Einstein's Photoelectric Equation and Energy Quantum of Radiation Questions in Hindi

(A) कार्य फलन $W_0$ को सूत्र $W_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$hc \approx 12375 \, eV \cdot \mathring{A}$ के सन्निकटन का उपयोग करते हुए:
$W_0 = \frac{12375}{6800} \, eV$.
$W_0 \approx 1.82 \, eV$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $1.8 \, eV$ है।

(C) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ और $\nu = 8 \times 10^{15} \ Hz$ दिया गया है।
$E = 6.626 \times 10^{-34} \times 8 \times 10^{15} \approx 5.3 \times 10^{-18} \ J$.
इस ऊर्जा को इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में बदलने के लिए,$1.6 \times 10^{-19} \ J/eV$ से विभाजित करें:
$E = \frac{5.3 \times 10^{-18}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 33.125 \ eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करते हुए: $K_{\max} = E - W_0$.
कार्य फलन $W_0 = 6.125 \ eV$ दिया गया है।
$K_{\max} = 33.125 \ eV - 6.125 \ eV = 27 \ eV$.

(B) थ्रेशोल्ड तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ को सूत्र $\lambda_0 = \frac{hc}{W_0}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
यहाँ कार्य फलन $W_0 = 2 \ eV$ दिया गया है।
संबंध $\lambda_0 (\mathring{A} \text{ में}) \approx \frac{12400}{W_0 (eV \text{ में})}$ का उपयोग करने पर।
$\lambda_0 = \frac{12400}{2} = 6200 \ \mathring{A}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $1 \ nm = 10 \ \mathring{A}$,इसलिए $\lambda_0 = 620 \ nm$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ को $K_{max} = h\nu - \Phi$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $h\nu$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\Phi$ धातु का कार्य फलन है।
दिया गया है: $h\nu = 6 eV$ और $\Phi = 4 eV$.
$K_{max} = 6 eV - 4 eV = 2 eV$.
फोटो-इलेक्ट्रॉन $0$ से लेकर अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max}$ तक की गतिज ऊर्जा की सीमा के साथ उत्सर्जित होते हैं।
अतः, उत्सर्जित फोटो-इलेक्ट्रॉनों की न्यूनतम गतिज ऊर्जा $0 eV$ है।

(C) फोटोइलेक्ट्रिक उत्सर्जन के लिए आवश्यक न्यूनतम आवृत्ति को देहली आवृत्ति $(\nu_0)$ कहा जाता है।
यह कार्य फलन $(W_0)$ से समीकरण $W_0 = h\nu_0$ द्वारा संबंधित है।
दिया गया है: $W_0 = 1.65 \ eV = 1.65 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$ और प्लांक नियतांक $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\nu_0 = \frac{W_0}{h} = \frac{1.65 \times 1.6 \times 10^{-19}}{6.6 \times 10^{-34}}$
$\nu_0 = \frac{2.64 \times 10^{-19}}{6.6 \times 10^{-34}} = 0.4 \times 10^{15} \ Hz = 4 \times 10^{14} \ Hz$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ को $K_{\max} = E - W_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $W_0$ धातु का कार्यफलन है।
$1 \text{ eV}$ ऊर्जा वाले पहले फोटॉन के लिए:
$K_1 = E_1 - W_0 = 1 \text{ eV} - 0.5 \text{ eV} = 0.5 \text{ eV}$.
$2.5 \text{ eV}$ ऊर्जा वाले दूसरे फोटॉन के लिए:
$K_2 = E_2 - W_0 = 2.5 \text{ eV} - 0.5 \text{ eV} = 2.0 \text{ eV}$.
अधिकतम गतिज ऊर्जा का अनुपात है:
$\frac{K_1}{K_2} = \frac{0.5}{2.0} = \frac{1}{4}$.
अतः,अनुपात $1 : 4$ है।

(C) कार्य फलन $W_0$ देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ से $W_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
इससे हम देख सकते हैं कि $W_0 \propto \frac{1}{\lambda_0}$,जिसका अर्थ है कि $\lambda_0 \propto \frac{1}{W_0}$।
सोडियम $(W_1 = 2.3 \ eV)$ और तांबे $(W_2 = 4.5 \ eV)$ के लिए दिए गए कार्य फलनों के अनुसार,उनकी देहली तरंगदैर्ध्य का अनुपात है:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{W_2}{W_1} = \frac{4.5 \ eV}{2.3 \ eV} \approx \frac{4.6}{2.3} = 2$।
अतः,अनुपात $2:1$ है।

