Equivalent Capacitance of Capacitor connected in Series and Parallel Questions in Hindi

(B) जब $C$ धारिता वाले $n$ संधारित्रों को समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2 + ... + C_n = nC$ होती है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$ है।
$C_{eq}$ का मान रखने पर,हमें $U = \frac{1}{2} (nC) V^2 = \frac{1}{2} nC V^2$ प्राप्त होता है।

(A) जब संधारित्रों को समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो प्रत्येक संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V$ समान रहता है।
संयोजन में संचित कुल आवेश $q$ व्यक्तिगत संधारित्रों पर आवेशों का योग होता है: $q = q_1 + q_2$।
चूंकि $q = CV$,हम लिख सकते हैं: $CV = C_1 V + C_2 V$।
दोनों पक्षों को $V$ से विभाजित करने पर,हमें तुल्य धारिता प्राप्त होती है: $C = C_1 + C_2$।

(B) दी गई व्यवस्था में चार समानांतर प्लेटें हैं। मान लीजिए कि प्लेटों को ऊपर से नीचे $1, 2, 3, 4$ क्रमांकित किया गया है।
प्लेट $1$ और $3$ बिंदु $A$ से जुड़ी हैं,और प्लेट $2$ और $4$ बिंदु $B$ से जुड़ी हैं।
यह बिंदु $A$ और $B$ के बीच समानांतर संयोजन में तीन संधारित्र बनाता है।
चित्र को देखने पर,यह स्पष्ट है कि $4$ प्लेटों के बीच $3$ अंतराल हैं।
प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C = \frac{{\varepsilon _0}A}{d}$ है।
अतः,समतुल्य धारिता $C_{eq} = C + C + C = \frac{3{\varepsilon _0}A}{d}$ होगी।

(C) जब संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो तुल्य धारिता $C_{eq}$ का सूत्र है: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$.
दिए गए मान $C_1 = 4\,\mu F$ और $C_2 = 6\,\mu F$ रखने पर:
$C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{4 \times 6}{4 + 6} = \frac{24}{10} = 2.4\,\mu F$.
श्रेणीक्रम संयोजन में प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q$ समान होता है और इसे $Q = C_{eq} \times V$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
यहाँ $V = 500\;V$ दिया गया है,इसलिए:
$Q = 2.4\,\mu F \times 500\;V = 1200\;\mu C$.

(D) संधारित्र $D.C.$ स्रोत के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं।
श्रेणी संयोजन में,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश का परिमाण समान होता है।
मान लीजिए कि प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $q$ है।
बैटरी के ऋणात्मक टर्मिनल से जुड़ी प्लेटों (प्लेटें $b, d, f$) के लिए,संचित आवेश क्रमशः $-q, -q,$ और $-q$ हैं।
अतः,${q_b} = -q, {q_d} = -q,$ और ${q_f} = -q$ है।
इसलिए,${q_b} = {q_d} = {q_f}$।

(D) चरण $1$: समानांतर क्रम में जुड़े तीन संधारित्रों की तुल्य धारिता की गणना करें। समानांतर क्रम के लिए,$C_p = C_1 + C_2 + C_3$ होता है। दिया गया है $C_1 = C_2 = C_3 = 1\,\mu F$,इसलिए $C_p = 1 + 1 + 1 = 3\,\mu F$ है।
चरण $2$: चौथे संधारित्र को श्रेणी क्रम में जोड़कर निकाय की कुल तुल्य धारिता की गणना करें। श्रेणी क्रम में दो संधारित्रों के लिए,तुल्य धारिता $C_{eq}$ का सूत्र $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_p} + \frac{1}{C_4}$ है।
चरण $3$: मान रखने पर,$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{1} = \frac{1+3}{3} = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: अतः,$C_{eq} = \frac{3}{4} = 0.75\,\mu F$ है।

(A) श्रेणीक्रम संयोजन के लिए,तुल्य धारिता $C_s$ का सूत्र है: $\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{C_s} = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{6+2+1}{18} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$.
अतः,$C_s = 2\,\mu F$.
समांतर क्रम संयोजन के लिए,तुल्य धारिता $C_p$ का सूत्र है: $C_p = C_1 + C_2 + C_3$.
मान रखने पर: $C_p = 3 + 9 + 18 = 30\,\mu F$.
दोनों स्थितियों में तुल्य धारिता का अनुपात $\frac{C_s}{C_p} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$ होगा।

(B) परिपथ में एक $4\,\mu F$ का संधारित्र,दो $4\,\mu F$ के समांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है,जो फिर से एक अन्य $4\,\mu F$ संधारित्र के साथ श्रेणीक्रम में है।
सबसे पहले,समांतर क्रम में जुड़े दो $4\,\mu F$ संधारित्रों की तुल्य धारिता $C_p = 4\,\mu F + 4\,\mu F = 8\,\mu F$ है।
अब,कुल तुल्य धारिता $C_{eq}$ तीन संधारित्रों ($4\,\mu F$,$8\,\mu F$,और $4\,\mu F$) के श्रेणी संयोजन द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{2+1+2}{8} = \frac{5}{8}\,\mu F^{-1}$.
अतः,$C_{eq} = \frac{8}{5}\,\mu F = 1.6 \times 10^{-6}\,F$.
संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$U = \frac{1}{2} \times (1.6 \times 10^{-6}) \times (15)^2 = 0.8 \times 10^{-6} \times 225 = 180 \times 10^{-6}\,J$.
चूंकि $1\,J = 10^7\,ergs$,इसलिए $ergs$ में ऊर्जा $U = 180 \times 10^{-6} \times 10^7 = 1800\,ergs$ है।

