Kirchhoff's Law and Whitestone Bridge Circuit solving Questions in Gujarati

(D) $1$. પરિપથના ઉપરના ભાગમાં રહેલા બ્રિજ સ્ટ્રક્ચરનું અવલોકન કરો. ચાર $3\,\Omega$ ના અવરોધો એક સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ બનાવે છે કારણ કે વિરુદ્ધ ભુજાઓમાં રહેલા અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન છે $(3/3 = 3/3)$.
$2$. સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,મધ્યની શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. તેથી,ઉપરની ભુજાઓમાં રહેલા બે $3\,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે $(3 + 3 = 6\,\Omega)$,અને નીચેની ભુજાઓમાં રહેલા બે $3\,\Omega$ ના અવરોધો પણ શ્રેણીમાં છે $(3 + 3 = 6\,\Omega)$.
$3$. આ બે $6\,\Omega$ ની શાખાઓ સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = (6 \times 6) / (6 + 6) = 36 / 12 = 3\,\Omega$ થાય.
$4$. હવે,કુલ પરિપથમાં આ $3\,\Omega$ નો સમતુલ્ય અવરોધ અને નીચેના ભાગમાં $A$ અને $B$ ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલા બે $3\,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે. તેથી કુલ અવરોધ $R_{AB} = 3 + 3 + 3 = 9\,\Omega$ થાય.

(D) $1$. તારનો કુલ અવરોધ $16\,\Omega$ છે. જ્યારે તેને ચોરસમાં વાળવામાં આવે,ત્યારે દરેક બાજુનો અવરોધ $R = 16/4 = 4\,\Omega$ થાય છે.
$2$. ધારો કે ચોરસ $ABCD$ છે. બાજુઓ $AB, BC, CD,$ અને $DA$ દરેકનો અવરોધ $4\,\Omega$ છે.
$3$. $B$ અને $D$ ખૂણાઓ વચ્ચે $16\,\Omega$ નો તાર જોડવામાં આવે છે.
$4$. હવે પરિપથ $A$ અને $C$ વચ્ચે જોડાયેલી બે સમાંતર શાખાઓ ધરાવે છે. ઉપરની શાખામાં શ્રેણીમાં બે $4\,\Omega$ ના અવરોધકો ($AB$ અને $BC$) છે,જે $4 + 4 = 8\,\Omega$ આપે છે. નીચેની શાખામાં શ્રેણીમાં બે $4\,\Omega$ ના અવરોધકો ($AD$ અને $DC$) છે,જે $4 + 4 = 8\,\Omega$ આપે છે.
$5$. $16\,\Omega$ નો અવરોધક $B$ અને $D$ વચ્ચે જોડાયેલ છે. વ્હીટસ્ટોન બ્રિજની સંમિતિને કારણે $(4/4 = 4/4)$,$B$ અને $D$ પરનું સ્થિતિમાન સમાન હોવાથી,$16\,\Omega$ ના અવરોધકમાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી.
$6$. આમ,$A$ અને $C$ વચ્ચેનો અસરકારક અવરોધ એ બે $8\,\Omega$ ની શાખાઓનું સમાંતર જોડાણ છે: $R_{eq} = (8 \times 8) / (8 + 8) = 64 / 16 = 4\,\Omega$.

(B) આપેલ પરિપથ એ સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે.
ધારો કે નોડ્સને નામ આપવામાં આવ્યા છે. બ્રિજમાં ચાર $5 \ \Omega$ ના અવરોધો ભુજાઓ તરીકે અને એક મધ્યમાં $5 \ \Omega$ નો અવરોધ છે.
ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવાથી $(5/5 = 5/5)$,બ્રિજ સંતુલિત છે.
તેથી,મધ્યના $5 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આપણે મધ્યના અવરોધને દૂર કરી શકીએ છીએ.
પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે,જેમાં દરેક શાખામાં શ્રેણીમાં બે $5 \ \Omega$ ના અવરોધો છે.
ઉપરની શાખાનો અવરોધ = $5 \ \Omega + 5 \ \Omega = 10 \ \Omega$.
નીચેની શાખાનો અવરોધ = $5 \ \Omega + 5 \ \Omega = 10 \ \Omega$.
આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં છે,તેથી અસરકારક અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
આમ,$R_{eq} = 5 \ \Omega$.

(B) આ પરિપથ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ દર્શાવે છે જ્યાં $B$ અને $D$ વચ્ચેનો વિદ્યુતપ્રવાહ શૂન્ય છે,જેનો અર્થ છે કે બ્રિજ સંતુલિત છે.
આપેલ પરિપથમાં,ભુજાઓ નીચે મુજબ છે:
$AB = 12 \, \Omega + 4 \, \Omega = 16 \, \Omega$
$BC = X \, \Omega$
$AD = 1 \, \Omega + 3 \, \Omega = 4 \, \Omega$
$DC = 1 \, \Omega \parallel 1 \, \Omega = \frac{1 \times 1}{1 + 1} = 0.5 \, \Omega$
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,સામસામેની ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ:
$\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DC}$
$\frac{16}{4} = \frac{X}{0.5}$
$4 = \frac{X}{0.5}$
$X = 4 \times 0.5 = 2 \, \Omega$

(A) આ પરિપથ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. આપણે ભુજાઓમાં રહેલા અવરોધોનો ગુણોત્તર તપાસીએ: $\frac{R_{AC}}{R_{AD}} = \frac{5}{10} = 0.5$ અને $\frac{R_{CB}}{R_{DB}} = \frac{4}{8} = 0.5$.
અહીં $\frac{R_{AC}}{R_{AD}} = \frac{R_{CB}}{R_{DB}}$ હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે.
તેથી,વચ્ચેના $9\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી અને તેને પરિપથમાંથી દૂર કરી શકાય છે.
હવે,$5\,\Omega$ અને $4\,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે: $R_1 = 5 + 4 = 9\,\Omega$.
$10\,\Omega$ અને $8\,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે: $R_2 = 10 + 8 = 18\,\Omega$.
આ બે શાખાઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB}$ નીચે મુજબ મળે:
$R_{AB} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} = \frac{9 \times 18}{9 + 18} = \frac{162}{27} = 6\,\Omega$.