(D) फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{\max})$ और स्टॉपिंग विभव $(V_0)$ के बीच का संबंध इस समीकरण द्वारा दिया जाता है: $K_{\max} = eV_0$.
दिया गया है कि अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = 4.0 \ eV$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $4.0 \ eV = eV_0$.
अतः,स्टॉपिंग विभव $V_0 = 4.0 \ V$ है।

(C) उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा और निरोधी विभव $V_0$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $K_{\max} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2 = eV_0$.
अधिकतम वेग $v_{\max}$ के लिए इस समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $v_{\max} = \sqrt{2(\frac{e}{m})V_0}$.
दिए गए मान: $V_0 = 9 \ V$ और $\frac{e}{m} = 1.8 \times 10^{11} \ C \ kg^{-1}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $v_{\max} = \sqrt{2 \times (1.8 \times 10^{11}) \times 9}$.
$v_{\max} = \sqrt{32.4 \times 10^{11}} = \sqrt{3.24 \times 10^{12}} = 1.8 \times 10^6 \ m \ s^{-1}$.

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $\frac{hc}{\lambda} = W_0 + K_{\max}$.
प्लेट $A$ के लिए: $\frac{hc}{\lambda_A} = W_0 + K_A$ ... $(i)$
प्लेट $B$ के लिए: $\frac{hc}{\lambda_B} = W_0 + K_B$ ... $(ii)$
दिया गया है ${\lambda _A} = 2{\lambda _B}$,इसे $(i)$ में रखने पर:
$\frac{hc}{2\lambda_B} = W_0 + K_A$ ... $(iii)$
$(ii)$ से,$W_0 = \frac{hc}{\lambda_B} - K_B$. इसे $(iii)$ में रखने पर:
$\frac{hc}{2\lambda_B} = (\frac{hc}{\lambda_B} - K_B) + K_A$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$K_A = K_B - \frac{hc}{2\lambda_B}$
चूंकि $\frac{hc}{\lambda_B} = W_0 + K_B$,इसलिए $\frac{hc}{2\lambda_B} = \frac{W_0 + K_B}{2}$.
इसे वापस रखने पर:
$K_A = K_B - \frac{W_0 + K_B}{2} = \frac{2K_B - W_0 - K_B}{2} = \frac{K_B - W_0}{2} = \frac{K_B}{2} - \frac{W_0}{2}$.
चूंकि $W_0 > 0$,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $K_A < \frac{K_B}{2}$.

(A) कार्य फलन $\Phi_0$ को सूत्र $\Phi_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ द्वारा दिया जाता है।
शॉर्टकट सूत्र $\Phi_0 \approx \frac{12400}{\lambda_0 (\mathring{A} \text{ में})} \text{ eV}$ का उपयोग करते हुए।
दी गई देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0 = 6500 \mathring{A}$ का मान रखने पर:
$\Phi_0 = \frac{12400}{6500} \text{ eV}$.
$\Phi_0 \approx 1.907 \text{ eV}$.
निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर,हमें $\Phi_0 \approx 2 \text{ eV}$ प्राप्त होता है।

(A) प्रकाश-विद्युत प्रभाव तब होता है जब आपतित विकिरण की आवृत्ति धातु की देहली आवृत्ति (threshold frequency) से अधिक होती है, या समान रूप से, इसकी तरंगदैर्ध्य देहली तरंगदैर्ध्य से कम होती है।
चूंकि पराबैंगनी $(UV)$ किरणें प्रकाश-विद्युत प्रभाव उत्पन्न नहीं करती हैं, इसलिए आपतित विकिरण की ऊर्जा $UV$ किरणों से अधिक (तरंगदैर्ध्य कम) होनी चाहिए।
दिए गए विकल्पों में से, $X$-किरणों की तरंगदैर्ध्य $UV$ किरणों से कम $(\lambda_{X-ray} < \lambda_{UV-ray})$ होती है और इसलिए उनकी ऊर्जा अधिक होती है।
अतः, $X$-किरणें प्रकाश-विद्युत प्रभाव उत्पन्न करेंगी।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,आपतित फोटॉन की ऊर्जा कार्य फलन और उत्सर्जित प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है।
$E = \Phi + K_{\max}$
यहाँ,$E = h\nu = h(4\nu_0)$ और कार्य फलन $\Phi = h\nu_0$ है।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$h(4\nu_0) = h\nu_0 + K_{\max}$
$K_{\max} = 4h\nu_0 - h\nu_0$
$K_{\max} = 3h\nu_0$.

