Fundamental integration Questions in Hindi

(B) $\int \sin 2x \cos 3x \, dx$ के समाकलन के लिए,हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ का उपयोग करेंगे।
यहाँ,$A = 2x$ और $B = 3x$ है,इसलिए $2 \sin 2x \cos 3x = \sin(2x+3x) + \sin(2x-3x) = \sin 5x + \sin(-x) = \sin 5x - \sin x$.
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$\int \sin 2x \cos 3x \, dx = \frac{1}{2} \int 2 \sin 2x \cos 3x \, dx$
$= \frac{1}{2} \int (\sin 5x - \sin x) \, dx$
$= \frac{1}{2} \left( \int \sin 5x \, dx - \int \sin x \, dx \right)$
$= \frac{1}{2} \left( -\frac{\cos 5x}{5} - (-\cos x) \right) + c$
$= \frac{1}{2} \left( \cos x - \frac{1}{5} \cos 5x \right) + c$.

(D) माना $I = \int \frac{dx}{2x^2 + x + 1}$.
हर से $2$ कॉमन लेने पर: $I = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x^2 + \frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$.
द्विघात व्यंजक के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $x^2 + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} = (x + \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16} + \frac{1}{2} = (x + \frac{1}{4})^2 + \frac{7}{16} = (x + \frac{1}{4})^2 + (\frac{\sqrt{7}}{4})^2$.
अब,$I = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{(x + \frac{1}{4})^2 + (\frac{\sqrt{7}}{4})^2}$.
सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{4}} \tan^{-1} \left( \frac{x + \frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} \right) + C$.
$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{7}} \tan^{-1} \left( \frac{4x + 1}{\sqrt{7}} \right) + C = \frac{2}{\sqrt{7}} \tan^{-1} \left( \frac{4x + 1}{\sqrt{7}} \right) + C$.
चूंकि यह परिणाम विकल्पों $A$,$B$ या $C$ में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) समाकलन $I = \int \frac{dx}{x^2 + 4x + 13}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम हर (denominator) में पूर्ण वर्ग बनाएंगे।
$x^2 + 4x + 13 = (x^2 + 4x + 4) + 9 = (x + 2)^2 + 3^2$.
अब,समाकलन इस प्रकार होगा: $I = \int \frac{dx}{(x + 2)^2 + 3^2}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1} \left( \frac{x}{a} \right) + c$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 3$ और चर $(x + 2)$ है:
$I = \frac{1}{3} \tan^{-1} \left( \frac{x + 2}{3} \right) + c$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) माना $I = \int \frac{dx}{\cos x - \sin x}$.
$\sqrt{2}$ से गुणा और भाग करने पर:
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x}$
$\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\cos x \cos \frac{\pi}{4} - \sin x \sin \frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\cos(x + \frac{\pi}{4})}$
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \sec(x + \frac{\pi}{4}) dx$
सूत्र $\int \sec \theta d\theta = \log |\tan(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4})| + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \log \left| \tan \left( \frac{x + \frac{\pi}{4}}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \right| + c$
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \log \left| \tan \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} + \frac{2\pi}{8} \right) \right| + c$
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \log \left| \tan \left( \frac{x}{2} + \frac{3\pi}{8} \right) \right| + c$.

(D) समाकल $\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 2}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम हर (denominator) में पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
$x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x + 1)^2 + 1^2$.
अब,समाकल इस प्रकार हो जाता है:
$\int \frac{dx}{(x + 1)^2 + 1^2}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{u}{a}) + c$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = x + 1$ और $a = 1$:
$\int \frac{dx}{(x + 1)^2 + 1^2} = \frac{1}{1} \tan^{-1}(\frac{x + 1}{1}) + c = \tan^{-1}(x + 1) + c$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) माना $I = \int \frac{x \, dx}{x^2 + 4x + 5}$.
अंश को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $x = \frac{1}{2}(2x + 4) - 2$.
अतः,$I = \int \frac{\frac{1}{2}(2x + 4) - 2}{x^2 + 4x + 5} \, dx$.
$I = \frac{1}{2} \int \frac{2x + 4}{x^2 + 4x + 5} \, dx - 2 \int \frac{dx}{(x+2)^2 + 1}$.
प्रथम समाकलन के लिए,$t = x^2 + 4x + 5$ लेने पर,$dt = (2x + 4) \, dx$ प्राप्त होता है।
$I = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t} - 2 \int \frac{dx}{(x+2)^2 + 1^2}$.
मानक समाकलन सूत्रों का उपयोग करने पर: $\int \frac{1}{t} \, dt = \log|t|$ और $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$.
$I = \frac{1}{2} \log|x^2 + 4x + 5| - 2 \tan^{-1}(x + 2) + c$.

(B) समाकलन $I = \int \frac{dx}{\cos(x - a)\cos(x - b)}$ का मान ज्ञात करने के लिए,$\sin(a - b)$ से गुणा और भाग करने पर:
$I = \frac{1}{\sin(a - b)} \int \frac{\sin((x - b) - (x - a))}{\cos(x - a)\cos(x - b)} dx$
सर्वसमिका $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{\sin(a - b)} \int \frac{\sin(x - b)\cos(x - a) - \cos(x - b)\sin(x - a)}{\cos(x - a)\cos(x - b)} dx$
$I = \frac{1}{\sin(a - b)} \int \left( \frac{\sin(x - b)}{\cos(x - b)} - \frac{\sin(x - a)}{\cos(x - a)} \right) dx$
$I = \frac{1}{\sin(a - b)} \int (\tan(x - b) - \tan(x - a)) dx$
$\tan(u)$ का समाकलन करने पर,हमें $-\ln|\cos(u)|$ प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{\sin(a - b)} [-\ln|\cos(x - b)| + \ln|\cos(x - a)|] + C$
$I = \csc(a - b) \ln \left| \frac{\cos(x - a)}{\cos(x - b)} \right| + C$.

