Bohr's Model of Hydrogen Atom Questions in Gujarati

(N/A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં $r = 5.3 \times 10^{-11} \, m$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં પ્રોટોનની આસપાસ ફરતા ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v = 2.2 \times 10^{6} \, m/s$ છે.
પ્રોટોનની આસપાસ ફરતા ઇલેક્ટ્રોનની આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{v}{2 \pi r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$f = \frac{2.2 \times 10^{6} \, m/s}{2 \times 3.14 \times 5.3 \times 10^{-11} \, m}$
$f \approx 6.6 \times 10^{15} \, Hz$.
શાસ્ત્રીય વિદ્યુતચુંબકીય સિદ્ધાંત મુજબ,ફરતા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ઉત્સર્જિત વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની આવૃત્તિ તેની ન્યુક્લિયસની આસપાસની ભ્રમણ આવૃત્તિ જેટલી હોય છે. તેથી,ઉત્સર્જિત પ્રકાશની પ્રારંભિક આવૃત્તિ $6.6 \times 10^{15} \, Hz$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા $E = -13.6 \; eV$ આપેલ છે.
કુલ ઉર્જા એ ગતિજ ઉર્જા $(K)$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $(U)$ નો સરવાળો છે,એટલે કે $E = K + U$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન માટે,ગતિજ ઉર્જા એ કુલ ઉર્જા સાથે $K = -E$ સંબંધ ધરાવે છે.
તેથી,$K = -(-13.6 \; eV) = 13.6 \; eV$.
સ્થિતિ ઉર્જા એ કુલ ઉર્જા સાથે $U = 2E$ સંબંધ ધરાવે છે.
તેથી,$U = 2 \times (-13.6 \; eV) = -27.2 \; eV$.
આમ,ગતિજ ઉર્જા $13.6 \; eV$ છે અને સ્થિતિ ઉર્જા $-27.2 \; eV$ છે.

(N/A) ધારો કે $v_{n}$ એ $n$-માં સ્તરમાં હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષીય ઝડપ છે. ઝડપ $v_{n} = \frac{v_{1}}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_{1} = \frac{e^{2}}{2 \epsilon_{0} h} \approx 2.18 \times 10^{6} \, m/s$ છે.
$n=1$ માટે: $v_{1} = 2.18 \times 10^{6} \, m/s$.
$n=2$ માટે: $v_{2} = \frac{v_{1}}{2} = 1.09 \times 10^{6} \, m/s$.
$n=3$ માટે: $v_{3} = \frac{v_{1}}{3} = 7.27 \times 10^{5} \, m/s$.
$(b)$ કક્ષીય આવર્તકાળ $T_{n}$ એ $T_{n} = \frac{2 \pi r_{n}}{v_{n}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $r_{n} = n^{2} r_{1}$ અને $v_{n} = \frac{v_{1}}{n}$ છે,તેથી $T_{n} = n^{3} T_{1}$ મળે,જ્યાં $T_{1} = \frac{2 \pi r_{1}}{v_{1}} \approx 1.52 \times 10^{-16} \, s$ છે.
$n=1$ માટે: $T_{1} = 1.52 \times 10^{-16} \, s$.
$n=2$ માટે: $T_{2} = 2^{3} T_{1} = 8 \times 1.52 \times 10^{-16} = 1.22 \times 10^{-15} \, s$.
$n=3$ માટે: $T_{3} = 3^{3} T_{1} = 27 \times 1.52 \times 10^{-16} = 4.12 \times 10^{-15} \, s$.

(N/A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની સૌથી અંદરની કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_{1} = 5.3 \times 10^{-11} \;m$ આપેલ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_{n} = n^{2} r_{1}$ છે,જ્યાં $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
$n=2$ માટે:
$r_{2} = (2)^{2} \times r_{1} = 4 \times 5.3 \times 10^{-11} = 2.12 \times 10^{-10} \;m$.
$n=3$ માટે:
$r_{3} = (3)^{2} \times r_{1} = 9 \times 5.3 \times 10^{-11} = 4.77 \times 10^{-10} \;m$.
આમ,$n=2$ અને $n=3$ કક્ષાઓ માટેની ત્રિજ્યા અનુક્રમે $2.12 \times 10^{-10} \;m$ અને $4.77 \times 10^{-10} \;m$ છે.

(D) આપેલ છે:
કક્ષાની ત્રિજ્યા,$r = 1.5 \times 10^{11} \; m$
કક્ષીય ઝડપ,$v = 3 \times 10^{4} \; m/s$
પૃથ્વીનું દળ,$m = 6.0 \times 10^{24} \; kg$
પ્લાન્કનો અચળાંક,$h = 6.626 \times 10^{-34} \; J \cdot s$
કોણીય વેગમાન માટે બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ:
$L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$
ક્વોન્ટમ નંબર $n$ માટે સૂત્ર:
$n = \frac{2\pi mvr}{h}$
કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{2 \times 3.1416 \times (6.0 \times 10^{24}) \times (3 \times 10^{4}) \times (1.5 \times 10^{11})}{6.626 \times 10^{-34}}$
$n = \frac{169.646 \times 10^{39}}{6.626 \times 10^{-34}}$
$n \approx 25.603 \times 10^{73} \approx 2.56 \times 10^{74}$
આમ,ક્વોન્ટમ નંબર $n \approx 2.6 \times 10^{74}$ મળે છે.

(N/A) પ્રથમ બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યા નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$r_{1} = \frac{4 \pi \epsilon_{0} (\frac{h}{2 \pi})^{2}}{m_{e} e^{2}} \dots (i)$
જ્યાં:
$\epsilon_{0} = 8.854 \times 10^{-12} \, C^{2} N^{-1} m^{-2}$ (શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી)
$h = 6.63 \times 10^{-34} \, J s$ (પ્લાન્કનો અચળાંક)
$m_{e} = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$ (ઇલેક્ટ્રોનનું દળ)
$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ (ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર)
$m_{p} = 1.67 \times 10^{-27} \, kg$ (પ્રોટોનનું દળ)
$G = 6.67 \times 10^{-11} \, N m^{2} kg^{-2}$ (ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક)
કુલંબ બળ: $F_{c} = \frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}}$
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ: $F_{G} = \frac{G m_{p} m_{e}}{r^{2}}$
જો ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા બંધાયેલા હોય, તો કેન્દ્રગામી બળને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ સાથે સરખાવતા:
$\frac{m_{e} v^{2}}{r} = \frac{G m_{p} m_{e}}{r^{2}}$
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત $m_{e} v r = \frac{h}{2 \pi}$ નો ઉપયોગ કરીને, $v = \frac{h}{2 \pi m_{e} r}$ ને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$r_{1} = \frac{h^{2}}{4 \pi^{2} G m_{p} m_{e}^{2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$r_{1} = \frac{(6.63 \times 10^{-34})^{2}}{4 \times (3.14)^{2} \times 6.67 \times 10^{-11} \times 1.67 \times 10^{-27} \times (9.1 \times 10^{-31})^{2}}$
$r_{1} \approx 1.21 \times 10^{29} \, m$
અવલોકનક્ષમ બ્રહ્માંડ આશરે $1.5 \times 10^{27} \, m$ હોવાથી, ગણતરી કરેલ ત્રિજ્યા બ્રહ્માંડના કદ કરતા ઘણી મોટી છે.

