Properties of Electromagnetic Waves Questions in Gujarati

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર માટેનું આપેલ સમીકરણ $E_y = E_0 \cos(\omega t - kx)$ છે.
આ સમીકરણને ધન $X$ દિશામાં ગતિ કરતા તરંગના પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi \times 10^6 \ rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = \pi \times 10^{-2} \ rad/m$ મળે છે.
આવૃત્તિ $f$ એ $\omega = 2\pi f$ દ્વારા મળે છે,તેથી $2\pi f = 2\pi \times 10^6 \implies f = 10^6 \ Hz$.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $\frac{2\pi}{\lambda} = \pi \times 10^{-2} \implies \lambda = \frac{2}{\pi \times 10^{-2}} \times \pi = 200 \ m$.
અહીં કળા $(\omega t - kx)$ હોવાથી,તરંગ ધન $X$ દિશામાં પ્રસરણ પામે છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વચ્ચેનો સંબંધ $c = E/B$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
આપેલ છે:
$E = 6.3 \ V/m$
$c = 3 \times 10^8 \ m/s$
$B$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$B = E/c$
$B = 6.3 / (3 \times 10^8)$
$B = 2.1 \times 10^{-8} \ T$ (અથવા $Wb/m^2$)
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $2.1 \times 10^{-8} \ Wb/m^2$ છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની સરેરાશ ઊર્જાઘનતા $u$ એ વિદ્યુત અને ચુંબકીય ઊર્જાઘનતાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$u = u_E + u_B = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 = \varepsilon_0 E_{rms}^2$.
અહીં $E_{rms} = 720 \ N \ C^{-1}$ અને $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \ C^2 \ N^{-1} \ m^{-2}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$u = 8.854 \times 10^{-12} \times (720)^2$
$u = 8.854 \times 10^{-12} \times 518400$
$u \approx 4.589 \times 10^{-6} \ J \ m^{-3}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) શૂન્યાવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ છે.
તરંગની આવૃત્તિ $f = 8.2 \times 10^6 \text{ Hz}$ આપેલી છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda$,ઝડપ $c$ અને આવૃત્તિ $f$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{c}{f}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{3 \times 10^8}{8.2 \times 10^6}$.
$\lambda = \frac{300}{8.2} \approx 36.585 \text{ m}$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $\lambda = 36.6 \text{ m}$ મળે છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા એ વિદ્યુતક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $(E_0)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $(H_0)$ ના ગુણાકાર દ્વારા પોઈન્ટિંગ વેક્ટરના મૂલ્ય તરીકે આપવામાં આવે છે.
તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર $I = E_0 \times H_0$ છે.
આપેલ છે:
$E_0 = 100 \ Vm^{-1}$
$H_0 = 0.265 \ Am^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$I = 100 \times 0.265$
$I = 26.5 \ Wm^{-2}$
આમ,વિકિરણની મહત્તમ તીવ્રતા $26.5 \ Wm^{-2}$ છે.

(B) પ્રકાશની ઝડપ $(c)$,આવૃત્તિ $(f)$ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\lambda = \frac{c}{f}$.
આપેલ છે: $c = 3 \times 10^8 \ m/s = 3 \times 10^{10} \ cm/s$ અને $f = 8.196 \times 10^6 \ Hz$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{3 \times 10^{10}}{8.196 \times 10^6} \ cm$.
$\lambda = \frac{3}{8.196} \times 10^4 \ cm$.
$\lambda \approx 0.36603 \times 10^4 \ cm$.
$\lambda \approx 3660 \ cm$.
આમ,તરંગલંબાઈ $3660 \ cm$ છે.

(D) સૂર્યમાંથી પૃથ્વી પર આવતા વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણની તીવ્રતા (ફલક્સ) $I = 10^3 \, W/m^2$ આપેલ છે.
છાપરાનું ક્ષેત્રફળ $A = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 8 \, m \times 20 \, m = 160 \, m^2$ થાય.
સપાટી પર સંપાત થતો પાવર $P$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $P = I \times A$ છે.
કિંમતો મૂકતા, $P = 10^3 \, W/m^2 \times 160 \, m^2 = 1.6 \times 10^5 \, W$ મળે છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુતક્ષેત્રની સરેરાશ ઊર્જા ઘનતા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\rho_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_{rms}^2$
અહીં $E_{rms} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$ છે,જ્યાં $E_0$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર છે:
$\rho_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 \left( \frac{E_0}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{4} \epsilon_0 E_0^2$
આપેલ છે કે $E_0 = 1 \ V/m$ અને $\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ F/m$:
$\rho_E = \frac{1}{4} \times 8.85 \times 10^{-12} \times (1)^2$
$\rho_E = 2.2125 \times 10^{-12} \approx 2.2 \times 10^{-12} \ J \ m^{-3}$.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુતક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $(E_0)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $(B_0)$ વચ્ચેનો સંબંધ $B_0 = \frac{E_0}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે $(c \approx 3 \times 10^8 \, m/s)$.
આપેલ છે: $E_0 = 48 \, V/m$.
કિંમતો મૂકતા: $B_0 = \frac{48}{3 \times 10^8} = 16 \times 10^{-8} \, T$ (અથવા $Wb/m^2$).
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $16 \times 10^{-8} \, Wb/m^2$ છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્રની સરેરાશ ઊર્જા ઘનતાનું સૂત્ર: $u_E = \frac{1}{4} \varepsilon_0 E_0^2$ છે.
અહીં,વિદ્યુતક્ષેત્રનું કંપવિસ્તાર $E_0 = 1 \ V/m$ છે.
શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2/(N \cdot m^2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$u_E = \frac{1}{4} \times (8.85 \times 10^{-12}) \times (1)^2$
$u_E = 2.2125 \times 10^{-12} \ J/m^3$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $u_E \approx 2.2 \times 10^{-12} \ J/m^3$ મળે છે.

