Kirchhoff's Law and Whitestone Bridge Circuit solving Questions in Hindi

(A) दिए गए परिपथ को व्हीटस्टोन ब्रिज संरचना की पहचान करके सरल बनाया जा सकता है।
परिपथ को देखने पर,प्रतिरोधक एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज बनाते हैं।
एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,केंद्रीय प्रतिरोधक $(2 \, \Omega)$ के सिरों के बीच विभवांतर शून्य होता है,इसलिए इसमें से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
अतः,$2 \, \Omega$ के प्रतिरोधक की उपेक्षा की जा सकती है।
अब,परिपथ दो समानांतर शाखाओं से बना है।
ऊपरी शाखा में श्रेणीक्रम में दो $4 \, \Omega$ के प्रतिरोधक हैं,जिससे प्रतिरोध $4 \, \Omega + 4 \, \Omega = 8 \, \Omega$ प्राप्त होता है।
निचली शाखा में भी श्रेणीक्रम में दो $4 \, \Omega$ के प्रतिरोधक हैं,जिससे प्रतिरोध $4 \, \Omega + 4 \, \Omega = 8 \, \Omega$ प्राप्त होता है।
ये दोनों शाखाएं समानांतर में हैं,इसलिए तुल्य प्रतिरोध $R_{\text{net}}$ है:
$\frac{1}{R_{\text{net}}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \implies R_{\text{net}} = 4 \, \Omega$.
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,कुल धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R_{\text{net}}} = \frac{40 \, \text{V}}{4 \, \Omega} = 10 \, \text{A}$.

(D) प्रतिरोध $R$ के ऊपर जंक्शन बिंदु पर नोडल विश्लेषण का उपयोग करते हुए,मान लें कि विभव $V_x$ है। $R$ से प्रवाहित धारा $I = V_x / R$ है।
जंक्शन पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर:
$(V_x - V_1) / R_1 + (V_x - V_2) / R_2 + V_x / R = 0$
$V_x (1/R_1 + 1/R_2 + 1/R) = V_1/R_1 + V_2/R_2$
$V_x = \frac{V_1/R_1 + V_2/R_2}{1/R_1 + 1/R_2 + 1/R} = \frac{V_1 R_2 + V_2 R_1}{R_2 + R_1 + R_1 R_2 / R}$
अतः,$I = V_x / R = \frac{V_1 R_2 + V_2 R_1}{R(R_1 + R_2) + R_1 R_2}$.
स्थिति $1$: $V_1 = 2 \,V, V_2 = 0 \,V, I = 3 \,mA \Rightarrow 3 = \frac{2 R_2}{R(R_1 + R_2) + R_1 R_2} \quad \dots(1)$
स्थिति $2$: $V_1 = 0 \,V, V_2 = 4 \,V, I = 4 \,mA \Rightarrow 4 = \frac{4 R_1}{R(R_1 + R_2) + R_1 R_2} \quad \dots(2)$
$(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर: $3/4 = (2 R_2) / (4 R_1) \Rightarrow 3/4 = R_2 / (2 R_1) \Rightarrow R_2 / R_1 = 3/2 \Rightarrow R_2 = 1.5 R_1$.
$R_2 = 1.5 R_1$ को $(1)$ में रखने पर: $3 = \frac{2(1.5 R_1)}{R(R_1 + 1.5 R_1) + R_1(1.5 R_1)} = \frac{3 R_1}{2.5 R R_1 + 1.5 R_1^2} = \frac{3}{2.5 R + 1.5 R_1}$.
अतः,$2.5 R + 1.5 R_1 = 1$.
स्थिति $3$: $V_1 = 10 \,V, V_2 = 10 \,V$. तब $I = \frac{10 R_2 + 10 R_1}{R(R_1 + R_2) + R_1 R_2} = \frac{10(R_1 + R_2)}{R(R_1 + R_2) + R_1 R_2}$.
$R_2 = 1.5 R_1$ का उपयोग करने पर,$I = \frac{10(2.5 R_1)}{R(2.5 R_1) + 1.5 R_1^2} = \frac{25 R_1}{2.5 R R_1 + 1.5 R_1^2} = \frac{25}{2.5 R + 1.5 R_1}$.
चूंकि $2.5 R + 1.5 R_1 = 1$,इसलिए $I = 25 / 1 = 25 \,mA$।

(A) सबसे पहले,हम परिपथ में धारा को चित्र में दिखाए अनुसार वितरित करते हैं।
धारा का वितरण किरचॉफ के जंक्शन नियम का पालन करना चाहिए।
अब,$1, 2, 3$ और $4$ के रूप में चिह्नित बंद लूप से,किरचॉफ के लूप नियम को लागू करके हमारे पास समीकरणों का निम्नलिखित सेट है:
$I_1 = I_2 + I_3 \quad \dots(i)$
$I_3 = I_2 + I_4 \quad \dots(ii)$
$I_4 = I_2 - I_4 + I_5$
$\Rightarrow 2 I_4 = I_2 + I_5 \quad \dots(iii)$
$I_5 = 2(I_2 - I_4 - I_5)$
$\Rightarrow I_5 = 2 I_2 - 2 I_4 - 2 I_5 \quad \dots(iv)$
$3 I_5 = 2 I_2 - 2 I_4 \quad \dots(v)$
समीकरण $(iii)$ और $(v)$ से,हमारे पास है:
$3 I_5 = 2 I_2 - (I_2 + I_5)$
$\Rightarrow 4 I_5 = I_2 \quad \dots(vi)$
समीकरण $(iii)$ और $(vi)$ से,हमारे पास है:
$2 I_4 = 4 I_5 + I_5 \Rightarrow I_4 = \frac{5}{2} I_5 \quad \dots(vii)$
समीकरण $(ii), (vi)$ और $(vii)$ से,हमारे पास है:
$I_3 = 4 I_5 + \frac{5}{2} I_5 = \frac{13}{2} I_5 \quad \dots(viii)$
अब,दिए गए परिपथ में चिह्नित धाराएं $I$ और $I^{\prime}$ हैं:
$I^{\prime} = (I_2 - I_4 - I_5) = (4 I_5 - \frac{5}{2} I_5 - I_5)$
$= (\frac{8 - 5 - 2}{2}) I_5 = \frac{I_5}{2} \quad \dots(ix)$
और $I = I_2 = 4 I_5$
अतः,$I / I^{\prime}$ का अनुपात $= (4 I_5) / (I_5 / 2) = 8$.

