Alternating Current, Voltage (rms and Average) Questions in Hindi

(C) प्रत्यावर्ती वोल्टेज का तात्कालिक मान $V(t) = V_{\max} \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
एक पूर्ण चक्र ($t = 0$ से $t = T$) पर औसत मान ज्ञात करने के लिए,हम फलन का समय अवधि $T$ पर समाकलन करते हैं और उसे अवधि से विभाजित करते हैं:
$V_{\text{avg}} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} V_{\max} \sin(\omega t) dt$.
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,समाकलन इस प्रकार होगा:
$V_{\text{avg}} = \frac{V_{\max}}{T} \int_{0}^{T} \sin\left(\frac{2\pi}{T} t\right) dt$.
पूर्ण अवधि पर ज्या (sine) फलन का समाकलन शून्य होता है क्योंकि पहले अर्ध-चक्र का धनात्मक क्षेत्रफल दूसरे अर्ध-चक्र के ऋणात्मक क्षेत्रफल को पूरी तरह से निरस्त कर देता है।
अतः,$V_{\text{avg}} = 0$.

(A) तात्क्षणिक धारा $i = i_{m} \sin(\omega t)$ द्वारा दी जाती है।
$rms$ मान पर, $i = i_{rms} = \frac{i_{m}}{\sqrt{2}}$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{i_{m}}{\sqrt{2}} = i_{m} \sin(\omega t)$.
$\sin(\omega t) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, जिसका अर्थ है कि $\omega t = \frac{\pi}{4}$.
चूंकि $\omega = 2 \pi f$, इसलिए $2 \pi f t = \frac{\pi}{4}$.
$t = \frac{1}{8f}$.
यहाँ $f = 50 \text{ Hz}$ दिया गया है, इसलिए $t = \frac{1}{8 \times 50} = \frac{1}{400} \text{ s}$.
$t = 0.0025 \text{ s} = 2.5 \text{ ms}$.

(B) $AC$ जनरेटर का तात्कालिक वोल्टेज $V = V_m \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $V_m$ शिखर वोल्टेज है और $\omega = 2 \pi \nu$ कोणीय आवृत्ति है।
दिया गया है: $V_m = 100 \text{ V}$, $t = \frac{1}{100 \pi} \text{ s}$ पर $V = 2 \text{ V}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$2 = 100 \sin\left(2 \pi \nu \times \frac{1}{100 \pi}\right)$
$2 = 100 \sin\left(\frac{\nu}{50}\right)$
$\frac{2}{100} = \sin\left(\frac{\nu}{50}\right)$
चूंकि कोण $\frac{\nu}{50}$ बहुत छोटा है, हम सन्निकटन $\sin(\theta) \approx \theta$ का उपयोग कर सकते हैं:
$\frac{1}{50} = \frac{\nu}{50}$
$\nu = 1 \text{ Hz}$।

(B) दिया गया है: $I_{rms} = 5 \text{ A}$,आवृत्ति $f = 50 \text{ Hz}$।
समय $t=0$ पर $I=0$ है,इसलिए धारा का समीकरण $I = I_0 \sin(\omega t)$ होगा।
सबसे पहले,शिखर धारा $I_0 = \sqrt{2} \times I_{rms} = 5\sqrt{2} \text{ A}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 50 = 100\pi \text{ rad/s}$ ज्ञात करें।
अब,$t = \frac{1}{300} \text{ s}$ को समीकरण में रखने पर:
$I = 5\sqrt{2} \sin(100\pi \times \frac{1}{300})$
$I = 5\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{3})$
चूंकि $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए:
$I = 5\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{\frac{2 \times 3}{4}} = 5 \sqrt{\frac{3}{2}} \text{ A}$।