(A) आइंस्टीन ने प्रकाश-विद्युत प्रभाव की व्याख्या यह प्रस्तावित करके की कि प्रकाश ऊर्जा के छोटे पैकेटों से बना होता है जिन्हें फोटॉन कहा जाता है। प्रत्येक फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ समीकरण द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\nu$ विकिरण की आवृत्ति है। यह समीकरण आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण $K_{max} = h\nu - \Phi_0$ का आधार बनाता है। अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) कार्य फलन $W_0$ को संबंध $W_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य है।
$hc \approx 12375 \ eV \cdot \mathring A$ के सन्निकटन का उपयोग करते हुए:
$\lambda_0 = \frac{12375}{W_0} \mathring A$
$W_0 = 2.3 \ eV$ रखने पर:
$\lambda_0 = \frac{12375}{2.3} \approx 5380.43 \mathring A$
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $5380 \mathring A$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = hf - W_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $W_0$ कार्य फलन है।
पहले फोटो-कैथोड के लिए: $hf_1 = W_0 + \frac{1}{2}mv_1^2$ ... $(i)$
दूसरे फोटो-कैथोड के लिए: $hf_2 = W_0 + \frac{1}{2}mv_2^2$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$h(f_1 - f_2) = \frac{1}{2}m(v_1^2 - v_2^2)$
वेग के अंतर के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$v_1^2 - v_2^2 = \frac{2h}{m}(f_1 - f_2)$

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_0$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\frac{hc}{e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) = V_0$
प्रथम स्थिति के लिए:
$\frac{hc}{e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) = 4.8 \quad ...(i)$
दूसरी स्थिति के लिए,जहाँ तरंगदैर्ध्य $2\lambda$ है:
$\frac{hc}{e} \left( \frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right) = 1.6 \quad ...(ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}}{\frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}} = \frac{4.8}{1.6} = 3$
$\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} = 3 \left( \frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$
$\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} = \frac{3}{2\lambda} - \frac{3}{\lambda_0}$
$\frac{3}{\lambda_0} - \frac{1}{\lambda_0} = \frac{3}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{2\lambda}$
$\frac{2}{\lambda_0} = \frac{1}{2\lambda}$
$\lambda_0 = 4\lambda$

(C) प्रकाश-विद्युत प्रभाव (photoelectric effect) केवल तभी होता है जब आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन (work function) से अधिक या उसके बराबर हो।
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\nu$ आवृत्ति है।
कार्य फलन $\phi_0$ देहली आवृत्ति $\nu_0$ से $\phi_0 = h\nu_0$ समीकरण द्वारा संबंधित है।
फोटोइलेक्ट्रॉन के उत्सर्जन के लिए,शर्त $E \ge \phi_0$ है।
मान रखने पर,हमें $h\nu \ge h\nu_0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\nu \ge \nu_0$ हो जाता है।
अतः,फोटोइलेक्ट्रॉन के उत्सर्जन के लिए आवश्यक शर्त $\nu \ge \nu_0$ है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$E = W_0 + K_{\max}$,जहाँ $E = \frac{hc}{\lambda}$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है,$W_0$ कार्य फलन है,और $K_{\max}$ अधिकतम गतिज ऊर्जा है।
संबंध $E \approx \frac{12400}{\lambda (\text{in } \mathring A)} \ eV$ का उपयोग करते हुए:
$\lambda_1 = 1824 \ \mathring A$ के लिए,$E_1 = \frac{12400}{1824} \approx 6.797 \ eV \approx 6.8 \ eV$.
दिया गया है $K_{\max, 1} = 5.3 \ eV$,तो $W_0 = E_1 - K_{\max, 1} = 6.8 - 5.3 = 1.5 \ eV$.
$\lambda_2 = 1216 \ \mathring A$ के लिए,$E_2 = \frac{12400}{1216} \approx 10.197 \ eV \approx 10.2 \ eV$.
दिया गया है $K_{\max, 2} = 8.7 \ eV$,तो $W_0 = E_2 - K_{\max, 2} = 10.2 - 8.7 = 1.5 \ eV$.
अतः,धातु की सतह का कार्य फलन $1.5 \ eV$ है।