(B) समाकलन $I = \int \frac{dx}{\sqrt{x + a} + \sqrt{x + b}}$ को हल करने के लिए,हम हर का परिमेयकरण करेंगे,अंश और हर को $(\sqrt{x + a} - \sqrt{x + b})$ से गुणा करके।
$I = \int \frac{\sqrt{x + a} - \sqrt{x + b}}{(x + a) - (x + b)} dx$
$I = \int \frac{\sqrt{x + a} - \sqrt{x + b}}{a - b} dx$
चूंकि $(a - b)$ एक स्थिरांक है,हम इसे समाकलन से बाहर ले सकते हैं:
$I = \frac{1}{a - b} \int ((x + a)^{1/2} - (x + b)^{1/2}) dx$
समाकलन के लिए घात नियम $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$ का उपयोग करते हुए:
$I = \frac{1}{a - b} [\frac{(x + a)^{3/2}}{3/2} - \frac{(x + b)^{3/2}}{3/2}] + C$
$I = \frac{2}{3(a - b)} [(x + a)^{3/2} - (x + b)^{3/2}] + C$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) हमें समाकलन $\int (\sin 2x + \cos 2x) dx$ दिया गया है।
पद दर पद समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\int \sin 2x dx + \int \cos 2x dx = -\frac{\cos 2x}{2} + \frac{\sin 2x}{2} + k$,जहाँ $k$ एक स्वैच्छिक स्थिरांक है।
हम इस व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2x \right) + k$.
चूंकि $\cos(\pi/4) = 1/\sqrt{2}$ और $\sin(\pi/4) = 1/\sqrt{2}$,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\frac{1}{\sqrt{2}} (\sin 2x \cos(\pi/4) - \cos 2x \sin(\pi/4)) + k$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin(2x - \pi/4) + k$.
इसे दिए गए रूप $\frac{1}{\sqrt{2}} \sin(2x - c) + a$ के साथ तुलना करने पर,हमें $c = \pi/4$ और $a = k$ (एक स्वैच्छिक स्थिरांक) प्राप्त होता है।

(D) हमें समाकलन $I = \int {\frac{{{x^3} - x - 2}}{{(1 - {x^2})}}\,dx}$ दिया गया है।
सबसे पहले,अंश को विभाजित करके समाकल्य को सरल करें:
$I = \int {\frac{{x({x^2} - 1) - 2}}{{(1 - {x^2})}}\,dx}$
चूंकि $x^2 - 1 = -(1 - x^2)$,हम लिख सकते हैं:
$I = \int {\frac{{-x(1 - {x^2}) - 2}}{{(1 - {x^2})}}\,dx}$
$I = \int {\left( -x - \frac{2}{{1 - {x^2}}} \right)\,dx}$
$I = -\int {x\,dx} - 2\int {\frac{1}{{1 - {x^2}}}\,dx}$
मानक समाकलन सूत्र $\int {\frac{1}{{{a^2} - {x^2}}}\,dx} = \frac{1}{{2a}}\log \left| {\frac{{a + x}}{{a - x}}} \right| + c$ का उपयोग करते हुए,$a=1$ के लिए:
$I = -\frac{{{x^2}}}{2} - 2 \left( \frac{1}{2} \log \left| {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right| \right) + c$
$I = -\frac{{{x^2}}}{2} - \log \left| {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right| + c$
चूंकि $-\log \left| {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right| = \log \left| {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right| = \log \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right|$,हमें प्राप्त होता है:
$I = \log \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| - \frac{{{x^2}}}{2} + c$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) माना $I = \int {\frac{{{x^2}dx}}{{{{(a + bx)}^2}}}}$.
$t = a + bx$ प्रतिस्थापन करने पर,$x = \frac{{t - a}}{b}$ और $dx = \frac{{dt}}{b}$ प्राप्त होता है।
समाकलन में मान रखने पर:
$I = \int {\frac{{{{(\frac{{t - a}}{b})}^2}}}{{{t^2}}} \cdot \frac{{dt}}{b}} = \frac{1}{{{b^3}}} \int {\frac{{{t^2} - 2at + {a^2}}}{{{t^2}}} dt}$
$I = \frac{1}{{{b^3}}} \int {(1 - \frac{{2a}}{t} + \frac{{{a^2}}}{{{t^2}}}) dt}$
$I = \frac{1}{{{b^3}}} [t - 2a \log |t| - \frac{{{a^2}}}{t}] + C$
$t = a + bx$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{{{b^3}}} [a + bx - 2a \log |a + bx| - \frac{{{a^2}}}{{a + bx}}] + C$
अचर $a$ को समाकलन अचर $C$ में समाहित करने पर,हमें विकल्प $A$ के अनुरूप उत्तर प्राप्त होता है।

(D) माना $I = \int {\frac{{dx}}{{\sin x - \cos x + \sqrt 2 }}} $.
हर को $\sqrt{2} (\sin x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - \cos x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 1) = \sqrt{2} (\sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4} + 1) = \sqrt{2} (1 - \cos(x + \frac{\pi}{4}))$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{1 - \cos(x + \frac{\pi}{4})} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{2 \sin^2(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8})}$.
इस प्रकार,$I = \frac{1}{2\sqrt{2}} \int \csc^2(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}) dx$.
समाकलन करने पर,$I = \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{-\cot(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8})}{1/2} + c = -\frac{1}{\sqrt{2}} \cot(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}) + c$.