(B) $2\,\mu F$ और $3\,\mu F$ के संधारित्र समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_p = 2\,\mu F + 3\,\mu F = 5\,\mu F$ है।
अब,परिपथ में $P$ और $Q$ बिंदुओं के बीच $12\,\mu F$,$5\,\mu F$ और $20\,\mu F$ के तीन संधारित्र श्रेणी क्रम में जुड़े हैं।
श्रेणी संयोजन के सूत्र के अनुसार तुल्य धारिता $C_{PQ}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_{PQ}} = \frac{1}{12} + \frac{1}{5} + \frac{1}{20}$
$12, 5,$ और $20$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $60$ लेने पर:
$\frac{1}{C_{PQ}} = \frac{5 + 12 + 3}{60} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3}$
अतः,$C_{PQ} = 3\,\mu F$।

(B) श्रेणीक्रम संयोजन में,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q$ समान रहता है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{Q^2}{2C}$ होता है।
चूंकि $Q$ स्थिर है,इसलिए ऊर्जा $U$,धारिता $C$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $U \propto \frac{1}{C}$।
अतः,संचित ऊर्जा का अनुपात $\frac{U_1}{U_2} = \frac{C_2}{C_1}$ होगा।
दिया गया है कि $C_1 = 0.3\,\mu F$ और $C_2 = 0.6\,\mu F$,इसलिए $\frac{U_1}{U_2} = \frac{0.6}{0.3} = 2$।
इस प्रकार,ऊर्जा का अनुपात $2:1$ या $2$ है।

(B) जब संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q$ समान होता है।
श्रेणीक्रम में संधारित्रों के लिए,संधारित्र $C_1$ के सिरों पर विभवांतर $V_1$ का सूत्र $V_1 = V \times \left( \frac{C_2}{C_1 + C_2} \right)$ है,जहाँ $V$ कुल विभवांतर है।
दिया गया है: $C_1 = 4\,\mu F$,$C_2 = 6\,\mu F$,और $V = 500\,V$.
मान रखने पर:
$V_1 = 500 \times \left( \frac{6}{4 + 6} \right)$
$V_1 = 500 \times \left( \frac{6}{10} \right)$
$V_1 = 500 \times 0.6 = 300\,V$.
अतः,$4\,\mu F$ संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $300\,V$ है।

(C) जब संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q$ समान होता है।
श्रेणी संयोजन की तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार दी जाती है: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{C_1 + C_2}{C_1 C_2}$,इसलिए $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$।
संयोजन में संचित कुल आवेश $Q = C_{eq} V = \frac{C_1 C_2 V}{C_1 + C_2}$ है।
संधारित्र $C_1$ के सिरों पर विभवांतर $V_1 = \frac{Q}{C_1}$ द्वारा दिया जाता है।
$Q$ का मान रखने पर,$V_1 = \frac{1}{C_1} \times \left( \frac{C_1 C_2 V}{C_1 + C_2} \right) = \frac{C_2 V}{C_1 + C_2}$ प्राप्त होता है।

(C) जब संधारित्र समांतर क्रम में जुड़े होते हैं,तो तुल्य धारिता $C_{eq}$ व्यक्तिगत धारिताओं के योग के बराबर होती है।
दिया गया है: $C_1 = 10\,\mu F$,$C_2 = 5\,\mu F$ और $C_3 = 5\,\mu F$.
समांतर संयोजन के लिए सूत्र $C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3$ है।
मान रखने पर: $C_{eq} = 10\,\mu F + 5\,\mu F + 5\,\mu F = 20\,\mu F$.
अतः,कुल धारिता $20\,\mu F$ है।

(C) जब संधारित्रों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य धारिता $(C_{eq})$ का व्युत्क्रम व्यक्तिगत धारिताओं के व्युत्क्रमों के योग के बराबर होता है।
सूत्र इस प्रकार है: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$।
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $C_{eq} = (C_1^{-1} + C_2^{-1} + C_3^{-1})^{-1}$।

(C) माना कि प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C$ है।
जब समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य धारिता $C_p = C + C = 2C$ होती है।
जब श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य धारिता $C_s = \frac{C \times C}{C + C} = \frac{C^2}{2C} = \frac{C}{2}$ होती है।
दोनों स्थितियों में कुल धारिताओं का अनुपात $\frac{C_p}{C_s} = \frac{2C}{C/2} = \frac{2C \times 2}{C} = \frac{4}{1}$ है।
अतः,अनुपात $4:1$ है।

(A) जब संधारित्र समांतर क्रम में जुड़े होते हैं,तो प्रत्येक संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V$ समान होता है।
चूंकि आवेश $q$ का सूत्र $q = CV$ है,इसलिए पहले संधारित्र पर आवेश $q_1 = C_1 V$ और दूसरे संधारित्र पर आवेश $q_2 = C_2 V$ होगा।
आवेशों का अनुपात लेने पर,हमें $\frac{q_1}{q_2} = \frac{C_1 V}{C_2 V} = \frac{C_1}{C_2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$C_1$ और $C_2$ पर आवेश का अनुपात $C_1 / C_2$ होगा।