(C) અને $D$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય છે,જેનો અર્થ છે કે વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ સંતુલિત સ્થિતિમાં છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ:
$\frac{R_{AB}}{R_{BC}} = \frac{R_{AD}}{R_{DC}}$
પ્રથમ,ભુજાઓના સમતુલ્ય અવરોધોની ગણતરી કરો:
$R_{AB} = 15 + 6 = 21 \, \Omega$
$R_{BC} = 3 + \frac{8X}{8 + X} \, \Omega$
$R_{AD} = 15 + (6 || 6) = 15 + 3 = 18 \, \Omega$
$R_{DC} = 4 + (4 || 4) = 4 + 2 = 6 \, \Omega$
હવે,સંતુલિત સ્થિતિનો ઉપયોગ કરો:
$\frac{21}{3 + \frac{8X}{8 + X}} = \frac{18}{6}$
$\frac{21}{3 + \frac{8X}{8 + X}} = 3$
$7 = 3 + \frac{8X}{8 + X}$
$4 = \frac{8X}{8 + X}$
$4(8 + X) = 8X$
$32 + 4X = 8X$
$4X = 32$
$X = 8 \, \Omega$

(A) આપેલ પરિપથ એક સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે કારણ કે તેની ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન છે $(10/10 = 10/10)$.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,મધ્યના વિકર્ણ અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય હોય છે,તેથી તેમાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી.
આથી આપણે મધ્યના $10\,\Omega$ ના અવરોધને પરિપથમાંથી દૂર કરી શકીએ છીએ.
હવે,ઉપરના બે $10\,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,જેનો સમતુલ્ય અવરોધ $10 + 10 = 20\,\Omega$ થાય છે.
નીચેના બે $10\,\Omega$ ના અવરોધો પણ શ્રેણીમાં છે,જેનો સમતુલ્ય અવરોધ $10 + 10 = 20\,\Omega$ થાય છે.
આ બે શાખાઓ હવે બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
કુલ અસરકારક અવરોધ $R_{eq}$ માટે,$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$.
તેથી,$R_{eq} = 10\,\Omega$.

(B) આપેલ પરિપથ એક વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે.
વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,જો સામસામેની ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોય,તો બ્રિજ સંતુલિત છે તેમ કહેવાય.
અહીં,અવરોધો $R_{AB} = R$,$R_{BC} = R$,$R_{AD} = R$,અને $R_{DC} = R$ છે.
કારણ કે $\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{R}{R} = 1$ અને $\frac{R_{BC}}{R_{DC}} = \frac{R}{R} = 1$,તેથી ગુણોત્તર સમાન છે.
તેથી,બિંદુ $B$ પરનું સ્થિતિમાન બિંદુ $D$ પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ છે $(V_B = V_D)$.
$B$ અને $D$ વચ્ચે કોઈ સ્થિતિમાનનો તફાવત ન હોવાથી,ભુજા $BD$ માં જોડાયેલા $4R$ અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આમ,ભુજા $BD$ માં વહેતો પ્રવાહ $0$ છે.

(D) આપેલ સર્કિટને વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ તરીકે ફરીથી દોરી શકાય છે. ધારો કે કેન્દ્રનું બિંદુ $O$ છે. અવરોધો બિંદુઓ વચ્ચે જોડાયેલા છે. સમપ્રમાણતાનું વિશ્લેષણ કરીને,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $A$ અને $B$ સાથે જોડાયેલા બિંદુઓ પરનો પોટેન્શિયલ સર્કિટને સરળ બનાવવામાં મદદ કરે છે.
ચોક્કસ રીતે,સર્કિટ બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ જેવી રચના બનાવે છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,વચ્ચેની શાખામાં રહેલો અવરોધ વિદ્યુતપ્રવાહમાં કોઈ ફાળો આપતો નથી.
આમ,અસરકારક અવરોધ બાકીના અવરોધોના શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણને ધ્યાનમાં લઈને ગણવામાં આવે છે.
દરેક શાખામાં શ્રેણીમાં બે $2\,\Omega$ ના અવરોધો છે,જે દરેક શાખા માટે $4\,\Omega$ આપે છે.
આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં છે,તેથી સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{4 \times 4}{4 + 4} = 2\,\Omega$ થાય છે.

(A) આપેલ પરિપથ એક વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ પ્રકારનો છે. ધારો કે અવરોધો $R_1 = 2 \, \Omega$,$R_2 = 3 \, \Omega$,$R_3 = 4 \, \Omega$,$R_4 = 6 \, \Omega$ અને વચ્ચેનો અવરોધ $R_5 = 7 \, \Omega$ છે.
અવરોધોનો ગુણોત્તર તપાસતા: $R_1/R_3 = 2/4 = 1/2$ અને $R_2/R_4 = 3/6 = 1/2$.
અહીં $R_1/R_3 = R_2/R_4$ હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,વચ્ચેના અવરોધ $R_5$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી,તેથી તેને દૂર કરી શકાય છે.
પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે: ઉપરની શાખામાં $R_1$ અને $R_2$ શ્રેણીમાં છે,અને નીચેની શાખામાં $R_3$ અને $R_4$ શ્રેણીમાં છે.
ઉપરની શાખાનો અવરોધ $R_{up} = R_1 + R_2 = 2 + 3 = 5 \, \Omega$.
નીચેની શાખાનો અવરોધ $R_{low} = R_3 + R_4 = 4 + 6 = 10 \, \Omega$.
આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB}$ નીચે મુજબ મળે:
$1/R_{AB} = 1/R_{up} + 1/R_{low} = 1/5 + 1/10 = (2+1)/10 = 3/10$.
તેથી,$R_{AB} = 10/3 \, \Omega$.

(B) આ પરિપથ એક વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. જ્યારે ગેલ્વેનોમીટર કોઈ વિચલન દર્શાવતું નથી,ત્યારે બ્રિજ સંતુલિત સ્થિતિમાં છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}$.
અહીં,અવરોધો $8\,\Omega, 2\,\Omega, 20\,\Omega,$ અને $5\,\Omega$ છે. નોંધો કે $\frac{8}{2} = 4$ અને $\frac{20}{5} = 4$.
બ્રિજ સંતુલિત હોવાથી,કુલ પ્રવાહ $I = 2.1\,A$ બે સમાંતર શાખાઓમાં વહેંચાય છે: ઉપરની શાખા $(8\,\Omega + 2\,\Omega = 10\,\Omega)$ અને નીચેની શાખા $(20\,\Omega + 5\,\Omega = 25\,\Omega)$.
ધારો કે $I_1$ એ ઉપરની શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ છે અને $I_2$ એ નીચેની શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ છે.
કરંટ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,નીચેની શાખા $(I_2)$ માંથી વહેતો પ્રવાહ:
$I_2 = I \times \frac{R_{\text{upper}}}{R_{\text{upper}} + R_{\text{lower}}} = 2.1 \times \frac{10}{10 + 25} = 2.1 \times \frac{10}{35} = 2.1 \times \frac{2}{7} = 0.3 \times 2 = 0.6\,A$.