(N/A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^2 n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પરમાણુ સ્તર $n$ થી $(n-1)$ માં સંક્રમણ કરે છે,ત્યારે ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $h \nu = E_n - E_{n-1}$ થાય છે.
$h \nu = \frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^2} \left( \frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{n^2} \right)$.
$
u = \frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3} \left( \frac{n^2 - (n-1)^2}{n^2(n-1)^2} \right) = \frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3} \left( \frac{2n-1}{n^2(n-1)^2} \right)$.
મોટા $n$ માટે,$2n-1 \approx 2n$ અને $(n-1) \approx n$,તેથી $
u \approx \frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3} \left( \frac{2n}{n^4} \right) = \frac{m e^4}{4 \epsilon_0^2 h^3 n^3}$.
પરિભ્રમણની શાસ્ત્રીય આવૃત્તિ $\nu_c = \frac{v}{2 \pi r}$ છે.
$v = \frac{e^2}{2 \epsilon_0 h n}$ અને $r = \frac{\epsilon_0 h^2 n^2}{\pi m e^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\nu_c = \frac{v}{2 \pi r} = \frac{e^2 / (2 \epsilon_0 h n)}{2 \pi (\epsilon_0 h^2 n^2 / \pi m e^2)} = \frac{m e^4}{4 \epsilon_0^2 h^3 n^3}$ મળે છે.
આમ,મોટા $n$ માટે,ક્વોન્ટમ આવૃત્તિ એ શાસ્ત્રીય આવૃત્તિ જેટલી જ છે.

(N/A) $e, m_{e},$ અને $c$ નો સમાવેશ કરતી લંબાઈના પરિમાણ ધરાવતી રાશિ એ શાસ્ત્રીય ઇલેક્ટ્રોન ત્રિજ્યા છે,જે $r_{e} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{e^{2}}{m_{e} c^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$e = 1.6 \times 10^{-19} \; C$,$m_{e} = 9.1 \times 10^{-31} \; kg$,$c = 3 \times 10^{8} \; m/s$,અને $\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \; Nm^{2}C^{-2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r_{e} = (9 \times 10^{9}) \times \frac{(1.6 \times 10^{-19})^{2}}{9.1 \times 10^{-31} \times (3 \times 10^{8})^{2}} \approx 2.81 \times 10^{-15} \; m$.
આ મૂલ્ય પરમાણુના કદ $\sim 10^{-10} \; m$ કરતા ઘણું નાનું છે.
$(b)$ $h, m_{e},$ અને $e$ નો સમાવેશ કરતી લંબાઈના પરિમાણ ધરાવતી રાશિ એ બોહર ત્રિજ્યા $a_{0} = \frac{4 \pi \epsilon_{0} \hbar^{2}}{m_{e} e^{2}}$ છે,જ્યાં $\hbar = \frac{h}{2 \pi}$.
$h = 6.63 \times 10^{-34} \; Js$ મૂકતા:
$a_{0} = \frac{1}{9 \times 10^{9}} \times \frac{(6.63 \times 10^{-34} / (2 \times 3.14))^{2}}{9.1 \times 10^{-31} \times (1.6 \times 10^{-19})^{2}} \approx 0.53 \times 10^{-10} \; m$.
આ મૂલ્ય $10^{-10} \; m$ ના ક્રમનું છે,જે પરમાણુના જાણીતા કદ સાથે મેળ ખાય છે.

(N/A) કોણીય વેગમાનનું ક્વોન્ટાઈઝેશન એ પ્રકૃતિનો મૂળભૂત નિયમ છે, પરંતુ તેની અસરો માત્ર સૂક્ષ્મ સ્તરે જ જોઈ શકાય છે।
ગ્રહોની ગતિ માટે, કોણીય વેગમાન $(L)$ એ પ્લાન્કના અચળાંક $(h)$ ની તુલનામાં અત્યંત વિશાળ છે।
ઉદાહરણ તરીકે, પૃથ્વીનું તેની કક્ષામાં કોણીય વેગમાન $10^{70} h$ ના ક્રમનું છે।
બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ, $L = n(h / 2 \pi)$, જેનો અર્થ છે કે $n = 2 \pi L / h$।
કિંમતો મૂકતા, આપણે જાણીએ છીએ કે ક્વોન્ટમ નંબર $(n)$ એ $10^{70}$ ના ક્રમનો છે।
$(n)$ ના આવા અત્યંત મોટા મૂલ્યો માટે, ક્રમિક ઉર્જા સ્તરો અથવા કોણીય વેગમાન અવસ્થાઓ વચ્ચેનો તફાવત અત્યંત સૂક્ષ્મ હોય છે।
તેથી, કક્ષાઓની અસતત પ્રકૃતિ સતત વિતરણથી અલગ કરી શકાતી નથી, અને આપણે ગ્રહોની ગતિને શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સનો ઉપયોગ કરીને સમજીએ છીએ।

(N/A) ઋણ વીજભારિત મ્યુઓનનું દળ $m_{\mu} = 207 m_{e}$ છે.
બોહરના મોડેલ મુજબ,$n$ મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m Z e^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી $r \propto \frac{1}{m}$ હોવાથી,$r_{\mu} = r_{e} \times \frac{m_{e}}{m_{\mu}}$ મળે.
અહીં $r_{e} = 0.53 \times 10^{-10} \, m$ આપેલ છે,તેથી મ્યુઓનિક હાઇડ્રોજન પરમાણુની ત્રિજ્યા $r_{\mu} = \frac{0.53 \times 10^{-10}}{207} \approx 2.56 \times 10^{-13} \, m$ થાય.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટની ઉર્જા $E_n = -\frac{m Z^2 e^4}{8 \epsilon_0^2 n^2 h^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી $E \propto m$ હોવાથી,$E_{\mu} = E_{e} \times \frac{m_{\mu}}{m_{e}}$ મળે.
અહીં $E_{e} = -13.6 \, eV$ આપેલ છે,તેથી મ્યુઓનિક હાઇડ્રોજન પરમાણુની ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ઉર્જા $E_{\mu} = -13.6 \times 207 \, eV = -2815.2 \, eV \approx -2.81 \, keV$ થાય.

(N/A) બોહરના હાઇડ્રોજન પરમાણુના સિદ્ધાંત મુજબ,ન્યુક્લિયસ અને ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$F_e = F_c$
$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{e^2}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$
આના પરથી,આપણે ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષીય ત્રિજ્યા $r$ અને વેગ $v$ વચ્ચેનો સંબંધ મેળવી શકીએ છીએ:
$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{e^2}{r} = mv^2$
આમ,સંબંધ $r = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 mv^2}$ છે.

(N/A) બોહરના પરમાણુ મોડેલે પરમાણુની સ્થિરતા સમજાવવામાં સફળતા મેળવી,જેમાં એવી ધારણા કરવામાં આવી કે ઇલેક્ટ્રોન એવી સ્થિર કક્ષાઓમાં ફરે છે જ્યાં તેઓ ઉર્જાનું ઉત્સર્જન કરતા નથી.
તેણે હાઇડ્રોજન અને હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુઓ (એક-ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતી સ્પીસીઝ) માટે ઉર્જા સ્તરો અને ત્રિજ્યાની સફળતાપૂર્વક ગણતરી કરી.
તેણે રીડબર્ગ સૂત્ર અને હાઇડ્રોજનની વર્ણપટ શ્રેણી માટે સૈદ્ધાંતિક આધાર પૂરો પાડ્યો,જે $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેણે $He^+$,$Li^{2+}$ અને $Be^{3+}$ જેવા હાઇડ્રોજન જેવા આયનોના વર્ણપટને સફળતાપૂર્વક સમજાવ્યા,જ્યાં $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.

(N/A) રીડબર્ગ અચળાંક,જેને $R$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,તે હાઇડ્રોજનના પરમાણુ વર્ણપટ સાથે સંબંધિત એક ભૌતિક અચળાંક છે. તેનું મૂલ્ય આશરે $R = 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$ છે.

