यदि एक फलन f(x) अंतराल x in [a, b] में वर्धमा | vedclass

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Question

(D) अंतराल $[a, b]$ पर एक वर्धमान फलन $f(x)$ का सतत या अवकलनीय होना आवश्यक नहीं है।$1$. चूंकि $f(x)$ वर्धमान है,$[a, b]$ में किसी भी $x_1 < x_2$ के लि

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समीकरण $f(x) = c, c \in (f(a), f(b))$ के अधिकतम एक हल हैं।

Vedclass · Answer

(D) अंतराल $[a, b]$ पर एक वर्धमान फलन $f(x)$ का सतत या अवकलनीय होना आवश्यक नहीं है।$1$. चूंकि $f(x)$ वर्धमान है,$[a, b]$ में किसी भी $x_1 $2$. $f(x)$ का परिसर $[f(a), f(b)]$ का उपसमुच्चय है,लेकिन यदि फलन असतत है तो यह $[f(a), f(b)]$ के बराबर होना आवश्यक नहीं है।$3$. $f'(x)$ सभी बिंदुओं पर मौजूद नहीं हो सकता है,इसलिए $f'(x) \geq 0$ हमेशा सही नहीं है।$4$. किसी भी $c \in (f(a), f(b))$ के लिए,यदि $f(x) = c$ के दो अलग-अलग हल $x_1 < x_2$ होते,तो $f(x_1) = f(x_2) = c$ होता। यदि फलन सख्ती से वर्धमान है,तो यह असंभव है। इसलिए,विकल्प $D$ सबसे उपयुक्त है।

यदि एक फलन $f(x)$ अंतराल $x \in [a, b]$ में वर्धमान (increasing) है,तो निम्नलिखित में से कौन सा हमेशा सही होगा?

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फलन $f(x) = \frac{\lambda \sin x + 6 \cos x}{2 \sin x + 3 \cos x}$ वर्धमान फलन है,यदि:

$\lambda$ के किस मान के लिए फलन $f(x) = \lambda x + \cos x$ निरंतर वर्धमान है?

मान लीजिए $f: [0, 2] \to R$ एक दो बार अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि सभी $x \in (0, 2)$ के लिए $f''(x) > 0$ है। यदि $\phi(x) = f(x) + f(2 - x)$ है,तो $\phi$ है

यदि $f(x) = \int_x^{x+1} e^{-t^2} dt$ है,तो वह अंतराल जिसमें $f(x)$ ह्रासमान (decreasing) है,वह है

$f(x) = \tan^{-1} x - x$ . . . . . . है,$x \in R$.

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