यदि $a = -3i + 7j + 5k$,$b = -3i + 7j - 3k$,और $c = 7i - 5j - 3k$ एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) के तीन सह-आगामी किनारे हैं,तो इसका आयतन क्या है?

किसी भी शून्येतर सदिशों $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ के लिए,$\bar{a} \cdot [(\bar{b} \times \bar{c}) \times (\bar{a} + \bar{b} + \bar{c})]$ का मान क्या है?

मान लीजिए $a=\hat{i}+\hat{j}$,$b=\hat{j}+\hat{k}$ और $c=\hat{i}+\hat{k}$ है। यदि $d$ एक ऐसा इकाई सदिश है कि $a \cdot d=0$ और $b \cdot(c \times d)=0$ है,तो $d=$

$a$ का वह मान जिसके लिए $\hat{i} + a \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{j} + a \hat{k}$ और $a \hat{i} + \hat{k}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन न्यूनतम हो,है

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय सदिश हैं और $\lambda$ एक वास्तविक संख्या है,तो $\lambda$ के किस मान के लिए समीकरण $[\lambda(\vec{a} + \vec{b}), \lambda^2\vec{b}, \lambda\vec{c}] = [\vec{a}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{b}]$ सत्य है?

मान लीजिए $\vec{\lambda} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$ और $\vec{\lambda} \cdot (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}) = 2(x + y + z)$ (जहाँ $x + y + z \neq 0$),तो अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]$ क्या है?