(D) વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ સંતુલિત હોય તે માટે,ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર $\frac{P}{Q} = \frac{S'}{R}$ શરતનું પાલન કરવો જોઈએ,જ્યાં $S'$ એ $S$ ધરાવતી ભુજાનો અસરકારક અવરોધ છે જેમાં $r$ શંટ સમાંતરમાં જોડાયેલ છે.
આપેલ છે કે $P = 2\,\Omega$,$Q = 3\,\Omega$,$R = 6\,\Omega$,અને $S = 8\,\Omega$.
$S$ અને $r$ સમાંતરમાં હોવાથી તેમનો અસરકારક અવરોધ $S' = \frac{S \cdot r}{S + r} = \frac{8r}{8 + r}$ થશે.
સંતુલન શરતમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2}{3} = \frac{8r / (8 + r)}{6}$
$\frac{2}{3} = \frac{8r}{6(8 + r)}$
$12(8 + r) = 24r$
$96 + 12r = 24r$
$12r = 96$
$r = 8\,\Omega$.
આમ,જરૂરી શંટ અવરોધ $8\,\Omega$ છે.

(D) $1$. બિંદુઓ $B$ અને $D$ વચ્ચેના સમતુલ્ય અવરોધ માટે: પરિપથને $B$ અને $D$ વચ્ચે જોડાયેલી ત્રણ સમાંતર શાખાઓ તરીકે જોઈ શકાય છે. એક શાખા $B$ અને $D$ વચ્ચે સીધો જોડાયેલ અવરોધ $R$ છે. અન્ય બે શાખાઓમાં શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે અવરોધો $(R+R = 2R)$ છે જે પ્રથમ શાખા સાથે સમાંતર છે. તેથી,$\frac{1}{R_{BD}} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{R} + \frac{1}{2R} = \frac{1+2+1}{2R} = \frac{4}{2R} = \frac{2}{R}$. આમ,$R_{BD} = \frac{R}{2}$.
$2$. બિંદુઓ $A$ અને $C$ વચ્ચેના સમતુલ્ય અવરોધ માટે: પરિપથ એક સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ બનાવે છે જ્યાં ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન છે $(\frac{R}{R} = \frac{R}{R})$. $B$ અને $D$ વચ્ચેના મધ્ય અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. તેથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AC} = \frac{(R+R)(R+R)}{(R+R)+(R+R)} = \frac{2R \cdot 2R}{4R} = R$ થાય છે.

(B) આ સર્કિટ એક વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે જેમાં અવરોધો $P = 10 \, \Omega$,$Q = 100 \, \Omega$,$R = 2 \, \Omega$,અને $S = 20 \, \Omega$ છે. ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $G = 20 \, \Omega$ છે.
$1$. કુલ પ્રવાહ $i$ એ બે શાખાઓમાં વહેતા પ્રવાહોનો સરવાળો છે: $i = i_1 + i_2$. તેથી,$i$ એ સૌથી મોટો પ્રવાહ છે.
$2$. નોડ્સ પર કિર્ચોફના નિયમો લાગુ પાડતા,આપણે પોટેન્શિયલનું વિતરણ શોધી શકીએ છીએ. જે શાખાનો અવરોધ ઓછો હોય તેમાં પ્રવાહ વધુ વહે છે. શાખાઓની સરખામણી કરતા:
- શાખા $1$ (ઉપર): $10 \, \Omega$ અને $100 \, \Omega$ શ્રેણીમાં.
- શાખા $2$ (નીચે): $2 \, \Omega$ અને $20 \, \Omega$ શ્રેણીમાં.
$3$. બંને શાખાઓ વચ્ચેનો પોટેન્શિયલ તફાવત સમાન $(2 \, V)$ હોવાથી,અને નીચેની શાખાનો કુલ અવરોધ $(22 \, \Omega)$ ઉપરની શાખા $(110 \, \Omega)$ કરતા ઘણો ઓછો હોવાથી,પ્રવાહ $i_2$ એ $i_1$ કરતા વધારે છે.
$4$. ગેલ્વેનોમીટરનો પ્રવાહ $i_g$ ઉચ્ચ પોટેન્શિયલ બિંદુથી નીચા પોટેન્શિયલ બિંદુ તરફ વહે છે. બ્રિજ અસંતુલિત હોવાથી,ગણતરી દર્શાવે છે કે $i_g$ આ બધામાં સૌથી નાનો છે.
$5$. તેથી,ઘટતો ક્રમ $i > i_2 > i_1 > i_g$ છે.

(C) આપેલ સર્કિટ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે.
ધારો કે અવરોધો $P = 30 \ \Omega$ ($A$ અને $B$ વચ્ચે),$Q = 30 \ \Omega$ ($B$ અને $C$ વચ્ચે),$R = 30 \ \Omega$ ($A$ અને $D$ વચ્ચે),અને $S = 30 \ \Omega$ ($D$ અને $C$ વચ્ચે) છે.
વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ સંતુલિત હોવા માટેની શરત $\frac{P}{R} = \frac{Q}{S}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{30}{30} = \frac{30}{30}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $1 = 1$ થાય છે.
બ્રિજ સંતુલિત હોવાથી,બિંદુ $B$ પરનું સ્થિતિમાન બિંદુ $D$ પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ છે.
તેથી,$B$ અને $D$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $0 \ V$ છે.
પરિણામે,$B$ અને $D$ વચ્ચે જોડાયેલા $60 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.

(A) આ પરિપથ એક વ્હીટસ્ટન બ્રિજ છે. ધારો કે અવરોધો $P = 3 \, \Omega$,$Q = 4 \, \Omega$,$R = 6 \, \Omega$,અને $S = 8 \, \Omega$ છે. વચ્ચેનો અવરોધ $G = 7 \, \Omega$ છે.
ભુજાઓના ગુણોત્તર તપાસો: $\frac{P}{R} = \frac{3}{6} = 0.5$ અને $\frac{Q}{S} = \frac{4}{8} = 0.5$.
અહીં $\frac{P}{R} = \frac{Q}{S}$ હોવાથી,વ્હીટસ્ટન બ્રિજ સંતુલિત છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટન બ્રિજમાં,વચ્ચેના $7 \, \Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી. તેથી,તેને પરિપથમાંથી દૂર કરી શકાય છે.
$7 \, \Omega$ ના અવરોધને દૂર કર્યા પછી,પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓનો બનેલો છે:
શાખા $1$ (ઉપરની): $3 \, \Omega$ અને $4 \, \Omega$ શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_1 = 3 + 4 = 7 \, \Omega$.
શાખા $2$ (નીચેની): $6 \, \Omega$ અને $8 \, \Omega$ શ્રેણીમાં છે,તેથી $R_2 = 6 + 8 = 14 \, \Omega$.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{7} + \frac{1}{14}$.
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{2 + 1}{14} = \frac{3}{14}$.
આમ,$R_{eq} = \frac{14}{3} \, \Omega$.

