Mix Examples-Current Electricity Questions in Gujarati

(C) ધારો કે અનંત લેડર નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ $X$ છે.
પ્રથમ સર્કિટ માટે,વિભાગ $AB$ ની જમણી બાજુનો અવરોધ $X$ છે. આમ,કુલ અવરોધ $X$ નીચે મુજબ મળે છે:
$X = R + \frac{6R \cdot X}{6R + X}$
$X(6R + X) = R(6R + X) + 6RX$
$6RX + X^2 = 6R^2 + RX + 6RX$
$X^2 - RX - 6R^2 = 0$
આ દ્વિઘાત સમીકરણને $X$ માટે ઉકેલતા:
$X = \frac{R \pm \sqrt{R^2 - 4(1)(-6R^2)}}{2} = \frac{R \pm \sqrt{25R^2}}{2} = \frac{R \pm 5R}{2}$
અવરોધ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી $X = \frac{6R}{2} = 3R$.
જોકે,આપેલી સર્કિટ જોતા,લેડર મર્યાદિત છે. બે સર્કિટનો સમતુલ્ય અવરોધ સમાન રાખવા માટે,આપણે અંતિમ શાખાના અવરોધને $X$ જેટલો લઈએ છીએ.
આપેલી સર્કિટ માટે,સમાનતાની શરત $X = R + \frac{6R(R+X)}{6R+R+X}$ છે.
$X^2 + RX - 6R^2 = 0$
$(X+3R)(X-2R) = 0$
તેથી,$X = 2R$.

(B) ધારો કે $a$ એ સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ છે,$r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે અને $x$ એ તારનો એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ છે. તેથી,$L = 3a = 2 \pi r$,જે આપે છે $a = L / 3$ અને $r = L / (2 \pi)$.
ગોઠવણી $1$ માં,$AB$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ એ એક બાજુ (અવરોધ $ax$) અને બે બાજુઓ (અવરોધ $2ax$) નું સમાંતર જોડાણ છે:
$R_{AB} = \frac{(ax)(2ax)}{ax + 2ax} = \frac{2a^2 x^2}{3ax} = \frac{2}{3} ax = \frac{2}{3} \left( \frac{L}{3} \right) x = \frac{2Lx}{9}$.
વ્યય થતો પાવર $P_1 = \frac{V^2}{R_{AB}} = \frac{9V^2}{2Lx}$ છે.
ગોઠવણી $2$ માં,$PQ$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ એ બે અર્ધવર્તુળોનું સમાંતર જોડાણ છે,જેમાંથી દરેકની લંબાઈ $\pi r$ (અવરોધ $\pi rx$) છે:
$R_{PQ} = \frac{(\pi rx)(\pi rx)}{\pi rx + \pi rx} = \frac{\pi rx}{2} = \frac{\pi (L / 2\pi) x}{2} = \frac{Lx}{4}$.
વ્યય થતો પાવર $P_2 = \frac{V^2}{R_{PQ}} = \frac{4V^2}{Lx}$ છે.
વ્યય થતા પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{9V^2 / 2Lx}{4V^2 / Lx} = \frac{9}{8}$ છે.

(D) આપેલ $V-I$ આલેખ પરથી:
$1$. $E$ થી $F$ સુધી:
આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે,તેથી $V = IR$. ઢાળ અચળ છે,$R = \frac{V}{I} = \frac{V_0}{I_0} = R_0$. આમ,અવરોધ $R_0$ પર અચળ રહે છે.
$2$. $F$ થી $G$ સુધી:
વોલ્ટેજ $V$ એ $V_0$ પર અચળ છે,જ્યારે પ્રવાહ $I$ એ $I_0$ થી વધીને $2I_0$ થાય છે. અવરોધ $R = \frac{V}{I}$ એ $\frac{V_0}{I_0} = R_0$ થી બદલાઈને $\frac{V_0}{2I_0} = \frac{R_0}{2}$ થાય છે. જેમ જેમ $I$ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે,તેમ $R$ એ $R_0$ થી ઘટીને $\frac{R_0}{2}$ થાય છે.
$3$. $G$ થી $H$ સુધી:
પ્રવાહ $I$ એ $2I_0$ પર અચળ છે,જ્યારે વોલ્ટેજ $V$ એ $V_0$ થી વધીને $2V_0$ થાય છે. અવરોધ $R = \frac{V}{I}$ એ $\frac{V_0}{2I_0} = \frac{R_0}{2}$ થી બદલાઈને $\frac{2V_0}{2I_0} = R_0$ થાય છે. જેમ જેમ $V$ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે,તેમ $R$ એ $\frac{R_0}{2}$ થી વધીને $R_0$ થાય છે.
આ ફેરફારોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો આલેખ વિકલ્પ $(d)$ દ્વારા દર્શાવેલ છે.

(C) પરિપથમાં $25 \,\Omega$ નો અવરોધ,$20 \,\Omega$ અને $60 \,\Omega$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે.
સૌ પ્રથમ,સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ ગણો:
$R_p = \frac{20 \times 60}{20 + 60} = \frac{1200}{80} = 15 \,\Omega$.
હવે,$25 \,\Omega$ અવરોધ ધરાવતી શાખાનો કુલ અવરોધ $R_{branch} = 25 \,\Omega + 15 \,\Omega = 40 \,\Omega$ છે.
આ શાખાના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB} = I \times R = 0.1 \,A \times 40 \,\Omega = 4 \,V$ છે.
આ જ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB}$ જમણી બાજુના $20 \,\Omega$ ના અવરોધને લાગુ પડે છે.
તેથી,$20 \,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{20} = \frac{V_{AB}}{20 \,\Omega} = \frac{4 \,V}{20 \,\Omega} = 0.2 \,A$ છે.
કિર્ચોફના જંકશનના નિયમ મુજબ,નોડ $A$ પર,$80 \,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ બંને શાખાઓના પ્રવાહનો સરવાળો છે:
$I_{total} = 0.1 \,A + 0.2 \,A = 0.3 \,A$.

