મૂકતા પ્રકાશની ઝડપ $c \approx 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$ મળે છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો એકબીજાને લંબ અને પ્રસરણની દિશાને લંબ એવા દોલિત વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના બનેલા હોય છે.
શૂન્યાવકાશમાં, તમામ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો તેમની આવૃત્તિ કે તરંગલંબાઇને ધ્યાનમાં લીધા વિના સમાન ઝડપે $c = 3 \times 10^8\, m/s$ ગતિ કરે છે.
શૂન્યાવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની ઝડપ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શૂન્યાવકાશમાં ઝડપ અચળ હોવાથી, આવૃત્તિના આધારે અલગ-અલગ ઝડપે ગતિ કરે છે તે વિધાન ખોટું છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો અવકાશમાં ઉર્જા અને વેગમાન બંનેનું વહન કરે છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,પ્રસરણની દિશા $\vec E \times \vec B$ સદિશની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે તરંગ $+y$ દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી પ્રસરણની દિશા $\hat{j}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E$ એ $+z$ દિશામાં છે,તેથી $\vec E = E_0 \hat{k}$ છે.
ધારો કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec B$ એ $\hat{n}$ દિશામાં છે. તો,$\hat{k} \times \hat{n} = \hat{j}$ થાય.
એકમ સદિશોના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા ($\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,$\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$),આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$ થાય છે.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec B$ એ $+x$ દિશામાં હોવું જોઈએ.

(A) રેખીય રીતે ધ્રુવીભૂત વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ સમાન કળામાં દોલન કરે છે.
આનો અર્થ એ છે કે બંને ક્ષેત્રો એક જ સમયે તેમના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો પ્રાપ્ત કરે છે અને એકસાથે શૂન્ય થાય છે.
જોકે તેઓ અવકાશમાં એકબીજાને લંબ હોય છે,પરંતુ તેમના દોલનો સમયની દ્રષ્ટિએ સુમેળમાં હોય છે.
તેથી,વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશો વચ્ચેનો કળા તફાવત $0$ છે.

(B) તરંગના પ્રસરણની દિશા એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\hat{k}$ દિશામાં ધ્રુવીભૂત છે, તેથી $\vec{E} = E_0 \hat{k} \cos(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ પ્રસરણની દિશા $\hat{n}$ અને વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ બંનેને લંબ હોવું જોઈએ.
આમ, $\vec{B}$ ની દિશા $\hat{n} \times \hat{k} = \left( \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \right) \times \hat{k} = \frac{\hat{j} - \hat{i}}{\sqrt{2}} = - \left( \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}} \right)$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B_0 = \frac{E_0}{c}$ છે.
તરંગ સદિશ $\vec{k}$ નું મૂલ્ય $k = \frac{2\pi v}{c} = \frac{2\pi (3/2\pi \times 10^{12})}{3 \times 10^8} = 10^4 \, m^{-1}$ છે.
આમ, $\vec{B} = \frac{E_0}{c} \left( \frac{\hat{j} - \hat{i}}{\sqrt{2}} \right) \cos \left[ 10^4 \left( \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \right) \cdot \vec{r} - (2\pi v)t \right]$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, વિકલ્પ $B$ જરૂરી દિશા અને તરંગ સદિશ સાથે મેળ ખાય છે.

