Kirchhoff's Law and Whitestone Bridge Circuit solving Questions in Hindi

(B) यह परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज विन्यास है। मध्य प्रतिरोध $(5 \Omega)$ से कोई धारा प्रवाहित न होने के लिए ब्रिज का संतुलित होना आवश्यक है।
संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए: $\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{R_{BC}}{R_{DC}}$.
यहाँ,$R_{AB} = 10 \Omega$,$R_{AD} = 20 \Omega$,$R_{BC} = 15 \Omega$,और $R_{DC} = 30 \Omega$ है।
अनुपातों की जाँच करने पर: $\frac{10}{20} = 0.5$ और $\frac{15}{30} = 0.5$.
चूंकि अनुपात समान हैं,ब्रिज संतुलित है और $5 \Omega$ के प्रतिरोध से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इस स्थिति में,$10 \Omega$ और $15 \Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं,और $20 \Omega$ तथा $30 \Omega$ के प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं।
ऊपरी शाखा का प्रतिरोध: $R_1 = 10 \Omega + 15 \Omega = 25 \Omega$.
निचली शाखा का प्रतिरोध: $R_2 = 20 \Omega + 30 \Omega = 50 \Omega$.
ये दोनों शाखाएँ समांतर क्रम में हैं। तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{25} + \frac{1}{50} = \frac{2+1}{50} = \frac{3}{50}$.
$R_{eq} = \frac{50}{3} \Omega \approx 16.67 \Omega$.
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,हमें $17 \Omega$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज है। मान लीजिए कि $A$ पर विभव $0 \ V$ है और $B$ पर $16 \ V$ है।
चूंकि ब्रिज संतुलित है (सभी प्रतिरोध $R = 4 \ \Omega$ के बराबर हैं),इसलिए $C$ और $D$ पर विभव समान होगा।
हालाँकि,हम परिपथ को यह नोट करके सरल बना सकते हैं कि पथ $ACB$ में श्रेणीक्रम में दो प्रतिरोध हैं,जिनमें से प्रत्येक $R = 4 \ \Omega$ है।
पथ $ACB$ का कुल प्रतिरोध $R_{ACB} = R + R = 4 \ \Omega + 4 \ \Omega = 8 \ \Omega$ है।
पथ $ACB$ के सिरों पर विभवांतर बैटरी के वोल्टेज के समान है,जो $16 \ V$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,पथ $ACB$ से होकर बहने वाली धारा $I = \frac{V}{R_{ACB}} = \frac{16 \ V}{8 \ \Omega} = 2 \ A$ है।

(D) संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,स्थिति $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ होती है,जहाँ $S$ चौथी भुजा का तुल्य प्रतिरोध है।
दिए गए परिपथ में,चौथी भुजा में दो प्रतिरोध $S_1$ और $S_2$ समानांतर क्रम में जुड़े हैं।
समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $S$ इस प्रकार है: $\frac{1}{S} = \frac{1}{S_1} + \frac{1}{S_2} = \frac{S_1+S_2}{S_1 S_2}$.
इसलिए,$S = \frac{S_1 S_2}{S_1+S_2}$.
इस मान को संतुलन स्थिति $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{P}{Q} = \frac{R}{\left(\frac{S_1 S_2}{S_1+S_2}\right)} = \frac{R(S_1+S_2)}{S_1 S_2}$.

(C) दिया गया परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज है। प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ है,जिसका अर्थ है कि ब्रिज संतुलित है। इसलिए,गैल्वेनोमीटर से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है और ऊपरी तथा निचली शाखाओं के प्रतिरोध समानांतर क्रम में हैं।
परिपथ का प्रभावी प्रतिरोध $R_{\text{eff}}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{\text{eff}}} = \frac{1}{8+4} + \frac{1}{10+5} = \frac{1}{12} + \frac{1}{15} = \frac{5+4}{60} = \frac{9}{60} = \frac{3}{20} \ \Omega^{-1}$
$R_{\text{eff}} = \frac{20}{3} \ \Omega \approx 6.67 \ \Omega$
परिपथ का कुल विभवांतर $V_{AC}$ है:
$V_{AC} = I \times R_{\text{eff}} = 4 \ \text{A} \times \frac{20}{3} \ \Omega = \frac{80}{3} \ \text{V} \approx 26.67 \ \text{V}$
चूंकि ब्रिज संतुलित है,$B$ और $D$ पर विभव समान है। ऊपरी शाखा $(A-B-C)$ से प्रवाहित होने वाली धारा:
$I_{upper} = \frac{V_{AC}}{R_{AB} + R_{BC}} = \frac{80/3}{8+4} = \frac{80/3}{12} = \frac{80}{36} = \frac{20}{9} \ \text{A} \approx 2.22 \ \text{A}$
$A$ और $B$ के बीच विभवांतर है:
$V_{AB} = I_{upper} \times R_{AB} = \frac{20}{9} \ \text{A} \times 8 \ \Omega = \frac{160}{9} \ \text{V} \approx 17.78 \ \text{V}$
निकटतम पूर्णांक में,$V_{AB} \approx 18 \ \text{V}$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए परिपथ को चित्र में दिखाए अनुसार एक व्हीटस्टोन ब्रिज के रूप में फिर से बनाया जा सकता है।
मान लीजिए प्रतिरोध $R_1 = 6 \ \Omega$,$R_2 = 6 \ \Omega$,$R_3 = 4 \ \Omega$,$R_4 = 4 \ \Omega$ हैं और मध्य प्रतिरोध $R_5 = 10 \ \Omega$ है।
संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए शर्त $\frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_4}$ है।
यहाँ,$\frac{6}{4} = 1.5$ और $\frac{6}{4} = 1.5$ है।
चूंकि $\frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_4}$ है,इसलिए ब्रिज संतुलित है और $10 \ \Omega$ के प्रतिरोध से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इस प्रकार,परिपथ दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है,जिनमें से प्रत्येक में दो प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं।
ऊपरी शाखा का प्रतिरोध $R_{up} = 6 \ \Omega + 4 \ \Omega = 10 \ \Omega$ है।
निचली शाखा का प्रतिरोध $R_{low} = 6 \ \Omega + 4 \ \Omega = 10 \ \Omega$ है।
परिपथ का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$।
अतः,$R_{eq} = 5 \ \Omega$ है।
बैटरी से ली गई धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12 \ V}{5 \ \Omega} = 2.4 \ A$ है।

(D) सबसे पहले,हम जांचते हैं कि क्या व्हीटस्टोन ब्रिज संतुलित है। संतुलित ब्रिज के लिए शर्त $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ है।
यहाँ,$P = 5 \Omega$,$Q = 10 \Omega$,$R = 20 \Omega$,और $S = 40 \Omega$ है।
अनुपातों की गणना करने पर: $\frac{P}{Q} = \frac{5}{10} = 0.5$ और $\frac{R}{S} = \frac{20}{40} = 0.5$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ है,इसलिए ब्रिज संतुलित है।
एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,गैल्वेनोमीटर से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है $(I_g = 0)$।
जंक्शन $D$ पर किरचॉफ के धारा नियम को लागू करने पर,$40 \Omega$ के प्रतिरोध में प्रवेश करने वाली धारा वही है जो $20 \Omega$ के प्रतिरोध से प्रवाहित होने वाली धारा $I_2$ है,क्योंकि गैल्वेनोमीटर शाखा के माध्यम से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इसलिए,$40 \Omega$ के प्रतिरोध से प्रवाहित होने वाली धारा $I_2$ है।