(C) दिया गया समीकरण $V = V_0 \sin(\omega t)$ है,जहाँ $V_0 = 311 \ V$ और $\omega = 314 \ rad/s$ है।
वोल्टेज का $rms$ मान $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$V_{rms} = \frac{311}{1.414} \approx 220 \ V$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f$ होती है।
$314 = 2 \times 3.14 \times f$.
$314 = 6.28 \times f$.
$f = \frac{314}{6.28} = 50 \ Hz$.
अतः,$rms$ वोल्टेज $220 \ V$ और आवृत्ति $50 \ Hz$ है।

(B) दिया गया समीकरण $i = i_1 \sin \omega t + i_2 \cos \omega t$ है।
हम इसे $i = A \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $A$ परिणामी धारा का आयाम (amplitude) है।
$A$ ज्ञात करने के लिए,हम गुणांकों की तुलना करते हैं: $i_1 = A \cos \phi$ और $i_2 = A \sin \phi$।
इन समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर: $i_1^2 + i_2^2 = A^2 \cos^2 \phi + A^2 \sin^2 \phi = A^2(\cos^2 \phi + \sin^2 \phi) = A^2$।
अतः,आयाम $A = \sqrt{i_1^2 + i_2^2}$ प्राप्त होता है।
ज्यावक्रीय (sinusoidal) धारा $i = A \sin(\omega t + \phi)$ का rms मान $i_{rms} = \frac{A}{\sqrt{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$A$ का मान रखने पर,हमें $i_{rms} = \sqrt{\frac{i_1^2 + i_2^2}{2}}$ प्राप्त होता है।

(D) तात्कालिक धारा $ I = I_0 \sin(\omega t) $ द्वारा दी जाती है।
$ rms $ मान पर, $ I = I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} $।
अतः, $ \frac{I_0}{\sqrt{2}} = I_0 \sin(\omega t_1) \Rightarrow \sin(\omega t_1) = \frac{1}{\sqrt{2}} $।
इससे $ \omega t_1 = \frac{\pi}{4} $ प्राप्त होता है।
चूंकि $ \omega = \frac{2\pi}{T} $, हमारे पास $ \frac{2\pi}{T} t_1 = \frac{\pi}{4} \Rightarrow t_1 = \frac{T}{8} $ है।
शिखर मान $ t_2 = \frac{T}{4} $ पर प्राप्त होता है।
$ rms $ मान से शिखर मान तक पहुँचने में लगा समय $ \Delta t = t_2 - t_1 = \frac{T}{4} - \frac{T}{8} = \frac{T}{8} $ है।
दी गई आवृत्ति $ f = 50 \,Hz $ है, इसलिए आवर्तकाल $ T = \frac{1}{f} = \frac{1}{50} \,s = 0.02 \,s $ है।
अतः, $ \Delta t = \frac{0.02}{8} = 0.0025 \,s = 2.5 \times 10^{-3} \,s $।
इस प्रकार, विकल्प $ D $ सही है।

(B) भारत में,कर्नाटक सहित,मानक घरेलू $AC$ बिजली आपूर्ति को $220 \text{ V}, 50 \text{ Hz}$ के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है।
परंपरा के अनुसार,$AC$ सर्किट के लिए दिया गया वोल्टेज मान रूट मीन स्क्वायर $(RMS)$ मान होता है,क्योंकि यह उस प्रभावी वोल्टेज का प्रतिनिधित्व करता है जो समान $DC$ वोल्टेज के बराबर ही तापीय प्रभाव उत्पन्न करेगा।
$50 \text{ Hz}$ की आवृत्ति प्रत्यावर्ती धारा के प्रति सेकंड चक्रों की संख्या को दर्शाती है।
इसलिए,$220 \text{ V}$ $RMS$ वोल्टेज है और $50 \text{ Hz}$ आवृत्ति है।

(C) $ AC $ धारा को समीकरण $ I = I_{\text{max}} \sin(\omega t) $ द्वारा दर्शाया जाता है।
एक पूर्ण चक्र के लिए,धारा का औसत मान $ I_{\text{avg}} $ समय अवधि $ T $ पर धारा के समाकलन और समय अवधि $ T $ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$ I_{\text{avg}} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} I_{\text{max}} \sin(\omega t) dt $.
चूंकि एक पूर्ण अवधि $ T $ पर $ \sin(\omega t) $ का समाकलन शून्य होता है,इसलिए एक पूर्ण चक्र पर औसत धारा हमेशा $ 0 $ होती है।
अतः,किसी भी ज्यावक्रीय (sinusoidal) $ AC $ धारा के लिए,एक पूर्ण चक्र पर औसत मान $ 0 $ होता है।

