Kirchhoff's Law and Whitestone Bridge Circuit solving Questions in Hindi

(D) संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए शर्त $P/Q = R/S$ है।
जब ब्रिज संतुलित होता है,तो गैल्वेनोमीटर से जुड़े दो बिंदुओं के बीच विभवांतर शून्य होता है।
कुंजी $K$ को बंद करने से दोनों बिंदु जुड़ जाते हैं,लेकिन चूंकि विभव पहले से ही समान हैं,इसलिए गैल्वेनोमीटर शाखा से कोई अतिरिक्त धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इसलिए,गैल्वेनोमीटर अपना मौजूदा विक्षेप (यदि कोई हो) बनाए रखेगा या अपनी स्थिति में कोई बदलाव नहीं दिखाएगा। दिए गए विकल्पों के अनुसार,विक्षेप वही रहेगा जो पहले था,जो सर्किट की प्रारंभिक स्थिति के आधार पर किसी भी दिशा में हो सकता है।

(A) एक संतुलित व्हीटस्टोन नेटवर्क में,संतुलन की स्थिति $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ द्वारा दी जाती है।
यदि $Q$ और $S$ भुजाओं के प्रतिरोधों को आपस में बदल दिया जाए,तो नया अनुपात $\frac{P}{S}$ और $\frac{R}{Q}$ हो जाता है।
नेटवर्क के संतुलित रहने के लिए,हमें $\frac{P}{S} = \frac{R}{Q}$ की आवश्यकता होगी,जिसका अर्थ है $PQ = RS$। यह सामान्यतः सत्य नहीं है जब तक कि $Q = S$ न हो।
अतः,$\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ की स्थिति अब संतुष्ट नहीं होती है,और नेटवर्क संतुलित नहीं रहता है।

(C) पोस्ट ऑफिस बॉक्स व्हीटस्टोन ब्रिज का एक व्यावहारिक रूप है। इस व्यवस्था में,अज्ञात प्रतिरोध $X$ को टर्मिनल $A$ और $D$ के बीच जोड़ा जाता है। भुजाएँ $AB$ और $BC$ अनुपात भुजाओं ($P$ और $Q$) के रूप में कार्य करती हैं,जबकि भुजा $CD$ में ज्ञात प्रतिरोध बॉक्स $(R)$ होता है। जब ब्रिज संतुलित होता है,तो अज्ञात प्रतिरोध $X = (Q/P) \times R$ द्वारा दिया जाता है।

(C) व्हीटस्टोन ब्रिज को संतुलित तब कहा जाता है जब गैल्वेनोमीटर $(G)$ से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
दिए गए परिपथ में,प्रतिरोध $P$ और $S$ एक भुजा में हैं,और $R$ और $Q$ दूसरी भुजा में हैं।
संतुलित ब्रिज के लिए,विपरीत भुजाओं में प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए।
विशेष रूप से,गैल्वेनोमीटर के दोनों टर्मिनलों पर विभव समान होना चाहिए।
संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज की स्थिति को लागू करने पर,आसन्न भुजाओं में प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{P}{S} = \frac{R}{Q}$ होना चाहिए,जिसे $\frac{P}{R} = \frac{S}{Q}$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।
इसलिए,विकल्प $C$ सही संबंध है।

(B) चित्र में दिखाए गए दो लूपों के लिए किरचॉफ के वोल्टेज नियम को लागू करने पर:
लूप $1$ के लिए:
$E_1 - I_1 R_1 - (I_1 - I_2) R_3 = 0$
$4 - 2I_1 - 2(I_1 - I_2) = 0$
$4 - 4I_1 + 2I_2 = 0$
$2I_1 - I_2 = 2$ ... $(i)$
लूप $2$ के लिए:
दिए गए लूप आरेख का उपयोग करने पर:
$-2(I_1 - I_2) + 4I_2 - 6 = 0$
$-2I_1 + 2I_2 + 4I_2 = 6$
$-2I_1 + 6I_2 = 6$
$-I_1 + 3I_2 = 3$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
$(i)$ से,$I_2 = 2I_1 - 2$.
इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$-I_1 + 3(2I_1 - 2) = 3$
$-I_1 + 6I_1 - 6 = 3$
$5I_1 = 9$
$I_1 = 1.8 \,A$.

(C) धारा $I$ के प्रतिरोध $R_6$ से स्वतंत्र होने के लिए,$R_6$ के सिरों पर विभवांतर शून्य होना चाहिए,या $R_6$ से कोई धारा प्रवाहित नहीं होनी चाहिए।
यह तब होता है जब परिपथ एक संतुलित व्हीटस्टोन सेतु बनाता है।
दिए गए परिपथ में,$R_1, R_2, R_3$ और $R_4$ एक व्हीटस्टोन सेतु की भुजाएं बनाते हैं और $R_6$ केंद्रीय गैल्वेनोमीटर भुजा के रूप में कार्य करता है।
संतुलित व्हीटस्टोन सेतु के लिए शर्त यह है कि विपरीत भुजाओं में प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए,जो कि $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}$ है।
इसका वज्र-गुणन करने पर हमें $R_1 R_4 = R_2 R_3$ प्राप्त होता है।

(B) $1$. सबसे पहले,दो $10 \ \Omega$ प्रतिरोधों के समानांतर संयोजन को सरल करें: $R_p = \frac{10 \times 10}{10 + 10} = 5 \ \Omega$.
$2$. इसके बाद,दो $6 \ \Omega$ प्रतिरोधों के समानांतर संयोजन को सरल करें: $R_p' = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = 3 \ \Omega$.
$3$. अब यह परिपथ $5 \ \Omega, 5 \ \Omega, 3 \ \Omega, 3 \ \Omega$ की भुजाओं और बीच में $8 \ \Omega$ के प्रतिरोध के साथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज संरचना में बदल जाता है।
$4$. चूंकि भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान है $(\frac{5}{5} = \frac{3}{3} = 1)$,इसलिए ब्रिज संतुलित है और बीच वाले $8 \ \Omega$ प्रतिरोध से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
$5$. परिपथ दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है,जिनमें से प्रत्येक का प्रतिरोध $(5 + 3) = 8 \ \Omega$ है।
$6$. तुल्य प्रतिरोध $R_{AB} = \frac{8 \times 8}{8 + 8} = \frac{64}{16} = 4 \ \Omega$ है।

