Binary Operation Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $a \,^*\, b = |a-b|$ અને $a \,o\, b = a$,જ્યાં $a, b \in R$.
$^*$ માટે,$a \,^*\, b = |a-b|$ અને $b \,^*\, a = |b-a| = |-(a-b)| = |a-b|$. તેથી $a \,^*\, b = b \,^*\, a$,એટલે કે $^*$ ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવે છે.
$^*$ માટે જૂથના ગુણધર્મની ચકાસણી: $(1 \,^*\, 2) \,^*\, 3 = |1-2| \,^*\, 3 = 1 \,^*\, 3 = |1-3| = 2$,જ્યારે $1 \,^*\, (2 \,^*\, 3) = 1 \,^*\, |2-3| = 1 \,^*\, 1 = |1-1| = 0$. $2 \neq 0$ હોવાથી,$^*$ જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવતું નથી.
$o$ માટે,$1 \,o\, 2 = 1$ અને $2 \,o\, 1 = 2$. $1 \neq 2$ હોવાથી,$o$ ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવતું નથી.
$o$ માટે જૂથના ગુણધર્મની ચકાસણી: $(a \,o\, b) \,o\, c = a \,o\, c = a$ અને $a \,o\, (b \,o\, c) = a \,o\, b = a$. બંને બાજુ $a$ મળે છે,તેથી $o$ જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવે છે.
$^*$ નું $o$ પર વિભાજન: $a \,^*\, (b \,o\, c) = a \,^*\, b = |a-b|$ અને $(a \,^*\, b) \,o\, (a \,^*\, c) = |a-b| \,o\, |a-c| = |a-b|$. તેથી $^*$ એ $o$ પર વિભાજિત થાય છે.
$o$ નું $^*$ પર વિભાજન: $1 \,o\, (2 \,^*\, 3) = 1 \,o\, |2-3| = 1 \,o\, 1 = 1$,જ્યારે $(1 \,o\, 2) \,^*\, (1 \,o\, 3) = 1 \,^*\, 1 = |1-1| = 0$. $1 \neq 0$ હોવાથી,$o$ એ $^*$ પર વિભાજિત થતું નથી.

(A) આપેલ છે કે $^*: P(X) \times P(X) \rightarrow P(X)$ એ $A \,^*\, B = (A - B) \cup (B - A)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $A, B \in P(X)$.
$1$. તટસ્થ ઘટક:
કોઈપણ $A \in P(X)$ માટે,આપણી પાસે છે:
$A \,^*\, \Phi = (A - \Phi) \cup (\Phi - A) = A \cup \Phi = A$
$\Phi \,^*\, A = (\Phi - A) \cup (A - \Phi) = \Phi \cup A = A$
કારણ કે $A \,^*\, \Phi = A = \Phi \,^*\, A$ તમામ $A \in P(X)$ માટે સાચું છે,તેથી ખાલી ગણ $\Phi$ એ ક્રિયા $^*$ માટે તટસ્થ ઘટક છે.
$2$. વ્યસ્ત સંપન્ન ઘટકો:
$P(X)$ નો ઘટક $A$ વ્યસ્ત સંપન્ન કહેવાય જો કોઈ $B \in P(X)$ એવું મળે કે જેથી $A \,^*\, B = \Phi = B \,^*\, A$,જ્યાં $\Phi$ એ તટસ્થ ઘટક છે.
$A \,^*\, A$ માટે વિચારીએ:
$A \,^*\, A = (A - A) \cup (A - A) = \Phi \cup \Phi = \Phi$
કારણ કે $A \,^*\, A = \Phi$,તેથી દરેક ઘટક $A \in P(X)$ એ પોતાનો જ વ્યસ્ત છે.
આમ,$P(X)$ ના તમામ ઘટકો $A$ એ $A^{-1} = A$ સાથે વ્યસ્ત સંપન્ન છે.

