Equivalent Capacitance of Capacitor connected in Series and Parallel Questions in Hindi

(D) संधारित्रों के श्रेणीक्रम संयोजन में,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश समान होता है।
माना तुल्य धारिता $C_{eq}$ है। श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों के लिए,$C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$ होता है।
यहाँ $C_1 = 10\,\mu F$,$C_2 = 20\,\mu F$ और $V = 30\,V$ दिया गया है।
$C_{eq} = \frac{10 \times 20}{10 + 20} = \frac{200}{30} = \frac{20}{3}\,\mu F$.
प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q = C_{eq} \times V$ होता है।
$Q = \left( \frac{20}{3}\,\mu F \right) \times 30\,V = 200\,\mu C$.
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए दोनों संधारित्रों पर आवेश $200\,\mu C$ के बराबर होगा।

(C) जब संधारित्रों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य धारिता $C_{eq}$ का सूत्र: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15}$.
लघुत्तम समापवर्त्य $(30)$ लेने पर: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{10 + 3 + 2}{30} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
अतः,$C_{eq} = 2\,\mu F$.
स्रोत द्वारा प्रदान किया गया कुल आवेश $Q = C_{eq} \times V = 2\,\mu F \times 100\,V = 200\,\mu C$.
श्रेणीक्रम संयोजन में,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश समान होता है और यह स्रोत द्वारा प्रदान किए गए कुल आवेश के बराबर होता है।
इस प्रकार,$15\,\mu F$ के संधारित्र पर आवेश $200\,\mu C$ है।

(B) परिपथ आरेख से,$C_2$ और $C_3$ समानांतर क्रम में जुड़े हैं,और यह समानांतर संयोजन $C_1$ के साथ श्रेणी क्रम में है।
$1$. आवेश वितरण के लिए: बैटरी से प्रवाहित कुल आवेश $Q$,$C_1$ से होकर गुजरता है। यह आवेश फिर $C_2$ और $C_3$ पर क्रमशः $Q_2$ और $Q_3$ में विभाजित हो जाता है। अतः,$Q = Q_2 + Q_3$। कथन $II$ सही है।
$2$. विभवांतर के लिए: चूंकि $C_2$ और $C_3$ समानांतर में हैं,इसलिए उनके सिरों पर विभवांतर समान है $(V_2 = V_3)$। हालांकि,$C_1$ पर विभवांतर $(V_1 = Q/C_1)$ सामान्यतः समानांतर संयोजन के विभवांतर $(V_{23} = Q/(C_2+C_3))$ के बराबर नहीं होता है। अतः,कथन $III$ गलत है।
$3$. संचित ऊर्जा के लिए: संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = Q^2 / (2C)$ होती है। चूंकि $Q_1 = Q$ है,इसलिए $U_1 = Q^2 / (2C_1)$। समानांतर संयोजन में ऊर्जा $U_{23} = Q_2^2 / (2C_2) + Q_3^2 / (2C_3)$ है। ये सामान्यतः बराबर नहीं होते हैं। अतः,कथन $I$ गलत है।
इसलिए,केवल कथन $II$ सही है।

(C) दिए गए परिपथ में,तीनों संधारित्र बिंदु $A$ और $B$ के बीच समांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
कनेक्शनों को ट्रेस करने पर,हम देख सकते हैं कि प्रत्येक संधारित्र की एक प्लेट बिंदु $A$ से जुड़ी है और प्रत्येक संधारित्र की दूसरी प्लेट बिंदु $B$ से जुड़ी है।
समांतर क्रम में जुड़े संधारित्रों के लिए,तुल्य धारिता $C_{eq}$ व्यक्तिगत धारिताओं के योग द्वारा दी जाती है:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3$
यहाँ $C_1 = C_2 = C_3 = 1\,\mu F$ दिया गया है,
इसलिए,$C_{eq} = 1\,\mu F + 1\,\mu F + 1\,\mu F = 3\,\mu F$।

(D) परिपथ आरेख से,हम देख सकते हैं कि निचली शाखा में तीन संधारित्र श्रेणी क्रम में जुड़े हुए हैं। इन तीन संधारित्रों की तुल्य धारिता $\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{3}{C}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है कि $C_s = \frac{C}{3}$ है।
यह तुल्य संधारित्र $C_s$ ऊपरी संधारित्र $C$ के साथ समांतर क्रम में जुड़ा हुआ है। इसलिए,$A$ और $B$ बिंदुओं के बीच कुल तुल्य धारिता $C_{eq} = C_s + C = \frac{C}{3} + C = \frac{4C}{3}$ है।

(B) $1$. दो $4 \, \mu F$ संधारित्र समानांतर क्रम में जुड़े हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_p = 4 \, \mu F + 4 \, \mu F = 8 \, \mu F$ है।
$2$. ऊपरी शाखा में $2 \, \mu F$ और $3 \, \mu F$ के संधारित्र श्रेणी क्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_1$ के लिए $\frac{1}{C_1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$,इसलिए $C_1 = \frac{6}{5} \, \mu F$ है।
$3$. इसी प्रकार,निचली शाखा में $2 \, \mu F$ और $3 \, \mu F$ के संधारित्र श्रेणी क्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_2 = \frac{6}{5} \, \mu F$ है।
$4$. अब,परिपथ में $A$ और $B$ के बीच $C_1$,$C_p$ और $C_2$ श्रेणी क्रम में जुड़े हुए हैं।
$5$. कुल तुल्य धारिता $C_{eq}$ के लिए $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_p} + \frac{1}{C_2} = \frac{5}{6} + \frac{1}{8} + \frac{5}{6}$ है।
$6$. $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{10}{6} + \frac{1}{8} = \frac{5}{3} + \frac{1}{8} = \frac{40 + 3}{24} = \frac{43}{24}$ प्राप्त होता है।
$7$. अतः,$C_{eq} = \frac{24}{43} \, \mu F$ है।