(D) $1\,\mu F$ के दो संधारित्रों को श्रेणीक्रम में जोड़ने पर उनकी तुल्य धारिता $\frac{1}{C_s} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = 2$ द्वारा दी जाती है,जिससे $C_s = 0.5\,\mu F$ प्राप्त होता है।
जब इस संयोजन को $1\,\mu F$ के तीसरे संधारित्र के साथ समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल तुल्य धारिता $C_{eq} = C_s + 1\,\mu F = 0.5\,\mu F + 1\,\mu F = 1.5\,\mu F$ होती है।
अतः,सही विन्यास यह है कि दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं और फिर तीसरे के साथ समांतर क्रम में जुड़े हैं।

(C) जब संधारित्रों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य धारिता $C_{eq}$ का सूत्र है: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$।
यहाँ $C_1 = C_2 = C_3 = 2 \ F$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$।
अतः,$C_{eq} = \frac{2}{3} \ F \approx 0.67 \ F$ होगा।

(C) जब संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $(Q)$ समान होता है।
माना $C_1 = 1\,\mu F$ और $C_2 = 2\,\mu F$ है।
कुल विभवांतर $V = V_1 + V_2 = 120\,V$ है।
चूंकि $Q = C_1 V_1 = C_2 V_2$,इसलिए $1 \times V_1 = 2 \times V_2$,जिसका अर्थ है $V_1 = 2V_2$।
इस मान को कुल वोल्टेज समीकरण में रखने पर: $2V_2 + V_2 = 120\,V$।
$3V_2 = 120\,V$,अतः $V_2 = 40\,V$।
इसलिए,$V_1 = 2 \times 40\,V = 80\,V$।
अतः $1\,\mu F$ संधारित्र पर विभवांतर $80\,V$ होगा।

(A) परिपथ आरेख का विश्लेषण करने पर,हम देख सकते हैं कि चारों संधारित्र बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
चूंकि प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C = 8\,\mu F$ है,और वे समानांतर क्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ व्यक्तिगत धारिताओं के योग के बराबर होगी:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3 + C_4$
$C_{eq} = 8\,\mu F + 8\,\mu F + 8\,\mu F + 8\,\mu F = 32\,\mu F$.
अतः,बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच तुल्य धारिता $32\,\mu F$ है।

(B) परिपथ का विश्लेषण करने पर,हम देख सकते हैं कि तीनों संधारित्र बिंदु $A$ और $B$ के बीच समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
प्रत्येक संधारित्र की एक प्लेट बिंदु $A$ से और दूसरी प्लेट बिंदु $B$ से जुड़ी है।
समानांतर क्रम में जुड़े संधारित्रों के लिए,तुल्य धारिता $C_{eq}$ व्यक्तिगत धारिताओं का योग होती है:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3$
चूंकि $C_1 = C_2 = C_3 = C$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$C_{eq} = C + C + C = 3C$
अतः,$A$ और $B$ के बीच तुल्य धारिता $3C$ है।

(B) दी गई व्यवस्था में चार समानांतर प्लेटें हैं।
कनेक्शन को देखने पर,पहली और तीसरी प्लेट टर्मिनल $A$ से जुड़ी हैं,जबकि दूसरी और चौथी प्लेट टर्मिनल $B$ से जुड़ी हैं।
यह टर्मिनल $A$ और $B$ के बीच समानांतर क्रम में जुड़े तीन संधारित्र बनाता है।
प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C = \frac{{\varepsilon _0}A}{d}$ है।
चूंकि वे समानांतर में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq} = C + C + C = 3C$ होगी।
$C$ का मान रखने पर,हमें $C_{eq} = \frac{3{\varepsilon _0}A}{d}$ प्राप्त होता है।

(D) चरण $1$: समांतर क्रम में जुड़े दो $2\,\mu F$ संधारित्रों की तुल्य धारिता की गणना करें।
समांतर क्रम के लिए,$C_p = C_1 + C_2 = 2\,\mu F + 2\,\mu F = 4\,\mu F$.
चरण $2$: इस समांतर संयोजन को $12\,\mu F$ के संधारित्र के साथ श्रेणी क्रम में जोड़कर निकाय की तुल्य धारिता ज्ञात करें।
श्रेणी क्रम के लिए,$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_p} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{3+1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
अतः,$C_{eq} = 3\,\mu F$.