(A) સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E(z, t) = E_0 \sin(kz - \omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = t_1$ સમયે,$z = z_1$ પર $E = 0$ છે,તેથી $\sin(kz_1 - \omega t_1) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $kz_1 - \omega t_1 = n\pi$ (જ્યાં $n$ પૂર્ણાંક છે).
તેની નજીકમાં આવતું આગામી શૂન્ય $z_2$ પર છે,તેથી $kz_2 - \omega t_1 = (n \pm 1)\pi$.
આ સમીકરણોની બાદબાકી કરતા $k(z_2 - z_1) = \pm \pi$ મળે છે.
$k = \frac{2\pi}{\lambda}$ હોવાથી,$\frac{2\pi}{\lambda} |z_2 - z_1| = \pi$,જેનું સાદું રૂપ $\lambda = 2|z_2 - z_1|$ થાય છે.
આવૃત્તિ $f = \frac{c}{\lambda}$ છે,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
કિંમત મૂકતા,$f = \frac{3 \times 10^8}{2|z_2 - z_1|}$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ અને વિદ્યુતક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $E_0$ વચ્ચેનો સંબંધ $I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 c E_0^2$ છે.
તેથી,$E_0 = \sqrt{\frac{2I}{\varepsilon_0 c}}$ મળે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B_0 = \frac{E_0}{c}$ છે.
તરંગનું પ્રસરણ $\vec E \times \vec B$ ની દિશામાં હોય છે. પ્રસરણ ધન $Y$-દિશા $(\hat j)$ માં હોવાથી,વિકલ્પ $C$ માટે તપાસતા: $\hat k \times \hat i = \hat j$. આ પ્રસરણની દિશા સાથે સુસંગત છે. તેથી,સાચું સમીકરણ $\vec E = E_0 \cos[\frac{2\pi}{\lambda}(y - ct)] \hat k$ અને $\vec B = \frac{E_0}{c} \cos[\frac{2\pi}{\lambda}(y - ct)] \hat i$ છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $(E_0)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_0)$ ના કંપવિસ્તાર વચ્ચેનો સંબંધ $E_0 = c B_0$ છે.
તરંગ ઋણ $x$-દિશામાં પ્રસરણ પામે છે (જે $kx + \omega t$ દ્વારા સૂચવાય છે),તેથી પ્રસરણની દિશા $\vec E \times \vec B$ ના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે.
પ્રસરણની દિશા $-\hat i$ છે.
આપેલ છે કે $\vec B$ એ $\hat j$ દિશામાં છે,તેથી $\vec E \times (B_0 \hat j) \propto -\hat i$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat k \times \hat j = -\hat i$,તેથી વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\hat k$ દિશામાં હોવું જોઈએ.
આમ,$\vec E = E_0 \sin(kx + \omega t) \hat k = B_0 c \sin(kx + \omega t) \hat k \ V/m$.

(C) આપેલ છે કે,મોનોક્રોમેટિક રેડિયેશનનો વિદ્યુતક્ષેત્ર ઘટક $\vec E = 2E_0 \hat i \cos kz \cos \omega t$ છે.
મેક્સવેલના સમીકરણો મુજબ,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec B$ વચ્ચેનો સંબંધ $\nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t}$ છે.
$z$-દિશામાં પ્રસરતા તરંગ માટે,જ્યાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $x$-દિશામાં છે,ત્યારે આ સંબંધ $\frac{\partial E_x}{\partial z} = -\frac{\partial B_y}{\partial t}$ તરીકે લખી શકાય.
$E_x$ નું $z$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial E_x}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (2E_0 \cos kz \cos \omega t) = -2E_0 k \sin kz \cos \omega t$.
આ કિંમતને સંબંધમાં મૂકતા: $-2E_0 k \sin kz \cos \omega t = -\frac{\partial B_y}{\partial t}$.
તેથી,$\frac{\partial B_y}{\partial t} = 2E_0 k \sin kz \cos \omega t$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$B_y = \int 2E_0 k \sin kz \cos \omega t \, dt = 2E_0 k \sin kz \left( \frac{\sin \omega t}{\omega} \right) = \frac{2E_0 k}{\omega} \sin kz \sin \omega t$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $c = \frac{\omega}{k}$,તેથી $\frac{k}{\omega} = \frac{1}{c}$.
આમ,$B_y = \frac{2E_0}{c} \sin kz \sin \omega t$.
તરંગના પ્રસરણની દિશા $z$-અક્ષ છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $x$-અક્ષ પર છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $y$-અક્ષ $(\hat j)$ પર હશે.
તેથી,$\vec B = \frac{2E_0}{c} \hat j \sin kz \sin \omega t$.

(A) માઇક્રોવેવ ઓવન એવા આવર્તન (frequency) પર વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો ઉત્પન્ન કરીને કાર્ય કરે છે જે પાણીના અણુઓની અનુનાદ આવર્તન (resonant frequency) સાથે મેળ ખાય છે. આ તરંગો પાણીના અણુઓને ઝડપથી પરિભ્રમણ કરાવે છે,જેનાથી તેમની પરિભ્રમણીય ગતિઊર્જા વધે છે. આ ઊર્જા અથડામણો દ્વારા ખોરાકના અન્ય અણુઓમાં સ્થાનાંતરિત થાય છે,જેના પરિણામે ખોરાક ગરમ થાય છે. તેથી,મુખ્ય સિદ્ધાંત પાણીના અણુઓમાં પરિભ્રમણીય મોડ્સને ઉત્તેજિત કરવાનો છે.

