Partial differentiation Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે: $u = x^2 + y^2$,$x = s + 3t$,$y = 2s - t$.
પ્રથમ,$s$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વિકલન શોધો:
$\frac{dx}{ds} = 1$ અને $\frac{dy}{ds} = 2$.
ત્યારબાદ,$s$ ની સાપેક્ષમાં દ્વિતીય વિકલન શોધો:
$\frac{d^2x}{ds^2} = 0$ અને $\frac{d^2y}{ds^2} = 0$.
હવે,ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને $u$ નું $s$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો:
$\frac{du}{ds} = 2x \frac{dx}{ds} + 2y \frac{dy}{ds}$.
ફરીથી $s$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2u}{ds^2} = 2 \left( \frac{dx}{ds} \right)^2 + 2x \frac{d^2x}{ds^2} + 2 \left( \frac{dy}{ds} \right)^2 + 2y \frac{d^2y}{ds^2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{d^2u}{ds^2} = 2(1)^2 + 2x(0) + 2(2)^2 + 2y(0) = 2(1) + 8 = 10$.

(D) આપેલ વિધેય $z = \frac{(x^4 + y^4)^{1/3}}{(x^3 + y^3)^{1/4}}$ છે.
આ $x$ અને $y$ નું સમપરિમાણીય (homogeneous) વિધેય છે.
ધારો કે $f(x, y) = (x^4 + y^4)^{1/3}$ અને $g(x, y) = (x^3 + y^3)^{1/4}$ છે.
$f(x, y)$ ની ઘાત $n_1 = \frac{4}{3}$ છે અને $g(x, y)$ ની ઘાત $n_2 = \frac{3}{4}$ છે.
તેથી $z = \frac{f}{g}$ હોવાથી,$z$ ની ઘાત $n = n_1 - n_2 = \frac{4}{3} - \frac{3}{4} = \frac{16 - 9}{12} = \frac{7}{12}$ થાય.
સમપરિમાણીય વિધેયો માટેના આઈલરના પ્રમેય મુજબ,જો $z$ એ $n$ ઘાતનું સમપરિમાણીય વિધેય હોય,તો $x\frac{\partial z}{\partial x} + y\frac{\partial z}{\partial y} = nz$ થાય.
$n = \frac{7}{12}$ મૂકતા,આપણને $x\frac{\partial z}{\partial x} + y\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{7}{12}z$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $z = \tan^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)$.
પ્રથમ,$z$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન $(z_x)$ શોધો:
$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{1 + (x/y)^2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{(y^2 + x^2)/y^2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{y^2}{x^2 + y^2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{y}{x^2 + y^2}$.
ત્યારબાદ,$z$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન $(z_y)$ શોધો:
$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{1 + (x/y)^2} \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) = \frac{y^2}{x^2 + y^2} \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) = -\frac{x}{x^2 + y^2}$.
હવે,$z_x : z_y$ નો ગુણોત્તર શોધો:
$z_x : z_y = \frac{y}{x^2 + y^2} : -\frac{x}{x^2 + y^2} = y : -x = -y : x$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ છે કે $u = \frac{x + y}{x - y}$.
પ્રથમ,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં $u$ નું આંશિક વિકલન મેળવો:
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{(x - y)(1) - (x + y)(1)}{(x - y)^2} = \frac{x - y - x - y}{(x - y)^2} = \frac{-2y}{(x - y)^2}$.
ત્યારબાદ,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $y$ ની સાપેક્ષમાં $u$ નું આંશિક વિકલન મેળવો:
$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{(x - y)(1) - (x + y)(-1)}{(x - y)^2} = \frac{x - y + x + y}{(x - y)^2} = \frac{2x}{(x - y)^2}$.
હવે,બંને આંશિક વિકલનોનો સરવાળો કરો:
$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{-2y}{(x - y)^2} + \frac{2x}{(x - y)^2} = \frac{2x - 2y}{(x - y)^2} = \frac{2(x - y)}{(x - y)^2} = \frac{2}{x - y}$.

