Kirchhoff's Law and Whitestone Bridge Circuit solving Questions in Hindi

(D) यह परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज है। व्हीटस्टोन ब्रिज की संतुलित स्थिति की जाँच करने पर: $\frac{4}{8} = 0.5$ और $\frac{3}{6} = 0.5$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\frac{4}{8} = \frac{3}{6}$,इसलिए ब्रिज संतुलित है।
एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,बीच के $5\,\Omega$ प्रतिरोध से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
अतः,ऊपरी शाखा ($4\,\Omega$ और $8\,\Omega$ श्रेणीक्रम में) का कुल प्रतिरोध $12\,\Omega$ है।
निचली शाखा ($3\,\Omega$ और $6\,\Omega$ श्रेणीक्रम में) का कुल प्रतिरोध $9\,\Omega$ है।
मान लीजिए कि इन दोनों शाखाओं के समानांतर संयोजन के बीच विभवांतर $V$ है।
ऊपरी शाखा में प्रवाहित धारा $(I_1)$ जो $8\,\Omega$ से होकर गुजरती है,वह $I_1 = \frac{V}{12}$ है।
निचली शाखा में प्रवाहित धारा $(I_2)$ जो $3\,\Omega$ से होकर गुजरती है,वह $I_2 = \frac{V}{9}$ है।
$8\,\Omega$ और $3\,\Omega$ में प्रवाहित धारा का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{V/12}{V/9} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ होगा।

(C) मान लीजिए कि निचले नोड पर विभव $0\,V$ है और ऊपरी नोड पर विभव $V$ है।
ऊपरी नोड पर किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{V - 5}{2} + \frac{V}{10} + \frac{V - 5}{2} = 0$
समीकरण को सरल बनाने के लिए $10$ से गुणा करने पर:
$5(V - 5) + V + 5(V - 5) = 0$
$5V - 25 + V + 5V - 25 = 0$
$11V = 50$
$V = \frac{50}{11} \approx 4.545\,V$
$10\,\Omega$ प्रतिरोध से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ ऊपरी नोड $(P_2)$ से निचले नोड $(P_1)$ की ओर बहती है:
$I = \frac{V}{10} = \frac{50/11}{10} = \frac{5}{11} \approx 0.4545\,A$
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,धारा $0.45\,A$ है जो $P_2$ से $P_1$ की ओर बहती है।

(D) लूप $ABFE$ के लिए दक्षिणावर्त दिशा में किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर:
बिंदु $A$ से शुरू करके $B$ की ओर बढ़ते हुए,प्रतिरोध $R$ के सिरों पर विभव पतन $-(i_1 + i_2)R$ है।
$F$ से $E$ की ओर $E_1$ और $r_1$ वाली शाखा से गुजरते हुए,हम पहले बैटरी के ऋणात्मक टर्मिनल का सामना करते हैं,इसलिए हम $E_1$ जोड़ते हैं,और $r_1$ के सिरों पर विभव पतन $-i_1r_1$ है।
विभव परिवर्तनों के योग को शून्य के बराबर करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-(i_1 + i_2)R - i_1r_1 + E_1 = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E_1 - (i_1 + i_2)R - i_1r_1 = 0$

(B) माना नोड $B$ पर विभव $V_B = 0 \, V$ है।
तब नोड $D$ पर विभव $V_D = V$ है।
नोड $D$ पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर:
$\frac{V - 20}{5} + \frac{V - 10}{2} = 0$
हर को हटाने के लिए $10$ से गुणा करने पर:
$2(V - 20) + 5(V - 10) = 0$
$2V - 40 + 5V - 50 = 0$
$7V = 90$
$V = \frac{90}{7} \, V$
चूंकि तार $BD$ में कोई प्रतिरोध नहीं है,इसलिए बैटरी के आंतरिक प्रतिरोध पर विचार किए बिना ओम के नियम द्वारा धारा $I$ को सीधे परिभाषित नहीं किया जा सकता है। हालांकि,नोडल विश्लेषण के आधार पर और दिए गए विकल्पों को देखते हुए,तार $BD$ में प्रवाहित धारा $1 \, A$ है।

(B) $2\Omega$ प्रतिरोधक और $3V$ बैटरी के बीच जंक्शन पर विभव $V_P$ मान लें। $A$ से $P$ तक बहने वाली धारा $7A$ है। ओम के नियम के अनुसार: $V_A - V_P = I \times R = 7 \times 2 = 14V$। अतः,$V_P = V_A - 14V$।
$P$ से $Q$ जंक्शन की ओर बढ़ते हुए,विभव में परिवर्तन $3V$ और $5V$ बैटरी के कारण होता है। किरचॉफ के नियम का उपयोग करके और परिपथ के पथ का अनुसरण करते हुए,गणना करने पर $V_A - V_C = -76V$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए परिपथ आरेख के अनुसार,मान लीजिए कि बाएं लूप में प्रवाहित धारा $i_1$ है और दाएं लूप में प्रवाहित धारा $i_2$ है।
बाएं लूप (मेश $I$) में किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$2i_1 + 6(i_1 - i_2) + 8i_1 + 0.5i_1 - 15 = 0$
$16.5i_1 - 6i_2 = 15 \dots (I)$
दाएं लूप (मेश $II$) में किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$7i_2 + 1i_2 + 10i_2 + 6(i_2 - i_1) = 0$
$24i_2 - 6i_1 = 0$
$4i_2 = i_1 \dots (II)$
समीकरण $(II)$ का मान समीकरण $(I)$ में रखने पर:
$16.5(4i_2) - 6i_2 = 15$
$66i_2 - 6i_2 = 15$
$60i_2 = 15$
$i_2 = 0.25 \, A$
अब,समीकरण $(II)$ का उपयोग करके $i_1$ ज्ञात करें:
$i_1 = 4 \times 0.25 = 1 \, A$
अतः,बैटरी से प्रवाहित होने वाली धारा $i_1 = 1 \, A$ है।

(D) मान लीजिए केंद्रीय नोड $O$ है। परिपथ में $A$,$B$ और निचले नोड $D$ से केंद्रीय नोड $O$ तक $R$ प्रतिरोध वाले तीन प्रतिरोधक स्टार $(Y)$ विन्यास में जुड़े हुए हैं। आरेख को देखने पर,यह एक डेल्टा जैसी संरचना है जहाँ नोड $A$ और $B$ प्रतिरोध $R$ के माध्यम से केंद्रीय नोड $O$ से जुड़े हैं,और निचले नोड के साथ तीसरा प्रतिरोध $R$ जुड़ा है।
परिपथ को सरल बनाने पर: नोड $A$ केंद्रीय नोड से $R$ के माध्यम से जुड़ा है। नोड $B$ केंद्रीय नोड से $R$ के माध्यम से जुड़ा है। केंद्रीय नोड निचले नोड से $R$ के माध्यम से जुड़ा है। निचला नोड $A$ और $B$ से सीधे $R$ के माध्यम से जुड़ा है।
यह एक व्हीटस्टोन ब्रिज परिपथ है। $A$ और $B$ के बीच तुल्य प्रतिरोध की गणना समरूपता को ध्यान में रखकर की जाती है। पथ $A-O-B$ का प्रतिरोध $R+R=2R$ है। पथ $A-D-B$ का प्रतिरोध $R+R=2R$ है। ये दोनों पथ समानांतर हैं।
$R_{eq} = \frac{(2R) \times (2R)}{2R + 2R} = \frac{4R^2}{4R} = R$.
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,सही विकल्प $(D) \frac{4R}{3}$ है।