(A) ધારો કે $X = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.
$X$ પરની ક્રિયા $^*$ ને $a \,^* \, b = \begin{cases} a+b, & \text{જો } a+b < 6 \\ a+b-6, & \text{જો } a+b \geq 6 \end{cases}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.
$X$ નો ઘટક $e$ એ ક્રિયા $^*$ માટે તટસ્થ ઘટક કહેવાય જો તમામ $a \in X$ માટે $a \,^* \, e = a = e \,^* \, a$ થાય.
$a \in X$ માટે,આપણી પાસે છે:
$a \,^* \, 0 = a + 0 = a$ (કારણ કે $a \in X \Rightarrow a+0 < 6$)
$0 \,^* \, a = 0 + a = a$ (કારણ કે $a \in X \Rightarrow 0+a < 6$)
તેથી,તમામ $a \in X$ માટે $a \,^* \, 0 = a = 0 \,^* \, a$ થાય છે.
આમ,$0$ એ આપેલી ક્રિયા $^*$ માટે તટસ્થ ઘટક છે.
$X$ નો ઘટક $a$ વ્યસ્ત સંપન્ન કહેવાય જો કોઈ $b \in X$ એવું મળે કે જેથી $a \,^* \, b = 0 = b \,^* \, a$ થાય.
જો $a \neq 0$ હોય,તો ધારો કે $b = 6-a$. કારણ કે $a \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$,તેથી $b \in \{5, 4, 3, 2, 1\} \subset X$.
ત્યારે $a \,^* \, b = a + (6-a) - 6 = 0$ (કારણ કે $a+b = 6 \geq 6$).
તે જ રીતે,$b \,^* \, a = (6-a) + a - 6 = 0$.
આમ,$6-a$ એ દરેક $a \in X, a \neq 0$ માટે $a$ નો વ્યસ્ત છે.

(C) ગણ $S$ પરની દ્વિ-ક્રિયા $^*$ એ $S \times S$ થી $S$ પરનું વિધેય છે.
અહીં,ગણ $S = \{a, b\}$ છે,તેથી $S \times S = \{(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)\}$ થાય.
$S \times S$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(S \times S) = 2 \times 2 = 4$ છે.
સહ-પ્રદેશ $S$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(S) = 2$ છે.
$S \times S$ થી $S$ પરના કુલ વિધેયોની સંખ્યા $(n(S))^{n(S \times S)} = 2^4$ દ્વારા મળે છે.
આની ગણતરી કરતા,આપણને $2^4 = 16$ મળે છે.
આમ,ગણ $\{a, b\}$ પરની કુલ દ્વિ-ક્રિયાઓની સંખ્યા $16$ છે.
સાચો જવાબ $C$ છે.

(A) ધારો કે $e$ એ $*$ પ્રક્રિયા માટે તટસ્થ ઘટક છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$a * e = a = e * a$.
આપેલ છે કે $a * b = 10ab$,તેથી $10ae = a$.
અહીં $a \in Q^{+}$,તેથી $a \neq 0$,માટે $10e = 1$,જેનો અર્થ છે કે $e = \frac{1}{10}$.
ધારો કે $a^{\prime}$ એ $0.01$ નો વ્યસ્ત છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$0.01 * a^{\prime} = e$.
કિંમતો મૂકતા,$10 \times 0.01 \times a^{\prime} = \frac{1}{10}$.
$10 \times \frac{1}{100} \times a^{\prime} = \frac{1}{10}$.
$0.1 \times a^{\prime} = 0.1$.
તેથી,$a^{\prime} = 1$.

(C) પ્રક્રિયા $a * b$ એ $ab$ ને $7$ વડે ભાગતા મળતી શેષ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $a, b \in A$.
પ્રથમ,આપણે તટસ્થ ઘટક $e \in A$ શોધીએ જેથી દરેક $a \in A$ માટે $a * e = a$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $ae$ ને $7$ વડે ભાગતા મળતી શેષ $a$ છે.
$a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ માટે,$a * 1 = (a \times 1)$ ને $7$ વડે ભાગતા મળતી શેષ $= a$.
આમ,તટસ્થ ઘટક $e = 1$ છે.
$2$ નો વ્યસ્ત શોધવા માટે,આપણે એવો ઘટક $x \in A$ જોઈએ કે જેથી $2 * x = e = 1$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $(2 \times x)$ ને $7$ વડે ભાગતા મળતી શેષ $1$ છે.
$A$ માંથી કિંમતો ચકાસતા:
$2 * 1 = 2$
$2 * 2 = 4$
$2 * 3 = 6$
$2 * 4 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$
તેથી,$2 * 4 = 1$ હોવાથી,$2$ નો વ્યસ્ત $4$ છે.