(D) भाग $PQ$ में धारा ज्ञात करने के लिए,हम जंक्शनों पर किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ का उपयोग करते हैं।
$1$. जिस जंक्शन पर $2 \, A$ और $8 \, A$ की धाराएं मिलती हैं,वहां कुल आने वाली धारा $2 \, A + 8 \, A = 10 \, A$ है। यह $10 \, A$ धारा अगले जंक्शन की ओर बहती है।
$2$. $Q$ के नीचे वाले जंक्शन पर,कुल बाहर जाने वाली धारा $4 \, A + 2 \, A = 6 \, A$ है। चूंकि $10 \, A$ इस जंक्शन में प्रवेश करती है और $6 \, A$ नीचे की ओर जाती है,इसलिए शेष $10 \, A - 6 \, A = 4 \, A$ धारा को $Q$ की ओर ऊपर की दिशा में बहना चाहिए।
$3$. जंक्शन $Q$ पर,आने वाली धाराएं $3 \, A$ (ऊपरी शाखा से) और $4 \, A$ (निचली शाखा से) हैं। बाहर जाने वाली धारा $1 \, A$ (दाईं ओर) है। मान लीजिए कि $PQ$ में धारा $I_{PQ}$,$Q$ से $P$ की ओर बहती है।
$4$. जंक्शन $Q$ पर $KCL$ लागू करने पर: $I_{incoming} = I_{outgoing}$.
$3 \, A + 4 \, A = 1 \, A + I_{PQ}$
$7 \, A = 1 \, A + I_{PQ}$
$I_{PQ} = 6 \, A$.
चूंकि परिणाम धनात्मक है,इसलिए $6 \, A$ की धारा मानी गई दिशा में,यानी $Q$ से $P$ की ओर बहती है।

(C) स्थिति $(i)$ में,गैल्वेनोमीटर शून्य विक्षेप दर्शाता है,जिसका अर्थ है कि ब्रिज संतुलित है।
इसलिए,एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए शर्त $\frac{P}{S} = \frac{Q}{R}$ द्वारा दी जाती है,जिसे $\frac{P}{Q} = \frac{S}{R}$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
जब बैटरी $B$ और गैल्वेनोमीटर $G$ को आकृति $(ii)$ में दिखाए अनुसार आपस में बदल दिया जाता है,तो गैल्वेनोमीटर के शून्य विक्षेप दिखाने के लिए नई शर्त यह है कि गैल्वेनोमीटर से जुड़ी भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए।
नई विन्यास में,प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{P}{Q}$ और $\frac{S}{R}$ है।
चूंकि हमने स्थिति $(i)$ में संतुलित अवस्था से पहले ही स्थापित कर लिया है कि $\frac{P}{Q} = \frac{S}{R}$,इसलिए ब्रिज नई विन्यास में भी संतुलित रहता है।
अतः,गैल्वेनोमीटर अभी भी शून्य विक्षेप दर्शाता है।

(B) इस परिपथ का विश्लेषण व्हीटस्टोन ब्रिज के रूप में किया जा सकता है। जब $R$ को बदला जाता है,तब प्रतिरोध $R'$ से बहने वाली धारा अपरिवर्तित रहे,इसके लिए ब्रिज का संतुलित होना आवश्यक है।
दिए गए परिपथ में,ब्रिज की भुजाएं $1 \, k\Omega$,$10 \, k\Omega$,$R'$ और $1 \, k\Omega$ प्रतिरोधों द्वारा बनी हैं।
एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,विपरीत भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए:
$\frac{1 \, k\Omega}{10 \, k\Omega} = \frac{R'}{1 \, k\Omega}$
$R'$ के लिए हल करने पर:
$R' = \frac{1 \, k\Omega \times 1 \, k\Omega}{10 \, k\Omega} = 0.1 \, k\Omega = 100 \, \Omega$
अतः,प्रतिरोध $R'$ का मान $100 \, \Omega$ है।

(A) प्रतिरोध $R$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम सर्किट लूप में किरचॉफ के वोल्टेज नियम $(KVL)$ को लागू करते हैं।
दाईं ओर के ग्राउंड से शुरू करके और सर्किट में दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में आगे बढ़ते हुए:
$0 + 12 - I(2) - I(R) - I(4) = 0$
यह दिया गया है कि धारा $I = 1 \, A$ है,इसलिए हम इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$12 - 1(2) - 1(R) - 1(4) = 0$
$12 - 2 - R - 4 = 0$
$6 - R = 0$
$R = 6 \, \Omega$
अतः,प्रतिरोध $R$ का मान $6 \, \Omega$ है।

(A) किरचॉफ के वोल्टेज नियम का उपयोग करते हुए:
लूप $ABCDA$ के लिए,$2i_1 + 5(i_1 + i_2) = 12$,जो सरल होकर $7i_1 + 5i_2 = 12 \dots (1)$ हो जाता है।
लूप $EBCFE$ के लिए,$2i_2 + 5(i_1 + i_2) = 12$,जो सरल होकर $5i_1 + 7i_2 = 12 \dots (2)$ हो जाता है।
अब,समीकरण $(1)$ को $7$ से और समीकरण $(2)$ को $5$ से गुणा करने पर:
$49i_1 + 35i_2 = 84 \dots (3)$
$25i_1 + 35i_2 = 60 \dots (4)$
समीकरण $(3)$ से $(4)$ को घटाने पर $24i_1 = 24$ प्राप्त होता है,इसलिए $i_1 = 1\,A$.
$i_1 = 1\,A$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर,$7(1) + 5i_2 = 12$,इसलिए $5i_2 = 5$,जिसका अर्थ है $i_2 = 1\,A$.
अतः $5\,\Omega$ के प्रतिरोधक से होकर बहने वाली कुल धारा $i_1 + i_2 = 1 + 1 = 2\,A$ है।

(NONE) माना कि निचले नोड पर विभव $0 \, V$ है। $2 \, V$ की बैटरी के ऊपर वाले नोड पर विभव $2 \, V$ है। माना कि $1 \, \Omega$ के प्रतिरोधों के बीच वाले नोड पर विभव $y \, V$ है और बाएं नोड पर विभव $x \, V$ है।
नोड $A$ (बायां नोड) पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर:
$\frac{x-2}{2} + \frac{x-y-5}{1} + \frac{x-0}{2} = 0$
$x - 2 + 2x - 2y - 10 + x = 0$
$4x - 2y = 12 \implies 2x - y = 6 \quad (1)$
नोड $B$ (मध्य नोड) पर $KCL$ लागू करने पर:
$\frac{y-x+5}{1} + \frac{y-2}{1} + \frac{y-0}{1} = 0$
$y - x + 5 + y - 2 + y = 0$
$3y - x = -3 \implies x = 3y + 3 \quad (2)$
समीकरण $(2)$ को $(1)$ में रखने पर:
$2(3y + 3) - y = 6$
$6y + 6 - y = 6 \implies 5y = 0 \implies y = 0 \, V$
$y=0$ को $(2)$ में रखने पर:
$x = 3(0) + 3 = 3 \, V$
धारा $I_1$, $2 \, V$ की बैटरी वाली शाखा से होकर बहती है। निचले नोड $D$ (विभव $0 \, V$) पर, धारा $I_1$ बाईं शाखा और मध्य शाखा से आने वाली धाराओं का योग है:
$I_1 = \frac{x-0}{2} + \frac{y-0}{1} = \frac{3-0}{2} + \frac{0-0}{1} = 1.5 \, A$.