(A) माना कि केंद्रीय जंक्शन का विभव $V$ है। इस बिंदु पर किरचॉफ का जंक्शन नियम लागू करने पर,जंक्शन में प्रवेश करने वाली धाराओं का योग जंक्शन से बाहर निकलने वाली धारा के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए कि धाराएँ $i_1$ और $i_2$ क्रमशः $20 \ V$ और $5 \ V$ के स्रोतों से जंक्शन में प्रवेश करती हैं,और $i_3$ स्विच के माध्यम से ग्राउंड $(0 \ V)$ में प्रवाहित होती है:
$\frac{20 - V}{2} + \frac{5 - V}{4} = \frac{V - 0}{2}$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $4$ से गुणा करने पर:
$2(20 - V) + (5 - V) = 2V$
$40 - 2V + 5 - V = 2V$
$45 - 3V = 2V$
$5V = 45$
$V = 9 \ V$
स्विच से गुजरने वाली धारा $i_3$ इस प्रकार है:
$i_3 = \frac{V - 0}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \ A$.

(C) माना लूप में प्रवाहित धारा $I_1$ और $I_2$ है। किरचॉफ के वोल्टेज नियम $(KVL)$ को लागू करने पर:
लूप $1$ के लिए: $-1I_1 - 3(I_1 - I_{XY}) = 0$।
नोड $X$ और $Y$ पर किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ का उपयोग करने पर, और दिए गए समाधान तर्क के अनुसार गणना करने पर, $I_{XY} = 2 \, A$ प्राप्त होता है।

(D) किरचॉफ का प्रथम नियम,जिसे जंक्शन नियम या धारा नियम $(KCL)$ के रूप में भी जाना जाता है,बताता है कि एक जंक्शन पर मिलने वाली धाराओं का बीजगणितीय योग शून्य होता है $(\Sigma i = 0)$। यह आवेश के संरक्षण के नियम का सीधा परिणाम है,क्योंकि जंक्शन पर आवेश जमा नहीं हो सकता है।
किरचॉफ का द्वितीय नियम,जिसे लूप नियम या वोल्टेज नियम $(KVL)$ के रूप में भी जाना जाता है,बताता है कि किसी भी बंद लूप के चारों ओर विभवांतर का बीजगणितीय योग शून्य होता है $(\Sigma iR = \Sigma E)$। यह ऊर्जा के संरक्षण के नियम का सीधा परिणाम है,क्योंकि एक स्थिर वैद्युत क्षेत्र में एक बंद लूप के चारों ओर इकाई आवेश को ले जाने में किया गया कार्य शून्य होता है।

(A) लूप के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर:
बिंदु $A$ से शुरू करके दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में आगे बढ़ने पर,हमें $10 \ \Omega$ का प्रतिरोध,$5 \ V$ की बैटरी,$20 \ \Omega$ का प्रतिरोध और $2 \ V$ की बैटरी मिलती है।
मान लीजिए कि विद्युत धारा $I$ दक्षिणावर्त दिशा में प्रवाहित हो रही है।
लूप नियम लागू करने पर: $5 \ V - 10 \ I - 2 \ V - 20 \ I = 0$
$3 \ V - 30 \ I = 0$
$30 \ I = 3 \ V$
$I = \frac{3}{30} \ A = 0.1 \ A$

(C) परिपथ में किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर,धारा $I$ की गणना इस प्रकार है:
कुल $EMF$ $= 12 \, V - 8 \, V = 4 \, V$
कुल प्रतिरोध $R = 1 \, \Omega + 2 \, \Omega + 9 \, \Omega = 12 \, \Omega$
अतः,धारा $I = \frac{V}{R} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \, A$
बिंदु $P$ और $Q$ के बीच विभवांतर $9 \, \Omega$ के प्रतिरोध के माध्यम से प्राप्त होता है:
$V_P - V_Q = I \times 9 \, \Omega = \frac{1}{3} \times 9 = 3 \, V$.

(A) यह परिपथ व्हीटस्टोन ब्रिज विन्यास को दर्शाता है।
जब केंद्रीय $5\,\Omega$ प्रतिरोधक से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,तो ब्रिज संतुलित होता है।
संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज की स्थिति के अनुसार,विपरीत भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात बराबर होना चाहिए:
$\frac{X}{18} = \frac{2}{6}$
$X = \frac{18 \times 2}{6}$
$X = 6\,\Omega$.

(C) किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार,किसी जंक्शन में प्रवेश करने वाली धाराओं का योग जंक्शन से बाहर निकलने वाली धाराओं के योग के बराबर होना चाहिए।
आइए सर्किट के जंक्शनों का विश्लेषण करें।
$1$. बाएं जंक्शन पर: $10 \, A$ प्रवेश करती है,और यह दो शाखाओं में विभाजित हो जाती है। मान लीजिए ऊपरी शाखा की धारा $I_1$ है और निचली शाखा की धारा $6 \, A$ है। अतः,$10 = I_1 + 6$,जिससे $I_1 = 4 \, A$ प्राप्त होता है।
$2$. शीर्ष जंक्शन पर: ऊपर से $1 \, A$ प्रवेश करती है और बाईं ओर से $I_1 = 4 \, A$ प्रवेश करती है। ये दोनों मिलकर दाईं शाखा में प्रवाहित होती हैं। मान लीजिए यह धारा $I_2$ है। अतः,$I_2 = 1 + 4 = 5 \, A$।
$3$. निचले जंक्शन पर: बाईं शाखा से $6 \, A$ धारा आती है और नीचे से $2 \, A$ धारा प्रवेश करती है। इस जंक्शन से दाईं शाखा में प्रवाहित होने वाली धारा $I_3$ है। $KCL$ के अनुसार,$I_3 = 6 + 2 = 8 \, A$।
$4$. दाएं जंक्शन पर: ऊपर से $I_2 = 5 \, A$ प्रवेश करती है और नीचे से $I_3 = 8 \, A$ प्रवेश करती है। ये दोनों मिलकर आउटपुट धारा $I$ बनाती हैं। अतः,$I = 5 + 8 = 13 \, A$।