(B) આપેલ છે કે $u = \log ({x^2} + {y^2})$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન મેળવો:
$\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} \cdot 2x = \frac{{2x}}{{{x^2} + {y^2}}}$.
હવે,ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં બીજું આંશિક વિકલન મેળવો:
$\frac{{\partial ^2}u}{\partial {x^2}} = \frac{{({x^2} + {y^2}) \cdot 2 - 2x \cdot 2x}}{{{{({x^2} + {y^2})}^2}}} = \frac{{2{x^2} + 2{y^2} - 4{x^2}}}{{{{({x^2} + {y^2})}^2}}} = \frac{{2({y^2} - {x^2})}}{{{{({x^2} + {y^2})}^2}}}$.
તે જ રીતે,$y$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન મેળવો:
$\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = \frac{1}{{{x^2} + {y^2}}} \cdot 2y = \frac{{2y}}{{{x^2} + {y^2}}}$.
હવે,$y$ ની સાપેક્ષમાં બીજું આંશિક વિકલન મેળવો:
$\frac{{\partial ^2}u}{\partial {y^2}} = \frac{{({x^2} + {y^2}) \cdot 2 - 2y \cdot 2y}}{{{{({x^2} + {y^2})}^2}}} = \frac{{2{x^2} + 2{y^2} - 4{y^2}}}{{{{({x^2} + {y^2})}^2}}} = \frac{{2({x^2} - {y^2})}}{{{{({x^2} + {y^2})}^2}}}$.
આ બંને પરિણામોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{{\partial ^2}u}{\partial {x^2}} + \frac{{\partial ^2}u}{\partial {y^2}} = \frac{{2({y^2} - {x^2})}}{{{{({x^2} + {y^2})}^2}}} + \frac{{2({x^2} - {y^2})}}{{{{({x^2} + {y^2})}^2}}} = \frac{{2{y^2} - 2{x^2} + 2{x^2} - 2{y^2}}}{{{{({x^2} + {y^2})}^2}}} = 0$.

(D) આપેલ છે કે $u = \sin^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$.
$\frac{\partial u}{\partial x}$ શોધવા માટે,આપણે $y$ ને અચળ ગણીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d}{dx}(\sin^{-1}(v)) = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2}} \cdot \frac{dv}{dx}$.
અહીં,$v = \frac{y}{x}$,તેથી $\frac{\partial v}{\partial x} = y \cdot \frac{d}{dx}(x^{-1}) = y \cdot (-x^{-2}) = -\frac{y}{x^2}$.
આ કિંમતોને વિકલનના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2}} \cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right)$
$= \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2 - y^2}{x^2}}} \cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right)$
$= \frac{x}{\sqrt{x^2 - y^2}} \cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right)$
$= -\frac{y}{x\sqrt{x^2 - y^2}}$.

(A) આપેલ છે કે $u = \tan^{-1}(\frac{y}{x})$.
આને આપણે $\tan u = \frac{y}{x}$ તરીકે લખી શકીએ.
ધારો કે $f(u) = \tan u = \frac{y}{x}$.
અહીં,$f(u)$ એ $x$ અને $y$ નું $n = 0$ ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે કારણ કે $\frac{ty}{tx} = (\frac{y}{x})^0 \cdot \frac{y}{x}$.
સમપરિમાણીય વિધેયો માટે આઈલરના પ્રમેય મુજબ,જો $f(u)$ એ $n$ ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય હોય,તો $x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = n f(u)$ થાય.
અહીં,$f(u) = \tan u$ અને $n = 0$ છે.
તેથી,$x \frac{\partial (\tan u)}{\partial x} + y \frac{\partial (\tan u)}{\partial y} = 0 \cdot \tan u = 0$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$x \sec^2 u \frac{\partial u}{\partial x} + y \sec^2 u \frac{\partial u}{\partial y} = 0$.
$\sec^2 u$ વડે ભાગતા,આપણને $x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $u = \tan^{-1}\left(\frac{x^3 + y^3}{x - y}\right)$.
આથી $\tan u = \frac{x^3 + y^3}{x - y}$ થાય.
ધારો કે $f(x, y) = \tan u = \frac{x^3 + y^3}{x - y}$.
અહીં,$f(x, y)$ એ $n = 3 - 1 = 2$ ઘાત ધરાવતું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
સમપરિમાણીય વિધેયો માટેના આઈલરના પ્રમેય મુજબ,$x\frac{\partial f}{\partial x} + y\frac{\partial f}{\partial y} = n f$ થાય.
$f = \tan u$ અને $n = 2$ મૂકતા,આપણને $x\frac{\partial}{\partial x}(\tan u) + y\frac{\partial}{\partial y}(\tan u) = 2 \tan u$ મળે.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$x \sec^2 u \frac{\partial u}{\partial x} + y \sec^2 u \frac{\partial u}{\partial y} = 2 \tan u$ થાય.
$\sec^2 u$ વડે ભાગતા,$x\frac{\partial u}{\partial x} + y\frac{\partial u}{\partial y} = 2 \frac{\tan u}{\sec^2 u}$ મળે.
કારણ કે $\frac{\tan u}{\sec^2 u} = \frac{\sin u / \cos u}{1 / \cos^2 u} = \sin u \cos u$,તેથી $2 \sin u \cos u = \sin 2u$ થાય.