(A) हमें समाकलन $I = \int \frac{dx}{3 - 2x - x^2}$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,हर (denominator) में पूर्ण वर्ग बनाने पर: $3 - 2x - x^2 = 4 - (x^2 + 2x + 1) = 4 - (x + 1)^2$.
अतः,$I = \int \frac{dx}{4 - (x + 1)^2}$.
माना $t = x + 1$,तो $dt = dx$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \int \frac{dt}{2^2 - t^2}$.
मानक सूत्र $\int \frac{dt}{a^2 - t^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a + t}{a - t} \right| + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = 2$:
$I = \frac{1}{2(2)} \log \left| \frac{2 + t}{2 - t} \right| + C = \frac{1}{4} \log \left| \frac{2 + (x + 1)}{2 - (x + 1)} \right| + C = \frac{1}{4} \log \left| \frac{3 + x}{1 - x} \right| + C$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) सबसे पहले,${F_1}(x)$ और ${F_2}(x)$ के लिए समाकलन का मान ज्ञात करें।
${F_1}(x) = \int_2^x (2t - 5) dt = [t^2 - 5t]_2^x = (x^2 - 5x) - (2^2 - 5(2)) = x^2 - 5x + 6$.
${F_2}(x) = \int_0^x 2t dt = [t^2]_0^x = x^2 - 0^2 = x^2$.
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,${F_1}(x) = {F_2}(x)$ रखें:
$x^2 - 5x + 6 = x^2$.
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर,हमें $-5x + 6 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $5x = 6$,इसलिए $x = \frac{6}{5}$.
अब,$y$-निर्देशांक ज्ञात करने के लिए $x = \frac{6}{5}$ को ${F_2}(x)$ में रखें:
$y = x^2 = \left( \frac{6}{5} \right)^2 = \frac{36}{25}$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $\left( \frac{6}{5}, \frac{36}{25} \right)$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = e^x + \cos x + x + \tan x$
हल ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करते हैं:
$y = \int (e^x + \cos x + x + \tan x) dx$
मानक समाकलनों का उपयोग करते हुए:
$\int e^x dx = e^x$
$\int \cos x dx = \sin x$
$\int x dx = \frac{x^2}{2}$
$\int \tan x dx = \log |\sec x|$
इन सबको संयोजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = e^x + \sin x + \frac{x^2}{2} + \log |\sec x| + c$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{d^2y}{dx^2} = e^{-2x}$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int \frac{d^2y}{dx^2} dx = \int e^{-2x} dx$
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^{-2x}}{-2} + c = -\frac{1}{2}e^{-2x} + c$ प्राप्त होता है।
पुनः दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int \frac{dy}{dx} dx = \int (-\frac{1}{2}e^{-2x} + c) dx$
$y = -\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{-2x}}{-2} + cx + d$
$y = \frac{1}{4}e^{-2x} + cx + d$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) माना $I = \int \frac{dx}{\cos x + \sqrt{3} \sin x}$.
$2$ से गुणा और भाग करने पर:
$I = \int \frac{dx}{2 \left( \frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \right)}$.
$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ और $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{\sin \frac{\pi}{6} \cos x + \cos \frac{\pi}{6} \sin x}$.
सूत्र $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{\sin(x + \frac{\pi}{6})} = \frac{1}{2} \int \csc(x + \frac{\pi}{6}) dx$.
मानक समाकलन $\int \csc \theta d\theta = \log |\tan \frac{\theta}{2}| + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \log |\tan(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{12})| + C$.

(C) माना $I = \sqrt{2} \int \frac{\sin x}{\sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right)} dx$.
$x = (x - \frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर।
$I = \sqrt{2} \int \frac{\sin \left( (x - \frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} \right)}{\sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right)} dx$.
$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$I = \sqrt{2} \int \frac{\sin(x - \frac{\pi}{4}) \cos(\frac{\pi}{4}) + \cos(x - \frac{\pi}{4}) \sin(\frac{\pi}{4})}{\sin(x - \frac{\pi}{4})} dx$.
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$:
$I = \sqrt{2} \int \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \cot(x - \frac{\pi}{4}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \right) dx$.
$I = \int (1 + \cot(x - \frac{\pi}{4})) dx$.
$I = x + \ln \left| \sin(x - \frac{\pi}{4}) \right| + c$.

(A) हमें समाकलन $I = \int \sqrt{1 + \sin \left( \frac{x}{4} \right)} \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta$ और $\sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta = \frac{x}{8}$:
$1 + \sin \left( \frac{x}{4} \right) = \sin^2 \frac{x}{8} + \cos^2 \frac{x}{8} + 2\sin \frac{x}{8} \cos \frac{x}{8} = \left( \sin \frac{x}{8} + \cos \frac{x}{8} \right)^2$.
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \sqrt{\left( \sin \frac{x}{8} + \cos \frac{x}{8} \right)^2} \, dx = \int \left( \sin \frac{x}{8} + \cos \frac{x}{8} \right) \, dx$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \frac{-\cos(x/8)}{1/8} + \frac{\sin(x/8)}{1/8} + c = 8\left( \sin \frac{x}{8} - \cos \frac{x}{8} \right) + c$.