(C) वोल्टेज का रूट मीन स्क्वायर $(RMS)$ मान,$ V_{rms} $,और $A$.$C$. स्रोत का शिखर वोल्टेज,$ V_{0} $,निम्नलिखित सूत्र द्वारा संबंधित हैं:
$ V_{rms} = \frac{V_{0}}{\sqrt{2}} $
यह दिया गया है कि मल्टीमीटर $RMS$ मान पढ़ता है,$ V_{rms} = 100 \,V $।
शिखर वोल्टेज $ V_{0} $ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
$ V_{0} = V_{rms} \times \sqrt{2} $
दी गई मान रखने पर:
$ V_{0} = 100 \times 1.414 = 141.4 \,V $
अतः,$A$.$C$. स्रोत के वोल्टेज का शिखर मान $ 141.4 \,V $ है।

(D) दिया गया है: $R = 20 \Omega$,$V = 200 \sin (10 \pi t)$.
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$I = \frac{V}{R} = \frac{200}{20} \sin (10 \pi t) = 10 \sin (10 \pi t)$.
शिखर धारा $I_0 = 10 \text{ A}$ है।
rms धारा $I_{\text{rms}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} \text{ A}$ है।
शिखर मान पर,$10 = 10 \sin (10 \pi t_1) \Rightarrow \sin (10 \pi t_1) = 1 \Rightarrow 10 \pi t_1 = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t_1 = \frac{1}{20} \text{ s}$.
rms मान पर,$\frac{10}{\sqrt{2}} = 10 \sin (10 \pi t_2) \Rightarrow \sin (10 \pi t_2) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow 10 \pi t_2 = \frac{\pi}{4} \Rightarrow t_2 = \frac{1}{40} \text{ s}$.
शिखर से rms तक बदलने में लगा समय $\Delta t = t_1 - t_2 = \frac{1}{20} - \frac{1}{40} = \frac{1}{40} = 0.025 \text{ s} = 2.5 \times 10^{-2} \text{ s}$.

(C) दी गई प्रत्यावर्ती धारा $i = 3 \sin \omega t + 4 \cos \omega t$ है।
हम इसे $i = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $I_0$ शिखर धारा (peak current) है।
$a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\theta + \phi)$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$I_0 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \ A$.
$rms$ धारा का सूत्र $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ होता है।
$I_0$ का मान रखने पर,हमें $I_{rms} = \frac{5}{\sqrt{2}} \ A$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया वोल्टेज $V = 200 V$,$RMS$ वोल्टेज $(V_{rms})$ है।
शिखर वोल्टेज का सूत्र $V_{peak} = \sqrt{2} \times V_{rms}$ है।
मान रखने पर,$V_{peak} = 1.414 \times 200 = 282.8 V$.
शिखर धारा $I_{peak} = \frac{V_{peak}}{R}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$I_{peak} = \frac{282.8}{280} \approx 1.01 A$.
अतः,शिखर धारा लगभग $1 A$ है।

(B) $AC$ का $rms$ मान $V_{rms} = 220 \ V$ दिया गया है।
$AC$ का पीक मान $(V_0)$ इस प्रकार परिकलित किया जाता है: $V_0 = \sqrt{2} \times V_{rms} = 1.414 \times 220 \approx 311 \ V$।
$DC$ के लिए,वोल्टेज $220 \ V$ पर स्थिर रहता है।
चूंकि $220 \ V$ $AC$ का पीक वोल्टेज $311 \ V$ है,जो $DC$ के स्थिर $220 \ V$ से काफी अधिक है,इसलिए $220 \ V$ $AC$,$220 \ V$ $DC$ की तुलना में अधिक खतरनाक है।