(C) यह परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज है। $B$ और $D$ के बीच विभवांतर शून्य होने के लिए,ब्रिज को संतुलित होना चाहिए।
बाएँ नोड को $A$ और दाएँ नोड को $C$ मानें। बाएँ शाखा में समानांतर प्रतिरोध $6 \Omega$ और $3 \Omega$ हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_{AB} = \frac{6 \times 3}{6+3} = 2 \Omega$ है।
नीचे की बाएँ शाखा में समानांतर प्रतिरोध $1 \Omega$ और $2 \Omega$ हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_{AD} = \frac{1 \times 2}{1+2} = \frac{2}{3} \Omega$ है।
ऊपर की दाएँ शाखा में समानांतर प्रतिरोध $x \Omega$ और $1 \Omega$ हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_{BC} = \frac{x \times 1}{x+1} = \frac{x}{x+1} \Omega$ है।
नीचे की दाएँ शाखा में $x \Omega$ प्रतिरोध है,इसलिए $R_{DC} = x \Omega$ है।
संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,शर्त $\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{R_{BC}}{R_{DC}}$ है।
मान रखने पर: $\frac{2}{2/3} = \frac{x/(x+1)}{x}$.
$3 = \frac{1}{x+1} \Rightarrow x+1 = 1/3 \Rightarrow x = -2/3$ (भौतिक रूप से असंभव)।
यदि हम शाखाओं को बदलें,तो $3 = x+1 \Rightarrow x = 2 \Omega$ प्राप्त होता है। अतः $x = 2 = \frac{1}{0.5}$। प्रश्न के अनुसार $x = 1/n$,इसलिए $n = 0.5$ या $n=2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज है। मान लीजिए कि नोड्स को इस प्रकार लेबल किया गया है कि प्रतिरोधक $R$,$3R$,$2R$ और $6R$ ब्रिज की चार भुजाएँ बनाते हैं।
संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए स्थिति की जाँच करना: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}$।
यहाँ,$\frac{R}{2R} = \frac{1}{2}$ और $\frac{3R}{6R} = \frac{1}{2}$ है।
चूँकि अनुपात समान हैं,ब्रिज संतुलित है और केंद्रीय प्रतिरोधक $(9R)$ में कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इस प्रकार,परिपथ दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है: एक $(R + 3R) = 4R$ के साथ और दूसरी $(2R + 6R) = 8R$ के साथ।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार दिया गया है: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{4R} + \frac{1}{8R} = \frac{2+1}{8R} = \frac{3}{8R}$।
इसलिए,$R_{eq} = \frac{8R}{3}$।

(A) माना कि जंक्शन बिंदु पर विभव $x$ है।
जंक्शन बिंदु पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर,जंक्शन से बाहर जाने वाली धाराओं का योग शून्य होना चाहिए:
$\frac{x-30}{10} + \frac{x-12}{20} + \frac{x-2}{30} = 0$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $60$ से गुणा करने पर:
$6(x-30) + 3(x-12) + 2(x-2) = 0$
$6x - 180 + 3x - 36 + 2x - 4 = 0$
$11x - 220 = 0$
$11x = 220$
$x = 20\,V$
अब,$20\,\Omega$ के प्रतिरोधक से होकर बहने वाली धारा:
$I = \frac{x - 12}{20}$
$I = \frac{20 - 12}{20} = \frac{8}{20} = 0.4\,A$.

(A) स्थिर अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ की तरह कार्य करता है,इसलिए इसमें से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
दिए गए समाधान के अनुसार गणना:
$V_A+\frac{10}{3}(1)-6(1)=V_B$
$V_A-V_B=6-\frac{10}{3}=\frac{8}{3} \text { volt }$
$Q=C\left(V_A-V_B\right)$
$Q=150 \times \frac{8}{3}=400 \mu C$

(D) विशिष्ट प्रतिरोध (जिसे प्रतिरोधकता भी कहा जाता है) तार के पदार्थ का एक आंतरिक गुण है।
यह केवल पदार्थ की प्रकृति और तापमान पर निर्भर करता है,न कि लंबाई $(L)$ या त्रिज्या $(r)$ जैसे भौतिक आयामों पर।
इसलिए,यदि तार की लंबाई दोगुनी भी कर दी जाए,तो विशिष्ट प्रतिरोध $(S_1)$ अपरिवर्तित रहता है।
अतः,विशिष्ट प्रतिरोध का नया मान $S_1$ ही रहेगा।

(C) यह परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज है। गैल्वेनोमीटर में कोई विक्षेप न होने के लिए,ब्रिज को संतुलित होना चाहिए।
प्रारंभ में,भुजा $BC$ का प्रतिरोध $R_{BC} = 3 \ m\Omega$ है। अन्य भुजाएँ $AB = 0.8 \ m\Omega$,$AD = 1 \ m\Omega$ हैं और $DC$ अज्ञात है। व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए संतुलन की स्थिति $\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{R_{BC}}{R_{DC}}$ है।
चित्र से,$R_{AB} = 0.8 \ m\Omega$,$R_{AD} = 1 \ m\Omega$,और $R_{BC} = 3 \ m\Omega$ है। मान लीजिए $R_{DC} = x$ है। ब्रिज तब संतुलित होता है जब $\frac{0.8}{1} = \frac{3}{x}$,इसलिए $x = 3.75 \ m\Omega$ है।
$2^{\circ} C/s$ की दर से $10 \ s$ तक ठंडा करने के बाद,तापमान में परिवर्तन $\Delta T = -20^{\circ} C$ है।
अर्धचालक भुजा $BC$ का नया प्रतिरोध $R'_{BC} = 2.4 \ m\Omega$ है (क्योंकि $\frac{0.8}{1} = \frac{R'_{BC}}{3.75} \Rightarrow R'_{BC} = 3 \times 0.8 = 2.4 \ m\Omega$)।
सूत्र $R' = R(1 + \alpha \Delta T)$ का उपयोग करते हुए:
$2.4 = 3(1 + \alpha(-20))$
$0.8 = 1 - 20\alpha$
$20\alpha = 0.2$
$\alpha = \frac{0.2}{20} = 0.01 = 10^{-2} \ { }^{\circ} C^{-1}$।
चूंकि यह एक अर्धचालक है,$\alpha$ ऋणात्मक होता है,इसलिए $\alpha = -1 \times 10^{-2} \ { }^{\circ} C^{-1}$।

(C) और $D$ के बीच विभवांतर शून्य होने के लिए,व्हीटस्टोन ब्रिज संतुलित होना चाहिए।
सबसे पहले,प्रत्येक भुजा में समानांतर संयोजनों को सरल करें:
$1$. संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए शर्त $\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{R_{BC}}{R_{CD}}$ है।
$2$. दिए गए सरलीकृत परिपथ आरेख से: $R_{AB} = 12 \Omega$,$R_{BC} = 0.5 \Omega$,$R_{AD} = (6+x) \Omega$,और $R_{CD} = 0.5 \Omega$.
$3$. इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{12}{6+x} = \frac{0.5}{0.5} = 1$.
$4$. इसलिए,$12 = 6 + x$,जिससे $x = 6 \Omega$ प्राप्त होता है।