(B) दिया गया समाकलन: $I = \int {\frac{{1 + x + \sqrt {x(1 + x)} }}{{\sqrt x + \sqrt {1 + x} }}dx}$
अंश का गुणनखंड करने पर: $1 + x + \sqrt x \sqrt {1 + x} = \sqrt {1 + x} (\sqrt {1 + x} + \sqrt x)$
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int {\frac{{\sqrt {1 + x} (\sqrt {1 + x} + \sqrt x )}}{{\sqrt x + \sqrt {1 + x} }}dx}$
उभयनिष्ठ पद $(\sqrt {1 + x} + \sqrt x)$ को काटने पर: $I = \int {\sqrt {1 + x} \,dx}$
घात नियम $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1}$ का उपयोग करके समाकलन करने पर: $I = \frac{(1 + x)^{3/2}}{3/2} + c = \frac{2}{3}(1 + x)^{3/2} + c$.

(C) माना $I = \int \frac{1 - x^7}{x(1 + x^7)} dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{1 - x^7}{x(1 + x^7)} = \frac{1 + x^7 - 2x^7}{x(1 + x^7)} = \frac{1}{x} - \frac{2x^7}{x(1 + x^7)} = \frac{1}{x} - \frac{2x^6}{1 + x^7}$.
अब,प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{2x^6}{1 + x^7} dx$.
दूसरे समाकलन के लिए,मान लीजिए $u = 1 + x^7$,तो $du = 7x^6 dx$,जिसका अर्थ है कि $x^6 dx = \frac{du}{7}$.
$I = ln |x| - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{7} = ln |x| - \frac{2}{7} ln |u| + c$.
$u = 1 + x^7$ का मान वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = ln |x| - \frac{2}{7} ln (1 + x^7) + c$.

(B) माना $I = \int \sqrt{1 + 2 \cot x (\cot x + \csc x)} \, dx$.
सर्वसमिका $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$ का उपयोग करते हुए,हम वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को फिर से लिख सकते हैं:
$1 + 2 \cot^2 x + 2 \cot x \csc x = \csc^2 x + \cot^2 x + 2 \cot x \csc x$.
यह एक पूर्ण वर्ग है: $(\csc x + \cot x)^2$.
अतः,$I = \int \sqrt{(\csc x + \cot x)^2} \, dx = \int (\csc x + \cot x) \, dx$.
$\csc x$ का समाकलन $\ln|\csc x - \cot x|$ है और $\cot x$ का समाकलन $\ln|\sin x|$ है।
वैकल्पिक रूप से,$\csc x + \cot x = \frac{1 + \cos x}{\sin x} = \frac{2 \cos^2(x/2)}{2 \sin(x/2) \cos(x/2)} = \cot(x/2)$.
$\cot(x/2)$ का समाकलन $2 \ln|\sin(x/2)| + c$ होता है।

(C) मान लीजिए $F(x)$,$f(x)$ का आदि फलन है। तब $F(x) = \int f(x) \, dx = \int (\pi \sin(\pi x) + 2x - 4) \, dx$.
पद-दर-पद समाकलन करने पर,$F(x) = -\cos(\pi x) + x^2 - 4x + C$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $F(1) = 3$,इसलिए $x = 1$ रखने पर:
$F(1) = -\cos(\pi) + (1)^2 - 4(1) + C = 3$.
चूंकि $\cos(\pi) = -1$,इसलिए $-(-1) + 1 - 4 + C = 3$,जो $1 + 1 - 4 + C = 3$ में सरल होता है,यानी $-2 + C = 3$,जिससे $C = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,$F(x) = -\cos(\pi x) + x^2 - 4x + 5$.
हम वह $x$ ज्ञात करना चाहते हैं जिसके लिए $F(x) = 0$,इसलिए $-\cos(\pi x) + x^2 - 4x + 5 = 0$,या $\cos(\pi x) = x^2 - 4x + 5$.
दाहिनी ओर को $(x-2)^2 + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $\cos(\pi x) \le 1$ और $(x-2)^2 + 1 \ge 1$,यह समीकरण केवल तभी सत्य है जब $\cos(\pi x) = 1$ और $(x-2)^2 + 1 = 1$ हो।
$(x-2)^2 + 1 = 1$ का अर्थ है $(x-2)^2 = 0$,इसलिए $x = 2$.
$x = 2$ को कोसाइन पद में जाँचने पर: $\cos(2\pi) = 1$.
अतः,$x = 2$ ही एकमात्र हल है।

(A) हमें $f(x) = \frac{1}{x} \ln \left( \frac{x}{e^x} \right)$ दिया गया है।
आदिम (अनिश्चित समाकलन) ज्ञात करने के लिए,हम $\int f(x) \, dx = \int \frac{1}{x} \ln \left( \frac{x}{e^x} \right) \, dx$ की गणना करते हैं।
लघुगणक के गुण $\ln \left( \frac{a}{b} \right) = \ln a - \ln b$ का उपयोग करने पर:
$\int \frac{1}{x} (\ln x - \ln e^x) \, dx = \int \frac{\ln x - x}{x} \, dx$ प्राप्त होता है।
यह $\int \left( \frac{\ln x}{x} - 1 \right) \, dx$ में सरल हो जाता है।
समाकलन को अलग करने पर: $\int \frac{\ln x}{x} \, dx - \int 1 \, dx$।
पहले भाग के लिए,मान लीजिए $u = \ln x$,तो $du = \frac{1}{x} \, dx$। समाकलन $\int u \, du = \frac{u^2}{2} = \frac{(\ln x)^2}{2}$ हो जाता है।
दूसरे भाग के लिए,$\int 1 \, dx = x$।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $\frac{1}{2} \ln^2 x - x + C$ प्राप्त होता है।