(B) दिया गया $emf$ $E = 6 \sin \omega t + 4 \sin 2 \omega t \text{ V}$ है।
एक गैर-ज्यावक्रीय आवर्ती तरंग $E = E_1 \sin \omega t + E_2 \sin 2 \omega t + \dots$ के लिए,$rms$ मान $E_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{E_1^2 + E_2^2 + \dots}{2}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$E_1 = 6 \text{ V}$ और $E_2 = 4 \text{ V}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{6^2 + 4^2}{2}}$
$E_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{36 + 16}{2}}$
$E_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{52}{2}}$
$E_{\text{rms}} = \sqrt{26} \text{ V}$।
अतः,$emf$ का $rms$ मान $\sqrt{26} \text{ V}$ है।

(A) दिया गया emf $E = 8 \sin \omega t + 6 \cos \omega t$ है।
हम इसे $E = A \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं,जहाँ $A$ शिखर आयाम (peak amplitude) है।
$8 \sin \omega t + 6 \cos \omega t$ की तुलना $A \sin(\omega t + \phi) = A \sin \omega t \cos \phi + A \cos \omega t \sin \phi$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A \cos \phi = 8$ और $A \sin \phi = 6$।
इन समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$A^2(\cos^2 \phi + \sin^2 \phi) = 8^2 + 6^2$
$A^2 = 64 + 36 = 100$
$A = 10 \text{ V}$।
rms मान $E_{rms}$ शिखर मान $A$ से $E_{rms} = \frac{A}{\sqrt{2}}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
$E_{rms} = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10 \times \sqrt{2}}{2} = 5 \sqrt{2} \text{ V}$।

(A) दिया गया emf $E = 8 \sin \omega t + 6 \cos \omega t$ है।
हम इसे $E = E_0 \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में लिख सकते हैं।
ऐसा करने के लिए,$\sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ से गुणा और भाग करें।
$E = 10 \left( \frac{8}{10} \sin \omega t + \frac{6}{10} \cos \omega t \right)$.
मान लीजिए $\cos \phi = \frac{8}{10} = 0.8$ और $\sin \phi = \frac{6}{10} = 0.6$ है।
तब $E = 10 (\sin \omega t \cos \phi + \cos \omega t \sin \phi) = 10 \sin(\omega t + \phi)$।
इसे $E = E_0 \sin(\omega t + \phi)$ के साथ तुलना करने पर,हमें शिखर मान $E_0 = 10 \text{ V}$ प्राप्त होता है।
$RMS$ मान $E_{RMS} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$E_{RMS} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5 \sqrt{2} \text{ V}$।

(B) तात्कालिक वोल्टेज $V$ को $V = V_0 \sin(\omega t)$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $V_0$ शिखर वोल्टेज है और $\omega = 2\pi f$ है।
दिया गया है $f = 50 \ Hz$,इसलिए $\omega = 2 \times \pi \times 50 = 100\pi \ rad/s$.
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब $V = \frac{V_0}{2}$ हो।
इसे समीकरण में रखने पर: $\frac{V_0}{2} = V_0 \sin(100\pi t)$.
$\sin(100\pi t) = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$,इसलिए $100\pi t = \frac{\pi}{6}$.
$t = \frac{\pi}{6 \times 100\pi} = \frac{1}{600} \ s$.

(B) प्रत्यावर्ती धारा $(AC)$ के लिए मानक समीकरण $I(t) = I_0 \sin(\omega t)$ है,जहाँ $I_0$ शिखर धारा है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिए गए समीकरण $I(t) = 50 \sin(200 \pi t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें शिखर धारा $I_0 = 50 \text{ A}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 200 \pi \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
धारा का $RMS$ मान $I_{RMS} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{50}{\sqrt{2}} = 25 \sqrt{2} \text{ A}$ होता है।
आवृत्ति $f$ और कोणीय आवृत्ति के बीच संबंध $\omega = 2 \pi f$ है।
$\omega$ का मान रखने पर,$200 \pi = 2 \pi f$,जिससे $f = 100 \text{ Hz}$ प्राप्त होता है।
अतः,आवृत्ति $100 \text{ Hz}$ है और $RMS$ मान $25 \sqrt{2} \text{ A}$ है।