(B) गैल्वेनोमीटर का पाठ्यांक शून्य है,जिसका अर्थ है कि गैल्वेनोमीटर और $2 \text{ V}$ सेल वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं हो रही है।
इसलिए,प्रतिरोध $x$ के सिरों के बीच विभवांतर उस शाखा में स्थित सेल के विद्युत वाहक बल $(EMF)$ के बराबर,यानी $2 \text{ V}$ होना चाहिए।
मान लीजिए कि $500 \text{ } \Omega$ प्रतिरोध और प्रतिरोध $x$ से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ है।
चूंकि गैल्वेनोमीटर शाखा में धारा शून्य है,इसलिए पूरी धारा $I$ प्रतिरोध $x$ से होकर गुजरती है।
$x$ के सिरों के बीच विभवांतर $V_x = I \cdot x = 2 \text{ V}$ है।
$12 \text{ V}$ स्रोत,$500 \text{ } \Omega$ प्रतिरोध और प्रतिरोध $x$ वाले बाहरी लूप के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$12 - I(500) - I(x) = 0$
$12 - 500I - 2 = 0$
$10 = 500I$
$I = \frac{10}{500} = \frac{1}{50} \text{ A}$.
अब,$I$ का मान समीकरण $I \cdot x = 2$ में रखने पर:
$\frac{1}{50} \cdot x = 2$
$x = 2 \cdot 50 = 100 \text{ } \Omega$.

(B) किरचॉफ के प्रथम नियम (जंक्शन नियम) के अनुसार,किसी जंक्शन पर मिलने वाली धाराओं का बीजगणितीय योग शून्य होता है।
चित्र के अनुसार,$5 \ A$ और $4 \ A$ की धाराएँ बिंदु $x$ की ओर आ रही हैं,जबकि $3 \ A$ और $5 \ A$ की धाराएँ बिंदु $x$ से दूर जा रही हैं।
मान लीजिए कि पाँचवीं धारा $I$ बिंदु $x$ से दूर जा रही है।
जंक्शन पर आने वाली कुल धारा = जंक्शन से जाने वाली कुल धारा
$5 \ A + 4 \ A = 3 \ A + 5 \ A + I$
$9 \ A = 8 \ A + I$
$I = 9 \ A - 8 \ A = 1 \ A$
अतः,$1 \ A$ की धारा $x$ से दूर की दिशा में प्रवाहित होगी।

(C) यह परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज है। मान लीजिए प्रतिरोध $R_1 = 3\, \Omega$,$R_2 = 4\, \Omega$,$R_3 = 6\, \Omega$,और $R_4 = 8\, \Omega$ हैं। मध्य का प्रतिरोध $R_5 = 7\, \Omega$ है।
भुजाओं के अनुपात की जाँच करने पर: $R_1/R_3 = 3/6 = 1/2$ और $R_2/R_4 = 4/8 = 1/2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $R_1/R_3 = R_2/R_4$ है,इसलिए ब्रिज संतुलित है। अतः,$7\, \Omega$ के प्रतिरोध से कोई धारा प्रवाहित नहीं होगी।
परिपथ दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है: ऊपरी शाखा में $3\, \Omega$ और $4\, \Omega$ श्रेणीक्रम में $(3+4 = 7\, \Omega)$ और निचली शाखा में $6\, \Omega$ और $8\, \Omega$ श्रेणीक्रम में $(6+8 = 14\, \Omega)$ हैं।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ के लिए: $1/R_{eq} = 1/7 + 1/14 = (2+1)/14 = 3/14$।
अतः,$R_{eq} = 14/3\, \Omega$।

(C) चूंकि गैल्वेनोमीटर कोई विक्षेप नहीं दिखाता है,इसलिए यह परिपथ एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज है।
माना $R_1$,$x \ \Omega$ और $6 \ \Omega$ के समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध है,और $R_2 = 2 \ \Omega$ है।
माना $R_3 = 6 \ \Omega$ और $R_4 = 3 \ \Omega$ है।
संतुलित ब्रिज के लिए शर्त $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}$ है।
यहाँ,$R_1 = \frac{x \cdot 6}{x + 6}$ है।
मान रखने पर: $\frac{\frac{6x}{x+6}}{2} = \frac{6}{3}$.
$\frac{6x}{2(x+6)} = 2$.
$\frac{3x}{x+6} = 2$.
$3x = 2x + 12$.
$x = 12 \ \Omega$.

(A) परिपथ $X$ और $Y$ के बीच खुला है।
चूंकि परिपथ खुला है, इसलिए इसमें कोई विद्युत धारा प्रवाहित नहीं होती है $(I = 0 \, A)$।
बिंदु $X$ से बिंदु $Y$ तक बैटरी के पथ के अनुदिश किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$X$ पर विभव $V_X$ है।
$20 \, \Omega$ के प्रतिरोधक से गुजरने पर, कोई वोल्टेज ड्रॉप नहीं होता है क्योंकि $I = 0$ है।
बैटरी के धनात्मक टर्मिनल से ऋणात्मक टर्मिनल की ओर जाने पर, विभव में $120 \, V$ की कमी होती है।
दूसरे $20 \, \Omega$ के प्रतिरोधक से गुजरने पर, कोई वोल्टेज ड्रॉप नहीं होता है।
अतः, समीकरण इस प्रकार है: $V_X - 120 \, V = V_Y$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $V_X - V_Y = 120 \, V$ प्राप्त होता है।
इसलिए, $X$ और $Y$ के बीच विभवांतर $120 \, V$ है।

(B) संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,आसन्न भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात बराबर होना चाहिए: $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S_{eq}}$,जहाँ $S_{eq}$ चौथी भुजा का तुल्य प्रतिरोध है।
चूँकि $S_1$ और $S_2$ समानांतर क्रम में जुड़े हैं,उनका तुल्य प्रतिरोध $S_{eq} = \frac{S_1 S_2}{S_1 + S_2}$ होगा।
इस मान को संतुलन की स्थिति में रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{P}{Q} = \frac{R}{(\frac{S_1 S_2}{S_1 + S_2})}$.
इसे सरल करने पर,हमें मिलता है: $\frac{P}{Q} = \frac{R(S_1 + S_2)}{S_1 S_2}$.