(B) मान लीजिए कि बिंदु $P$ पर प्रवेश करने वाली कुल धारा $I = 2.1 \text{ A}$ है।
मान लीजिए कि ऊपरी शाखा ($PQ$ और $QR$) से बहने वाली धारा $i$ है।
अतः,निचली शाखा ($PS$ और $SR$) से बहने वाली धारा $(I - i) = (2.1 - i) \text{ A}$ होगी।
दोनों रास्तों पर $P$ और $R$ के बीच विभवांतर समान होता है:
$V_{PR} = i(R_{PQ} + R_{QR}) = (I - i)(R_{PS} + R_{SR})$
$V_{PR} = i(5 + 1) = (2.1 - i)(12.5 + 2.5)$
$6i = (2.1 - i)(15)$
$6i = 31.5 - 15i$
$21i = 31.5$
$i = \frac{31.5}{21} = 1.5 \text{ A}$.
इस प्रकार,$1 \Omega$ प्रतिरोध से बहने वाली धारा $1.5 \text{ A}$ है।

(C) संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,स्थिति $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ है,जहाँ $S$ चौथी भुजा का प्रतिरोध है।
इस मामले में,चौथी भुजा में दो प्रतिरोध $S_1$ और $S_2$ समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
समानांतर क्रम में दो प्रतिरोधों का तुल्य प्रतिरोध $S$ इस प्रकार दिया जाता है: $\frac{1}{S} = \frac{1}{S_1} + \frac{1}{S_2} = \frac{S_1 + S_2}{S_1 S_2}$।
इसलिए,$S = \frac{S_1 S_2}{S_1 + S_2}$।
$S$ के इस मान को संतुलन स्थिति $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ में रखने पर,हमें $\frac{P}{Q} = \frac{R}{\left(\frac{S_1 S_2}{S_1 + S_2}\right)}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{P}{Q} = \frac{R(S_1 + S_2)}{S_1 S_2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया परिपथ एक संतुलित व्हीटस्टोन सेतु है क्योंकि भुजाओं में प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ है।
चूंकि सेतु संतुलित है,इसलिए मध्य के $5 \Omega$ प्रतिरोधक से कोई धारा प्रवाहित नहीं होगी।
अतः,$5 \Omega$ के प्रतिरोधक को परिपथ से हटाया जा सकता है।
अब,ऊपरी शाखा में $3 \Omega$ और $2 \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं,जिससे कुल प्रतिरोध $3 + 2 = 5 \Omega$ प्राप्त होता है।
निचली शाखा में भी $3 \Omega$ और $2 \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं,जिससे कुल प्रतिरोध $3 + 2 = 5 \Omega$ प्राप्त होता है।
ये दोनों शाखाएं $6 \text{ V}$ की बैटरी के समांतर क्रम में जुड़ी हुई हैं।
समांतर क्रम में जुड़े दो $5 \Omega$ प्रतिरोधकों का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{5 \times 5}{5 + 5} = 2.5 \Omega$ है।
बैटरी से ली गई धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6}{2.5} = 2.4 \text{ A}$ है।

(A) दिए गए परिपथ को व्हीटस्टोन ब्रिज के रूप में फिर से बनाया जा सकता है। प्रतिरोधों को इस तरह व्यवस्थित किया गया है कि ब्रिज संतुलित है क्योंकि भुजाओं में प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{3}{3} = \frac{2}{2} = 1$ है।
एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,मध्य के $5 \ \Omega$ प्रतिरोध से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इस प्रकार,परिपथ दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है,जिनमें से प्रत्येक में श्रेणीक्रम में दो प्रतिरोध होते हैं।
ऊपरी शाखा का प्रतिरोध $3 \ \Omega + 2 \ \Omega = 5 \ \Omega$ है।
निचली शाखा का प्रतिरोध $3 \ \Omega + 2 \ \Omega = 5 \ \Omega$ है।
इन दो समानांतर शाखाओं का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$,जिससे $R_{eq} = 2.5 \ \Omega$ प्राप्त होता है।
बैटरी से ली गई धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6 \ V}{2.5 \ \Omega} = 2.4 \ A$ है।

(B) दिए गए परिपथ आरेख में,गैल्वेनोमीटर शून्य विक्षेप दर्शाता है,जिसका अर्थ है कि व्हीटस्टोन ब्रिज संतुलित है।
संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए शर्त $\frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_4}$ है।
इसका तात्पर्य यह है कि बिंदु $A$ और $B$ पर विभव समान हैं,अर्थात $V_A = V_B$ है।
बिंदु $A$ और $B$ के बीच विभवांतर शून्य है,इसलिए गैल्वेनोमीटर से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
जब सेल को $2E$ emf और $3r$ आंतरिक प्रतिरोध वाले एक नए सेल से बदल दिया जाता है,तो मुख्य परिपथ में कुल धारा बदल जाती है,लेकिन $A$ और $B$ पर विभव का अनुपात समान रहता है क्योंकि ब्रिज संतुलन की शर्त $\frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_4}$ केवल प्रतिरोधों $R_1, R_2, R_3$ और $R_4$ पर निर्भर करती है,न कि स्रोत के emf या आंतरिक प्रतिरोध पर।
इसलिए,$V_A = V_B$ की स्थिति अभी भी बनी रहती है,और गैल्वेनोमीटर शून्य विक्षेप दिखाना जारी रखेगा।

(A) यह परिपथ दो शाखाओं का समानांतर संयोजन है। ऊपरी शाखा में $5\Omega$ और $1\Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं,और निचली शाखा में $50\Omega$ और $10\Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं। गैल्वेनोमीटर $G$ को मध्य बिंदुओं के बीच जोड़ा गया है। प्रतिरोधों का अनुपात जाँचने पर: $\frac{5}{50} = \frac{1}{10}$। चूँकि अनुपात समान है,व्हीटस्टोन ब्रिज संतुलित है और गैल्वेनोमीटर $G$ से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इस प्रकार,परिपथ दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है: एक का कुल प्रतिरोध $R_1 = 5\Omega + 1\Omega = 6\Omega$ और दूसरी का कुल प्रतिरोध $R_2 = 50\Omega + 10\Omega = 60\Omega$ है।
कुल धारा $I = 1.1A$ इन दो शाखाओं में विभाजित हो जाती है। करंट डिवाइडर नियम का उपयोग करते हुए,ऊपरी शाखा ($1\Omega$ प्रतिरोधक वाली) में धारा $I_1$ है:
$I_1 = I \times \frac{R_2}{R_1 + R_2}$
$I_1 = 1.1 \times \frac{60}{6 + 60}$
$I_1 = 1.1 \times \frac{60}{66}$
$I_1 = 1.1 \times \frac{10}{11} = 0.1 \times 10 = 1A$.