(B) બિંદુવત ઉદગમથી $r$ અંતરે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I = \frac{P}{4\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વળી,તીવ્રતા અને વિદ્યુતક્ષેત્ર વચ્ચેનો સંબંધ $I = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2$ છે,જ્યાં $E_0$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રનું મહત્તમ મૂલ્ય છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2 = \frac{P}{4\pi r^2}$.
$E_0$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $E_0 = \sqrt{\frac{2P}{4\pi r^2 c \epsilon_0}} = \sqrt{\frac{P}{2\pi r^2 c \epsilon_0}}$.
અહીં $P = 1500 \, W$,$r = 3 \, m$,$c = 3 \times 10^8 \, m/s$,અને $c \epsilon_0 = \frac{1}{120\pi}$ લેતા:
$E_0 = \sqrt{\frac{2P \times 120\pi}{4\pi r^2}} = \sqrt{\frac{60P}{r^2}} = \frac{1}{r} \sqrt{60P}$.
કિંમતો મૂકતા: $E_0 = \frac{1}{3} \sqrt{60 \times 1500} = \frac{1}{3} \sqrt{90000} = \frac{300}{3} = 100 \, V/m$.

(D) આપેલ સમીકરણ $\vec{E} = 10 \cos(10^7t + kx) \hat{j} \text{ V/m}$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ $\vec{E} = E_0 \cos(\omega t + kx) \hat{j}$ સાથે સરખાવતા:
$E_0 = 10 \text{ V/m}$ અને $\omega = 10^7 \text{ rad/s}$ મળે છે.
$(i)$ તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{2\pi c}{\omega} = \frac{2 \times 3.14 \times 3 \times 10^8}{10^7} = 188.4 \text{ m}$. આ વિધાન સાચું છે.
$(ii)$ તરંગસદિશ $k = \frac{\omega}{c} = \frac{10^7}{3 \times 10^8} = 0.033 \text{ rad/m}$. આ વિધાન ખોટું છે (આપેલ $0.33 \text{ rad/m}$ છે).
$(iii)$ કંપવિસ્તાર $E_0 = 10 \text{ V/m}$. આ વિધાન સાચું છે.
$(iv)$ સમીકરણમાં $(\omega t + kx)$ હોવાથી,તરંગ ઋણ $X$ દિશામાં પ્રસરણ પામે છે. આ વિધાન ખોટું છે.
આમ,વિધાન $(i)$ અને $(iii)$ સાચા છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ અને ઊર્જા ઘનતા $u$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $I = u \times c$,જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
તેથી,ઊર્જા ઘનતા $u$ માટેનું સૂત્ર: $u = \frac{I}{c}$ થાય.
આપેલ છે: $I = 0.02 \ W/m^2$ અને $c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
કિંમતો મૂકતા: $u = \frac{0.02}{3 \times 10^8} = \frac{2 \times 10^{-2}}{3 \times 10^8} = 0.667 \times 10^{-10} = 6.67 \times 10^{-11} \ J/m^3$.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તરંગલંબાઈ $\lambda$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\lambda = \frac{c}{f}$ છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $(3 \times 10^8 \, m/s)$ છે અને $f$ એ આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે: $f = 2 \times 10^{10} \, Hz$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 10^{10}} = 1.5 \times 10^{-2} \, m$.
કારણ કે $1 \, m = 100 \, cm$,તેથી $\lambda = 1.5 \times 10^{-2} \times 100 \, cm = 1.5 \, cm$.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ એ સરેરાશ પાવર $P_{av}$ ને ગોલીય સપાટીના ક્ષેત્રફળ $4\pi r^2$ પર વહેંચવાથી મળે છે:
$I = \frac{P_{av}}{4\pi r^2}$
વળી,મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_m$ ના પદમાં તીવ્રતા:
$I = \frac{E_m^2}{2 \mu_0 c}$
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{P_{av}}{4\pi r^2} = \frac{E_m^2}{2 \mu_0 c}$
$E_m = \sqrt{\frac{\mu_0 c P_{av}}{2\pi r^2}}$
આપેલ કિંમતો ($P_{av} = 800 \, W$,$r = 3.5 \, m$,$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$,$c = 3 \times 10^8 \, m/s$) મૂકતા:
$E_m = \sqrt{\frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times (3 \times 10^8) \times 800}{2\pi \times (3.5)^2}}$
$E_m = \sqrt{\frac{48000}{12.25}} \approx 62.6 \, V/m$