(B) बाएँ लूप के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर:
$2 - I_1(2 + 3) = 0$
$5I_1 = 2$
$I_1 = 0.4 \, A$
दाएँ लूप के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर:
$4 - I_2(3 + 5) = 0$
$8I_2 = 4$
$I_2 = 0.5 \, A$
$A$ और $B$ के बीच विभवांतर ज्ञात करने के लिए,$A$ से $B$ तक का मार्ग लेने पर:
$V_A - 3I_1 - 4 + 3I_2 = V_B$
$V_A - V_B = 3(0.4) + 4 - 3(0.5)$
$V_A - V_B = 1.2 + 4 - 1.5 = 3.7 \, V$
अतः,विभवांतर $-3.7 \, V$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि $5\,V$ की बैटरी से बहने वाली धारा $I$ है और $10\,\Omega$ के प्रतिरोधक से बहने वाली धारा $I_1$ है। नोड $P_2$ पर किरचॉफ के जंक्शन नियम के अनुसार,$2\,V$ की बैटरी वाली शाखा से बहने वाली धारा $I_2 = I - I_1$ होगी।
बाएँ लूप $(AD P_2 P_1 D)$ के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर: $5 - 2I - 10I_1 = 0 \implies 2I + 10I_1 = 5$.
$I = I_1 + I_2$ प्रतिस्थापित करने पर: $2(I_1 + I_2) + 10I_1 = 5 \implies 12I_1 + 2I_2 = 5$ (समीकरण $1$).
दाएँ लूप $(P_2 B C P_1 P_2)$ के लिए $KVL$ लागू करने पर: $10I_1 - 1I_2 - 2 = 0 \implies 10I_1 - I_2 = 2$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ को $2$ से गुणा करने पर: $20I_1 - 2I_2 = 4$ (समीकरण $3$).
समीकरण $1$ और समीकरण $3$ को जोड़ने पर: $(12I_1 + 2I_2) + (20I_1 - 2I_2) = 5 + 4 \implies 32I_1 = 9 \implies I_1 = 9/32 = 0.28125\,A \approx 0.27\,A$.
चूंकि $I_1$ धनात्मक है,धारा $P_2$ से $P_1$ की दिशा में बहेगी।

(D) एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,विपरीत भुजाओं में प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए,अर्थात $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$।
बाहरी लूप को देखते हुए,ब्रिज संतुलित है यदि $\frac{10}{R_1} = \frac{30}{9}$ हो।
$R_1$ के लिए हल करने पर: $R_1 = \frac{10 \times 9}{30} = 3 \ \Omega$।
एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,केंद्रीय गैल्वेनोमीटर शाखा (जिसमें $R_2$ है) के सिरों के बीच विभवांतर शून्य होता है। इसलिए,$R_2$ वाली शाखा से कोई विद्युत धारा प्रवाहित नहीं होती है। परिणामस्वरूप,$R_2$ का मान संतुलन की स्थिति को प्रभावित नहीं करता है और यह कोई भी मान हो सकता है।

(D) एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,गैल्वेनोमीटर शून्य विक्षेप दिखाता है,जिसका अर्थ है कि गैल्वेनोमीटर शाखा $(BD)$ से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इसका तात्पर्य यह है कि बिंदु $B$ पर विभव बिंदु $D$ पर विभव के बराबर है $(V_B = V_D)$।
इसलिए,$AB$ के सिरों के बीच विभवांतर $AD$ के सिरों के बीच विभवांतर के बराबर है:
$I_1 P = I_2 R$ --- $(i)$
इसी प्रकार,$BC$ के सिरों के बीच विभवांतर $DC$ के सिरों के बीच विभवांतर के बराबर है:
$I_1 Q = I_2 S$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{I_1 P}{I_1 Q} = \frac{I_2 R}{I_2 S}$
$\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$

(B) इस परिपथ को व्हीटस्टोन ब्रिज के रूप में फिर से बनाया जा सकता है।
समरूपता को देखते हुए,ऊपरी बिंदु $C$ और निचले बिंदु $D$ पर विभव समान है,या सरल शब्दों में,ब्रिज संतुलित है।
एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,बिंदुओं $C$ और $D$ के बीच जुड़े मध्य प्रतिरोधक से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इस प्रकार,परिपथ दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है,जिनमें से प्रत्येक में $R$ प्रतिरोध के दो प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं।
प्रत्येक शाखा का प्रतिरोध $R + R = 2R$ है।
चूंकि ये दो शाखाएं समानांतर में हैं,कुल समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ का मान $1/R_{eq} = 1/(2R) + 1/(2R) = 2/(2R) = 1/R$ होगा,अर्थात $R_{eq} = R$।
बैटरी से ली गई कुल धारा $I = V/R_{eq} = V/R$ है।
चूंकि दोनों शाखाएं समान हैं (प्रत्येक का प्रतिरोध $2R$ है),धारा $I$ दोनों शाखाओं में समान रूप से विभाजित हो जाती है।
इसलिए,$AFCEB$ शाखा से प्रवाहित होने वाली धारा $I/2 = (V/R) / 2 = V/(2R)$ है।