(A) श्रेणीक्रम में जुड़े संधारित्रों के लिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ का सूत्र $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = \frac{6}{6} = 1\,\mu F$.
अतः,$C_{eq} = 1\,\mu F$.
बैटरी द्वारा प्रदान किया गया कुल आवेश $Q = C_{eq} \times V = 1\,\mu F \times 24\,V = 24\,\mu C$ है।
श्रेणीक्रम संयोजन में प्रत्येक संधारित्र पर आवेश समान होता है।
इसलिए,$6\,\mu F$ के संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V' = \frac{Q}{C_3} = \frac{24\,\mu C}{6\,\mu F} = 4\,V$ होगा।

(B) जब संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो तुल्य धारिता $C_{eq}$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$
यहाँ $C_1 = 1\,\mu F$ और $C_2 = 2\,\mu F$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} = \frac{2+1}{2} = \frac{3}{2}$
अतः,$C_{eq} = \frac{2}{3}\,\mu F \approx 0.67\,\mu F$।

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक समान संधारित्र की धारिता $C$ है।
जब श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य धारिता $C_s = \frac{C}{2}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $C_s = 3\,\mu F$,इसलिए $\frac{C}{2} = 3$,जिसका अर्थ है $C = 6\,\mu F$।
जब समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य धारिता $C_p = C + C = 2C$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $C_p = 12\,\mu F$,इसलिए $2C = 12$,जिसका अर्थ है $C = 6\,\mu F$।
अतः,प्रत्येक संधारित्र की धारिता $6\,\mu F$ है।

(C) $2 \mu F$ के दो संधारित्र समानांतर क्रम में जुड़े हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_p = 2 \mu F + 2 \mu F = 4 \mu F$ है।
अब,परिपथ में $A$ और $B$ बिंदुओं के बीच श्रेणी क्रम में प्रत्येक $4 \mu F$ के तीन संधारित्र जुड़े हुए हैं।
श्रेणी क्रम के लिए तुल्य धारिता $C_{AB}$ का सूत्र $\frac{1}{C_{AB}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{C_{AB}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$।
अतः,$C_{AB} = \frac{4}{3} \mu F$ प्राप्त होता है।

(C) परिपथ में एक संधारित्र दो समानांतर संधारित्रों के साथ श्रेणीक्रम में है,और यह पूरा संयोजन चौथे संधारित्र के साथ समानांतर क्रम में है।
$1$. सबसे पहले,समानांतर क्रम में जुड़े दो संधारित्रों पर विचार करें। उनकी तुल्य धारिता $C_p = C + C = 2C$ है।
$2$. यह संयोजन $C$ धारिता वाले तीसरे संधारित्र के साथ श्रेणीक्रम में है। इस श्रेणी शाखा की तुल्य धारिता $C_s = \frac{C \times 2C}{C + 2C} = \frac{2C^2}{3C} = \frac{2}{3}C$ है।
$3$. अंत में,यह शाखा $C$ धारिता वाले चौथे संधारित्र के साथ समानांतर क्रम में है। अतः $A$ और $B$ के बीच कुल प्रभावी धारिता $C_{AB} = C_s + C = \frac{2}{3}C + C = \frac{5}{3}C$ है।

(A) इस परिपथ में पाँच संधारित्र हैं,जिनमें से प्रत्येक की धारिता $C$ है।
परिपथ को देखने पर,बाईं ओर के दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,और उनकी तुल्य धारिता $C_{s1} = \frac{C \times C}{C + C} = \frac{C}{2}$ है।
इसी प्रकार,दाईं ओर के दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,और उनकी तुल्य धारिता $C_{s2} = \frac{C \times C}{C + C} = \frac{C}{2}$ है।
अब,ये दोनों तुल्य संधारित्र ($C_{s1}$ और $C_{s2}$) बीच वाले संधारित्र (जिसकी धारिता $C$ है) के साथ समांतर क्रम में हैं।
अतः,बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच कुल प्रभावी धारिता $C_{AB} = C_{s1} + C_{s2} + C = \frac{C}{2} + \frac{C}{2} + C = C + C = 2\,C$ होगी।

(B) मान लीजिए कि तीन संधारित्र $C_1 = C_2 = C_3 = 4\,\mu F$ हैं।
यदि हम दो संधारित्रों को श्रेणी क्रम में जोड़ते हैं,तो उनकी तुल्य धारिता $C_s$ इस प्रकार होगी:
$\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
अतः,$C_s = 2\,\mu F$।
अब,यदि हम इस संयोजन को तीसरे संधारित्र $C_3$ के साथ समानांतर क्रम में जोड़ते हैं,तो कुल प्रभावी धारिता $C_{eq}$ होगी:
$C_{eq} = C_s + C_3 = 2\,\mu F + 4\,\mu F = 6\,\mu F$।
इस प्रकार,दो संधारित्रों को श्रेणी क्रम में और एक को समानांतर क्रम में जोड़ने पर $6\,\mu F$ की प्रभावी धारिता प्राप्त होती है।

(A) अधिकतम धारिता प्राप्त करने के लिए,संधारित्रों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाना चाहिए।
समानांतर संयोजन में,तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि सभी संधारित्रों की धारिता समान $C = 3\,\mu F$ है,इसलिए $C_{max} = 3C = 3 \times 3\,\mu F = 9\,\mu F$ होगा।
न्यूनतम धारिता प्राप्त करने के लिए,संधारित्रों को श्रेणी क्रम में जोड़ा जाना चाहिए।
श्रेणी संयोजन में,तुल्य धारिता $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$C_{min} = \frac{C}{3} = \frac{3\,\mu F}{3} = 1\,\mu F$ होगा।
इसलिए,अधिकतम और न्यूनतम धारिता क्रमशः $9\,\mu F$ और $1\,\mu F$ है।