(B) વિધુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતાનું સૂત્ર $I_{av} = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2$ છે.
અહીં,$E_0 = 36 \ V/m$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,અને $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \ F/m$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$I_{av} = \frac{1}{2} \times (3 \times 10^8) \times (8.854 \times 10^{-12}) \times (36)^2$
$I_{av} = 0.5 \times 3 \times 8.854 \times 10^{-4} \times 1296$
$I_{av} = 1.5 \times 8.854 \times 1296 \times 10^{-4}$
$I_{av} \approx 1.72 \ W/m^2$.

(B) બિંદુવત ઉદગમથી $r$ અંતરે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની સરેરાશ તીવ્રતા $I = \frac{P_{av}}{4\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વળી, મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_m$ ના સ્વરૂપમાં તીવ્રતા $I = \frac{E_m^2}{2\mu_0 c}$ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{P_{av}}{4\pi r^2} = \frac{E_m^2}{2\mu_0 c}$.
$E_m$ માટે સૂત્ર: $E_m = \sqrt{\frac{\mu_0 c P_{av}}{2\pi r^2}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $P_{av} = 800 \, W$, $r = 3.5 \, m$, $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$, અને $c = 3 \times 10^8 \, m/s$.
$E_m = \sqrt{\frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times (3 \times 10^8) \times 800}{2\pi \times (3.5)^2}} = \sqrt{\frac{2 \times 3 \times 10 \times 800}{12.25}} = \sqrt{\frac{48000}{12.25}} \approx 62.6 \, V/m$.

(C) બિંદુવત ઉદગમથી $r$ અંતરે તીવ્રતા $I = \frac{P}{4\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{800}{4 \times 3.14 \times (3.5)^2} = \frac{800}{153.86} \approx 5.2 \, W/m^2$.
તીવ્રતા અને વિદ્યુતક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $E_m$ વચ્ચેનો સંબંધ $I = \frac{1}{2} \epsilon_0 c E_m^2$ છે.
$E_m = \sqrt{\frac{2I}{\epsilon_0 c}} = \sqrt{\frac{2 \times 5.2}{8.854 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8}} \approx \sqrt{3912} \approx 62.55 \, V/m$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મહત્તમ મૂલ્ય $B_m = \frac{E_m}{c}$ દ્વારા મળે છે.
$B_m = \frac{62.55}{3 \times 10^8} \approx 2.085 \times 10^{-7} \, T \approx 2.09 \times 10^{-7} \, T$.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં મહતમ વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E_0)$ અને મહતમ ચુંબકીયક્ષેત્ર $(B_0)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$c = \frac{E_0}{B_0}$
જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે,જે આશરે $3 \times 10^8 \, m/s$ છે.
$B_0$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$B_0 = \frac{E_0}{c}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$B_0 = \frac{18 \, V/m}{3 \times 10^8 \, m/s} = 6 \times 10^{-8} \, T$.
આમ,ચુંબકીયક્ષેત્રનું મહતમ મૂલ્ય $6 \times 10^{-8} \, T$ છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\overrightarrow{E}$ અને ચુંબકીયક્ષેત્ર સદિશ $\overrightarrow{B}$ સમાન કળામાં દોલન કરે છે અને એકબીજાને લંબ હોય છે.
મેક્સવેલના સમીકરણો અને વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના ગુણધર્મો અનુસાર,ઉર્જાના પ્રસરણની દિશા (તરંગની દિશા) પોઈન્ટિંગ સદિશ $\overrightarrow{S}$ ની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પોઈન્ટિંગ સદિશને $\overrightarrow{S} = \frac{1}{\mu_0} (\overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B})$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના પ્રસરણની દિશા $\overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B}$ ના સદિશ ગુણાકારની દિશામાં હોય છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ તેના વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ અને ચુંબકીયક્ષેત્ર સદિશના સદિશ ગુણાકારની દિશામાં પ્રસરણ પામે છે,એટલે કે $\vec{E} \times \vec{B}$.
અહીં પ્રસરણની દિશા $z$-અક્ષ છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીયક્ષેત્ર $xy$-સમતલમાં હોવા જોઈએ.
આથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ ના ઘટકો $x$ અથવા $y$ દિશામાં હોવા જોઈએ અને ચુંબકીયક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ ના ઘટકો $x$ અથવા $y$ દિશામાં હોવા જોઈએ જેથી તેમનો સદિશ ગુણાકાર $z$-દિશામાં મળે.
વિશેષ રીતે,જો $\vec{E}$ એ $x$-અક્ષ પર $(E_x)$ હોય અને $\vec{B}$ એ $y$-અક્ષ પર $(B_y)$ હોય,તો $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ મળે,જે $z$-અક્ષને અનુરૂપ છે.
આમ,$(E_x, B_y)$ એ યોગ્ય વિકલ્પ છે.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E)$ અને ચુંબકીયક્ષેત્ર $(B)$ બંને સમય અને અવકાશ સાથે સાઈન વિધેય (sinusoidal) મુજબ દોલન કરે છે.
ગાણિતિક રીતે,આ ક્ષેત્રોને $E = E_0 \sin(kx - \omega t)$ અને $B = B_0 \sin(kx - \omega t)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
સાઈન વિધેયનું એક સંપૂર્ણ ચક્ર પર સરેરાશ મૂલ્ય શૂન્ય હોય છે.
તેથી,એક સંપૂર્ણ ચક્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીયક્ષેત્ર બંનેનું સરેરાશ મૂલ્ય શૂન્ય થાય છે.