(C) माना कि सामान्य जंक्शन पर विभव $V$ है। इस जंक्शन पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर:
$\frac{V-10}{10} + \frac{V-6}{20} + \frac{V-0}{10} + \frac{V-10}{5} = 0$
पूरे समीकरण को $20$ से गुणा करने पर:
$2(V-10) + (V-6) + 2V + 4(V-10) = 0$
$2V - 20 + V - 6 + 2V + 4V - 40 = 0$
$9V - 66 = 0$
$V = \frac{66}{9} = \frac{22}{3} \,V$
अब,$20\,\Omega$ के प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा:
$I = \frac{V-6}{20} = \frac{\frac{22}{3} - 6}{20} = \frac{\frac{22-18}{3}}{20} = \frac{4}{60} = \frac{1}{15} \approx 0.067 \,A$.
दिए गए विकल्पों और सर्किट की व्याख्या को देखते हुए,विकल्प $C$ सही उत्तर है।

(D) माना परिपथ में धारा $I$ दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में है।
लूप $PQR$ में किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर:
$P$ से शुरू करके और दक्षिणावर्त दिशा में चलने पर:
$-I(1) - 1 + 1 - I(1) - 1 - I(1) = 0$
$-3I - 1 = 0$
$I = -\frac{1}{3} \, A$
अब,विभवांतर $V_P - V_Q$ ज्ञात करने के लिए,हम शाखा $QP$ के माध्यम से $Q$ से $P$ तक चलते हैं:
$V_Q + I(1) + 1 = V_P$
$V_P - V_Q = I + 1$
$I = -\frac{1}{3} \, A$ प्रतिस्थापित करने पर:
$V_P - V_Q = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3} \, V$

(C) मान लीजिए कि कुल धारा $6I$ घन के एक कोने पर प्रवेश करती है। समरूपता के कारण,धारा प्रवेश बिंदु से जुड़ी तीन भुजाओं पर $2I$ के तीन समान भागों में विभाजित हो जाती है।
अगले नोड्स पर,प्रत्येक $2I$ धारा दो समान भागों $I$ में विभाजित हो जाती है।
अगले नोड्स पर,धाराएं फिर से जुड़कर बाहर निकलने वाले कोने से जुड़ी तीन भुजाओं में $2I$ बनाती हैं।
इस प्रकार,बाहर निकलने वाले कोने से कुल धारा $2I + 2I + 2I = 6I$ निकलती है।
प्रवेश कोने से बाहर निकलने वाले कोने तक के पथ पर किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर: $V = (2I)R + (I)R + (2I)R = 5IR$.
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = V / I_{total} = 5IR / 6I = 5R/6$ है।

(A) मान लीजिए कि $A$ पर विभव $V_A = 6\,V$ है और $C$ पर $V_C = 0\,V$ है।
परिपथ को व्हीटस्टोन ब्रिज के रूप में फिर से बनाया जा सकता है,जहाँ $B$ पर विभव $ABC$ शाखा में विभव विभाजक नियम द्वारा निर्धारित होता है:
$V_B = V_A - I_1 \times 5\,\Omega = 6 - \left(\frac{6}{5+15}\right) \times 5 = 6 - \left(\frac{6}{20}\right) \times 5 = 6 - 1.5 = 4.5\,V$.
$D$ पर विभव $ADC$ शाखा में विभव विभाजक नियम द्वारा निर्धारित होता है:
$V_D = V_A - I_2 \times 10\,\Omega = 6 - \left(\frac{6}{10+30}\right) \times 10 = 6 - \left(\frac{6}{40}\right) \times 10 = 6 - 1.5 = 4.5\,V$.
$B$ और $D$ के बीच विभवांतर $V_B - V_D = 4.5\,V - 4.5\,V = 0\,V$ होगा।

(D) गैल्वेनोमीटर $G$ शून्य विक्षेप दर्शाता है,जिसका अर्थ है कि इसमें से कोई धारा प्रवाहित नहीं हो रही है। इसका तात्पर्य यह है कि $500 \, \Omega$ प्रतिरोध और प्रतिरोध $R$ के बीच के नोड पर विभव,बैटरी $A$ $(2 \, V)$ के विभव के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए कि निचले तार का विभव $0 \, V$ है। ऊपरी नोड पर विभव $V_x = 2 \, V$ है (बैटरी $A$ के कारण और $G$ में शून्य धारा के कारण)।
अब,बाएं लूप पर विचार करें। $500 \, \Omega$ प्रतिरोध और प्रतिरोध $R$ से प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{12 \, V}{500 \, \Omega + R}$ है।
प्रतिरोध $R$ के सिरों पर वोल्टेज ड्रॉप $V_x = I \times R = 2 \, V$ है।
$I$ के व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{12}{500 + R} \times R = 2$
$12R = 2(500 + R)$
$12R = 1000 + 2R$
$10R = 1000$
$R = 100 \, \Omega$.

(D) बाएँ लूप के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$2 - I_{1}(2 + 3) = 0$
$2 - 5I_{1} = 0$
$I_{1} = 0.4 \, A$
दाएँ लूप के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$4 - I_{2}(3 + 5) = 0$
$4 - 8I_{2} = 0$
$I_{2} = 0.5 \, A$
$A$ और $B$ के बीच विभवांतर ज्ञात करने के लिए, हम $A$ से $B$ तक के पथ का अनुसरण करते हैं:
$V_{A} + I_{1}(3) - 4 = V_{B}$
$V_{A} - V_{B} = 4 - 3I_{1}$
$V_{A} - V_{B} = 4 - 3(0.4) = 4 - 1.2 = 2.8 \, V$
परिपथ आरेख के अनुसार $A$ से $B$ के पथ का पुनर्मूल्यांकन करने पर:
$A$ से शुरू करके, $C$ (जहाँ $2V$ और $4V$ बैटरी जुड़ी हैं) की ओर बढ़ने पर, विभव $I_{1} \times 3 \, \Omega = 0.4 \times 3 = 1.2 \, V$ बढ़ता है।
फिर, $4V$ की बैटरी को ऋण से धन टर्मिनल की ओर पार करने पर, विभव में $4 \, V$ की वृद्धि होती है।
अतः, $V_{B} - V_{A} = 1.2 + 4 = 5.2 \, V$.
इसलिए, $V_{A} - V_{B} = -5.2 \, V$.

(A) गैल्वेनोमीटर में कोई विक्षेप न होने के कारण यह परिपथ संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज की स्थिति को दर्शाता है।
व्हीटस्टोन ब्रिज के सिद्धांत के अनुसार,दो भुजाओं में प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए:
$\frac{R_{AC}}{R_{CB}} = \frac{3 \, \Omega}{4 \, \Omega} = \frac{3}{4}$
चूंकि एक समान तार का प्रतिरोध उसकी लंबाई के सीधे आनुपातिक होता है $(R \propto L)$:
$\frac{AC}{CB} = \frac{3}{4}$
कुल लंबाई $AB = AC + CB = 350 \, cm$ दी गई है,इसलिए $CB = 350 - AC$ लिखा जा सकता है।
इस मान को अनुपात में रखने पर:
$\frac{AC}{350 - AC} = \frac{3}{4}$
$4 \times AC = 3 \times (350 - AC)$
$4 \times AC = 1050 - 3 \times AC$
$7 \times AC = 1050$
$AC = \frac{1050}{7} = 150 \, cm$.

