बिंदु left(0, frac{pi}{4}right) से गुजरने वाल | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण है: $\sin x \cos y \, dx + \cos x \sin y \, dy = 0$। दोनों पक्षों को $\cos x \cos y$ से विभाजित करने पर: $\frac{\sin x}{\cos

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$\cos y = \frac{\sec x}{\sqrt{2}}$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण है: $\sin x \cos y \, dx + \cos x \sin y \, dy = 0$। दोनों पक्षों को $\cos x \cos y$ से विभाजित करने पर: $\frac{\sin x}{\cos x} \, dx + \frac{\sin y}{\cos y} \, dy = 0$। यह सरल होकर $	an x \, dx + 	an y \, dy = 0$ हो जाता है। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int 	an x \, dx + \int 	an y \, dy = C_1$। $-\ln |\cos x| - \ln |\cos y| = C_1$,जिसे $\ln |\cos x \cos y| = -C_1 = C$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,$\cos x \cos y = e^C = K$। वक्र बिंदु $\left(0, \frac{\pi}{4}ight)$ से गुजरता है। $x = 0$ और $y = \frac{\pi}{4}$ रखने पर: $\cos(0) \cos\left(\frac{\pi}{4}ight) = K \Rightarrow 1 	imes \frac{1}{\sqrt{2}} = K \Rightarrow K = \frac{1}{\sqrt{2}}$। इस प्रकार,वक्र का समीकरण $\cos x \cos y = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है,जिसका अर्थ है $\cos y = \frac{1}{\sqrt{2} \cos x} = \frac{\sec x}{\sqrt{2}}$।

बिंदु $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ से गुजरने वाले उस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण $\sin x \cos y \, dx + \cos x \sin y \, dy = 0$ है।

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$\frac{dy}{dx} + \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) = \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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