(C) श्रेणी क्रम में जुड़े संधारित्रों के लिए,तुल्य धारिता $C_{eq}$ का सूत्र $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{8} = \frac{8+4+1}{8} = \frac{13}{8}$.
अतः,$C_{eq} = \frac{8}{13}\,\mu F$.
बैटरी द्वारा प्रदान किया गया कुल आवेश $Q = C_{eq} \times V = \frac{8}{13} \times 13 = 8\,\mu C$ है।
श्रेणी परिपथ में,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश समान होता है और कुल आवेश $Q$ के बराबर होता है।
इसलिए,$2\,\mu F$ संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_2 = \frac{Q}{C_2} = \frac{8\,\mu C}{2\,\mu F} = 4\,V$ होगा।

(D) श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों की तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{2 \times 3}{2 + 3} = \frac{6}{5}\ \mu F$ है।
कुल आवेश $Q = C_{eq} \times V = \frac{6}{5} \times 1000 = 1200\ \mu C$ होगा।
श्रेणीक्रम में प्रत्येक संधारित्र पर समान आवेश $Q = 1200\ \mu C$ होता है।
$2\ \mu F$ संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{1200}{2} = 600\ V$ है।
चूंकि पहले संधारित्र की बाहरी प्लेट $1000\ V$ पर है,इसलिए इसकी आंतरिक प्लेट (जो दूसरे संधारित्र के साथ साझा है) पर विभव $V_{inner} = 1000 - 600 = 400\ V$ होगा।

(B) दी गई सर्किट में $A$ और $B$ बिंदुओं के बीच श्रेणीक्रम में जुड़े संधारित्रों के दो समूह हैं।
प्रत्येक समूह में समानांतर क्रम में जुड़े तीन समान संधारित्र हैं।
मान लीजिए कि प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C$ है।
तीन संधारित्रों के समानांतर संयोजन के लिए,समतुल्य धारिता $C_{eq} = C + C + C = 3C$ होती है।
चूंकि प्रत्येक संधारित्र अधिकतम $200\, V$ सहन कर सकता है,इसलिए तीन संधारित्रों का पूरा समानांतर समूह भी अधिकतम $200\, V$ सहन कर सकता है।
यह सर्किट प्रभावी रूप से श्रेणीक्रम में जुड़े $3C$ के दो समतुल्य संधारित्र बन जाती है।
मान लीजिए $V_1$ और $V_2$ दो समूहों के बीच का वोल्टेज है। चूंकि प्रत्येक समूह में संधारित्र समान हैं,इसलिए कुल वोल्टेज $V_{AB}$ दोनों समूहों के बीच समान रूप से विभाजित होता है।
$V_{AB} = V_1 + V_2 = 200\, V + 200\, V = 400\, V$.
अतः,$A$ और $B$ के बीच सुरक्षित रूप से लगाया जा सकने वाला अधिकतम वोल्टेज $400\, V$ है।

(D) दिए गए परिपथ में तीन प्लेटें हैं। मान लीजिए कि बीच वाली प्लेट टर्मिनल $A$ से जुड़ी है और ऊपर तथा नीचे वाली प्लेटें एक साथ टर्मिनल $B$ से जुड़ी हैं।
यह व्यवस्था समानांतर क्रम में दो संधारित्र बनाती है,जिनमें से प्रत्येक बीच वाली प्लेट और बाहरी प्लेटों में से एक द्वारा निर्मित होता है।
प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
चूंकि दोनों संधारित्र समानांतर क्रम में हैं,इसलिए प्रभावी धारिता $C_{eq} = C + C = 2C$ होगी।
$C$ का मान रखने पर,हमें $C_{eq} = \frac{2\varepsilon_0 A}{d}$ प्राप्त होता है।

(B) जब संधारित्रों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य धारिता $C_{eq}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{3 + 2 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$
अतः,$C_{eq} = 1\,\mu F$।

(D) दिया गया परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज है। हम भुजाओं में संधारित्रों के अनुपात की जाँच करते हैं: $\frac{C_1}{C_2} = \frac{3}{4}$ और $\frac{C_3}{C_4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
चूँकि अनुपात समान हैं,इसलिए ब्रिज संतुलित है।
एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,केंद्रीय संधारित्र $(2\,\mu F)$ के सिरों पर विभवांतर शून्य होता है,इसलिए इसे परिपथ से हटाया जा सकता है।
अब,$3\,\mu F$ और $6\,\mu F$ के संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,और $4\,\mu F$ और $8\,\mu F$ के संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं।
ऊपरी शाखा की तुल्य धारिता $C_{up} = \frac{3 \times 6}{3 + 6} = \frac{18}{9} = 2\,\mu F$ है।
निचली शाखा की तुल्य धारिता $C_{low} = \frac{4 \times 8}{4 + 8} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3}\,\mu F$ है।
ये दोनों शाखाएँ समानांतर क्रम में हैं,इसलिए कुल प्रभावी धारिता $C_{AB} = C_{up} + C_{low} = 2 + \frac{8}{3} = \frac{6 + 8}{3} = \frac{14}{3}\,\mu F$ होगी।

(D) श्रेणीक्रम संयोजन में,तुल्य धारिता $C_{eq}$ का सूत्र $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6+3+2}{6} = \frac{11}{6}$.
अतः,$C_{eq} = \frac{6}{11}\ \mu F$.
बैटरी द्वारा आपूर्ति किया गया कुल आवेश $Q = C_{eq} \times V = \frac{6}{11}\ \mu F \times 11\ V = 6\ \mu C$.
श्रेणीक्रम परिपथ में,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश समान होता है। इसलिए,$1\ \mu F$ संधारित्र पर आवेश $6\ \mu C$ है।
$1\ \mu F$ संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{6\ \mu C}{1\ \mu F} = 6\ V$ होगा।