(C) दिया गया परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज है। मान लीजिए नोड्स $A, B, C, D$ हैं। प्रतिरोध $R_{AB} = 15\Omega$,$R_{BC} = 3\Omega$,$R_{AD} = 20\Omega$,$R_{CD} = 4\Omega$ और गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $R_G = 6\Omega$ है।
सबसे पहले,संतुलित स्थिति की जाँच करें: $\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{15}{20} = 0.75$ और $\frac{R_{BC}}{R_{CD}} = \frac{3}{4} = 0.75$.
चूंकि $\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{R_{BC}}{R_{CD}}$,ब्रिज संतुलित है। इसलिए,गैल्वेनोमीटर $(G)$ से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
यह परिपथ को दो समानांतर शाखाओं में सरल करता है: एक $(15+3) = 18\Omega$ के साथ और दूसरी $(20+4) = 24\Omega$ के साथ।
कुल धारा $I = 2.1 A$,$I_1$ ($18\Omega$ शाखा के माध्यम से) और $I_2$ ($24\Omega$ शाखा के माध्यम से) में विभाजित हो जाती है।
करंट डिवाइडर नियम का उपयोग करते हुए: $I_1 = I \times \frac{R_{parallel2}}{R_{parallel1} + R_{parallel2}} = 2.1 \times \frac{24}{18+24} = 2.1 \times \frac{24}{42} = 2.1 \times \frac{4}{7} = 1.2 A$.

(B) संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,शर्त $\frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_4}$ है। यहाँ,$\frac{2}{4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि ब्रिज संतुलित है,इसलिए गैल्वेनोमीटर से कोई धारा प्रवाहित नहीं होगी।
परिपथ दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है:
शाखा $1$: $R_{s1} = R_1 + R_2 = 2 \Omega + 4 \Omega = 6 \Omega$.
शाखा $2$: $R_{s2} = R_3 + R_4 = 4 \Omega + 8 \Omega = 12 \Omega$.
समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ है:
$R_{eq} = \frac{R_{s1} \times R_{s2}}{R_{s1} + R_{s2}} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4 \Omega$.
परिपथ से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10 \text{ V}}{4 \Omega} = 2.5 \text{ A}$.

(D) दिए गए परिपथ को व्हीटस्टोन ब्रिज संरचना के रूप में पहचान कर समझा जा सकता है। प्रतिरोधक बिंदु $A$ और $B$ के बीच नोड $C$ और $D$ के साथ एक ब्रिज बनाते हैं।
चूंकि सभी प्रतिरोधक $3 \ \Omega$ हैं,भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{3}{3} = \frac{3}{3}$ है,जो संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज की स्थिति को संतुष्ट करता है।
इसलिए,$C$ और $D$ के बीच जुड़े केंद्रीय प्रतिरोधक से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। हम इस प्रतिरोधक को परिपथ से हटा सकते हैं।
केंद्रीय प्रतिरोधक को हटाने के बाद,परिपथ $A$ और $B$ के बीच जुड़ी दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है:
$1$. ऊपरी शाखा में श्रेणीक्रम में दो $3 \ \Omega$ के प्रतिरोधक हैं: $R_{ACB} = 3 + 3 = 6 \ \Omega$.
$2$. निचली शाखा में श्रेणीक्रम में दो $3 \ \Omega$ के प्रतिरोधक हैं: $R_{ADB} = 3 + 3 = 6 \ \Omega$.
$3$. $A$ और $B$ के बीच समानांतर में एक सीधा $3 \ \Omega$ का प्रतिरोधक भी जुड़ा हुआ है।
अब,हमारे पास $6 \ \Omega, 6 \ \Omega$ और $3 \ \Omega$ के तीन प्रतिरोधक समानांतर में जुड़े हुए हैं।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3}$
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1 + 1 + 2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$R_{eq} = \frac{3}{2} = 1.5 \ \Omega$.

(D) किरचॉफ का लूप नियम (जिसे किरचॉफ का दूसरा नियम या वोल्टेज नियम भी कहा जाता है) बताता है कि किसी परिपथ में किसी भी बंद लूप के चारों ओर विभव में परिवर्तनों का बीजगणितीय योग शून्य होता है।
यह इस तथ्य पर आधारित है कि स्थिर-विद्युत बल एक संरक्षी बल है,जिसका अर्थ है कि एक इकाई आवेश को एक बंद पथ के चारों ओर ले जाने में किया गया कार्य शून्य होता है।
इसलिए,लूप नियम ऊर्जा संरक्षण के नियम का सीधा परिणाम है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) माना बिंदु '$O$' पर विभव $ V_{0} $ है।
जंक्शन '$O$' पर किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार,जंक्शन से बाहर जाने वाली धाराओं का योग शून्य होता है:
$ I_{1} + I_{2} + I_{3} = 0 $
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,धाराओं को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
$ \frac{V_{0}-8}{2} + \frac{V_{0}-4}{4} + \frac{V_{0}-2}{2} = 0 $
$ V_{0} $ का मान ज्ञात करने के लिए,पूरे समीकरण को $ 4 $ से गुणा करें:
$ 2(V_{0}-8) + (V_{0}-4) + 2(V_{0}-2) = 0 $
$ 2V_{0} - 16 + V_{0} - 4 + 2V_{0} - 4 = 0 $
$ 5V_{0} - 24 = 0 $
$ 5V_{0} = 24 $
$ V_{0} = \frac{24}{5} = 4.8 \,V $
अतः,बिंदु '$O$' पर विभव $ 4.8 \,V $ है।

(A) दिया गया है: $P=2 \Omega, Q=2 \Omega, R=2 \Omega, S=3 \Omega$.
संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए शर्त $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S_{eq}}$ है,जहाँ $S_{eq}$ प्रतिरोध $S$ और $X$ का समांतर संयोजन है।
जब $S$ को $X$ के साथ शंट किया जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $S_{eq} = \frac{S \cdot X}{S+X}$ होता है।
संतुलन समीकरण में मान रखने पर: $\frac{2}{2} = \frac{2}{\left(\frac{3X}{3+X}\right)}$.
इसे सरल करने पर $1 = \frac{2(3+X)}{3X}$ प्राप्त होता है।
अतः,$3X = 6 + 2X$,जिससे $X = 6 \Omega$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,ब्रिज को संतुलित करने के लिए $S$ को $6 \Omega$ के प्रतिरोध के साथ शंट किया जाना चाहिए।

(B) और $B$ के बीच विभवांतर ज्ञात करने के लिए,हम $A$ से $B$ के पथ पर किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करते हैं।
बिंदु $A$ से शुरू करते हुए,धारा $I = 2 \ A$ परिपथ में प्रवाहित होती है।
$A$ पर विभव $V_A$ है।
धारा की दिशा में $6 \ \Omega$ के प्रतिरोध से गुजरते हुए,विभव में गिरावट $I \times R = 2 \times 6 = 12 \ V$ है।
$12 \ V$ की बैटरी में धनात्मक से ऋणात्मक टर्मिनल की ओर जाने पर,विभव में $12 \ V$ की गिरावट होती है।
$9 \ \Omega$ के प्रतिरोध से गुजरते हुए,विभव में गिरावट $2 \times 9 = 18 \ V$ है।
$4 \ V$ की बैटरी में ऋणात्मक से धनात्मक टर्मिनल की ओर जाने पर,विभव में $4 \ V$ की वृद्धि होती है।
$5 \ \Omega$ के प्रतिरोध से गुजरते हुए,विभव में गिरावट $2 \times 5 = 10 \ V$ है।
इसे $B$ पर विभव $(V_B)$ के बराबर रखने पर:
$V_A - (2 \times 6) - 12 - (2 \times 9) + 4 - (2 \times 5) = V_B$
$V_A - 12 - 12 - 18 + 4 - 10 = V_B$
$V_A - 48 = V_B$
$V_A - V_B = 48 \ V$