(D) $+x$ દિશામાં પ્રસરતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ $(x, t)$ ના વિધેયો હોવા જોઈએ.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,પ્રસરણની દિશા પોઇન્ટિંગ વેક્ટર $\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} (\vec{E} \times \vec{B})$ ની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$+x$ દિશામાં પ્રસરણ માટે,$\vec{E} \times \vec{B}$ એ $+x$ દિશામાં હોવું જોઈએ.
વિકલ્પ $D$ માં,$\vec{E} \propto (\hat{y} - \hat{z})$ અને $\vec{B} \propto (\hat{y} + \hat{z})$ છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $(\hat{y} - \hat{z}) \times (\hat{y} + \hat{z}) = (\hat{y} \times \hat{y}) + (\hat{y} \times \hat{z}) - (\hat{z} \times \hat{y}) - (\hat{z} \times \hat{z}) = 0 + \hat{x} - (-\hat{x}) - 0 = 2\hat{x}$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું પરિણામ $+x$ દિશામાં હોવાથી,આ એક માન્ય વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ દર્શાવે છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $B_0 = \frac{E_0}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $E_0 = 27 \, Vm^{-1}$ અને $c = 3 \times 10^8 \, ms^{-1}$,તેથી $B_0 = \frac{27}{3 \times 10^8} = 9 \times 10^{-8} \, T$.
તરંગ $x-$ દિશામાં ગતિ કરતું હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $y-z$ સમતલમાં દોલન કરશે. તેથી,તેની દિશા $\hat{j}$ અથવા $\hat{k}$ હોઈ શકે છે.
તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2\pi f}{c} = \frac{2\pi \times 2 \times 10^{14}}{3 \times 10^8} = \frac{4\pi}{3} \times 10^6 \approx 4.19 \times 10^6 \, m^{-1}$.
વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,સાઈન વિધેયની અંદરનું પદ $2\pi (\frac{x}{\lambda} - ft)$ છે. અહીં $\frac{1}{\lambda} = \frac{f}{c} = \frac{2 \times 10^{14}}{3 \times 10^8} \approx 1.5 \times 10^{-6} \, m^{-1}$.
આમ,સાચું સ્વરૂપ $\vec{B}(x, t) = (9 \times 10^{-8} \, T) \hat{k} \sin [2\pi (1.5 \times 10^{-6} \, x - 2 \times 10^{14} \, t)]$ છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ પરસ્પર લંબ હોય છે,એટલે કે $\vec{E} \cdot \vec{B} = 0$.
વધુમાં,તરંગના પ્રસરણની દિશા $\vec{E} \times \vec{B}$ ની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $z$-દિશામાં (એટલે કે $\hat{k}$) હોવી જોઈએ.
વિકલ્પ $(b)$ તપાસતા:
$\vec{E} \cdot \vec{B} = (-2\hat{i} - 3\hat{j}) \cdot (3\hat{i} - 2\hat{j}) = (-2)(3) + (-3)(-2) = -6 + 6 = 0$.
$\vec{E} \times \vec{B} = (-2\hat{i} - 3\hat{j}) \times (3\hat{i} - 2\hat{j}) = 4(\hat{i} \times \hat{j}) - 9(\hat{j} \times \hat{i}) = 4\hat{k} - 9(-\hat{k}) = 4\hat{k} + 9\hat{k} = 13\hat{k}$.
પરિણામ $z$-દિશામાં હોવાથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(C) આપેલ છે: વિદ્યુતક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર,$E_0 = 4 \, V/m$.
શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી,$\varepsilon_0 = 8.8 \times 10^{-12} \, C^2/N \cdot m^2$.
વિદ્યુતક્ષેત્રની સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા $(u_E)$ શોધવા માટેનું સૂત્ર:
$u_E = \frac{1}{4} \varepsilon_0 E_0^2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$u_E = \frac{1}{4} \times (8.8 \times 10^{-12}) \times (4)^2$
$u_E = \frac{1}{4} \times 8.8 \times 10^{-12} \times 16$
$u_E = 2.2 \times 16 \times 10^{-12} = 35.2 \times 10^{-12} \, J/m^3$.