(D) दिया गया परिपथ एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज नेटवर्क है।
मान लीजिए कि संधारित्र $C_1 = 6\,\mu F$,$C_2 = 12\,\mu F$,$C_3 = 9\,\mu F$,और $C_4 = 18\,\mu F$ हैं।
बीच वाला संधारित्र $24\,\mu F$ है।
अनुपात की जाँच करने पर: $\frac{C_1}{C_3} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ और $\frac{C_2}{C_4} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$।
चूँकि $\frac{C_1}{C_3} = \frac{C_2}{C_4}$,ब्रिज संतुलित है,और $24\,\mu F$ संधारित्र से कोई आवेश प्रवाहित नहीं होता है।
अतः,हम $24\,\mu F$ संधारित्र को हटा सकते हैं।
ऊपरी शाखा में $6\,\mu F$ और $12\,\mu F$ श्रेणीक्रम में हैं: $C_{up} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4\,\mu F$।
निचली शाखा में $9\,\mu F$ और $18\,\mu F$ श्रेणीक्रम में हैं: $C_{low} = \frac{9 \times 18}{9 + 18} = \frac{162}{27} = 6\,\mu F$।
$A$ और $B$ के बीच समतुल्य धारिता $C_{up}$ और $C_{low}$ का समानांतर संयोजन है: $C_{eq} = 4 + 6 = 10\,\mu F$।

(D) $1$. सबसे पहले,परिपथ के दाईं ओर के भाग पर विचार करें। $12\,\mu F$ और $6\,\mu F$ के संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_1 = \frac{12 \times 6}{12 + 6} = \frac{72}{18} = 4\,\mu F$ है।
$2$. यह $C_1$,$4\,\mu F$ के संधारित्र के साथ समांतर क्रम में है। उनकी तुल्य धारिता $C_2 = 4 + 4 = 8\,\mu F$ है।
$3$. यह $C_2$,$1\,\mu F$ के संधारित्र के साथ श्रेणीक्रम में है। उनकी तुल्य धारिता $C_3 = \frac{8 \times 1}{8 + 1} = \frac{8}{9}\,\mu F$ है।
$4$. अब नीचे बाईं ओर के भाग पर विचार करें। दो $2\,\mu F$ के संधारित्र समांतर क्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_4 = 2 + 2 = 4\,\mu F$ है।
$5$. यह $C_4$,$8\,\mu F$ के संधारित्र के साथ श्रेणीक्रम में है। उनकी तुल्य धारिता $C_5 = \frac{4 \times 8}{4 + 8} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3}\,\mu F$ है।
$6$. $C_3$ और $C_5$ वाली शाखाएं समांतर क्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_6 = C_3 + C_5 = \frac{8}{9} + \frac{8}{3} = \frac{8 + 24}{9} = \frac{32}{9}\,\mu F$ है।
$7$. अंत में,$C_6$,संधारित्र $C$ के साथ श्रेणीक्रम में है। कुल तुल्य धारिता $1\,\mu F$ दी गई है,इसलिए $1 = \frac{C_6 \times C}{C_6 + C} = \frac{\frac{32}{9} \times C}{\frac{32}{9} + C}$ होगा।
$8$. $C$ के लिए हल करने पर: $1 = \frac{32C}{32 + 9C} \implies 32 + 9C = 32C \implies 23C = 32 \implies C = \frac{32}{23}\,\mu F$।

(D) यह परिपथ $12 \, F$ के संधारित्र से शुरू होता है जो दो शाखाओं के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है,जो अंत में $16 \, F$ के संधारित्र के साथ श्रेणीक्रम में है।
सबसे पहले,ऊपरी शाखा पर विचार करें जिसमें $8 \, F$ और $4 \, F$ के संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। उनकी समतुल्य धारिता $C_1$ इस प्रकार है: $\frac{1}{C_1} = \frac{1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{1+2}{8} = \frac{3}{8}$,इसलिए $C_1 = \frac{8}{3} \, F$।
इसके बाद,यह $C_1$ निचली शाखा के $4 \, F$ संधारित्र के साथ समानांतर में है। इस समानांतर खंड की समतुल्य धारिता $C_p = C_1 + 4 = \frac{8}{3} + 4 = \frac{8+12}{3} = \frac{20}{3} \, F$ है।
अंत में,कुल समतुल्य धारिता $C_{AB}$ इन तीनों ($12 \, F$,$C_p = \frac{20}{3} \, F$,और $16 \, F$) का श्रेणी संयोजन है। अतः,$\frac{1}{C_{AB}} = \frac{1}{12} + \frac{1}{20/3} + \frac{1}{16} = \frac{1}{12} + \frac{3}{20} + \frac{1}{16}$।
समान हर $(240)$ लेने पर: $\frac{1}{C_{AB}} = \frac{20 + 36 + 15}{240} = \frac{71}{240}$।
इसलिए,$C_{AB} = \frac{240}{71} \, F$ प्राप्त होता है।

(D) $3\,\mu F$ और $6\,\mu F$ के संधारित्र समांतर क्रम में जुड़े हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_p = 3\,\mu F + 6\,\mu F = 9\,\mu F$ है।
अब,यह तुल्य संधारित्र $C_p$,$4.5\,\mu F$ के संधारित्र के साथ श्रेणी क्रम में है।
परिपथ की कुल धारिता $C_{eq}$ का मान $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{4.5} + \frac{1}{9} = \frac{2+1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,$C_{eq} = 3\,\mu F$ है।
$12\,V$ की बैटरी द्वारा प्रदान किया गया कुल आवेश $Q = C_{eq} \times V_{total} = 3\,\mu F \times 12\,V = 36\,\mu C$ है।
चूंकि $4.5\,\mu F$ का संधारित्र इस संयोजन के साथ श्रेणी क्रम में है,इसलिए इसमें से समान आवेश $Q = 36\,\mu C$ प्रवाहित होता है।
$4.5\,\mu F$ संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_{4.5} = \frac{Q}{C} = \frac{36\,\mu C}{4.5\,\mu F} = 8\,V$ है।