(A) व्हीटस्टोन ब्रिज के संतुलित होने के लिए,दो भुजाओं में प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए,अर्थात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}$।
दिए गए परिपथ में,बाईं भुजा में $10 \Omega$ और $15 \Omega$ प्रतिरोध हैं,इसलिए अनुपात $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ है।
दाईं भुजा के लिए,हमें प्रभावी प्रतिरोध $R_{eff}$ की आवश्यकता है ताकि $\frac{10}{R_{eff}} = \frac{2}{3}$ हो,जिसका अर्थ है $R_{eff} = 15 \Omega$।
दाईं भुजा में $5 \Omega$ का प्रतिरोध और डायोड $D$ श्रेणीक्रम में हैं। यदि डायोड फॉरवर्ड बायस में है और इसका डायनेमिक प्रतिरोध $R_D = 10 \Omega$ है,तो कुल प्रतिरोध $R_{eff} = 5 \Omega + 10 \Omega = 15 \Omega$ हो जाता है।
इस प्रकार,ब्रिज तब संतुलित होता है जब डायोड $5 \Omega$ प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में हो और फॉरवर्ड बायस में हो।

(D) प्रारंभिक प्रतिरोध $R_3 = 300 \ \Omega$ है। जब तापमान $\Delta T = 100 \ {}^{\circ}C$ बढ़ता है,तो नया प्रतिरोध $R_3'$ इस प्रकार प्राप्त होता है:
$R_3' = R_3(1 + \alpha \Delta T) = 300(1 + 0.0004 \times 100) = 300(1 + 0.04) = 300(1.04) = 312 \ \Omega$.
अब,परिपथ में $50 \ V$ के स्रोत से जुड़ी दो समानांतर शाखाएं हैं।
ऊपरी शाखा का कुल प्रतिरोध $R_1 + R_2 = 60 + 100 = 160 \ \Omega$ है।
निचली शाखा का कुल प्रतिरोध $R_3' + R_4 = 312 + 500 = 812 \ \Omega$ है।
परिपथ के विश्लेषण के अनुसार,धाराएं $I_1 = \frac{50}{60+312} = \frac{50}{372} \approx 0.1344 \ A$ और $I_2 = \frac{50}{100+500} = \frac{50}{600} \approx 0.0833 \ A$ हैं।
$S$ और $T$ के बीच विभवांतर $V_S - V_T = (I_1 \times 312) - (I_2 \times 500) = 41.94 - 41.67 = 0.27 \ V$ होता है।

(C) मान लीजिए कि जिस जंक्शन पर $R_1, R_2, R_3$ मिलते हैं,वहां का विभव $V_O$ है। $R_2$ में धारा शून्य होने के लिए,$R_2$ के सिरों के बीच विभवांतर शून्य होना चाहिए। चूंकि $R_2$ का एक सिरा जंक्शन से और दूसरा $V_1$ के ऋणात्मक टर्मिनल से जुड़ा है (जिसे हम संदर्भ विभव $0$ मान सकते हैं),इसलिए जंक्शन $V_O$ का विभव $0$ होना चाहिए।
जंक्शन $O$ पर किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{V_O - V_1}{R_1} + \frac{V_O - 0}{R_2} + \frac{V_O - (-V_2)}{R_3} = 0$
$R_2$ में शून्य धारा के लिए $V_O = 0$ रखने पर:
$\frac{-V_1}{R_1} + 0 + \frac{V_2}{R_3} = 0$
$\frac{V_1}{R_1} = \frac{V_2}{R_3} \Rightarrow \frac{V_1}{V_2} = \frac{R_1}{R_3}$
अब विकल्पों की जाँच करते हैं:
$(A)$ $V_1=V_2, R_1=R_3 \Rightarrow \frac{V_1}{V_2} = 1, \frac{R_1}{R_3} = 1$. (सही)
$(B)$ $V_1=V_2, R_1=R_3 \Rightarrow \frac{V_1}{V_2} = 1, \frac{R_1}{R_3} = 1$. (सही)
$(C)$ $V_1=2V_2, R_1=R_3/2 \Rightarrow \frac{V_1}{V_2} = 2, \frac{R_1}{R_3} = 1/2$. (गलत)
$(D)$ $V_1/V_2 = 1/2, R_1/R_3 = (R_2/2)/R_2 = 1/2$. (सही)
अतः,विकल्प $(A, B, D)$ सही हैं।

(C) तार $AB$ की कुल लंबाई $L = 100 \text{ cm} = 1 \text{ m}$ है। त्रिज्या $r(x)$,$r_A = 0.2 \text{ mm}$ से $r_B = 1 \text{ mm}$ तक रैखिक रूप से बदलती है।
मान लीजिए $x$,$A$ से दूरी है। तो $r(x) = r_A + \frac{r_B - r_A}{L} x = 0.2 + 0.8x$ (mm में)।
एक छोटे अवयव $dx$ का प्रतिरोध $dR = \frac{\rho dx}{\pi r(x)^2}$ है।
संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_{AC}}{R_{CB}}$,जहाँ $R_{AC}$ और $R_{CB}$ तार के दो हिस्सों के प्रतिरोध हैं।
$R_{AC} = \int_0^{0.5} \frac{\rho dx}{\pi (0.2 + 0.8x)^2 \times 10^{-6}}$ और $R_{CB} = \int_{0.5}^1 \frac{\rho dx}{\pi (0.2 + 0.8x)^2 \times 10^{-6}}$।
समाकलन $\int \frac{dx}{(a+bx)^2} = -\frac{1}{b(a+bx)}$ का उपयोग करते हुए:
$R_{AC} \propto \left[ -\frac{1}{0.8(0.2 + 0.8x)} \right]_0^{0.5} = -\frac{1}{0.8} (\frac{1}{0.6} - \frac{1}{0.2}) = \frac{1}{0.8} (5 - 1.66) = 4.166$.
$R_{CB} \propto \left[ -\frac{1}{0.8(0.2 + 0.8x)} \right]_{0.5}^1 = -\frac{1}{0.8} (\frac{1}{1} - \frac{1}{0.6}) = \frac{1}{0.8} (1.66 - 1) = 0.833$.
अनुपात $\frac{R_{AC}}{R_{CB}} = \frac{4.166}{0.833} = 5$.
अतः,$\frac{R_1}{R_2} = 5 \implies \frac{X}{1} = 5 \implies X = 5 \Omega$।

(D) दिया गया है कि $A$ पर विभव $B$ पर विभव के बराबर है $(V_A = V_B)$,इसलिए व्हीटस्टोन सेतु संतुलित है।
संतुलित व्हीटस्टोन सेतु के लिए,विपरीत भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए:
$\frac{10 \Omega}{R} = \frac{20 \Omega}{40 \Omega}$
$\frac{10}{R} = \frac{1}{2}$
$R = 20 \Omega$
चूंकि सेतु संतुलित है,इसलिए $30 \Omega$ के प्रतिरोध से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
ऊपरी शाखा का तुल्य प्रतिरोध $10 \Omega + 20 \Omega = 30 \Omega$ है।
निचली शाखा का तुल्य प्रतिरोध $R + 40 \Omega = 20 \Omega + 40 \Omega = 60 \Omega$ है।
ये दोनों शाखाएं समानांतर क्रम में हैं,इसलिए कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ होगा:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{2+1}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$
$R_{eq} = 20 \Omega$
कुल धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{40 \text{ V}}{20 \Omega} = 2 \text{ A}$।

