यदि एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) के तीन | vedclass

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Question

(D) समांतर षट्फलक का आयतन जिसके संगामी किनारे $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ हैं,अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v}

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(D) समांतर षट्फलक का आयतन जिसके संगामी किनारे $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ हैं,अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} 	imes \vec{w})$ द्वारा दिया जाता है।यहाँ,किनारे $\vec{u} = \vec{a} - \vec{b}$,$\vec{v} = \vec{b} - \vec{c}$,और $\vec{w} = \vec{c} - \vec{a}$ हैं।आयतन $= (\vec{a} - \vec{b}) \cdot ((\vec{b} - \vec{c}) 	imes (\vec{c} - \vec{a}))$.सबसे पहले,क्रॉस गुणनफल की गणना करें: $(\vec{b} - \vec{c}) 	imes (\vec{c} - \vec{a}) = \vec{b} 	imes \vec{c} - \vec{b} 	imes \vec{a} - \vec{c} 	imes \vec{c} + \vec{c} 	imes \vec{a} = \vec{b} 	imes \vec{c} + \vec{a} 	imes \vec{b} + \vec{c} 	imes \vec{a}$ (चूंकि $\vec{c} 	imes \vec{c} = 0$ और $-\vec{b} 	imes \vec{a} = \vec{a} 	imes \vec{b}$)।अब,$(\vec{a} - \vec{b})$ के साथ डॉट गुणनफल लें:$(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{b} 	imes \vec{c} + \vec{a} 	imes \vec{b} + \vec{c} 	imes \vec{a})$$= \vec{a} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{c}) + \vec{a} \cdot (\vec{a} 	imes \vec{b}) + \vec{a} \cdot (\vec{c} 	imes \vec{a}) - \vec{b} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{c}) - \vec{b} \cdot (\vec{a} 	imes \vec{b}) - \vec{b} \cdot (\vec{c} 	imes \vec{a})$।अदिश त्रिक गुणनफल के गुण का उपयोग करते हुए,यदि कोई दो सदिश समान हैं तो मान शून्य होता है:$\vec{a} \cdot (\vec{a} 	imes \vec{b}) = 0$,$\vec{a} \cdot (\vec{c} 	imes \vec{a}) = 0$,$\vec{b} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{c}) = 0$,$\vec{b} \cdot (\vec{a} 	imes \vec{b}) = 0$।इस प्रकार,व्यंजक सरल होकर $\vec{a} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{c}) - \vec{b} \cdot (\vec{c} 	imes \vec{a}) = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] - [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] - [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$ हो जाता है।

यदि एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) के तीन संगामी किनारे $\vec{a} - \vec{b}$,$\vec{b} - \vec{c}$ और $\vec{c} - \vec{a}$ द्वारा निरूपित हैं,तो इसका आयतन है

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