(D) $A.C.$ परिपथ में तात्कालिक धारा $i = i_0 \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दी जाती है।
अधिकतम मान पर,$i = i_0$,जो $\omega t_1 = \frac{\pi}{2}$ पर होता है।
$R.M.S.$ मान पर,$i = i_{R.M.S.} = \frac{i_0}{\sqrt{2}}$,जो $\omega t_2 = \frac{\pi}{4}$ (या $\frac{3\pi}{4}$) पर होता है।
समय अंतराल $\Delta t = t_1 - t_2$ को $\omega \Delta t = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\omega = 2 \pi f$,हमारे पास $2 \pi f \Delta t = \frac{\pi}{4}$ है।
$f = 50 Hz$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2 \pi (50) \Delta t = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
$100 \pi \Delta t = \frac{\pi}{4} \Rightarrow \Delta t = \frac{1}{400} s$.
$\Delta t = 0.0025 s = 2.5 ms$.

(A) दिया गया समीकरण $i = 2 \sin \omega t + 6 \cos \omega t$ है।
यह $i = a \sin \omega t + b \cos \omega t$ के रूप में है,जहाँ $a = 2$ और $b = 6$ है।
शिखर धारा (peak current) $i_0$ का मान $i_0 = \sqrt{a^2 + b^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$i_0 = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10} \ A$।
$R.M.S.$ धारा $i_{rms}$ और शिखर धारा $i_0$ के बीच संबंध $i_{rms} = \frac{i_0}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,$i_{rms} = \frac{2 \sqrt{10}}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{5} \ A$।

(A) रूट मीन स्क्वायर वोल्टेज $V_{rms} = 220 \ V$ दिया गया है।
पीक वोल्टेज $V_0$, $V_{rms}$ से $V_0 = V_{rms} \sqrt{2}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
इसलिए, $V_0 = 220 \sqrt{2} \ V$।
कोणीय आवृत्ति $\omega$ को $\omega = 2 \pi f$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $f = 50 \ \text{Hz}$ है।
अतः, $\omega = 2 \pi \times 50 = 100 \pi \ \text{rad/s}$।
तात्कालिक विभवांतर $V(t) = V_0 \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर, हमें $V(t) = 220 \sqrt{2} \cos(100 \pi t)$ प्राप्त होता है।

(D) एक आवर्ती फलन $v(t)$ का रूट मीन स्क्वायर (rms) मान $V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} v^2(t) dt}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिए गए चित्र से,विभवांतर $v(t)$ अंतराल $0 \le t < \frac{T}{2}$ के लिए $V_0$ है और अंतराल $\frac{T}{2} \le t < T$ के लिए $0$ है।
अतः,$V_{rms}^2 = \frac{1}{T} \left[ \int_{0}^{T/2} V_0^2 dt + \int_{T/2}^{T} 0^2 dt \right]$.
$V_{rms}^2 = \frac{1}{T} \left[ V_0^2 \cdot \frac{T}{2} + 0 \right] = \frac{V_0^2}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(C) प्रत्यावर्ती धारा के लिए दिया गया समीकरण $I = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ है,जहाँ $I_0 = 20 \ A$ और $\omega = 100 \pi \ rad/s$ है।
धारा का रूट मीन स्क्वायर (r.m.s.) मान $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$I_0$ का मान रखने पर: $I_{rms} = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10 \sqrt{2} \ A$।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 100 \pi$ है।
आवृत्ति $f$ के लिए हल करने पर: $f = \frac{100 \pi}{2 \pi} = 50 \ Hz$।
अतः,r.m.s. मान $10 \sqrt{2} \ A$ है और आवृत्ति $50 \ Hz$ है।