(A) માધ્યમમાં વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણનો વેગ $v$ એ $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ એ માધ્યમની પરમીબિલિટી છે અને $\varepsilon$ એ માધ્યમની પરમિટિવિટી છે.
શૂન્યાવકાશ (અથવા મુક્ત અવકાશ) માટે,પરમીબિલિટી $\mu_0$ છે અને પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ છે.
તેથી,શૂન્યાવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણનો વેગ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ થાય છે.

(B) આપેલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_y = E_0 \cos(\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $E_y = 2.5 \cos[(2\pi \times 10^6)t - (\pi \times 10^{-2})x]$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi \times 10^6 \text{ rad/s}$ અને તરંગ સદિશ $k = \pi \times 10^{-2} \text{ rad/m}$ મળે છે.
કોસાઇન પદની અંદર $(\omega t - kx)$ હોવાથી,તરંગ ધન $x$-દિશામાં પ્રસરણ પામે છે.
આવૃત્તિ $f$ એ $\omega = 2\pi f$ દ્વારા મળે છે,તેથી $f = \frac{2\pi \times 10^6}{2\pi} = 10^6 \text{ Hz}$.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\pi \times 10^{-2}} = 2 \times 10^2 = 200 \text{ m}$.
આમ,તરંગ $10^6 \text{ Hz}$ ની આવૃત્તિ અને $200 \text{ m}$ ની તરંગલંબાઇ સાથે $x$-દિશામાં ગતિ કરે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\vec E = 10 \cos (10^7 t + kx) \hat j \, V/m$.
પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $\vec E = E_0 \cos (\omega t + kx) \hat j$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કંપવિસ્તાર $E_0 = 10 \, V/m$ (વિધાન $(3)$ સાચું છે).
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 10^7 \, rad/s$.
ફેઝ $(\omega t + kx)$ હોવાથી,તરંગ $-x$ દિશામાં પ્રસરણ પામે છે (વિધાન $(4)$ ખોટું છે).
મુક્ત અવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો માટે,$c = \frac{\omega}{k} = 3 \times 10^8 \, m/s$.
તેથી,$k = \frac{\omega}{c} = \frac{10^7}{3 \times 10^8} = 0.033 \, rad/m$ (વિધાન $(2)$ ખોટું છે).
તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2 \times 3.1416}{0.033} \approx 188.4 \, m$ (વિધાન $(1)$ સાચું છે).
તેથી,વિધાન $(1)$ અને $(3)$ સાચા છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ બંને એકબીજાને પરસ્પર લંબ હોય છે અને તરંગના પ્રસરણની દિશાને પણ લંબ હોય છે. તેથી,તેઓ એકબીજાને સમાંતર છે તેવું વિધાન ખોટું છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ એ સદિશ ગુણાકાર $\vec{E} \times \vec{B}$ ની દિશામાં પ્રસરણ પામે છે.
આપેલ છે કે તરંગ $+z$-અક્ષની દિશામાં પ્રસરણ પામે છે,તેથી પ્રસરણની દિશા $\hat{k}$ છે.
આપણે તપાસવું પડશે કે કઈ જોડી $\hat{E} \times \hat{B} = \hat{k}$ નું પાલન કરે છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$. આ પ્રસરણની દિશા સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $x$-અક્ષ પર છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $y$-અક્ષ પર છે.

(B) શૂન્યાવકાશમાં પ્રસરતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે વિદ્યુત ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $(E_{0})$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $(B_{0})$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$E_{0} = B_{0} c$
જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર અને વિદ્યુત ક્ષેત્રના કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
$\frac{B_{0}}{E_{0}} = \frac{1}{c}$
આમ,ગુણોત્તર $\frac{1}{c}$ જેટલો થાય છે.

(A) $z$-દિશામાં ગતિ કરતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટેનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\vec{E} = E_{0} \cos (kz - \omega t) \hat{i}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $\vec{E} = \hat{i} 40 \cos (kz - 6 \times 10^{8} t)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 6 \times 10^{8} \, rad/s$ મળે છે.
શૂન્યાવકાશમાં,તરંગ સદિશ $k$,કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને પ્રકાશની ઝડપ $c$ વચ્ચેનો સંબંધ $k = \frac{\omega}{c}$ છે.
અહીં $c = 3 \times 10^{8} \, m/s$ આપેલ હોવાથી,આપણે $k = \frac{6 \times 10^{8}}{3 \times 10^{8}} = 2 \, m^{-1}$ ગણી શકીએ છીએ.