(B) $2\,\mu F$ के संधारित्रों का उपयोग करके $5\,\mu F$ की कुल धारिता प्राप्त करने के लिए,हम श्रेणी और समानांतर संयोजन के मिश्रण का उपयोग कर सकते हैं।
चित्र में दिखाए गए विन्यास पर विचार करें:
$1$. $2\,\mu F$ के दो संधारित्र समानांतर में जुड़े हैं। उनकी समतुल्य धारिता $C_1 = 2\,\mu F + 2\,\mu F = 4\,\mu F$ है।
$2$. $2\,\mu F$ के दो संधारित्र श्रेणी में जुड़े हैं। उनकी समतुल्य धारिता $C_2 = \frac{2\,\mu F \times 2\,\mu F}{2\,\mu F + 2\,\mu F} = 1\,\mu F$ है।
$3$. अब,$C_1$ और $C_2$ को समानांतर में जोड़ने पर,कुल समतुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2 = 4\,\mu F + 1\,\mu F = 5\,\mu F$ प्राप्त होती है।
अतः,आवश्यक संधारित्रों की कुल संख्या $2 + 2 = 4$ है।

(D) परिपथ में ऊपरी शाखा में तीन $1 \, \mu F$ के संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,जो $P$ और $Q$ के बीच सीधे जुड़े एक $1 \, \mu F$ के संधारित्र के साथ समांतर क्रम में है।
सबसे पहले,श्रेणीक्रम में जुड़े तीन संधारित्रों की तुल्य धारिता $(C_s)$ की गणना करें:
$\frac{1}{C_s} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = 3 \, \mu F^{-1} \implies C_s = \frac{1}{3} \, \mu F$.
अब,यह $C_s$ चौथे $1 \, \mu F$ संधारित्र $(C_p)$ के साथ समांतर क्रम में है:
$C_{PQ} = C_s + C_p = \frac{1}{3} \, \mu F + 1 \, \mu F = \frac{4}{3} \, \mu F \approx 1.33 \, \mu F$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) यह परिपथ एक ब्रिज जैसी संरचना में व्यवस्थित संधारित्रों से बना है। मान लीजिए नोड्स $A$ और $B$ हैं।
$1$. दाईं ओर श्रेणीक्रम (series) में जुड़े प्रत्येक $2 \, \mu F$ के दो संधारित्रों की तुल्य धारिता $C_1 = (2 \times 2) / (2 + 2) = 1 \, \mu F$ है।
$2$. यह $C_1 = 1 \, \mu F$ अब बीच वाले $1 \, \mu F$ संधारित्र के साथ समानांतर क्रम (parallel) में है। उनकी तुल्य धारिता $C_2 = 1 + 1 = 2 \, \mu F$ है।
$3$. अंत में, यह $C_2 = 2 \, \mu F$ ऊपर वाले $2 \, \mu F$ संधारित्र के साथ श्रेणीक्रम में है, जिससे $C_3 = (2 \times 2) / (2 + 2) = 1 \, \mu F$ प्राप्त होता है।
$4$. यह $C_3 = 1 \, \mu F$ सबसे बाईं ओर के $1 \, \mu F$ संधारित्र के साथ समानांतर क्रम में है।
$5$. कुल तुल्य धारिता $C_{eq} = 1 + 1 = 2 \, \mu F$ है।
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(A) दिए गए परिपथ में,$2.5\,\mu F$ और $1\,\mu F$ के संधारित्र समांतर क्रम में जुड़े हैं।
उनकी तुल्य धारिता $C_p = 2.5\,\mu F + 1\,\mu F = 3.5\,\mu F$ है।
अब,यह समांतर संयोजन संधारित्र $C$ के साथ श्रेणी क्रम में है।
$A$ और $B$ के बीच कुल तुल्य धारिता $C_{eq}$ का सूत्र $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C_p}$ है।
यहाँ $C_{eq} = 1\,\mu F$ दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{1} = \frac{1}{C} + \frac{1}{3.5}$।
$1 = \frac{1}{C} + \frac{1}{3.5} \implies \frac{1}{C} = 1 - \frac{1}{3.5} = \frac{2.5}{3.5}$।
$C = \frac{3.5}{2.5} = 1.4\,\mu F$।

(D) न्यूनतम धारिता प्राप्त करने के लिए,संधारित्रों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाना चाहिए।
$C$ धारिता वाले $n$ समान संधारित्रों के श्रेणीक्रम संयोजन के लिए,तुल्य धारिता $C_{s} = \frac{C}{n}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$C = 6\,\mu F$ और $n = 3$ है,इसलिए $C_{s} = \frac{6\,\mu F}{3} = 2\,\mu F$ है।
अधिकतम धारिता प्राप्त करने के लिए,संधारित्रों को समांतर क्रम में जोड़ा जाना चाहिए।
$C$ धारिता वाले $n$ समान संधारित्रों के समांतर संयोजन के लिए,तुल्य धारिता $C_{p} = n \times C$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$C_{p} = 3 \times 6\,\mu F = 18\,\mu F$ है।
अतः,न्यूनतम और अधिकतम धारिता क्रमशः $2\,\mu F$ और $18\,\mu F$ है।

