सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक बहुपद फलन सतत होता है।

एक फलन $p$ को बहुपद फलन कहा जाता है यदि यह $p(x) = a_{0} + a_{1}x + \ldots + a_{n}x^{n}$ के रूप में हो,जहाँ $n$ एक प्राकृतिक संख्या है,$a_{n} \neq 0$ और $a_{i} \in \mathbb{R}$ है।
यह फलन सभी वास्तविक संख्याओं $x \in \mathbb{R}$ के लिए परिभाषित है।
किसी भी स्वेच्छ वास्तविक संख्या $c$ के लिए,जब $x, c$ की ओर अग्रसर होता है,तो फलन की सीमा इस प्रकार दी जाती है:
$\lim_{x \to c} p(x) = \lim_{x \to c} (a_{0} + a_{1}x + \ldots + a_{n}x^{n})$
सीमा के गुणों का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lim_{x \to c} p(x) = a_{0} + a_{1}c + \ldots + a_{n}c^{n} = p(c)$
चूँकि किसी भी वास्तविक संख्या $c$ के लिए $\lim_{x \to c} p(x) = p(c)$ है,इसलिए फलन $p(x)$ अपने प्रांत के प्रत्येक बिंदु पर सतत है।
अतः,प्रत्येक बहुपद फलन सतत होता है।