(B) ગણ $S$ પરની દ્રીક ક્રિયા $*$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે તેમ કહેવાય જો તમામ $a, b \in S$ માટે $a * b = b * a$ થાય.
અહીં $a, b \in Q$ માટે $a * b = a - b$ આપેલ છે.
ક્રમનો નિયમ ચકાસવા માટે,આપણે $b * a$ શોધીએ:
$b * a = b - a$.
હવે,$a * b$ અને $b * a$ ની સરખામણી કરીએ:
$a * b = a - b$ અને $b * a = b - a$.
સામાન્ય રીતે $a - b \neq b - a$ હોવાથી (ઉદાહરણ તરીકે,$a = 5$ અને $b = 3$ લો,તો $5 - 3 = 2$ અને $3 - 5 = -2$,અને $2 \neq -2$),આ ક્રિયા ક્રમનો નિયમ પાળતી નથી.
તેથી,દ્રીક ક્રિયા $*$ ક્રમનો નિયમ પાળતી નથી.

(A) દ્વિ-ક્રિયા $a * b = a^{2} + b^{2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
ક્રમ-નિરપેક્ષતા તપાસવા માટે,આપણે ચકાસવું પડશે કે શું તમામ $a, b \in Q$ માટે $a * b = b * a$ થાય છે.
આપેલ છે કે $a * b = a^{2} + b^{2}$.
સંમેય સંખ્યાઓના ગણમાં સરવાળો ક્રમ-નિરપેક્ષ હોવાથી,$a^{2} + b^{2} = b^{2} + a^{2}$ થાય છે.
ક્રિયાની વ્યાખ્યા મુજબ,$b^{2} + a^{2} = b * a$ થાય છે.
તેથી,તમામ $a, b \in Q$ માટે $a * b = b * a$ છે.
આમ,દ્વિ-ક્રિયા $*$ એ ક્રમ-નિરપેક્ષ છે.

(B) દ્વિ-ક્રિયા $a * b = a + ab$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
ક્રમનો નિયમ ચકાસવા માટે,આપણે $a * b$ અને $b * a$ ની સરખામણી કરીએ છીએ.
વ્યાખ્યા મુજબ,$a * b = a + ab$.
તે જ રીતે,$b * a = b + ba = b + ab$.
ક્રિયા ક્રમનો નિયમ પાળે તે માટે,તમામ $a, b \in Q$ માટે $a * b = b * a$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ થાય કે $a + ab = b + ab$.
બંને બાજુથી $ab$ બાદ કરતા,આપણને $a = b$ મળે છે.
કારણ કે $a = b$ એ તમામ $a, b \in Q$ માટે સાચું નથી,તેથી આ ક્રિયા ક્રમનો નિયમ પાળતી નથી.
ઉદાહરણ: ધારો કે $a = 3$ અને $b = 2$.
$a * b = 3 * 2 = 3 + 3(2) = 3 + 6 = 9$.
$b * a = 2 * 3 = 2 + 2(3) = 2 + 6 = 8$.
$9 \neq 8$ હોવાથી,$a * b \neq b * a$ છે.

(A) જો તમામ $a, b \in Q$ માટે $a * b = b * a$ હોય,તો દ્રીકક્રિયા $*$ ને ક્રમનો નિયમ પાળે છે તેમ કહેવાય.
આપેલ છે કે $a * b = (a - b)^{2}$.
હવે,$b * a$ ની ગણતરી કરીએ:
$b * a = (b - a)^{2}$.
કારણ કે $(b - a)^{2} = [-(a - b)]^{2} = (-1)^{2}(a - b)^{2} = (a - b)^{2}$.
તેથી,$b * a = (a - b)^{2} = a * b$.
તમામ $a, b \in Q$ માટે $a * b = b * a$ હોવાથી,ક્રિયા $*$ એ ક્રમનો નિયમ પાળે છે.

(A) અહીં દ્વિ-ક્રિયા $a * b = 1 + ab$ છે,જ્યાં $a, b \in R$.
$1$. ક્રમનો નિયમ:
$a * b = 1 + ab$
$b * a = 1 + ba = 1 + ab$
અહીં $a * b = b * a$ હોવાથી,$*$ ક્રિયા ક્રમનો નિયમ પાળે છે.
$2$. જૂથનો નિયમ:
$a * (b * c) = a * (1 + bc) = 1 + a(1 + bc) = 1 + a + abc$
$(a * b) * c = (1 + ab) * c = 1 + (1 + ab)c = 1 + c + abc$
અહીં $1 + a + abc \neq 1 + c + abc$ હોવાથી,$*$ ક્રિયા જૂથનો નિયમ પાળતી નથી.
આમ,$*$ ક્રિયા ક્રમનો નિયમ પાળે છે પણ જૂથનો નિયમ પાળતી નથી.