(B) जब संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार दी जाती है: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = \frac{6}{6} = 1\,\mu F^{-1}$.
अतः,$C_{eq} = 1\,\mu F$.
स्रोत द्वारा प्रदान किया गया कुल आवेश $Q = C_{eq} \times V = 1\,\mu F \times 10\,V = 10\,\mu C$.
श्रेणीक्रम संयोजन में,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश समान होता है और यह स्रोत द्वारा प्रदान किए गए कुल आवेश के बराबर होता है।
इसलिए,$3.0\;\mu F$ के संधारित्र पर आवेश $10\,\mu C$ है।

(B) इस परिपथ को चरण-दर-चरण सरल बनाया जा सकता है:
$1$. पहले भाग में $2\,\mu F$ संधारित्र और $5\,\mu F$ संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,जो दूसरे $2\,\mu F$ संधारित्र के साथ समांतर क्रम में हैं। श्रेणीक्रम भाग की तुल्य धारिता $C_1 = \frac{2 \times 5}{2 + 5} = \frac{10}{7}\,\mu F$ है। यह $2\,\mu F$ संधारित्र के साथ समांतर में है,इसलिए $C_{eq1} = \frac{10}{7} + 2 = \frac{24}{7}\,\mu F$ होगा।
$2$. यह $C_{eq1}$ अगले $2\,\mu F$ संधारित्र के साथ श्रेणीक्रम में है। अतः $C_{eq2} = \frac{(\frac{24}{7}) \times 2}{(\frac{24}{7}) + 2} = \frac{48/7}{38/7} = \frac{24}{19}\,\mu F$ प्राप्त होता है।
$3$. अंतिम भाग में दो $1\,\mu F$ संधारित्र समांतर क्रम में हैं,जो $1 + 1 = 2\,\mu F$ होता है। यह पिछले संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है। हालाँकि,दिए गए सरलीकृत आरेख को देखने पर,अंतिम परिपथ दो $2\,\mu F$ संधारित्रों के श्रेणीक्रम में बदल जाता है।
$4$. तुल्य धारिता $C_{PQ} = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = \frac{4}{4} = 1\,\mu F$ होती है।

(C) मान लीजिए कि तीन संधारित्र $C_1 = C_2 = C_3 = 2\,\mu F$ हैं।
यदि हम दो संधारित्रों को श्रेणीक्रम में जोड़ते हैं,तो उनकी तुल्य धारिता $C_s$ इस प्रकार होगी:
$\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \implies C_s = 1\,\mu F$.
अब,यदि हम इस संयोजन को तीसरे संधारित्र $C_3 = 2\,\mu F$ के साथ समांतर क्रम में जोड़ते हैं,तो कुल तुल्य धारिता $C_{eq}$ होगी:
$C_{eq} = C_s + C_3 = 1\,\mu F + 2\,\mu F = 3\,\mu F$.
अतः,सही व्यवस्था यह है कि दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हों और तीसरा उनके साथ समांतर क्रम में हो।

(D) दिए गए परिपथ का विश्लेषण नोड्स की पहचान करके किया जा सकता है। सभी संधारित्र $C_1, C_2, C_3, C_4$ का मान $6\,\mu F$ है।
परिपथ का अवलोकन करने पर,हम देख सकते हैं कि यह बिंदुओं $A, B, C,$ और $D$ के बीच एक व्हीटस्टोन ब्रिज संरचना बनाता है।
विशेष रूप से,धारिताओं का अनुपात $\frac{C_1}{C_3} = \frac{6}{6} = 1$ और $\frac{C_2}{C_4} = \frac{6}{6} = 1$ है।
चूंकि अनुपात समान हैं,इसलिए ब्रिज संतुलित है।
एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,केंद्रीय संधारित्र $C_5$ के सिरों पर विभवांतर शून्य होता है,इसलिए इसमें से कोई आवेश प्रवाहित नहीं होता है।
अतः,$C_5$ को परिपथ से हटाया जा सकता है।
अब,परिपथ में दो समानांतर शाखाएं हैं: एक में $C_1$ और $C_2$ श्रेणीक्रम में हैं,और दूसरी में $C_3$ और $C_4$ श्रेणीक्रम में हैं।
ऊपरी शाखा की समतुल्य धारिता $(C_{upper})$ = $\frac{C_1 \times C_2}{C_1 + C_2} = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = \frac{36}{12} = 3\,\mu F$ है।
निचली शाखा की समतुल्य धारिता $(C_{lower})$ = $\frac{C_3 \times C_4}{C_3 + C_4} = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = \frac{36}{12} = 3\,\mu F$ है।
चूंकि ये दोनों शाखाएं समानांतर में हैं,इसलिए कुल प्रभावी धारिता $C_{eq} = C_{upper} + C_{lower} = 3 + 3 = 6\,\mu F$ होगी।

(A) मान लीजिए कि दो संधारित्रों की धारिता $C_1$ और $C_2$ है।
समांतर संयोजन में तुल्य धारिता $C_p = C_1 + C_2$ है।
श्रेणी संयोजन में तुल्य धारिता $C_s = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$ है।
दिया गया है कि $C_p = 4 C_s$,इसलिए हम व्यंजकों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$C_1 + C_2 = 4 \left( \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} \right)$
$(C_1 + C_2)^2 = 4 C_1 C_2$
$C_1^2 + C_2^2 + 2 C_1 C_2 = 4 C_1 C_2$
$C_1^2 + C_2^2 - 2 C_1 C_2 = 0$
$(C_1 - C_2)^2 = 0$
अतः,$C_1 = C_2$.