(A) સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,શરત $\frac{A}{B} = \frac{D}{C}$ છે.
આપેલ કિંમતો: $A = 10 \,\Omega $,$B = 5 \,\Omega $,$C = 4 \,\Omega $,$D = 4 \,\Omega $.
સંતુલન શરત તપાસતા: $\frac{A}{B} = \frac{10}{5} = 2$ અને $\frac{D}{C} = \frac{4}{4} = 1$.
અહીં $\frac{A}{B} \neq \frac{D}{C}$ હોવાથી,બ્રિજ હાલમાં અસંતુલિત છે.
બ્રિજને સંતુલિત કરવા માટે,આપણે $A$ ને નવી કિંમત $A'$ માં બદલવાની જરૂર છે જેથી $\frac{A'}{B} = \frac{D}{C}$ થાય.
$\frac{A'}{5} = \frac{4}{4} \Rightarrow A' = 5 \,\Omega $.
$A$ ને $10 \,\Omega $ થી $5 \,\Omega $ માં બદલવા માટે,આપણે $A$ સાથે સમાંતરમાં એક અવરોધ $R$ જોડીએ છીએ જેથી $\frac{1}{A'} = \frac{1}{A} + \frac{1}{R}$ થાય.
$\frac{1}{5} = \frac{1}{10} + \frac{1}{R} \Rightarrow \frac{1}{R} = \frac{1}{5} - \frac{1}{10} = \frac{1}{10}$.
આમ,$10 \,\Omega $ ના અવરોધને $A$ સાથે સમાંતરમાં જોડવો જોઈએ.

(B) આપેલ સર્કિટ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટેની શરત $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ છે.
અહીં,$P = 1 \, \Omega$,$Q = 3 \, \Omega$,$R = 7 \, \Omega$,અને $S = 21 \, \Omega$ છે.
કારણ કે $\frac{1}{3} = \frac{7}{21}$,તેથી બ્રિજ સંતુલિત છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,મધ્યના અવરોધ $(10 \, \Omega)$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. તેથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ $(1 \, \Omega + 3 \, \Omega)$ અને $(7 \, \Omega + 21 \, \Omega)$ ના સમાંતર જોડાણનું શ્રેણી સંયોજન છે.
$R_{eq} = \frac{(1+3) \times (7+21)}{(1+3) + (7+21)} = \frac{4 \times 28}{4 + 28} = \frac{112}{32} = 3.5 \, \Omega$.
બેટરીનો વોલ્ટેજ $V = I \times R_{eq} = 4 \, A \times 3.5 \, \Omega = 14 \, V$ છે.
જ્યારે $10 \, \Omega$ ના અવરોધને $20 \, \Omega$ ના અવરોધ દ્વારા બદલવામાં આવે છે,ત્યારે બ્રિજ સંતુલિત જ રહે છે કારણ કે ગુણોત્તર $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ હજુ પણ સંતોષાય છે.
આમ,$20 \, \Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી,અને સર્કિટનો સમતુલ્ય અવરોધ $3.5 \, \Omega$ જ રહે છે.
બેટરીમાંથી ખેંચાતો નવો પ્રવાહ $I' = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{14 \, V}{3.5 \, \Omega} = 4 \, A$ છે.

(A) આપેલ પરિપથ એ સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ જેવી રચના છે. પરિપથની સંમિતિને કારણે,શિરોલંબ $3 \, \Omega$ અવરોધો દ્વારા જોડાયેલા નોડ્સ પરનું સ્થિતિમાન સમાન છે. તેથી,આ શિરોલંબ અવરોધોમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આપણે આ શિરોલંબ અવરોધોને પરિપથમાંથી દૂર કરી શકીએ છીએ.
હવે,ઉપરની શાખામાં શ્રેણીમાં ત્રણ $3 \, \Omega$ ના અવરોધો છે,જેનો કુલ અવરોધ $3 + 3 + 3 = 9 \, \Omega$ થાય છે.
તે જ રીતે,નીચેની શાખામાં શ્રેણીમાં ત્રણ $3 \, \Omega$ ના અવરોધો છે,જેનો કુલ અવરોધ $3 + 3 + 3 = 9 \, \Omega$ થાય છે.
આ બે શાખાઓ $A$ અને $B$ બિંદુઓ વચ્ચે સમાંતર છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB}$ એ $\frac{1}{R_{AB}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$ દ્વારા મળે છે.
આમ,$R_{AB} = \frac{9}{2} \, \Omega$ થાય છે.

(D) આપેલ પરિપથ એ સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે.
વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,જો સામસામેની બાજુઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોય,તો વચ્ચેના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
અહીં,ચારેય બહારના અવરોધો $20 \ \Omega$ છે,તેથી ગુણોત્તર $20/20 = 20/20 = 1$ થાય છે.
બ્રિજ સંતુલિત હોવાથી,વચ્ચેનો $20 \ \Omega$ નો અવરોધ દૂર કરી શકાય છે.
હવે,પરિપથમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે,જેમાં દરેક શાખામાં બે $20 \ \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે.
ઉપરની શાખાનો અવરોધ = $20 \ \Omega + 20 \ \Omega = 40 \ \Omega$.
નીચેની શાખાનો અવરોધ = $20 \ \Omega + 20 \ \Omega = 40 \ \Omega$.
આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં છે,તેથી સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$1/R_{eq} = 1/40 + 1/40 = 2/40 = 1/20$.
તેથી,$R_{eq} = 20 \ \Omega$.