(D) માઇક્રોવેવ ઓવનમાં,માઇક્રોવેવની આવૃત્તિને પાણીના અણુઓની અનુનાદિત આવૃત્તિ સાથે મેળવવામાં આવે છે.
જ્યારે આ આવૃત્તિઓ સમાન હોય છે,ત્યારે પાણીના અણુઓ અનુનાદની પ્રક્રિયા દ્વારા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોમાંથી ઉર્જાનું શોષણ કરે છે.
આ ઉર્જાનું શોષણ પાણીના અણુઓની પરિભ્રમણીય ગતિ ઉર્જામાં વધારો કરે છે,જે તાપમાનમાં વધારા તરીકે દેખાય છે,જેનાથી ખોરાક કાર્યક્ષમ રીતે ગરમ થાય છે.

(C) મેક્સવેલના સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રવેગી ગતિ કરતો વિદ્યુતભાર સમય સાથે બદલાતા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો ઉત્પન્ન કરે છે. આ દોલિત ક્ષેત્રો અવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ તરીકે પ્રસરણ પામે છે. સ્થિર વિદ્યુતભાર માત્ર સ્થિર વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે,અને અચળ વેગથી ગતિ કરતો વિદ્યુતભાર વિદ્યુતક્ષેત્રની સાથે અચળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે,પરંતુ તેમાંથી કોઈ પણ પ્રસરણ પામતું વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ ઉત્પન્ન કરતું નથી.

(D) આપેલ છે: $E_{rms} = 6 \, V m^{-1}$.
મુક્ત અવકાશમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના રૂટ મીન સ્ક્વેર મૂલ્યો વચ્ચેનો સંબંધ $\frac{E_{rms}}{B_{rms}} = c$ છે,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે.
$B_{rms}$ ની ગણતરી કરતા:
$B_{rms} = \frac{E_{rms}}{c} = \frac{6}{3 \times 10^8} = 2 \times 10^{-8} \, T$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મહત્તમ મૂલ્ય $B_0$ એ $B_{rms}$ સાથે $B_{rms} = \frac{B_0}{\sqrt{2}}$ સૂત્ર દ્વારા જોડાયેલ છે.
તેથી,$B_0 = B_{rms} \times \sqrt{2}$.
$B_{rms}$ નું મૂલ્ય મૂકતા:
$B_0 = 2 \times 10^{-8} \times 1.414 = 2.828 \times 10^{-8} \, T \approx 2.83 \times 10^{-8} \, T$.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના પ્રસરણની દિશા પોઈન્ટિંગ વેક્ટરની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $\vec{S} \propto \vec{E} \times \vec{B}$ છે.
આપેલ છે કે વેગ $\vec{v}$ એ $+x$ અક્ષ $(\hat{i})$ ની દિશામાં છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ $+y$ અક્ષ $(\hat{j})$ ની દિશામાં છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{v} \parallel (\vec{E} \times \vec{B})$.
જાણીતી દિશાઓ મૂકતા: $\hat{i} = \hat{j} \times \vec{B}_{dir}$.
કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં એકમ સદિશોના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ની દિશા $+z$ અક્ષ $(\hat{k})$ ની દિશામાં હોવી જોઈએ.
આમ,દોલિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર $+z$ દિશામાં છે.

(A) $EM$ તરંગના પ્રસરણની દિશા પોઈન્ટિંગ વેક્ટર $\overrightarrow{S}$ ની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $\overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B}$ ની દિશામાં હોય છે.
આપેલ છે કે,પ્રસરણની દિશા $-z$ દિશા છે,તેથી $\overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B} = -\widehat{k}$.
આકૃતિ પરથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ એ $+y$ દિશામાં છે,તેથી $\overrightarrow{E} = E_0 \widehat{j}$.
આ કિંમતોને સંબંધમાં મૂકતા: $(E_0 \widehat{j}) \times \overrightarrow{B} = -\widehat{k}$.
ધારો કે $\overrightarrow{B} = B_x \widehat{i} + B_y \widehat{j} + B_z \widehat{k}$.
કારણ કે $\overrightarrow{E} \perp \overrightarrow{B}$ અને $\overrightarrow{B} \perp$ પ્રસરણની દિશા,તેથી $\overrightarrow{B}$ એ $x$-અક્ષ પર હોવું જોઈએ.
તેથી,$\widehat{j} \times (B_x \widehat{i}) = -B_x \widehat{k}$.
આને $-\widehat{k}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $-B_x = -1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $B_x = 1$.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ એ $+x$ દિશામાં છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની સરેરાશ કુલ ઉર્જા ઘનતા $u$ એ વિદ્યુત ઉર્જા ઘનતા અને ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતાનો સરવાળો છે.
$u = u_E + u_B = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_{rms}^2 + \frac{1}{2\mu_0} B_{rms}^2$
આપણે જાણીએ છીએ કે $B_{rms} = \frac{E_{rms}}{c}$,તેથી $u_B = \frac{1}{2\mu_0} \left(\frac{E_{rms}}{c}\right)^2 = \frac{1}{2\mu_0} (E_{rms}^2 \varepsilon_0 \mu_0) = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_{rms}^2$.
આમ,કુલ ઉર્જા ઘનતા $u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_{rms}^2 + \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_{rms}^2 = \varepsilon_0 E_{rms}^2$ થાય.
અહીં $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \; F/m$ અને $E_{rms} = 720 \; N/C$ આપેલ છે:
$u = (8.85 \times 10^{-12}) \times (720)^2$
$u = 8.85 \times 10^{-12} \times 518400$
$u = 4.58784 \times 10^{-6} \; J/m^3 \approx 4.58 \times 10^{-6} \; J/m^3$.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના ધ્રુવીભવનની દિશા એ દોલન કરતા વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ ની દિશા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે. તેથી,$\vec{X} \parallel \vec{E}$.
તરંગ પ્રસરણની દિશા $\vec{k}$ એ પોઈન્ટિંગ સદિશ $\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} (\vec{E} \times \vec{B})$ ની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,તરંગ પ્રસરણની દિશા $\vec{E} \times \vec{B}$ ને સમાંતર હોય છે.