(D) ધારો કે દરેક બલ્બનો અવરોધ $R$ છે અને દરેક બેટરીનો વોલ્ટેજ $V$ છે.
સર્કિટ $(P)$ માટે: ત્રણ બલ્બ એક બેટરી સાથે શ્રેણીમાં છે. કુલ અવરોધ $= 3R$. પાવર $P_P = \frac{V^2}{3R} \approx 0.33 \frac{V^2}{R}$.
સર્કિટ $(Q)$ માટે: ત્રણ બલ્બ એક બેટરી સાથે સમાંતરમાં છે. કુલ અવરોધ $= R/3$. પાવર $P_Q = \frac{V^2}{R/3} = \frac{3V^2}{R} = 3 \frac{V^2}{R}$.
સર્કિટ $(R)$ માટે: એક બલ્બ એક બેટરી સાથે જોડાયેલ છે. કુલ અવરોધ $= R$. પાવર $P_R = \frac{V^2}{R} = 1 \frac{V^2}{R}$.
સર્કિટ $(S)$ માટે: એક બલ્બ શ્રેણીમાં બે બેટરી સાથે જોડાયેલ છે. કુલ વોલ્ટેજ $= 2V$. કુલ અવરોધ $= R$. પાવર $P_S = \frac{(2V)^2}{R} = \frac{4V^2}{R} = 4 \frac{V^2}{R}$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $0.33 \frac{V^2}{R} < 1 \frac{V^2}{R} < 3 \frac{V^2}{R} < 4 \frac{V^2}{R}$.
તેથી,પાવર વપરાશનો વધતો ક્રમ $P < R < Q < S$ છે.

(B) ધારો કે દરેક અવરોધ $R$ છે અને બેટરીનો વોલ્ટેજ $V$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં,કુલ અવરોધ $R_{eq} = 4R$ થાય છે.
વ્યય થતો પાવર $P_s = \frac{V^2}{R_{eq}} = \frac{V^2}{4R} = 5 \, W$ છે.
આના પરથી,આપણને $\frac{V^2}{R} = 20 \, W$ મળે છે.
સમાંતર જોડાણમાં,કુલ અવરોધ $R_{eq}' = \frac{R}{4}$ થાય છે.
વ્યય થતો કુલ પાવર $P_p = \frac{V^2}{R_{eq}'} = \frac{V^2}{R/4} = 4 \left( \frac{V^2}{R} \right)$ છે.
કિંમત મૂકતા,$P_p = 4 \times 20 = 80 \, W$ મળે છે.

(A) ધારો કે $R_1 = 100 \, \Omega$ એ ટંગસ્ટન તારનો અવરોધ છે અને $\alpha_1 = 4.5 \times 10^{-3} \, ^{\circ}C^{-1}$ તેનો તાપમાન ગુણાંક છે.
ધારો કે $R_2 = R$ એ જર્મેનિયમ તારનો અવરોધ છે અને $\alpha_2 = -5 \times 10^{-2} \, ^{\circ}C^{-1}$ તેનો તાપમાન ગુણાંક છે.
શ્રેણી જોડાણનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2$ છે.
કુલ અવરોધ તાપમાનથી સ્વતંત્ર રહે તે માટે,તાપમાનના સંદર્ભમાં કુલ અવરોધમાં થતો ફેરફાર શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $\frac{dR_{eq}}{dT} = 0$.
કારણ કે $R_{eq} = R_1(1 + \alpha_1 \Delta T) + R_2(1 + \alpha_2 \Delta T)$,અવરોધ અચળ રહેવાની શરત $R_1 \alpha_1 + R_2 \alpha_2 = 0$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$(100)(4.5 \times 10^{-3}) + R(-5 \times 10^{-2}) = 0$
$0.45 = R(5 \times 10^{-2})$
$R = \frac{0.45}{0.05} = 9 \, \Omega$.

(A) દરેક બલ્બનો અવરોધ $R = \frac{V^2}{P} = \frac{220^2}{60} \, \Omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આવા $10$ બલ્બ શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,સર્કિટનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{\text{eq}} = 10 \times R = 10 \times \frac{220^2}{60} \, \Omega$ થાય.
જ્યારે $220 \, V$ ના સપ્લાય સાથે જોડવામાં આવે ત્યારે સર્કિટમાં વપરાતો કુલ પાવર $P_{\text{total}} = \frac{V^2}{R_{\text{eq}}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P_{\text{total}} = \frac{220^2}{10 \times \frac{220^2}{60}} = \frac{60}{10} = 6 \, W$.

(B) $1$. $3\, \Omega$ અને $6\, \Omega$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધો:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \implies R_p = 2\, \Omega$.
$2$. સર્કિટનો કુલ અવરોધ શોધો:
$R_{total} = R_p + 4.5\, \Omega + r_1 + r_2 = 2 + 4.5 + 0.5 + 1 = 8\, \Omega$.
$3$. સર્કિટનું કુલ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ શોધો:
કોષો વિરોધમાં જોડાયેલા છે, તેથી $E_{net} = 8\, V - 4\, V = 4\, V$.
$4$. સર્કિટમાં વહેતો કુલ પ્રવાહ $(I)$ શોધો:
$I = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{4\, V}{8\, \Omega} = 0.5\, A$.
$5$. $3\, \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $(I_1)$ શોધવા માટે કરંટ ડિવાઇડર નિયમનો ઉપયોગ કરો:
$I_1 = I \times \left( \frac{R_{other}}{R_1 + R_{other}} \right) = 0.5 \times \left( \frac{6}{3+6} \right) = 0.5 \times \frac{6}{9} = 0.5 \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\, A$.
$6$. આપેલ છે કે $I_1 = \frac{x}{3}\, A$, તેથી $\frac{x}{3} = \frac{1}{3}$, જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી તેમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
સર્કિટમાં ત્રણ અવરોધો શ્રેણીમાં છે: $4 \ \Omega$,$2 \ \Omega$ (ગેલ્વેનોમીટર),અને $6 \ \Omega$.
કુલ અવરોધ $R_{eq} = 4 + 2 + 6 = 12 \ \Omega$.
સર્કિટમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6 \ V}{12 \ \Omega} = 0.5 \ A$.
ધારો કે નોડ્સ $A$ (ડાબે),$B$ (ઉપર),$C$ (નીચે),અને $D$ (જમણે) છે. $C_1$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત નોડ $A$ અને $C$ વચ્ચેનો તફાવત છે. $C_2$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત નોડ $B$ અને $D$ વચ્ચેનો તફાવત છે.
$A$ પરનું સ્થિતિમાન = $6 \ V$,$D$ પરનું સ્થિતિમાન = $0 \ V$.
$B$ પરનું સ્થિતિમાન = $V_A - I \times 4 \ \Omega = 6 - 0.5 \times 4 = 4 \ V$.
$C$ પરનું સ્થિતિમાન = $V_B - I \times 2 \ \Omega = 4 - 0.5 \times 2 = 3 \ V$.
$C_1$ પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_{C1})$ = $V_A - V_C = 6 - 3 = 3 \ V$.
$C_2$ પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_{C2})$ = $V_B - V_D = 4 - 0 = 4 \ V$.
વિદ્યુતભાર $q_1 = C_1 \times V_{C1} = 4 \ \mu F \times 3 \ V = 12 \ \mu C$.
વિદ્યુતભાર $q_2 = C_2 \times V_{C2} = 6 \ \mu F \times 4 \ V = 24 \ \mu C$.
ગુણોત્તર $\frac{q_1}{q_2} = \frac{12 \ \mu C}{24 \ \mu C} = \frac{1}{2}$.