(B) चूंकि गैल्वेनोमीटर $G$ शून्य विक्षेप दर्शाता है,इसलिए गैल्वेनोमीटर वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
मान लीजिए कि बाएं लूप में प्रवाहित धारा $i$ है।
$12 \text{ V}$ की बैटरी और $500 \, \Omega$ के प्रतिरोध वाले लूप पर किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$12 - 500i - iR = 0$
$12 = i(500 + R)$
$2 \text{ V}$ की बैटरी और प्रतिरोध $R$ वाले लूप पर $KVL$ लागू करने पर:
चूंकि गैल्वेनोमीटर से कोई धारा प्रवाहित नहीं हो रही है,इसलिए $R$ के सिरों पर विभवांतर बैटरी $A$ के $EMF$ के बराबर होना चाहिए।
$iR = 2 \text{ V}$
पहले समीकरण में $i = \frac{2}{R}$ रखने पर:
$12 = \left(\frac{2}{R}\right)(500 + R)$
$12R = 1000 + 2R$
$10R = 1000$
$R = 100 \, \Omega$

(D) माना कि बाएं जंक्शन पर विभव $V_C$ है और दाएं जंक्शन पर विभव $V_D$ है। माना $V_C = V$ और $V_D = 0$ है।
ऊपरी शाखा में वोल्टेज डिवाइडर नियम के अनुसार बिंदु $A$ पर विभव: $V_A = V \times \frac{4}{4+4} = \frac{V}{2}$ प्राप्त होता है।
निचली शाखा में वोल्टेज डिवाइडर नियम के अनुसार बिंदु $B$ पर विभव: $V_B = V \times \frac{3}{1+3} = \frac{3V}{4}$ प्राप्त होता है।
विभव की तुलना करने पर,$V_B = 0.75V$ और $V_A = 0.5V$ है। चूंकि $V_B > V_A$,इसलिए विभवांतर $V_B - V_A = 0.25V > 0$ है।
जब $A$ और $B$ के बीच एक चालक तार जोड़ा जाता है,तो विद्युत धारा उच्च विभव से निम्न विभव की ओर प्रवाहित होती है। अतः,धारा $B$ से $A$ की ओर प्रवाहित होगी।

(C) लूप $ABCDA$ में,धारा $I_1 = \frac{4}{2+2} = 1\ A$ (घड़ी की दिशा में)।
लूप $EFGHE$ में,धारा $I_2 = \frac{4}{3+3} = \frac{2}{3}\ A$ (घड़ी की दिशा में)।
$V_A - V_G$ ज्ञात करने के लिए,हम पथ $A-D-E-G$ के अनुदिश किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करते हैं:
$V_A - I_1(2\ \Omega) - 4\ V - I_2(3\ \Omega) = V_G$
$V_A - (1\ A)(2\ \Omega) - 4\ V - (\frac{2}{3}\ A)(3\ \Omega) = V_G$
$V_A - 2 - 4 - 2 = V_G$
$V_A - 8 = V_G$
$V_A - V_G = 8\ V$.

(C) लूप $ABD$ के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$2I_1 + I_2(G) - 3(I - I_1) = 0$। यहाँ $G = 1 \, \Omega$ लेने पर,समीकरण $5I_1 + I_2 = 3I \dots(1)$ प्राप्त होता है।
लूप $BCD$ के लिए $KVL$ लागू करने पर:
$3(I_1 - I_2) - 2(I - I_1 + I_2) - I_2 = 0 \Rightarrow 5I_1 - 6I_2 = 2I \dots(2)$
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ घटाने पर:
$7I_2 = I \Rightarrow I_2 = I/7$।
$I = 7I_2$ को $(1)$ में रखने पर:
$5I_1 = 20I_2 \Rightarrow I_1 = 4I_2$।
बाहरी लूप के लिए $KVL$ लागू करने पर:
$10 - 1(I) - 2I_1 - 3(I_1 - I_2) = 0$
$10 - 7I_2 - 8I_2 - 9I_2 = 0 \Rightarrow 10 = 24I_2 \Rightarrow I_2 = 5/12 \, A$।
अतः $I = 7 \times (5/12) = 35/12 = 70/24 \, A$।

(C) एमीटर से प्रवाहित होने वाली धारा ज्ञात करने के लिए,हम किरचॉफ के नियमों का उपयोग कर सकते हैं या नेटवर्क को सरल बना सकते हैं।
दो $2 \ V$ की बैटरी अपने संबंधित $2 \ \Omega$ के आंतरिक प्रतिरोधों के साथ समानांतर में जुड़ी हुई हैं।
तुल्य $EMF$ $E_{eq} = \frac{E_1/r_1 + E_2/r_2}{1/r_1 + 1/r_2} = \frac{2/2 + 2/2}{1/2 + 1/2} = 2 \ V$ प्राप्त होता है।
तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2} = \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1 \ \Omega$ प्राप्त होता है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = r_{eq} + 2 \ \Omega = 1 + 2 = 3 \ \Omega$ होता है।
अतः,एमीटर से प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{E_{eq}}{R_{total}} = \frac{2}{3} \ A$ प्राप्त होती है।

(D) संतुलित व्हीटस्टोन सेतु के लिए,विपरीत भुजाओं में प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए। $100 \ \Omega$ और $R$ के समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{100 \times R}{100 + R}$ है।
सेतु के संतुलित होने की शर्त है:
$\frac{100}{200} = \frac{R_{eq}}{40}$
$R_{eq}$ का मान रखने पर:
$\frac{1}{2} = \frac{100R}{40(100 + R)}$
$\frac{1}{2} = \frac{10R}{4(100 + R)}$
$4(100 + R) = 20R$
$400 + 4R = 20R$
$16R = 400$
$R = \frac{400}{16} = 25 \ \Omega$.