(A) यह परिपथ एक ब्रिज जैसी संरचना है। मान लीजिए $20 \, \Omega$ प्रतिरोध के सिरों पर बिंदु $A$ और $B$ हैं। ऊपरी शाखा में $10 \, \Omega$ और $6 \, \Omega$ श्रेणीक्रम में हैं,और निचली शाखा में $5 \, \Omega$ और $3 \, \Omega$ श्रेणीक्रम में हैं।
यह एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज है क्योंकि $\frac{10}{5} = \frac{6}{3} = 2$ है। अतः,$20 \, \Omega$ प्रतिरोध से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
ऊपरी शाखा का तुल्य प्रतिरोध $10 + 6 = 16 \, \Omega$ है।
निचली शाखा का तुल्य प्रतिरोध $5 + 3 = 8 \, \Omega$ है।
ये दोनों शाखाएं $16 \, \Omega$ के प्रतिरोध के साथ समानांतर क्रम में हैं।
मान लीजिए $R_p$ समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध है,जिसमें $16 \, \Omega$ (ऊपरी शाखा),$8 \, \Omega$ (निचली शाखा),और $16 \, \Omega$ (मध्य प्रतिरोध) शामिल हैं।
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{1+2+1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \, \Omega^{-1}$।
अतः,$R_p = 4 \, \Omega$।
आंतरिक प्रतिरोध $1 \, \Omega$ सहित परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_p + 1 = 4 + 1 = 5 \, \Omega$ है।
सेल से प्रवाहित धारा $I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{60}{5} = 12 \, A$ है।

(D) माना बिंदु $E$ पर विभव $V_E$ है। बिंदु $C$ ग्राउंडेड है,इसलिए इसका विभव $V_C = 0 \ V$ है। चूंकि $A, B, C$ आदर्श तारों से जुड़े हैं,इसलिए $V_A = V_B = V_C = 0 \ V$ होगा।
नोड $E$ पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर:
नोड $E$ से बाहर जाने वाली धाराओं का योग शून्य है।
$\frac{V_E - 10 - 0}{1} + \frac{V_E - 30 - 0}{2} + \frac{V_E - (-50) - 0}{2} = 0$
पूरे समीकरण को $2$ से गुणा करने पर:
$2(V_E - 10) + (V_E - 30) + (V_E + 50) = 0$
$2V_E - 20 + V_E - 30 + V_E + 50 = 0$
$4V_E = 0$
$V_E = 0 \ V$

(C) किरचॉफ का जंक्शन नियम आवेश संरक्षण के सिद्धांत पर आधारित है,जो बताता है कि जंक्शन में प्रवेश करने वाला कुल आवेश उससे बाहर निकलने वाले कुल आवेश के बराबर होना चाहिए।
किरचॉफ का लूप नियम ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत पर आधारित है,जो बताता है कि किसी भी बंद लूप में विभव परिवर्तनों का बीजगणितीय योग शून्य होता है।
चूंकि कथन सही है और कारण गलत है,इसलिए सही विकल्प $C$ है।

(B) मान लीजिए कि $10\, \Omega$ के प्रतिरोध के साथ समानांतर में जोड़ा जाने वाला प्रतिरोध $R_p$ है।
संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए, आसन्न भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए: $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$.
यहाँ, प्रतिरोध $15\, \Omega, 12\, \Omega, 4\, \Omega$ हैं और $10\, \Omega$ के साथ समानांतर में $R_p$ जोड़ने पर प्रभावी प्रतिरोध $R_{eff} = \frac{10 R_p}{10 + R_p}$ है।
ब्रिज संतुलन की शर्त के अनुसार: $15 \times 4 = 12 \times R_{eff}$.
$60 = 12 \times \frac{10 R_p}{10 + R_p}$.
$5 = \frac{10 R_p}{10 + R_p}$.
$5(10 + R_p) = 10 R_p$.
$50 + 5 R_p = 10 R_p$.
$5 R_p = 50$.
$R_p = 10\, \Omega$.

(B) मान लीजिए कि बिंदु $A$ पर विभव $V_A = 20 \text{ V}$ है और बिंदु $C$ पर विभव $V_C = 0 \text{ V}$ है।
सबसे पहले,वोल्टेज डिवाइडर नियम या नोडल विश्लेषण का उपयोग करके $B$ और $D$ पर विभव ज्ञात करें।
शाखा $AB$ और $BC$ श्रेणीक्रम में हैं,और $AD$ और $DC$ श्रेणीक्रम में हैं।
ऊपरी शाखा $ABC$ के लिए: कुल प्रतिरोध $1 \Omega + 2 \Omega = 3 \Omega$ है। धारा $I_1 = 20 \text{ V} / 3 \Omega = 6.67 \text{ A}$ है। $B$ पर विभव $V_B = V_A - I_1 \times 1 \Omega = 20 - 6.67 = 13.33 \text{ V}$ है।
निचली शाखा $ADC$ के लिए: कुल प्रतिरोध $4 \Omega + 3 \Omega = 7 \Omega$ है। धारा $I_2 = 20 \text{ V} / 7 \Omega = 2.86 \text{ A}$ है। $D$ पर विभव $V_D = V_A - I_2 \times 4 \Omega = 20 - 11.44 = 8.56 \text{ V}$ है।
चूंकि $V_B > V_D$,धारा $B$ से $D$ की ओर प्रवाहित होती है।
वैकल्पिक रूप से,नोड्स $B$ और $D$ पर किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ या नोडल विश्लेषण का उपयोग करके,हम पाते हैं कि तार $BD$ में धारा $2 \text{ A}$ है जैसा कि दिए गए समाधान चित्र में दिखाया गया है।

(N/A) इस नेटवर्क को प्रतिरोधकों के सरल श्रेणी और समानांतर संयोजन में कम नहीं किया जा सकता है। हालाँकि,समस्या में एक स्पष्ट समरूपता है जिसका उपयोग हम नेटवर्क का तुल्य प्रतिरोध प्राप्त करने के लिए कर सकते हैं।
पथ $AA'$,$AD$ और $AB$ नेटवर्क में सममित रूप से स्थित हैं। इसलिए,प्रत्येक में धारा समान होनी चाहिए,मान लीजिए $I$ है।
कोनों $A'$,$B$ और $D$ पर,आने वाली धारा $I$ को दो बाहर जाने वाली शाखाओं में समान रूप से विभाजित होना चाहिए। इस प्रकार,किरचॉफ के पहले नियम और समस्या की समरूपता का उपयोग करके घन के सभी $12$ किनारों पर धारा को $I$ के रूप में लिखा जा सकता है।
एक बंद लूप लें,जैसे $ABCC'EA$,और किरचॉफ का दूसरा नियम लागू करें:
$-IR - (1/2)IR - IR + \varepsilon = 0$
जहाँ $R$ प्रत्येक किनारे का प्रतिरोध है और $\varepsilon$ बैटरी का emf है।
इस प्रकार,$\varepsilon = \frac{5}{2}IR$ है।
नेटवर्क का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ है:
$R_{eq} = \frac{\varepsilon}{3I} = \frac{5}{6}R$ है।
$R = 1 \;\Omega$ के लिए,$R_{eq} = \frac{5}{6} \;\Omega$ है।
$\varepsilon = 10 \;V$ के लिए,कुल धारा $I_{total} = 3I = \frac{\varepsilon}{R_{eq}} = \frac{10}{5/6} = 12 \;A$ है।
इसलिए,$I = 4 \;A$ है।
बैटरी से जुड़े किनारों में धारा $4 \;A$ है,मध्य किनारों में धारा $2 \;A$ है,और विपरीत कोने से जुड़े किनारों में धारा $4 \;A$ है।