(B) લેમ્પ દ્વારા ઉત્સર્જિત વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણનો પાવર $P = 100\,W \times 0.03 = 3\,W$ છે.
$r = 5\,m$ અંતરે તીવ્રતા $I$ એ $I = \frac{P}{4\pi r^2} = \frac{3}{4\pi (5)^2} = \frac{3}{100\pi}\,W/m^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તીવ્રતા અને વિદ્યુતક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $E_0$ વચ્ચેનો સંબંધ $I = \frac{1}{2} c \varepsilon_0 E_0^2$ છે.
$E_0$ માટે સૂત્ર બનાવતા,આપણને $E_0 = \sqrt{\frac{2I}{c \varepsilon_0}}$ મળે છે.
$c = 3 \times 10^8\,m/s$ અને $\varepsilon_0 = \frac{1}{4\pi \times 9 \times 10^9}$ કિંમતો મૂકતા,આપણને $E_0 = \sqrt{\frac{2 \times (3 / 100\pi)}{(3 \times 10^8) \times (1 / (4\pi \times 9 \times 10^9))}}$ મળે છે.
પદનું સાદું રૂપ આપતા: $E_0 = \sqrt{\frac{6}{100\pi} \times (4\pi \times 9 \times 10^9) / (3 \times 10^8)} = \sqrt{\frac{6 \times 36 \times 10^9}{100 \times 3 \times 10^8}} = \sqrt{\frac{216 \times 10}{300}} = \sqrt{7.2} \approx 2.68\,V/m$.

(B) તરંગનું આપેલ સમીકરણ $\vec{E} = \vec{E}_0 \sin(4 \times 10^7 x - 50t)$ છે.
સામાન્ય તરંગ સમીકરણ $\vec{E} = \vec{E}_0 \sin(kx - \omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\omega = 50 \times 10^7 \text{ rad/s}$ અને $k = 4 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$.
માધ્યમમાં તરંગનો વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{50 \times 10^7}{4 \times 10^7} = 12.5 \text{ m/s}$.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,$v = \frac{c}{n} = \frac{c}{\sqrt{\epsilon_r \mu_r}}$. માધ્યમ બિન-ચુંબકીય હોવાથી,$\mu_r = 1$,તેથી $v = \frac{c}{\sqrt{\epsilon_r}}$.
વિકલ્પો જોતા,જો $n = 2.4$ હોય,તો $\epsilon_r = n^2 = (2.4)^2 = 5.76 \approx 5.8$ થાય.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોને પ્રસરવા માટે કોઈ માધ્યમની જરૂર હોતી નથી; તેઓ શૂન્યાવકાશમાં મુસાફરી કરી શકે છે.
તેઓ સ્વભાવે લંબગત (transverse) છે,જેનો અર્થ છે કે વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના દોલનો તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ હોય છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો પ્રવેગિત વિદ્યુતભારો દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે,સમાન વેગથી ગતિ કરતા વિદ્યુતભારો દ્વારા નહીં.
તેઓ અવકાશમાં પ્રસરણ દરમિયાન ઉર્જા અને વેગમાન બંનેનું વહન કરે છે,જે આ તરંગોનો મૂળભૂત ગુણધર્મ છે.

(C) રેડિયો તરંગોની તરંગલંબાઇ માઇક્રોવેવ્સ કરતા વધારે હોય છે. આવૃત્તિ $f$ એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(f = c/\lambda)$,રેડિયો તરંગોની આવૃત્તિ માઇક્રોવેવ્સ કરતા ઓછી હોય છે. તેથી,વિધાન-$2$ ખોટું છે.
જ્યારે તરંગની તરંગલંબાઇ અવરોધ અથવા છિદ્રના કદ જેટલી હોય ત્યારે વિવર્તન વધુ સ્પષ્ટ થાય છે. રેડિયો તરંગોની તરંગલંબાઇ માઇક્રોવેવ્સ કરતા મોટી હોવાથી,તેઓ વધુ વિવર્તન અનુભવે છે. તેથી,વિધાન-$1$ સાચું છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં, વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ અને તરંગના પ્રસરણની દિશા $\vec{k}$ પરસ્પર લંબ હોય છે.
આપેલ છે કે તરંગ $+y$ દિશામાં પ્રસરણ પામે છે, તેથી તરંગ સદિશ $y$-અક્ષની દિશામાં છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ $+x$ અક્ષની દિશામાં છે.
તરંગના પ્રસરણની દિશા વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના સદિશ ગુણાકાર $(\vec{E} \times \vec{B} \propto \vec{v})$ દ્વારા મળે છે, તેથી $\hat{E} \times \hat{x} = \hat{y}$.
આ સૂચવે છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $z$-અક્ષની દિશામાં હોવું જોઈએ (કારણ કે $\hat{z} \times \hat{x} = \hat{y}$).
$+y$ દિશામાં ગતિ કરતા તરંગ માટે, ફેઝ પદ $(\omega t - ky)$ છે, જ્યાં $k = \frac{2\pi}{\lambda}$.
તેથી, વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E} = E_0 \cos \left( \omega t - \frac{2\pi}{\lambda} y \right) \hat{z}$ છે.