(B) कार्य फलन $\Phi_0$ का सूत्र $\Phi_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ होता है।
यहाँ,$\Phi_0 = 6.825 \; eV$ दिया गया है।
संबंध $\lambda_0 (\mathring A \text{ में}) = \frac{12375}{\Phi_0 (eV \text{ में})}$ का उपयोग करने पर:
$\lambda_0 = \frac{12375}{6.825} \approx 1813 \; \mathring A$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $1800 \; \mathring A$ है।

(C) कार्य फलन $W_0$ का मान $W_0 = h\nu_0$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $h = 6.6 \times 10^{-34} Js$ और $\nu_0 = 1.6 \times 10^{15} Hz$ है।
$W_0 = (6.6 \times 10^{-34}) \times (1.6 \times 10^{15}) = 10.56 \times 10^{-19} J$.
इसे $eV$ में बदलने के लिए,इलेक्ट्रॉन के आवेश $(1.6 \times 10^{-19} C)$ से विभाजित करें:
$W_0 = \frac{10.56 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} eV = 6.6 eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-वैद्युत समीकरण के अनुसार,$K_{max} = E - W_0$.
आपतित ऊर्जा $E = 8 eV$ दी गई है।
$K_{max} = 8 eV - 6.6 eV = 1.4 eV$.

(D) प्रकाश-विद्युत प्रभाव को प्रकाश के $Quantum$ सिद्धांत द्वारा समझाया जा सकता है।
इस सिद्धांत के अनुसार,प्रकाश ऊर्जा के छोटे पैकेटों से बना होता है जिन्हें फोटॉन कहा जाता है।
जब $E = h\nu$ ऊर्जा वाला फोटॉन धातु की सतह पर आपतित होता है,तो वह अपनी ऊर्जा एक इलेक्ट्रॉन को स्थानांतरित कर देता है।
यदि आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन $(\Phi)$ से अधिक है,तो इलेक्ट्रॉन बंधन बल को तोड़कर सतह से उत्सर्जित हो जाता है।
इस घटना को प्रकाश के तरंग सिद्धांत द्वारा नहीं समझाया जा सकता है क्योंकि तरंग सिद्धांत यह बताता है कि इलेक्ट्रॉनों का उत्सर्जन प्रकाश की तीव्रता पर निर्भर करना चाहिए,जबकि प्रकाश-विद्युत प्रभाव आपतित प्रकाश की आवृत्ति पर निर्भर करता है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$K.E._{max} = h\nu - \Phi$,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है,और $\Phi$ धातु का कार्य फलन है।
चूंकि किसी दी गई धातु के लिए $\Phi$ एक नियतांक है,इसलिए उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा सीधे आपतित प्रकाश की आवृत्ति $(\nu)$ पर निर्भर करती है।
प्रकाश की तीव्रता बढ़ाने से प्रति सेकंड उत्सर्जित होने वाले फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या बढ़ती है,लेकिन यह व्यक्तिगत इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा को प्रभावित नहीं करती है।
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(B) कार्य फलन $W_0$ देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ से सूत्र $W_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ द्वारा संबंधित है।
$hc \approx 12375 \, eV \cdot \mathring{A}$ के सन्निकटन का उपयोग करते हुए,हमारे पास है:
$W_0 = \frac{12375}{\lambda_0} \, eV$.
दिया गया है $\lambda_0 = 5420 \, \mathring{A}$,
अतः,$W_0 = \frac{12375}{5420} \approx 2.28 \, eV$.
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(C) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E$ का मान सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
$hc \approx 12400 \text{ eV} \cdot \mathring{A}$ का उपयोग करते हुए,हम ऊर्जा की गणना इस प्रकार करते हैं:
$E = \frac{12400}{4100} \approx 3.02 \text{ eV}$.
प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन तब होता है जब आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन $(\Phi)$ से अधिक होती है।
धातु $A$ के लिए: $\Phi_A = 1.92 \text{ eV} < 3.02 \text{ eV}$ (उत्सर्जन होगा)।
धातु $B$ के लिए: $\Phi_B = 2.0 \text{ eV} < 3.02 \text{ eV}$ (उत्सर्जन होगा)।
धातु $C$ के लिए: $\Phi_C = 5.0 \text{ eV} > 3.02 \text{ eV}$ (उत्सर्जन नहीं होगा)।
अतः,केवल धातु $A$ और $B$ ही प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों का उत्सर्जन करेंगी।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = E - W_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $W_0$ कार्य फलन है।
प्रथम स्थिति के लिए: $E_1 = 2h\nu_0$ और $W_0 = h\nu_0$.
$\frac{1}{2}mv_1^2 = 2h\nu_0 - h\nu_0 = h\nu_0$ ... $(i)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $E_2 = 5h\nu_0$ और $W_0 = h\nu_0$.
$\frac{1}{2}mv_2^2 = 5h\nu_0 - h\nu_0 = 4h\nu_0$ ... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\frac{1}{2}mv_2^2}{\frac{1}{2}mv_1^2} = \frac{4h\nu_0}{h\nu_0}$
$\left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2 = 4$
$\frac{v_2}{v_1} = 2$
दिया गया है कि $v_1 = 4 \times 10^6 \, m/s$,इसलिए:
$v_2 = 2 \times v_1 = 2 \times (4 \times 10^6 \, m/s) = 8 \times 10^6 \, m/s$.