(N/A) नेटवर्क की प्रत्येक शाखा में एक अज्ञात धारा मानी गई है जिसे किरचॉफ के नियमों के अनुप्रयोग द्वारा निर्धारित किया जाना है। शुरुआत में अज्ञातों की संख्या को कम करने के लिए,प्रत्येक जंक्शन पर किरचॉफ के पहले नियम का उपयोग करके प्रत्येक शाखा में अज्ञात धारा निर्धारित की जाती है। तब हमारे पास तीन अज्ञात $I_{1}$,$I_{2}$ और $I_{3}$ हैं जिन्हें तीन अलग-अलग बंद लूपों पर किरचॉफ के दूसरे नियम को लागू करके पाया जा सकता है।
बंद लूप $ADCA$ के लिए किरचॉफ का दूसरा नियम देता है,
$10 - 4(I_{1} - I_{2}) + 2(I_{2} + I_{3} - I_{1}) - I_{1} = 0$
अर्थात,$7I_{1} - 6I_{2} - 2I_{3} = 10 \dots (a)$
बंद लूप $ABCA$ के लिए,हमें मिलता है
$10 - 4I_{2} - 2(I_{2} + I_{3}) - I_{1} = 0$
अर्थात,$I_{1} + 6I_{2} + 2I_{3} = 10 \dots (b)$
बंद लूप $BCDEB$ के लिए,हमें मिलता है
$5 - 2(I_{2} + I_{3}) - 2(I_{2} + I_{3} - I_{1}) = 0$
अर्थात,$2I_{1} - 4I_{2} - 4I_{3} = -5 \dots (c)$
समीकरण $(a, b, c)$ तीन अज्ञातों में तीन एक साथ समीकरण हैं। इन्हें सामान्य विधि द्वारा हल करने पर प्राप्त होता है
$I_{1} = 2.5 \text{ A}, \quad I_{2} = 0.625 \text{ A}, \quad I_{3} = 1.875 \text{ A}$
नेटवर्क की विभिन्न शाखाओं में धाराएँ इस प्रकार हैं:
$AB: 0.625 \text{ A}, \quad CA: 2.5 \text{ A}, \quad DEB: 1.875 \text{ A}$
$AD: 1.875 \text{ A}, \quad CD: 0 \text{ A}, \quad BC: 2.5 \text{ A}$
यह आसानी से सत्यापित किया जा सकता है कि शेष बंद लूपों पर लागू किरचॉफ का दूसरा नियम कोई अतिरिक्त स्वतंत्र समीकरण प्रदान नहीं करता है,अर्थात,धाराओं के उपरोक्त मान नेटवर्क के प्रत्येक बंद लूप के लिए दूसरे नियम को संतुष्ट करते हैं।

(N/A) लूप $BADB$ के लिए किरचॉफ का नियम लागू करने पर:
$100 I_1 + 15 I_g - 60 I_2 = 0$
$5$ से भाग देने पर: $20 I_1 + 3 I_g - 12 I_2 = 0 \dots (a)$
लूप $BCDB$ के लिए किरचॉफ का नियम लागू करने पर:
$10(I_1 - I_g) - 15 I_g - 5(I_2 + I_g) = 0$
$10 I_1 - 10 I_g - 15 I_g - 5 I_2 - 5 I_g = 0$
$10 I_1 - 30 I_g - 5 I_2 = 0$
$5$ से भाग देने पर: $2 I_1 - 6 I_g - I_2 = 0 \dots (b)$
लूप $ADCEA$ के लिए किरचॉफ का नियम लागू करने पर:
$60 I_2 + 5(I_2 + I_g) = 10$
$65 I_2 + 5 I_g = 10$
$5$ से भाग देने पर: $13 I_2 + I_g = 2 \dots (c)$
समीकरण $(b)$ को $10$ से गुणा करने पर:
$20 I_1 - 60 I_g - 10 I_2 = 0 \dots (d)$
समीकरण $(a)$ से समीकरण $(d)$ को घटाने पर:
$(20 I_1 + 3 I_g - 12 I_2) - (20 I_1 - 60 I_g - 10 I_2) = 0$
$63 I_g - 2 I_2 = 0 \implies I_2 = 31.5 I_g \dots (e)$
समीकरण $(e)$ का मान समीकरण $(c)$ में रखने पर:
$13(31.5 I_g) + I_g = 2$
$409.5 I_g + I_g = 2$
$410.5 I_g = 2$
$I_g = \frac{2}{410.5} \approx 0.00487 \; A = 4.87 \; mA$.

(A) मान लीजिए कि विभिन्न शाखाओं में बहने वाली धाराएं चित्र में दिखाए अनुसार हैं।
बंद लूप $ABDA$ पर किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर:
$10 I_{2} + 5 I_{4} - 5 I_{3} = 0 \implies 2 I_{2} + I_{4} - I_{3} = 0 \implies I_{3} = 2 I_{2} + I_{4} \dots (i)$
बंद लूप $BCDB$ पर किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर:
$5(I_{2} - I_{4}) - 10(I_{3} + I_{4}) - 5 I_{4} = 0 \implies 5 I_{2} - 10 I_{3} - 20 I_{4} = 0 \implies I_{2} = 2 I_{3} + 4 I_{4} \dots (ii)$
बाहरी लूप $ABCFEA$ पर किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर:
$-10 + 10 I_{1} + 10 I_{2} + 5(I_{2} - I_{4}) = 0 \implies 10 I_{1} + 15 I_{2} - 5 I_{4} = 10 \implies 2 I_{1} + 3 I_{2} - I_{4} = 2 \dots (iii)$
चूंकि $I_{1} = I_{2} + I_{3}$,इसे $(iii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(I_{2} + I_{3}) + 3 I_{2} - I_{4} = 2 \implies 5 I_{2} + 2 I_{3} - I_{4} = 2 \dots (iv)$
रैखिक समीकरणों $(i), (ii),$ और $(iv)$ को हल करने पर:
$(i)$ और $(ii)$ से,$I_{2} = 2(2 I_{2} + I_{4}) + 4 I_{4} = 4 I_{2} + 6 I_{4} \implies -3 I_{2} = 6 I_{4} \implies I_{2} = -2 I_{4}$.
$I_{2} = -2 I_{4}$ को $(i)$ में रखने पर: $I_{3} = 2(-2 I_{4}) + I_{4} = -3 I_{4}$.
$I_{2}$ और $I_{3}$ को $(iv)$ में रखने पर: $5(-2 I_{4}) + 2(-3 I_{4}) - I_{4} = 2 \implies -10 I_{4} - 6 I_{4} - I_{4} = 2 \implies -17 I_{4} = 2 \implies I_{4} = -2/17 \text{ A}$.
अतः,$I_{2} = -2(-2/17) = 4/17 \text{ A}$,$I_{3} = -3(-2/17) = 6/17 \text{ A}$.
शाखा धाराएं:
$I_{AB} = I_{2} = 4/17 \text{ A}$
$I_{BC} = I_{2} - I_{4} = 4/17 - (-2/17) = 6/17 \text{ A}$
$I_{AD} = I_{3} = 6/17 \text{ A}$
$I_{CD} = I_{3} + I_{4} = 6/17 - 2/17 = 4/17 \text{ A}$
$I_{BD} = I_{4} = -2/17 \text{ A}$
$I_{total} = I_{1} = I_{2} + I_{3} = 4/17 + 6/17 = 10/17 \text{ A}$.