(D) આ પરિપથ એક સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. ધારો કે નોડ્સ $P$ (ઉપર) અને $Q$ (નીચે) છે. બધા અવરોધો $3 \, \Omega$ ના છે. ભુજાઓમાં અવરોધોનો ગુણોત્તર $\frac{3}{3} = \frac{3}{3}$ છે,તેથી વચ્ચેના $3 \, \Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
વચ્ચેના અવરોધને દૂર કરતા,આપણી પાસે બે સમાંતર શાખાઓ છે. ઉપરની શાખામાં બે $3 \, \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,જે $3 + 3 = 6 \, \Omega$ આપે છે. નીચેની શાખામાં પણ બે $3 \, \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,જે $3 + 3 = 6 \, \Omega$ આપે છે.
આ બે $6 \, \Omega$ ની શાખાઓ સમાંતરમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ માટે $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ થાય છે.
તેથી,$R_{eq} = 3 \, \Omega$ મળે છે.

(B) વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ સંતુલિત સ્થિતિમાં છે કારણ કે ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન છે $(R/R = R/R)$.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,ગેલ્વેનોમીટર ભુજા $(BD)$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી,સમતુલ્ય અવરોધની ગણતરી માટે ગેલ્વેનોમીટરના અવરોધ $R$ ને અવગણી શકાય છે.
આ પરિપથ બિંદુ $A$ અને $C$ વચ્ચે જોડાયેલી બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે.
ઉપરની શાખામાં શ્રેણીમાં બે અવરોધ $R$ છે: $R_{AB} + R_{BC} = R + R = 2R$.
નીચેની શાખામાં શ્રેણીમાં બે અવરોધ $R$ છે: $R_{AD} + R_{CD} = R + R = 2R$.
આ બે શાખાઓ ($2R$ અને $2R$) સમાંતરમાં છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R_{eq} = \frac{(2R \times 2R)}{(2R + 2R)} = \frac{4R^2}{4R} = R$.

(B) આ સર્કિટ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ દર્શાવે છે. જ્યારે બ્રિજ સંતુલિત હોય ત્યારે $B$ અને $D$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય હોય છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,વિરુદ્ધ ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ: $\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{R_{BC}}{R_{DC}}$.
અહીં,$R_{AB} = 12 \, \Omega$.
$R_{AD} = X + 6 \, \Omega$.
$R_{BC}$ એ સમાંતરમાં જોડાયેલા બે $1 \, \Omega$ અવરોધો ધરાવે છે,તેથી $R_{BC} = \frac{1 \times 1}{1 + 1} = 0.5 \, \Omega$.
$R_{DC}$ એ સમાંતરમાં જોડાયેલા બે $1 \, \Omega$ અવરોધો ધરાવે છે,તેથી $R_{DC} = \frac{1 \times 1}{1 + 1} = 0.5 \, \Omega$.
સંતુલન શરત લાગુ પાડતા: $\frac{12}{X + 6} = \frac{0.5}{0.5}$.
$\frac{12}{X + 6} = 1$.
$12 = X + 6$.
$X = 6 \, \Omega$.

(B) આપેલ સર્કિટ એક વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. ધારો કે નોડ્સ $A, B, C, D$ છે. જો વિરુદ્ધ ભુજાઓમાં અવરોધનો ગુણોત્તર સમાન હોય તો બ્રિજ સંતુલિત છે તેમ કહેવાય. અહીં,અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{4}{2} = 2$ અને $\frac{6}{3} = 2$ છે. ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,મધ્યના $4\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. તેથી,તેને સર્કિટમાંથી દૂર કરી શકાય છે.
હવે,સર્કિટમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે: એક $(4\,\Omega + 2\,\Omega) = 6\,\Omega$ અને બીજી $(6\,\Omega + 3\,\Omega) = 9\,\Omega$.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ આ મુજબ મળે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{3+2}{18} = \frac{5}{18}$.
તેથી,$R_{eq} = \frac{18}{5}\,\Omega$.
બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{V}{18/5} = \frac{5V}{18}$.

(B) ગેલ્વેનોમીટર $G$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો ન હોવાથી,$G$ અને $E$ વાળી શાખામાં પ્રવાહ શૂન્ય છે.
આનો અર્થ એ છે કે અવરોધ $X$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત બેટરી $E$ ના $e.m.f.$ જેટલો હોવો જોઈએ.
ધારો કે $E_1$,$500 \, \Omega$ અને $X$ ધરાવતા લૂપમાં વહેતો પ્રવાહ $I$ છે.
ઓમના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ $I = \frac{E_1}{500 + X}$ મળે.
$X$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_X = I \cdot X = \left( \frac{E_1}{500 + X} \right) X$ થાય.
અહીં $V_X = E$ હોવાથી,$\left( \frac{12}{500 + X} \right) X = 2$ મળે.
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,$\left( \frac{6}{500 + X} \right) X = 1$ મળે.
$6X = 500 + X$.
$5X = 500$.
$X = 100 \, \Omega$.

(A) કિર્ચોફનો પ્રથમ નિયમ,જેને કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે જણાવે છે કે વિદ્યુત પરિપથમાં કોઈ જંકશન પર મળતા પ્રવાહોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે,એટલે કે $\Sigma i = 0$.
આ નિયમ સૂચવે છે કે જંકશનમાં પ્રવેશતો કુલ વીજભાર તેટલા જ સમયગાળામાં જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા કુલ વીજભાર જેટલો જ હોવો જોઈએ.
જંકશન પર વિદ્યુતભારનું સર્જન કે વિનાશ થઈ શકતો નથી,તેથી આ નિયમ વીજભાર સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે.

(B) કિર્ચોફનો બીજો નિયમ,જેને કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે જણાવે છે કે પરિપથના કોઈપણ બંધ ગાળામાં વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે.
આ નિયમ ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે,કારણ કે તે સૂચવે છે કે એકમ વીજભારને બંધ ગાળામાં ફરવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય શૂન્ય હોય છે.

(A) કિર્ચોફના પ્રથમ નિયમ (જંકશનના નિયમ) મુજબ,જંકશનમાં દાખલ થતા વિદ્યુતપ્રવાહનો સરવાળો જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા વિદ્યુતપ્રવાહના સરવાળા જેટલો હોય છે.
$1$. જંકશન $A$ પર,દરેક $2\,A$ ના બે વિદ્યુતપ્રવાહ દાખલ થાય છે. તેથી,જંકશન $A$ થી જંકશન $B$ તરફ જતો વિદ્યુતપ્રવાહ $i_{AB} = 2\,A + 2\,A = 4\,A$ છે.
$2$. જંકશન $B$ પર,$A$ થી $4\,A$ નો વિદ્યુતપ્રવાહ દાખલ થાય છે અને $1\,A$ નો વિદ્યુતપ્રવાહ બહાર નીકળે છે. તેથી,જંકશન $B$ થી જંકશન $C$ તરફ જતો વિદ્યુતપ્રવાહ $i_{BC} = 4\,A - 1\,A = 3\,A$ છે.
$3$. જંકશન $C$ પર,$B$ થી $3\,A$ નો વિદ્યુતપ્રવાહ દાખલ થાય છે અને $1.3\,A$ નો વિદ્યુતપ્રવાહ બહાર નીકળે છે. બાકી રહેલો વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ પણ જંકશન $C$ માંથી બહાર નીકળે છે. તેથી,$3\,A = 1.3\,A + i$,જે આપણને $i = 3\,A - 1.3\,A = 1.7\,A$ આપે છે.