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ इस प्रकार है:
$K_{max} = E - \Phi$
जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\Phi$ धातु का कार्य फलन है।
दिया गया है: $E = 1.8 \ eV$ और $\Phi = 1.2 \ eV$।
$K_{max} = 1.8 \ eV - 1.2 \ eV = 0.6 \ eV$।
निरोधी विभव $(V_s)$ का अधिकतम गतिज ऊर्जा के साथ संबंध $K_{max} = e V_s$ होता है।
अतः,निरोधी विभव $0.6 \ V$ है,जो ऊर्जा इकाइयों के संदर्भ में $0.6 \ eV$ के मान के बराबर है।

(A) प्रकाश-विद्युत प्रभाव में आपतित फोटॉन का व्यवहार धातु की सतह की देहली आवृत्ति (threshold frequency) के सापेक्ष आपतित प्रकाश की आवृत्ति पर निर्भर करता है।
स्थिति $I$: यदि आपतित प्रकाश की आवृत्ति देहली आवृत्ति $(\nu < \nu_0)$ से कम है, तो कोई प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन नहीं होता है। इस स्थिति में, फोटॉन सतह द्वारा प्रकीर्णित (scattered) या परावर्तित हो जाता है और बिना किसी आवृत्ति परिवर्तन के बाहर आ जाता है।
स्थिति $II$: यदि आपतित प्रकाश की आवृत्ति देहली आवृत्ति $(\nu \geq \nu_0)$ के बराबर या उससे अधिक है, तो फोटॉन एक इलेक्ट्रॉन द्वारा अवशोषित कर लिया जाता है। फोटॉन की ऊर्जा $(E = h\nu)$ का उपयोग धातु के कार्य फलन $(\Phi)$ को दूर करने और उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन को गतिज ऊर्जा प्रदान करने में किया जाता है। परिणामस्वरूप, फोटॉन पूरी तरह से गायब हो जाता है।

(A) उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण द्वारा दी जाती है:
$K_{max} = E - \Phi$
जहाँ $E$ आपतित फोटोन की ऊर्जा है और $\Phi$ धातु का कार्य फलन है।
कार्य फलन $\Phi$ को $\Phi = h\nu_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\nu_0$ देहली आवृत्ति है।
दिया गया है $h = 6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ और $\nu_0 = 1.6 \times 10^{15} \ Hz$:
$\Phi = (6 \times 10^{-34} \ J \cdot s) \times (1.6 \times 10^{15} \ Hz) = 9.6 \times 10^{-19} \ J$.
कार्य फलन को $eV$ में बदलने के लिए,इसे $1.6 \times 10^{-19} \ J/eV$ से विभाजित करें:
$\Phi = \frac{9.6 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV = 6 \ eV$.
अब,अधिकतम गतिज ऊर्जा की गणना करें:
$K_{max} = 8 \ eV - 6 \ eV = 2 \ eV$.