(A) હીટરનું પાવર રેટિંગ $P = \frac{V^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વોલ્ટેજ છે અને $R$ એ અવરોધ છે.
$V$ અચળ હોવાથી,$R = \frac{V^2}{P}$ થાય.
હીટર $A$ માટે,$P_A = 1 \text{ kW}$,તેથી $R_A = \frac{V^2}{1}$.
હીટર $B$ માટે,$P_B = 2 \text{ kW}$,તેથી $R_B = \frac{V^2}{2}$.
આમ,$R_A = 2R_B$.
શ્રેણી જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ $R_S = R_A + R_B = 2R_B + R_B = 3R_B$ થાય. વપરાતો પાવર $P_S = \frac{V^2}{R_S} = \frac{V^2}{3R_B}$ છે.
સમાંતર જોડાણમાં,સમતુલ્ય અવરોધ $R_P = \frac{R_A R_B}{R_A + R_B} = \frac{(2R_B)(R_B)}{2R_B + R_B} = \frac{2R_B^2}{3R_B} = \frac{2}{3}R_B$ થાય. વપરાતો પાવર $P_P = \frac{V^2}{R_P} = \frac{V^2}{(2/3)R_B} = \frac{3V^2}{2R_B}$ છે.
પાવર આઉટપુટનો ગુણોત્તર $\frac{P_S}{P_P} = \frac{V^2 / 3R_B}{3V^2 / 2R_B} = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$ થાય.

(B) આપેલ છે: $V = 24 \text{ V}$,$R_1 = 2 \text{ k}\Omega$,$R_2 = 6 \text{ k}\Omega$,$R_L = 1.5 \text{ k}\Omega$.
$1$. કુલ અવરોધ: $R_{\text{total}} = R_1 + \frac{R_2 \times R_L}{R_2 + R_L} = 2 + \frac{6 \times 1.5}{6 + 1.5} = 3.2 \text{ k}\Omega$.
$2$. બેટરીમાંથી પ્રવાહ: $I = \frac{24}{3.2} = 7.5 \text{ mA}$. (વિધાન $A$ સાચું છે).
$3$. $R_L$ પર વોલ્ટેજ: $V_{R_L} = I \times R_{\text{parallel}} = 7.5 \times 1.2 = 9 \text{ V}$. (વિધાન $B$ ખોટું છે).
$4$. પાવરનો ગુણોત્તર: $P_{R_1} = I^2 R_1 = 112.5 \text{ mW}$,$P_{R_2} = I_{R_2}^2 R_2 = 13.5 \text{ mW}$. ગુણોત્તર $8.33$ છે,$3$ નથી. (વિધાન $C$ ખોટું છે).
$5$. $R_1$ અને $R_2$ ની અદલાબદલી કરતા: નવો વોલ્ટેજ $V_{R_L} = 3 \text{ V}$ મળે છે. વોલ્ટેજ $3$ ગણો ઘટતા પાવર $3^2 = 9$ ગણો ઘટશે. (વિધાન $D$ સાચું છે).
આમ,$(A)$ અને $(D)$ સાચા છે.

(C) ધારો કે જમણા જંકશન પરનું પોટેન્શિયલ $V$ છે અને ડાબા જંકશન પર $0 \,V$ છે.
$1 \,\Omega$ અવરોધવાળી શાખા માટે,પ્રવાહ $1 \,A$ ડાબા જંકશન તરફ વહે છે. તેથી,$V - 5 = 1 \times 1$,જે $V = 6 \,V$ આપે છે.
$R$ અવરોધવાળી શાખા માટે,પ્રવાહ $I$ ડાબેથી જમણે વહે છે. તેથી,$15 - I \times R = V = 6$,એટલે કે $I \times R = 9$.
$3 \,\Omega$ અવરોધવાળી શાખા માટે,પ્રવાહ $I_1$ જમણેથી ડાબે વહે છે. તેથી,$V - 3 \times I_1 = 0$,જે $6 - 3 \times I_1 = 0$ આપે છે,તેથી $I_1 = 2 \,A$.
જમણા જંકશન પર,કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ મુજબ,$I = 1 + I_1 = 1 + 2 = 3 \,A$.
$I \times R = 9$ હોવાથી,$3 \times R = 9$,તેથી $R = 3 \,\Omega$. આમ,$(A)$ અને $(B)$ સાચા છે.
જ્યારે $K$ બંધ થાય છે,ત્યારે સર્કિટ સમતુલ્ય $EMF$ $\varepsilon_{eq}$ અને સમતુલ્ય અવરોધ $r_{eq}$ દ્વારા ચાર્જ થતા કેપેસિટર તરીકે કાર્ય કરે છે.
મિલમેનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\varepsilon_{eq} = \frac{\frac{15}{3} + \frac{5}{1} + \frac{0}{3}}{\frac{1}{3} + \frac{1}{1} + \frac{1}{3}} = \frac{5 + 5}{5/3} = 6 \,V$.
સમતુલ્ય અવરોધ $r_{eq}$ એ $3 \,\Omega, 1 \,\Omega, 3 \,\Omega$ નું સમાંતર જોડાણ છે,જે $\frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{3} = \frac{5}{3} \,\Omega^{-1}$ છે,તેથી $r_{eq} = 0.6 \,\Omega$.
કેપેસિટર શાખામાં કુલ અવરોધ $R_{total} = r_{eq} + 3 \,\Omega = 0.6 + 3 = 3.6 \,\Omega$.
ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = R_{total} \times C = 3.6 \,\Omega \times 2 \,\mu F = 7.2 \,\mu s$.
કેપેસિટર શાખામાં પ્રવાહ $i(t) = \frac{\varepsilon_{eq}}{R_{total}} e^{-t/\tau} = \frac{6}{3.6} e^{-t/\tau} = \frac{5}{3} e^{-t/\tau}$.
$t = t_0 + 7.2 \,\mu s$ સમયે,$i = \frac{5}{3} e^{-1} = \frac{5}{3} \times 0.36 = 0.6 \,A$. આમ,$(C)$ સાચું છે.
જેમ $t < \infty$,કેપેસિટર સંપૂર્ણ ચાર્જ થાય છે,$q_{max} = C \times \varepsilon_{eq} = 2 \,\mu F \times 6 \,V = 12 \,\mu C$. આમ,$(D)$ સાચું છે.