(C) સમપરિમાણીય વિધેયો માટે આઈલરના પ્રમેય મુજબ, જો $F(u)$ એ $x, y, z$ માં $n$ ઘાત ધરાવતું સમપરિમાણીય વિધેય હોય, તો:
$x \frac{\partial}{\partial x}(F(u)) + y \frac{\partial}{\partial y}(F(u)) + z \frac{\partial}{\partial z}(F(u)) = n F(u)$
આંશિક વિકલન માટે સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે $\frac{\partial}{\partial x}(F(u)) = F'(u) \frac{\partial u}{\partial x}$, $\frac{\partial}{\partial y}(F(u)) = F'(u) \frac{\partial u}{\partial y}$, અને $\frac{\partial}{\partial z}(F(u)) = F'(u) \frac{\partial u}{\partial z}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$x F'(u) \frac{\partial u}{\partial x} + y F'(u) \frac{\partial u}{\partial y} + z F'(u) \frac{\partial u}{\partial z} = n F(u)$
$F'(u)$ ને સામાન્ય કાઢતા:
$F'(u) \left( x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} + z \frac{\partial u}{\partial z} \right) = n F(u)$
$F'(u)$ વડે ભાગતા:
$x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} + z \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{n F(u)}{F'(u)}$
આમ, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ છે કે $u = \log (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)$.
તેથી,$u = \log(x + y + z) + \log(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)$.
આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{3x^2 - 3yz}{x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz}$
$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{3y^2 - 3zx}{x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz}$
$\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{3z^2 - 3xy}{x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz}$
આ વિકલનોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{3(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)}{(x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)}$
$= \frac{3}{x + y + z}$
$(x + y + z)$ વડે ગુણતા:
$(x + y + z) \left( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial z} \right) = 3$.

(B) ધારો કે $u = \sin z = \frac{x+y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$.
આપણે ચકાસીએ કે $u$ એ $x$ અને $y$ નું સમપરિમાણીય વિધેય છે કે નહીં.
$u(tx, ty) = \frac{tx+ty}{\sqrt{tx} + \sqrt{ty}} = \frac{t(x+y)}{\sqrt{t}(\sqrt{x} + \sqrt{y})} = t^{1/2} u(x, y)$.
આમ,$u$ એ $n = 1/2$ ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
આઈલરના પ્રમેય મુજબ,$x\frac{\partial u}{\partial x} + y\frac{\partial u}{\partial y} = n u$.
$u = \sin z$ અને $n = 1/2$ મૂકતા:
$x\frac{\partial}{\partial x}(\sin z) + y\frac{\partial}{\partial y}(\sin z) = \frac{1}{2} \sin z$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$x(\cos z \frac{\partial z}{\partial x}) + y(\cos z \frac{\partial z}{\partial y}) = \frac{1}{2} \sin z$.
બંને બાજુ $\cos z$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$x\frac{\partial z}{\partial x} + y\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2} \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{1}{2} \tan z$.

(A) આપેલ છે કે $u = \log_e(x^2 + y^2) + \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન મેળવો:
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y^2} + \frac{1}{1 + (y/x)^2} \cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right) = \frac{2x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2} = \frac{2x - y}{x^2 + y^2}$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં દ્વિતીય આંશિક વિકલન મેળવો:
$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{(x^2 + y^2)(2) - (2x - y)(2x)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2x^2 + 2y^2 - 4x^2 + 2xy}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2y^2 - 2x^2 + 2xy}{(x^2 + y^2)^2}$.
ત્યારબાદ,$y$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન મેળવો:
$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{2y}{x^2 + y^2} + \frac{1}{1 + (y/x)^2} \cdot \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{2y}{x^2 + y^2} + \frac{x}{x^2 + y^2} = \frac{2y + x}{x^2 + y^2}$.
હવે,$y$ ની સાપેક્ષમાં દ્વિતીય આંશિક વિકલન મેળવો:
$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{(x^2 + y^2)(2) - (2y + x)(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2x^2 + 2y^2 - 4y^2 - 2xy}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2x^2 - 2y^2 - 2xy}{(x^2 + y^2)^2}$.
બંને દ્વિતીય આંશિક વિકલનોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{2y^2 - 2x^2 + 2xy + 2x^2 - 2y^2 - 2xy}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{0}{(x^2 + y^2)^2} = 0$.

(B) આપેલ સમીકરણ: ${x^x}{y^y}{z^z} = c$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\log({x^x}{y^y}{z^z}) = \log c$
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા: $x\log x + y\log y + z\log z = \log c$ .....$(i)$
અહીં,$x$ અને $y$ સ્વતંત્ર ચલ છે,અને $z$ એ $x$ અને $y$ નું વિધેય છે.
સમીકરણ $(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial}{\partial x}(x\log x) + \frac{\partial}{\partial x}(y\log y) + \frac{\partial}{\partial x}(z\log z) = \frac{\partial}{\partial x}(\log c)$
$(1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x}) + 0 + (1 \cdot \log z + z \cdot \frac{1}{z}) \frac{\partial z}{\partial x} = 0$
$(1 + \log x) + (1 + \log z) \frac{\partial z}{\partial x} = 0$
$\frac{\partial z}{\partial x}$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$(1 + \log z) \frac{\partial z}{\partial x} = -(1 + \log x)$
$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{1 + \log x}{1 + \log z}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $u(x, y) = x{y^2}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{y}{x}} \right)$ છે.
વિધેયની એકઘાતીયતા (homogeneity) ચકાસવા માટે,આપણે $x$ ને $tx$ અને $y$ ને $ty$ વડે બદલીએ છીએ:
$u(tx, ty) = (tx)(ty)^2 \tan^{-1}\left(\frac{ty}{tx}\right)$
$u(tx, ty) = t^3 x y^2 \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$
$u(tx, ty) = t^3 u(x, y)$.
અહીં વિધેય $n = 3$ ઘાતવાળું એકઘાતીય વિધેય છે,તેથી આઈલરના પ્રમેય (Euler's Theorem) મુજબ:
$x{u_x} + y{u_y} = n u$
$x{u_x} + y{u_y} = 3u$.