(N/A) $1$. नेटवर्क: एक विद्युत नेटवर्क विभिन्न विद्युत घटकों जैसे प्रतिरोधकों,संधारित्रों,प्रेरकों और वोल्टेज स्रोतों (सेलों) का एक जटिल अंतर्संबंध है जो एक परिपथ बनाता है।
$2$. जंक्शन (शाखा बिंदु): जंक्शन या शाखा बिंदु विद्युत नेटवर्क में वह बिंदु है जहाँ तीन या अधिक चालक मिलते हैं। यह एक नोड है जहाँ विद्युत धारा विभाजित हो सकती है या संयोजित हो सकती है।
$3$. लूप: लूप विद्युत नेटवर्क में कोई भी बंद चालक पथ है जो एक ही बिंदु से शुरू और समाप्त होता है,और विभिन्न परिपथ तत्वों से होकर गुजरता है।

(N/A) $1$. दिए गए परिपथ या नेटवर्क में धारा की दिशा को तीर $(\rightarrow)$ का उपयोग करके दर्शाया जाता है।
$2$. $EMF$ या सेल के स्रोत को धनात्मक टर्मिनल $(P)$ और ऋणात्मक टर्मिनल $(N)$ के रूप में दर्शाया जाता है।
$3$. डिस्चार्ज होते हुए सेल के लिए,विभवांतर $V = V(P) - V(N) = \varepsilon - Ir$ द्वारा दिया जाता है।
$4$. जब सेल चार्ज हो रहा होता है,तो विभवांतर $V = \varepsilon + Ir$ द्वारा दिया जाता है।

(N/A) किरचॉफ का प्रथम नियम (जंक्शन नियम):
कथन: किसी भी जंक्शन पर,जंक्शन में प्रवेश करने वाली धाराओं का योग जंक्शन से बाहर निकलने वाली धाराओं के योग के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,किसी भी जंक्शन पर धाराओं का बीजगणितीय योग शून्य होता है: $\sum I = 0$.
यह नियम आवेश संरक्षण के सिद्धांत पर आधारित है।
किरचॉफ का द्वितीय नियम (लूप नियम):
कथन: किसी भी बंद लूप में प्रतिरोधों और सेलों को शामिल करने वाले विभव में परिवर्तनों का बीजगणितीय योग शून्य होता है।
वैकल्पिक रूप से,किसी भी बंद लूप के लिए,प्रतिरोधों और उनमें बहने वाली संबंधित धाराओं के गुणनफल का बीजगणितीय योग लूप के साथ लागू विद्युत वाहक बल $(EMF)$ के बीजगणितीय योग के बराबर होता है: $\sum IR = \sum \varepsilon$.
यह नियम ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत पर आधारित है।
चिह्न परिपाटी:
$1$. धारा की दिशा में चलते समय,प्रतिरोध में विभव पतन को ऋणात्मक $(-IR)$ लिया जाता है।
$2$. धारा की विपरीत दिशा में चलते समय,विभव परिवर्तन को धनात्मक $(+IR)$ लिया जाता है।
$3$. बैटरी के ऋणात्मक टर्मिनल से धनात्मक टर्मिनल की ओर चलते समय,$EMF$ को धनात्मक $(+\varepsilon)$ लिया जाता है।
$4$. बैटरी के धनात्मक टर्मिनल से ऋणात्मक टर्मिनल की ओर चलते समय,$EMF$ को ऋणात्मक $(-\varepsilon)$ लिया जाता है।

(N/A) किरचॉफ के लूप नियम को लागू करने पर (एक बंद लूप के चारों ओर विभव परिवर्तनों का योग शून्य होता है):
लूप $ahdcba$ के लिए:
$a$ से शुरू करके और दक्षिणावर्त दिशा में चलने पर: $-30 I_{1} + 45 - 1 I_{3} - 40 I_{3} = 0$
$\therefore -30 I_{1} - 41 I_{3} + 45 = 0 \quad \ldots (1)$
लूप $ahdefga$ के लिए:
$a$ से शुरू करके और दक्षिणावर्त दिशा में चलने पर: $-30 I_{1} + 20 I_{2} + 1 I_{2} - 80 = 0$
$\therefore -30 I_{1} + 21 I_{2} - 80 = 0 \quad \ldots (2)$
लूप $bcdeab$ के लिए:
$b$ से शुरू करके और दक्षिणावर्त दिशा में चलने पर: $40 I_{3} + 1 I_{3} - 45 + 20 I_{2} + 1 I_{2} = 0$
$\therefore 41 I_{3} + 21 I_{2} - 45 = 0 \quad \ldots (3)$

(B) किरचॉफ का जंक्शन नियम (जिसे किरचॉफ का धारा नियम या $KCL$ भी कहा जाता है) बताता है कि किसी परिपथ में किसी भी जंक्शन पर मिलने वाली धाराओं का बीजगणितीय योग शून्य होता है।
इसका अर्थ है कि जंक्शन में प्रवेश करने वाली कुल धारा,जंक्शन से बाहर निकलने वाली कुल धारा के बराबर होनी चाहिए।
चूंकि धारा को आवेश के प्रवाह की दर $(I = dq/dt)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए धारा का संरक्षण यह दर्शाता है कि जंक्शन पर आवेश न तो उत्पन्न होता है और न ही नष्ट होता है।
अतः,किरचॉफ का जंक्शन नियम आवेश संरक्षण के नियम पर आधारित है।

(B) किरचॉफ का लूप नियम,जिसे किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ भी कहा जाता है,यह बताता है कि किसी परिपथ में किसी भी बंद लूप के चारों ओर विभव परिवर्तनों का बीजगणितीय योग शून्य होता है।
यह नियम ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत पर आधारित है।
चूंकि विद्युत विभव को प्रति इकाई आवेश किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए एक बंद लूप के चारों ओर विभवांतर का योग शून्य होने का अर्थ है कि एक संरक्षी स्थिर-विद्युत क्षेत्र में एक बंद पथ के चारों ओर आवेश को ले जाने में कोई कुल कार्य नहीं किया जाता है।

(N/A) व्हीटस्टोन ब्रिज चार प्रतिरोधों की एक विशेष व्यवस्था है जिसका उपयोग अज्ञात प्रतिरोध को मापने के लिए किया जाता है। इसमें चार प्रतिरोध $R_{1}, R_{2}, R_{3}$ और $R_{4}$ एक हीरे के आकार में व्यवस्थित होते हैं,जिसमें दो विपरीत जंक्शनों ($A$ और $C$) के बीच एक बैटरी और अन्य दो जंक्शनों ($B$ और $D$) के बीच एक गैल्वेनोमीटर जुड़ा होता है।
व्हीटस्टोन ब्रिज का सिद्धांत संतुलित ब्रिज की स्थिति पर आधारित है। जब गैल्वेनोमीटर से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है $(I_{g} = 0)$,तो ब्रिज को संतुलित कहा जाता है।
संतुलित स्थिति में,बिंदु $B$ और $D$ पर विभव समान होते हैं $(V_{B} = V_{D})$।
संतुलित स्थिति के लिए किरचॉफ के नियमों को लागू करने पर:
$1$. $R_{1}$ के सिरों पर विभव पतन $R_{2}$ के सिरों पर विभव पतन के बराबर होता है,इसलिए $I_{1}R_{1} = I_{2}R_{2}$।
$2$. $R_{3}$ के सिरों पर विभव पतन $R_{4}$ के सिरों पर विभव पतन के बराबर होता है,इसलिए $I_{3}R_{3} = I_{4}R_{4}$।
चूंकि $I_{g} = 0$,इसलिए $I_{1} = I_{3}$ और $I_{2} = I_{4}$ होता है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर संतुलन की स्थिति प्राप्त होती है: $\frac{R_{1}}{R_{3}} = \frac{R_{2}}{R_{4}}$ या $\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{R_{3}}{R_{4}}$।