(N/A) $1913$ માં,બોહરે તારણ કાઢ્યું કે મોટા પાયે થતી ઘટનાઓને સમજાવવામાં વિદ્યુતચુંબકીય સિદ્ધાંતની સફળતા હોવા છતાં,તે પરમાણુ સ્તરે થતી પ્રક્રિયાઓને લાગુ પાડી શકાતી નથી.
પરમાણુનું બંધારણ અને પરમાણુ વર્ણપટ સાથેના તેના સંબંધને સમજવા માટે ક્લાસિકલ મિકેનિક્સ અને ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિઝમથી અલગ ખ્યાલોની જરૂર હતી.
બોહરે ક્લાસિકલ અને પ્રારંભિક ક્વોન્ટમ ખ્યાલોને જોડીને ત્રણ પૂર્વધારણાઓ આપી:
$(1)$ પરમાણુમાં રહેલો ઇલેક્ટ્રોન વિદ્યુતચુંબકીય સિદ્ધાંતની આગાહીથી વિપરીત,વિકિરણ ઉર્જાનું ઉત્સર્જન કર્યા વિના ચોક્કસ સ્થિર કક્ષાઓમાં ફરી શકે છે. દરેક પરમાણુમાં ચોક્કસ સ્થિર અવસ્થાઓ હોય છે જેમાં તે અસ્તિત્વ ધરાવી શકે છે અને દરેક સંભવિત અવસ્થાની ચોક્કસ કુલ ઉર્જા હોય છે. આને પરમાણુની સ્થિર અવસ્થાઓ કહેવામાં આવે છે.
$(2)$ ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસની આસપાસ ફક્ત તે જ કક્ષાઓમાં ફરે છે જેના માટે કોણીય વેગમાન $\frac{h}{2 \pi}$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોય,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક $(6.626 \times 10^{-34} \ J \ s)$ છે. આમ,ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $(L)$ ક્વોન્ટાઈઝ્ડ છે.
એટલે કે,$L = \frac{nh}{2\pi} = mvr$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$
$(3)$ બોહરની ત્રીજી પૂર્વધારણામાં પ્લાન્ક અને આઈન્સ્ટાઈન દ્વારા વિકસિત પ્રારંભિક ક્વોન્ટમ ખ્યાલોનો સમાવેશ કરવામાં આવ્યો હતો. તે જણાવે છે કે ઇલેક્ટ્રોન તેની નિર્દિષ્ટ બિન-વિકિરણ કક્ષાઓમાંથી ઓછી ઉર્જા ધરાવતી બીજી કક્ષામાં સંક્રમણ કરી શકે છે. જ્યારે તે આમ કરે છે,ત્યારે પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ વચ્ચેના ઉર્જા તફાવત જેટલી ઉર્જા ધરાવતો ફોટોન ઉત્સર્જિત થાય છે.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની આવૃત્તિ $(v)$:
$hv = E_i - E_f$
$\therefore v = \frac{E_i - E_f}{h}$
જ્યાં $E_i$ એ પ્રારંભિક અવસ્થાની ઉર્જા છે,$E_f$ એ અંતિમ અવસ્થાની ઉર્જા છે,અને $E_i > E_f$ છે.

(N/A) બોહરનું પરમાણુ મોડેલ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
ધારો કે ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m$,તેનો વીજભાર $e$,$n^{th}$ કક્ષામાં તેની રેખીય ઝડપ $v_n$,કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n$ અને ન્યુક્લિયસ પરનો વીજભાર $Ze$ છે,જ્યાં $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ઇલેક્ટ્રોન અને ન્યુક્લિયસ વચ્ચેના કુલંબિક આકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે. તેથી,
$\frac{m v_n^2}{r_n} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{(Ze)(e)}{r_n^2} = \frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0 r_n^2}$ ... $(1)$
બોહરની બીજી અભિધારણા મુજબ,$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L_n$ નીચે મુજબ છે:
$L_n = m v_n r_n = \frac{n h}{2 \pi}$ ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણી પાસે $m v_n^2 = \frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0 r_n}$ છે.
બંને બાજુ $r_n^2$ વડે ગુણતા,$m v_n^2 r_n^2 = \frac{Z e^2 r_n}{4 \pi \epsilon_0}$ મળે છે.
વર્ગમૂળ લેતા,$m v_n r_n = \sqrt{\frac{Z e^2 m r_n}{4 \pi \epsilon_0}}$.
આને સમીકરણ $(2)$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{n h}{2 \pi} = \sqrt{\frac{Z e^2 m r_n}{4 \pi \epsilon_0}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{n^2 h^2}{4 \pi^2} = \frac{Z e^2 m r_n}{4 \pi \epsilon_0}$
$r_n$ માટે ઉકેલતા:
$r_n = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m Z e^2}$

(N/A) $m$ દળ અને $e$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો ઇલેક્ટ્રોન $Ze$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા ન્યુક્લિયસની આસપાસ $r_n$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં $v_n$ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ સ્થિત-વિદ્યુત આકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$\frac{m v_n^2}{r_n} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{(Ze)(e)}{r_n^2}$
બંને બાજુ $\frac{r_n}{2}$ વડે ગુણતા,આપણને ગતિ ઉર્જા $K$ મળે છે:
$K = \frac{1}{2} m v_n^2 = \frac{Ze^2}{8 \pi \epsilon_0 r_n} \quad \dots (1)$
ન્યુક્લિયસના ક્ષેત્રમાં ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિ ઉર્જા $U$:
$U = -\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{(Ze)(e)}{r_n} = -\frac{Ze^2}{4 \pi \epsilon_0 r_n} \quad \dots (2)$
કુલ ઉર્જા $E_n$ એ ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$E_n = K + U = \frac{Ze^2}{8 \pi \epsilon_0 r_n} - \frac{Ze^2}{4 \pi \epsilon_0 r_n}$
$E_n = -\frac{Ze^2}{8 \pi \epsilon_0 r_n}$
$r_n = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m Z e^2}$ ની કિંમત ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$E_n = -\frac{Ze^2}{8 \pi \epsilon_0} \left( \frac{\pi m Z e^2}{n^2 h^2 \epsilon_0} \right) = -\frac{m Z^2 e^4}{8 \epsilon_0^2 n^2 h^2}$

(A) ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા $E_n = -\frac{Z^2me^4}{8\epsilon_0^2n^2h^2}$ નું સૂત્ર બોહરની વર્તુળાકાર કક્ષાની પૂર્વધારણા પર આધારિત છે.
આ મોડેલમાં,ઇલેક્ટ્રોન સ્થિર વિદ્યુત બળની અસર હેઠળ ન્યુક્લિયસની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરે છે તેમ માનવામાં આવે છે.
ભૌતિકશાસ્ત્રી સોમરફેલ્ડે પાછળથી આ મોડેલને લંબગોળ કક્ષાઓનો સમાવેશ કરવા માટે વિસ્તૃત કર્યું. તેમણે દર્શાવ્યું કે જ્યારે વર્તુળાકાર કક્ષાના પ્રતિબંધને હળવો કરવામાં આવે છે,ત્યારે પણ આ ઉર્જાનું સૂત્ર લંબગોળ કક્ષાઓ માટે સાચું રહે છે,જો કે કેન્દ્રીય બળ વ્યસ્ત-વર્ગના નિયમનું પાલન કરતું હોય.

(N/A) બોહરના પરમાણુ મોડેલ મુજબ, હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની $n^{\text{મી}}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$r_n = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m Z e^2}$
જ્યાં:
$n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક (કક્ષાનો ક્રમ) છે,
$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,
$\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે,
$m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે,
$Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે,
$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો મૂળભૂત વીજભાર છે.