(C) ત્રિજ્યા $x$ અને જાડાઈ $dx$ ધરાવતા એક નાના અર્ધવર્તુળાકાર ઘટકનો વિચાર કરો. આ ઘટકનો અવરોધ $dR = \frac{\rho \cdot \pi x}{t \cdot dx}$ છે.
આવા તમામ ઘટકો સમાંતરમાં જોડાયેલા હોવાથી,સમતુલ્ય વાહકતા $\frac{1}{R} = \int_{R_1}^{R_2} \frac{1}{dR} = \int_{R_1}^{R_2} \frac{t \cdot dx}{\rho \pi x} = \frac{t}{\pi \rho} \ln \left(\frac{R_2}{R_1}\right)$ થાય.
આમ,કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V_0}{R} = \frac{V_0 t}{\pi \rho} \ln \left(\frac{R_2}{R_1}\right)$. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
ઇલેક્ટ્રોનને વર્તુળાકાર માર્ગમાં ગતિ કરવા માટે,તેમને કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત કેન્દ્રગામી બળની જરૂર હોય છે. આ બળ ત્રિજ્યાવર્તી બહારની તરફ નિર્દેશિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે,જેથી ઇલેક્ટ્રોન પરનું બળ $(-eE)$ અંદરની તરફ હોય. કારણ કે $E$ ત્રિજ્યાવર્તી બહારની તરફ છે,તેથી જેમ આપણે બહારની તરફ જઈએ તેમ પોટેન્શિયલ ઘટે છે. આમ,$V_{\text{outer}} < V_{\text{inner}}$. તેથી,$(C)$ સાચું છે.
કેન્દ્રગામી બળ $eE = \frac{m v_d^2}{x}$ છે,જ્યાં $v_d$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે. કારણ કે $I = n e A v_d$,તેથી $v_d \propto I$ મળે. આમ,$E \propto v_d^2 \propto I^2$. $E$ નું સંકલન કરતા $\Delta V \propto I^2$ મળે છે. તેથી,$(D)$ સાચું છે.
તેથી,$(A, C, D)$ સાચા છે.

(A) મૂળ તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A} = \rho \frac{L}{\pi (d/2)^2} = \frac{4 \rho L}{\pi d^2}$ છે.
વપરાતી પાવર $P = \frac{V^2}{R}$ છે. પાણી ગરમ કરવા માટે લાગતો સમય $t = 4 \text{ મિનિટ}$ છે.
નવા તારો માટે,દરેકની લંબાઈ $L$ અને વ્યાસ $2d$ છે. દરેક નવા તારનો અવરોધ $R' = \rho \frac{L}{\pi (d)^2} = \frac{\rho L}{\pi d^2} = \frac{R}{4}$ છે.
જો બે નવા તારોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે,તો સમતુલ્ય અવરોધ $R_s = R' + R' = 2R' = \frac{R}{2}$ થાય.
શ્રેણીમાં પાવર $P_s = \frac{V^2}{R_s} = \frac{V^2}{R/2} = 2P$ થાય. $P \propto 1/t$ હોવાથી,લાગતો સમય $t_s = \frac{t}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ મિનિટ}$ થાય.
જો બે નવા તારોને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે,તો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R' \times R'}{R' + R'} = \frac{R'}{2} = \frac{R/4}{2} = \frac{R}{8}$ થાય.
સમાંતરમાં પાવર $P_p = \frac{V^2}{R_p} = \frac{V^2}{R/8} = 8P$ થાય. લાગતો સમય $t_p = \frac{t}{8} = \frac{4}{8} = 0.5 \text{ મિનિટ}$ થાય.
આમ,$(B)$ અને $(D)$ સાચા છે.

(C) કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q(t) = \int_0^t I(t) dt = \int_0^t I_0 \cos(\omega t) dt = \frac{I_0}{\omega} \sin(\omega t)$ છે.
આપેલ છે $I_0 = 1 \text{ A}$ અને $\omega = 500 \text{ rad s}^{-1}$,તેથી $q(t) = \frac{1}{500} \sin(500t) = 2 \times 10^{-3} \sin(500t) \text{ C}$.
મહત્તમ વિદ્યુતભાર $Q_{\max} = 2 \times 10^{-3} \text{ C}$. તેથી,$(A)$ ખોટું છે.
$t = \frac{7\pi}{6\omega}$ પર,$I(t) = I_0 \cos(\frac{7\pi}{6}) = 1 \times (-\frac{\sqrt{3}}{2}) < 0$. પ્રવાહ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં છે,તેથી $(B)$ ખોટું છે.
$t = \frac{7\pi}{6\omega}$ પર,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q = 2 \times 10^{-3} \sin(\frac{7\pi}{6}) = -1 \times 10^{-3} \text{ C}$ છે.
જ્યારે બેટરી $(50 \text{ V})$ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $q_i = -1 \times 10^{-3} \text{ C}$ છે.
$KVL$ લાગુ પાડતા: $50 - \frac{q_i}{C} - IR = 0 \Rightarrow 50 - \frac{-1 \times 10^{-3}}{20 \times 10^{-6}} - I(10) = 0 \Rightarrow 50 + 50 - 10I = 0 \Rightarrow I = 10 \text{ A}$. તેથી,$(C)$ સાચું છે.
અંતિમ વિદ્યુતભાર $q_f = CV = 20 \times 10^{-6} \times 50 = 1 \times 10^{-3} \text{ C}$.
વહેતો વિદ્યુતભાર $Q = q_f - q_i = 1 \times 10^{-3} - (-1 \times 10^{-3}) = 2 \times 10^{-3} \text{ C}$. તેથી,$(D)$ સાચું છે.