(B) व्यंजक $x \cdot \int \frac{dx}{x}$ पर विचार करें।
हम जानते हैं कि $\int \frac{dx}{x} = \ln |x| + C$ होता है।
अतः,$x \cdot \int \frac{dx}{x} = x(\ln |x| + C) = x \ln |x| + Cx$ होगा।
इस परिणाम की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प $B$ सही है।

(D) दिया गया समाकलन $I = \int \sqrt{1 + \sin \frac{x}{2}} dx$ है।
सर्वसमिका $1 + \sin \theta = (\sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2})^2$ का उपयोग करने पर:
$1 + \sin \frac{x}{2} = (\sin \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{4})^2$.
अतः,$\sqrt{1 + \sin \frac{x}{2}} = |\sin \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{4}|$.
मान लीजिए कि $\sin \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{4} > 0$ है,तो:
$I = \int (\sin \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{4}) dx$.
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$I = -4 \cos \frac{x}{4} + 4 \sin \frac{x}{4} + C$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$I = 4 (\sin \frac{x}{4} - \cos \frac{x}{4}) + C$.
सर्वसमिका $\sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta - \frac{\pi}{4})$ का उपयोग करने पर:
$I = 4 \sqrt{2} \sin(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{4}) + C$.
दिए गए रूप $A \sin(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{4})$ के साथ तुलना करने पर,$A = 4\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(B) हमें समाकलन $\int {\frac{{{a^x}{e^{3x}}}}{{{b^x}{c^x}}}} dx$ दिया गया है।
इसे $\int {\left( {\frac{{a{e^3}}}{{bc}}} \right)^x} dx$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मानक समाकलन सूत्र $\int {A^x} dx = \frac{{A^x}}{{\log A}} + K$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = \frac{{a{e^3}}}{{bc}}$,हमें प्राप्त होता है:
$\int {\left( {\frac{{a{e^3}}}{{bc}}} \right)^x} dx = \frac{{{{\left( {\frac{{a{e^3}}}{{bc}}} \right)}^x}}}{{\log \left( {\frac{{a{e^3}}}{{bc}}} \right)}} + K$.
इसे दिए गए व्यंजक $\frac{1}{P}\left( {\frac{{{a^x}{e^{3x}}}}{{{b^x}{c^x}}}} \right) + K$ के साथ तुलना करने पर,हमें $P = \log \left( {\frac{{a{e^3}}}{{bc}}} \right)$ प्राप्त होता है।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए,$P = \log (a{e^3}) - \log (bc) = \log a + \log ({e^3}) - \log (bc) = \log a + 3 - \log b - \log c$।

(D) माना $I = \int {\sin x \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x} \, dx$.
$2$ से गुणा और भाग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \int {\sin 2x \cos 2x \cos 4x \cos 8x} \, dx$.
पुनः $2$ से गुणा और भाग करने पर:
$I = \frac{1}{4} \int {\sin 4x \cos 4x \cos 8x} \, dx$.
पुनः $2$ से गुणा और भाग करने पर:
$I = \frac{1}{8} \int {\sin 8x \cos 8x} \, dx$.
पुनः $2$ से गुणा और भाग करने पर:
$I = \frac{1}{16} \int {\sin 16x} \, dx$.
$\sin 16x$ का समाकलन करने पर:
$I = \frac{1}{16} \left( -\frac{\cos 16x}{16} \right) + C = -\frac{1}{256} \cos 16x + C$.

(A) माना $I = \int x^x (1 + \ln x) dx$ है।
फलन $f(x) = x^x$ पर विचार करें।
$f(x)$ का अवकलन करने के लिए,दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln f(x) = \ln(x^x) = x \ln x$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{f(x)} f'(x) = \frac{d}{dx}(x \ln x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$।
अतः,$f'(x) = f(x) (1 + \ln x) = x^x (1 + \ln x)$।
चूंकि समाकल्य $\int f'(x) dx$ के रूप में है,इसलिए इसका समाकलन $f(x) + C$ होगा।
अतः,$I = x^x + C$।

(C) दिया गया समाकलन $\int {\frac{{{a^x}{e^{2x}}}}{{{b^x}{c^x}}}} dx = \int {\left( {\frac{{a{e^2}}}{{bc}}} \right)^x} dx$ है।
सूत्र $\int {m^x} dx = \frac{{m^x}}{{\ln m}} + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $m = \frac{{a{e^2}}}{{bc}}$,हमें प्राप्त होता है:
$\int {\left( {\frac{{a{e^2}}}{{bc}}} \right)^x} dx = \frac{{{{\left( {\frac{{a{e^2}}}{{bc}}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{{a{e^2}}}{{bc}}} \right)}} + l$.
इसे दिए गए रूप $\frac{1}{k}\left( {\frac{{{a^x}{e^{2x}}}}{{{b^x}{c^x}}}} \right) + l$ के साथ तुलना करने पर,$k = \ln \left( {\frac{{a{e^2}}}{{bc}}} \right)$ प्राप्त होता है।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए,$k = \ln a + \ln(e^2) - \ln b - \ln c = \ln a + 2 - \ln b - \ln c$.
अतः,$k = \ln a - \ln b - \ln c + 2$.