(N/A) પરમાણુની ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ એ સિસ્ટમની સૌથી ઓછી ઉર્જા ધરાવતી અવસ્થા છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે બોહરના મોડેલના સંદર્ભમાં,તે એવી અવસ્થાને અનુરૂપ છે જ્યાં ઇલેક્ટ્રોન સૌથી અંદરની કક્ષામાં હોય છે,જે મુખ્ય ક્વોન્ટમ નંબર $n = 1$ ધરાવતી કક્ષા છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા આશરે $-13.6 \ eV$ હોય છે.

(N/A) આયનીકરણ ઉર્જા એટલે પરમાણુની ધરા-સ્થિતિમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનને ન્યુક્લિયસથી અનંત અંતરે લઈ જવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ ઉર્જા,જેથી તે પરમાણુ સાથે બંધાયેલો ન રહે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,ધરા-સ્થિતિ $(n = 1)$ ની ઉર્જા $E_1 = -13.6 \ eV$ છે.
પરમાણુનું આયનીકરણ કરવા માટે,આપણે તેને કુલ $0 \ eV$ ઉર્જા (અનંત અંતરે રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા) સુધી પહોંચાડવા માટે પૂરતી ઉર્જા આપવી પડે.
તેથી,આયનીકરણ ઉર્જા $E_{\infty} - E_1 = 0 - (-13.6 \ eV) = 13.6 \ eV$ થાય છે.

(N/A) બોહરના ત્રીજા અધિતર્ક મુજબ,જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n_{i}$ ક્વોન્ટમ આંક ધરાવતી ઊંચી ઉર્જા અવસ્થામાંથી $n_{f}$ $(n_{i} > n_{f})$ ક્વોન્ટમ આંક ધરાવતી નીચી ઉર્જા અવસ્થામાં સંક્રમણ કરે છે,ત્યારે બંને અવસ્થાઓ વચ્ચેના ઉર્જાના તફાવત જેટલી ઉર્જા ધરાવતો ફોટોન ઉત્સર્જિત થાય છે.
$n_{i}$ અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા:
$E_{n_{i}} = -\frac{m e^{4}}{8 \epsilon_{0}^{2} h^{2} n_{i}^{2}}$
$n_{f}$ અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા:
$E_{n_{f}} = -\frac{m e^{4}}{8 \epsilon_{0}^{2} h^{2} n_{f}^{2}}$
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $h \nu_{if} = E_{n_{i}} - E_{n_{f}}$ છે.
સમીકરણો મૂકતા:
$h \nu_{if} = -\frac{m e^{4}}{8 \epsilon_{0}^{2} h^{2} n_{i}^{2}} - \left( -\frac{m e^{4}}{8 \epsilon_{0}^{2} h^{2} n_{f}^{2}} \right)$
$h \nu_{if} = \frac{m e^{4}}{8 \epsilon_{0}^{2} h^{2}} \left[ \frac{1}{n_{f}^{2}} - \frac{1}{n_{i}^{2}} \right]$
આમ,ઉત્સર્જિત વિકિરણની આવૃત્તિ:
$\nu_{if} = \frac{m e^{4}}{8 \epsilon_{0}^{2} h^{3}} \left[ \frac{1}{n_{f}^{2}} - \frac{1}{n_{i}^{2}} \right]$
તરંગ સંખ્યા $\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda} = \frac{\nu}{c}$ હોવાથી,આવૃત્તિને પ્રકાશની ઝડપ $c$ વડે ભાગતા:
$\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda_{if}} = \frac{m e^{4}}{8 \epsilon_{0}^{2} h^{3} c} \left[ \frac{1}{n_{f}^{2}} - \frac{1}{n_{i}^{2}} \right]$
અહીં,$R = \frac{m e^{4}}{8 \epsilon_{0}^{2} h^{3} c}$ એ રિડબર્ગ અચળાંક છે,જેનું સૈદ્ધાંતિક મૂલ્ય આશરે $1.097 \times 10^{7} \ m^{-1}$ છે.

(N/A) રીડબર્ગ અચળાંક $(R)$ એ હાઇડ્રોજનના પરમાણુ વર્ણપટ સાથે સંબંધિત એક મૂળભૂત ભૌતિક અચળાંક છે.
રીડબર્ગ અચળાંકનું સૈદ્ધાંતિક મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર પરથી મેળવવામાં આવે છે:
$R = \frac{m_e e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3 c}$
જ્યાં $m_e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે,$e$ એ પ્રાથમિક વિદ્યુતભાર છે,$\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
પ્રમાણિત મૂલ્યો મૂકતા:
$R \approx 1.0973731568 \times 10^7 \ m^{-1}$.
પ્રાયોગિક મૂલ્ય હાઇડ્રોજન પરમાણુઓના ઉચ્ચ-ચોકસાઇવાળા સ્પેક્ટ્રોસ્કોપી દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે અને તે સૈદ્ધાંતિક મૂલ્ય સાથે સુસંગત જોવા મળે છે:
$R \approx 1.0973731568 \times 10^7 \ m^{-1}$.

(N/A) બોહરે તેમની બીજી અભિધારણામાં સૂચવ્યું હતું કે ન્યુક્લિયસની આસપાસ ભ્રમણ કરતા ઈલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન ક્વોન્ટાઈઝ્ડ હોય છે.
લુઈસ ડી બ્રોગ્લીએ $1923$ માં આ માટે ભૌતિક સમજૂતી આપી હતી.
ડી બ્રોગ્લીની પરિકલ્પના મુજબ,દ્રવ્યના કણો તરંગ પ્રકૃતિ ધરાવે છે. ડેવિસન અને જર્મરે પ્રાયોગિક રીતે આ તરંગ પ્રકૃતિની પુષ્ટિ કરી હતી.
બોહરે સૂચવ્યું કે વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલો ઈલેક્ટ્રોન દ્રવ્ય તરંગ તરીકે વર્તે છે.
દોરી પરના તરંગોની જેમ,કણ તરંગો પણ અનુનાદની સ્થિતિમાં સ્થિત તરંગો (standing waves) બનાવી શકે છે.
જ્યારે દોરીને ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે ઘણા તરંગો ઉત્પન્ન થાય છે,પરંતુ માત્ર તે જ તરંગો ટકી રહે છે જે સ્થિત તરંગો બનાવે છે (છેડા પર નિસ્પંદ બિંદુઓ સાથે). આ ત્યારે થાય છે જ્યારે તરંગ દ્વારા કાપેલું કુલ અંતર તેની તરંગલંબાઈનો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોય.
અન્ય તરંગલંબાઈ ધરાવતા તરંગો પરાવર્તન પછી વિનાશક વ્યતિકરણ અનુભવે છે અને તેમનો કંપવિસ્તાર શૂન્ય થઈ જાય છે; તેથી,ઈલેક્ટ્રોન આવી કક્ષામાં રહી શકતો નથી.
$r_n$ ત્રિજ્યા ધરાવતી $n$-મી વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા ઈલેક્ટ્રોન માટે,કક્ષાનો પરિઘ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ.
તેથી,$2 \pi r_n = n \lambda$ ... $(1)$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$
તરંગલંબાઈ અને વેગમાન માટે ડી બ્રોગ્લીના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v_n}$ ... $(2)$.
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$2 \pi r_n = n \left( \frac{h}{m v_n} \right)$
પદોની ગોઠવણી કરતા કોણીય વેગમાન માટે ક્વોન્ટાઈઝેશન શરત મળે છે:
$m v_n r_n = \frac{n h}{2 \pi}$