(B) સર્કિટ-$1$ (ખુલ્લી $S_1$) માટે: અવરોધ $R_{eq1} = R_1 + (R_2 + R_3) || (R_1/2) = 1 + (5 || 0.5) = 1 + 5/11 = 16/11 \Omega$ છે.
સર્કિટ-$2$ (ખુલ્લી $S_2$) માટે: અવરોધ $R_{eq2} = R_1 || R_2 || R_3 = 1 || 2 || 3 = 6/11 \Omega$ છે.
વોલ્ટેજ સ્ત્રોત માટે,$P = V^2/R$. $R_{eq1} > R_{eq2}$ હોવાથી,$P_1 < P_2$. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
પ્રવાહ સ્ત્રોત માટે,$P = I^2 R$. $R_{eq1} > R_{eq2}$ હોવાથી,$P_1 > P_2$. તેથી,$(B)$ સાચું છે.
સર્કિટ-$1$ (બંધ $S_1$) માટે: $S_1$ એ $R_1$ ને શોર્ટ કરે છે,તેથી $R'_{eq1} = (R_2 + R_3) || (R_1/2) = 5 || 0.5 = 5/11 \Omega$. $R'_{eq1} < R_{eq1}$ હોવાથી,$Q_1 > P_1$. તેથી,$(C)$ સાચું છે.
સર્કિટ-$2$ (બંધ $S_2$) માટે: $R'_{eq2} = R_1 || R_2 || R_3 || 2R_3 = 1 || 2 || 3 || 6 = 1/2 \Omega$. પ્રવાહ સ્ત્રોત સાથે $Q_1$ અને $Q_2$ ની સરખામણી $(P \propto R)$: $R'_{eq1} = 5/11 \approx 0.45 \Omega$ અને $R'_{eq2} = 0.5 \Omega$. $R'_{eq2} > R'_{eq1}$ હોવાથી,$Q_2 > Q_1$. તેથી,$(D)$ ખોટું છે.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે. તેથી,કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
સર્કિટને જોતા,$2 \text{V}$ ની બેટરી $4 \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાયેલ છે.
$4 \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1 = \frac{2 \text{V}}{4 \Omega} = 0.5 \text{A}$ છે.
બાકીની સર્કિટ ($2 \Omega$,$3 \Omega$,$6 \Omega$ ના અવરોધ ધરાવતી શાખા) પણ બેટરી સાથે સમાંતર જોડાયેલ છે.
$3 \Omega$ અને $6 \Omega$ ના સમાંતર અવરોધનું સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{3 \times 6}{3 + 6} = 2 \Omega$ છે.
આ $R_p$ એ $2 \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે,તેથી આ શાખાનો કુલ અવરોધ $R_{branch} = 2 \Omega + 2 \Omega = 4 \Omega$ છે.
આ શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_2 = \frac{2 \text{V}}{4 \Omega} = 0.5 \text{A}$ છે.
બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = I_1 + I_2 = 0.5 \text{A} + 0.5 \text{A} = 1 \text{A}$ છે.

(A) એમીટર $(R_A = 240\ \Omega)$ અને શંટ $(R_S = 10\ \Omega)$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ:
$R_p = \frac{R_A \times R_S}{R_A + R_S} = \frac{240 \times 10}{240 + 10} = \frac{2400}{250} = 9.6\ \Omega$
પરિપથનો કુલ અવરોધ:
$R_{\text{eq}} = 150.4\ \Omega + 9.6\ \Omega = 160\ \Omega$
$20\ V$ ની બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{\text{eq}}} = \frac{20}{160} = 0.125\ A$
કરંટ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,એમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_A$:
$I_A = I \times \left( \frac{R_S}{R_A + R_S} \right) = 0.125 \times \left( \frac{10}{240 + 10} \right) = 0.125 \times \left( \frac{10}{250} \right) = 0.125 \times 0.04 = 0.005\ A$
મિલીએમ્પિયરમાં રૂપાંતર કરતા:
$I_A = 0.005\ A = 5\ mA$.

(B) ઓમના નિયમ $(V = IR)$ નો ઉપયોગ કરીને અવરોધ $R$ નક્કી કરવા માટે,આપણે અવરોધના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત અને તેમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ માપવાની જરૂર છે.
આદર્શ વોલ્ટમીટરનો અવરોધ અનંત હોય છે અને તેને અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં જોડવું જોઈએ જેથી તે કોઈ પણ પ્રવાહ ખેંચ્યા વિના વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત માપી શકે.
આદર્શ એમીટરનો અવરોધ શૂન્ય હોય છે અને તેને અવરોધ સાથે શ્રેણી જોડાણમાં જોડવું જોઈએ જેથી તે તેમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ માપી શકે.
આકૃતિ $B$ માં,વોલ્ટમીટર અવરોધ $R$ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલ છે,જે તેની આસપાસનો વોલ્ટેજ માપે છે,અને એમીટર અવરોધ $R$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે,જે તેમાંથી વહેતો પ્રવાહ માપે છે. આ સાચું જોડાણ છે.

(A) $1$. મોબિલિટી $(\mu)$ ને એકમ વિદ્યુતક્ષેત્ર દીઠ ડ્રિફ્ટ વેગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $\mu = \frac{v_d}{E}$. તેથી,$A \rightarrow R$.
$2$. વિદ્યુત વાહકતા $(\sigma)$ એ પ્રવાહ ઘનતા $(J)$ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E)$ નો ગુણોત્તર છે: $\sigma = \frac{J}{E}$. તેથી,$B \rightarrow S$.
$3$. રિલેક્સેશન સમય $(\tau)$ એ અવરોધકતા $(\rho)$ સાથે $\rho = \frac{m}{ne^2 \tau}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે,જેનો અર્થ છે કે $\tau = \frac{m}{ne^2 \rho}$. તેથી,$C \rightarrow P$.
$4$. વિદ્યુતપ્રવાહ $(I)$ એ $I = neAv_d$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા છે,$e$ એ વિદ્યુતભાર છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે અને $v_d$ એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે. તેથી,$D \rightarrow Q$.
આમ,સાચી જોડ $A \rightarrow R, B \rightarrow S, C \rightarrow P, D \rightarrow Q$ છે.

(C) થર્મોકપલમાં,તટસ્થ તાપમાન $(T_n)$ એ બે જંકશન માટે વપરાતી સામગ્રીનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે. તેને ગરમ જંકશનના તે તાપમાન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે જેના પર થર્મો-ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ મહત્તમ બને છે અને થર્મોઇલેક્ટ્રિક પાવર શૂન્ય થઈ જાય છે. તટસ્થ તાપમાન ફક્ત થર્મોકપલની સામગ્રી પર આધાર રાખે છે અને તે ઠંડા જંકશનના તાપમાન $(T_c)$ થી સ્વતંત્ર છે. તેથી,જો ઠંડા જંકશનનું તાપમાન ઘટે,તો તટસ્થ તાપમાન સમાન રહે છે.