(D) ધારો કે $f(x, y) = z^2 = \frac{x^{1/2} + y^{1/2}}{x^{1/3} + y^{1/3}}$.
સમપરિમાણીયતા તપાસતા: $f(tx, ty) = \frac{(tx)^{1/2} + (ty)^{1/2}}{(tx)^{1/3} + (ty)^{1/3}} = \frac{t^{1/2}(x^{1/2} + y^{1/2})}{t^{1/3}(x^{1/3} + y^{1/3})} = t^{1/2 - 1/3} f(x, y) = t^{1/6} f(x, y)$.
અહીં $z^2$ એ $n = \frac{1}{6}$ ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે,તેથી આયલરના પ્રમેય મુજબ:
$x \frac{\partial (z^2)}{\partial x} + y \frac{\partial (z^2)}{\partial y} = n z^2 = \frac{1}{6} z^2$.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\partial (z^2)}{\partial x} = 2z \frac{\partial z}{\partial x}$ અને $\frac{\partial (z^2)}{\partial y} = 2z \frac{\partial z}{\partial y}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$x(2z \frac{\partial z}{\partial x}) + y(2z \frac{\partial z}{\partial y}) = \frac{1}{6} z^2$.
બંને બાજુ $2z$ વડે ભાગતા ($z \neq 0$ ધારતા):
$x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{12} z$.

(B) આપેલ છે કે $u = \tan^{-1}(x + y)$,જેનો અર્થ છે કે $\tan u = x + y$.
ધારો કે $f(x, y) = \tan u = x + y$.
અહીં $f(x, y)$ એ $x$ અને $y$ માં $n = 1$ ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે,તેથી આઈલરના પ્રમેય મુજબ:
$x\frac{\partial f}{\partial x} + y\frac{\partial f}{\partial y} = n \cdot f(x, y)$
$x\frac{\partial}{\partial x}(\tan u) + y\frac{\partial}{\partial y}(\tan u) = 1 \cdot \tan u$
$x(\sec^2 u)\frac{\partial u}{\partial x} + y(\sec^2 u)\frac{\partial u}{\partial y} = \tan u$
બંને બાજુ $\sec^2 u$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$x\frac{\partial u}{\partial x} + y\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\tan u}{\sec^2 u}$
$x\frac{\partial u}{\partial x} + y\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\sin u}{\cos u} \cdot \cos^2 u = \sin u \cos u$
નિત્યસમ $\sin 2u = 2 \sin u \cos u$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin u \cos u = \frac{1}{2} \sin 2u$ થાય.
તેથી,$x\frac{\partial u}{\partial x} + y\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{2} \sin 2u$.

(B) આપેલ છે કે $u = (x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન મેળવો:
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{3}{2}(x^2 + y^2 + z^2)^{1/2} \cdot (2x) = 3x(x^2 + y^2 + z^2)^{1/2}$.
આનો વર્ગ કરતા:
$\left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)^2 = 9x^2(x^2 + y^2 + z^2)$.
તે જ રીતે,સંમિતિ દ્વારા:
$\left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)^2 = 9y^2(x^2 + y^2 + z^2)$ અને $\left( \frac{\partial u}{\partial z} \right)^2 = 9z^2(x^2 + y^2 + z^2)$.
આ ત્રણેય પદોનો સરવાળો કરતા:
$\left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)^2 + \left( \frac{\partial u}{\partial z} \right)^2 = 9(x^2 + y^2 + z^2)(x^2 + y^2 + z^2) = 9(x^2 + y^2 + z^2)^2$.
કારણ કે $u = (x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}$,તેથી $u^{2/3} = (x^2 + y^2 + z^2)$.
તેથી,$(x^2 + y^2 + z^2)^2 = (u^{2/3})^2 = u^{4/3}$.
આમ,સરવાળો $9u^{4/3}$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $u = x^2 \tan^{-1}(\frac{y}{x}) - y^2 \tan^{-1}(\frac{x}{y})$.
નિત્યસમ $\tan^{-1}(\frac{x}{y}) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(\frac{y}{x})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$u = x^2 \tan^{-1}(\frac{y}{x}) - y^2 (\frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(\frac{y}{x}))$
$u = (x^2 + y^2) \tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \frac{\pi}{2} y^2$
હવે,$u$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial u}{\partial y} = (x^2 + y^2) \cdot \frac{1}{1 + (y/x)^2} \cdot \frac{1}{x} + 2y \tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \pi y$
$\frac{\partial u}{\partial y} = x + 2y \tan^{-1}(\frac{y}{x}) - \pi y$
હવે,$\frac{\partial u}{\partial y}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = 1 + 2y \cdot \frac{1}{1 + (y/x)^2} \cdot (-\frac{y}{x^2})$
$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = 1 - \frac{2y^2}{x^2 + y^2} = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$.