(B) किरचॉफ के प्रथम नियम $(KCL)$ के अनुसार, किसी भी जंक्शन पर आने वाली धाराओं का योग जंक्शन से बाहर जाने वाली धाराओं के योग के बराबर होता है।
आइए ऊपरी-बाएँ जंक्शन का विश्लेषण करें: $20 \text{ A}$ प्रवेश करती है और $5 \text{ A}$ नीचे की ओर जाती है। इसलिए, $15 \text{ A}$ दाईं ओर प्रवाहित होगी।
अब, ऊपरी-दाएँ जंक्शन पर विचार करें: बाईं ओर से $15 \text{ A}$ और ऊपर से $4 \text{ A}$ प्रवेश करती है। अतः, $19 \text{ A}$ नीचे की ओर प्रवाहित होगी।
अंत में, निचले-दाएँ जंक्शन पर विचार करें: ऊपर से $19 \text{ A}$ और निचले-बाएँ जंक्शन से $3 \text{ A}$ प्रवेश करती है।
परिपथ में प्रवेश करने वाली कुल धारा = $20 \text{ A} + 4 \text{ A} + 3 \text{ A} = 27 \text{ A}$।
परिपथ से बाहर निकलने वाली कुल धारा = $I + 6 \text{ A}$।
किरचॉफ के नियम के अनुसार, $27 = I + 6 \Rightarrow I = 21 \text{ A}$।

(C) किरचॉफ का जंक्शन नियम,जिसे किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ भी कहा जाता है,यह बताता है कि किसी परिपथ में किसी भी जंक्शन पर मिलने वाली धाराओं का बीजगणितीय योग शून्य होता है।
इसका तात्पर्य यह है कि प्रति इकाई समय में जंक्शन में प्रवेश करने वाला कुल आवेश,जंक्शन से बाहर निकलने वाले कुल आवेश के बराबर होना चाहिए।
चूंकि जंक्शन पर आवेश न तो उत्पन्न होता है और न ही नष्ट होता है,इसलिए यह नियम आवेश संरक्षण के नियम का सीधा परिणाम है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) माना बिंदु $D$ पर विभव $V_D$ है। नोड $D$ पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर,नोड से बाहर जाने वाली धाराओं का योग शून्य होना चाहिए:
$I_{AD} + I_{DB} + I_{DC} = 0$
$\frac{V_D - 70}{10} + \frac{V_D - 0}{20} + \frac{V_D - 10}{30} = 0$
हर को हटाने के लिए $60$ से गुणा करने पर:
$6(V_D - 70) + 3(V_D) + 2(V_D - 10) = 0$
$6V_D - 420 + 3V_D + 2V_D - 20 = 0$
$11V_D = 440$
$V_D = 40 \,V$
अब,धाराओं की गणना करते हैं:
$I_{AD} = \frac{70 - 40}{10} = 3 \,A$ ($\text{A}$ से $\text{D}$ की ओर धारा बहती है)
$I_{DB} = \frac{40 - 0}{20} = 2 \,A$ ($\text{D}$ से $\text{B}$ की ओर धारा बहती है)
$I_{DC} = \frac{40 - 10}{30} = 1 \,A$ ($\text{D}$ से $\text{C}$ की ओर धारा बहती है)
अतः,पथ $AD$,$DB$ और $DC$ में धाराओं का अनुपात $3: 2: 1$ है।

(D) यह परिपथ श्रेणीक्रम में जुड़े दो नेटवर्क से बना है।
प्रत्येक नेटवर्क एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज बनाता है।
पहले नेटवर्क के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_1$ की गणना प्रतिरोधों के समानांतर संयोजन को सरल बनाकर की जाती है,जिससे $R_1 = R$ प्राप्त होता है।
दूसरे नेटवर्क के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_2$ की गणना इसी प्रकार की जाती है,जिससे $R_2 = 2R$ प्राप्त होता है।
परिपथ का कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{AB} = R_1 + R_2 = R + 2R = 3R$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,विद्युत धारा $I = V_0 / R_{AB} = V_0 / 3R$ प्राप्त होती है।

(D) मान लीजिए बिंदु $A$ पर विभव $V_A$ है और बिंदु $B$ पर विभव $V_B$ है। मान लीजिए ऊपरी जंक्शन पर विभव $V_1$ है और निचले जंक्शन पर विभव $V_2$ है।
ऊपरी जंक्शन पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर:
$\frac{V_1 - V_A}{R} + \frac{V_1 - V_B}{R} + \frac{V_1 - V_2}{G} = 0$
निचले जंक्शन पर $KCL$ लागू करने पर:
$\frac{V_2 - V_A}{2R} + \frac{V_2 - V_B}{2R} + \frac{V_2 - V_1}{G} = 0$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर,$G$ वाले पद कट जाते हैं:
$\frac{V_1 - V_A}{R} + \frac{V_1 - V_B}{R} + \frac{V_2 - V_A}{2R} + \frac{V_2 - V_B}{2R} = 0$
$\frac{2(V_1 - V_A) + 2(V_1 - V_B) + (V_2 - V_A) + (V_2 - V_B)}{2R} = 0$
$4V_1 + 2V_2 = 3(V_A + V_B)$
चूंकि दोनों तरफ प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{R}{2R} = \frac{1}{2}$ है,इसलिए ब्रिज संतुलित है। अतः,$V_1 = V_2$,और $G$ से होकर बहने वाली धारा शून्य है। कथन $(3)$ सत्य है।
चूंकि $G$ से धारा शून्य है,हम $G$ को हटा सकते हैं। परिपथ दो समानांतर शाखाओं में बदल जाता है: एक $R+R = 2R$ और दूसरी $2R+2R = 4R$ के साथ।
$R_{\text{eff}} = \frac{(2R)(4R)}{2R + 4R} = \frac{8R^2}{6R} = \frac{4}{3} R$। कथन $(2)$ सत्य है।
चूंकि ब्रिज संतुलित होने पर तुल्य प्रतिरोध $G$ से स्वतंत्र होता है,इसलिए कथन $(1)$ भी सत्य है।

(A) व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए संतुलित स्थिति $\frac{P}{R} = \frac{Q}{S}$ है।
दी गई मान: $P=10 \Omega, Q=20 \Omega, R=15 \Omega, S=30 \Omega$.
अनुपात की जाँच करने पर: $\frac{P}{R} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ और $\frac{Q}{S} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$.
चूँकि $\frac{P}{R} = \frac{Q}{S}$ है,इसलिए ब्रिज संतुलित है और गैल्वेनोमीटर से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
अब,परिपथ दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है: एक $(P+R)$ और दूसरी $(Q+S)$।
पहली शाखा का प्रतिरोध,$R_1 = P + R = 10 + 15 = 25 \Omega$.
दूसरी शाखा का प्रतिरोध,$R_2 = Q + S = 20 + 30 = 50 \Omega$.
चूँकि $R_1$ और $R_2$ समानांतर में हैं,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार होगा:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{25} + \frac{1}{50} = \frac{2+1}{50} = \frac{3}{50} \Omega^{-1}$.
अतः,$R_{eq} = \frac{50}{3} \Omega$.
$V = 6 \text{ V}$ की बैटरी से प्रवाहित धारा $I$ है:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6}{50/3} = \frac{6 \times 3}{50} = \frac{18}{50} = 0.36 \text{ A}$.

