अवकल समीकरण left( {{e^{{x^2}}} + {e^{{y^2}}}} | vedclass

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Question

(A) माना $y^2 = t$. तब $2y \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dt}}{{dx}}$.इस मान को अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:$\left( {{e^{{x^2}}} + {e^t}} \right)

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${e^{{x^2}}} (y^2 - 1) + {e^{{y^2}}} = C$

Vedclass · Answer

(A) माना $y^2 = t$. तब $2y \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dt}}{{dx}}$.इस मान को अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:$\left( {{e^{{x^2}}} + {e^t}} \right) \frac{1}{2} \frac{{dt}}{{dx}} + {e^{{x^2}}} x (t - 1) = 0$$\left( {{e^{{x^2}}} + {e^t}} \right) \frac{{dt}}{{dx}} + 2 x {e^{{x^2}}} (t - 1) = 0$पदों को व्यवस्थित करने पर:$\frac{{dx}}{{dt}} (e^t + {e^{{x^2}}}) + 2 x {e^{{x^2}}} (t - 1) = 0$माना $z = {e^{{x^2}}}$,तो $\frac{{dz}}{{dt}} = {e^{{x^2}}} \cdot 2x \frac{{dx}}{{dt}}$.यह समीकरण $z = {e^{{x^2}}}$ में $t$ के सापेक्ष एक रैखिक अवकल समीकरण बन जाता है:$\frac{{dz}}{{dt}} + \frac{z}{t-1} = -\frac{e^t}{t-1}$.समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int \frac{1}{t-1} dt} = t-1$.$z(t-1) = \int -e^t dt = -e^t + C$.$z = e^{{x^2}}$ और $t = y^2$ वापस रखने पर:$e^{{x^2}}(y^2 - 1) + e^{{y^2}} = C$.

अवकल समीकरण $\left( {{e^{{x^2}}} + {e^{{y^2}}}} \right) y \frac{{dy}}{{dx}} + {e^{{x^2}}}(x{y^2} - x) = 0$ का हल है

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