(A) આપેલ છે કે $u^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2u \frac{\partial u}{\partial x} = 2(x - a) \implies u \frac{\partial u}{\partial x} = x - a$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$u \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 = 1$.
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{x - a}{u}$ મૂકતા:
$u \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 1 - \left(\frac{x - a}{u}\right)^2 = 1 - \frac{(x - a)^2}{u^2} = \frac{u^2 - (x - a)^2}{u^2}$.
તેથી,$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{1}{u} - \frac{(x - a)^2}{u^3}$.
તે જ રીતે,$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{1}{u} - \frac{(y - b)^2}{u^3}$ અને $\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \frac{1}{u} - \frac{(z - c)^2}{u^3}$.
આ બધાનો સરવાળો કરતા:
$\sum \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{3}{u} - \frac{1}{u^3} [(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2]$.
કારણ કે $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = u^2$:
$\sum \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{3}{u} - \frac{u^2}{u^3} = \frac{3}{u} - \frac{1}{u} = \frac{2}{u}$.

(B) આપેલ વિધેય $z = f\left( \frac{x}{y} \right)$ સ્વરૂપમાં છે.
આનો અર્થ એ છે કે $z$ એ $x$ અને $y$ નું $n = 0$ ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
સમપરિમાણીય વિધેયો માટે આઈલરના પ્રમેય મુજબ,જો $z$ એ $n$ ઘાતનું સમપરિમાણીય વિધેય હોય,તો $x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = nz$ થાય.
અહીં $n = 0$ હોવાથી,$x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = 0 \cdot z = 0$ મળે.
તેથી,$x \frac{\partial z}{\partial x} = -y \frac{\partial z}{\partial y}$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $u = e^{-x^2 - y^2}$.
પ્રથમ,$u$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન મેળવો:
$u_x = \frac{\partial u}{\partial x} = e^{-x^2 - y^2} \cdot (-2x) = -2x u$.
ત્યારબાદ,$u$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન મેળવો:
$u_y = \frac{\partial u}{\partial y} = e^{-x^2 - y^2} \cdot (-2y) = -2y u$.
હવે,પદ $y u_x$ ને ધ્યાનમાં લો:
$y u_x = y(-2x u) = -2xy u$.
પદ $x u_y$ ને ધ્યાનમાં લો:
$x u_y = x(-2y u) = -2xy u$.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $y u_x = x u_y$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $u(x,y) = y \log x + x \log y$.
પ્રથમ,આંશિક વિકલન મેળવો:
${u_x} = \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{y}{x} + \log y$
${u_y} = \frac{\partial u}{\partial y} = \log x + \frac{x}{y}$
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિ ${u_x}{u_y} - {u_x} \log x - {u_y} \log y + \log x \log y$ માં મૂકો:
$= (\frac{y}{x} + \log y)(\log x + \frac{x}{y}) - (\frac{y}{x} + \log y)\log x - (\log x + \frac{x}{y})\log y + \log x \log y$
પદોનું વિસ્તરણ કરો:
$= (\frac{y}{x} \log x + 1 + \log y \log x + \frac{x}{y} \log y) - (\frac{y}{x} \log x + \log y \log x) - (\log x \log y + \frac{x}{y} \log y) + \log x \log y$
સમાન પદોને દૂર કરતા:
$= \frac{y}{x} \log x + 1 + \log y \log x + \frac{x}{y} \log y - \frac{y}{x} \log x - \log y \log x - \log x \log y - \frac{x}{y} \log y + \log x \log y$
$= 1$.