(C) माना $I = \int \frac{\cos x}{\cos (x - a)} dx - \int \frac{\sin x}{\sin (x - a)} dx = I_1 - I_2$.
$I_1 = \int \frac{\cos x}{\cos (x - a)} dx$ के लिए,$x = (x - a) + a$ प्रतिस्थापित करें:
$I_1 = \int \frac{\cos((x - a) + a)}{\cos (x - a)} dx = \int \frac{\cos(x - a) \cos a - \sin(x - a) \sin a}{\cos (x - a)} dx$
$I_1 = \cos a \int dx - \sin a \int \tan(x - a) dx = x \cos a + \sin a \log |\cos(x - a)| + C_1$.
$I_2 = \int \frac{\sin x}{\sin (x - a)} dx$ के लिए,$x = (x - a) + a$ प्रतिस्थापित करें:
$I_2 = \int \frac{\sin((x - a) + a)}{\sin (x - a)} dx = \int \frac{\sin(x - a) \cos a + \cos(x - a) \sin a}{\sin (x - a)} dx$
$I_2 = \cos a \int dx + \sin a \int \cot(x - a) dx = x \cos a + \sin a \log |\sin(x - a)| + C_2$.
अब,$I = I_1 - I_2 = (x \cos a + \sin a \log |\cos(x - a)|) - (x \cos a + \sin a \log |\sin(x - a)|) + C$
$I = \sin a (\log |\cos(x - a)| - \log |\sin(x - a)|) + C$
$I = \sin a \log \left| \frac{\cos(x - a)}{\sin(x - a)} \right| + C = \sin a \log |\cot(x - a)| + C$.

(B) माना $I = \int \frac{4x^3 + \lambda 4^x}{4^x + x^4} \, dx$.
दिया गया है कि $I = \log(4^x + x^4) + c$.
माना $f(x) = 4^x + x^4$.
तब,अवकलज $f'(x) = \frac{d}{dx}(4^x + x^4) = 4^x \ln 4 + 4x^3$.
हम जानते हैं कि $\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + c$.
दिए गए समाकल $\int \frac{4x^3 + \lambda 4^x}{4^x + x^4} \, dx$ की तुलना $\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx$ से करने पर:
$4x^3 + \lambda 4^x = 4x^3 + 4^x \ln 4$.
$4^x$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $\lambda = \ln 4$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि $\sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$ होता है।
अतः,समाकलन $\int |\sin x| dx$ बन जाता है।
मापांक फलन की परिभाषा के अनुसार:
$\int |\sin x| dx = \begin{cases} \int \sin x dx & \text{यदि } \sin x \ge 0 \\ -\int \sin x dx & \text{यदि } \sin x < 0 \end{cases}$
इन समाकलनों का मान निकालने पर:
यदि $\sin x \ge 0$ है,तो समाकलन $-\cos x + c$ होता है।
यदि $\sin x < 0$ है,तो समाकलन $\cos x + c$ होता है।
इसे साइनम फलन का उपयोग करके $-\cos x \cdot \text{sgn}(\sin x) + c$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) माना $I = \int \tan^4 x \, dx$.
हम $\tan^4 x$ को $\tan^2 x \cdot \tan^2 x$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \tan^2 x (\sec^2 x - 1) \, dx$
$I = \int \tan^2 x \sec^2 x \, dx - \int \tan^2 x \, dx$
$I = \int \tan^2 x \sec^2 x \, dx - \int (\sec^2 x - 1) \, dx$
पहले समाकलन के लिए,$u = \tan x$ लें,तो $du = \sec^2 x \, dx$ होगा।
$I = \int u^2 \, du - (\tan x - x) + c$
$I = \frac{u^3}{3} - \tan x + x + c$
$u = \tan x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{3} \tan^3 x - \tan x + x + c$.

(B) माना $y = \frac{x - 4}{x + 2}$.
तब $x - 4 = y(x + 2) \Rightarrow x - 4 = xy + 2y$.
$x(1 - y) = 2y + 4 \Rightarrow x = \frac{2y + 4}{1 - y}$.
$x$ का मान $f(y) = 2x + 1$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है $f(y) = 2\left( \frac{2y + 4}{1 - y} \right) + 1$.
$f(y) = \frac{4y + 8 + 1 - y}{1 - y} = \frac{3y + 9}{1 - y}$.
अतः,$f(x) = \frac{3x + 9}{1 - x} = \frac{3(x - 1 + 4)}{1 - x} = \frac{3(x - 1)}{1 - x} + \frac{12}{1 - x} = -3 + \frac{12}{1 - x}$.
अब,$\int f(x) \,dx = \int \left( -3 + \frac{12}{1 - x} \right) \,dx$.
$= -3x + 12 \int \frac{1}{1 - x} \,dx$.
$= -3x + 12 \left( \frac{\log_e |1 - x|}{-1} \right) + C$.
$= -12 \log_e |1 - x| - 3x + C$.