(B) આપેલ દ્વિતીય પ્રક્રિયા $a * b = \frac{2ab}{5}$ છે.
પ્રથમ,તટસ્થ ઘટક $e$ શોધો જેથી $a * e = a$ થાય:
$\frac{2ae}{5} = a \implies e = \frac{5}{2}$.
ત્યારબાદ,વ્યસ્ત ઘટક $a^{-1}$ શોધો જેથી $a * a^{-1} = e$ થાય:
$\frac{2a(a^{-1})}{5} = \frac{5}{2} \implies a^{-1} = \frac{25}{4a}$.
$a = 3$ માટે,વ્યસ્ત $3^{-1} = \frac{25}{4(3)} = \frac{25}{12}$ થાય.
હવે,$2 * x = 3^{-1}$ ઉકેલો:
$\frac{2(2x)}{5} = \frac{25}{12} \implies \frac{4x}{5} = \frac{25}{12}$.
$x = \frac{25 \times 5}{12 \times 4} = \frac{125}{48}$.

(C) આપેલ દ્વિતીય પ્રક્રિયા $a * b = \frac{a}{b+1}$ છે.
ક્રમનો નિયમ ચકાસતા:
$a * b = \frac{a}{b+1}$
$b * a = \frac{b}{a+1}$
અહીં $\frac{a}{b+1} \neq \frac{b}{a+1}$ હોવાથી,આ પ્રક્રિયા ક્રમનો નિયમ જાળવતી નથી.
જૂથનો નિયમ ચકાસતા:
$(a * b) * c = \left(\frac{a}{b+1}\right) * c = \frac{\frac{a}{b+1}}{c+1} = \frac{a}{(b+1)(c+1)}$
$a * (b * c) = a * \left(\frac{b}{c+1}\right) = \frac{a}{\frac{b}{c+1} + 1} = \frac{a(c+1)}{b+c+1}$
અહીં $\frac{a}{(b+1)(c+1)} \neq \frac{a(c+1)}{b+c+1}$ હોવાથી,આ પ્રક્રિયા જૂથનો નિયમ જાળવતી નથી.
તેથી,$*$ એ ન તો ક્રમનો નિયમ જાળવે છે કે ન તો જૂથનો નિયમ.

(D) આપેલ ક્રિયા $ a \oplus b = a^{2} + b^{2} $ છે.
પ્રથમ,$ (2 \oplus 3) $ ની ગણતરી કરો:
$ 2 \oplus 3 = 2^{2} + 3^{2} = 4 + 9 = 13 $.
હવે,આ પરિણામને $ (2 \oplus 3) \oplus 4 $ પદાવલિમાં મૂકો:
$ 13 \oplus 4 = 13^{2} + 4^{2} $.
$ 13^{2} + 4^{2} = 169 + 16 = 185 $.
આમ,અંતિમ પરિણામ $ 185 $ છે.

(B) આપેલ છે કે,$a * b = \frac{a+b}{4}$.
ક્રમનો ગુણધર્મ ચકાસતા,$b * a = \frac{b+a}{4} = \frac{a+b}{4} = a * b$. તેથી,આ ક્રિયા ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવે છે.
જૂથનો ગુણધર્મ ચકાસતા,$a * (b * c)$ અને $(a * b) * c$ ની ગણતરી કરીએ.
$a * (b * c) = a * \left(\frac{b+c}{4}\right) = \frac{a + \frac{b+c}{4}}{4} = \frac{4a + b + c}{16}$.
$(a * b) * c = \left(\frac{a+b}{4}\right) * c = \frac{\frac{a+b}{4} + c}{4} = \frac{a + b + 4c}{16}$.
અહીં $\frac{4a + b + c}{16} \neq \frac{a + b + 4c}{16}$ હોવાથી,આ ક્રિયા જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવતી નથી.
તેથી,આ ક્રિયા ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવે છે પણ જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવતી નથી.

(A) આપેલ છે કે જૂથ $(G, *)$ માં $a^{2} = e$ છે.
બંને બાજુ $a^{-1}$ ($a$ નો વ્યસ્ત) વડે ગુણતા:
$a^{-1} * (a * a) = a^{-1} * e$
$(a^{-1} * a) * a = a^{-1}$
$e * a = a^{-1}$
$a = a^{-1}$

(D) આપેલ છે કે,જૂથ $(Z, *)$ માં,ક્રિયા $a * b = a + b - n$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
પ્રથમ,આપણે તટસ્થ ઘટક $e$ શોધીએ છીએ જેથી $a * e = a$ થાય.
$a + e - n = a \implies e = n$.
હવે,$(-n)$ નો વ્યસ્ત શોધવા માટે,ધારો કે વ્યસ્ત $x$ છે જેથી $(-n) * x = e$ થાય.
$e = n$ હોવાથી,$(-n) * x = n$.
ક્રિયાની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા:
$(-n) + x - n = n$.
$x - 2n = n$.
$x = 3n$.
આમ,$(-n)$ નો વ્યસ્ત $3n$ છે.