(B) माना कि दिए गए संधारित्र की धारिता $C = 8\,\mu F$ और वोल्टेज रेटिंग $V = 250\,V$ है। आवश्यक संयुक्त संधारित्र की धारिता $C' = 16\,\mu F$ और वोल्टेज रेटिंग $V' = 1000\,V$ है।
माना कि संधारित्रों की $m$ पंक्तियाँ समानांतर क्रम में जुड़ी हैं,और प्रत्येक पंक्ति में $n$ संधारित्र श्रेणी क्रम में जुड़े हैं।
श्रेणी क्रम की प्रत्येक पंक्ति में प्रत्येक संधारित्र पर विभवांतर $V = \frac{V'}{n}$ होता है।
मान रखने पर: $250 = \frac{1000}{n} \implies n = 4$।
नेटवर्क की तुल्य धारिता $C' = \frac{mC}{n}$ होती है।
मान रखने पर: $16 = \frac{m \times 8}{4} \implies 16 = 2m \implies m = 8$।
आवश्यक कुल संधारित्रों की संख्या $N = n \times m = 4 \times 8 = 32$ है।
वैकल्पिक रूप से,सूत्र का उपयोग करते हुए: $N = \frac{C'}{C} \times \left( \frac{V'}{V} \right)^2 = \frac{16}{8} \times \left( \frac{1000}{250} \right)^2 = 2 \times (4)^2 = 2 \times 16 = 32$।

(B) यह परिपथ समानांतर क्रम में जुड़ी अनंत पंक्तियों से बना है।
प्रत्येक पंक्ति में श्रेणी क्रम में जुड़े कुछ संधारित्र हैं।
- पहली पंक्ति में $1\,\mu F$ का $1$ संधारित्र है। इसकी तुल्य धारिता $C_1 = 1\,\mu F$ है।
- दूसरी पंक्ति में श्रेणी क्रम में $2$ संधारित्र हैं,प्रत्येक $1\,\mu F$ का। इसकी तुल्य धारिता $C_2 = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}\,\mu F$ है।
- तीसरी पंक्ति में श्रेणी क्रम में $4$ संधारित्र हैं,प्रत्येक $1\,\mu F$ का। इसकी तुल्य धारिता $C_3 = \frac{1}{1+1+1+1} = \frac{1}{4}\,\mu F$ है।
- $n$-वीं पंक्ति में श्रेणी क्रम में $2^{n-1}$ संधारित्र हैं। इसकी तुल्य धारिता $C_n = \frac{1}{2^{n-1}}\,\mu F$ है।
चूंकि ये सभी पंक्तियाँ समानांतर क्रम में जुड़ी हैं,इसलिए कुल तुल्य धारिता $C_{eq}$ प्रत्येक पंक्ति की धारिताओं का योग है:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3 + ... = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ...$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी ($G$.$P$.) है जिसमें प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{2}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $C_{eq} = \frac{1}{1 - 1/2} = \frac{1}{1/2} = 2\,\mu F$.

(A) मान लीजिए कि बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच सीढ़ी की समतुल्य धारिता $C_{eq}$ है।
यदि हम सीढ़ी में एक और खंड जोड़ते हैं,तो समतुल्य धारिता अपरिवर्तित रहती है क्योंकि सीढ़ी अनंत है या शर्त के लिए प्रभावी रूप से वैसा ही व्यवहार करती है।
परिपथ को देखने पर,पहले खंड में $2\,\mu F$ का संधारित्र बाकी सीढ़ी के साथ समानांतर में है,जो $4\,\mu F$ के संधारित्र के साथ श्रेणीक्रम में है।
अतः,$C_{eq} = 2 + \frac{4 \times C_{eq}}{4 + C_{eq}}$।
$C_{eq}$ के लिए हल करने पर:
$C_{eq} - 2 = \frac{4 C_{eq}}{4 + C_{eq}}$
$(C_{eq} - 2)(4 + C_{eq}) = 4 C_{eq}$
$4 C_{eq} + C_{eq}^2 - 8 - 2 C_{eq} = 4 C_{eq}$
$C_{eq}^2 - 2 C_{eq} - 8 = 0$
$(C_{eq} - 4)(C_{eq} + 2) = 0$
चूंकि धारिता ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $C_{eq} = 4\,\mu F$।
सीढ़ी के खंडों की संख्या से स्वतंत्र होने के लिए,अंतिम संधारित्र $C$ को इस समतुल्य धारिता $C_{eq}$ के बराबर होना चाहिए।
इसलिए,$C = 4\,\mu F$।

(C) श्रेणीक्रम संयोजन में,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q$ समान होता है।
सबसे पहले,प्रत्येक संधारित्र द्वारा सहन किया जा सकने वाला अधिकतम आवेश ज्ञात करें:
$(Q_1)_{max} = C_1 V_1 = 1\ \mu F \times 6\ kV = 6\ \mu C$.
$(Q_2)_{max} = C_2 V_2 = 3\ \mu F \times 4\ kV = 12\ \mu C$.
चूंकि संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए प्रणाली पर अधिकतम आवेश उस संधारित्र द्वारा सीमित होगा जो कम आवेश सहन कर सकता है,जो कि $6\ \mu C$ है।
जब प्रणाली पर $Q = 6\ \mu C$ आवेश होता है,तो $C_1$ के सिरों पर विभवांतर $V_1 = 6\ kV$ होता है और $C_2$ के सिरों पर विभवांतर $V_2 = Q / C_2 = 6\ \mu C / 3\ \mu F = 2\ kV$ होता है।
अतः,श्रेणीक्रम संयोजन द्वारा सहन किया जा सकने वाला कुल अधिकतम वोल्टेज $V_{total} = V_1 + V_2 = 6\ kV + 2\ kV = 8\ kV$ है।