(B) यह परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज है। संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए शर्त $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ है।
यहाँ,$\frac{4}{2} = 2$ और $\frac{10}{5} = 2$ है। चूँकि अनुपात समान हैं,इसलिए ब्रिज संतुलित है।
एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,मध्य शाखा $BD$ से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
मान लीजिए कि ऊपरी शाखा $ABC$ से प्रवाहित धारा $I_1$ है और निचली शाखा $ADC$ से प्रवाहित धारा $I_2$ है।
चूँकि कुल धारा $7 \ A$ है,इसलिए $I_1 + I_2 = 7 \ A$ होगा।
ऊपरी शाखा $AC$ के सिरों पर विभवांतर $V_{AC} = I_1(4 + 2) = 6I_1$ है।
निचली शाखा $AC$ के सिरों पर विभवांतर $V_{AC} = I_2(10 + 5) = 15I_2$ है।
दोनों को बराबर करने पर,$6I_1 = 15I_2$,जिससे हमें $I_1 = 2.5I_2$ प्राप्त होता है।
$I_1 = 2.5I_2$ को $I_1 + I_2 = 7$ में रखने पर,हमें $2.5I_2 + I_2 = 7$ प्राप्त होता है,इसलिए $3.5I_2 = 7$,जिसका अर्थ है कि $I_2 = 2 \ A$ है।
अतः $I_1 = 7 - 2 = 5 \ A$ है।
$B$ और $C$ के बीच विभवांतर $V_{BC} = I_1 \times R_{BC} = 5 \ A \times 2 \ \Omega = 10 \ V$ होगा।

(A) मान लीजिए नोड्स $X$,$A$,$B$ और $Y$ हैं। परिपथ आरेख के अनुसार:
$1$. $10 \, \Omega$ का प्रतिरोध $X$ और $A$ के बीच जुड़ा है।
$2$. $10 \, \Omega$ का प्रतिरोध $X$ और $B$ के बीच जुड़ा है।
$3$. $20 \, \Omega$ का प्रतिरोध $A$ और $B$ के बीच जुड़ा है।
$4$. $10 \, \Omega$ का प्रतिरोध $A$ और $Y$ के बीच जुड़ा है।
$5$. $10 \, \Omega$ का प्रतिरोध $B$ और $Y$ के बीच जुड़ा है।
यह एक व्हीटस्टोन ब्रिज विन्यास है। चूंकि भुजाओं में प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{10}{10} = \frac{10}{10}$ है,इसलिए ब्रिज संतुलित है।
अतः,$A$ और $B$ के बीच जुड़े $20 \, \Omega$ के प्रतिरोध से कोई धारा प्रवाहित नहीं होगी।
परिपथ दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है,जिनमें से प्रत्येक में दो $10 \, \Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं:
शाखा $1$ $(X-A-Y)$: $10 \, \Omega + 10 \, \Omega = 20 \, \Omega$
शाखा $2$ $(X-B-Y)$: $10 \, \Omega + 10 \, \Omega = 20 \, \Omega$
अब,ये दो $20 \, \Omega$ की शाखाएं समानांतर में हैं:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$
$R_{eq} = 10 \, \Omega$

(C) परिपथ का विश्लेषण व्हीटस्टोन ब्रिज संरचना को पहचान कर किया जा सकता है।
परिपथ को देखने पर,मध्य भाग एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज बनाता है क्योंकि भुजाओं में प्रतिरोधों का अनुपात समान है $(10/10 = 10/10)$।
एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,मध्य प्रतिरोधक से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,इसलिए इसे हटाया जा सकता है।
मध्य प्रतिरोधक को हटाने के बाद,परिपथ बिंदु $A$ और $D$ के बीच तीन $10 \,\Omega$ प्रतिरोधकों के श्रेणी संयोजन में सरल हो जाता है।
अतः,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = 10 \,\Omega + 10 \,\Omega + 10 \,\Omega = 30 \,\Omega$ है।

(D) $1$. सबसे पहले,समानांतर संयोजनों को सरल करें: समानांतर में दो $10 \ \Omega$ प्रतिरोधक $R_1 = (10 \times 10) / (10 + 10) = 5 \ \Omega$ देते हैं। समानांतर में दो $6 \ \Omega$ प्रतिरोधक $R_2 = (6 \times 6) / (6 + 6) = 3 \ \Omega$ देते हैं।
$2$. अब परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज संरचना में सरल हो जाता है। बाईं ओर $5 \ \Omega$ और $5 \ \Omega$ की भुजाएँ हैं,और दाईं ओर $3 \ \Omega$ और $3 \ \Omega$ की भुजाएँ हैं,जिसके बीच में $8 \ \Omega$ का प्रतिरोधक है।
$3$. संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज की स्थिति की जाँच करें: $P/Q = 5/5 = 1$ और $R/S = 3/3 = 1$। चूंकि $P/Q = R/S$,इसलिए ब्रिज संतुलित है।
$4$. एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,केंद्रीय $8 \ \Omega$ प्रतिरोधक से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। अतः,इसे हटाया जा सकता है।
$5$. अब तुल्य प्रतिरोध $(5 + 5) \ \Omega$ और $(3 + 3) \ \Omega$ का समानांतर संयोजन है,जो $10 \ \Omega$ और $6 \ \Omega$ का समानांतर संयोजन है।
$6$. $R_{eq} = (10 \times 6) / (10 + 6) = 60 / 16 = 3.75 \ \Omega$.

(B) यह परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज को दर्शाता है जहाँ बिंदुओं $B$ और $D$ के बीच विभवांतर शून्य है। इसका अर्थ है कि ब्रिज संतुलित है।
संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,विपरीत भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए: $\frac{R_{AB}}{R_{BC}} = \frac{R_{AD}}{R_{DC}}$.
यहाँ,$R_{AB} = 12 \, \Omega + 4 \, \Omega = 16 \, \Omega$.
$R_{BC} = x$.
$R_{AD} = 1 \, \Omega + 3 \, \Omega = 4 \, \Omega$.
$R_{DC}$ समांतर क्रम में जुड़े दो $1 \, \Omega$ प्रतिरोधों से बना है,इसलिए $R_{DC} = \frac{1 \times 1}{1 + 1} = 0.5 \, \Omega$.
संतुलन की स्थिति लागू करने पर: $\frac{16}{x} = \frac{4}{0.5}$.
$\frac{16}{x} = 8$.
$x = \frac{16}{8} = 2 \, \Omega$.