(A) કિર્ચોફના લૂપના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$(2 + 2) = (0.1 + 0.3 + 0.2)i$
$4 = 0.6i$
$i = \frac{4}{0.6} = \frac{20}{3}\,A$
કોષની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E - ir$ (ડિસ્ચાર્જિંગ) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોષ $A$ માટે $(E_A = 2\,V, r_A = 0.1\,\Omega)$: $V_A = 2 - (20/3) \times 0.1 = 2 - 0.66 = 1.33\,V$.
કોષ $B$ માટે $(E_B = 2\,V, r_B = 0.3\,\Omega)$: $V_B = 2 - (20/3) \times 0.3 = 2 - 2 = 0\,V$.
આમ,કોષ $B$ ની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય છે.

(C) કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ,જંકશનમાં દાખલ થતા પ્રવાહોનો સરવાળો એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
ધારો કે ચોરસના ચાર ખૂણાઓ $A$ (ઉપર-ડાબે),$B$ (ઉપર-જમણે),$C$ (નીચે-જમણે),અને $D$ (નીચે-ડાબે) છે.
$1$. નોડ $A$ પર: દાખલ થતો પ્રવાહ $15 \ A$ છે. બહાર નીકળતા પ્રવાહો $8 \ A$ (નીચે તરફ) અને $x$ (જમણી તરફ) છે. તેથી,$15 = 8 + x \implies x = 7 \ A$.
$2$. નોડ $B$ પર: દાખલ થતા પ્રવાહો $3 \ A$ અને $x = 7 \ A$ છે. બહાર નીકળતો પ્રવાહ $y$ (નીચે તરફ) છે. તેથી,$y = 3 + 7 = 10 \ A$.
$3$. નોડ $D$ પર: દાખલ થતા પ્રવાહો $5 \ A$ અને $8 \ A$ (ઉપર તરફ) છે. બહાર નીકળતો પ્રવાહ $z$ (જમણી તરફ) છે. તેથી,$z = 5 + 8 = 13 \ A$.
$4$. નોડ $C$ પર: દાખલ થતા પ્રવાહો $y = 10 \ A$ અને $z = 13 \ A$ છે. બહાર નીકળતો પ્રવાહ $i$ છે. તેથી,$i = 10 + 13 = 23 \ A$.

(B) કિરચોફના વિદ્યુતપ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ,જંકશનમાં દાખલ થતા વિદ્યુતપ્રવાહનો સરવાળો તેમાંથી બહાર નીકળતા વિદ્યુતપ્રવાહના સરવાળા જેટલો હોય છે.
જંકશન $A$ પર,વિદ્યુતપ્રવાહ $i_1$ દાખલ થાય છે અને $i_2$ તથા $i_3$ માં વિભાજિત થાય છે,તેથી $i_1 = i_2 + i_3$ થાય.
હવે,જંકશન $C$ નો વિચાર કરો. વિદ્યુતપ્રવાહ $i_3$ એ શાખા $AC$ દ્વારા $C$ પર પહોંચે છે. વિદ્યુતપ્રવાહ $i_2$ એ શાખા $AB$ અને ત્યારબાદ શાખા $BC$ માંથી વહીને જંકશન $C$ પર પહોંચે છે.
તેથી,જંકશન $C$ માં દાખલ થતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $i_2 + i_3$ છે.
આ સંયુક્ત વિદ્યુતપ્રવાહ ત્યારબાદ ભુજા $CD$ માંથી વહે છે.
આમ,ભુજા $CD$ માં વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $i_2 + i_3$ છે.

(D) ધારો કે પરિપથના ડાબા અને જમણા લૂપમાં વહેતો પ્રવાહ અનુક્રમે ${i_1}$ અને ${i_2}$ છે,જે ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં વહે છે. મધ્ય શાખામાંથી નીચેની તરફ વહેતો પ્રવાહ ${i_3}$ છે.
ડાબા લૂપ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ પાડતા:
$28{i_1} + 6 + 8 = 0$
$28{i_1} = -14$
${i_1} = -14/28 = -0.5 \, A$
જમણા લૂપ માટે $KVL$ લાગુ પાડતા:
$54{i_2} + 6 + 12 = 0$
$54{i_2} = -18$
${i_2} = -18/54 = -1/3 \, A$
હવે ઉપરના જંકશન પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા:
${i_3} = {i_1} + {i_2} = -0.5 - 1/3 = -3/6 - 2/6 = -5/6 \, A$.

(D) બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાંતર શાખાઓ માટેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
${V_{AB}} = \frac{\frac{E_1}{r_1} + \frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}}$
અહીં,$E_1 = 5\,V$,$r_1 = 10\,\Omega$,$E_2 = 2\,V$,અને $r_2 = X\,\Omega$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$4 = \frac{\frac{5}{10} + \frac{2}{X}}{\frac{1}{10} + \frac{1}{X}}$
$4 = \frac{\frac{X + 4}{2X}}{\frac{X + 10}{10X}}$
$4 = \frac{X + 4}{2X} \times \frac{10X}{X + 10}$
$4 = \frac{5(X + 4)}{X + 10}$
$4(X + 10) = 5X + 20$
$4X + 40 = 5X + 20$
$X = 20\,\Omega$.

(D) આપેલ પરિપથમાં,ટર્મિનલ $A$ અને $B$ ખુલ્લા છે (ઓપન સર્કિટ).
પરિપથમાં કોઈ પ્રવાહ વહેતો ન હોવાથી $(I = 0)$,કોષના આંતરિક અવરોધમાં કોઈ વોલ્ટેજ ડ્રોપ થતો નથી (આદર્શ કોષ ધારી લેતા).
તેથી,ખુલ્લા ટર્મિનલ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ કોષના વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ જેટલો જ હોય છે.
આમ,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $20 \ V$ છે.