(C) संधारित्रों के श्रेणीक्रम संयोजन में,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q$ समान होता है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V = \frac{Q}{C}$ द्वारा दिया जाता है।
ग्राफ से,पहले संधारित्र $(C_1)$ पर विभव पतन दूसरे संधारित्र $(C_2)$ पर विभव पतन से अधिक है।
मान लीजिए $V_1$,$C_1$ के सिरों पर विभवांतर है और $V_2$,$C_2$ के सिरों पर विभवांतर है।
चूंकि $V_1 > V_2$ और $Q = C_1 V_1 = C_2 V_2$,इसलिए हमारे पास $\frac{C_1}{C_2} = \frac{V_2}{V_1}$ है।
चूंकि $V_1 > V_2$,इसलिए $\frac{V_2}{V_1} < 1$ होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{C_1}{C_2} < 1$,या ${C_1} < {C_2}$।

(A) एक संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$ है,जहाँ $C_{eq}$ तुल्य धारिता है और $V$ संयोजन के सिरों पर विभवांतर है।
चूंकि विभवांतर $V$ स्थिर है,इसलिए संचित ऊर्जा $U$ तुल्य धारिता $C_{eq}$ के सीधे आनुपातिक है $(U \propto C_{eq})$।
संचित ऊर्जा को अधिकतम करने के लिए,हमें तुल्य धारिता $C_{eq}$ को अधिकतम करना होगा।
दिए गए संधारित्रों के लिए,तुल्य धारिता तब अधिकतम होती है जब उन्हें समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है $(C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3)$।
इसलिए,संचित ऊर्जा को अधिकतम करने के लिए सभी संधारित्रों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाना चाहिए।

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C = 1 \ \mu\text{F}$ है।
यदि दो संधारित्रों को श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है,तो उनकी तुल्य धारिता $C_s = \frac{C \times C}{C + C} = \frac{C}{2} = 0.5 \ \mu\text{F}$ होती है।
यदि इस संयोजन को तीसरे संधारित्र के साथ समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल तुल्य धारिता $C_{\text{eff}} = C_s + C = 0.5 \ \mu\text{F} + 1 \ \mu\text{F} = 1.5 \ \mu\text{F}$ होती है।
अतः,तीसरा संधारित्र अन्य दो संधारित्रों के श्रेणी संयोजन के साथ समानांतर क्रम में जुड़ा हुआ है।

(D) दिया गया परिपथ एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज है।
व्हीटस्टोन ब्रिज में,यदि विपरीत भुजाओं के संधारित्रों का अनुपात समान है,तो मध्य संधारित्र $(C_5 = 20 \ \mu F)$ में कोई आवेश प्रवाहित नहीं होता है और इसे हटाया जा सकता है।
यहाँ,$\frac{C_1}{C_3} = \frac{6 \ \mu F}{6 \ \mu F} = 1$ और $\frac{C_2}{C_4} = \frac{6 \ \mu F}{6 \ \mu F} = 1$ है।
चूँकि अनुपात समान हैं,ब्रिज संतुलित है।
$C_5$ को हटाने पर,परिपथ दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है:
शाखा $1$: $C_1$ और $C_2$ श्रेणीक्रम में हैं। $C_{s1} = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = 3 \ \mu F$।
शाखा $2$: $C_3$ और $C_4$ श्रेणीक्रम में हैं। $C_{s2} = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = 3 \ \mu F$।
कुल प्रभावी धारिता $C_{eq} = C_{s1} + C_{s2} = 3 + 3 = 6 \ \mu F$ है।

(C) चूंकि संधारित्र $C_1$ और $C_2$ श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं,इसलिए दोनों संधारित्रों पर आवेश $Q$ समान होगा।
मान लीजिए कि बिंदु $D$ पर विभव $V_D$ है।
संधारित्र $C_1$ पर आवेश $Q = C_1(V_1 - V_D)$ है।
संधारित्र $C_2$ पर आवेश $Q = C_2(V_D - V_2)$ है।
दोनों आवेशों को बराबर करने पर: $C_1(V_1 - V_D) = C_2(V_D - V_2)$।
पदों का विस्तार करने पर: $C_1V_1 - C_1V_D = C_2V_D - C_2V_2$।
$V_D$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $C_1V_1 + C_2V_2 = C_1V_D + C_2V_D$।
$C_1V_1 + C_2V_2 = V_D(C_1 + C_2)$।
अतः,$V_D = \frac{C_1V_1 + C_2V_2}{C_1 + C_2}$।

(A) समांतर क्रम में जुड़े संधारित्रों के लिए, तुल्य धारिता $C_{eq}$ व्यक्तिगत धारिताओं का योग होती है।
$C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3 + \dots + C_n$
दिए गए मान $C, 2C, 4C, \dots, \infty$ हैं, इसलिए तुल्य धारिता होगी:
$C_{eq} = C + 2C + 4C + \dots + \infty$
$C_{eq} = C(1 + 2 + 4 + \dots + \infty)$
श्रेणी $(1 + 2 + 4 + \dots)$ एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका सार्व अनुपात $r = 2$ है। चूंकि $r > 1$, इसलिए इस अनंत श्रेणी का योग अनंत ($\infty$) की ओर अग्रसर होता है।
अतः, $C_{eq} = C \times \infty = \infty$.