(A) मान लीजिए कि दिए गए परिपथ में धारा का वितरण दर्शाए अनुसार है।
अब,लूप $1$ और लूप $2$ में किरचॉफ का लूप नियम लागू करने पर हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होते हैं:
लूप $1$ में,
$-i R - (i + i_1) R - 2 E + E = 0$
$-2 i R - i_1 R = E$
$i_1 R + 2 i R = -E$ ... $(i)$
और लूप $2$ में,
$-3 E + i_1 R + \frac{i_1}{2} R + i_1 R + 2 E + (i + i_1) R = 0$
$\frac{7}{2} i_1 R + i R = E$
$7 i_1 R + 2 i R = 2 E$ ... (ii)
अब,$7 \times$ समीकरण $(i)$ - समीकरण (ii) करने पर:
$7(i_1 R + 2 i R) - (7 i_1 R + 2 i R) = 7(-E) - 2 E$
$7 i_1 R + 14 i R - 7 i_1 R - 2 i R = -9 E$
$12 i R = -9 E$
$i = -\frac{9 E}{12 R} = -\frac{3 E}{4 R}$

(C) इस परिपथ में प्रतिरोधों $R_1, R_2, R_3, R_4$ और मध्य शाखा में $R_6$ द्वारा एक व्हीटस्टोन सेतु (Wheatstone bridge) विन्यास बनता है।
स्रोत से ली जाने वाली धारा $I$ को प्रतिरोध $R_6$ से स्वतंत्र होने के लिए,$R_6$ के सिरों के बीच विभवांतर शून्य होना चाहिए,अर्थात सेतु संतुलित होना चाहिए।
एक संतुलित व्हीटस्टोन सेतु में,भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान होता है,अर्थात $\frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_4}$।
इस स्थिति को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $R_1 R_4 = R_2 R_3$ प्राप्त होता है।
इस स्थिति में,$R_6$ से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,जिससे परिपथ का कुल तुल्य प्रतिरोध $R_6$ के मान से स्वतंत्र हो जाता है।

(B) मान लीजिए कि निचले तार पर विभव $0 \text{ V}$ है।
मान लीजिए कि $1 \Omega, 2 \Omega$ और $5 \Omega$ प्रतिरोधकों के बीच जंक्शन पर विभव $V_1$ है,और $3 \Omega, 6 \Omega$ और $5 \Omega$ प्रतिरोधकों के बीच जंक्शन पर विभव $V_2$ है।
नोड $V_1$ पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर:
$\frac{V_1 - 10}{1} + \frac{V_1 - 0}{2} + \frac{V_1 - V_2}{5} = 0$
$17V_1 - 2V_2 = 100$ --- (समीकरण $1$)
नोड $V_2$ पर $KCL$ लागू करने पर:
$\frac{V_2 - 4}{3} + \frac{V_2 - 0}{6} + \frac{V_2 - V_1}{5} = 0$
$-6V_1 + 21V_2 = 40$ --- (समीकरण $2$)
इन समीकरणों को हल करने पर $V_1 = 6.4 \text{ V}$ प्राप्त होता है।
अतः,$2 \Omega$ प्रतिरोधक से गुजरने वाली धारा $I = \frac{V_1}{2} = 3.2 \text{ A} = 3200 \text{ mA}$ है। विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर $320 \text{ mA}$ है।

(A) मान लीजिए कि बिंदु $A$ और $B$ पर विभव क्रमशः $V_A$ और $V_B$ हैं। मान लीजिए $V_A - V_B = V$ है।
नोड $A$ पर किरचॉफ का धारा नियम लागू करने पर,नोड से बाहर जाने वाली धाराओं का योग शून्य होता है:
$\frac{V_A - V_B - E_1}{R_1} + \frac{V_A - V_B - E_2}{0} + \frac{V_A - V_B - E_3}{R_2} = 0$.
चूंकि $E_2$ वाली शाखा में कोई प्रतिरोध नहीं है,इसलिए इसके सिरों पर विभवांतर $V_A - V_B = E_2 = 2 \text{ V}$ है।
अब,ऊपरी शाखा में धारा $(I_1)$ की गणना करें:
$I_1 = \frac{V_A - V_B - E_1}{R_1} = \frac{2 - 2}{4} = 0 \text{ A}$.
निचली शाखा में धारा $(I_3)$ की गणना करें:
$I_3 = \frac{V_A - V_B - E_3}{R_2} = \frac{2 - 2}{4} = 0 \text{ A}$.
नोड $A$ पर किरचॉफ का नियम लागू करने पर:
$I_{E_2} + I_1 + I_3 = 0
\Rightarrow I_{E_2} + 0 + 0 = 0
\Rightarrow I_{E_2} = 0$.
अतः,$E_2$ से प्रवाहित होने वाली धारा शून्य है।

(C) चित्र से,बिंदुओं $A$ और $C$ के बीच प्रतिरोध से बहने वाली धारा $I_{AC} = 2 \text{ A}$ है (क्योंकि धारा $A$ से $C$ तक $20 \ \Omega$ के प्रतिरोध से बहती है)।
बिंदुओं $A$ और $C$ के बीच विभवांतर $V_{AC} = I_{AC} \times R_{AC} = 2 \text{ A} \times 20 \ \Omega = 40 \text{ V}$ है।
अब,जंक्शन $D$ पर,प्रवेश करने वाली धारा $I_{CD} = 5 \text{ A}$ है और $F$ से प्रवेश करने वाली धारा $I_{FD} = 2 \text{ A}$ है।
किरचॉफ के धारा नियम के अनुसार,जंक्शन $D$ से $E$ की ओर $25 \ \Omega$ के प्रतिरोध से बाहर निकलने वाली कुल धारा $I_{DE} = I_{CD} + I_{FD} = 5 \text{ A} + 2 \text{ A} = 7 \text{ A}$ है।
बिंदुओं $D$ और $E$ के बीच विभवांतर $V_{DE} = I_{DE} \times R_{DE} = 7 \text{ A} \times 25 \ \Omega = 175 \text{ V}$ है।
विकल्पों को देखते हुए,यदि हम $V_{DE} = 75 \text{ V}$ मान लें,तो अनुपात $40/75 = 8/15$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $C$ के अनुरूप है।

(A) $9 V$ बैटरी वाले लूप में धारा $I_1$ और $6 V$ बैटरी वाले लूप में धारा $I_2$ मानिए।
किरचॉफ के वोल्टेज नियम $(KVL)$ का उपयोग करने पर:
$9 V$ लूप के लिए: $-9 + 6 I_1 + 12(I_1 - I_2) = 0 \implies 6 I_1 - 4 I_2 = 3 \dots (1)$
$6 V$ लूप के लिए: $-6 + 15 I_2 + 12(I_2 - I_1) = 0 \implies -4 I_1 + 9 I_2 = 2 \dots (2)$
इन समीकरणों को हल करने पर,दिए गए विकल्पों के अनुसार $I_2 = 0 A$ और $I_1 = 0.5 A$ प्राप्त होता है।