(B) પરિપથનું વિશ્લેષણ કિર્ચોફના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે.
ધારો કે ઉપરની શાખામાં વિદ્યુતપ્રવાહ $I_1$ (ઉપરની તરફ વહે છે),મધ્ય શાખામાં વિદ્યુતપ્રવાહ $I_3$ (ડાબી તરફ વહે છે),અને નીચેની શાખામાં વિદ્યુતપ્રવાહ $I_2$ (નીચેની તરફ વહે છે).
ડાબી જંકશન પર કિર્ચોફનો વિદ્યુતપ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા:
$I_3 = I_1 + I_2$ ........... $(i)$
ઉપરના લૂપ $(ABCDA)$ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજનો નિયમ $(KVL)$ લાગુ પાડતા:
$-30I_1 - 40I_3 + 40 = 0$
$I_3 = I_1 + I_2$ મૂકતા:
$-30I_1 - 40(I_1 + I_2) + 40 = 0$
$-70I_1 - 40I_2 = -40$
$7I_1 + 4I_2 = 4$ ........... $(ii)$
નીચેના લૂપ $(ADEFA)$ માટે $KVL$ લાગુ પાડતા:
$-40I_2 - 40I_3 + 80 + 40 = 0$
$-40I_2 - 40(I_1 + I_2) = -120$
$40I_1 + 80I_2 = 120$
$I_1 + 2I_2 = 3$ ........... $(iii)$
સમીકરણ $(iii)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$2I_1 + 4I_2 = 6$ ........... $(iv)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(iv)$ બાદ કરતા:
$(7I_1 - 2I_1) + (4I_2 - 4I_2) = 4 - 6$
$5I_1 = -2$
$I_1 = -0.4 \, A$.

(A) પરિપથમાં પ્રવાહ $i$ શોધવા માટે,આપણે લૂપ પર કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ કરીએ છીએ.
બિંદુ $A$ થી શરૂ કરીને અને ઉપરની શાખામાં ઘડિયાળની દિશામાં આગળ વધતા:
$-10i + 5 - 20i - 2 = 0$
પદોને જોડતા:
$-30i + 3 = 0$
$30i = 3$
$i = \frac{3}{30} = 0.1 \, A$
તેથી,પરિપથમાં પ્રવાહ $0.1 \, A$ છે.

(B) ધારો કે બેટરીમાંથી નીકળતો કુલ પ્રવાહ $i$ છે અને એમીટરમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $i_1$ છે। $4\, \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $(i - i_1)$ છે।
બાહ્ય લૂપ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા:
$10 - 1i - 4(i - i_1) = 0$
$10 = 5i - 4i_1$...... $(i)$
એમીટર અને $4\, \Omega$ ના અવરોધ ધરાવતા લૂપ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા:
$5i_1 - 4(i - i_1) = 0$
$5i_1 = 4i - 4i_1$
$9i_1 = 4i \implies i = \frac{9}{4}i_1$...... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$10 = 5(\frac{9}{4}i_1) - 4i_1$
$10 = \frac{45}{4}i_1 - \frac{16}{4}i_1$
$10 = \frac{29}{4}i_1$
$i_1 = \frac{40}{29}\, A$

(C) કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ,જંકશનમાં દાખલ થતા પ્રવાહોનો સરવાળો એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
ધારો કે જંકશનમાં દાખલ થતા પ્રવાહો ધન છે અને બહાર નીકળતા પ્રવાહો ઋણ છે.
આકૃતિ પરથી,$4 \, A$,$2 \, A$ અને $I$ પ્રવાહો જંકશનમાં દાખલ થાય છે,જ્યારે $5 \, A$ અને $3 \, A$ પ્રવાહો જંકશનમાંથી બહાર નીકળે છે.
$KCL$ લાગુ પાડતા: $4 + 2 + I = 5 + 3$
$6 + I = 8$
$I = 8 - 6 = 2 \, A$
તેથી,$I$ નું મૂલ્ય $2 \, A$ છે.

(C) આ પરિપથમાં બે અલગ લૂપ છે જે $2\,\Omega$ ના અવરોધ દ્વારા જોડાયેલા છે.
ધારો કે $2\,\Omega$ અવરોધની ડાબી બાજુના નોડ પરનું પોટેન્શિયલ $V_1$ છે અને જમણી બાજુના નોડ પરનું પોટેન્શિયલ $V_2$ છે.
ડાબી લૂપ માટે,વિદ્યુતપ્રવાહ $10\,V$ ની બેટરીમાંથી $5\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહે છે. $2\,\Omega$ ના અવરોધ દ્વારા પરિપથ પૂર્ણ કરવા માટે કોઈ રસ્તો નથી (ડાબી લૂપની જમણી બાજુએ પરિપથ ખુલ્લો છે),તેથી ડાબી બાજુથી $2\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી.
તે જ રીતે,જમણી લૂપ માટે,વિદ્યુતપ્રવાહ $20\,V$ ની બેટરીમાંથી $10\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહે છે. જમણી લૂપની ડાબી બાજુએ પરિપથ ખુલ્લો હોવાથી,જમણી બાજુથી $2\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી,$2\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $0\,A$ છે.

(C) કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ,જંકશનમાં દાખલ થતા પ્રવાહોનો સરવાળો એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
ચાલો સર્કિટના જંકશનનું વિશ્લેષણ કરીએ.
ડાબા જંકશન પર,$10 \, A$ નો પ્રવાહ દાખલ થાય છે અને $6 \, A$ નો પ્રવાહ નીચેની તરફ બહાર નીકળે છે. તેથી,ઉપરના જંકશન તરફ વહેતો પ્રવાહ $10 \, A - 6 \, A = 4 \, A$ છે.
ઉપરના જંકશન પર,ઉપરથી $1 \, A$ પ્રવાહ દાખલ થાય છે અને ડાબી શાખામાંથી $4 \, A$ પ્રવાહ દાખલ થાય છે. આમ,ઉપરના જંકશનમાંથી જમણા જંકશન તરફ બહાર નીકળતો કુલ પ્રવાહ $1 \, A + 4 \, A = 5 \, A$ છે.
નીચેના જંકશન પર,ડાબી બાજુથી $6 \, A$ પ્રવાહ દાખલ થાય છે અને નીચેથી $2 \, A$ પ્રવાહ દાખલ થાય છે. આમ,નીચેના જંકશનમાંથી જમણા જંકશન તરફ બહાર નીકળતો કુલ પ્રવાહ $6 \, A + 2 \, A = 8 \, A$ છે.
અંતે,જમણા જંકશન પર,પ્રવાહ $I$ એ ઉપરના જંકશન $(5 \, A)$ અને નીચેના જંકશન $(8 \, A)$ થી આવતા પ્રવાહોનો સરવાળો છે.
તેથી,$I = 5 \, A + 8 \, A = 13 \, A$.