(A) यह परिपथ बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच जुड़ी चार समानांतर शाखाओं से बना है।
$1$. ऊपरी शाखा में $C$ धारिता वाले दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए उनकी तुल्य धारिता $C_{1} = \frac{C \times C}{C + C} = \frac{C}{2}$ है।
$2$. निचली शाखा में भी $C$ धारिता वाले दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए इसकी तुल्य धारिता $C_{4} = \frac{C}{2}$ है।
$3$. बीच की दो शाखाएँ एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज जैसी संरचना बनाती हैं। बीच की शाखा (नोड $D$ और $E$ के बीच) में स्थित संधारित्र पर कोई आवेश नहीं आता है क्योंकि $D$ और $E$ बिंदुओं का विभव समान है। इसलिए,मध्य संधारित्र को नगण्य माना जा सकता है।
$4$. दूसरी शाखा के लिए,दो $C$ संधारित्रों का श्रेणी संयोजन $\frac{C}{2}$ देता है। इसी प्रकार,तीसरी शाखा के लिए भी श्रेणी संयोजन $\frac{C}{2}$ देता है।
$5$. चूंकि चारों शाखाएँ समानांतर में हैं,इसलिए कुल तुल्य धारिता $C_{AB} = \frac{C}{2} + \frac{C}{2} + \frac{C}{2} + \frac{C}{2} = 2C$ है।
अतः,सही उत्तर $2$ है।

(B) सबसे पहले,श्रेणीक्रम में $C_1$ और $C_2$ की तुल्य धारिता की गणना करें:
$C_{12} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{2 \times 6}{2 + 6} = \frac{12}{8} = 1.5 \,\mu F$.
इसके बाद,परिपथ की कुल तुल्य धारिता $C_{eq}$ की गणना करें,जहाँ $C_{12}$ और $C_3$ समानांतर क्रम में हैं:
$C_{eq} = C_{12} + C_3 = 1.5 \,\mu F + 4 \,\mu F = 5.5 \,\mu F = 5.5 \times 10^{-6} \,F$.
बैटरी द्वारा प्रदान की गई ऊर्जा $E = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $V = 2 \,V$:
$E = \frac{1}{2} \times (5.5 \times 10^{-6}) \times (2)^2$
$E = \frac{1}{2} \times 5.5 \times 10^{-6} \times 4$
$E = 11 \times 10^{-6} \,J$.

(A) श्रेणीक्रम संयोजन में तुल्य धारिता $C_{eq}$ का सूत्र $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = \frac{6}{6} = 1\ \mu F$.
बैटरी द्वारा प्रदान किया गया कुल आवेश $Q = C_{eq} \times V = 1\ \mu F \times 24\ V = 24\ \mu C$ है।
श्रेणीक्रम में प्रत्येक संधारित्र पर आवेश समान होता है,इसलिए $6\ \mu F$ के संधारित्र पर भी $Q = 24\ \mu C$ आवेश होगा।
$6\ \mu F$ के संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V' = \frac{Q}{C} = \frac{24\ \mu C}{6\ \mu F} = 4\ V$ प्राप्त होता है।

(C) जब संधारित्रों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्यांकी धारिता $C_{eq}$ का सूत्र है: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$।
चूंकि $C_1 = C_2 = C_3 = C$ है,इसलिए $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{3}{C}$ प्राप्त होता है।
अतः,$C_{eq} = \frac{C}{3}$।
श्रेणीक्रम में,कुल ब्रेकडाउन वोल्टेज $V_{total}$ प्रत्येक संधारित्र के व्यक्तिगत ब्रेकडाउन वोल्टेज का योग होता है: $V_{total} = V_1 + V_2 + V_3$।
दिया गया है कि $V_1 = V_2 = V_3 = V$,इसलिए $V_{total} = V + V + V = 3V$।
इस प्रकार,तुल्यांकी धारिता $C/3$ और तुल्यांकी ब्रेकडाउन वोल्टेज $3V$ है।

(C) श्रेणीक्रम में जुड़े संधारित्रों के लिए,तुल्य धारिता $C_{eq}$ का सूत्र है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} + ... + \infty$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{4C} + \frac{1}{16C} + ... + \infty$
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C} \left( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + ... + \infty \right)$
कोष्ठक में दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी ($G$.$P$.) है,जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{4}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ द्वारा दिया जाता है।
$S_{\infty} = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.
अतः,$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C} \times \frac{4}{3} = \frac{4}{3C}$.
इस प्रकार,$C_{eq} = \frac{3}{4}C = 0.75C$.

(D) धारिता वाले $n$ संधारित्रों के लिए,न्यूनतम धारिता तब प्राप्त होती है जब उन्हें श्रेणीक्रम (series) में जोड़ा जाता है: $C_{min} = \frac{C}{n} = \frac{6 \ \mu F}{3} = 2 \ \mu F$.
अधिकतम धारिता तब प्राप्त होती है जब उन्हें समांतर क्रम (parallel) में जोड़ा जाता है: $C_{max} = n \times C = 3 \times 6 \ \mu F = 18 \ \mu F$.
अतः,न्यूनतम और अधिकतम धारिता क्रमशः $2 \ \mu F$ और $18 \ \mu F$ है।

(B) कैपेसिटर $E$ वोल्ट की बैटरी के साथ समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
चूंकि दोनों कैपेसिटर पर विभवांतर $V$ समान है $(V = E)$,इसलिए प्रत्येक कैपेसिटर पर आवेश $Q = CV$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
अतः,आवेशों का अनुपात होगा:
$\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{C_1 V}{C_2 V} = \frac{C_1}{C_2}$
यहाँ $C_1 = 4 \mu F$ और $C_2 = 2 \mu F$ दिया गया है:
$\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{4 \mu F}{2 \mu F} = \frac{2}{1}$
अतः,अनुपात $2 : 1$ है।