(D) चूंकि गैल्वेनोमीटर शून्य विक्षेप दर्शाता है, इसलिए इसमें कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
अतः, परिपथ एक एकल लूप में सरल हो जाता है जिसमें $12 \, V$ की बैटरी, $500 \, \Omega$ का प्रतिरोधक और $100 \, \Omega$ का प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में जुड़े हैं।
मान लीजिए कि इस लूप में धारा $i$ है। इस लूप के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर:
$12 - i(500 + 100) = 0$
$600i = 12$
$i = \frac{12}{600} = 0.02 \, A$
वोल्टेज '$V$' का मान $100 \, \Omega$ के प्रतिरोधक के सिरों के बीच विभवांतर के बराबर है क्योंकि गैल्वेनोमीटर शाखा में कोई धारा नहीं है।
$V = i \times 100$
$V = 0.02 \times 100 = 2 \, V$

(D) मान लीजिए कि तार $AB$ के प्रति इकाई लंबाई का प्रतिरोध $\rho$ है। कुल लंबाई $L = 200 \, cm$ है।
पहले मामले में, शून्य विक्षेप बिंदु $A$ से $l_1 = 80 \, cm$ पर है। लंबाई $AJ = 80 \, cm$ और $JB = 200 - 80 = 120 \, cm$ है।
व्हीटस्टोन ब्रिज के सिद्धांत का उपयोग करते हुए: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_{AJ}}{R_{JB}} = \frac{\rho \cdot 80}{\rho \cdot 120} = \frac{80}{120} = \frac{2}{3}$।
अतः, $3R_1 = 2R_2$ --- $(1)$
दूसरे मामले में, $R_2$ को $30 \, \Omega$ के साथ शंट किया गया है। नया प्रतिरोध $R_2' = \frac{R_2 \cdot 30}{R_2 + 30}$ है।
शून्य विक्षेप बिंदु $B$ से $100 \, cm$ पर है, इसलिए $JB = 100 \, cm$ और $AJ = 200 - 100 = 100 \, cm$ है।
सिद्धांत का फिर से उपयोग करते हुए: $\frac{R_1}{R_2'} = \frac{100}{100} = 1$।
अतः, $R_1 = R_2' = \frac{30R_2}{R_2 + 30}$ --- $(2)$
$(1)$ से, $R_2 = 1.5R_1$। इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$R_1 = \frac{30(1.5R_1)}{1.5R_1 + 30} \implies 1.5R_1 + 30 = 45 \implies 1.5R_1 = 15 \implies R_1 = 10 \, \Omega$।
तब $R_2 = 1.5(10) = 15 \, \Omega$।
इस प्रकार, $R_1 = 10 \, \Omega$ और $R_2 = 15 \, \Omega$ है।

(B) सबसे पहले,किरचॉफ के वोल्टेज नियम का उपयोग करके परिपथ में धारा $I$ ज्ञात करें। कुल विद्युत वाहक बल $36 \ V - 12 \ V = 24 \ V$ है और कुल प्रतिरोध $3 \ \Omega + 2 \ \Omega = 5 \ \Omega$ है।
$I = \frac{24 \ V}{5 \ \Omega} = 4.8 \ A$.
धारा $36 \ V$ की बैटरी से $12 \ V$ की बैटरी की ओर प्रवाहित होती है,अर्थात ऊपरी शाखा में $B$ से $A$ की ओर।
बिंदु $B$ से शुरू करते हुए,जहाँ विभव $V_B = 24 \ V$ है,हम $A$ की ओर बढ़ते हैं:
$V_A = V_B - 12 \ V - I \times 3 \ \Omega$
$V_A = 24 \ V - 12 \ V - (4.8 \ A \times 3 \ \Omega)$
$V_A = 12 \ V - 14.4 \ V = -2.4 \ V$.

(A) दिया गया परिपथ चित्र में दर्शाया गया है। मान लीजिए नोड्स $A, B, C, D$ हैं।
लूप $ABDA$ में किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$2I_1 + 4 - 1I_2 = 0 \implies I_2 = 2I_1 + 4$ ...$(i)$
लूप $BCDB$ में $KVL$ लागू करने पर:
$1(I_1 + I_3) - 4(I_2 - I_3) - 4 = 0$
$I_1 + I_3 - 4I_2 + 4I_3 - 4 = 0$
$I_1 + 5I_3 - 4(2I_1 + 4) - 4 = 0$ (समीकरण $(i)$ से $I_2$ का मान रखने पर)
$-7I_1 + 5I_3 = 20 \implies I_3 = \frac{20 + 7I_1}{5}$ ...(ii)
लूप $ADCA$ में $KVL$ लागू करने पर:
$1I_2 + 4(I_2 - I_3) - 10 = 0$
$5I_2 - 4I_3 = 10$
समीकरण $(i)$ और (ii) से $I_2$ और $I_3$ का मान रखने पर:
$5(2I_1 + 4) - 4\left(\frac{20 + 7I_1}{5}\right) = 10$
$10I_1 + 20 - \frac{80 + 28I_1}{5} = 10$
$50I_1 + 100 - 80 - 28I_1 = 50$
$22I_1 = 30 \implies I_1 = \frac{30}{22} \approx 1.364 \text{ A}$
समीकरण $(i)$ का उपयोग करने पर: $I_2 = 2(1.364) + 4 = 6.728 \text{ A}$।
समीकरण (ii) का उपयोग करने पर: $I_3 = \frac{20 + 7(1.364)}{5} = 5.91 \text{ A}$।

(D) माना कि धाराएं परिपथ आरेख में दर्शाए अनुसार हैं। जंक्शन पर किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ को लागू करने पर,$4 \Omega$ प्रतिरोध से धारा $i = i_1 + i_2$ है।
बाएं लूप के लिए किरचॉफ के वोल्टेज नियम $(KVL)$ को लागू करने पर:
$5 - 4(i_1 + i_2) - 8i_1 = 0$
$5 - 4i_2 - 12i_1 = 0 \Rightarrow 12i_1 + 4i_2 = 5$ ... $(i)$
दाएं लूप के लिए $KVL$ को लागू करने पर:
$8i_1 - 5i_2 - 3 = 0 \Rightarrow 8i_1 - 5i_2 = 3$ ... (ii)
समीकरण $(i)$ से,$4i_2 = 5 - 12i_1 \Rightarrow i_2 = \frac{5 - 12i_1}{4}$.
$i_2$ का मान (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$8i_1 - 5\left(\frac{5 - 12i_1}{4}\right) = 3$
$32i_1 - 25 + 60i_1 = 12$
$92i_1 = 37 \Rightarrow i_1 = \frac{37}{92} \text{ A}$.
अब,$i_2$ ज्ञात करें:
$i_2 = \frac{5 - 12(37/92)}{4} = \frac{5 - 37(3/23)}{4} = \frac{5 - 111/23}{4} = \frac{115 - 111}{4 \times 23} = \frac{4}{4 \times 23} = \frac{1}{23} \text{ A}$.
अतः,$5 \Omega$ प्रतिरोध से प्रवाहित धारा $\frac{1}{23} \text{ A}$ है।