(C) दिया गया है: $I_{rms} = 10 \, A$ और $R = 12 \, \Omega$।
शिखर धारा $I_0$ का मान $I_0 = I_{rms} \times \sqrt{2}$ संबंध द्वारा प्राप्त होता है।
$I_0 = 10 \times 1.414 = 14.14 \, A$।
ओम के नियम के अनुसार प्रतिरोधक पर अधिकतम विभवांतर $V_0 = I_0 \times R$ होता है।
$V_0 = 14.14 \times 12 = 169.68 \, V$।

(D) रूट मीन स्क्वायर (r.m.s) धारा को $i_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} i^2 dt}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है $i = i_{0}(t / T)$,इसलिए $i^2 = i_{0}^2 (t^2 / T^2)$ होगा।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$i_{rms}^2 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{i_{0}^2 t^2}{T^2} dt = \frac{i_{0}^2}{T^3} \int_{0}^{T} t^2 dt$.
समाकलन का मान निकालने पर: $\int_{0}^{T} t^2 dt = \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{T} = \frac{T^3}{3}$.
अतः,$i_{rms}^2 = \frac{i_{0}^2}{T^3} \cdot \frac{T^3}{3} = \frac{i_{0}^2}{3}$.
वर्गमूल लेने पर,हमें $i_{rms} = \frac{i_{0}}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।

(D) साइनसोइडल $AC$ परिपथ के लिए अधिकतम (पीक) वोल्टेज $V_0$ और रूट मीन स्क्वायर $(rms)$ वोल्टेज $V_{rms}$ के बीच का संबंध $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$ है।
इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें अधिकतम वोल्टेज और $rms$ वोल्टेज का अनुपात $\frac{V_0}{V_{rms}} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sqrt{2} \approx 1.414$,इस अनुपात को प्रतिशत में बदलने के लिए $100\%$ से गुणा करने पर:
अतः,प्रतिशत मान $1.414 \times 100\% = 141.4\%$ है।

(D) शक्ति $P$ का सूत्र $P = V_{rms} \times I_{rms}$ होता है।
यहाँ $P = 12 \text{ W}$ और $V_{rms} = 24 \text{ V}$ दिया गया है,इसलिए हम $I_{rms}$ की गणना इस प्रकार कर सकते हैं:
$I_{rms} = \frac{P}{V_{rms}} = \frac{12}{24} = 0.5 \text{ A}$।
पीक करंट $I_0$ और $I_{rms}$ के बीच संबंध $I_0 = I_{rms} \times \sqrt{2}$ होता है।
$I_{rms}$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I_0 = 0.5 \times \sqrt{2} = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ A}$।

(D) एक $AC$ जनरेटर में प्रेरित emf समीकरण $\varepsilon = \varepsilon_0 \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
$t = 0$ पर,$\varepsilon = \varepsilon_0 \sin(0) = 0$ होता है।
emf अपना अधिकतम मान तब प्राप्त करता है जब $\sin(\omega t) = 1$ हो।
यह तब होता है जब $\omega t = \frac{\pi}{2}$ हो।
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = \frac{\pi}{2\omega}$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रेरित emf समय $t = \frac{\pi}{2\omega}$ पर अधिकतम होता है।

(B) तात्क्षणिक धारा का समीकरण $I = I_0 \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I_0$ शिखर धारा है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
शिखर मान तक पहुँचने के लिए,ज्या (sine) फलन का मान $1$ होना चाहिए,जो तब होता है जब कला कोण $\omega t = \frac{\pi}{2}$ हो।
$\omega = 2 \pi f$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2 \pi f t = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
समय $t$ के लिए हल करने पर,$t = \frac{1}{4f}$ प्राप्त होता है।
आवृत्ति $f = 60 \text{ Hz}$ दी गई है,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$t = \frac{1}{4 \times 60} = \frac{1}{240} \text{ s}$.
अतः,धारा को शून्य से अपने शिखर मान तक पहुँचने में $1/240 \text{ s}$ का समय लगता है।