(B) આપેલ છે કે,ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મહત્તમ મૂલ્ય $B_{0} = 20 \ nT = 20 \times 10^{-9} \ T$ છે.
શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^{8} \ ms^{-1}$ છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{0}$ અને મહત્તમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{0}$ વચ્ચેનો સંબંધ $E_{0} = B_{0} \times c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$E_{0} = (20 \times 10^{-9} \ T) \times (3 \times 10^{8} \ ms^{-1})$
$E_{0} = 60 \times 10^{-1} \ Vm^{-1}$
$E_{0} = 6 \ Vm^{-1}$.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતાનું મહત્તમ મૂલ્ય $6 \ Vm^{-1}$ છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $(E_0)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_0)$ ના કંપવિસ્તાર વચ્ચેનો સંબંધ $E_0 = cB_0$ છે,જ્યાં $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ છે.
વિદ્યુત ઉર્જા ઘનતા $u_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ઉર્જા ઘનતા $u_B = \frac{1}{2} \frac{B_0^2}{\mu_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુત ઉર્જા ઘનતાના સૂત્રમાં $E_0 = cB_0$ મૂકતા:
$u_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 (cB_0)^2 = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \left(\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}\right) B_0^2 = \frac{1}{2} \frac{B_0^2}{\mu_0}$.
તેથી,$u_E = u_B$. ઉર્જા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલી હોય છે.

(B) $EM$ તરંગનો વેગ $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હવામાં,તરંગ સમીકરણ $\cos[2\pi v(\frac{z}{c} - t)] = \cos[\frac{2\pi v}{c}z - 2\pi vt]$ છે. ફેઝ વેગ $v_1 = c$ છે.
માધ્યમમાં,તરંગ સમીકરણ $\cos[k(2z - ct)] = \cos[2kz - kct]$ છે. ફેઝ વેગ $v_2 = \frac{kct}{2kz} = \frac{c}{2}$ છે.
માધ્યમ અચુંબકીય હોવાથી,$\mu_{r_1} = \mu_{r_2} = 1$.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{c}{c/2} = 2$ છે.
$v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}}$ હોવાથી,$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{\varepsilon_{r_2}}{\varepsilon_{r_1}}} = 2$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{\varepsilon_{r_2}}{\varepsilon_{r_1}} = 4$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\varepsilon_{r_1}}{\varepsilon_{r_2}} = \frac{1}{4}$.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ એકમ સમયમાં વહન થતી સરેરાશ ઊર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $I = \langle u \rangle c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\langle u \rangle$ એ સરેરાશ ઊર્જા ઘનતા છે અને $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે.
કુલ ઊર્જા ઘનતા $u$ એ વિદ્યુત અને ચુંબકીય ઊર્જા ઘનતાનો સરવાળો છે: $u = u_E + u_B = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2$.
કારણ કે $E = cB$ અને $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$,સરેરાશ ઊર્જા ઘનતા $\langle u \rangle = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_{rms}^2 + \frac{1}{2\mu_0} B_{rms}^2 = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_{rms}^2 + \frac{1}{2\mu_0} (\frac{E_{rms}}{c})^2 = \epsilon_0 E_{rms}^2$ થાય છે.
$E_{rms} = \frac{E_{max}}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,આપણને $\langle u \rangle = \epsilon_0 \frac{E_{max}^2}{2}$ મળે છે.
આમ,$I = \langle u \rangle c = \frac{1}{2} \epsilon_0 c E_{max}^2$.
$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ મૂકતા,આપણને $I = \frac{1}{2} \epsilon_0 \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} E_{max}^2 = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} E_{max}^2$ મળે છે.