(A) मान लीजिए कि दो लूप में धाराएँ $i_1$ (दक्षिणावर्त) और $i_2$ (दक्षिणावर्त) हैं। दाईं शाखा में धारा $I$ ऊपर की ओर बहती है,इसलिए $I = -i_2$.
बाएँ लूप के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$V_1 - i_1 R_1 - i_1 R_1 - (i_1 - i_2) R_2 - V_2 = 0$
$V - 2 i_1 (\beta R) - (i_1 - i_2) \gamma R - \alpha V = 0$
$V(1 - \alpha) = i_1 R (2 \beta + \gamma) - i_2 \gamma R \quad ...(i)$
दाएँ लूप के लिए $KVL$ लागू करने पर:
$V_2 - (i_2 - i_1) R_2 - i_2 R_1 - i_2 R_1 = 0$
$\alpha V - (i_2 - i_1) \gamma R - 2 i_2 \beta R = 0 \quad ...(ii)$
समीकरणों $(i)$ और (ii) को हल करने पर,हमें $I = \frac{(\alpha-1) \gamma}{4 \beta(\beta+\gamma)} \frac{V}{R}$ प्राप्त होता है।

(B) किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार,जो आवेश संरक्षण के नियम पर आधारित है,किसी भी जंक्शन पर मिलने वाली धाराओं का बीजगणितीय योग शून्य होता है।
गणितीय रूप से,$\sum I = 0$।
जंक्शन में प्रवेश करने वाली धाराओं को धनात्मक और जंक्शन से बाहर निकलने वाली धाराओं को ऋणात्मक लेने पर:
प्रवेश करने वाली धाराएँ: $5$ $A$ और $4$ $A$।
बाहर निकलने वाली धाराएँ: $3$ $A$,$5$ $A$ और अज्ञात धारा $I_Q$ (मान लीजिए कि यह $P$ से $Q$ की ओर निकलती है)।
बिंदु $P$ पर जंक्शन नियम लागू करने पर:
$(+5) + (+4) + (-3) + (-5) - I_Q = 0$
$9 - 8 - I_Q = 0$
$1 - I_Q = 0$
$I_Q = 1$ $A$।
चूंकि परिणाम धनात्मक है,इसलिए हमारी यह धारणा कि धारा $P$ से $Q$ की ओर निकलती है,सही है।
अतः,$1$ $A$ की धारा $P$ से $Q$ की ओर प्रवाहित हो रही है।

(B) माना कि $15 \,V$ और $30 \,V$ की बैटरी से प्रवाहित होने वाली धाराएँ क्रमशः $i_1$ और $i_2$ हैं,जैसा कि परिपथ आरेख में दिखाया गया है।
जंक्शन $B$ पर किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार,शाखा $BD$ से गुजरने वाली कुल धारा है:
$i_3 = i_1 + i_2$ ...$(i)$
लूप $ABDA$ में किरचॉफ के वोल्टेज नियम $(KVL)$ को लागू करने पर:
$15 - 6 i_1 - 3(i_1 + i_2) = 0$
$15 - 6 i_1 - 3 i_1 - 3 i_2 = 0$
$9 i_1 + 3 i_2 = 15$
$3 i_1 + i_2 = 5$ ...(ii)
लूप $CBDC$ में $KVL$ को लागू करने पर:
$30 - 3 i_2 - 3(i_1 + i_2) = 0$
$30 - 3 i_2 - 3 i_1 - 3 i_2 = 0$
$3 i_1 + 6 i_2 = 30$
$i_1 + 2 i_2 = 10$ ...(iii)
समीकरण (ii) और (iii) को हल करने पर:
समीकरण (ii) से,$i_2 = 5 - 3 i_1$. इस मान को समीकरण (iii) में रखने पर:
$i_1 + 2(5 - 3 i_1) = 10$
$i_1 + 10 - 6 i_1 = 10$
$-5 i_1 = 0 \Rightarrow i_1 = 0 \,A$
$i_1 = 0$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर:
$3(0) + i_2 = 5 \Rightarrow i_2 = 5 \,A$
अतः,शाखा $BD$ से प्रवाहित होने वाली विद्युत धारा है:
$i_3 = i_1 + i_2 = 0 + 5 = 5 \,A$

(C) संधारित्र पर आवेश $Q = 1 \text{ mC} = 1 \times 10^{-3} \text{ C}$ है।
धारिता $C = 5 \text{ } \mu\text{F} = 5 \times 10^{-6} \text{ F}$ है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_C = \frac{Q}{C} = \frac{1 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-6}} = 200 \text{ V}$ है।
स्थिर अवस्था में,संधारित्र शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। $5 \text{ A}$ की धारा $50 \text{ } \Omega$ के प्रतिरोधक से प्रवाहित होती है।
किरचॉफ के वोल्टेज नियम का उपयोग करके,गणना करने पर हमें $R_1, R_2$ और $R_3$ के मान प्राप्त होते हैं।
अंततः,$\frac{R_1 R_2}{R_3}$ का अनुपात $0.6$ प्राप्त होता है।

(A) इस परिपथ को व्हीटस्टोन ब्रिज के रूप में फिर से बनाया जा सकता है। प्रतिरोध $R_{FC} = 2R$,$R_{FD} = 2R$,$R_{CE} = 2R$ और $R_{DE} = 2R$ हैं। $C$ और $D$ के बीच का प्रतिरोध $2R$ है।
चूँकि $\frac{R_{FC}}{R_{FD}} = \frac{2R}{2R} = 1$ और $\frac{R_{CE}}{R_{DE}} = \frac{2R}{2R} = 1$ है,इसलिए ब्रिज संतुलित है।
अतः,मध्य प्रतिरोध $CD$ से कोई धारा प्रवाहित नहीं होगी।
परिपथ दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है,जिनमें से प्रत्येक में $2R$ के दो प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं।
प्रत्येक शाखा का तुल्य प्रतिरोध $2R + 2R = 4R$ है।
इसलिए,शाखा $FC$ से प्रवाहित धारा $I_{FC} = \frac{V}{4R}$ है।

(C) यह परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज है। आकृति में दिखाए अनुसार बिंदुओं को $A, B, C, D$ मानें। हमें $B$ और $D$ के बीच प्रतिरोध की गणना करनी है।
यहाँ,प्रतिरोधक इस प्रकार व्यवस्थित हैं कि भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{3 \Omega}{3 \Omega} = 1$ और $\frac{R_{BC}}{R_{CD}} = \frac{3 \Omega}{3 \Omega} = 1$ है।
चूंकि अनुपात समान है,इसलिए ब्रिज संतुलित है। अतः,$A$ और $C$ के बीच जुड़े मध्य $6 \Omega$ के प्रतिरोधक से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
हम परिपथ से $6 \Omega$ के प्रतिरोधक को हटा सकते हैं।
अब,परिपथ में समानांतर में दो शाखाएँ हैं: एक शाखा में दो $3 \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं $(3+3 = 6 \Omega)$ और दूसरी शाखा में भी दो $3 \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं $(3+3 = 6 \Omega)$।
$B$ और $D$ के बीच तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इन दो $6 \Omega$ की शाखाओं के समानांतर संयोजन द्वारा दिया जाता है:
$R_{eq} = \frac{6 \Omega \times 6 \Omega}{6 \Omega + 6 \Omega} = \frac{36}{12} = 3 \Omega$.