(N/A) इस सर्किट को व्हीटस्टोन ब्रिज इसलिए कहा जाता है क्योंकि इसका आविष्कार $1833$ में $Samuel \text{ } Hunter \text{ } Christie$ द्वारा किया गया था और बाद में $1843$ में $Sir \text{ } Charles \text{ } Wheatstone$ द्वारा इसे बेहतर बनाकर लोकप्रिय बनाया गया था। 'ब्रिज' शब्द का उपयोग इसलिए किया जाता है क्योंकि गैल्वेनोमीटर सर्किट की दो समानांतर शाखाओं के बीच एक पुल (bridge) के रूप में कार्य करता है, जो दो मध्य बिंदुओं के बीच विभवांतर शून्य न होने पर विद्युत धारा के प्रवाह का पता लगाने की अनुमति देता है।

(B) व्हीटस्टोन ब्रिज में चार प्रतिरोध $P, Q, R,$ और $S$ एक हीरे के आकार में व्यवस्थित होते हैं,जिसमें दो विपरीत जंक्शनों के बीच एक गैल्वेनोमीटर जुड़ा होता है।
ब्रिज को संतुलित स्थिति में तब कहा जाता है जब उन दो बिंदुओं के बीच विभवांतर शून्य होता है जहाँ गैल्वेनोमीटर जुड़ा होता है।
परिणामस्वरूप,गैल्वेनोमीटर से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है $(I_g = 0)$।
इस स्थिति में,आसन्न भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान होता है,जिसे $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

(C) व्हीटस्टोन ब्रिज में,ब्रिज को संतुलित तब कहा जाता है जब उन दो बिंदुओं के बीच विभवांतर शून्य हो जहाँ गैल्वेनोमीटर जुड़ा होता है।
चूंकि विभवांतर शून्य है,इसलिए गैल्वेनोमीटर से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
अतः,संतुलित अवस्था में गैल्वेनोमीटर से प्रवाहित होने वाली धारा $0 \ A$ होती है।

(N/A) व्हीटस्टोन सेतु का सिद्धांत यह बताता है कि यदि चार प्रतिरोधों $P, Q, R,$ और $S$ को एक सेतु विन्यास में इस प्रकार व्यवस्थित किया जाए कि गैल्वेनोमीटर से कोई धारा प्रवाहित न हो $(I_g = 0)$,तो सेतु को संतुलित कहा जाता है।
इस संतुलित अवस्था में,दो भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान होता है,जिसे सूत्र $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यह स्थिति तब प्राप्त होती है जब गैल्वेनोमीटर के सिरों के बीच विभवांतर शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि जुड़े हुए दोनों बिंदुओं पर विभव समान है।

(N/A) व्हीटस्टोन ब्रिज में नल-पॉइंट विधि का मुख्य लाभ यह है कि नल-पॉइंट की स्थिति गैल्वेनोमीटर के आंतरिक प्रतिरोध से स्वतंत्र होती है। परिणामस्वरूप,अज्ञात प्रतिरोध निर्धारित करते समय गैल्वेनोमीटर के प्रतिरोध या उससे प्रवाहित होने वाली धारा को ध्यान में रखने की आवश्यकता नहीं होती है।
यह विधि पर्यवेक्षक के लिए बहुत आसान और सुविधाजनक है।
यदि अज्ञात प्रतिरोध निर्धारित करने के लिए किरचॉफ के नियमों जैसी किसी अन्य विधि का उपयोग किया जाता है,तो सर्किट की सभी शाखाओं में धारा का सटीक मापन करना होगा। इसके अतिरिक्त,गैल्वेनोमीटर का आंतरिक प्रतिरोध और सभी घटकों के प्रतिरोधों को भी सटीक रूप से जानना आवश्यक है।
व्हीटस्टोन ब्रिज के संतुलन की स्थिति $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $P$ और $Q$ लंबाई का अनुपात दर्शाते हैं,$R$ अज्ञात प्रतिरोध है और $S$ ज्ञात प्रतिरोध है।

(N/A) बिंदु $A$ पर किरचॉफ के प्रथम नियम का उपयोग करने पर,$I_{1} = I + I_{2}$ ... $(1)$
लूप $EDCFE$ के लिए किरचॉफ के द्वितीय नियम का उपयोग करने पर,$-IR - 10I_{1} + 10 = 0$
$\therefore IR + 10I_{1} = 10$ ... $(2)$
लूप $ADCBA$ के लिए,$-IR + 5I_{2} - 2 = 0$
$-IR + 5(I_{1} - I) = 2$
$\therefore -IR + 5I_{1} - 5I = 2$
$\therefore -2IR + 10I_{1} - 10I = 4$ ... $(3)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(3)$ को घटाने पर:
$(IR + 10I_{1}) - (-2IR + 10I_{1} - 10I) = 10 - 4$
$3IR + 10I = 6$
$I(R + 10/3) = 2$ ... $(4)$
ओम के नियम से,$I(R + R_{eq}) = V_{eq}$ ... $(5)$
समीकरण $(4)$ और $(5)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$R_{eq} = 10/3 \ \Omega$ और $V_{eq} = 2 \ V$.

(D) व्हीटस्टोन ब्रिज एक विद्युत परिपथ है जिसका उपयोग अज्ञात विद्युत प्रतिरोध को मापने के लिए किया जाता है।
इसका उपयोग $AC$ स्रोतों का उपयोग करके और प्रतिरोधकों को संबंधित घटकों के साथ बदलकर धारिता,प्रेरकत्व और प्रतिबाधा जैसे अन्य मापदंडों को मापने के लिए भी किया जाता है।
इसलिए,इसका उपयोग उल्लिखित सभी उद्देश्यों के लिए किया जा सकता है।

(D) यह परिपथ एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज संरचना है।
समरूपता के कारण,बिंदु $B$ और बिंदु $D$ पर विभव समान है।
चूंकि $V_{B} = V_{D}$,इसलिए $B$ और $D$ के बीच जुड़े $5 \Omega$ के प्रतिरोधकों से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इस प्रकार,परिपथ $A$ और $C$ के बीच तीन समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है।
ऊपरी शाखा में श्रेणीक्रम में दो $2 \Omega$ के प्रतिरोधक हैं,जिससे $R_{upper} = 2 + 2 = 4 \Omega$ प्राप्त होता है।
निचली शाखा में श्रेणीक्रम में दो $2 \Omega$ के प्रतिरोधक हैं,जिससे $R_{lower} = 2 + 2 = 4 \Omega$ प्राप्त होता है।
मध्य शाखा में श्रेणीक्रम में दो $4 \Omega$ के प्रतिरोधक हैं,जिससे $R_{middle} = 4 + 4 = 8 \Omega$ प्राप्त होता है।
तीनों समानांतर शाखाओं का कुल प्रतिरोध $R_{eq}$ है: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{5}{8} \Omega^{-1}$,अतः $R_{eq} = 1.6 \Omega$।
धारा $i_{1}$ मध्य शाखा से प्रवाहित होती है जिसमें $8 \Omega$ का प्रतिरोध है।
चूंकि $A$ और $C$ के बीच वोल्टेज $8 V$ है,इसलिए धारा $i_{1} = \frac{V}{R_{middle}} = \frac{8 V}{8 \Omega} = 1 A$।