(D) આપેલ આવૃત્તિ $v = 830 \, kHz = 830 \times 10^3 \, Hz$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $B_0 = 4.82 \times 10^{-11} \, T$.
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \, m/s$.
$1$. તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ ની ગણતરી:
$\lambda = \frac{c}{v} = \frac{3 \times 10^8}{830 \times 10^3} = \frac{3000}{83} \approx 361.4 \, m \approx 360 \, m$.
$2$. વિદ્યુત ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $(E_0)$ ની ગણતરી:
સંબંધ $E_0 = B_0 c$ નો ઉપયોગ કરતા,
$E_0 = (4.82 \times 10^{-11} \, T) \times (3 \times 10^8 \, m/s)$,
$E_0 = 14.46 \times 10^{-3} \, N/C \approx 0.014 \, N/C$.
આમ,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $0.014 \, N/C$ અને તરંગલંબાઇ $360 \, m$ છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે, વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = cB$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $c$ એ મુક્ત અવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે $(c = 3 \times 10^8\, m/s)$.
તેથી, $B = \frac{E}{c} = \frac{6.3}{3 \times 10^8} = 2.1 \times 10^{-8}\, T$.
તરંગના પ્રસરણની દિશા $\vec{E} \times \vec{B}$ સદિશ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તરંગ $+x$ દિશામાં $(\hat i)$ ગતિ કરે છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $+y$ દિશામાં $(\hat j)$ છે, તેથી $\hat i = \hat j \times \hat B$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ની દિશા $+z$ દિશા $(\hat k)$ માં હોવી જોઈએ, કારણ કે $\hat j \times \hat k = \hat i$ થાય છે.
આમ, $\vec{B} = 2.1 \times 10^{-8}\,\hat k\,T$ મળે છે.

(D) મુક્ત અવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્રની ઉર્જા ઘનતા $U_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની ઉર્જા ઘનતા $U_B = \frac{B^2}{2 \mu_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંબંધ $B = \frac{E}{c}$ અને $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $U_B$ ના સમીકરણમાં $B$ ની કિંમત મૂકીએ છીએ:
$U_B = \frac{(E/c)^2}{2 \mu_0} = \frac{E^2}{2 \mu_0 c^2}$.
$c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ મૂકતા:
$U_B = \frac{E^2}{2 \mu_0 (1 / \mu_0 \varepsilon_0)} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$.
તેથી,$U_E = U_B$ થાય છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E_0)$ અને મહત્તમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_0)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$E_0 = B_0 \times c$
આપેલ ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમીકરણ પરથી,કંપવિસ્તાર $B_0$ છે:
$B_0 = 100 \times 10^{-6} \, T$
પ્રકાશની ઝડપ $c$ નીચે મુજબ છે:
$c = 3 \times 10^8 \, m/s$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E_0 = (100 \times 10^{-6}) \times (3 \times 10^8)$
$E_0 = 100 \times 3 \times 10^{8-6}$
$E_0 = 300 \times 10^2$
$E_0 = 3 \times 10^4 \, N/C$