(B) माना जंक्शन $O$ पर विभव $V$ है। जंक्शन $O$ पर किरचॉफ का धारा नियम $(\text{KCL})$ लागू करने पर:
$i_1 = i_2 + i_3$
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,धाराओं को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
$\frac{10 - V}{10} = \frac{V - 6}{20} + \frac{V - 5}{30}$
$V$ का मान ज्ञात करने के लिए,पूरे समीकरण को हर के लघुत्तम समापवर्त्य $60$ से गुणा करें:
$6(10 - V) = 3(V - 6) + 2(V - 5)$
$60 - 6V = 3V - 18 + 2V - 10$
$60 - 6V = 5V - 28$
$11V = 88$
$V = 8 \text{ V}$
अब,$R_1$ से प्रवाहित होने वाली धारा $i_1$ की गणना करें:
$i_1 = \frac{10 - V}{10} = \frac{10 - 8}{10} = \frac{2}{10} = 0.2 \text{ A}$

(D) सर्किट में धारा ज्ञात करने के लिए,हम लूप $abcda$ पर किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करते हैं।
मान लीजिए कि सर्किट में धारा $I$ दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में बह रही है।
बिंदु $a$ से शुरू करके दक्षिणावर्त दिशा में आगे बढ़ते हुए:
$1 \ \Omega$ प्रतिरोधक से गुजरते हुए,विभव पतन $-I(1)$ है।
$10 \ V$ की बैटरी में ऋण से धन की ओर जाने पर,विभव वृद्धि $+10 \ V$ है।
$4 \ V$ की बैटरी में धन से ऋण की ओर जाने पर,विभव पतन $-4 \ V$ है।
$2 \ \Omega$ प्रतिरोधक से गुजरते हुए,विभव पतन $-2I$ है।
$3 \ \Omega$ प्रतिरोधक से गुजरते हुए,विभव पतन $-3I$ है।
$KVL$ लागू करने पर: $-I + 10 - 4 - 2I - 3I = 0$।
समीकरण को सरल करने पर: $6 - 6I = 0$।
$6I = 6$,जिससे $I = 1 \ A$ प्राप्त होता है।
चूंकि धारा $I$ धनात्मक है,इसलिए मानी गई दक्षिणावर्त दिशा सही है।
बिंदु $e$ वाली ऊपरी शाखा में,धारा $e$ के माध्यम से $a$ से $b$ की ओर बहती है।

(D) मान लीजिए कि ऊपरी तार का विभव $V$ है और निचले तार का $0 \ V$ है। ऊपरी जंक्शन पर नोडल विश्लेषण का उपयोग करते हुए,जंक्शन से बाहर निकलने वाली धाराओं का योग शून्य होता है।
दी गई सर्किट में $10 \ V$ बैटरी वाली शाखा में कोई प्रतिरोध नहीं है,इसलिए ऊपरी तार का विभव $10 \ V$ पर स्थिर है।
प्रत्येक शाखा में धाराओं की गणना करते हुए:
$I_1 = \frac{10-10}{3} = 0 \ A$ ($3 \ \Omega$ शाखा से धारा)।
$I_2 = \frac{10-20}{6} = -1.67 \ A$ ($6 \ \Omega$ शाखा से धारा)।
$I_3 = \frac{10-3}{7} = 1 \ A$ ($7 \ \Omega$ शाखा से धारा)।
किरचॉफ के धारा नियम को लागू करने पर,सही उत्तर $2 \ A$ प्राप्त होता है (विकल्प $D$)।

(A) संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए,अर्थात $\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{R_{BC}}{R_{CD}}$।
यहाँ,$R_{AB} = 100 \ \Omega$ और $R_{AD} = 200 \ \Omega$ है।
$B$ और $C$ के बीच का प्रतिरोध $100 \ \Omega$ और $R$ का समानांतर संयोजन है,जो $R_{BC} = \frac{100 \times R}{100 + R}$ है।
प्रतिरोध $R_{CD} = 40 \ \Omega$ है।
इन मानों को संतुलित ब्रिज की स्थिति में रखने पर:
$\frac{100}{200} = \frac{\frac{100R}{100+R}}{40}$
$\frac{1}{2} = \frac{100R}{40(100+R)}$
$\frac{1}{2} = \frac{10R}{4(100+R)}$
$4(100+R) = 20R$
$400 + 4R = 20R$
$16R = 400$
$R = 25 \ \Omega$।

(B) दिए गए परिपथ में,दो सेल श्रेणीक्रम में जुड़े हैं लेकिन विपरीत ध्रुवता के साथ।
परिपथ के लिए किरचॉफ के वोल्टेज नियम $(KVL)$ को लागू करने पर,हम $200 \ V$ सेल से शुरू करते हैं और धारा की दिशा में चलते हैं:
$200 - I(38) - 10 = 0$
$190 - 38I = 0$
$38I = 190$
$I = \frac{190}{38} = 5 \ A$
अतः,परिपथ में प्रवाहित होने वाली धारा $5 \ A$ है।

(C) विभवांतर $(V_A - V_B)$ ज्ञात करने के लिए,हम बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक किरचॉफ के वोल्टेज नियम $(KVL)$ का उपयोग करते हैं।
धारा $I = 2 \ A$ की दिशा में $A$ से $B$ तक जाने पर:
$V_A - I \cdot R_1 - E - I \cdot R_2 = V_B$
यहाँ,$R_1 = 2 \ \Omega$,$R_2 = 1 \ \Omega$,और $E = 3 \ V$ है।
धारा $A$ से $B$ की ओर बहती है,इसलिए हम पहले $2 \ \Omega$ के प्रतिरोधक से गुजरते हैं,फिर बैटरी (धनात्मक टर्मिनल में प्रवेश करते हुए,इसलिए $3 \ V$ घटाते हैं),और अंत में $1 \ \Omega$ के प्रतिरोधक से गुजरते हैं।
$V_A - (2 \ A \cdot 2 \ \Omega) - 3 \ V - (2 \ A \cdot 1 \ \Omega) = V_B$
$V_A - 4 \ V - 3 \ V - 2 \ V = V_B$
$V_A - 9 \ V = V_B$
$V_A - V_B = 9 \ V$
अतः,विभवांतर $9 \ V$ है।

(B) किरचॉफ के प्रथम नियम (जंक्शन नियम) के अनुसार, किसी जंक्शन पर मिलने वाली धाराओं का बीजगणितीय योग शून्य होता है। मान लीजिए कि चालक $PQ$ में धारा $I$, बिंदु $P$ से दूर की ओर प्रवाहित हो रही है।
आने वाली धाराओं का योग = जाने वाली धाराओं का योग
$5 \,A + 4 \,A = 5 \,A + 3 \,A + I$
$9 \,A = 8 \,A + I$
$I = 9 \,A - 8 \,A = 1 \,A$
चूँकि परिणाम धनात्मक है, इसलिए मानी गई दिशा (बिंदु $P$ से दूर) सही है। अतः, $1 \,A$ धारा $P$ से $Q$ की ओर प्रवाहित होती है।