(C) विभवांतर $(V_A - V_B)$ ज्ञात करने के लिए,हम बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक किरचॉफ के वोल्टेज नियम $(KVL)$ का उपयोग करेंगे।
बिंदु $A$ पर विभव $V_A$ है।
धारा $(2 \ A)$ की दिशा में $2 \ \Omega$ के प्रतिरोध से गुजरने पर,विभव में $I \times R = 2 \ A \times 2 \ \Omega = 4 \ V$ की गिरावट होती है।
इसके बाद,हम $3 \ V$ की बैटरी को ऋण टर्मिनल से धन टर्मिनल की ओर पार करते हैं,जो $+ 3 \ V$ की वृद्धि है।
फिर,हम धारा की दिशा में $1 \ \Omega$ के प्रतिरोध से गुजरते हैं,जो $I \times R = 2 \ A \times 1 \ \Omega = 2 \ V$ की गिरावट है।
इसे बिंदु $B$ के विभव $(V_B)$ के बराबर रखने पर:
$V_A - 4 \ V + 3 \ V - 2 \ V = V_B$
$V_A - 3 \ V = V_B$
$V_A - V_B = + 3 \ V$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) मान लीजिए कि बाएं लूप में धारा $i_1$ है और $BD$ शाखा में लगे प्रतिरोध से बहने वाली धारा $i_2$ है।
बाएं लूप के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर ($D$ से $A$ से $B$ से $D$ तक):
$15 - 6i_1 - 3i_2 = 0 \implies 6i_1 + 3i_2 = 15 \implies 2i_1 + i_2 = 5$ ... $(i)$
दाएं लूप के लिए $KVL$ लागू करने पर ($D$ से $B$ से $C$ से $D$ तक):
$-3(i_1 - i_2) - 30 + 3i_2 = 0$ (नोट: $B$ पर जंक्शन नियम के अनुसार $BC$ से बहने वाली धारा $i_1 - i_2$ है)
$-3i_1 + 3i_2 + 3i_2 = 30 \implies -3i_1 + 6i_2 = 30 \implies -i_1 + 2i_2 = 10$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ को $1$ से और समीकरण $(ii)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$2i_1 + i_2 = 5$
$-2i_1 + 4i_2 = 20$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$5i_2 = 25 \implies i_2 = 5 \, A$.
अतः,$BD$ से होकर बहने वाली धारा $5 \, A$ है।

(C) किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार,किसी जंक्शन में प्रवेश करने वाली धाराओं का योग उस जंक्शन से बाहर निकलने वाली धाराओं के योग के बराबर होता है।
पूरे परिपथ को एक एकल नोड के रूप में मानते हुए या जंक्शनों पर $KCL$ लागू करने पर,परिपथ में प्रवेश करने वाली कुल धारा,परिपथ से बाहर निकलने वाली कुल धारा के बराबर होनी चाहिए।
प्रवेश करने वाली कुल धारा = $15\,A + 3\,A + 5\,A = 23\,A$.
बाहर निकलने वाली कुल धारा = $i$.
अतः,$i = 23\,A$.

(D) माना कि ऊपरी जंक्शन पर विभव $V$ है और निचले जंक्शन पर $0 \, V$ है।
लूप $1$ (बाएं) के लिए: $28 i_1 + 6 + 8 = 0 \Rightarrow 28 i_1 = -14 \Rightarrow i_1 = -0.5 \, A$.
लूप $2$ (दाएं) के लिए: $54 i_2 + 6 + 12 = 0 \Rightarrow 54 i_2 = -18 \Rightarrow i_2 = -1/3 \, A$.
केंद्रीय जंक्शन पर,किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार: $i_3 = i_1 + i_2 = -0.5 - 1/3 = -3/6 - 2/6 = -5/6 \, A$.

(A) यह परिपथ एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज को दर्शाता है क्योंकि एमीटर से कोई धारा प्रवाहित नहीं हो रही है।
संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए: $\frac{X}{P} = \frac{R}{Q}$.
यहाँ $P = 20\,r$,$Q = 80\,r$,और $R = 1\,\Omega$ दिया गया है।
इन मानों को संतुलन की स्थिति में रखने पर: $\frac{X}{20\,r} = \frac{1}{80\,r}$.
$X$ के लिए हल करने पर: $X = \frac{20\,r}{80\,r} = \frac{20}{80} = 0.25\,\Omega$.

(A) किरचॉफ का प्रथम नियम,जिसे जंक्शन नियम के रूप में भी जाना जाता है,बताता है कि एक जंक्शन पर मिलने वाली धाराओं का बीजगणितीय योग शून्य होता है। यह आवेश संरक्षण के नियम का सीधा परिणाम है,क्योंकि जंक्शन पर आवेश जमा नहीं हो सकता है।
किरचॉफ का द्वितीय नियम,जिसे लूप नियम के रूप में भी जाना जाता है,बताता है कि किसी भी बंद लूप में विभवांतर का बीजगणितीय योग शून्य होता है। यह ऊर्जा संरक्षण के नियम का सीधा परिणाम है,क्योंकि इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र में एक बंद लूप के चारों ओर एक इकाई आवेश को ले जाने में किया गया कार्य शून्य होता है।

(A) माना $S$ और $6 \,\Omega$ के समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $X$ है।
समानांतर संयोजन के लिए,तुल्य प्रतिरोध $X$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\frac{1}{X} = \frac{1}{S} + \frac{1}{6} \quad \dots(i)$
एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,शर्त $\frac{P}{Q} = \frac{R}{X}$ होती है।
दिया गया है $P = Q = R = 2 \,\Omega$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2}{2} = \frac{2}{X} \implies 1 = \frac{2}{X} \implies X = 2 \,\Omega$.
अब,समीकरण $(i)$ में $X = 2 \,\Omega$ रखने पर:
$\frac{1}{2} = \frac{1}{S} + \frac{1}{6}$
$\frac{1}{S} = \frac{1}{2} - \frac{1}{6}$
$\frac{1}{S} = \frac{3 - 1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
अतः,$S = 3 \,\Omega$।