(B) $1$. $6\, \mu F$ और $3\, \mu F$ के संधारित्र समानांतर क्रम में जुड़े हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_p = 6\, \mu F + 3\, \mu F = 9\, \mu F$ है।
$2$. अब,यह तुल्य संधारित्र $C_p = 9\, \mu F$,$9\, \mu F$ के संधारित्र के साथ श्रेणी क्रम में है।
$3$. परिपथ की कुल धारिता $C_{eq}$ का मान $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$ से प्राप्त होता है,इसलिए $C_{eq} = 4.5\, \mu F$ है।
$4$. बैटरी द्वारा प्रदान किया गया कुल आवेश $Q = C_{eq} \times V = 4.5\, \mu F \times 10\, V = 45\, \mu C$ है।
$5$. चूंकि $9\, \mu F$ संधारित्र समानांतर संयोजन के साथ श्रेणी क्रम में है,इसलिए इसमें से समान आवेश $Q = 45\, \mu C$ प्रवाहित होगा।
$6$. $9\, \mu F$ संधारित्र पर विभवांतर $V_9 = \frac{Q}{C} = \frac{45\, \mu C}{9\, \mu F} = 5\, V$ होगा।

(B) श्रेणी संयोजन में,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q$ समान होता है।
सबसे पहले,श्रेणी में जुड़े दो संधारित्रों के लिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ की गणना करें:
$C_{eq} = \frac{C_1 \times C_2}{C_1 + C_2} = \frac{2.0 \times 8.0}{2.0 + 8.0} \mu F = \frac{16}{10} \mu F = 1.6 \mu F$.
स्रोत द्वारा प्रदान किया गया कुल आवेश $Q$,$Q = C_{eq} \times V$ द्वारा दिया जाता है।
$Q = 1.6 \times 10^{-6}\ F \times 300\ V = 480 \times 10^{-6}\ C = 4.8 \times 10^{-4}\ C$.
चूंकि संधारित्र श्रेणी में हैं,इसलिए $2.0\ \mu F$ के संधारित्र पर आवेश कुल आवेश $Q$ के बराबर ही होगा,जो कि $4.8 \times 10^{-4}\ C$ है।

(C) $1$. परिपथ का ध्यानपूर्वक अवलोकन करें। बिंदु $A$ से जुड़े दो $1\ \mu F$ के संधारित्र एक-दूसरे के साथ समानांतर क्रम में हैं।
$2$. इन दो समानांतर संधारित्रों की तुल्य धारिता $C_p = 1\ \mu F + 1\ \mu F = 2\ \mu F$ है।
$3$. अब,यह $C_p$ दूसरे $1\ \mu F$ के संधारित्र के साथ श्रेणी क्रम में है। इस श्रेणी शाखा की तुल्य धारिता $C_s = \frac{2 \times 1}{2 + 1} = \frac{2}{3}\ \mu F$ है।
$4$. अंत में,यह $C_s$,बिंदु $A$ और $B$ के बीच सीधे जुड़े $2\ \mu F$ के संधारित्र के साथ समानांतर क्रम में है।
$5$. कुल तुल्य धारिता $C_{AB} = C_s + 2\ \mu F = \frac{2}{3} + 2 = \frac{2 + 6}{3} = \frac{8}{3}\ \mu F$ है।

(A) श्रेणीक्रम संयोजन में,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q$ समान होता है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{Q^2}{2C}$ है।
चूंकि श्रेणीक्रम में $Q$ स्थिर रहता है,इसलिए संचित ऊर्जा धारिता के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $U \propto \frac{1}{C}$।
अतः,पहले संधारित्र $(U_1)$ और दूसरे संधारित्र $(U_2)$ में संचित ऊर्जा का अनुपात है:
$\frac{U_1}{U_2} = \frac{C_2}{C_1} = \frac{0.3 \ \mu F}{0.6 \ \mu F} = \frac{1}{2} = 0.5$.

(C) परिपथ आरेख से,$C_4$ सीधे $V$ विभव की बैटरी से जुड़ा है। इसलिए,$C_4$ पर आवेश $Q_4 = C_4 V = (4C)V = 4CV$ है।
ऊपरी शाखा में $C_3$,$C_2$ और $C_1$ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं। इस शाखा की तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_3} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_1} = \frac{1}{3C} + \frac{1}{2C} + \frac{1}{C} = \frac{2+3+6}{6C} = \frac{11}{6C}$.
अतः,$C_{eq} = \frac{6C}{11}$.
इस शाखा पर आवेश $Q_{branch} = C_{eq} V = \frac{6CV}{11}$ है।
चूंकि $C_2$ इस शाखा में श्रेणीक्रम में है,इसलिए $C_2$ पर आवेश $Q_2 = Q_{branch} = \frac{6CV}{11}$ है।
आवेशों का अनुपात $\frac{Q_2}{Q_4} = \frac{6CV/11}{4CV} = \frac{6}{11 \times 4} = \frac{6}{44} = \frac{3}{22}$ है।

(A) दिए गए परिपथ आरेख का विश्लेषण करने पर,हम देख सकते हैं कि तीनों संधारित्र $(C_1, C_2, C_3)$ बिंदुओं $a$ और $b$ के बीच समांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
प्रत्येक संधारित्र का मान $3 \ \mu F$ है।
समांतर क्रम में जुड़े संधारित्रों के लिए,तुल्य धारिता व्यक्तिगत धारिताओं के योग के बराबर होती है:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3$
$C_{eq} = 3 \ \mu F + 3 \ \mu F + 3 \ \mu F = 9 \ \mu F$.
अतः,बिंदुओं $a$ और $b$ के बीच तुल्य धारिता $9 \ \mu F$ है।

(B) परिपथ में दो समानांतर शाखाएँ हैं जो $V$ विभव की बैटरी से जुड़ी हैं।
शाखा $A$ में $C_1, C_2$ और $C_3$ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं। इस शाखा की तुल्य धारिता:
$\frac{1}{C_A} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} + \frac{1}{3C} = \frac{6+3+2}{6C} = \frac{11}{6C}$
अतः,$C_A = \frac{6C}{11}$.
शाखा $A$ पर आवेश $Q_A = C_A V = \frac{6CV}{11}$ है। श्रेणीक्रम में प्रत्येक संधारित्र पर आवेश समान होता है,इसलिए $Q_{C2} = Q_A = \frac{6CV}{11}$.
शाखा $B$ में केवल $C_4$ संधारित्र है जो शाखा $A$ के समानांतर है। $C_4$ पर आवेश $Q_{C4} = C_4 V = 4CV$ है।
$C_2$ और $C_4$ पर आवेशों का अनुपात:
$\frac{Q_{C2}}{Q_{C4}} = \frac{6CV/11}{4CV} = \frac{6}{44} = \frac{3}{22}$.