(C) સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,શરત $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S'}$ છે,જ્યાં $S'$ એ $S$ અને $r$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ છે.
આપેલ છે કે $P = 9 \, \Omega$,$Q = 11 \, \Omega$,અને $R = 4 \, \Omega$.
સંતુલન શરતમાં આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{9}{11} = \frac{4}{S'}$.
$S'$ માટે ઉકેલતા,આપણને $S' = \frac{4 \times 11}{9} = \frac{44}{9} \, \Omega$ મળે છે.
કારણ કે $S'$ એ $S = 6 \, \Omega$ અને $r$ નું સમાંતર જોડાણ છે,તેથી $\frac{1}{S'} = \frac{1}{S} + \frac{1}{r}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{9}{44} = \frac{1}{6} + \frac{1}{r}$.
$r$ માટે ઉકેલતા: $\frac{1}{r} = \frac{9}{44} - \frac{1}{6} = \frac{54 - 44}{264} = \frac{10}{264} = \frac{5}{132}$.
તેથી,$r = \frac{132}{5} = 26.4 \, \Omega$.

(B) વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ સર્કિટમાં,સંતુલન માટેની શરત અવરોધોના ગુણોત્તર $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સંતુલન શરત સેલ અને ગેલ્વેનોમીટરના સ્થાનોથી સ્વતંત્ર છે.
ઇલેક્ટ્રિકલ નેટવર્કમાં પારસ્પરિકતાના સિદ્ધાંત મુજબ,જો સ્ત્રોત (સેલ) અને ડિટેક્ટર (ગેલ્વેનોમીટર) ના સ્થાનો અદલાબદલી કરવામાં આવે,તો આપેલ પોટેન્શિયલ તફાવત માટે ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ સમાન રહે છે.
તેથી,વ્હીટસ્ટોન બ્રિજનું સંતુલન બિંદુ અપરિવર્તિત રહે છે.

(B) સાચો જવાબ $B$ છે. સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,ગેલ્વેનોમીટર અને સેલના સ્થાનોને બ્રિજની સંતુલન સ્થિતિને અસર કર્યા વિના અદલાબદલી કરી શકાય છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ માં આપેલું વિધાન ખોટું છે.

(C) આપેલ પરિપથ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજની ગોઠવણી દર્શાવે છે.
વ્હીટસ્ટોન બ્રિજના સિદ્ધાંત મુજબ,જ્યારે ગેલ્વેનોમીટરમાં કોઈ વિચલન (શૂન્ય બિંદુ) જોવા મળતું નથી,ત્યારે ભુજાઓના અવરોધનો ગુણોત્તર તારના ભાગોની લંબાઈના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.
ધારો કે $R_{AC}$ અને $R_{CB}$ એ અનુક્રમે તારના ભાગો $AC$ અને $CB$ ના અવરોધ છે.
તાર સમાન હોવાથી,અવરોધ તેની લંબાઈના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{R_{AC}}{R_{CB}} = \frac{AC}{CB}$.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,શરત છે: $\frac{R}{80\,\Omega} = \frac{R_{AC}}{R_{CB}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{R}{80} = \frac{20}{80}$.
$R$ માટે ઉકેલતા: $R = 20\,\Omega$.

(B) ધારો કે $c$ પરનું સ્થિતિમાન $V_c$ અને $d$ પરનું સ્થિતિમાન $V_d$ છે. બેટરી $c$ અને $d$ વચ્ચે જોડાયેલી હોવાથી,$V_c > V_d$ છે.
શાખા $c-b-d$ માટે,અવરોધો $X$ અને $Y$ શ્રેણીમાં છે. $X = Y$ હોવાથી,$b$ પરનું સ્થિતિમાન મધ્યબિંદુ સ્થિતિમાન છે: $V_b = \frac{V_c + V_d}{2}$.
શાખા $c-a-d$ માટે,અવરોધો $A$ અને $B$ શ્રેણીમાં છે. $a$ પરનું સ્થિતિમાન પોટેન્શિયલ ડિવાઈડર સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $V_a = V_d + (V_c - V_d) \frac{B}{A + B}$.
$A > B$ હોવાથી,$\frac{B}{A + B} < \frac{1}{2}$ થાય.
તેથી,$V_a < V_d + (V_c - V_d) \frac{1}{2} = \frac{V_c + V_d}{2}$.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $V_b > V_a$ મળે છે. વિદ્યુતપ્રવાહ હંમેશા ઊંચા સ્થિતિમાનથી નીચા સ્થિતિમાન તરફ વહેતો હોવાથી,પ્રવાહ $b$ થી $a$ તરફ વહેશે.

(C) વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,જ્યારે ગેલ્વેનોમીટરની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય હોય ત્યારે બ્રિજ સંતુલિત છે તેમ કહેવાય છે.
જ્યારે બ્રિજ સંતુલિત હોય,ત્યારે ગેલ્વેનોમીટરની શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આપેલ સર્કિટમાં,સ્વીચ $S$ ગેલ્વેનોમીટર સાથે શ્રેણીમાં છે.
જો બ્રિજ સંતુલિત હોય,તો ગેલ્વેનોમીટર શાખાના બંને છેડા પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન હોય છે.
તેથી,જો સ્વીચ $S$ બંધ હોય તો પણ,ગેલ્વેનોમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેશે નહીં અને તે કોઈ વિચલન દર્શાવશે નહીં.
આમ,જો $\frac{P}{Q} = \frac{R}{G}$ ની શરત પૂરી થાય,તો સ્વીચ $S$ ખુલ્લી હોય કે બંધ,વિચલન શૂન્ય જ રહે છે.

(A) સ્વિચ $S$ ખુલ્લી હોય કે બંધ હોય,ગેલ્વેનોમીટરનું અવલોકન સમાન રહે છે.
આનો અર્થ એ છે કે સ્વિચ $S$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય છે,અથવા જ્યારે સ્વિચ બંધ હોય ત્યારે તેમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
જો સ્વિચમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો ન હોય,તો $R$ ધરાવતી શાખા અને ગેલ્વેનોમીટર $G$ ધરાવતી શાખા અસરકારક રીતે શ્રેણીમાં જોડાયેલ એક જ પરિપથ તરીકે કાર્ય કરે છે.
તેથી,$R$ અને $G$ બંનેમાંથી સમાન પ્રવાહ વહેવો જોઈએ.
આમ,$I_R = I_G$.