मान लीजिए f(x) = (x^2 - 1)^n (x^2 + x + 1),तो | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = (x^2 - 1)^n (x^2 + x + 1)$.$f(x)$ का $x = 1$ पर स्थानीय चरम मान होने के लिए,$f'(1) = 0$ होना चाहिए और $x = 1$ के आसपास $f'(x)$

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$(A)$ और $(C)$ दोनों

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $f(x) = (x^2 - 1)^n (x^2 + x + 1)$.$f(x)$ का $x = 1$ पर स्थानीय चरम मान होने के लिए,$f'(1) = 0$ होना चाहिए और $x = 1$ के आसपास $f'(x)$ का चिह्न बदलना चाहिए।सबसे पहले,गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:$f'(x) = n(x^2 - 1)^{n-1}(2x)(x^2 + x + 1) + (x^2 - 1)^n(2x + 1)$.$(x^2 - 1)^{n-1}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:$f'(x) = (x^2 - 1)^{n-1} [2nx(x^2 + x + 1) + (x^2 - 1)(2x + 1)]$.$x = 1$ के निकट,मान लीजिए $x = 1 + h$ जहाँ $h$ बहुत छोटा है।अतः $(x^2 - 1) = ((1+h)^2 - 1) = 2h + h^2 \approx 2h$.इस प्रकार,$f'(1+h) \approx (2h)^{n-1} [2n(1)(3) + (0)(3)] = (2h)^{n-1} (6n)$.स्थानीय चरम मान के लिए,$f'(x)$ का चिह्न $x = 1$ पर बदलना चाहिए। यह तब होता है यदि $f'(x)$ में $(x-1)$ की घात विषम संख्या हो।चूंकि $(x^2 - 1)^{n-1} = (x-1)^{n-1}(x+1)^{n-1}$,इसलिए $(x-1)$ की घात $n-1$ है।चिह्न बदलने के लिए,$n-1$ एक विषम संख्या होनी चाहिए।अतः,$n-1 = 1, 3, 5, \dots$,जिसका अर्थ है कि $n = 2, 4, 6, \dots$.इसलिए,$n$ एक सम संख्या होनी चाहिए।$n=2$ और $n=4$ दोनों सम संख्याएँ हैं।अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

स्तंभ-$I$	स्तंभ-$II$
$(A)$ यदि $(a, b)$ नतिपरिवर्तन बिंदु है,तो $a - b$ बराबर है	$(P)$ $3$
$(B)$ यदि $e^t$ स्थानीय न्यूनतम बिंदु है,तो $12t$ बराबर है	$(Q)$ $1$
$(C)$ यदि ग्राफ $(d, e)$ पर अवतल नीचे (concave down) है,तो $d + 3e$ बराबर है	$(R)$ $4$
$(D)$ यदि ग्राफ $(p, \infty)$ पर अवतल ऊपर (concave up) है,तो $p$ बराबर है	$(S)$ $8$

मान लीजिए $f(x) = (x^2 - 1)^n (x^2 + x + 1)$,तो $f(x)$ का $x = 1$ पर स्थानीय चरम मान (local extremum) कब होगा?

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