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करते हुए: $K_{max} = E - \Phi$,जहाँ $\Phi$ कार्य फलन है।
धातु $A$ के लिए: $T_A = 4.25 - \Phi_A$ ... $(i)$
धातु $B$ के लिए: $T_B = T_A - 1.50 = 4.70 - \Phi_B$ ... (ii)
$(i)$ से,$\Phi_A = 4.25 - T_A$. (ii) से,$\Phi_B = 4.70 - (T_A - 1.50) = 6.20 - T_A$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ द्वारा दी जाती है,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$.
दिया गया है $\lambda_B = 2\lambda_A$,इसलिए $\frac{\lambda_B}{\lambda_A} = \sqrt{\frac{T_A}{T_B}} = 2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{T_A}{T_A - 1.50} = 4$.
$T_A = 4T_A - 6.00 \Rightarrow 3T_A = 6.00 \Rightarrow T_A = 2.00\, eV$.
$T_A = 2.00\, eV$ को $(i)$ में रखने पर: $\Phi_A = 4.25 - 2.00 = 2.25\, eV$.
$T_A = 2.00\, eV$ को (ii) में रखने पर: $T_B = 2.00 - 1.50 = 0.50\, eV$. अतः $\Phi_B = 4.70 - 0.50 = 4.20\, eV$.
इस प्रकार,सभी कथन सही हैं।

(D) लेंस द्वारा बने प्रतिबिंब की तीव्रता लेंस द्वारा एकत्रित शक्ति के समानुपाती और प्रतिबिंब के क्षेत्रफल के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
लेंस द्वारा एकत्रित शक्ति लेंस के द्वारक (aperture) के क्षेत्रफल के समानुपाती होती है,जो समान रहता है क्योंकि व्यास समान है।
प्रतिबिंब का क्षेत्रफल $A$,फोकस दूरी के वर्ग के समानुपाती होता है $(A \propto f^2)$।
इसलिए,तीव्रता $E$,$1/f^2$ के समानुपाती है।
प्रारंभ में,$I \propto 1/f_1^2 = 1/(30)^2$।
अंत में,$I' \propto 1/f_2^2 = 1/(15)^2$।
अनुपात लेने पर: $I'/I = (f_1/f_2)^2 = (30/15)^2 = 2^2 = 4$।
अतः,नई फोटोइलेक्ट्रिक धारा $I' = 4I$ होगी।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$E = \phi + K_{max}$
$\frac{hc}{\lambda} = \phi + \frac{1}{2}mv^2$
$v$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc - \lambda \phi}{\lambda}$
$v^2 = \frac{2(hc - \lambda \phi)}{m \lambda}$
$v = [\frac{2(hc - \lambda \phi)}{m \lambda}]^{1/2}$

(B) कट-ऑफ वोल्टेज (स्टॉपिंग पोटेंशियल) केवल आपतित प्रकाश की आवृत्ति पर निर्भर करता है,उसकी तीव्रता पर नहीं। इसलिए,यह $0.6 \ V$ ही रहेगा।
बिंदु स्रोत से प्रकाश की तीव्रता व्युत्क्रम वर्ग नियम का पालन करती है,$I \propto \frac{1}{d^2}$।
जब दूरी $0.2 \ m$ से बढ़कर $0.6 \ m$ हो जाती है,तो दूरी $3$ गुना हो जाती है $(d' = 3d)$।
अतः,तीव्रता $I' = \frac{I}{3^2} = \frac{I}{9}$ हो जाती है।
चूंकि संतृप्त धारा आपतित प्रकाश की तीव्रता के सीधे समानुपाती होती है,इसलिए नई संतृप्त धारा $I'_{sat} = \frac{18 \ mA}{9} = 2 \ mA$ होगी।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,स्टॉपिंग पोटेंशियल के संबंध में विकल्प $(b)$ सही है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार: $K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - W_0 = \frac{1}{2}mv^2$,जहाँ $W_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ कार्य फलन (work function) है।
अतः,$v = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)} = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda \lambda_0} \right)} \dots (i)$
जब तरंगदैर्ध्य को बदलकर $\lambda' = \frac{3\lambda}{4}$ कर दिया जाता है,तो नई गति $v'$ होगी:
$v' = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{1}{3\lambda/4} - \frac{1}{\lambda_0} \right)} = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{4\lambda_0 - 3\lambda}{3\lambda \lambda_0} \right)} \dots (ii)$
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{v'}{v} = \sqrt{\frac{4\lambda_0 - 3\lambda}{3\lambda \lambda_0} \cdot \frac{\lambda \lambda_0}{\lambda_0 - \lambda}} = \sqrt{\frac{4}{3} \cdot \frac{\lambda_0 - 0.75\lambda}{\lambda_0 - \lambda}}$
चूंकि $\lambda_0 > \lambda$,इसलिए $(\lambda_0 - 0.75\lambda) > (\lambda_0 - \lambda)$ होगा।
अतः,$\frac{\lambda_0 - 0.75\lambda}{\lambda_0 - \lambda} > 1$ होगा।
इसका अर्थ है कि $\frac{v'}{v} > \sqrt{\frac{4}{3}}$,यानी $v' > v(4/3)^{1/2}$।