(D) दिया गया परिपथ एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज है।
एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,केंद्रीय संधारित्र ($B$ और $D$ के बीच) आवेश के प्रवाह में योगदान नहीं देता है,इसलिए इसे हटाया जा सकता है।
अब,ऊपर के दो $6\ \mu F$ के संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,जिससे तुल्यांकी धारिता $C_1 = (6 \times 6) / (6 + 6) = 3\ \mu F$ प्राप्त होती है।
इसी प्रकार,नीचे के दो $6\ \mu F$ के संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,जिससे तुल्यांकी धारिता $C_2 = (6 \times 6) / (6 + 6) = 3\ \mu F$ प्राप्त होती है।
ये दोनों संयोजन ($C_1$ और $C_2$) एक-दूसरे के साथ समांतर क्रम में हैं।
अतः,कुल प्रभावी धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2 = 3\ \mu F + 3\ \mu F = 6\ \mu F$ है।

(C) दिए गए परिपथ को इस प्रकार सरल किया जा सकता है:
$1$. $4\, \mu F$ और $2\, \mu F$ के दो संधारित्र बिंदु $P$ और $B$ के बीच समानांतर क्रम में जुड़े हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_{eq} = 4\, \mu F + 2\, \mu F = 6\, \mu F$ है।
$2$. अब, परिपथ में $A$ और $B$ के बीच $3\, \mu F$ का संधारित्र और $6\, \mu F$ का संधारित्र श्रेणी क्रम में जुड़े हैं।
$3$. चूंकि संधारित्र श्रेणी क्रम में हैं, इसलिए दोनों पर आवेश $Q$ समान होगा।
$4$. $Q = CV$ का उपयोग करते हुए, $C_1(V_A - V_P) = C_{eq}(V_P - V_B)\text{.}$
$5$. मान रखने पर: $3\, \mu F \times (1200 - V_P) = 6\, \mu F \times (V_P - 0)\text{.}$
$6$. $3(1200 - V_P) = 6V_P \implies 1200 - V_P = 2V_P \implies 3V_P = 1200\text{.}$
$7$. अतः, $V_P = 400\, V$ प्राप्त होता है।

(D) समानांतर क्रम में जुड़े संधारित्रों के लिए,तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3$ होती है।
दिया है $C_1 + C_2 + C_3 = 12$ $... (i)$
दिया है $C_1 \cdot C_2 \cdot C_3 = 48$ $... (ii)$
दिया है $C_1 + C_2 = 6$ $... (iii)$
$(iii)$ का मान $(i)$ में रखने पर: $6 + C_3 = 12 \implies C_3 = 6$ इकाई।
$C_3 = 6$ का मान $(ii)$ में रखने पर: $C_1 \cdot C_2 \cdot 6 = 48 \implies C_1 \cdot C_2 = 8$.
हम जानते हैं कि $(C_1 - C_2)^2 = (C_1 + C_2)^2 - 4C_1 C_2$.
$(C_1 - C_2)^2 = (6)^2 - 4(8) = 36 - 32 = 4$.
अतः,$C_1 - C_2 = 2$ $... (iv)$.
$(iii)$ और $(iv)$ को हल करने पर: $2C_1 = 8 \implies C_1 = 4$ और $C_2 = 2$.
इस प्रकार,धारिताएँ $C_1 = 4, C_2 = 2, C_3 = 6$ हैं।

(C) $1$. दो $2 \, \mu F$ के संधारित्र समानांतर क्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_p = 2 \, \mu F + 2 \, \mu F = 4 \, \mu F$ है।
$2$. अब,चित्र का अवलोकन करने पर,ऊपर वाला $4 \, \mu F$ संधारित्र और समानांतर संयोजन से प्राप्त $4 \, \mu F$ संधारित्र श्रेणी क्रम में हैं,इसलिए उनकी तुल्य धारिता $C_{top} = (4 \times 4) / (4 + 4) = 2 \, \mu F$ है।
$3$. इसी प्रकार,नीचे वाला $4 \, \mu F$ संधारित्र और बाईं ओर का $4 \, \mu F$ संधारित्र श्रेणी क्रम में हैं,इसलिए उनकी तुल्य धारिता $C_{bottom} = (4 \times 4) / (4 + 4) = 2 \, \mu F$ है।
$4$. अंत में,ये दो शाखाएं ($C_{top}$ और $C_{bottom}$) $A$ और $B$ के बीच समानांतर क्रम में हैं। अतः,$C_{AB} = 2 \, \mu F + 2 \, \mu F = 4 \, \mu F$।

(C) परिपथ आरेख से,संधारित्र $C_1$,$C_2$ और $C_3$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है।
श्रेणीक्रम में जुड़े संधारित्रों के लिए,आवेश $Q$ समान रहता है। अतः,$C_1$ पर आवेश समानांतर संयोजन से प्रवाहित होने वाले कुल आवेश के बराबर होता है: $Q_1 = Q_2 + Q_3$.
समानांतर क्रम में जुड़े संधारित्रों के लिए,उनके सिरों पर विभवांतर $V$ समान होता है। अतः,$V_2 = V_3$.
बैटरी का कुल विभव $V$,$C_1$ के सिरों पर विभव और समानांतर संयोजन के सिरों पर विभव के योग के बराबर होता है: $V = V_1 + V_2$ (या $V = V_1 + V_3$).
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $C$ आवेश वितरण और विभव संबंध का सही वर्णन करता है।