(B) ટનલમાં રેડિયો તરંગોનું પ્રસરણ વિવર્તનની ઘટના પર આધાર રાખે છે. જ્યારે તરંગની તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ એ ઓપનિંગના કદ (વ્યાસ $D = 10 \, m$) ની સરખામણીમાં હોય ત્યારે વિવર્તન નોંધપાત્ર હોય છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda = c/f$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c \approx 3 \times 10^8 \, m/s$ છે.
$f_1 = 3 \times 10^6 \, Hz$ માટે,$\lambda_1 = (3 \times 10^8) / (3 \times 10^6) = 100 \, m$.
$f_2 = 30 \times 10^6 \, Hz$ માટે,$\lambda_2 = (3 \times 10^8) / (30 \times 10^6) = 10 \, m$.
$f_3 = 3 \times 10^9 \, Hz$ માટે,$\lambda_3 = (3 \times 10^8) / (3 \times 10^9) = 0.1 \, m$.
ટનલનો વ્યાસ $10 \, m$ હોવાથી,$\lambda_2 = 10 \, m$ વાળું સિગ્નલ ઓપનિંગના કદ સાથે મેળ ખાય છે,જે અસરકારક વિવર્તન તરફ દોરી જાય છે અને અન્યની તુલનામાં ટનલમાં વધુ સારી રીતે પ્રવેશી શકે છે.

(C) આયનોસ્ફિયર એક ચોક્કસ આવૃત્તિ વિસ્તારમાં રેડિયો તરંગો માટે પરાવર્તક માધ્યમ તરીકે કાર્ય કરે છે.
આ ઘટનાને સ્કાય વેવ પ્રોપેગેશન (sky wave propagation) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
આયનોસ્ફિયર આશરે $2\ MHz$ થી $30\ MHz$ ની વચ્ચેની આવૃત્તિ ધરાવતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોને પરાવર્તિત કરે છે.
આ વિસ્તાર કરતા વધારે આવૃત્તિ ધરાવતા તરંગો સામાન્ય રીતે આયનોસ્ફિયરમાંથી પસાર થઈને અવકાશમાં જતા રહે છે.
તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$2\ MHz$ થી $10\ MHz$ નો વિસ્તાર એ સાચો વિસ્તાર છે જે આયનોસ્ફિયર દ્વારા પરાવર્તિત થાય છે.

(B) તાત્કાલિક વિદ્યુત ઉર્જા ઘનતા $u_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = E_0 \sin(kx - \omega t)$ મુજબ સાઇનસૉઇડલ રીતે બદલાય છે.
એક સંપૂર્ણ ચક્ર પર $\sin^2(kx - \omega t)$ નું સરેરાશ મૂલ્ય $\frac{1}{2}$ છે.
તેથી,સરેરાશ વિદ્યુત ઉર્જા ઘનતા $\langle u_E \rangle = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \langle E^2 \rangle = \frac{1}{2} \varepsilon_0 (E_0^2 \cdot \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \varepsilon_0 E_0^2$ થાય છે.

(C) આયનોસ્ફિયરના સ્તર પરથી રેડિયો તરંગોના પરાવર્તન માટેની ક્રાંતિક આવૃત્તિ $f_c$ સંબંધ $f_c = 9 \sqrt{N_{max}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N_{max}$ એ મહત્તમ ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા છે.
આનો અર્થ એ છે કે $f_c \propto \sqrt{N}$.
આપેલ ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા $N_E = 4 \times 10^{11} \, m^{-3}$,$N_{F_1} = 9 \times 10^{11} \, m^{-3}$,અને $N_{F_2} = 16 \times 10^{11} \, m^{-3}$ છે.
ક્રાંતિક આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર:
$(f_c)_E : (f_c)_{F_1} : (f_c)_{F_2} = \sqrt{4 \times 10^{11}} : \sqrt{9 \times 10^{11}} : \sqrt{16 \times 10^{11}}$
$= \sqrt{4} : \sqrt{9} : \sqrt{16}$
$= 2 : 3 : 4$.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ $+ve$ $X$-અક્ષની દિશામાં પ્રસરણ પામે છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ $-ve$ $Z$-દિશામાં છે $(\vec{E} = -E_z \hat{k})$. મેક્સવેલ-એમ્પીયરના નિયમ મુજબ,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$.
જેમ કે વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય વધી રહ્યું છે,લંબચોરસમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_E$ એ $-ve$ $Z$-દિશામાં વધી રહ્યું છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર આ ફેરફારનો વિરોધ કરશે.
જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ રીતે પરિભ્રમણ કરવું જોઈએ કે જેથી તે વધતા $-ve$ $Z$-ફ્લક્સનો વિરોધ કરવા માટે $+ve$ $Z$-દિશામાં ફ્લક્સ ઉત્પન્ન કરે. આ લંબચોરસની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિષમઘડી (counter-clockwise) પરિભ્રમણને અનુરૂપ છે.
વધુમાં,તરંગ $+X$ દિશામાં ગતિ કરતું હોવાથી,તરંગના મોરચાની નજીકના સ્થાનો પર ક્ષેત્રના મૂલ્યો વધારે હોય છે. તેથી,ઉગમબિંદુની નજીકની ધારની તુલનામાં $X$-અક્ષ પર આગળની ધાર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય પ્રમાણમાં મોટું હશે. આકૃતિ $B$ આ વિષમઘડી પરિભ્રમણને જમણી ધાર પર મોટા મૂલ્ય સાથે યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(B) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
માધ્યમમાં પરમીએબિલિટી $\mu$ અને પરમિટિવિટી $\varepsilon$ હોય,તો ઝડપ $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\mu = \mu_0 \mu_r$ અને $\varepsilon = \varepsilon_0 K$,જ્યાં $\mu_r$ એ સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી છે અને $K$ એ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક (સાપેક્ષ પરમિટિવિટી) છે.
આ કિંમતોને $v$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $v = \frac{1}{\sqrt{(\mu_0 \mu_r)(\varepsilon_0 K)}} = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mu_r K}}$ મળે છે.
કારણ કે $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$,તેથી $v = \frac{c}{\sqrt{\mu_r K}}$ થાય.