(A) बिंदुओं $P$ और $Q$ के बीच परिणामी धारिता ज्ञात करने के लिए,हम परिपथ को चरण-दर-चरण सरल करते हैं:
$1$. नीचे स्थित $C$ धारिता वाले दो संधारित्र समानांतर क्रम में हैं। उनकी समतुल्य धारिता $C_{p1} = C + C = 2C$ है।
$2$. यह $2C$ इसके ऊपर स्थित $2C$ संधारित्र के साथ श्रेणी क्रम में है। उनकी समतुल्य धारिता $C_{s1} = \frac{2C \times 2C}{2C + 2C} = \frac{4C^2}{4C} = C$ है।
$3$. अब यह $C$ मध्य में स्थित दूसरे $C$ धारिता वाले संधारित्र के साथ समानांतर क्रम में है। उनकी समतुल्य धारिता $C_{p2} = C + C = 2C$ है।
$4$. यह $2C$ सबसे ऊपर स्थित $2C$ संधारित्र के साथ श्रेणी क्रम में है। उनकी समतुल्य धारिता $C_{s2} = \frac{2C \times 2C}{2C + 2C} = C$ है।
$5$. अंत में,यह $C$ दाईं ओर स्थित अंतिम $2C$ संधारित्र के साथ समानांतर क्रम में है। अतः कुल समतुल्य धारिता $C_{eq} = C + 2C = 3C$ है।

(B) परिपथ आरेख से,संधारित्र $C_1$ और $C_2$ समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
उनकी समतुल्य धारिता $C_p$ इस प्रकार है:
$C_p = C_1 + C_2 = 10\,\mu F + 5\,\mu F = 15\,\mu F$
अब,यह समतुल्य संधारित्र $C_p$,संधारित्र $C_3$ के साथ श्रेणी क्रम में है।
$A$ और $B$ के बीच परिणामी धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार है:
$C_{eq} = \frac{C_p \times C_3}{C_p + C_3} = \frac{15 \times 4}{15 + 4} = \frac{60}{19} \approx 3.157\,\mu F \approx 3.2\,\mu F$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) यह परिपथ तीन भागों के श्रेणी संयोजन से बना है:
$1$. बाईं ओर समानांतर में जुड़े दो $1\,\mu F$ संधारित्र,जिनकी तुल्य धारिता $C_1 = 1 + 1 = 2\,\mu F$ है।
$2$. बीच में एक $1\,\mu F$ संधारित्र है,$C_2 = 1\,\mu F$।
$3$. दाईं ओर समानांतर में जुड़े दो $1\,\mu F$ संधारित्र,जिनकी तुल्य धारिता $C_3 = 1 + 1 = 2\,\mu F$ है।
ये तीनों तुल्य संधारित्र श्रेणी क्रम में हैं। कुल तुल्य धारिता $C_{AB}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_{AB}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} = 0.5 + 1 + 0.5 = 2\,\mu F^{-1}$।
अतः,$C_{AB} = \frac{1}{2} = 0.5\,\mu F$।

(A) $1$. $1.5 \,\mu F$ के दो संधारित्र समानांतर क्रम में जुड़े हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_p = 1.5 \,\mu F + 1.5 \,\mu F = 3 \,\mu F$ है।
$2$. अब,परिपथ में प्रत्येक $3 \,\mu F$ के तीन संधारित्र श्रेणी क्रम में जुड़े हैं।
$3$. तुल्य धारिता $C_{AB}$ के लिए,$\frac{1}{C_{AB}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
$4$. अतः,$C_{AB} = 1 \,\mu F$ है।

(D) दिया गया है कि $C_1 + C_2 + C_3 = 12$ ....$(i)$
$C_1 \cdot C_2 \cdot C_3 = 48$ ....$(ii)$
$C_1 + C_2 = 6$ ....$(iii)$
समीकरण $(i)$ और $(iii)$ से,हमें $C_3 = 12 - 6 = 6$ इकाई प्राप्त होता है।
$C_3 = 6$ को समीकरण $(ii)$ में रखने पर,$C_1 \cdot C_2 \cdot 6 = 48$,जिसका अर्थ है $C_1 \cdot C_2 = 8$।
हम जानते हैं कि $(C_1 - C_2)^2 = (C_1 + C_2)^2 - 4C_1C_2$।
मान रखने पर,$(C_1 - C_2)^2 = (6)^2 - 4(8) = 36 - 32 = 4$।
अतः,$C_1 - C_2 = 2$ ....$(iv)$।
समीकरण $(iii)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर: $2C_1 = 8 \implies C_1 = 4$।
$C_1 = 4$ को समीकरण $(iii)$ में रखने पर,$4 + C_2 = 6 \implies C_2 = 2$।
इसलिए,धारिताएं $4, 2, 6$ हैं।