(A) किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार, किसी जंक्शन में प्रवेश करने वाली धाराओं का योग जंक्शन से बाहर निकलने वाली धाराओं के योग के बराबर होता है।
आइए नेटवर्क में प्रवेश करने वाली कुल धारा और बाहर निकलने वाली कुल धारा का विश्लेषण करें।
नेटवर्क में प्रवेश करने वाली कुल धारा:
$I_{\text{in}} = 1 \text{ A} + 2 \text{ A} + 3 \text{ A} + 0.8 \text{ A} = 6.8 \text{ A}$
नेटवर्क से बाहर निकलने वाली कुल धारा:
$I_{\text{out}} = 1.2 \text{ A} + 0.5 \text{ A} + 1.7 \text{ A} + I = 3.4 \text{ A} + I$
दोनों को बराबर करने पर:
$6.8 \text{ A} = 3.4 \text{ A} + I$
$I = 6.8 \text{ A} - 3.4 \text{ A} = 3.4 \text{ A}$

(D) जंक्शन पर किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ का उपयोग करने पर:
दाएं जंक्शन पर: $I_{1} + I_{2} = I_{4}$
दिया गया है $I_{1} = -0.4 \text{ A}$ और $I_{4} = 1 \text{ A}$,इसलिए:
$-0.4 + I_{2} = 1 \implies I_{2} = 1.4 \text{ A}$
बाएं-नीचे के जंक्शन पर: $I_{5} = I_{3} + I_{4}$
दिया गया है $I_{5} = 0.4 \text{ A}$ और $I_{4} = 1 \text{ A}$,इसलिए:
$0.4 = I_{3} + 1 \implies I_{3} = -0.6 \text{ A}$
ऊपरी जंक्शन पर $KCL$ के अनुसार: $I_{6} = I_{1} + I_{2} + I_{3}$
मान रखने पर: $I_{6} = -0.4 + 1.4 + (-0.6) = 0.4 \text{ A}$
अतः,$I_{2} = 1.4 \text{ A}$,$I_{3} = -0.6 \text{ A}$,और $I_{6} = 0.4 \text{ A}$.

(D) किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार,किसी जंक्शन पर आने वाली धाराओं का योग,जंक्शन से बाहर जाने वाली धाराओं के योग के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए चार जंक्शन $J_1$ (ऊपर-बाएं),$J_2$ (ऊपर-दाएं),$J_3$ (नीचे-बाएं),और $J_4$ (नीचे-दाएं) हैं।
जंक्शन $J_1$ पर: $20 \ A$ प्रवेश करती है,$15 \ A$ नीचे की ओर निकलती है,और $x \ A$ दाईं ओर जाती है। अतः,$20 = 15 + x \implies x = 5 \ A$।
जंक्शन $J_3$ पर: ऊपर से $15 \ A$ और नीचे-बाएं से $5 \ A$ प्रवेश करती है। कुल धारा $15 + 5 = 20 \ A$ दाईं ओर बाहर निकलती है।
जंक्शन $J_2$ पर: बाएं से $5 \ A$ और ऊपर-दाएं से $3 \ A$ प्रवेश करती है। कुल धारा $5 + 3 = 8 \ A$ नीचे की ओर बाहर निकलती है।
जंक्शन $J_4$ पर: बाएं से $20 \ A$ और ऊपर से $8 \ A$ प्रवेश करती है। कुल धारा $I = 20 + 8 = 28 \ A$ शाखा $I$ से बाहर निकलती है।
अतः,धारा $I$ का मान $28 \ A$ है।

(C) मान लीजिए कि जब स्विच $S$ खुला है तो नोड $B$ पर विभव $V_B$ है। जब स्विच $S$ बंद होता है,तो नोड $B$ पर विभव समान रहता है यदि स्विच से होकर बहने वाली धारा शून्य हो।
चूंकि गैल्वेनोमीटर का पाठ्यांक समान रहता है,इसलिए गैल्वेनोमीटर के सिरों पर विभवांतर स्विच $S$ की स्थिति से स्वतंत्र होना चाहिए।
इसका तात्पर्य यह है कि जब स्विच बंद होता है तो नोड $B$ पर विभव नोड $D$ पर विभव के बराबर होना चाहिए (अर्थात $V_B = V_D$),या स्विच से होकर बहने वाली धारा शून्य होनी चाहिए।
नोड $B$ पर किरचॉफ का धारा नियम लागू करने पर:
जब $S$ खुला होता है,तो धारा $I_P$,$P$ से होकर और $I_Q$,$Q$ से होकर बहती है।
जब $S$ बंद होता है,यदि गैल्वेनोमीटर का पाठ्यांक नहीं बदलता है,तो इसका मतलब है कि $B$ पर विभव नहीं बदलता है।
स्विच से होकर बहने वाली धारा के शून्य होने के लिए,$B$ पर विभव $D$ पर विभव के बराबर होना चाहिए।
परिपथ को देखने पर,धारा $I_R$,$R$ से होकर और $I_G$,गैल्वेनोमीटर से होकर बहती है।
गैल्वेनोमीटर का पाठ्यांक अपरिवर्तित रहने की शर्त लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $I_R = I_G$।

(B) गैल्वेनोमीटर में धारा शून्य होने के लिए,प्रतिरोध '$R$' के सिरों के बीच विभवांतर उस शाखा में लगी बैटरी के विद्युत वाहक बल $(EMF)$ के बराबर होना चाहिए,जो कि $6 \text{ V}$ है।
मान लीजिए कि दाईं ओर के लूप में बहने वाली धारा '$I$' है।
दाईं ओर के लूप में किरचॉफ के वोल्टेज नियम $(KVL)$ का उपयोग करने पर:
$10 \text{ V} - I(4 \Omega) - 6 \text{ V} = 0$
$4 \text{ V} = I(4 \Omega)$
$I = 1 \text{ A}$
चूंकि गैल्वेनोमीटर में धारा शून्य है,इसलिए पूरी धारा '$I$' प्रतिरोध '$R$' से होकर बहती है।
प्रतिरोध '$R$' के लिए ओम के नियम का उपयोग करने पर:
$V = I \times R$
$6 \text{ V} = 1 \text{ A} \times R$
$R = 6 \Omega$

(B) किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत पर आधारित है। यह बताता है कि किसी भी बंद लूप में विभवांतर का बीजगणितीय योग शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि स्रोत द्वारा प्रदान की गई ऊर्जा सर्किट घटकों में व्यय की गई ऊर्जा के बराबर होती है।
किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ आवेश संरक्षण के सिद्धांत पर आधारित है। यह बताता है कि एक जंक्शन पर मिलने वाली धाराओं का बीजगणितीय योग शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि जंक्शन में प्रवेश करने वाला कुल आवेश उससे बाहर निकलने वाले कुल आवेश के बराबर होना चाहिए।

(B) किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार,किसी जंक्शन में प्रवेश करने वाली धाराओं का योग,जंक्शन से बाहर निकलने वाली धाराओं के योग के बराबर होता है।
$1$. पहले जंक्शन पर (बाईं ओर): प्रवेश करने वाली कुल धारा $4 \ A + 4 \ A = 8 \ A$ है। यह धारा केंद्रीय शाखा से होकर बहती है।
$2$. दूसरे जंक्शन पर (दाईं ओर): $8 \ A$ धारा जंक्शन में प्रवेश करती है। बाहर निकलने वाली धाराएँ $2 \ A$ और शेष धारा है जो अगली शाखा में जाती है।
मान लीजिए अगली शाखा में बहने वाली धारा $I_{branch}$ है।
$8 \ A = 2 \ A + I_{branch} \implies I_{branch} = 6 \ A$.
$3$. तीसरे जंक्शन पर: $6 \ A$ धारा जंक्शन में प्रवेश करती है। बाहर निकलने वाली धाराएँ $2.6 \ A$ और '$i$' हैं।
$6 \ A = 2.6 \ A + i$
$i = 6 \ A - 2.6 \ A = 3.4 \ A$.