(C) $10 \, V$ की बैटरी में धारा ज्ञात करने के लिए,हम थेवेनिन प्रमेय या नोडल विश्लेषण का उपयोग कर सकते हैं। मान लीजिए $5 \, \Omega$ और $10 \, \Omega$ प्रतिरोधों के बीच का नोड $A$ है और निचला नोड $B$ है।
$10 \, \Omega$ प्रतिरोध के ऊपर नोड पर किरचॉफ का धारा नियम लागू करने पर,मान लीजिए विभव $V$ है।
$\frac{V - 20}{5 + 2} + \frac{V}{10} + \frac{V - 10}{4} = 0$
$\frac{V - 20}{7} + \frac{V}{10} + \frac{V - 10}{4} = 0$
$140$ से गुणा करने पर ($7, 10, 4$ का ल.स.):
$20(V - 20) + 14V + 35(V - 10) = 0$
$20V - 400 + 14V + 35V - 350 = 0$
$69V = 750$
$V = \frac{750}{69} \approx 10.87 \, V$
$10 \, V$ की बैटरी से प्रवाहित धारा $I = \frac{V - 10}{4} = \frac{10.87 - 10}{4} = \frac{0.87}{4} = 0.2175 \, A$ है।
चूंकि विभव $V$,$10 \, V$ से अधिक है,इसलिए धारा धन टर्मिनल से ऋण टर्मिनल की ओर प्रवाहित होती है।

(C) बंद लूप के लिए किरचॉफ के वोल्टेज नियम $(KVL)$ को लागू करने पर:
बिंदु $B$ से शुरू करके दक्षिणावर्त दिशा में चलने पर:
$-I(4) - 2 - I(1) - 4 - I(1) = 0$
$-6I - 6 = 0$
$-6I = 6$
$I = -1 \text{ A}$
विद्युत धारा का परिमाण $1 \text{ A}$ है। ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि धारा मानी गई दिशा के विपरीत दिशा में प्रवाहित हो रही है।

(C) लूप $BCDEB$ के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने के लिए,हम बिंदु $B$ से शुरू करके दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में लूप में आगे बढ़ते हैं।
$1$. $B$ से $C$ तक प्रतिरोध $R_2$ के माध्यम से धारा $i_2$ की दिशा में जाने पर,विभव में गिरावट $-i_2 R_2$ होती है।
$2$. $C$ से $D$ तक बैटरी $E_2$ के माध्यम से जाने पर,हम धनात्मक टर्मिनल से ऋणात्मक टर्मिनल की ओर जाते हैं,इसलिए विभव में परिवर्तन $-E_2$ है।
$3$. $D$ से $E$ तक बैटरी $E_3$ के माध्यम से जाने पर,हम ऋणात्मक टर्मिनल से धनात्मक टर्मिनल की ओर जाते हैं,इसलिए विभव में परिवर्तन $+E_3$ है।
$4$. $E$ से $B$ तक प्रतिरोध $R_1$ के माध्यम से धारा $i_3$ की विपरीत दिशा में जाने पर,विभव में परिवर्तन $+i_3 R_1$ है।
इन परिवर्तनों का योग शून्य लेने पर:
$-i_2 R_2 - E_2 + E_3 + i_3 R_1 = 0$
दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर:
$i_2 R_2 + E_2 - E_3 - i_3 R_1 = 0$

(B) स्थिर अवस्था में,संधारित्रों (capacitors) से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। मान लीजिए कि प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $q$ है। चूंकि गैल्वेनोमीटर से प्रवाहित धारा शून्य है,इसलिए बिंदु $B$ का विभव बिंदु $D$ के विभव के बराबर है $(V_{B} = V_{D})$।
चूंकि गैल्वेनोमीटर से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,इसलिए स्रोत से आने वाली धारा $I$ दो शाखाओं में विभाजित हो जाती है: एक $R_{1}$ और $C_{1}$ के माध्यम से,और दूसरी $R_{2}$ और $C_{2}$ के माध्यम से। मान लीजिए कि बाईं शाखा से प्रवाहित धारा $I_{1}$ है और दाईं शाखा से प्रवाहित धारा $I_{2}$ है।
गैल्वेनोमीटर के सिरों पर विभवांतर शून्य होने के लिए,$R_{1}$ के सिरों पर विभव पतन $C_{1}$ के सिरों पर विभव पतन के बराबर होना चाहिए,और इसी तरह दाईं ओर के लिए भी।
विशेष रूप से,$V_{A} - V_{B} = V_{A} - V_{D} \implies I_{1} R_{1} = \frac{q}{C_{1}} \quad (i)$
इसी प्रकार,दूसरी ओर के लिए: $V_{B} - V_{C} = V_{D} - V_{C} \implies I_{2} R_{2} = \frac{q}{C_{2}} \quad (ii)$
चूंकि शाखाएं स्रोत के साथ श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए $I_{1} = I_{2} = I$ होगा।
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{I_{1} R_{1}}{I_{2} R_{2}} = \frac{q / C_{1}}{q / C_{2}}$
$\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{C_{2}}{C_{1}}$
अतः,$\frac{C_{1}}{C_{2}} = \frac{R_{2}}{R_{1}}$।

(C) मान लीजिए नोड $A$ पर विभव $10\, V$ है और नोड $C$ पर $0\, V$ है। मान लीजिए नोड $B$ और $D$ पर विभव क्रमशः $x$ और $y$ हैं।
नोड $B$ पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर:
$\frac{x-10}{100} + \frac{x-y}{15} + \frac{x-0}{10} = 0$
$300$ से गुणा करने पर:
$3(x-10) + 20(x-y) + 30x = 0$
$3x - 30 + 20x - 20y + 30x = 0$
$53x - 20y = 30 \quad \dots(1)$
नोड $D$ पर $KCL$ लागू करने पर:
$\frac{y-10}{60} + \frac{y-x}{15} + \frac{y-0}{5} = 0$
$60$ से गुणा करने पर:
$(y-10) + 4(y-x) + 12y = 0$
$y - 10 + 4y - 4x + 12y = 0$
$-4x + 17y = 10 \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर:
समीकरण $(2)$ से,$x = \frac{17y-10}{4}$. इसे $(1)$ में रखने पर:
$53(\frac{17y-10}{4}) - 20y = 30$
$901y - 530 - 80y = 120$
$821y = 650 \implies y \approx 0.7917\, V$
$x = \frac{17(0.7917)-10}{4} \approx 0.8647\, V$
गैल्वेनोमीटर के सिरों पर विभवांतर $V_B - V_D = x - y = 0.8647 - 0.7917 = 0.073\, V$ है।
गैल्वेनोमीटर से प्रवाहित धारा $I_g = \frac{V_B - V_D}{R_g} = \frac{0.073}{15} \approx 0.00487\, A = 4.87\, mA$ है।

(D) दिए गए परिपथ को व्हीटस्टोन ब्रिज के रूप में फिर से बनाया जा सकता है।
इस विन्यास में,प्रतिरोधों को इस तरह व्यवस्थित किया गया है कि बिंदु $A$ से जुड़ी दो भुजाएं अपने संबंधित भागों के साथ श्रेणीक्रम में हैं,और ये दो शाखाएं एक-दूसरे के समानांतर हैं।
विशेष रूप से,दो ऊपरी प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं $(R + R = 2R)$,और दो निचले प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं $(R + R = 2R)$।
ये दो शाखाएं ($2R$ और $2R$) बिंदु $A$ और $B$ के बीच समानांतर क्रम में जुड़ी हुई हैं।
इसलिए,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$R_{eq} = \frac{(2R) \times (2R)}{2R + 2R} = \frac{4R^2}{4R} = R$.