(A) ન્યુટ્રલ તાપમાન $(T_{n})$,કોલ્ડ જંકશનનું તાપમાન $(T_{c})$ અને ઇન્વર્ઝન તાપમાન $(T_{i})$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$T_{n} = \frac{T_{c} + T_{i}}{2}$
આપેલ છે:
$T_{i} = 600^{\circ} C$
$T_{n} = 320^{\circ} C$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$320^{\circ} = \frac{T_{c} + 600^{\circ}}{2}$
$640^{\circ} = T_{c} + 600^{\circ}$
$T_{c} = 640^{\circ} - 600^{\circ}$
$T_{c} = 40^{\circ} C$
તેથી,કોલ્ડ જંકશનનું તાપમાન $40^{\circ} C$ છે.

(A) થર્મોકપલમાં,થર્મો-emf $(E)$ એ ગરમ જંકશન $(T_h)$ અને ઠંડા જંકશન $(T_c)$ વચ્ચેના તાપમાનના તફાવત સાથે બદલાય છે.
$1$. જ્યારે $T_h = T_c$ હોય ત્યારે થર્મો-emf શૂન્ય હોય છે (જ્યારે બંને જંકશન સમાન તાપમાને હોય).
$2$. થર્મો-emf ત્યારે પણ શૂન્ય હોય છે જ્યારે $T_h = T_i$ હોય,જ્યાં $T_i$ એ ઇન્વર્ઝન તાપમાન છે.
$3$. પ્રશ્નમાં તે તાપમાન વિશે પૂછવામાં આવ્યું છે જ્યાં થર્મો-emf શૂન્ય હોય છે,અને ઇન્વર્ઝન તાપમાન એ ચોક્કસ તાપમાન છે (ઠંડા જંકશનના તાપમાન સિવાય) જ્યાં emf શૂન્ય થઈ જાય છે,તેથી સાચો જવાબ ઇન્વર્ઝન તાપમાન છે.

(B) પરિમાણીય સૂત્રો નીચે મુજબ મેળવવામાં આવે છે:
$(A)$ વિદ્યુત અવરોધ $(R)$: $R = V/I$. સ્થિતિમાન $(V)$ નું સૂત્ર $M^1 L^2 T^{-3} A^{-1}$ છે અને પ્રવાહ $(I)$ નું $A^1$ છે। તેથી, $R = [M^1 L^2 T^{-3} A^{-1}] / [A^1] = M^1 L^2 T^{-3} A^{-2}$. જે $(Q)$ સાથે મેળ ખાય છે।
$(B)$ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $(V)$: $V = W/q$. કાર્ય $(W)$ નું સૂત્ર $M^1 L^2 T^{-2}$ છે અને વિદ્યુતભાર $(q)$ નું $A^1 T^1$ છે। તેથી, $V = [M^1 L^2 T^{-2}] / [A^1 T^1] = M^1 L^2 T^{-3} A^{-1}$. જે $(R)$ સાથે મેળ ખાય છે।
$(C)$ વિશિષ્ટ અવરોધ (અવરોધકતા, $\rho$): $\rho = R \cdot A / l$. પરિમાણ $[M^1 L^2 T^{-3} A^{-2}] \cdot [L^2] / [L] = M^1 L^3 T^{-3} A^{-2}$ થાય છે। જે $(P)$ સાથે મેળ ખાય છે।
$(D)$ વિશિષ્ટ વાહકતા ($\sigma$): $\sigma = 1 / \rho$. પરિમાણ $[M^{-1} L^{-3} T^3 A^2]$ થાય છે। જે વિકલ્પોમાં આપેલ નથી, તેથી તે $(S)$ સાથે મેળ ખાય છે।
તેથી, સાચી જોડ $A-Q, B-R, C-P, D-S$ છે।

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં, કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે, તેથી કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી, પ્રવાહ $I$ ફક્ત $2 \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહે છે.
$2 \Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ એ કોષના ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ જેટલો હોય છે.
કેપેસિટર $2 \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાયેલ હોવાથી, કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $2 \Omega$ ના અવરોધ પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત જેટલો જ હોય છે.
$V_C = \frac{Q}{C} = \frac{4 \times 10^{-6} \text{ C}}{2 \times 10^{-6} \text{ F}} = 2 \text{ V}$.
આમ, ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = 2 \text{ V}$ મળે છે.
$2 \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R} = \frac{2 \text{ V}}{2 \Omega} = 1 \text{ A}$ છે.
કોષના ટર્મિનલ વોલ્ટેજ માટેના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા, $V = E - Ir$, જ્યાં $E$ એ emf છે અને $r$ એ આંતરિક અવરોધ છે:
$E = V + Ir = 2 \text{ V} + (1 \text{ A} \times 0.5 \Omega) = 2 + 0.5 = 2.5 \text{ V}$.
તેથી, કોષનું emf $2.5 \text{ V}$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,પરિપથને સરળ બનાવો. પરિપથ શ્રેણીમાં બે ભાગોનો બનેલો છે: ભાગ $A$ અને ભાગ $B$.
ભાગ $A$ માં $2 \Omega, 3 \Omega$ અને $6 \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_A$ આ મુજબ મળે છે: $\frac{1}{R_A} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = 1 \Omega$,તેથી $R_A = 1 \Omega$.
ભાગ $B$ માં $4 \Omega$ અને $5 \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_B$ આ મુજબ મળે છે: $\frac{1}{R_B} = \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{5+4}{20} = \frac{9}{20} \Omega$,તેથી $R_B = \frac{20}{9} \Omega \approx 2.22 \Omega$.
અહીં $R_B > R_A$ હોવાથી,ભાગ $B$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $(V_B)$ એ ભાગ $A$ પરના પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $(V_A)$ કરતા વધારે છે.
સમાંતર જોડાણમાં રહેલા અવરોધો માટે,પાવર $P = \frac{V^2}{R}$ થાય. ભાગ $B$ ના બંને અવરોધો માટે $V_B$ સમાન હોવાથી,જેનો અવરોધ ઓછો હશે તે વધુ પાવરનો વ્યય કરશે.
ભાગ $B$ માં $4 \Omega$ અને $5 \Omega$ ના અવરોધોની સરખામણી કરતા,$4 \Omega$ ના અવરોધનું મૂલ્ય ઓછું હોવાથી તે વધુ પાવરનો વ્યય કરે છે.
તેથી,$4 \Omega$ નો બલ્બ મહત્તમ તીવ્રતા સાથે પ્રકાશિત થાય છે.