(A) કોઈ ગણ $G$ દ્વિ-ક્રિયા $\cdot$ સાથે ગ્રુપ ત્યારે જ કહેવાય જો તે સંવૃતતા,જૂથનો નિયમ,તટસ્થ ઘટક અને વ્યસ્ત ઘટક ધરાવતું હોય.
$(N, \cdot)$ માટે,જ્યાં $N$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે,કોઈપણ ઘટક $a \in N$ (જ્યાં $a \neq 1$) માટે વ્યસ્ત ઘટક $1/a$ એ $N$ માં નથી.
આથી,$(N, \cdot)$ વ્યસ્ત ઘટકનો ગુણધર્મ ધરાવતું નથી અને તે ગ્રુપ નથી.
$(N, +)$ એ સેમી-ગ્રુપ છે કારણ કે તે સરવાળા માટે સંવૃત અને જૂથનો નિયમ પાળે છે.
$(Z, +)$ એ ગ્રુપ છે કારણ કે તે ગ્રુપના તમામ સ્વયંસિદ્ધિઓનું પાલન કરે છે.
યુગ્મ પૂર્ણાંકોનો ગણ $2Z = \{..., -4, -2, 0, 2, 4, ...\}$ સરવાળા હેઠળ ગ્રુપ બનાવે છે કારણ કે તેમાં તટસ્થ ઘટક $0$ છે,દરેક ઘટકનો વ્યસ્ત ઘટક છે,અને તે સંવૃત તથા જૂથનો નિયમ પાળે છે.
તેથી,વિધાન $(N, \cdot)$ એ ગ્રુપ છે તે ખોટું છે.

(D) જો કોઈ જૂથ $G$ નો ઉપગણ $H$ એ જ પ્રક્રિયા હેઠળ જૂથ બનાવે,તો તેને ઉપજૂથ કહેવાય છે.
$H = \{4^{n} \mid n \in \mathbb{Z}\}$ માટે,આપણે જોઈએ છીએ કે $4^{n} = (2^{2})^{n} = 2^{2n}$. કારણ કે દરેક $n \in \mathbb{Z}$ માટે $2n \in \mathbb{Z}$ થાય,તેથી $H \subset G$.
$1.$ સંવૃતતા: $4^{n} \cdot 4^{m} = 4^{n+m} \in H$.
$2.$ તટસ્થ ઘટક: $4^{0} = 1 = 2^{0} \in H$.
$3.$ વ્યસ્ત ઘટક: $4^{n} \in H$ માટે,તેનો વ્યસ્ત $4^{-n} \in H$ છે.
આમ,$\{4^{n} \mid n \in \mathbb{Z}\}$ એ $G$ નો ઉપજૂથ છે.

(A) અમને સમૂહ $G = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ માં ગુણાકાર મોડ્યુલો $7$ હેઠળ સમીકરણ $4 \otimes_{7} x = 5$ આપેલ છે.
$x$ શોધવા માટે,આપણે સમૂહના ઘટકો ચકાસીએ છીએ:
$4 \otimes_{7} 1 = 4$
$4 \otimes_{7} 2 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$
$4 \otimes_{7} 3 = 12 \equiv 5 \pmod{7}$
$4 \otimes_{7} 4 = 16 \equiv 2 \pmod{7}$
$4 \otimes_{7} 5 = 20 \equiv 6 \pmod{7}$
$4 \otimes_{7} 6 = 24 \equiv 3 \pmod{7}$
આપેલ સમીકરણ $4 \otimes_{7} x = 5$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે કે $x = 3$.