(A) माना $I = \int \sqrt{1 + 2\cot x \csc x + 2\cot^2 x} \,dx$.
चूँकि $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$,इसलिए $1 + 2\cot^2 x = \csc^2 x + \cot^2 x$ होता है।
अतः,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक $\csc^2 x + \cot^2 x + 2\cot x \csc x = (\csc x + \cot x)^2$ होगा।
चूँकि $0 < x < \frac{\pi}{2}$ है,इसलिए $\csc x + \cot x > 0$ है,अतः $\sqrt{(\csc x + \cot x)^2} = \csc x + \cot x$ प्राप्त होता है।
$I = \int (\csc x + \cot x) \,dx$.
मानक समाकलन $\int \csc x \,dx = \log |\csc x - \cot x| + C$ और $\int \cot x \,dx = \log |\sin x| + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \log |\csc x - \cot x| + \log |\sin x| + C$.
$I = \log \left| \frac{1 - \cos x}{\sin x} \cdot \sin x \right| + C = \log |1 - \cos x| + C$.
$1 - \cos x = 2\sin^2 \frac{x}{2}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$I = \log |2\sin^2 \frac{x}{2}| + C = \log 2 + 2\log |\sin \frac{x}{2}| + C$.
स्थिरांक $C$ में $\log 2$ को समाहित करने पर,$I = 2\log |\sin \frac{x}{2}| + C$ प्राप्त होता है।

(B) माना $t = \frac{3x - 4}{3x + 4}$.
तब $3xt + 4t = 3x - 4$,जिसका अर्थ है $x(3t - 3) = -4t - 4$,इसलिए $x = \frac{4t + 4}{3 - 3t}$.
इसे फलन में प्रतिस्थापित करने पर: $f(t) = \frac{4t + 4}{3 - 3t} + 2 = \frac{4t + 4 + 6 - 6t}{3 - 3t} = \frac{10 - 2t}{3 - 3t}$.
अतः,$f(x) = \frac{10 - 2x}{3 - 3x} = \frac{2x - 10}{3x - 3}$.
अब,$\int f(x) dx = \int \frac{2x - 10}{3(x - 1)} dx = \frac{2}{3} \int \frac{x - 1 - 4}{x - 1} dx = \frac{2}{3} \int (1 - \frac{4}{x - 1}) dx$.
$= \frac{2}{3} x - \frac{8}{3} \ln |x - 1| + C = -\frac{8}{3} \ln |1 - x| + \frac{2}{3} x + C$.
$A \log |1 - x| + Bx + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = -\frac{8}{3}$ और $B = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है.
इसलिए,क्रमित युग्म $(A, B) = \left( -\frac{8}{3}, \frac{2}{3} \right)$ है।

(D) कथन-$2$: $\cos^3 x$ एक आवर्ती फलन है। यह एक सत्य कथन है क्योंकि $\cos x$,$2\pi$ आवर्तकाल का एक आवर्ती फलन है,और किसी भी आवर्ती फलन की घात भी आवर्ती होती है।
दिया गया है $f(x) = \int \cos^3 x \, dx$.
सर्वसमिका $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ का उपयोग करने पर,$\cos^3 x = \frac{\cos 3x + 3\cos x}{4}$.
$f(x) = \int \left(\frac{\cos 3x}{4} + \frac{3\cos x}{4}\right) dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin 3x}{3} + \frac{3}{4} \sin x + C = \frac{1}{12} \sin 3x + \frac{3}{4} \sin x + C$.
$\sin 3x$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{3}$ है और $\sin x$ का आवर्तकाल $2\pi$ है।
दो आवर्ती फलनों के योग का आवर्तकाल उनके व्यक्तिगत आवर्तकालों का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ होता है।
$f(x)$ का आवर्तकाल = $\text{LCM}\left(\frac{2\pi}{3}, 2\pi\right) = 2\pi$.
चूंकि आवर्तकाल $2\pi$ है न कि $\pi$,इसलिए कथन-$1$ असत्य है।

(A) माना $I = \int \frac{x^2 - x}{x^3 - x^2 + x - 1} dx$.
हर का गुणनखंड करने पर: $x^3 - x^2 + x - 1 = x^2(x - 1) + 1(x - 1) = (x^2 + 1)(x - 1)$.
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \frac{x(x - 1)}{(x^2 + 1)(x - 1)} dx$.
उभयनिष्ठ पद $(x - 1)$ को काटने पर: $I = \int \frac{x}{x^2 + 1} dx$.
$2$ से गुणा और भाग करने पर: $I = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2 + 1} dx$.
माना $u = x^2 + 1$,तब $du = 2x dx$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \log |u| + c$.
चूंकि $x^2 + 1 > 0$ सभी वास्तविक $x$ के लिए है,इसलिए: $I = \frac{1}{2} \log (x^2 + 1) + c$.

(C) हमें $I = \int \frac{\sin \frac{5x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} dx$ का मान ज्ञात करना है।
अंश और हर को $2 \cos \frac{x}{2}$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{2 \sin \frac{5x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} dx$
सूत्र $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{\sin(3x) + \sin(2x)}{\sin x} dx$
$\sin(3x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ और $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{3 \sin x - 4 \sin^3 x + 2 \sin x \cos x}{\sin x} dx$
$I = \int (3 - 4 \sin^2 x + 2 \cos x) dx$
$4 \sin^2 x = 2(1 - \cos 2x)$ का उपयोग करने पर:
$I = \int (3 - 2(1 - \cos 2x) + 2 \cos x) dx$
$I = \int (1 + 2 \cos 2x + 2 \cos x) dx$
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = x + \sin 2x + 2 \sin x + c$.