(N/A) $(1)$ બોહર મોડેલ ફક્ત હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુઓ (hydrogenic atoms) માટે જ લાગુ પડે છે. તેને હિલિયમ જેવા સાદા બે-ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતા પરમાણુઓ માટે પણ વિસ્તૃત કરી શકાતું નથી.
- એક કરતા વધુ ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતા પરમાણુઓનું વિશ્લેષણ હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુઓ માટેના બોહરના મોડેલના આધારે કરવાનો પ્રયાસ કરવામાં આવ્યો હતો,પરંતુ તેમાં કોઈ સફળતા મળી ન હતી.
- મુશ્કેલી એ હકીકતમાં રહેલી છે કે દરેક ઇલેક્ટ્રોન માત્ર ધન વીજભારિત ન્યુક્લિયસ સાથે જ નહીં,પરંતુ અન્ય તમામ ઇલેક્ટ્રોન સાથે પણ આંતરક્રિયા કરે છે.
- બોહર મોડેલના સૂત્રીકરણમાં ધન વીજભારિત ન્યુક્લિયસ અને ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેના વિદ્યુત બળનો સમાવેશ થાય છે. તેમાં ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેના વિદ્યુત બળનો સમાવેશ થતો નથી,જે બહુ-ઇલેક્ટ્રોન પરમાણુઓમાં અનિવાર્યપણે જોવા મળે છે.
$(2)$ જોકે બોહરનું મોડેલ હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુઓ દ્વારા ઉત્સર્જિત પ્રકાશની આવૃત્તિઓની સાચી આગાહી કરે છે,પરંતુ તે વર્ણપટમાં આવૃત્તિઓની સાપેક્ષ તીવ્રતા સમજાવવામાં અસમર્થ છે.
- હાઇડ્રોજનના ઉત્સર્જન વર્ણપટમાં,કેટલીક દ્રશ્યમાન આવૃત્તિઓની તીવ્રતા ઓછી હોય છે જ્યારે અન્યની તીવ્રતા વધુ હોય છે. શા માટે?
- પ્રાયોગિક અવલોકનો દર્શાવે છે કે કેટલાક સંક્રમણો અન્ય કરતા વધુ પસંદગીના હોય છે.
- બોહરનું મોડેલ આ તીવ્રતાના તફાવતોને સમજાવવામાં અસમર્થ છે.
- આ મોડેલ જટિલ પરમાણુઓ માટે લાગુ કરી શકાતું નથી. જટિલ પરમાણુઓ માટે આપણે ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ પર આધારિત નવી થિયરીનો ઉપયોગ કરવો પડે છે.

(N/A) બોહરના બીજા અધિતર્ક મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસની આસપાસ માત્ર એવી જ કક્ષાઓમાં ભ્રમણ કરે છે કે જેના માટે તેનું કોણીય વેગમાન $\frac{h}{2\pi}$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોય.
ગાણિતિક રીતે,આ શરત નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે:
$L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$
જ્યાં:
$L$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન છે.
$m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે.
$v$ એ તેની કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ છે.
$r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
$n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે $(n = 1, 2, 3, ...)$.
$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.

(N/A) ${ }_{2} He^{3}$ અને ${ }_{2} He^{4}$ બંને હિલિયમના આઇસોટોપ્સ છે.
જ્યારે તે દરેકમાંથી એક ઇલેક્ટ્રોન દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ બંને એક ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતા હાઇડ્રોજન જેવા આયન $(He^+)$ બની જાય છે.
હાઇડ્રોજન જેવા આયનના ઉર્જા સ્તરો $E_n = -\frac{Z^2 R_y}{n^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે અને $R_y$ એ રિડબર્ગ અચળાંક છે.
બંને આઇસોટોપ્સનો પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ સમાન હોવાથી,આદર્શ બોહર મોડેલમાં તેમના ઉર્જા સ્તરો સમાન હોય છે.
જોકે,$He^3$ અને $He^4$ ના ન્યુક્લિયસના દળમાં રહેલો નજીવો તફાવત ઇલેક્ટ્રોન-ન્યુક્લિયસ તંત્રના રિડ્યુસ્ડ માસમાં ખૂબ જ નાનો તફાવત પેદા કરે છે,તેથી તેમના ઉર્જા સ્તરો ખૂબ જ નજીક હોય છે પરંતુ સંપૂર્ણપણે સમાન હોતા નથી.

(N/A) શાસ્ત્રીય ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સ મુજબ,પ્રવેગિત વિદ્યુતભારિત કણ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના સ્વરૂપમાં ઉર્જાનું ઉત્સર્જન કરે છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જાની કક્ષામાંથી નીચી ઉર્જાની કક્ષામાં સંક્રમણ કરે છે,ત્યારે તે ન્યુક્લિયસની નજીક જાય છે.
સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિ ઉર્જામાં ફેરફાર અને કોણીય વેગમાન જાળવી રાખવાની જરૂરિયાતને કારણે,ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ બદલાય છે,જે અસરકારક રીતે પ્રવેગિત ગતિ કરે છે.
ઇલેક્ટ્રોન એક વિદ્યુતભારિત કણ હોવાથી,આ પ્રવેગિત ગતિને કારણે ઉર્જાનું ઉત્સર્જન સમયાંતરે દોલન કરતા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના સ્વરૂપમાં થાય છે,જેને આપણે વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણ તરીકે જોઈએ છીએ.
ઉર્જાના અન્ય સ્વરૂપો,જેમ કે યાંત્રિક અથવા ઉષ્મીય ઉર્જા,આવા સંક્રમણ દરમિયાન મૂળભૂત સંરક્ષણના નિયમો અને ઇલેક્ટ્રોનના વિદ્યુતભાર અને વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેની ચોક્કસ આંતરક્રિયા ગતિશીલતાને સંતોષતા નથી.

(A) હા,આ કિસ્સામાં પણ $H-$ પરમાણુ માટે બોહરના મોડેલમાં આપેલું સૂત્ર સમાન રહેશે કારણ કે અહીં પણ પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ સમાન રહે છે.
મૂળ કિસ્સામાં,સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{(e)(e)}{r^{2}} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{e^{2}}{r^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નવા કિસ્સામાં,વીજભારના મૂલ્યો $q_{1} = \frac{4e}{3}$ અને $q_{2} = \frac{3e}{4}$ છે. નવું સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F^{\prime}$ નીચે મુજબ છે:
$F^{\prime} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{(\frac{4e}{3})(\frac{3e}{4})}{r^{2}} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{e^{2}}{r^{2}}$.
આમ,$F^{\prime} = F$ હોવાથી,કક્ષા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ સમાન રહે છે,અને તેથી બોહર મોડેલના ઉર્જા સ્તરો અને ત્રિજ્યાના સૂત્રો બદલાતા નથી.

(B) બોહરના મોડેલ મુજબ,હાઇડ્રોજન પરમાણુના $n^{\text{th}}$ ઉર્જા સ્તરમાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો ઉર્જા $E_n$ અલગ-અલગ હોય,તો મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ પણ અલગ-અલગ હોવા જોઈએ.
$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L_n = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે કોણીય વેગમાન $L_n$ એ $n$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે,જો $n$ ના મૂલ્યો અલગ હોય,તો કોણીય વેગમાન $L_n$ ના મૂલ્યો પણ અલગ જ હોવા જોઈએ.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા અલગ હોય અને કોણીય વેગમાન સમાન હોય તે શક્ય નથી.