(C) આપેલ દ્વિ ક્રિયા $a * b = \frac{3ab}{2}$ છે.
પ્રથમ,આપણે તટસ્થ ઘટક $e$ શોધીએ છીએ જેથી $a * e = a$ થાય.
$\frac{3ae}{2} = a \implies e = \frac{2}{3}$.
હવે,આપણે વ્યસ્ત ઘટક $3^{-1}$ શોધીએ છીએ જેથી $3 * 3^{-1} = e = \frac{2}{3}$ થાય.
$\frac{3 \cdot 3 \cdot 3^{-1}}{2} = \frac{2}{3} \implies \frac{9 \cdot 3^{-1}}{2} = \frac{2}{3} \implies 3^{-1} = \frac{4}{27}$.
વળી,$2 * x = \frac{3 \cdot 2 \cdot x}{2} = 3x$.
આપેલ સમીકરણ: $(2 * x) * 3^{-1} = 4^{-1}$.
અહીં $4^{-1}$ એ $4$ નો વ્યસ્ત છે,તેથી $4 * 4^{-1} = \frac{2}{3} \implies 4^{-1} = \frac{1}{9}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $(3x) * \frac{4}{27} = \frac{1}{9}$.
$\frac{3 \cdot (3x) \cdot (4/27)}{2} = \frac{1}{9}$.
$\frac{36x}{54} = \frac{1}{9} \implies \frac{2x}{3} = \frac{1}{9}$.
$x = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$.

(B) દ્રીકક્રિયા $A * B = A \cup B$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. ક્રમનો નિયમ: $A * B = A \cup B = B \cup A = B * A$. તેથી,તે ક્રમનો નિયમ ધરાવે છે.
$2$. જૂથનો નિયમ: $(A * B) * C = (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) = A * (B * C)$. તેથી,તે જૂથનો નિયમ ધરાવે છે.
$3$. તદેવ નિયમ: તદેવ ઘટક $E$ માટે $A * E = A$ થવું જોઈએ,એટલે કે $A \cup E = A$. આ $E = \phi$ માટે શક્ય છે. તેથી,તદેવ ઘટક અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$4$. વ્યસ્ત નિયમ: ઘટક $A$ નો વ્યસ્ત $B$ હોવા માટે $A * B = E$ (જ્યાં $E = \phi$) થવું જોઈએ. એટલે કે $A \cup B = \phi$. આ ફક્ત $A = \phi$ અને $B = \phi$ માટે જ શક્ય છે. કોઈપણ અરિક્ત ગણ $A \neq \phi$ માટે,એવો કોઈ $B \in P(X)$ નથી કે જેથી $A \cup B = \phi$ થાય. તેથી,વ્યસ્ત નિયમનું પાલન થતું નથી.

(D) ધારો કે $e$ એ $Q^{+}$ માં તટસ્થ ઘટક છે જેથી તમામ $a \in Q^{+}$ માટે $a * e = a$ થાય.
$\frac{a \times e}{2010} = a \implies e = 2010$.
આમ,તટસ્થ ઘટક $2010$ છે.
ધારો કે $x$ એ $2010$ નો વ્યસ્ત છે. વ્યાખ્યા મુજબ,$2010 * x = e$ થાય.
$\frac{2010 \times x}{2010} = 2010$.
$x = 2010$.
તેથી,$2010$ નો વ્યસ્ત $2010$ છે.

(C) ગણ $N$ પર દ્વિ-આધારિત ક્રિયા $*$ એ વિધેય $*: N \times N \to N$ છે. આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ $a, b \in N$ માટે,પરિણામ $a * b$ પણ $N$ માં હોવું જોઈએ.
$(A)$ $a * b = \sqrt{ab}$: જો $a=1, b=2$ હોય,તો $a * b = \sqrt{2} \notin N$.
$(B)$ $a * b = \frac{a-b}{a+b}$: જો $a=1, b=2$ હોય,તો $a * b = \frac{-1}{3} \notin N$.
$(C)$ $a * b = a + 3b$: કારણ કે $a, b \in N$,$a + 3b$ હંમેશા પ્રાકૃતિક સંખ્યા જ મળે. તેથી,આ દ્વિ-આધારિત ક્રિયા છે.
$(D)$ $a * b = 3a - 4b$: જો $a=1, b=2$ હોય,તો $a * b = 3(1) - 4(2) = -5 \notin N$.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) સમૂહ $G = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ માં સરવાળા મોડ્યુલો $6$ હેઠળ,તટસ્થ ઘટક $0$ છે.
પ્રથમ,આપણે સરવાળા મોડ્યુલો $6$ હેઠળ $3$ નો વ્યસ્ત શોધીએ. કારણ કે $3 +_{6} 3 = 6 \equiv 0 \pmod{6}$,તેથી $3^{-1} = 3$ થાય.
હવે,કૌંસની અંદરની પદાવલિની ગણતરી કરીએ: $2 +_{6} 3^{-1} +_{6} 4 = 2 +_{6} 3 +_{6} 4 = 9 \pmod{6} = 3$.
છેલ્લે,સરવાળા મોડ્યુલો $6$ હેઠળ $3$ નો વ્યસ્ત શોધીએ. કારણ કે $3 +_{6} 3 = 0$,તેથી $3$ નો વ્યસ્ત $3$ છે.
આમ,$(2 +_{6} 3^{-1} +_{6} 4)^{-1} = 3^{-1} = 3$.