(B) આપેલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E(x,z,t) = 10 \hat j \cos(6x + 8z - \omega t)$ છે.
મુક્ત અવકાશમાં તરંગનો વેગ $c = \omega / k$ છે. તરંગ સદિશ $\vec k = 6\hat i + 8\hat k$ છે. તેનું મૂલ્ય $k = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ છે.
તેથી,$\omega = ck = 10c$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E = 10 \hat j \cos(6x + 8z - 10ct)$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $B_0 = E_0 / c = 10/c$ છે.
પ્રસરણની દિશા $\hat n = \vec k / k = (6\hat i + 8\hat k) / 10 = 0.6\hat i + 0.8\hat k$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec B = \frac{1}{c} (\hat n \times \vec E)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec B = \frac{1}{c} [(0.6\hat i + 0.8\hat k) \times 10\hat j] \cos(6x + 8z - 10ct)$.
$\vec B = \frac{1}{c} [6(\hat i \times \hat j) + 8(\hat k \times \hat j)] \cos(6x + 8z - 10ct)$.
કારણ કે $\hat i \times \hat j = \hat k$ અને $\hat k \times \hat j = -\hat i$,આપણને મળે છે:
$\vec B = \frac{1}{c} (6\hat k - 8\hat i) \cos(6x + 8z - 10ct)$.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. માધ્યમમાં પ્રવેશતી વખતે તીવ્રતા અચળ રહેતી હોવાથી,$I_i = I_f$.
તેથી,$\frac{1}{2} \epsilon_0 E_i^2 c = \frac{1}{2} \epsilon E_f^2 v$,જ્યાં $v = \frac{c}{n}$ અને $\epsilon = n^2 \epsilon_0$.
$\epsilon_0 E_i^2 c = (n^2 \epsilon_0) E_f^2 (\frac{c}{n}) \Rightarrow E_i^2 = n E_f^2 \Rightarrow \frac{E_i}{E_f} = \sqrt{n}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટે,$B = \frac{E}{v}$.
$\frac{B_i}{B_f} = \frac{E_i / c}{E_f / v} = \frac{E_i}{E_f} \cdot \frac{v}{c} = \sqrt{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\left( \sqrt{n}, \frac{1}{\sqrt{n}} \right)$ છે.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$I = \frac{\text{Power}}{\text{Area}} = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2 c$
આપેલ છે:
પાવર $P = 27 \times 10^{-3}\, W$
ક્ષેત્રફળ $A = 10 \times 10^{-6}\, m^2$
$\epsilon_0 = 9 \times 10^{-12}\, SI\, \text{એકમ}$
$c = 3 \times 10^8\, m/s$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{27 \times 10^{-3}}{10 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2} \times (9 \times 10^{-12}) \times E_0^2 \times (3 \times 10^8)$
$2700 = \frac{27 \times 10^{-4}}{2} \times E_0^2$
$E_0^2 = \frac{2700 \times 2}{27 \times 10^{-4}} = 200 \times 10^4 = 2 \times 10^6$
$E_0 = \sqrt{2} \times 10^3\, V/m \approx 1.414 \times 10^3\, V/m$
કારણ કે $10^3\, V/m = 1\, kV/m$, તેથી $E_0 \approx 1.4\, kV/m$.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $B_0$ વચ્ચેનો સંબંધ $I = \frac{B_0^2}{2 \mu_0} c$ છે.
અહીં $I = 10^8 \ W/m^2$,$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$,અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ આપેલ છે.
પ્રથમ,મહત્તમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0$ શોધો:
$B_0^2 = \frac{2 \mu_0 I}{c} = \frac{2 \times 4\pi \times 10^{-7} \times 10^8}{3 \times 10^8} = \frac{8\pi}{3} \times 10^{-7} \approx 8.37 \times 10^{-7} \ T^2$.
$B_0 = \sqrt{8.37 \times 10^{-7}} \approx 9.15 \times 10^{-4} \ T$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનું $rms$ મૂલ્ય $B_{rms} = \frac{B_0}{\sqrt{2}}$ છે.
$B_{rms} = \frac{9.15 \times 10^{-4}}{1.414} \approx 6.47 \times 10^{-4} \ T$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,આ મૂલ્ય $10^{-4} \ T$ ની સૌથી નજીક છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના પ્રસરણની દિશા $\overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B}$ ની દિશામાં હોય છે.
અહીં તરંગ $x$-દિશામાં $(\hat{i})$ પ્રસરણ પામે છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $y$-દિશામાં $(\hat{j})$ છે, તેથી:
$\hat{i} = \hat{j} \times \hat{B}$
આનો અર્થ એ છે કે $\hat{B} = \hat{k}$, એટલે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $z$-દિશામાં છે.
મુક્ત અવકાશમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ ના મૂલ્યો વચ્ચેનો સંબંધ $C = \frac{E}{B}$ છે, જ્યાં $C = 3 \times 10^8 \; ms^{-1}$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે.
તેથી, $B = \frac{E}{C} = \frac{6}{3 \times 10^8} = 2 \times 10^{-8} \; T$.
આમ, ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઘટક $z$-દિશામાં $2 \times 10^{-8} \; T$ હશે.

(A) વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E_0 = c B_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$.
આપેલ છે કે $B_0 = 1.6 \times 10^{-6} \times \sqrt{2^2 + 1^2} = 1.6 \times 10^{-6} \times \sqrt{5}$.
તેથી,$E_0 = 3 \times 10^8 \times 1.6 \times 10^{-6} \times \sqrt{5} = 4.8 \times 10^2 \sqrt{5}$.
તરંગ $-\hat k$ ની દિશામાં પ્રસરણ પામે છે (કારણ કે ફેઝ $kz + \omega t$ છે).
પ્રસરણની દિશા $\vec E \times \vec B$ ની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\vec E \cdot \vec B = 0$,સદિશ $\vec E$ એ $(2\hat i + \hat j)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
વિકલ્પ $(A)$ તપાસતા: $\vec E \propto (-\hat i + 2\hat j)$.
ડોટ ગુણાકાર: $(-\hat i + 2\hat j) \cdot (2\hat i + \hat j) = -2 + 2 = 0$. આ લંબ હોવાની શરત સંતોષે છે.
ક્રોસ ગુણાકાર: $(-\hat i + 2\hat j) \times (2\hat i + \hat j) = -\hat k - 4\hat k = -5\hat k$. આ પ્રસરણની દિશા $-\hat k$ સાથે મેળ ખાય છે.