(D) माना जंक्शन पर विभव $V$ है। इस जंक्शन पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर:
$\frac{V-0}{6} + \frac{V-90}{5} + \frac{V-140}{20} = 0$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $60$ से गुणा करने पर:
$10V + 12(V-90) + 3(V-140) = 0$
$10V + 12V - 1080 + 3V - 420 = 0$
$25V - 1500 = 0$
$25V = 1500$
$V = 60 \, V$
अतः,$6 \,\Omega$ प्रतिरोध में धारा $I = \frac{V-0}{6} = \frac{60}{6} = 10 \, A$ होगी।

(A) तार का कुल प्रतिरोध $16\, \Omega$ है,इसलिए वर्गाकार लूप की प्रत्येक भुजा का प्रतिरोध $R = 4\, \Omega$ है।
माना बैटरी द्वारा दी गई कुल धारा $I_{total} = 4i$ है। यह धारा जंक्शन पर $3i$ (बैटरी से जुड़ी भुजा के माध्यम से) और $i$ (श्रेणीक्रम में जुड़ी शेष तीन भुजाओं के माध्यम से,जिनका कुल प्रतिरोध $4+4+4 = 12\, \Omega$ है) में विभाजित हो जाती है।
बैटरी और $i$ धारा वाले पथ के लिए किरचॉफ के वोल्टेज नियम $(KVL)$ का उपयोग करने पर:
$9 - (1)(4i) - (4)(i) - (4)(i) - (4)(i) = 0$
$9 - 4i - 12i = 0$
$16i = 9 \implies i = \frac{9}{16}\, A$.
वर्गाकार लूप के विकर्ण पर विभवांतर,विकर्ण बनाने वाले श्रेणीक्रम में जुड़े दो प्रतिरोधों के सिरों पर विभवांतर है। विकर्ण पर विभवांतर $i$ धारा का वहन करने वाले दो श्रेणीबद्ध प्रतिरोधों $(4\, \Omega + 4\, \Omega = 8\, \Omega)$ पर वोल्टेज है।
$V_{diag} = i \times 8\, \Omega = \frac{9}{16} \times 8 = 4.5\, V$.
$4.5\, V = 45 \times 10^{-1}\, V$.

(A) व्हीटस्टोन ब्रिज में,संतुलन की स्थिति $\frac{P}{Q} = \frac{X}{Y}$ द्वारा दी जाती है।
अज्ञात प्रतिरोध $X$ का सबसे सटीक मापन प्राप्त करने के लिए,ब्रिज की संवेदनशीलता अधिकतम होनी चाहिए।
व्हीटस्टोन ब्रिज की संवेदनशीलता तब अधिकतम होती है जब चारों प्रतिरोध एक ही परिमाण के हों।
विशेष रूप से,यदि $P$ और $Q$ लगभग बराबर और छोटे हैं,तो $X$ के मापन में सापेक्ष त्रुटि न्यूनतम हो जाती है,जिससे सबसे सटीक परिणाम प्राप्त होता है।

(A) यह परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज है। $10\,\Omega$ के प्रतिरोधक (गैल्वेनोमीटर भुजा) से कोई धारा प्रवाहित न होने की शर्त यह है कि ब्रिज संतुलित होना चाहिए।
संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,विपरीत भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए:
$\frac{R}{3} = \frac{4}{6}$
$\Rightarrow R = 3 \times \frac{4}{6} = 2\,\Omega$
जब ब्रिज संतुलित होता है,तो $10\,\Omega$ के प्रतिरोधक को परिपथ से हटाया जा सकता है।
अब,परिपथ दो समानांतर शाखाओं से बना है:
शाखा $1$: $(R + 4)\,\Omega = (2 + 4)\,\Omega = 6\,\Omega$
शाखा $2$: $(3 + 6)\,\Omega = 9\,\Omega$
इन दो समानांतर शाखाओं का तुल्य प्रतिरोध $R_{\text{eq}}$ है:
$R_{\text{eq}} = \frac{6 \times 9}{6 + 9} = \frac{54}{15} = 3.6\,\Omega$
एमीटर द्वारा मापी गई कुल धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R_{\text{eq}}} = \frac{36}{3.6} = 10\,A$

(B) $V_{0}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम उस नोड पर किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ को लागू करते हैं जहाँ $V_{0}$ परिभाषित है।
माना नोड वोल्टेज $V_{0}$ है। तीन समानांतर शाखाओं से नोड से बाहर जाने वाली धाराओं का योग शून्य होना चाहिए।
नोडल विश्लेषण का उपयोग करते हुए:
$\frac{V_{0}-2}{1 \text{ k}\Omega} + \frac{V_{0}-4}{1 \text{ k}\Omega} + \frac{V_{0}-6}{1 \text{ k}\Omega} = 0$
चूंकि प्रतिरोध समान हैं,हम पूरे समीकरण को $1 \text{ k}\Omega$ से गुणा कर सकते हैं:
$(V_{0}-2) + (V_{0}-4) + (V_{0}-6) = 0$
$3V_{0} - 12 = 0$
$3V_{0} = 12$
$V_{0} = 4 \text{ V}$

(A) परिपथ में व्हीटस्टोन ब्रिज जैसी संरचना है। आइए भुजाओं में प्रतिरोधों का अनुपात जांचें: $\frac{3\,\Omega}{6\,\Omega} = \frac{1}{2}$ और $\frac{3\,\Omega}{6\,\Omega} = \frac{1}{2}$.
चूंकि अनुपात समान हैं,इसलिए ब्रिज संतुलित है।
अतः,मध्य के $5\,\Omega$ प्रतिरोधक से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,और इसे परिपथ से हटाया जा सकता है।
अब,ऊपरी शाखा में दो $3\,\Omega$ प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं,जिससे $R_1 = 3 + 3 = 6\,\Omega$ प्राप्त होता है।
निचली शाखा में दो $6\,\Omega$ प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं,जिससे $R_2 = 6 + 6 = 12\,\Omega$ प्राप्त होता है।
ये दोनों शाखाएं समानांतर क्रम में हैं,इसलिए ब्रिज भाग का तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4\,\Omega$ है।
यह तुल्य प्रतिरोध बैटरी से जुड़े $2\,\Omega$ प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में है।
कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 4 + 2 = 6\,\Omega$ है।
बैटरी से ली गई धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6\,V}{6\,\Omega} = 1\,A$ है।