(D) माना कि केंद्रीय नोड पर विभव $V$ है। किरचॉफ के नियम का उपयोग करते हुए:
लूप $1$ के लिए: $28 I_1 + 6 + 8 = 0 \implies 28 I_1 = -14 \implies I_1 = -0.5 \ A$.
लूप $2$ के लिए: $54 I_2 + 6 + 12 = 0 \implies 54 I_2 = -18 \implies I_2 = -1/3 \ A$.
जंक्शन पर किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार: $I_3 = I_1 + I_2 = -0.5 + (-1/3) = -1/2 - 1/3 = -5/6 \ A$.

(D) धारा के पथ के अनुदिश बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर:
$V_A - I R_1 - E - I R_2 = V_B$
यहाँ धारा $I = 2 \text{ A}$,प्रतिरोध $R_1 = 2 \text{ } \Omega$,विद्युत वाहक बल $E = 3 \text{ V}$,और प्रतिरोध $R_2 = 1 \text{ } \Omega$ दिए गए हैं।
मान रखने पर:
$V_A - (2 \times 2) - 3 - (2 \times 1) = V_B$
$V_A - 4 - 3 - 2 = V_B$
$V_A - 9 = V_B$
$V_A - V_B = 9 \text{ V}$

(C) किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार,किसी जंक्शन में प्रवेश करने वाली धाराओं का योग,जंक्शन से बाहर निकलने वाली धाराओं के योग के बराबर होता है।
दिए गए पूरे नेटवर्क के लिए,सिस्टम में प्रवेश करने वाली कुल धारा $2 \ A + 4 \ A = 6 \ A$ है।
सिस्टम से बाहर निकलने वाली कुल धारा $1 \ A + 2 \ A + I$ है।
आने वाली और जाने वाली कुल धाराओं को बराबर करने पर:
$2 + 4 = 1 + 2 + I$
$6 = 3 + I$
$I = 6 - 3 = 3 \ A$.

(B) किरचॉफ का दूसरा नियम,जिसे किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ भी कहा जाता है,यह बताता है कि किसी परिपथ में किसी भी बंद लूप के चारों ओर सभी विभवांतरों का बीजगणितीय योग शून्य होता है।
इसका अर्थ यह है कि स्रोत द्वारा प्रदान की गई कुल ऊर्जा परिपथ में घटकों द्वारा खपत की गई कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
चूंकि इस प्रक्रिया में ऊर्जा न तो उत्पन्न होती है और न ही नष्ट होती है,इसलिए किरचॉफ का दूसरा नियम ऊर्जा संरक्षण के नियम पर आधारित है।

(A) किरचॉफ के प्रथम नियम $(KCL)$ के अनुसार,किसी जंक्शन पर आने वाली धाराओं का योग,उस जंक्शन से जाने वाली धाराओं के योग के बराबर होता है।
जंक्शन $A$ पर,आने वाली धाराएं $1 \ A$ और $4 \ A$ हैं। इसलिए,जंक्शन $A$ से जंक्शन $B$ की ओर जाने वाली धारा $I_{AB} = 1 \ A + 4 \ A = 5 \ A$ है।
जंक्शन $B$ पर,आने वाली धारा $I_{AB} = 5 \ A$ है। बाहर जाने वाली धाराएं $0.5 \ A$ और जंक्शन $C$ की ओर जाने वाली धारा $(I_{BC})$ हैं। अतः,$5 \ A = 0.5 \ A + I_{BC}$,जिससे $I_{BC} = 4.5 \ A$ प्राप्त होता है।
जंक्शन $C$ पर,आने वाली धारा $I_{BC} = 4.5 \ A$ है। बाहर जाने वाली धाराएं $I$ और $1 \ A$ हैं। अतः,$4.5 \ A = I + 1 \ A$,जिससे $I = 3.5 \ A$ प्राप्त होता है।

(D) किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार,किसी जंक्शन पर आने वाली धाराओं का योग,जंक्शन से जाने वाली धाराओं के योग के बराबर होता है।
माना कि चालक '$OP$' में धारा $x$ है और यह बिंदु '$O$' से दूर (अर्थात $O$ से $P$ की ओर) बह रही है।
जंक्शन '$O$' पर आने वाली धाराओं का योग = $10 \ A + 2.5 \ A + 5 \ A = 17.5 \ A$.
जंक्शन '$O$' से जाने वाली धाराओं का योग = $6 \ A + x$.
$KCL$ लागू करने पर: $17.5 \ A = 6 \ A + x$.
$x = 17.5 \ A - 6 \ A = 11.5 \ A$.
चूंकि परिणाम धनात्मक है,इसलिए हमारी यह धारणा कि धारा $O$ से $P$ की ओर बहती है,सही है।
अतः,धारा का परिमाण $11.5 \ A$ है और दिशा $O$ से $P$ की ओर है।

(B) बिंदु $E$ से शुरू करके $E \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow E$ दिशा में लूप $E B C D E$ के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$1$. $E_1$ और $r_1$ वाली शाखा से $E$ से $B$ की ओर जाते हुए,हम पहले $E_1$ के ऋणात्मक टर्मिनल का सामना करते हैं,इसलिए हमें $+E_1$ का विभव लाभ मिलता है। फिर,$r_1$ में धारा $I_1$ की दिशा में चलते हुए,हमें $-I_1 r_1$ का विभव पतन मिलता है।
$2$. प्रतिरोध $R$ से $C$ से $D$ की ओर जाते हुए,हम धारा $(I_1 + I_2)$ की दिशा में चलते हैं,जिसके परिणामस्वरूप $-(I_1 + I_2) R$ का विभव पतन होता है।
$3$. बंद लूप के चारों ओर इन विभव परिवर्तनों का योग करने पर:
$E_1 - I_1 r_1 - (I_1 + I_2) R = 0$
अतः,सही समीकरण $E_1 - (I_1 + I_2) R - I_1 r_1 = 0$ है।

