वह वक्र जिसके लिए किसी स्पर्श रेखा द्वारा y-अ | vedclass

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Question

(C) माना स्पर्श बिंदु $(x, y)$ है। स्पर्श रेखा का समीकरण $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ है।$y$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$X = 0$ रखें:$Y - y = \frac{d

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$\frac{c_1}{x} + \frac{c_2}{y} = 1$

Vedclass · Answer

(C) माना स्पर्श बिंदु $(x, y)$ है। स्पर्श रेखा का समीकरण $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ है।$y$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,$X = 0$ रखें:$Y - y = \frac{dy}{dx}(0 - x) \implies Y = y - x \frac{dy}{dx}$.प्रश्न के अनुसार,$y$-अंतःखंड $Y$,कोटि $y$ के वर्ग के समानुपाती है,अतः $Y = ky^2$ (जहाँ $k$ एक अचर है)।$Y$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:$y - x \frac{dy}{dx} = ky^2$.पदों को व्यवस्थित करने पर:$x \frac{dy}{dx} - y = -ky^2$.$xy^2$ से भाग देने पर:$\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{xy} = -\frac{k}{x}$.माना $v = \frac{1}{y}$,तो $\frac{dv}{dx} = -\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx}$।इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:$-\frac{dv}{dx} - \frac{v}{x} = -\frac{k}{x} \implies \frac{dv}{dx} + \frac{v}{x} = \frac{k}{x}$.यह एक रैखिक अवकल समीकरण है। समाकलन गुणक $e^{\int \frac{1}{x} dx} = x$ है।$x$ से गुणा करने पर:$x \frac{dv}{dx} + v = k \implies \frac{d}{dx}(xv) = k$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$xv = kx + C \implies x(\frac{1}{y}) = kx + C$.$x$ से भाग देने पर:$\frac{1}{y} = k + \frac{C}{x} \implies \frac{C}{x} + \frac{1}{y} = k$.$k$ से भाग देकर $\frac{c_1}{x} + \frac{c_2}{y} = 1$ के रूप में लाने पर (जहाँ $c_1 = C/k$ और $c_2 = 1/k$)।

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