(B) પોઝિટ્રોનિયમ એ ઇલેક્ટ્રોન અને પોઝિટ્રોનથી બનેલી દ્વિસંગી સિસ્ટમ છે. બંને કણો તેમના સામાન્ય દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ફરે છે.
આને એક-કણ સિસ્ટમ તરીકે ગણવા માટે,આપણે દ્વિસંગી સિસ્ટમના રિડ્યુસ્ડ માસ (ઘટાડેલા દળ) $\mu$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{m_e \times m_e}{m_e + m_e} = \frac{m_e}{2} = \frac{m}{2}$
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ઉર્જા નીચે મુજબ છે:
$E_1 = -\frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^2} = -13.6 \text{ eV}$
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટની ઉર્જા ભ્રમણકક્ષામાં રહેલા કણના દળના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી,પોઝિટ્રોનિયમની ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ઉર્જા $E_1'$ નીચે મુજબ થશે:
$E_1' = \frac{\mu}{m} E_1 = \frac{m/2}{m} E_1 = \frac{1}{2} E_1$
$E_1$ ની કિંમત મૂકતા:
$E_1' = \frac{1}{2} (-13.6 \text{ eV}) = -6.8 \text{ eV}$

(N/A) આપેલ ધારણા મુજબ,$He$ પરમાણુ હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુ તરીકે વર્તે છે (જ્યાં ઇલેક્ટ્રોન-ઇલેક્ટ્રોન અપાકર્ષણને અવગણવામાં આવે છે),તેથી આપણે $He$ પરમાણુ માટે બોહરના પરમાણુ મોડેલનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા નીચે મુજબ છે:
$E_{n} = -\frac{m Z^{2} e^{4}}{8 \epsilon_{0}^{2} n^{2} h^{2}}$
આને નીચે મુજબ સરળ બનાવી શકાય:
$E_{n} = -13.6 \frac{Z^{2}}{n^{2}} \text{ eV}$
$He$ પરમાણુ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે. ધરા-સ્થિતિ માટે,મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 1$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$E_{1} = -13.6 \times \frac{(2)^{2}}{(1)^{2}} \text{ eV}$
$E_{1} = -13.6 \times 4 \text{ eV}$
$E_{1} = -54.4 \text{ eV}$
$He$ પરમાણુમાં બે ઇલેક્ટ્રોન હોવાથી અને તેમની વચ્ચે કોઈ અપાકર્ષણ નથી તેમ ધારતા,$He$ પરમાણુની કુલ ધરા-સ્થિતિ ઉર્જા બંને ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનો સરવાળો થશે:
$E_{\text{total}} = 2 \times E_{1} = 2 \times (-54.4 \text{ eV}) = -108.8 \text{ eV}$.

(A) $H$-પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષીય ત્રિજ્યા $r_{n} = \frac{\epsilon_{0} n^{2} h^{2}}{\pi m Z e^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધરાવસ્થિતિ માટે,$n = 1$ અને $Z = 1$,તેથી $r_{1} = a_{0} = 0.53 \times 10^{-10} \text{ m}$.
$n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_{n} = \frac{Z e^{2}}{2 \epsilon_{0} n h}$ છે. $n = 1$ માટે,$v_{1} = 2.187 \times 10^{6} \text{ m/s}$.
પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $f_{1} = \frac{v_{1}}{2 \pi r_{1}}$ દ્વારા મળે છે.
વિદ્યુત પ્રવાહ $I = f_{1} e = \frac{v_{1} e}{2 \pi r_{1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{(2.187 \times 10^{6} \text{ m/s}) \times (1.6 \times 10^{-19} \text{ C})}{2 \times 3.1416 \times (0.53 \times 10^{-10} \text{ m})}$.
$I \approx 1.05 \times 10^{-3} \text{ A} = 1.05 \text{ mA}$.

(N/A) $Z$ પરમાણુ ક્રમાંક ધરાવતા તત્વના પરમાણુમાં,જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $(n+x)^{\text{th}}$ કક્ષા (જ્યાં $x=1, 2, 3, \dots$) થી $n^{\text{th}}$ કક્ષામાં સંક્રમણ કરે છે,ત્યારે ઉત્સર્જિત વિકિરણની આવૃત્તિ $f$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{\lambda} = R Z^{2} \left( \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{(n+x)^{2}} \right)$
$f = \frac{c}{\lambda}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$f = c R Z^{2} \left( \frac{(n+x)^{2} - n^{2}}{n^{2}(n+x)^{2}} \right)$
$f = c R Z^{2} \left( \frac{n^{2} + 2nx + x^{2} - n^{2}}{n^{2}(n+x)^{2}} \right)$
$f = c R Z^{2} \left( \frac{2nx + x^{2}}{n^{2}(n+x)^{2}} \right)$
આપેલ છે કે $n >> 1$ અને $x$ નાનું છે $(x=1, 2, 3, \dots)$,તેથી આપણે $(n+x) \approx n$ લઈ શકીએ:
$f \approx c R Z^{2} \left( \frac{2nx}{n^{2} \cdot n^{2}} \right)$
$f \approx \left( \frac{2 R c Z^{2}}{n^{3}} \right) x$
ચોક્કસ $n$ માટે $\frac{2 R c Z^{2}}{n^{3}}$ અચળ હોવાથી,$f \propto x$ મળે છે.
તેથી,$x=1, 2, 3$ માટે આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $f_{1} : f_{2} : f_{3} = 1 : 2 : 3$ થાય છે.

(D) હાઇડ્રોજનના પરમાણુ વર્ણપટની બામર શ્રેણી માટે,સંક્રમણ $n=2$ પર પૂર્ણ થાય છે. રેખાઓને $H_{\alpha} (n=3 \to 2)$,$H_{\beta} (n=4 \to 2)$,$H_{\gamma} (n=5 \to 2)$ વગેરે તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$H_{\gamma}$ રેખા ઉત્સર્જિત કરવા માટે,ઇલેક્ટ્રોનને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ થી $n=5$ ઊર્જા સ્તર સુધી ઉત્તેજિત કરવું આવશ્યક છે.
જરૂરી ઊર્જા $\Delta E = E_{5} - E_{1}$ છે.
$E_{n} = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta E = -\frac{13.6}{5^{2}} - (-13.6) = 13.6 \left(1 - \frac{1}{25}\right) = 13.6 \times \frac{24}{25} = 13.056 \text{ eV}$.
ઉત્સર્જિત ફોટોનનું કોણીય વેગમાન એ $n=5$ થી $n=2$ ના સંક્રમણ દરમિયાન ઇલેક્ટ્રોનના કક્ષીય કોણીય વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત $L = \frac{nh}{2\pi}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L_{\text{photon}} = L_{5} - L_{2} = \frac{5h}{2\pi} - \frac{2h}{2\pi} = \frac{3h}{2\pi}$.
$h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ Js}$ મૂકતા:
$L_{\text{photon}} = \frac{3 \times 6.626 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14159} \approx 3.165 \times 10^{-34} \text{ Js}$.

(A) રિડબર્ગ અચળાંક $R = \frac{\mu e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3 c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ એ ઇલેક્ટ્રોન-ન્યુક્લિયસ તંત્રનું રિડ્યુસ્ડ માસ છે,$\mu = \frac{M m_e}{M + m_e}$.
હાઇડ્રોજન $(H)$ માટે,$M_H \approx 1836 m_e$,તેથી $\mu_H = \frac{1836 m_e^2}{1837 m_e} \approx 0.99945 m_e$.
ડ્યુટેરિયમ $(D)$ માટે,$M_D \approx 3670 m_e$,તેથી $\mu_D = \frac{3670 m_e^2}{3671 m_e} \approx 0.99973 m_e$.
સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ પરથી,$\lambda \propto \frac{1}{R} \propto \frac{1}{\mu}$ મળે છે.
આમ,$\frac{\lambda_D}{\lambda_H} = \frac{\mu_H}{\mu_D} \approx \frac{0.99945}{0.99973} \approx 0.99972$.
તરંગલંબાઇમાં થતું સ્થાનાંતર $\Delta \lambda = \lambda_H - \lambda_D = \lambda_H (1 - 0.99972) = 0.00028 \lambda_H$ થાય.