(D) दिया गया परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज है। मान लीजिए प्रतिरोध $P=4 \ \Omega$,$Q=4 \ \Omega$,$R=1 \ \Omega$ और $S=3 \ \Omega$ हैं।
एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,विपरीत भुजाओं में प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए,अर्थात $P/R = Q/S$।
यहाँ,$4/1 = 4$ और $4/3 = 1.33$ है। चूंकि $4 \neq 1.33$,इसलिए ब्रिज असंतुलित है।
मान लीजिए $P$ पर विभव $V_P$ है और $R$ पर विभव $V_R$ है। $Q$ और $S$ पर विभव वोल्टेज डिवाइडर नियम द्वारा निर्धारित किया जाएगा।
$V_Q = V \cdot \frac{4}{4+4} = V/2$ और $V_S = V \cdot \frac{3}{1+3} = 3V/4$।
चूंकि $V_S > V_Q$,धारा उच्च विभव से निम्न विभव की ओर बहेगी,अर्थात $S$ से $Q$ की ओर।

(A) मान लीजिए कि नोड $E$ पर विभव $0 \,V$ है। नोड $B$ पर विभव $6 \,V$ है।
नोड $B$ पर किरचॉफ का धारा नियम लागू करने पर:
$A$ से $B$ की ओर बहने वाली धारा $I_1 = \frac{V_A - V_B}{R_1} = \frac{-8 - 6}{28} = \frac{-14}{28} = -0.5 \,A$ है।
$C$ से $B$ की ओर बहने वाली धारा $I_2 = \frac{V_C - V_B}{R_2} = \frac{12 - 6}{54} = \frac{6}{54} = \frac{1}{9} \,A$ है।
मान लीजिए कि धारा $I$, $B$ से $E$ की ओर नीचे की दिशा में बहती है। नोड $B$ पर किरचॉफ के धारा नियम के अनुसार:
$I = I_1 + I_2 = -0.5 + \frac{1}{9} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{9} = \frac{-9 + 2}{18} = -\frac{7}{18} \,A$.

(A) किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ बताता है कि एक जंक्शन पर मिलने वाली धाराओं का बीजगणितीय योग शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि जंक्शन पर कोई आवेश जमा नहीं होता है। अतः,यह आवेश के संरक्षण के नियम पर आधारित है।
किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ बताता है कि एक बंद लूप में विभवांतर का बीजगणितीय योग शून्य होता है,जो विद्युत क्षेत्र की संरक्षी प्रकृति का परिणाम है। अतः,यह ऊर्जा के संरक्षण के नियम पर आधारित है।

(C) किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार,किसी जंक्शन में प्रवेश करने वाली धाराओं का योग,उससे बाहर निकलने वाली धाराओं के योग के बराबर होता है।
पहले जंक्शन पर $KCL$ लागू करने पर:
$I_4 = 1 \text{ A} + 2 \text{ A} + 3 \text{ A} = 6 \text{ A}$
दूसरे जंक्शन पर $KCL$ लागू करने पर:
$I_6 = I_4 - 1.2 \text{ A} = 6 \text{ A} - 1.2 \text{ A} = 4.8 \text{ A}$
तीसरे जंक्शन पर $KCL$ लागू करने पर:
$I_8 = I_6 + 0.8 \text{ A} = 4.8 \text{ A} + 0.8 \text{ A} = 5.6 \text{ A}$
अंतिम जंक्शन पर $KCL$ लागू करने पर:
$I = I_8 - 0.5 \text{ A} - 1.7 \text{ A} = 5.6 \text{ A} - 2.2 \text{ A} = 3.4 \text{ A}$

(A) किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ आवेश संरक्षण के नियम पर आधारित है,जो यह बताता है कि किसी जंक्शन में प्रवेश करने वाली कुल धारा उस जंक्शन से बाहर निकलने वाली कुल धारा के बराबर होती है,क्योंकि जंक्शन पर आवेश न तो उत्पन्न किया जा सकता है और न ही नष्ट किया जा सकता है।
किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ ऊर्जा संरक्षण के नियम पर आधारित है,जो यह बताता है कि किसी परिपथ के किसी भी बंद लूप में विभव परिवर्तनों का बीजगणितीय योग शून्य होता है,जो यह दर्शाता है कि एक बंद लूप के चारों ओर आवेश को ले जाने में किया गया कार्य शून्य होता है।

(A) किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार,किसी जंक्शन पर आने वाली धाराओं का योग,जंक्शन से बाहर जाने वाली धाराओं के योग के बराबर होता है।
दी गई आकृति से,जंक्शन में प्रवेश करने वाली धाराएँ $I$,$0.2 \ A$ और $0.4 \ A$ हैं।
जंक्शन से बाहर निकलने वाली धाराएँ $0.5 \ A$ और $0.8 \ A$ हैं।
$KCL$ लागू करने पर: $I + 0.2 + 0.4 = 0.5 + 0.8$
$I + 0.6 = 1.3$
$I = 1.3 - 0.6 = 0.7 \ A$

(B) किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार,किसी जंक्शन पर आने वाली धाराओं का योग जंक्शन से बाहर जाने वाली धाराओं के योग के बराबर होता है।
$1$. पहले जंक्शन पर: कुल आने वाली धारा $1.2 \ A + 1.0 \ A = 2.2 \ A$ है। यह धारा अगले जंक्शन की ओर प्रवाहित होती है।
$2$. दूसरे जंक्शन पर: $2.2 \ A$ धारा प्रवेश करती है,और $0.2 \ A$ तथा $0.1 \ A$ बाहर निकलती है। आगे प्रवाहित होने वाली शेष धारा $2.2 \ A - (0.2 \ A + 0.1 \ A) = 2.2 \ A - 0.3 \ A = 1.9 \ A$ है।
$3$. तीसरे जंक्शन पर: $1.9 \ A$ धारा प्रवेश करती है,और एक शाखा में $0.4 \ A$ बाहर निकलती है। शेष धारा $I$ को दूसरी शाखा से बाहर निकलना चाहिए। इसलिए,$I = 1.9 \ A - 0.4 \ A = 1.5 \ A$.

(C) दिए गए परिपथ का विश्लेषण विभिन्न लूपों में किरचॉफ के वोल्टेज नियम $(KVL)$ को लागू करके किया जा सकता है।
मान लीजिए कि नोड्स को आरेख में दिखाए अनुसार लेबल किया गया है।
ऊपरी लूप (जिसमें $E_1$,$r_1$ और $R$ हैं) में $KVL$ लागू करने पर:
नोड $E$ से शुरू करके $F, B, A$ के माध्यम से वापस $E$ तक जाने पर:
शाखा $EF$ (जिसमें $E_1$ और $r_1$ हैं) से गुजरते समय: विभव में परिवर्तन $+E_1 - i_1 r_1$ होता है।
शाखा $AB$ (जिसमें $R$ है) से गुजरते समय: विभव में परिवर्तन $-(i_1+i_2)R$ होता है।
इन विभव परिवर्तनों का योग शून्य करने पर: $E_1 - i_1 r_1 - (i_1+i_2)R = 0$ प्राप्त होता है।
इसे $E_1 - (i_1+i_2)R - i_1 r_1 = 0$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,यह विकल्प $(c)$ से मेल खाता है।