(D) આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda = 3 \ mm = 3 \times 10^{-3} \ m$. વિદ્યુતક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $E_0 = 66 \ Vm^{-1}$.
આવૃત્તિ $f = c / \lambda = (3 \times 10^8) / (3 \times 10^{-3}) = 10^{11} \ Hz$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 10^{11} \ rad/s$.
વિદ્યુતક્ષેત્રનું સમીકરણ $E_y = E_0 \cos(\omega(t - x/c)) = 66 \cos(2\pi \times 10^{11}(t - x/c))$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $B_0 = E_0 / c = 66 / (3 \times 10^8) = 22 \times 10^{-8} = 2.2 \times 10^{-7} \ T$ છે.
તરંગ $X$-દિશામાં ગતિ કરે છે અને $E$ એ $Y$-દિશામાં છે,તેથી $B$ એ $Z$-દિશામાં હોવું જોઈએ.
આમ,$B_z = B_0 \cos(\omega(t - x/c)) = 2.2 \times 10^{-7} \cos(2\pi \times 10^{11}(t - x/c))$.

(A) સિગ્નલની તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ $\lambda = c/f$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ગતિ $(3 \times 10^8 \ m/s)$ છે અને $f$ એ આવૃત્તિ છે.
$1020 \ kHz$ $(1.02 \times 10^6 \ Hz)$ પર $AM$ માટે,તરંગલંબાઈ $\lambda_{AM} = (3 \times 10^8) / (1.02 \times 10^6) \approx 294 \ m$ છે.
$89.5 \ MHz$ $(89.5 \times 10^6 \ Hz)$ પર $FM$ માટે,તરંગલંબાઈ $\lambda_{FM} = (3 \times 10^8) / (89.5 \times 10^6) \approx 3.35 \ m$ છે.
કાર્યક્ષમ રેડિયેશન અને રિસેપ્શન માટે,એન્ટેનાની ઊંચાઈ સિગ્નલની તરંગલંબાઈના ચોથા ભાગ $(\lambda/4)$ જેટલી હોવી જોઈએ.
તેથી,$\lambda_{AM} > \lambda_{FM}$ હોવાથી,$AM$ ચેનલને $FM$ ચેનલ કરતા ઘણા લાંબા એન્ટેનાની જરૂર પડે છે.

(D) આપેલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E = E_z \hat z = 6.0\,\cos(kx - \omega t)\hat z$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\vec E = E_0 \cos(kx - \omega t)\hat z$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે તરંગ $+x$ દિશામાં પ્રસરણ પામે છે (કારણ કે દલીલ $kx - \omega t$ છે).
આમ,પ્રસરણની દિશા $\hat k$ એ $+x$ (અથવા $\hat i$) છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec B$ અને પ્રસરણની દિશા $\hat k$ વચ્ચેનો સંબંધ $\hat k = \hat E \times \hat B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\hat E = \hat z$ (અથવા $\hat k_{unit}$) અને $\hat k = \hat i$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\hat i = \hat k_{unit} \times \hat B$ મળે છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને ($\hat k \times \hat i = \hat j$,$\hat k \times \hat j = -\hat i$,વગેરે),આપણે શોધી શકીએ છીએ કે $\hat B = \hat j$ (અથવા $+y$) છે.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા $+y$ છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,તરંગના પ્રસરણની દિશા સદિશ $\vec E \times \vec B$ ની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે તરંગ $+y$ દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી પ્રસરણની દિશા $\hat{v} = \hat{j}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E$ એ $+z$ દિશામાં છે,તેથી $\vec E = E_0 \hat{k}$ થાય.
સંબંધ $\vec E \times \vec B = \text{પ્રસરણની દિશા}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\hat{k} \times \vec B = \hat{j}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$ થાય છે. તેથી,$\vec B$ એ $+x$ દિશામાં હોવું જોઈએ.
વળી,વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર હંમેશા સમાન કળામાં હોય છે.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec B$ એ $+x$ દિશામાં છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec E$ સાથે સમાન કળામાં છે.