(C) આપેલ છે કે $u = \sin^{-1} \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{x + y}}$.
ધારો કે $f(u) = \sin u = \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{x + y}}$.
ધારો કે $z = f(u) = \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{x + y}}$.
આપણે $z$ ની ઘાત ચકાસીએ. $x$ ને $tx$ અને $y$ ને $ty$ વડે બદલતા:
$z(tx, ty) = \sqrt{\frac{(tx)^2 + (ty)^2}{tx + ty}} = \sqrt{\frac{t^2(x^2 + y^2)}{t(x + y)}} = t^{1/2} \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{x + y}} = t^{1/2} z$.
આમ,$z$ એ $n = 1/2$ ઘાત ધરાવતું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
આઈલરના પ્રમેય મુજબ,$x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = n z$.
અહીં $z = \sin u$ હોવાથી,$x \frac{\partial}{\partial x}(\sin u) + y \frac{\partial}{\partial y}(\sin u) = \frac{1}{2} \sin u$.
$x \cos u \frac{\partial u}{\partial x} + y \cos u \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{2} \sin u$.
$\cos u$ વડે ભાગતા,આપણને $x u_x + y u_y = \frac{1}{2} \frac{\sin u}{\cos u} = \frac{1}{2} \tan u$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $z = y + f(v)$ અને $v = \frac{x}{y}$.
$v$ ની કિંમત મૂકતા,$z = y + f\left(\frac{x}{y}\right)$ મળે.
હવે,$z$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial z}{\partial x} = f'\left(\frac{x}{y}\right) \cdot \frac{1}{y}$.
ત્યારબાદ,$z$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial z}{\partial y} = 1 + f'\left(\frac{x}{y}\right) \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) = 1 - \frac{x}{y^2} f'\left(\frac{x}{y}\right)$.
હવે,પદ $v \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y}$ ની ગણતરી કરતા:
$v \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = \left(\frac{x}{y}\right) \left[f'\left(\frac{x}{y}\right) \cdot \frac{1}{y}\right] + 1 - \frac{x}{y^2} f'\left(\frac{x}{y}\right)$.
$= \frac{x}{y^2} f'\left(\frac{x}{y}\right) + 1 - \frac{x}{y^2} f'\left(\frac{x}{y}\right)$.
$= 1$.

(C) આપેલ વિધેય $f(x, y) = 2(x-y)^2 - x^4 - y^4$ છે.
પ્રથમ,$x$ અને $y$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન મેળવો:
$f_x = 4(x-y) - 4x^3$
$f_y = -4(x-y) - 4y^3$
હવે,દ્વિતીય ક્રમનું આંશિક વિકલન મેળવો:
$f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(4x - 4y - 4x^3) = 4 - 12x^2$
$f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(-4x + 4y - 4y^3) = 4 - 12y^2$
$f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(4x - 4y - 4x^3) = -4$
બિંદુ $(0,0)$ પર આની કિંમત મેળવતા:
$(f_{xx})_{(0,0)} = 4 - 12(0)^2 = 4$
$(f_{yy})_{(0,0)} = 4 - 12(0)^2 = 4$
$(f_{xy})_{(0,0)} = -4$
અંતે,$(0,0)$ પર $(f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2)$ ની કિંમતની ગણતરી કરો:
$(f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2)_{(0,0)} = (4)(4) - (-4)^2 = 16 - 16 = 0$.

(D) આપેલ છે,$u=\log \left(x^3+y^3+z^3-3 x y z\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x^3+y^3+z^3-3 x y z = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-x y-y z-z x)$.
તેથી,$u = \log(x+y+z) + \log(x^2+y^2+z^2-x y-y z-z x)$.
હવે,આંશિક વિકલન કરતા:
$u_x = \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{3x^2-3yz}{x^3+y^3+z^3-3xyz}$
$u_y = \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{3y^2-3xz}{x^3+y^3+z^3-3xyz}$
$u_z = \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{3z^2-3xy}{x^3+y^3+z^3-3xyz}$
આ ત્રણેયનો સરવાળો કરતા:
$u_x+u_y+u_z = \frac{3(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)}{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)}$
$u_x+u_y+u_z = \frac{3}{x+y+z}$
તેથી,$(x+y+z)(u_x+u_y+u_z) = 3$.

(C) આપેલ છે કે,$u=e^{x^2-y^2}$.
પ્રથમ,$u$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન મેળવો:
$u_x = \frac{\partial}{\partial x}(e^{x^2-y^2}) = e^{x^2-y^2}(2x)$.
ત્યારબાદ,$u$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન મેળવો:
$u_y = \frac{\partial}{\partial y}(e^{x^2-y^2}) = e^{x^2-y^2}(-2y)$.
હવે,$u_x$ ને $y$ વડે ગુણો:
$y u_x = y \cdot e^{x^2-y^2}(2x) = 2xy e^{x^2-y^2}$.
$u_y$ ને $x$ વડે ગુણો:
$x u_y = x \cdot e^{x^2-y^2}(-2y) = -2xy e^{x^2-y^2}$.
આ બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$y u_x + x u_y = 2xy e^{x^2-y^2} - 2xy e^{x^2-y^2} = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ છે,$z=\tan (y+a x)+\sqrt{y-a x}$
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન મેળવો:
$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = a \sec^2(y+ax) - \frac{a}{2\sqrt{y-ax}}$
$z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2a^2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) - \frac{a^2}{4(y-ax)^{3/2}}$
ત્યારબાદ,$y$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન મેળવો:
$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = \sec^2(y+ax) + \frac{1}{2\sqrt{y-ax}}$
$z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) - \frac{1}{4(y-ax)^{3/2}}$
હવે,$z_{xx} - a^2 z_{yy}$ ની ગણતરી કરો:
$z_{xx} - a^2 z_{yy} = [2a^2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) - \frac{a^2}{4(y-ax)^{3/2}}] - a^2 [2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) - \frac{1}{4(y-ax)^{3/2}}]$
$z_{xx} - a^2 z_{yy} = 2a^2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) - \frac{a^2}{4(y-ax)^{3/2}} - 2a^2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) + \frac{a^2}{4(y-ax)^{3/2}} = 0$

