(1/x)^x का अधिकतम मान - है। | vedclass

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Question

(B) माना $f(x) = (1/x)^x$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\ln f(x) = x \ln(1/x) = -x \ln x$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:

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$e^{1/e}$

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(B) माना $f(x) = (1/x)^x$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\ln f(x) = x \ln(1/x) = -x \ln x$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{f'(x)}{f(x)} = -(\ln x + x \cdot \frac{1}{x}) = -(1 + \ln x)$ प्राप्त होता है।क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$f'(x) = 0$ रखने पर:$-(1 + \ln x) = 0 \Rightarrow \ln x = -1 \Rightarrow x = e^{-1} = 1/e$ प्राप्त होता है।अधिकतम मान की जाँच करने के लिए,$x = 1/e$ के आसपास $f'(x)$ के चिह्न का अवलोकन करते हैं:$x  0$ है।$x > 1/e$ के लिए,$\ln x > -1$,इसलिए $1 + \ln x > 0$,जिसका अर्थ है कि $f'(x) चूंकि $x = 1/e$ पर $f'(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है,इसलिए फलन $x = 1/e$ पर अधिकतम मान प्राप्त करता है।अधिकतम मान $f(1/e) = (1/(1/e))^{1/e} = e^{1/e}$ है।

$(1/x)^x$ का अधिकतम मान - है।

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