(A) माना प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C = 3\,\mu F$ है।
परिपथ में चार संधारित्र हैं। संयोजनों का विश्लेषण करते हैं:
$1$. मध्य शाखा में दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_1 = \frac{C}{2} = \frac{3}{2} = 1.5\,\mu F$ होगी।
$2$. यह संयोजन नीचे वाले $3\,\mu F$ के संधारित्र के साथ समांतर क्रम में है। इस भाग की तुल्य धारिता $C_2 = C_1 + C = 1.5 + 3 = 4.5\,\mu F$ होगी।
$3$. अंत में,यह पूरा संयोजन ऊपर वाले $3\,\mu F$ के संधारित्र के साथ समांतर क्रम में है। कुल तुल्य धारिता $C_{AB} = 4.5\,\mu F$ प्राप्त होती है।

(B) दी गई परिपथ में,$2 \, \mu F$ के दो संधारित्र (capacitors) श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_s$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_s} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \implies C_s = 1 \, \mu F$.
यह तुल्य संधारित्र अब $A$ और $B$ के बीच जुड़े $1 \, \mu F$ के संधारित्र के साथ समांतर क्रम में है।
कुल प्रभावी धारिता $C_{AB}$ है:
$C_{AB} = C_s + 1 \, \mu F = 1 \, \mu F + 1 \, \mu F = 2 \, \mu F$.
अतः,सही विकल्प $B$ है.

(B) श्रेणीक्रम संयोजन में,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q$ समान होता है।
सबसे पहले,श्रेणीक्रम संयोजन की तुल्य धारिता $C_{eq}$ की गणना करें:
$C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{2.0 \times 8.0}{2.0 + 8.0}\, \mu F = \frac{16}{10}\, \mu F = 1.6\, \mu F$.
संधारित्रों पर आवेश $Q$ का मान $Q = C_{eq} V$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $Q = 1.6 \times 10^{-6}\, F \times 300\, V = 480 \times 10^{-6}\, C = 4.8 \times 10^{-4}\, C$.
अतः,$2.0\,\mu F$ के संधारित्र पर आवेश $4.8 \times 10^{-4}\, C$ है।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C$ है।
जब $10$ संधारित्रों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $q = CV$ होता है।
जब इन संधारित्रों को बैटरी से अलग करके श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है,तो श्रेणी संयोजन पर कुल आवेश एक संधारित्र पर आवेश के बराबर ही रहता है,जो $q = CV$ है।
श्रेणी संयोजन की कुल धारिता $C_s = C/10$ होती है।
श्रेणी संयोजन के सिरों पर विभवांतर $V' = q / C_s$ है।
मान रखने पर,$V' = (CV) / (C/10) = 10V$।
अतः,संयोजन का विभव $10V$ होगा।

(B) संधारित्रों के श्रेणी संयोजन में,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q$ समान होता है।
दिया गया है $C_A = 2 \mu F$ और $C_B = 3 \mu F$।
कुल वोल्टेज $V = 10 \ V$ इस प्रकार वितरित होता है कि $V_A + V_B = 10 \ V$ हो।
चूंकि $Q = C_A V_A = C_B V_B$,इसलिए $V_A / V_B = C_B / C_A = 3 / 2$ प्राप्त होता है।
$V_A = (3/2) V_B$ को योग समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(3/2) V_B + V_B = 10 \ V$।
$(5/2) V_B = 10 \ V \implies V_B = 4 \ V$।
अतः $V_A = 10 \ V - 4 \ V = 6 \ V$।
इस प्रकार,$A$ के सिरों पर विभवांतर $6 \ V$ और $B$ के सिरों पर $4 \ V$ है।

(D) जब $n$ संधारित्र,जिनमें से प्रत्येक की धारिता $C$ है,श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो तुल्य धारिता $C_{eq}$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$1/C_{eq} = 1/C_1 + 1/C_2 + 1/C_3 + ... + 1/C_n$
चूंकि सभी संधारित्रों की धारिता समान $C = 6\,pF = 6 \times 10^{-12}\,F$ है और $n = 3$ है,इसलिए सूत्र सरल होकर:
$C_{eq} = C/n$ हो जाता है।
मान रखने पर:
$C_{eq} = (6 \times 10^{-12}\,F) / 3 = 2 \times 10^{-12}\,F$
अतः,संयोजन की कुल धारिता $2 \times 10^{-12}\,F$ है।

(A) $1$. यह परिपथ बिंदु $A$ और $B$ के बीच जुड़ी तीन समानांतर शाखाओं से बना है।
$2$. ऊपरी शाखा में दो $4\, \mu F$ के संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_1 = \frac{4 \times 4}{4 + 4} = 2\, \mu F$ है।
$3$. मध्य शाखा में एक $4\, \mu F$ का संधारित्र है,इसलिए $C_2 = 4\, \mu F$ है।
$4$. निचली शाखा में दो $4\, \mu F$ के संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_3 = \frac{4 \times 4}{4 + 4} = 2\, \mu F$ है।
$5$. चूंकि ये तीनों शाखाएं समानांतर क्रम में हैं,इसलिए कुल तुल्य धारिता $C_{AB} = C_1 + C_2 + C_3 = 2 + 4 + 2 = 8\, \mu F$ होगी।