(B) એકમના ચતુર્થ મૂળનો ગણ $S = \{1, -1, i, -i\}$ છે.
કોઈપણ ગણ સરવાળા માટે જૂથ બનાવવા માટે,તેણે સરવાળા હેઠળ સંવૃતતાના ગુણધર્મનું પાલન કરવું આવશ્યક છે.
અહીં $1 + (-1) = 0$ થાય છે. પરંતુ $0 \notin S$ હોવાથી,આ ગણ સરવાળા હેઠળ સંવૃત નથી.
તેથી,એકમના ચતુર્થ મૂળ સરવાળા માટે એબેલિયન જૂથ બનાવે છે તે વિધાન ખોટું છે.

(D) આપેલ દ્વિ ક્રિયા $a * b = a + b - 5$ છે.
પ્રથમ,અંદરના પદ $(x * 3)$ ની કિંમત શોધો:
$x * 3 = x + 3 - 5 = x - 2$.
હવે,આ કિંમતને સમીકરણ $2 * (x * 3) = 5$ માં મૂકો:
$2 * (x - 2) = 5$.
ક્રિયાની વ્યાખ્યા ફરીથી લાગુ પાડતા:
$2 + (x - 2) - 5 = 5$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$x - 5 = 5$.
$x = 10$.

(C) પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણ $N$ માટે સરવાળાની ક્રિયા ક્રમનો નિયમ $(a+b = b+a)$ અને જૂથનો નિયમ $((a+b)+c = a+(b+c))$ પાળે છે.
પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણ $N$ માટે ગુણાકારની ક્રિયા જૂથનો નિયમ $((a \times b) \times c = a \times (b \times c))$ પાળે છે.
ક્રિયા $a * b = a^{b}$ માટે,આપણે ક્રમનો નિયમ ચકાસીએ: $a * b = a^{b}$ અને $b * a = b^{a}$.
તમામ $a, b \in N$ માટે $a^{b} \neq b^{a}$ હોવાથી (દા.ત.,$2 * 3 = 2^{3} = 8$ જ્યારે $3 * 2 = 3^{2} = 9$),$*$ ક્રિયા ક્રમનો નિયમ પાળતી નથી.
તેથી,વિકલ્પ $C$ અસત્ય છે.

(D) ધારો કે $G = \{-1, 0, 1\}$.
કોઈપણ ગણ ગુણાકાર માટેનું જૂથ બનવા માટે,દરેક ઘટકનો વ્યસ્ત ઘટક હોવો જરૂરી છે.
ગુણાકાર માટેના વ્યસ્ત ઘટકની વ્યાખ્યા મુજબ,ઘટક $a$ માટે એવો ઘટક $b$ મળવો જોઈએ જેથી $a \times b = 1$ થાય.
અહીં ઘટક $0$ માટે,ગણમાં એવો કોઈ ઘટક $b$ અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી કે જેથી $0 \times b = 1$ થાય.
તેથી,ઘટક $0$ માટે વ્યસ્ત ઘટકનો નિયમ નિષ્ફળ જાય છે.

(B) સમૂહ $(G, \times_{15})$ માં તટસ્થ ઘટક $e$ એ શરત $a \times_{15} e = a$ નું પાલન કરે છે,જ્યાં $a \in G$.
કોમ્પોઝિશન ટેબલ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $6$ ની હરોળ $G$ ના ઘટકોને તે જ ક્રમમાં દર્શાવે છે.
કોષ્ટક મુજબ,$3 \times_{15} 6 = 3$,$6 \times_{15} 6 = 6$,$9 \times_{15} 6 = 9$,અને $12 \times_{15} 6 = 12$ થાય છે,તેથી તટસ્થ ઘટક $6$ છે.

(B) કોઈપણ જૂથ $(G, *)$ માં,તટસ્થ ઘટક $e$ હંમેશા તેનો પોતાનો વ્યસ્ત હોય છે,કારણ કે $e * e = e$.
જૂથ $G$ માં ઓછામાં ઓછો તટસ્થ ઘટક હોવો આવશ્યક છે,તેથી તેમના પોતાના વ્યસ્ત હોય તેવા ઘટકોની ન્યૂનતમ સંખ્યા $1$ છે.