(C) प्रकाश की तीव्रता $I$ को $I = \frac{n E}{A t}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ फोटॉनों की संख्या है,$E = \frac{hc}{\lambda}$ एक फोटॉन की ऊर्जा है,$A$ क्षेत्रफल है और $t$ समय है।
प्रति सेकंड आपतित फोटॉनों की संख्या $N = \frac{I A}{E} = \frac{I A \lambda}{hc}$ है।
दिया गया है:
$I = 1.0 \ W/m^2$
$A = 1.0 \ cm^2 = 1.0 \times 10^{-4} \ m^2$
$\lambda = 300 \ nm = 300 \times 10^{-9} \ m$
$h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$
$c = 3 \times 10^8 \ m/s$
$N = \frac{1.0 \times 10^{-4} \times 300 \times 10^{-9}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8} = \frac{3 \times 10^{-11}}{19.89 \times 10^{-26}} \approx 1.508 \times 10^{14} \text{ फोटॉन/सेकंड}$.
चूंकि आपतित फोटॉनों का $1\%$ फोटोइलेक्ट्रॉन उत्पन्न करता है,इसलिए प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या:
$N_e = 0.01 \times N = 0.01 \times 1.508 \times 10^{14} = 1.508 \times 10^{12} \text{ प्रति सेकंड}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा ${K_{\max }}$ को ${K_{\max }} = h\nu - h{\nu _0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ ${\nu _0}$ देहली आवृत्ति है।
आवृत्ति ${\nu _1}$ के लिए,${K_1} = h({\nu _1} - {\nu _0})$.
आवृत्ति ${\nu _2}$ के लिए,${K_2} = h({\nu _2} - {\nu _0})$.
दिया गया है कि अधिकतम गतिज ऊर्जा का अनुपात ${K_1}:{K_2} = 1:k$ है,इसलिए $\frac{{{K_1}}}{{{K_2}}} = \frac{1}{k}$.
समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{{h({\nu _1} - {\nu _0})}}{{h({\nu _2} - {\nu _0})}} = \frac{1}{k}$.
$k({\nu _1} - {\nu _0}) = {\nu _2} - {\nu _0}$.
$k{\nu _1} - k{\nu _0} = {\nu _2} - {\nu _0}$.
$k{\nu _1} - {\nu _2} = k{\nu _0} - {\nu _0} = {\nu _0}(k - 1)$.
अतः,देहली आवृत्ति ${\nu _0} = \frac{{k{\nu _1} - {\nu _2}}}{{k - 1}}$ है।

(B) हाइड्रोजन डिस्चार्ज ट्यूब से उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा हाइड्रोजन की आयनीकरण ऊर्जा के अनुरूप होती है,जो $E = 13.6 \ eV$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$E = W_0 + K_{max}$,जहाँ $K_{max} = e|V_0|$ और $V_0$ निरोधी विभव (stopping potential) है।
दिए गए मानों को रखने पर: $13.6 \ eV = 4.2 \ eV + e|V_0|$.
$e|V_0| = 13.6 \ eV - 4.2 \ eV = 9.4 \ eV$.
अतः,निरोधी विभव का परिमाण $|V_0| = 9.4 \ V$ है।
फोटो-करंट को शून्य करने के लिए,एनोड को कैथोड के सापेक्ष ऋणात्मक विभव पर होना चाहिए।
इस प्रकार,आवश्यक वोल्टेज $-9.4 \ V$ है।