(A) $H$-પરમાણુની ધરા-સ્થિતિમાં ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષીય ત્રિજ્યા બોહર ત્રિજ્યા $a_0 = 0.53 \mathring{A} = \frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m e^2}$ છે.
કિસ્સા $(i)$ માટે,$R = 0.1 \mathring{A}$. અહીં $R < a_0$ હોવાથી,પ્રોટોનને બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે ગણી શકાય. તેથી ધરા-સ્થિતિની ઉર્જા $E_1 = -13.6 \text{ eV}$ થશે.
કિસ્સા $(ii)$ માટે,$R = 10 \mathring{A}$. અહીં $R > a_0$ હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન પ્રોટોનની અંદર ગતિ કરે છે. $b_0$ ત્રિજ્યા પર અસરકારક વિદ્યુતભાર $e' = e \left( \frac{b_0^3}{R^3} \right)$ છે.
બોહર ત્રિજ્યાની શરત મુજબ $b_0 = \frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m e e'} = \frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m e^2} \left( \frac{R^3}{b_0^3} \right) = a_0 \frac{R^3}{b_0^3}$.
તેથી,$b_0^4 = a_0 R^3 \Rightarrow b_0 = (a_0 R^3)^{1/4} = (0.53 \times 10^3)^{1/4} \approx 4.8 \mathring{A}$.
સમાન વિદ્યુતભારિત ગોળાની અંદર સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{e}{4\pi\epsilon_0 R^3} \left( \frac{3R^2 - b_0^2}{2} \right) (-e)$ છે.
કુલ ઉર્જા $E = K + U = -\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 R^3} (3R^2 - b_0^2)$ મળે છે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_{n} = -13.6 \frac{Z^{2}}{n^{2}} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્રોમિયમ $(Z = 24)$ માટે:
$n = 2$ અવસ્થાની ઉર્જા: $E_{2} = -13.6 \times \frac{24^{2}}{2^{2}} = -13.6 \times 144 = -1958.4 \ eV$.
$n = 1$ અવસ્થાની ઉર્જા: $E_{1} = -13.6 \times \frac{24^{2}}{1^{2}} = -13.6 \times 576 = -7833.6 \ eV$.
$n = 2$ થી $n = 1$ સંક્રમણ દરમિયાન મુક્ત થતી ઉર્જા $\Delta E = E_{2} - E_{1} = -1958.4 - (-7833.6) = 5875.2 \ eV$ છે.
આ ઉર્જા $n = 4$ અવસ્થામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનને સ્થાનાંતરિત થાય છે.
$n = 4$ અવસ્થાની ઉર્જા $E_{4} = -13.6 \times \frac{24^{2}}{4^{2}} = -13.6 \times 36 = -489.6 \ eV$ છે.
ઉત્સર્જિત ઓગર ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $K = \Delta E - |E_{4}| = 5875.2 - 489.6 = 5385.6 \ eV$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\lambda = \frac{m_p c}{\hbar} = \frac{2 \pi m_p c}{h}$. $m_p = 10^{-6} m_e$ લેતા,$\lambda = \frac{2 \pi (10^{-6} \times 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}) (3 \times 10^8 \text{ m/s})}{6.63 \times 10^{-34} \text{ J s}} \approx 2.58 \times 10^6 \text{ m}^{-1}$.
બોહર ત્રિજ્યા $r_B \approx 5.3 \times 10^{-11} \text{ m}$ હોવાથી,$\lambda r_B \approx 1.37 \times 10^{-4} \ll 1$ મળે છે.
સુધારેલ સ્થિતિમાન $U(r) = -\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0} \frac{e^{-\lambda r}}{r}$ નો ઉપયોગ કરીને,નાની $\lambda r$ માટે ઘાતાંકીય પદનું વિસ્તરણ કરતા: $U(r) \approx -\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0} \frac{1-\lambda r}{r} = -\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0} (\frac{1}{r} - \lambda)$.
સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = U_{modified} - U_{coulomb} = \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0} \lambda$ થાય.
$\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0} = k e^2 \approx 1.44 \text{ eV nm} = 1.44 \times 10^{-9} \text{ eV m}$ મૂકતા,ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta E \approx \Delta U = (1.44 \times 10^{-9} \text{ eV m}) (2.58 \times 10^6 \text{ m}^{-1}) \approx 3.7 \times 10^{-3} \text{ eV}$ મળે છે.

$r < R_0$ માટે,સુધારેલ બળ $F = \frac{k e^2}{R_0^{2-\epsilon} r^{\epsilon}}$ છે.
આને કેન્દ્રગામી બળ સાથે સરખાવતા: $\frac{m v^2}{r} = \frac{k e^2}{R_0^{2-\epsilon} r^{\epsilon}}$.
આમ,$v^2 = \frac{k e^2}{m R_0^{2-\epsilon} r^{\epsilon-1}}$.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત $mvr = n\hbar$ છે. ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ માટે,$n=1$,તેથી $v = \frac{\hbar}{mr}$.
$v^2 = \frac{\hbar^2}{m^2 r^2}$ ને બળના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{\hbar^2}{m r^3} = \frac{k e^2}{R_0^{2-\epsilon} r^{\epsilon}}$.
$r^{3-\epsilon} = \frac{\hbar^2 R_0^{2-\epsilon}}{m k e^2} = a_0 R_0^{2-\epsilon}$,જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે.
$r = (a_0 R_0^{2-\epsilon})^{1/(3-\epsilon)}$.
કુલ ઉર્જા $E = K + U = \frac{1}{2} m v^2 + \int_{\infty}^{r} F dr$.
સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\int_{\infty}^{R_0} \frac{k e^2}{r^2} dr - \int_{R_0}^{r} \frac{k e^2}{R_0^{2-\epsilon} r^{\epsilon}} dr$ ની ગણતરી કરતા.
આ સંકલનોનું મૂલ્યાંકન કરવાથી ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ઉર્જા $E$ મળે છે.

(D) વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત થતા વિદ્યુતભારિત કણ દ્વારા પ્રાપ્ત ગતિઊર્જા $K = qV = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,ઝડપ $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$ મળે છે.
હાઇડ્રોજન આયન $(H^+)$ માટે,વિદ્યુતભાર $q_H = e$ અને દળ $m_H \approx m$ છે.
એક આયનીકૃત હિલિયમ પરમાણુ $(He^+)$ માટે,વિદ્યુતભાર $q_{He} = e$ અને દળ $m_{He} \approx 4m$ છે.
ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_H}{v_{He}} = \frac{\sqrt{2q_H V / m_H}}{\sqrt{2q_{He} V / m_{He}}} = \sqrt{\frac{q_H}{q_{He}} \cdot \frac{m_{He}}{m_H}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_H}{v_{He}} = \sqrt{\frac{e}{e} \cdot \frac{4m}{m}} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(D) ધારો કે $m = 200 \, MeV/c^2$ એ કણનું દળ છે અને $M = 1000 \, MeV/c^2$ એ હાઇડ્રોજન પરમાણુનું દળ છે.
ધારો કે $v$ એ કણનો પ્રારંભિક વેગ છે અને $V$ એ પરમાણુનો રિકોઇલ વેગ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mv = MV = p$,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુને તેની પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા $\Delta E = 13.6 \, eV \times (1 - 1/4) = 10.2 \, eV$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $K_{initial} = K_{final} + \Delta E$.
$K_{initial} = \frac{p^2}{2m}$ અને $K_{final} = \frac{p^2}{2M}$.
તેથી,$\frac{p^2}{2m} - \frac{p^2}{2M} = 10.2 \, eV$.
$\frac{p^2}{2m} (1 - \frac{m}{M}) = 10.2 \, eV$.
અહીં $m/M = 200/1000 = 0.2$ આપેલ છે,તેથી $K_{initial} (1 - 0.2) = 10.2 \, eV$.
$K_{initial} (0.8) = 10.2 \, eV$.
$K_{initial} = \frac{10.2}{0.8} = 12.75 \, eV$.
આપણને $K_{initial} = \frac{N}{4}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{N}{4} = 12.75$.
$N = 12.75 \times 4 = 51$.