(A) કોષનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V = \varepsilon - Ir$
જ્યાં પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R+r}$ હોવાથી,આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$V = \varepsilon - \left( \frac{\varepsilon}{R+r} \right) r$
$V = \varepsilon \left( 1 - \frac{r}{R+r} \right) = \varepsilon \left( \frac{R+r-r}{R+r} \right) = \frac{\varepsilon R}{R+r}$
$V$ વિરુદ્ધ $R$ ના આલેખનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. જ્યારે $R = 0$ હોય,ત્યારે $V = 0$ થાય.
$2$. જેમ $R \to \infty$ થાય,તેમ $V \to \varepsilon$ થાય.
$3$. વિકલન $\frac{dV}{dR} = \frac{\varepsilon(R+r) - \varepsilon R}{(R+r)^2} = \frac{\varepsilon r}{(R+r)^2}$,જે હંમેશા ધન છે,જેનો અર્થ છે કે $V$ એ $R$ સાથે વધે છે.
$4$. દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2V}{dR^2} = -\frac{2\varepsilon r}{(R+r)^3}$,જે ઋણ છે,જેનો અર્થ છે કે આલેખ નીચેની તરફ વળેલો (concave down) છે.
આ વર્તણૂક વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ વક્રને અનુરૂપ છે.

(D) થર્મો-emf $E$ એ $E = a\theta + b\theta^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
થર્મોઈલેક્ટ્રિક પાવર $P$ ને તાપમાનના સંદર્ભમાં થર્મો-emf ના બદલાવના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $P = \frac{dE}{d\theta} = a + 2b\theta$.
તટસ્થ તાપમાન $T_n$ એ તાપમાન છે જ્યાં થર્મોઈલેક્ટ્રિક પાવર શૂન્ય થાય છે.
$P = 0$ મૂકતા,આપણને $a + 2bT_n = 0$ મળે છે.
તેથી,$T_n = -\frac{a}{2b}$.
આપેલ ગુણોત્તર $a/b = 700^{\circ}C$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $T_n = -\frac{700}{2} = -350^{\circ}C$.
કારણ કે $-350^{\circ}C$ આપેલા વિકલ્પોમાં નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) વિદ્યુતપ્રવાહને કારણે તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા જૂલના નિયમ મુજબ મળે છે: $H = I^2 R t$.
આપેલ છે: $I = 10 \ A$,$R = 20 \ \Omega$,$t = 1 \ minute = 60 \ s$.
$H = (10)^2 \times 20 \times 60 = 100 \times 20 \times 60 = 120,000 \ J$.
આ ઉષ્માને કેલરીમાં ફેરવવા માટે,આપણે $1 \ cal = 4.2 \ J$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$H_{\text{cal}} = \frac{120,000}{4.2} \approx 28,571.4 \ cal$.
બરફને ઓગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = m L_{\text{ice}}$ છે.
ઉત્પન્ન થયેલી ઉષ્મા અને જરૂરી ઉષ્માને સરખાવતા: $m = \frac{H_{\text{cal}}}{L_{\text{ice}}} = \frac{28,571.4}{79.7} \approx 358.48 \ g$.
નજીકના મૂલ્યને ધ્યાનમાં લેતા,બરફનું દળ $359 \ g$ છે.

(A) વિધાન $(I)$: મોટાભાગની શુદ્ધ ધાતુઓ માટે, તાપમાન વધતા અવરોધ વધે છે, તેથી અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક ધન હોય છે. આમ, $(I)$ સાચું છે.
વિધાન $(II)$: આપેલ વ્યાસ $d = 2 \ mm$, ત્રિજ્યા $r = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$. ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \times (10^{-3})^2 = \pi \times 10^{-6} \ m^2$. વિદ્યુતભાર $q = 360 \pi \ C$, સમય $t = 2 \ \text{કલાક }= 7200 \ s$. પ્રવાહ $i = q/t = 360 \pi / 7200 = \pi / 20 \ A$. ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા $n = 5 \times 10^{22} \ cm^{-3} = 5 \times 10^{28} \ m^{-3}$. ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d = i / (neA) = (\pi / 20) / (5 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19} \times \pi \times 10^{-6}) = 1 / (20 \times 5 \times 1.6 \times 10^3) = 1 / (160000) = 6.25 \times 10^{-6} \ m/s$. આમ, $(II)$ સાચું છે.
વિધાન $(III)$: અર્ધવાહકો અ-ઓહ્મિક વાહકો છે; તેઓ વિદ્યુતક્ષેત્રના તમામ મૂલ્યો માટે રેખીય $V-I$ સંબંધનું પાલન કરતા નથી. આમ, $(III)$ સાચું છે.

(A) જ્યારે તાપમાનના તફાવત $\Delta T$ પર જાળવી રાખેલા વાહકમાંથી પ્રવાહ $I$ વહે છે, ત્યારે એકમ સમયમાં ઉત્પન્ન થતી કુલ ઉષ્મા એ જૂલ ઉષ્મા અને થોમસન ઉષ્માનો સરવાળો છે.
જૂલ ઉષ્મા $P_J = I^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે $\Delta T$ થી સ્વતંત્ર છે.
થોમસન ઉષ્મા $P_T = \sigma I \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\sigma$ એ થોમસન સહગુણક છે.
નાના તાપમાનના તફાવત અને નાના પ્રવાહ માટે, થોમસન અસરને કારણે ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા એ પ્રવાહ $I$ અને તાપમાનના તફાવત $\Delta T$ ના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(D) થર્મોકપલમાં ઉત્પન્ન થતું કુલ $emf$ સીબેક અસર દ્વારા નક્કી થાય છે,જે વપરાતી ધાતુઓના પ્રકાર (સીબેક સહગુણક) અને ગરમ તથા ઠંડા જંક્શન વચ્ચેના તાપમાનના તફાવત પર આધાર રાખે છે.
આ તાપમાનના ઢાળ સાથે સંબંધિત એક સ્થાયી-અવસ્થાની ઘટના છે.
તેથી,કુલ $emf$ એ સમયગાળા પર આધાર રાખતું નથી જેના માટે થર્મોકપલમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ પસાર કરવામાં આવે છે.