(A) देहली तरंगदैर्ध्य (threshold wavelength) $\lambda_0$ का सूत्र $\lambda_0 = \frac{hc}{W_0}$ है।
अनुमानित सूत्र $\lambda_0 (\mathring{A} \text{ में}) \approx \frac{12400}{W_0 (eV \text{ में})}$ का उपयोग करके,हम दोनों धातुओं के लिए देहली तरंगदैर्ध्य की गणना करते हैं।
लिथियम $(Li)$ के लिए: $(\lambda_0)_{Li} = \frac{12400}{2.3} \approx 5391 \ \mathring{A}$.
कॉपर $(Cu)$ के लिए: $(\lambda_0)_{Cu} = \frac{12400}{4.0} = 3100 \ \mathring{A}$.
दृश्य प्रकाश स्पेक्ट्रम की सीमा लगभग $3800 \ \mathring{A}$ से $7500 \ \mathring{A}$ तक होती है।
चूंकि $(\lambda_0)_{Li} = 5391 \ \mathring{A}$ दृश्य क्षेत्र के भीतर आता है,इसलिए लिथियम दृश्य प्रकाश के संपर्क में आने पर फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जित कर सकता है।
चूंकि $(\lambda_0)_{Cu} = 3100 \ \mathring{A}$ पराबैंगनी (ultraviolet) क्षेत्र में आता है,इसलिए कॉपर दृश्य प्रकाश के साथ फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जित नहीं कर सकता है।
अतः,दृश्य प्रकाश के साथ काम करने वाले फोटोइलेक्ट्रिक सेल के लिए लिथियम सही धातु है।

(C) $1$. आपतित फोटॉनों की कुल संख्या $(n)$ की गणना करें:
$n = \frac{E \lambda}{hc} = \frac{1 \times 10^{-7} \times 200 \times 10^{-9}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8} \approx 10^{11}$ फोटॉन।
$2$. उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $(N_e)$ की गणना करें:
दिया गया है कि $10^3$ फोटॉनों में से $1$ इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित होता है,इसलिए $N_e = \frac{n}{10^3} = \frac{10^{11}}{10^3} = 10^8$ इलेक्ट्रॉन।
$3$. गोले पर कुल आवेश $(q)$ की गणना करें:
$q = N_e \times e = 10^8 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C = 1.6 \times 10^{-11} \ C$।
$4$. गोले पर विभव $(V)$ की गणना करें:
$V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{r} = (9 \times 10^9) \times \frac{1.6 \times 10^{-11}}{4.8 \times 10^{-2}} = 3 \ V$।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$K_{\max} = h\nu - \phi_0$
जहाँ $K_{\max}$ उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा है,$h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है और $\phi_0 = h\nu_0$ धातु का कार्य फलन है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर:
यहाँ,$y = K_{\max}$,$x = \nu$,$m = h$ (ढाल),और $c = -\phi_0$ (y-अंतःखंड)।
चूंकि ढाल $h$ धनात्मक है और अंतःखंड $-\phi_0$ ऋणात्मक है,इसलिए ग्राफ एक सीधी रेखा है जो x-अक्ष पर देहली आवृत्ति $\nu_0$ से शुरू होती है और जिसकी ढाल धनात्मक है। यह उस ग्राफ के अनुरूप है जहाँ रेखा x-अक्ष को $\nu_0$ पर काटती है और $\nu > \nu_0$ के लिए रैखिक रूप से बढ़ती है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $E_k$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$E_k = h\nu - \Phi$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित फोटॉनों की आवृत्ति है,और $\Phi$ धातु का कार्य फलन है।
इस समीकरण की तुलना एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर,जहाँ $y = E_k$,$x = \nu$,$m$ ढाल है,और $c$ y-अंतःखंड है:
$E_k = h\nu + (-\Phi)$
यहाँ,ढाल $m = h$ है।
अतः,वक्र की ढाल प्लांक नियतांक को दर्शाती है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$K_{\max} = h\nu - h\nu_0$
चूंकि $K_{\max} = eV_0$,जहाँ $V_0$ स्टॉपिंग पोटेंशियल है और $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है:
$eV_0 = h\nu - h\nu_0$
$e$ से भाग देने पर:
$V_0 = (\frac{h}{e})\nu - (\frac{h\nu_0}{e})$
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = V_0$ और $x = \nu$:
ढाल $m = \frac{h}{e}$ है।
अतः,प्लांक नियतांक $h = m \times e$,जो रेखा की ढाल और इलेक्ट्रॉन पर आवेश का गुणनफल है।