(A) બોહર મોડેલ ફક્ત એક-ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતી સ્પીસીઝ માટે જ લાગુ પડે છે.
$1$. હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(H)$ માં $1$ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે.
$2$. એક આયનીકૃત હિલિયમ પરમાણુ $(He^+)$ માં $2 - 1 = 1$ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે.
$3$. ડ્યુટેરોન પરમાણુ (હાઇડ્રોજનનો સમસ્થાનિક) માં $1$ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે.
$4$. એક આયનીકૃત નિયોન પરમાણુ $(Ne^+)$ માં $10 - 1 = 9$ ઇલેક્ટ્રોન હોય છે.
આમ,$Ne^+$ માં એક કરતા વધુ ઇલેક્ટ્રોન હોવાથી,તેના માટે બોહર મોડેલ માન્ય નથી.

(D) ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનને કારણે કક્ષાના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પ્રવાહ $i = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2\pi r}$ છે.
$i$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $B = \frac{\mu_0 ev}{4\pi r^2}$ મળે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષા માટે,વેગ $v_n = \frac{v_1}{n} = \frac{2.18 \times 10^6}{3} \approx 7.27 \times 10^5 \ m/s$ છે.
ત્રિજ્યા $r_n = r_1 n^2 = 0.529 \times 10^{-10} \times 3^2 = 4.761 \times 10^{-10} \ m$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{(10^{-7}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (7.27 \times 10^5)}{(4.761 \times 10^{-10})^2}$.
$B = \frac{1.1632 \times 10^{-20}}{22.667 \times 10^{-20}} \approx 0.0513 \ T$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,કિંમત $0.05 \ T$ છે.

(D) બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,$n^{th}$ કક્ષાનો પરિઘ એ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનો પૂર્ણાંક ગુણાંક છે: $2 \pi r_n = n \lambda$.
તેથી,તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{2 \pi r_n}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન જેવા આયન માટે $n^{th}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$ છે,જ્યાં $a_0 \approx 0.529 \ \mathring{A}$.
$He^{+1}$ આયન માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 2$ છે. $3^{rd}$ કક્ષા માટે,$n = 3$.
આ કિંમતોને ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા: $r_3 = 0.529 \times \frac{3^2}{2} = 0.529 \times 4.5 = 2.3805 \ \mathring{A}$.
હવે,$r_3$ અને $n$ ની કિંમત તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{2 \pi (2.3805)}{3}$.
$\lambda = \frac{2 \times 3.14159 \times 2.3805}{3} \approx \frac{14.958}{3} \approx 4.986 \ \mathring{A}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $\lambda \approx 5 \ \mathring{A}$ મળે છે.

(B) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોનનો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a = \frac{v^{2}}{r}$
આપેલ કિંમતો:
વેગ $v = 2.18 \times 10^{6} \; m/s$
ત્રિજ્યા $r = 0.528 \; \mathring{A} = 0.528 \times 10^{-10} \; m$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = \frac{(2.18 \times 10^{6})^{2}}{0.528 \times 10^{-10}}$
$a = \frac{4.7524 \times 10^{12}}{0.528 \times 10^{-10}}$
$a \approx 9 \times 10^{22} \; m/s^{2}$

(C) વર્તુળાકાર માર્ગમાં ફરતા ઇલેક્ટ્રોનને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવાહ $I = \frac{ev}{2\pi r}$ છે,જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર,$v$ એ વેગ અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્રમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા: $B = \frac{\mu_{0} ev}{4\pi r^{2}}$.
આપેલ કિંમતો: $\mu_{0} = 4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$v = 2.18 \times 10^{6} \, m/s$,અને $r = 5 \times 10^{-11} \, m$.
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (2.18 \times 10^{6})}{4\pi \times (5 \times 10^{-11})^{2}}$
$B = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 2.18 \times 10^{6} \times 10^{-7}}{25 \times 10^{-22}}$
$B = \frac{3.488 \times 10^{-20}}{25 \times 10^{-22}} = \frac{348.8}{25} = 13.952 \, T$.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર આશરે $13.95 \, T$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_n = v_0 \frac{Z}{n}$,જ્યાં $v_0$ એ હાઇડ્રોજન પરમાણુની ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ છે.
$v_0$ નું મૂલ્ય $2.18 \times 10^{6} \text{ m/s}$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ ($H$-atom) માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 1$ છે. આપણે ચોથી કક્ષામાં ઝડપ શોધવાની છે,તેથી $n = 4$ લેતા.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_4 = (2.18 \times 10^{6} \text{ m/s}) \times \frac{1}{4}$
$v_4 = 0.545 \times 10^{6} \text{ m/s}$
$v_4 = 5.45 \times 10^{5} \text{ m/s}$.
આમ,ચોથી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ $5.45 \times 10^{5} \text{ m/s}$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન જેવા આયન માટે ઇલેક્ટ્રોનની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$r = r_{0} \frac{n^{2}}{Z}$
જ્યાં $r_{0}$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે,$n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
$Be^{3+}$ માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 4$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુની ધરા અવસ્થા માટે,ત્રિજ્યા $r = r_{0}$ છે (જ્યાં $n = 1$ અને $Z = 1$).
બંને ત્રિજ્યાઓને સરખાવતા:
$r_{0} = r_{0} \frac{n^{2}}{4}$
$n^{2} = 4$
$n = 2$
મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 2$ એ પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા દર્શાવે છે.
તેથી,$Be^{3+}$ ની પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ત્રિજ્યા $H$ પરમાણુની ધરા અવસ્થામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ત્રિજ્યા જેટલી હશે.

(B) બોહરના હાઇડ્રોજન પરમાણુના સિદ્ધાંત મુજબ,$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $(v_n)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_n = \frac{2 \pi k Z e^2}{n h}$
જ્યાં:
$k$ એ કુલંબનો અચળાંક છે,
$Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે (હાઇડ્રોજન માટે,$Z=1$),
$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,
$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,
$n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક (કક્ષાનો ક્રમાંક) છે.
અહીં $2, \pi, k, Z, e^2,$ અને $h$ અચળાંકો હોવાથી,વેગ એ કક્ષાના ક્રમાંક $n$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$v_n \propto \frac{1}{n}$.

(B) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુના ઉર્જા સ્તરો $E_n = -\frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 n^2 h^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ભ્રમણ કરતા કણનું દળ છે.
$E \propto m$ હોવાથી,આયનીકરણ પોટેન્શિયલ $(IP)$ એ કણના દળના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
સામાન્ય હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$IP_e = 13.6 \ eV$ છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનને $m_{\mu} = 207 m_e$ દળ ધરાવતા મ્યુઓન દ્વારા બદલવામાં આવે છે,ત્યારે નવું આયનીકરણ પોટેન્શિયલ $IP_{\mu}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$IP_{\mu} = IP_e \times \frac{m_{\mu}}{m_e}$
$IP_{\mu} = 13.6 \ eV \times 207$
$IP_{\mu} = 2815.2 \ eV$.