(D) સ્થિર વિદ્યુતભાર $Q$ પર વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં લાગતું બળ માત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E$ ને કારણે હોય છે,કારણ કે $\vec F = Q\vec E$.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,$\vec E = c(\vec B \times \hat k)$,જ્યાં $\hat k$ એ પ્રસરણની દિશા ($z$-અક્ષ) છે.
આપેલ છે $\vec B = B_0 \cos(kz - \omega t) \hat i + B_1 \cos(kz - \omega t) \hat j$.
તેથી $\vec E = c [ (B_0 \hat i + B_1 \hat j) \times \hat k ] \cos(kz - \omega t) = c [ -B_0 \hat j + B_1 \hat i ] \cos(kz - \omega t)$.
વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = c \sqrt{B_0^2 + B_1^2} |\cos(kz - \omega t)|$ છે.
મહત્તમ બળ $F_0 = Q E_{max} = Q c \sqrt{B_0^2 + B_1^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $F_0 = 10^{-4} \times 3 \times 10^8 \times \sqrt{(3 \times 10^{-5})^2 + (2 \times 10^{-6})^2} \approx 10^{-4} \times 3 \times 10^8 \times 3 \times 10^{-5} = 0.9 \, N$.
rms બળ $F_{rms} = \frac{F_0}{\sqrt{2}} = \frac{0.9}{1.414} \approx 0.636 \, N$.
આમ,સૌથી નજીકનું મૂલ્ય $0.6 \, N$ છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E = E_0 \hat i \cos(kz) \cos(\omega t)$ છે.
તરંગ $+z$ દિશામાં પ્રસરણ પામે છે અને $\vec E$ એ $x$-અક્ષ પર છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec B$ એ $y$-અક્ષ પર હોવું જોઈએ.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ: $\nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t}$.
$z$-દિશામાં પ્રસરતા તરંગ માટે,$\frac{\partial E_x}{\partial z} = -\frac{\partial B_y}{\partial t}$.
$E_x$ નું $z$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $\frac{\partial}{\partial z} [E_0 \cos(kz) \cos(\omega t)] = -k E_0 \sin(kz) \cos(\omega t)$.
તેથી,$\frac{\partial B_y}{\partial t} = k E_0 \sin(kz) \cos(\omega t)$.
$t$ ની સાપેક્ષ સંકલન કરતા: $B_y = \int k E_0 \sin(kz) \cos(\omega t) dt = \frac{k E_0}{\omega} \sin(kz) \sin(\omega t)$.
$c = \frac{\omega}{k}$ હોવાથી,$\frac{k}{\omega} = \frac{1}{c}$ થાય.
તેથી,$\vec B = \frac{E_0}{c} \hat j \sin(kz) \sin(\omega t)$.

