फलन f(x) = frac{lambda sin x + 3 cos x}{2 sin | vedclass

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Question

(B) दिया गया फलन $f(x) = \frac{\lambda \sin x + 3 \cos x}{2 \sin x + 6 \cos x}$ है।एकदिष्टता की जाँच करने के लिए,हम भागफल नियम $\left( \frac{u}{v} \ri

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$\lambda > 1$

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(B) दिया गया फलन $f(x) = \frac{\lambda \sin x + 3 \cos x}{2 \sin x + 6 \cos x}$ है।एकदिष्टता की जाँच करने के लिए,हम भागफल नियम $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।यहाँ,$u = \lambda \sin x + 3 \cos x$ और $v = 2 \sin x + 6 \cos x$ है।$u' = \lambda \cos x - 3 \sin x$ और $v' = 2 \cos x - 6 \sin x$ है।$f'(x) = \frac{(\lambda \cos x - 3 \sin x)(2 \sin x + 6 \cos x) - (\lambda \sin x + 3 \cos x)(2 \cos x - 6 \sin x)}{(2 \sin x + 6 \cos x)^2}$.अंश का विस्तार करने पर:$(\lambda \cos x - 3 \sin x)(2 \sin x + 6 \cos x) = 2\lambda \sin x \cos x + 6\lambda \cos^2 x - 6 \sin^2 x - 18 \sin x \cos x$.$(\lambda \sin x + 3 \cos x)(2 \cos x - 6 \sin x) = 2\lambda \sin x \cos x - 6\lambda \sin^2 x + 6 \cos^2 x - 18 \sin x \cos x$.इनका अंतर लेने पर:अंश $= (6\lambda \cos^2 x - 6 \sin^2 x) - (-6\lambda \sin^2 x + 6 \cos^2 x) = 6\lambda(\cos^2 x + \sin^2 x) - 6(\sin^2 x + \cos^2 x) = 6\lambda - 6 = 6(\lambda - 1)$.अतः,$f'(x) = \frac{6(\lambda - 1)}{(2 \sin x + 6 \cos x)^2}$.फलन के एकदिष्ट वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।चूँकि हर एक वर्ग है,यह हमेशा धनात्मक है। इसलिए,$6(\lambda - 1) > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\lambda - 1 > 0$,यानी $\lambda > 1$।

फलन $f(x) = \frac{\lambda \sin x + 3 \cos x}{2 \sin x + 6 \cos x}$ एकदिष्ट वर्धमान है,तो :

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