દ્વિ-ક્રિયાઓ $^*: R \times R \rightarrow R$ અને $o: R \times R \rightarrow R$ ધ્યાનમાં લો,જે $a \,^*\, b = |a-b|$ અને $a \,o\, b = a$,$\forall \, a, b \in R$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. સાબિત કરો કે $^*$ ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવે છે પણ જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવતું નથી,અને $o$ જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવે છે પણ ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવતું નથી. વધુમાં,સાબિત કરો કે $\forall \, a, b, c \in R, a \,^*\, (b \,o\, c) = (a \,^*\, b) \,o\, (a \,^*\, c)$. [જો આમ હોય,તો આપણે કહીએ છીએ કે ક્રિયા $^*$ એ ક્રિયા $o$ પર વિભાજિત થાય છે]. શું $o$ એ $^*$ પર વિભાજિત થાય છે? તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.

(A) આપેલ છે કે $a \,^*\, b = |a-b|$ અને $a \,o\, b = a$,જ્યાં $a, b \in R$.
$^*$ માટે,$a \,^*\, b = |a-b|$ અને $b \,^*\, a = |b-a| = |-(a-b)| = |a-b|$. તેથી $a \,^*\, b = b \,^*\, a$,એટલે કે $^*$ ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવે છે.
$^*$ માટે જૂથના ગુણધર્મની ચકાસણી: $(1 \,^*\, 2) \,^*\, 3 = |1-2| \,^*\, 3 = 1 \,^*\, 3 = |1-3| = 2$,જ્યારે $1 \,^*\, (2 \,^*\, 3) = 1 \,^*\, |2-3| = 1 \,^*\, 1 = |1-1| = 0$. $2 \neq 0$ હોવાથી,$^*$ જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવતું નથી.
$o$ માટે,$1 \,o\, 2 = 1$ અને $2 \,o\, 1 = 2$. $1 \neq 2$ હોવાથી,$o$ ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવતું નથી.
$o$ માટે જૂથના ગુણધર્મની ચકાસણી: $(a \,o\, b) \,o\, c = a \,o\, c = a$ અને $a \,o\, (b \,o\, c) = a \,o\, b = a$. બંને બાજુ $a$ મળે છે,તેથી $o$ જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવે છે.
$^*$ નું $o$ પર વિભાજન: $a \,^*\, (b \,o\, c) = a \,^*\, b = |a-b|$ અને $(a \,^*\, b) \,o\, (a \,^*\, c) = |a-b| \,o\, |a-c| = |a-b|$. તેથી $^*$ એ $o$ પર વિભાજિત થાય છે.
$o$ નું $^*$ પર વિભાજન: $1 \,o\, (2 \,^*\, 3) = 1 \,o\, |2-3| = 1 \,o\, 1 = 1$,જ્યારે $(1 \,o\, 2) \,^*\, (1 \,o\, 3) = 1 \,^*\, 1 = |1-1| = 0$. $1 \neq 0$ હોવાથી,$o$ એ $^*$ પર વિભાજિત થતું નથી.