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Question

(B) तीन सदिश समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,जो इन सदिशों द्वारा निर्मित सारणिक के शून्य होने के बराबर है।माना सारणिक $D = \begin{

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$bc + ca + ab = 0$

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(B) तीन सदिश समतलीय होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,जो इन सदिशों द्वारा निर्मित सारणिक के शून्य होने के बराबर है।माना सारणिक $D = \begin{vmatrix} -bc & b^2 + bc & c^2 + bc \ a^2 + ac & -ac & c^2 + ac \ a^2 + ab & b^2 + ab & -ab \end{vmatrix} = 0$.पंक्तियों को क्रमशः $a, b, c$ से विभाजित करने पर (या स्तंभों से $a, b, c$ उभयनिष्ठ लेने पर),हम सारणिक को सरल बना सकते हैं।प्रथम स्तंभ से $a$,दूसरे से $b$ और तीसरे से $c$ उभयनिष्ठ लेने पर:$abc \begin{vmatrix} -c & b+c & c+b \ a+c & -c & c+a \ a+b & b+a & -b \end{vmatrix} = 0$.पंक्ति और स्तंभ संक्रियाओं को करने के बाद,सारणिक का सरलीकृत रूप $(ab + bc + ca)^3 = 0$ प्राप्त होता है।अतः,$ab + bc + ca = 0$.

यदि दिए गए सदिश $(-bc, b^2 + bc, c^2 + bc)$,$(a^2 + ac, -ac, c^2 + ac)$ और $(a^2 + ab, b^2 + ab, -ab)$ समतलीय हैं,जहाँ $a, b$ और $c$ में से कोई भी शून्य नहीं है,तो:

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$(a + b) \cdot (b + c) \times (a + b + c) = $

यदि $\vec a = 2\sin \theta \hat i - \hat j + 2\hat k$,$\vec b = 2\hat i + 2\sin \theta \hat j - \hat k$ और $\vec c = 4\hat i + \hat j + 4\cos^2 \theta \hat k$ समतलीय हैं,तो $\theta$ का मान क्या हो सकता है?

मान लीजिए $a = i - k$, $b = xi + j + (1 - x)k$, और $c = yi + xj + (1 + x - y)k$ है। तो $[a\,b\,c]$ किस पर निर्भर करता है?

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