(B) કોઈ ગણ $G$ અને દ્વિતીય ક્રિયા $*$ માટે,જો તે સંવૃતતા,જૂથનો નિયમ,તટસ્થ ઘટકનું અસ્તિત્વ અને વ્યસ્ત ઘટકનું અસ્તિત્વ ધરાવતું હોય તો તેને જૂથ કહેવાય.
સરવાળાની ક્રિયા હેઠળ એકી પૂર્ણાંકોના ગણ માટે,ધારો કે $a = 1$ અને $b = 3$. તો $a + b = 4$,જે બેકી પૂર્ણાંક છે.
બે એકી પૂર્ણાંકોનો સરવાળો હંમેશા બેકી સંખ્યા હોવાથી,આ ગણ સરવાળાની ક્રિયા હેઠળ સંવૃત નથી.
વધુમાં,સરવાળા માટે તટસ્થ ઘટક $0$ છે,જે એકી સંખ્યા નથી.
તેથી,સરવાળાની ક્રિયા હેઠળ એકી પૂર્ણાંકોનો ગણ એ જૂથ નથી.

(D) ગણ $A$ પરની દ્વિ-ક્રિયા એ $A \times A$ થી $A$ પરનું વિધેય છે.
જો ગણ $A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n$ હોય,તો $A \times A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n^{2}$ થાય.
ગણ $A$ પરની દ્વિ-ક્રિયાઓની કુલ સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $n^{(n^{2})}$ છે.
અહીં,ગણ $A = \{a, b, c\}$ છે,તેથી ઘટકોની સંખ્યા $n = 3$ છે.
સૂત્રમાં $n = 3$ મૂકતા,આપણને દ્વિ-ક્રિયાઓની સંખ્યા $3^{(3^{2})} = 3^{9}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે,$a * b = 1 + ab$ $\rightarrow (1)$
ક્રમના ગુણધર્મ માટે,ચકાસો કે $a * b = b * a$:
$b * a = 1 + ba = 1 + ab = a * b$
કારણ કે $a * b = b * a$,તેથી આ ક્રિયા ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવે છે.
જૂથના ગુણધર્મ માટે,ચકાસો કે $(a * b) * c = a * (b * c)$:
$(a * b) * c = (1 + ab) * c = 1 + (1 + ab)c = 1 + c + abc$
$a * (b * c) = a * (1 + bc) = 1 + a(1 + bc) = 1 + a + abc$
કારણ કે $1 + c + abc \neq 1 + a + abc$,તેથી આ ક્રિયા જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવતી નથી.
આમ,આ ક્રિયા ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવે છે પણ જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવતી નથી.

(D) ધારો કે સંબંધ $R = \{(A, B) : B = P A Q^{-1}\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $P$ અને $Q$ વ્યસ્ત શ્રેણિકો છે.
સ્વવાચકતા માટે: $A = I A I^{-1}$ જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે (જે વ્યસ્ત છે),તેથી $(A, A) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
સંમિતતા માટે: ધારો કે $(A, B) \in R$. તો $B = P A Q^{-1}$. ડાબી બાજુ $P^{-1}$ અને જમણી બાજુ $Q$ વડે ગુણતા,આપણને $P^{-1} B Q = A$ મળે છે. $P^{-1}$ અને $Q$ વ્યસ્ત હોવાથી,ધારો કે $P' = P^{-1}$ અને $Q' = Q^{-1}$. તેથી $A = P' B (Q')^{-1}$,એટલે કે $(B, A) \in R$. આમ,$R$ સંમિત છે.
પરંપરિતતા માટે: ધારો કે $(A, B) \in R$ અને $(B, C) \in R$. તો $A = P_1 B Q_1^{-1}$ અને $B = P_2 C Q_2^{-1}$. $B$ ની કિંમત મૂકતા,$A = P_1 (P_2 C Q_2^{-1}) Q_1^{-1} = (P_1 P_2) C (Q_1 Q_2)^{-1}$. વ્યસ્ત શ્રેણિકોનો ગુણાકાર પણ વ્યસ્ત હોવાથી,$(A, C) \in R$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
$R$ સ્વવાચક,સંમિત અને પરંપરિત હોવાથી,તે એક સામ્ય સંબંધ છે.