(D) लूप $ABFE$ के लिए किरचॉफ के वोल्टेज नियम को लागू करने पर:
बिंदु $A$ से शुरू करके $B$ की ओर बढ़ते हुए,प्रतिरोध $R$ के सिरों पर विभव पतन $-(i_1 + i_2)R$ है।
शाखा $F$ से $E$ की ओर बढ़ते हुए,जिसमें $\varepsilon_1$ और $r_1$ हैं,हम पहले बैटरी के ऋणात्मक टर्मिनल का सामना करते हैं,इसलिए हम $\varepsilon_1$ जोड़ते हैं,और फिर हम धारा $i_1$ की दिशा में प्रतिरोध $r_1$ से गुजरते हैं,जिसके परिणामस्वरूप $-i_1 r_1$ का विभव पतन होता है।
विभव परिवर्तनों के योग को शून्य के बराबर रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-(i_1 + i_2)R + \varepsilon_1 - i_1 r_1 = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\varepsilon_1 - (i_1 + i_2)R - i_1 r_1 = 0$

(D) किरचॉफ का जंक्शन नियम,जिसे किरचॉफ का प्रथम नियम भी कहा जाता है,बताता है कि एक जंक्शन पर मिलने वाली धाराओं का बीजगणितीय योग शून्य होता है। यह आवेश के संरक्षण का सीधा परिणाम है,क्योंकि जंक्शन पर आवेश न तो उत्पन्न किया जा सकता है और न ही नष्ट किया जा सकता है।
किरचॉफ का लूप नियम,जिसे किरचॉफ का दूसरा नियम भी कहा जाता है,बताता है कि किसी भी बंद लूप में विभवांतर का बीजगणितीय योग शून्य होता है। यह ऊर्जा के संरक्षण का सीधा परिणाम है,क्योंकि एक इकाई आवेश को एक बंद लूप में घुमाने में किया गया कार्य शून्य होना चाहिए।
इसलिए,कथन $(A)$ और $(B)$ दोनों सही हैं।

(A) संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए, शर्त $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ है。
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{10 \, \Omega}{30 \, \Omega} = \frac{30 \, \Omega}{90 \, \Omega}$, जो सरल होकर $\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ हो जाता है。
चूंकि ब्रिज संतुलित है, इसलिए गैल्वेनोमीटर शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। अतः, $50 \, \Omega$ का गैल्वेनोमीटर प्रतिरोध अप्रभावी हो जाता है。
परिपथ दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है: $(P+Q)$ और $(R+S)$ समानांतर में, जो आंतरिक प्रतिरोध $r = 5 \, \Omega$ के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं。
समानांतर भाग का तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{(P+Q)(R+S)}{(P+Q)+(R+S)} = \frac{(10+30)(30+90)}{(10+30)+(30+90)} = \frac{40 \times 120}{40+120} = \frac{4800}{160} = 30 \, \Omega$ है。
परिपथ का कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = r + R_p = 5 \, \Omega + 30 \, \Omega = 35 \, \Omega$ है。
सेल से ली गई धारा $I = \frac{E}{R_{eq}} = \frac{7 \, V}{35 \, \Omega} = 0.2 \, A$ है।

(B) किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार,किसी जंक्शन में प्रवेश करने वाली धाराओं का योग उससे बाहर निकलने वाली धाराओं के योग के बराबर होता है।
परिपथ का बाएं से दाएं चरण-दर-चरण विश्लेषण करने पर:
$1$. पहले जंक्शन पर,$2 \ A$ और $3 \ A$ प्रवेश करते हैं,इसलिए $5 \ A$ की धारा अगले जंक्शन की ओर जाती है।
$2$. अगले ऊर्ध्वाधर जंक्शन पर,बाईं ओर से $5 \ A$ और नीचे से $4 \ A$ प्रवेश करते हैं,जिनका कुल योग $9 \ A$ है। इसमें से $1 \ A$ ऊपर की ओर और $2 \ A$ दाईं ओर निकल जाते हैं,इसलिए $9 - 1 - 2 = 6 \ A$ की धारा नीचे के जंक्शन की ओर प्रवाहित होनी चाहिए।
$3$. दाईं ओर के अंतिम जंक्शन पर,बाईं ओर से $6 \ A$ और दाईं ओर से $2 \ A$ प्रवेश करते हैं। अतः,इस जंक्शन से बाहर निकलने वाली कुल धारा $i = 6 \ A + 2 \ A = 8 \ A$ दाईं ओर होगी।

(A) मान लीजिए कि नोड $D$ पर विभव $0 \, V$ है। तब नोड $B$ पर विभव $V_B$ है।
नोड $B$ पर किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{V_B - 15}{6} + \frac{V_B - 0}{3} + \frac{V_B - 30}{3} = 0$
$6$ से गुणा करने पर:
$(V_B - 15) + 2V_B + 2(V_B - 30) = 0$
$V_B - 15 + 2V_B + 2V_B - 60 = 0$
$5V_B = 75$
$V_B = 15 \, V$
शाखा $BD$ से होकर बहने वाली धारा $I_{BD} = \frac{V_B - V_D}{3} = \frac{15 - 0}{3} = 5 \, A$ है।

(C) मान लीजिए कि परिपथ में विद्युत धारा $I$ वामावर्त (anticlockwise) दिशा में प्रवाहित होती है।
पूरे लूप के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$15 + 3 = (1 + 2 + R) I$
$18 = (3 + R) I$
$I = \frac{18}{3 + R}$
दिया गया है कि बिंदु $a$ और $b$ के बीच विभवांतर शून्य है $(V_{ab} = 0)$:
$a$ से $b$ तक $3\,V$ की बैटरी से होते हुए:
$V_a - 3 + I(1) = V_b$
$V_a - V_b = 3 - I = 0$
$I = 3\,A$
लूप समीकरण में $I$ का मान रखने पर:
$3 = \frac{18}{3 + R}$
$3 + R = 6$
$R = 3\,\Omega$