(D) થર્મો emf $E = a\theta + b\theta^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તટસ્થ તાપમાન $(T_n)$ શોધવા માટે,આપણે $E$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ અને તેને શૂન્ય તરીકે લઈએ છીએ,કારણ કે તટસ્થ તાપમાન પર થર્મો emf મહત્તમ હોય છે.
$\frac{dE}{d\theta} = a + 2b\theta$.
$\frac{dE}{d\theta} = 0$ લેતા,આપણને $a + 2b\theta = 0$ મળે છે.
તેથી,$T_n = -\frac{a}{2b}$.
આપેલ છે કે $a/b = 700^{\circ}C$,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ:
$T_n = -\frac{1}{2} \times (700^{\circ}C) = -350^{\circ}C$.
ગણતરી કરેલ કિંમત $-350^{\circ}C$ વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) થર્મો emf $E = aT + bT^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યુટ્રલ તાપમાન $(T_n)$ પર emf મહત્તમ હોય છે અને ઇન્વર્ઝન તાપમાન $(T_i)$ પર emf શૂન્ય થાય છે.
$E = 0$ લેતા:
$aT_i + bT_i^2 = 0$
$T_i(a + bT_i) = 0$
$T_i \neq 0$ હોવાથી,$T_i = -\frac{a}{b}$ મળે.
આપેલ છે કે $\frac{a}{b} = -200^{\circ}C$,તેથી $T_i = -(-200^{\circ}C) = 200^{\circ}C$.
આ $T_i$ એ $0^{\circ}C$ ના ઠંડા જંકશનના સંદર્ભમાં તાપમાન છે.
જો ઠંડું જંકશન $T_c = 30^{\circ}C$ પર હોય,તો ઇન્વર્ઝન તાપમાન $T_i = 2T_n - T_c$ સૂત્ર મુજબ મળે,જ્યાં $T_n = -\frac{a}{2b} = 100^{\circ}C$.
તેથી,$T_i = 2(100) - 30 = 170^{\circ}C$.
કેલ્વિનમાં ફેરવતા: $T = 170 + 273 = 443 \ K$.

(A) થર્મોઈલેક્ટ્રિક પાવર $S$ એ તાપમાનની સાપેક્ષમાં થર્મો-ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સના ફેરફારનો દર છે,જે $S = \frac{dE}{dT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $E = k(T-T_r)[T_0 - \frac{1}{2}(T+T_r)]$ છે.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $E = k[T_0(T-T_r) - \frac{1}{2}(T^2 - T_r^2)]$.
$T$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dE}{dT} = k[T_0 - \frac{1}{2}(2T)] = k(T_0 - T)$.
$S$ ના સમીકરણમાં $T = \frac{1}{2} T_0$ મૂકતા:
$S = k(T_0 - \frac{1}{2} T_0) = k(\frac{1}{2} T_0) = \frac{1}{2} k T_0$.

(D) આપેલ થર્મો emf સમીકરણ: $V = 10 \times 10^{-6} t - \frac{1}{40} \times 10^{-6} t^2$.
તટસ્થ તાપમાન $(t_n)$ શોધવા માટે,આપણે $V$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય લઈએ: $\frac{dV}{dt} = 10 \times 10^{-6} - \frac{2}{40} \times 10^{-6} t = 0$.
$10 \times 10^{-6} = \frac{1}{20} \times 10^{-6} t_n$.
$t_n = 200^{\circ} C$.
મહત્તમ થર્મો emf $(V_{\max})$ શોધવા માટે,આપણે $t_n = 200^{\circ} C$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકીએ:
$V_{\max} = 10 \times 10^{-6} (200) - \frac{1}{40} \times 10^{-6} (200)^2$.
$V_{\max} = 2 \times 10^{-3} - \frac{40000}{40} \times 10^{-6} = 2 \times 10^{-3} - 1 \times 10^{-3} = 1 \times 10^{-3} \text{ V} = 1 \text{ mV}$.

(A) વિધાન $A$ સાચું છે: પેલ્ટીયર ગુણાંક $\pi$ ને બે અસમાન ધાતુઓના જંકશન પર એકમ વિદ્યુતભાર દીઠ ઉત્સર્જિત અથવા શોષાયેલી ઉષ્મા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જ્યારે તેમાંથી પ્રવાહ વહે છે ત્યારે તે સંખ્યાત્મક રીતે જંકશન પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત જેટલો હોય છે.
વિધાન $B$ સાચું છે: થોમસન અસર જણાવે છે કે જ્યારે તાપમાનનો તફાવત હોય અને તેમાંથી વિદ્યુત પ્રવાહ વહે ત્યારે એક જ વાહકની લંબાઈ સાથે ઉષ્મા શોષાય છે અથવા ઉત્સર્જિત થાય છે,જ્યારે પેલ્ટીયર અસર બે અલગ-અલગ વાહકોના જંકશન માટે વિશિષ્ટ છે.

(B) થર્મો e.m.f. સમીકરણ $E = 16T - 0.04T^2$ છે.
ઇન્વર્ઝન તાપમાન $(T_i)$ પર,થર્મો e.m.f. શૂન્ય થાય છે $(E = 0)$.
સમીકરણને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $0 = 16T_i - 0.04T_i^2$.
$16T_i = 0.04T_i^2$.
$T_i = \frac{16}{0.04} = 400^{\circ} C$.
ન્યુટ્રલ તાપમાન $(T_n)$ એ તાપમાન છે જ્યાં થર્મો e.m.f. મહત્તમ હોય છે,અથવા તે ઠંડા જંકશનના તાપમાન $(T_c)$ અને ઇન્વર્ઝન તાપમાન $(T_i)$ ની સરેરાશ છે.
$T_n = \frac{T_i + T_c}{2}$.
અહીં $T_c = 0^{\circ} C$ આપેલ છે,તેથી $T_n = \frac{400 + 0}{2} = 200^{\circ} C$.
આમ,ઇન્વર્ઝન તાપમાન $400^{\circ} C$ છે અને ન્યુટ્રલ તાપમાન $200^{\circ} C$ છે.

(D) થોમસન અસર દરમિયાન શોષાયેલી અથવા મુક્ત થયેલી ઉષ્માનું સૂત્ર $H = \sigma q \Delta T$ છે,જ્યાં $\sigma$ એ થોમસન અચળાંક છે,$q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનનો તફાવત છે.
આપેલ છે:
$\sigma = 10 \mu V/K = 10 \times 10^{-6} \text{ V/K}$
$q = 10 \text{ C}$
$\Delta T = 60^{\circ} C - 50^{\circ} C = 10 \text{ K}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$H = (10 \times 10^{-6} \text{ V/K}) \times (10 \text{ C}) \times (10 \text{ K})$
$H = 1000 \times 10^{-6} \text{ J}$
$H = 10^{-3} \text{ J} = 1 \text{ mJ}$