(D) શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટીનું પારિમાણિક સૂત્ર $[\varepsilon_0] = M^{-1}L^{-3}T^4A^2$ છે.
શૂન્યાવકાશની પરમીબિલિટીનું પારિમાણિક સૂત્ર $[\mu_0] = MLT^{-2}A^{-2}$ છે.
વિદ્યુત અવરોધનું પારિમાણિક સૂત્ર $[R] = ML^2T^{-3}A^{-2}$ છે.
હવે,પદ $\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}$ ને ધ્યાનમાં લો:
$\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} = \sqrt{\frac{MLT^{-2}A^{-2}}{M^{-1}L^{-3}T^4A^2}} = \sqrt{M^2L^4T^{-6}A^{-4}} = ML^2T^{-3}A^{-2}$.
આ વિદ્યુત અવરોધ $[R]$ ના પરિમાણ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનું સામાન્ય સ્વરૂપ $\vec{E} = E_0 \hat{n} \sin(\omega t + \vec{k} \cdot \vec{r})$ છે.
આપેલ સમીકરણ $\vec{E} = E_0 \hat{n} \sin[\omega t + (6y - 8z)]$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સદિશ $\vec{k} = 6\hat{j} - 8\hat{k}$ મળે છે.
પ્રસરણની દિશા $\hat{s}$ એ $-\vec{k}$ ની દિશામાંનો એકમ સદિશ છે.
તેથી,$\hat{s} = -\frac{\vec{k}}{|\vec{k}|} = -\frac{6\hat{j} - 8\hat{k}}{\sqrt{6^2 + (-8)^2}} = -\frac{6\hat{j} - 8\hat{k}}{\sqrt{36 + 64}} = -\frac{6\hat{j} - 8\hat{k}}{10} = \frac{-6\hat{j} + 8\hat{k}}{10} = \frac{-3\hat{j} + 4\hat{k}}{5}$.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ $+z$ દિશામાં પ્રસરણ પામે છે,તેથી તરંગનું સમીકરણ $B = B_0 \sin(kz - \omega t)$ સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{60}{3 \times 10^8} = 2 \times 10^{-7} \, T$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi n = 2 \times 3.14 \times 23.9 \times 10^9 \approx 1.5 \times 10^{11} \, rad/s$ છે.
તરંગ સંખ્યા $k = \frac{\omega}{c} = \frac{1.5 \times 10^{11}}{3 \times 10^8} = 0.5 \times 10^3 \, m^{-1}$ છે.
તરંગ $+z$ દિશામાં પ્રસરણ પામે છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર સામાન્ય રીતે $x$ અથવા $y$ દિશામાં હોય છે,તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર પ્રસરણની દિશા $(z)$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર બંનેને લંબ હોવું જોઈએ. આમ,$y$ દિશામાં વિદ્યુતક્ષેત્ર માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $x$ દિશામાં હોય છે. સાચું સ્વરૂપ $\vec B = 2 \times 10^{-7} \sin(0.5 \times 10^3 z - 1.5 \times 10^{11} t) \hat i$ છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ $(EMW)$ માં,વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\vec E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec B$ સમાન કળામાં દોલન કરે છે.
આનો અર્થ એ છે કે બંને ક્ષેત્રો એક જ સમયે અને એક જ સ્થાને તેમના મહત્તમ,ન્યૂનતમ અને શૂન્ય મૂલ્યો પ્રાપ્ત કરે છે.
તેથી,$\vec E$ અને $\vec B$ વચ્ચેનો કળા તફાવત $0$ છે.

(C) બલ્બ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = 100 \times \frac{2.5}{100} = 2.5 \, W$ છે.
$r = 3 \, m$ અંતરે તીવ્રતા $I = \frac{P}{4 \pi r^2} = \frac{2.5}{4 \pi (3)^2} = \frac{2.5}{36 \pi} \, W/m^2$ મળે છે.
તીવ્રતા $I$ અને મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_0$ વચ્ચેનો સંબંધ $I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c$ છે.
$E_0$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$E_0 = \sqrt{\frac{2I}{\varepsilon_0 c}}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા,$\varepsilon_0 = \frac{1}{36 \pi \times 10^9} \, F/m$ અને $c = 3 \times 10^8 \, m/s$:
$E_0 = \sqrt{\frac{2 \times (2.5 / 36 \pi)}{(1 / 36 \pi \times 10^9) \times 3 \times 10^8}} = \sqrt{\frac{2 \times 2.5 \times 36 \pi \times 10^9}{36 \pi \times 3 \times 10^8}} = \sqrt{\frac{5 \times 10}{3}} = \sqrt{16.67} \approx 4.08 \, V/m$.

(C) શૂન્યાવકાશમાં પ્રસરતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ હંમેશા એકબીજાને લંબ હોય છે.
વધુમાં,તેઓ બંને તરંગના પ્રસરણની દિશાને પણ લંબ હોય છે.
આ ક્ષેત્રોના મૂલ્યો વચ્ચેનો સંબંધ $E = cB$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે.
કારણ કે આ ક્ષેત્રો સમાન આવૃત્તિ સાથે દોલન કરે છે અને એક જ સમયે અને સ્થાને તેમના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો પ્રાપ્ત કરે છે,તેથી તેઓ સમાન કળામાં (in phase) છે તેમ કહેવાય છે.
તેથી,સદિશો $\vec{E}$ અને $\vec{B}$ એકબીજાને લંબ અને સમાન કળામાં હોય છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં દોલન કરતા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો એકબીજાને અને પ્રસરણની દિશાને લંબ હોય છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,ધ્રુવીભવનનું સમતલ એવું સમતલ છે જેમાં પ્રસરણની દિશા અને વિદ્યુતક્ષેત્રનો સદિશ બંનેનો સમાવેશ થાય છે.
આમ,પ્રસરણની દિશા ધ્રુવીભવનના સમતલમાં જ આવેલી હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $0^{\circ}$ થાય છે.