(C) આપેલ છે કે,$u(x, y)=y \log x+x \log y$.
સૌ પ્રથમ,આપણે આંશિક વિકલન $u_x$ અને $u_y$ શોધીએ:
$u_x = \frac{\partial}{\partial x}(y \log x + x \log y) = \frac{y}{x} + \log y$.
$u_y = \frac{\partial}{\partial y}(y \log x + x \log y) = \log x + \frac{x}{y}$.
હવે,પદાવલિ $E = u_x u_y - u_x \log x - u_y \log y + \log x \log y$ ને ધ્યાનમાં લો.
આ પદાવલિને આ રીતે અવયવ પાડી શકાય:
$E = u_x(u_y - \log x) - \log y(u_y - \log x)$.
$E = (u_x - \log y)(u_y - \log x)$.
$u_x$ અને $u_y$ ની કિંમતો મૂકતા:
$u_x - \log y = (\frac{y}{x} + \log y) - \log y = \frac{y}{x}$.
$u_y - \log x = (\log x + \frac{x}{y}) - \log x = \frac{x}{y}$.
તેથી,$E = (\frac{y}{x}) \times (\frac{x}{y}) = 1$.

(D) આપેલ છે કે $u=\sin ^{-1}\left(\frac{x^4+y^4}{x+y}\right)$.
ધારો કે $v=\sin u=\frac{x^4+y^4}{x+y}$.
અહીં,$v$ એ $x$ અને $y$ નું $n = 4 - 1 = 3$ ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે.
સમપરિમાણીય વિધેયો માટે આઈલરના પ્રમેય મુજબ,$x \frac{\partial v}{\partial x} + y \frac{\partial v}{\partial y} = n v$.
$v = \sin u$ અને $n = 3$ મૂકતા,આપણને મળે છે $x \frac{\partial}{\partial x}(\sin u) + y \frac{\partial}{\partial y}(\sin u) = 3 \sin u$.
ચેઈન રૂલ લાગુ પાડતા,$x \cos u \frac{\partial u}{\partial x} + y \cos u \frac{\partial u}{\partial y} = 3 \sin u$.
બંને બાજુ $\cos u$ વડે ભાગતા,$x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = 3 \frac{\sin u}{\cos u}$.
તેથી,$x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = 3 \tan u$.

(C) વિધેય $u(x, y) = x y^2 \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$ એ $n = 3$ ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે,કારણ કે $u(tx, ty) = (tx)(ty)^2 \tan^{-1}\left(\frac{ty}{tx}\right) = t^3 x y^2 \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = t^3 u(x, y)$.
સમપરિમાણીય વિધેયો માટેના આઈલરના પ્રમેય મુજબ,જો $u$ એ $x$ અને $y$ માં $n$ ઘાતનું સમપરિમાણીય વિધેય હોય,તો $x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = n u$ થાય.
અહીં,$n = 3$ હોવાથી,$x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = 3 u$ મળે.

(B) આપેલ છે કે $z = \log(\tan x + \tan y)$.
પ્રથમ,આપણે $x$ અને $y$ ની સાપેક્ષમાં $z$ ના આંશિક વિકલન મેળવીએ:
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\sec^2 x}{\tan x + \tan y}$
$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\sec^2 y}{\tan x + \tan y}$
હવે,આ કિંમતોને $(\sin 2x) \frac{\partial z}{\partial x} + (\sin 2y) \frac{\partial z}{\partial y}$ પદમાં મૂકતા:
$= \sin 2x \left( \frac{\sec^2 x}{\tan x + \tan y} \right) + \sin 2y \left( \frac{\sec^2 y}{\tan x + \tan y} \right)$
$= \frac{(2 \sin x \cos x) \cdot \frac{1}{\cos^2 x} + (2 \sin y \cos y) \cdot \frac{1}{\cos^2 y}}{\tan x + \tan y}$
$= \frac{2 \tan x + 2 \tan y}{\tan x + \tan y}$
$= \frac{2(\tan x + \tan y)}{\tan x + \tan y} = 2$.

