ગણ $\{a, b\}$ પર દ્વિ-ક્રિયાઓની સંખ્યા કેટલી છે?

એક જૂથ $(G, *)$ માં $10$ ઘટકો છે. $G$ ના ઘટકોની ન્યૂનતમ સંખ્યા,જે તેમના પોતાના વ્યસ્ત છે,તે છે

ધારો કે $A = N \times N$ અને $^*$ એ $A$ પરની દ્વિ-ક્રિયા છે જે $(a, b) \,^*\, (c, d) = (a + c, b + d)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. નક્કી કરો કે શું આ ક્રિયા $^*$ ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવે છે,જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવે છે અને શું તેમાં તટસ્થ ઘટક (identity element) અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

સાબિત કરો કે $*: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ જે $a * b = a + 2b$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તે ક્રમનો નિયમ પાળતું નથી (not commutative).

સમૂહ $G = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ માં $\otimes_{7}$ હેઠળ,$4 \otimes_{7} x = 5$ નો ઉકેલ શું છે?

ગણ $N$ પર નીચેનામાંથી કઈ દ્વિતીય ક્રિયાઓ જૂથના નિયમનું પાલન કરે છે અને કઈ ક્રમનો નિયમ પાળે છે તે નક્કી કરો: $a \ast b = 1$,દરેક $a, b \in N$ માટે.