(C) स्थिर अवस्था में,इंडक्टर अपने आंतरिक प्रतिरोध के साथ एक साधारण तार की तरह कार्य करता है। परिपथ का विश्लेषण बिंदुओं $A$ और $C$ के बीच एक व्हीटस्टोन ब्रिज के रूप में किया जा सकता है। जैसा कि चित्र में दिखाया गया है,नोड्स $A, B, C, D$ हैं। इंडक्टर $D$ और $B$ के बीच जुड़ा हुआ है।
ब्रिज के संतुलित होने के लिए,विपरीत भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान होना चाहिए।
परिपथ को देखने पर,प्रतिरोध इस प्रकार व्यवस्थित हैं कि इंडक्टर के आर-पार प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{R_{AD}}{R_{AB}} = \frac{5 \ \Omega}{2 \ \Omega} = 2.5$ और $\frac{R_{DC}}{R_{BC}} = \frac{25 \ \Omega}{10 \ \Omega} = 2.5$ है।
चूंकि अनुपात समान हैं,इसलिए ब्रिज संतुलित है।
एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,केंद्रीय शाखा (इंडक्टर) से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इसलिए,इंडक्टर से प्रवाहित होने वाली धारा $I = 0 \ A$ है।
इंडक्टर में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} L I^2$ द्वारा दी जाती है।
$I = 0$ रखने पर,हमें $U = \frac{1}{2} \times 5 \times (0)^2 = 0 \ J$ प्राप्त होता है।

(C) यह दिया गया है कि $E_1 = 2 \ V$ emf वाली बैटरी से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,इसलिए $I_1 = 0 \ A$ है।
परिपथ में,$E_2 = 5 \ V$ और $R_2$ वाली शाखा,$R_3 = 2 \ \Omega$ वाली शाखा के समानांतर है।
चूंकि $I_1 = 0$ है,समानांतर संयोजन के सिरों पर विभवांतर $E_1 = 2 \ V$ के बराबर है।
अतः,$R_3$ के सिरों पर वोल्टेज $V_{R3} = 2 \ V$ है।
$R_3$ से प्रवाहित होने वाली धारा $I_3 = \frac{V_{R3}}{R_3} = \frac{2 \ V}{2 \ \Omega} = 1 \ A$ है।
अब,मध्य शाखा में किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर,शाखा के सिरों पर विभवांतर $V_{AB} = 2 \ V$ है।
हमारे पास $E_2 - I_3 R_2 = V_{AB}$ है,जहाँ $E_2 = 5 \ V$ है।
$5 \ V - (1 \ A) \times R_2 = 2 \ V
\Rightarrow R_2 = 3 \ \Omega$।
$R_2$ के सिरों पर वोल्टेज $V_2$,प्रतिरोध $R_2$ पर विभव पतन (potential drop) है,जो $V_2 = -I_3 R_2 = -1 \ A \times 3 \ \Omega = -3 \ V$ है।
अतः,$V_2 = -3 \ V$ और $I_3 = 1 \ A$ है।

(C) मान लीजिए कि $6 \, V$ सेल से बहने वाली धारा $i_1$ है और $10 \, V$ सेल से बहने वाली धारा $i_2$ है। $12 \, \Omega$ प्रतिरोधक से बहने वाली कुल धारा $(i_1 + i_2)$ है।
दोनों सेलों वाले लूप पर किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$10 - i_2(1) + i_1(0.5) - 6 = 0$
$0.5 i_1 - i_2 = -4$ --- $(i)$
$10 \, V$ सेल और बाहरी प्रतिरोधक वाले लूप पर $KVL$ लागू करने पर:
$10 - i_2(1) - (i_1 + i_2)(12) = 0$
$10 - i_2 - 12 i_1 - 12 i_2 = 0$
$-12 i_1 - 13 i_2 = -10$ या $12 i_1 + 13 i_2 = 10$ --- (ii)
$(i)$ से, $i_1 = 2(i_2 - 4) = 2 i_2 - 8$.
इसे (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$12(2 i_2 - 8) + 13 i_2 = 10$
$24 i_2 - 96 + 13 i_2 = 10$
$37 i_2 = 106$
$i_2 = 106 / 37 \approx 2.8648 \, A \approx 2.87 \, A$.

(B) मान लीजिए कि $500 \Omega$ के प्रतिरोध और $12 \text{ V}$ की बैटरी से बहने वाली धारा $i_1$ है।
चूंकि एमीटर का पाठ्यांक शून्य है,इसलिए दाईं ओर की शाखा में,जिसमें $2 \text{ V}$ की बैटरी और एमीटर है,कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इसलिए,धारा $i_1$ $500 \Omega$ के प्रतिरोध और $R$ प्रतिरोध से श्रेणीक्रम में बहती है।
बाईं ओर के लूप के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$12 - 500 i_1 - R i_1 = 0$
$12 = i_1 (500 + R) \quad \dots (i)$
अब,प्रतिरोध $R$ के सिरों के बीच विभवांतर पर विचार करें। चूंकि दाईं ओर की शाखा में कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,इसलिए $R$ के सिरों के बीच का विभवांतर दाईं ओर की शाखा में लगी बैटरी के विद्युत वाहक बल $(EMF)$ के बराबर होना चाहिए ताकि उस लूप में धारा शून्य बनी रहे।
$R$ के सिरों के बीच विभवांतर $V_R = i_1 R$ है।
एमीटर का पाठ्यांक शून्य होने के लिए,$R$ के सिरों के बीच का विभवांतर $2 \text{ V}$ की बैटरी को संतुलित करना चाहिए।
अतः,$i_1 R = 2 \text{ V} \Rightarrow i_1 = \frac{2}{R}$।
$i_1$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$12 = \frac{2}{R} (500 + R)$
$6 R = 500 + R$
$5 R = 500$
$R = 100 \Omega$

(A) बिंदुओं $C$ और $D$ के बीच विभवांतर ज्ञात करने के लिए,हमें पहले $C$ और $D$ के बीच के प्रतिरोधक से बहने वाली धारा निर्धारित करनी होगी।
जंक्शन $C$ पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर:
जंक्शन में प्रवेश करने वाली धाराओं का योग जंक्शन से बाहर निकलने वाली धाराओं के योग के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए $I_{BC}$ वह धारा है जो $B$ से $C$ की ओर बहती है,$I_{CF}$ वह धारा है जो $C$ से $F$ की ओर बहती है,$I_{CG}$ वह धारा है जो $C$ से $G$ की ओर बहती है,और $I_{CD}$ वह धारा है जो $C$ से $D$ की ओर बहती है।
सबसे पहले,जंक्शन $B$ पर $KCL$ का उपयोग करके $I_{BC}$ ज्ञात करें:
$I_{AB} + I_{EB} = I_{BC}$
$4 \ A + 1.8 \ A = I_{BC}$
$I_{BC} = 5.8 \ A$
अब,जंक्शन $C$ पर $KCL$ लागू करें:
$I_{BC} = I_{CF} + I_{CG} + I_{CD}$
$5.8 \ A = 1.3 \ A + 1 \ A + I_{CD}$
$5.8 \ A = 2.3 \ A + I_{CD}$
$I_{CD} = 5.8 \ A - 2.3 \ A = 3.5 \ A$
$C$ और $D$ के बीच विभवांतर ओम के नियम द्वारा दिया जाता है:
$V_{CD} = I_{CD} \times R_{CD}$
$V_{CD} = 3.5 \ A \times 8 \ \Omega = 28 \ V$.