(A) આપેલ છે કે $u = \sin(y + ax) - (y + ax)^2$ ... $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન કરતા:
$u_x = \cos(y + ax) \cdot a - 2(y + ax) \cdot a$
$u_x = a[\cos(y + ax) - 2(y + ax)]$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$u_{xx} = a[-\sin(y + ax) \cdot a - 2 \cdot a]$
$u_{xx} = -a^2[\sin(y + ax) + 2]$ ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન કરતા:
$u_y = \cos(y + ax) - 2(y + ax)$
ફરીથી $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$u_{yy} = -\sin(y + ax) - 2$
$u_{yy} = -[\sin(y + ax) + 2]$ ... (iii)
સમીકરણ (ii) અને (iii) પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે:
$u_{xx} = a^2 \cdot [-\sin(y + ax) - 2]$
$u_{xx} = a^2 \cdot u_{yy}$

(B) આપેલ છે કે $f(x, y) = \frac{\cos(x - 4y)}{\cos(x + 4y)}$.
વિધેયમાં $y = \frac{x}{2}$ મૂકતા:
$f(x, \frac{x}{2}) = \frac{\cos(x - 4(\frac{x}{2}))}{\cos(x + 4(\frac{x}{2}))} = \frac{\cos(x - 2x)}{\cos(x + 2x)} = \frac{\cos(-x)}{\cos(3x)} = \frac{\cos(x)}{\cos(3x)}$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\cos x}{\cos 3x} \right)$.
ભાગાકારના નિયમ $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{(-\sin x)(\cos 3x) - (\cos x)(-3 \sin 3x)}{\cos^2 3x} = \frac{3 \cos x \sin 3x - \sin x \cos 3x}{\cos^2 3x}$.

(B) આપેલ છે કે $u=\sin ^{-1}\left(\frac{x^2+y^2}{x+y}\right)$.
આથી $\sin u = \frac{x^2+y^2}{x+y}$ થાય.
ધારો કે $f(x, y) = \sin u = \frac{x^2+y^2}{x+y}$.
અહીં,$f(x, y)$ એ $n=1$ ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે કારણ કે $f(tx, ty) = \frac{(tx)^2+(ty)^2}{tx+ty} = t \cdot \frac{x^2+y^2}{x+y} = t^1 f(x, y)$.
આઈલરના પ્રમેય મુજબ,$x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = n f$.
$f = \sin u$ અને $n = 1$ મૂકતા,આપણને $x \frac{\partial}{\partial x}(\sin u) + y \frac{\partial}{\partial y}(\sin u) = 1 \cdot \sin u$ મળે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$x \cos u \frac{\partial u}{\partial x} + y \cos u \frac{\partial u}{\partial y} = \sin u$.
બંને બાજુ $\cos u$ વડે ભાગતા,$x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\sin u}{\cos u} = \tan u$ મળે.

(B) આપેલ છે કે $z = \frac{y}{x} \left[ \sin \frac{x}{y} + \cos \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \right]$.
પ્રથમ,$\frac{\partial z}{\partial x}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y}{x} \left[ \cos \left( \frac{x}{y} \right) \cdot \frac{1}{y} - \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \cdot \left( -\frac{y}{x^2} \right) \right] - \frac{y}{x^2} \left[ \sin \frac{x}{y} + \cos \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \right]$
$x \frac{\partial z}{\partial x} = \cos \left( \frac{x}{y} \right) + \frac{y^2}{x^2} \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right) - \frac{y}{x} \left[ \sin \frac{x}{y} + \cos \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \right]$
$x \frac{\partial z}{\partial x} = \cos \left( \frac{x}{y} \right) + \frac{y^2}{x^2} \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right) - z \quad \dots (i)$
ત્યારબાદ,$\frac{\partial z}{\partial y}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x} \left[ \sin \frac{x}{y} + \cos \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \right] + \frac{y}{x} \left[ \cos \left( \frac{x}{y} \right) \cdot \left( -\frac{x}{y^2} \right) - \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \cdot \frac{1}{x} \right]$
$y \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{x} \left[ \sin \frac{x}{y} + \cos \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \right] - \cos \left( \frac{x}{y} \right) - \frac{y}{x} \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right)$
$y \frac{\partial z}{\partial y} = z - \cos \left( \frac{x}{y} \right) - \frac{y}{x} \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $x \frac{\partial z}{\partial x} = -y \frac{\partial z}{\partial y}$.

(B) ધારો કે $f(x, y) = \sec z = \frac{x^4+y^4-8x^2y^2}{x^2+y^2}$.
અહીં $f(x, y)$ એ $n = 4 - 2 = 2$ ઘાતવાળું સમપરિમાણીય વિધેય છે,તેથી આયલરના પ્રમેય મુજબ,$x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = n f(x, y) = 2 \sec z$.
હવે,$f = \sec z$ નું $x$ અને $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{\partial f}{\partial x} = \sec z \tan z \frac{\partial z}{\partial x}$ અને $\frac{\partial f}{\partial y} = \sec z \tan z \frac{\partial z}{\partial y}$ મળે.
આ કિંમતો આયલરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x (\sec z \tan z \frac{\partial z}{\partial x}) + y (\sec z \tan z \frac{\partial z}{\partial y}) = 2 \sec z$.
બંને બાજુ $\sec z \tan z$ વડે ભાગતા:
$x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2 \sec z}{\sec z \tan z} = 2 \cot z$.