(A) हमें समाकलन $\int {\left( {\frac{{{x^3} + 2}}{{{x^3}}}} \right)dx}$ दिया गया है।
सबसे पहले,अंश के प्रत्येक पद को हर से विभाजित करके समाकल्य को सरल करें:
$\frac{{{x^3} + 2}}{{{x^3}}} = \frac{{{x^3}}}{{{x^3}}} + \frac{2}{{{x^3}}} = 1 + 2{x^{ - 3}}$.
अब,$x$ के सापेक्ष प्रत्येक पद का समाकलन करें:
$\int {(1 + 2{x^{ - 3}})dx} = \int {1dx} + 2\int {{x^{ - 3}}dx}$.
घात नियम $\int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + c$ ($n \neq -1$ के लिए) का उपयोग करते हुए:
$= x + 2\left( {\frac{{{x^{ - 3 + 1}}}}{{ - 3 + 1}}} \right) + c$
$= x + 2\left( {\frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}}} \right) + c$
$= x - {x^{ - 2}} + c$
$= x - \frac{1}{{{x^2}}} + c$.

(A) हम एक ऐसा फलन खोजते हैं जिसका अवकलज $\cos 2x$ हो।
याद कीजिए कि $\sin 2x$ का अवकलज इस प्रकार है:
$\frac{d}{dx} (\sin 2x) = 2 \cos 2x$
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{2} \frac{d}{dx} (\sin 2x) = \cos 2x$
अवकलन के रैखिकता गुण का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} \sin 2x \right) = \cos 2x$
अतः,$\cos 2x$ का एक प्रति-अवकलज $\frac{1}{2} \sin 2x$ है।

(A) निरीक्षण विधि द्वारा $f(x) = 3x^{2} + 4x^{3}$ का प्रति-अवकलज ज्ञात करने के लिए,हम एक ऐसा फलन $F(x)$ ढूँढते हैं जिसके लिए $F'(x) = f(x)$ हो।
हम जानते हैं कि $x^{n}$ का अवकलज $nx^{n-1}$ होता है।
प्रथम पद $3x^{2}$ के लिए,हम देखते हैं कि $\frac{d}{dx}(x^{3}) = 3x^{2}$ होता है।
द्वितीय पद $4x^{3}$ के लिए,हम देखते हैं कि $\frac{d}{dx}(x^{4}) = 4x^{3}$ होता है।
अवकलन के रैखिकता गुणधर्म के अनुसार:
$\frac{d}{dx}(x^{3} + x^{4}) = \frac{d}{dx}(x^{3}) + \frac{d}{dx}(x^{4}) = 3x^{2} + 4x^{3}$।
अतः,$3x^{2} + 4x^{3}$ का एक प्रति-अवकलज $x^{3} + x^{4}$ है।

(A) हम जानते हैं कि $x > 0$ के लिए $\log x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलज $\frac{1}{x}$ होता है।
साथ ही,$x < 0$ के लिए,मान लीजिए $y = -x$,तो $\frac{d}{dx}(\log(-x)) = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x}$ होता है।
इन दोनों स्थितियों को मिलाने पर,हमें प्राप्त होता है कि $\frac{d}{dx}(\log |x|) = \frac{1}{x}$,जहाँ $x \neq 0$ है।
प्रति-अवकलज की परिभाषा के अनुसार,यदि $\frac{d}{dx}(F(x)) = f(x)$ है,तो $F(x)$,$f(x)$ का एक प्रति-अवकलज है।
अतः,$\log |x|$,$\frac{1}{x}$ का एक प्रति-अवकलज है।

(A) हमारे पास है $\int \frac{x^{3}-1}{x^{2}} dx = \int \left( \frac{x^{3}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \right) dx$
$= \int (x - x^{-2}) dx$
$= \int x dx - \int x^{-2} dx$
$= \frac{x^{1+1}}{1+1} - \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C$
$= \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{-1}}{-1} + C$
$= \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{x} + C$

(A) हम समाकलन के लिए घात नियम का उपयोग करते हैं,जो कहता है कि $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ जहाँ $n \neq -1$ है।
$\int \left(x^{\frac{2}{3}} + 1\right) dx = \int x^{\frac{2}{3}} dx + \int 1 dx$
$= \frac{x^{\frac{2}{3} + 1}}{\frac{2}{3} + 1} + x + C$
$= \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + x + C$
$= \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + x + C$

समाकलन के रैखिकता गुण का उपयोग करके हम समाकलन को अलग करते हैं:
$\int \left(x^{\frac{3}{2}} + 2e^{x} - \frac{1}{x}\right) dx = \int x^{\frac{3}{2}} dx + 2 \int e^{x} dx - \int \frac{1}{x} dx$
घात नियम $\int x^{n} dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ $(n \neq -1)$,चरघातांकीय नियम $\int e^{x} dx = e^{x} + C$,और लघुगणकीय नियम $\int \frac{1}{x} dx = \log |x| + C$ लागू करने पर:
$= \frac{x^{\frac{3}{2} + 1}}{\frac{3}{2} + 1} + 2e^{x} - \log |x| + C$
$= \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + 2e^{x} - \log |x| + C$
$= \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + 2e^{x} - \log |x| + C$

(A) हम समाकलन के रैखिकता गुण का उपयोग करते हैं: $\int (\sin x + \cos x) \, dx = \int \sin x \, dx + \int \cos x \, dx$.
हम जानते हैं कि $\int \sin x \, dx = -\cos x + C_1$ और $\int \cos x \, dx = \sin x + C_2$,अतः उन्हें जोड़ने पर:
$\int (\sin x + \cos x) \, dx = -\cos x + \sin x + C$,जहाँ $C = C_1 + C_2$ समाकलन का स्थिरांक है।

(A) हमारे पास समाकलन है: $\int \operatorname{cosec} x(\operatorname{cosec} x + \cot x) \, dx$
$\operatorname{cosec} x$ पद का वितरण करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\int (\operatorname{cosec}^2 x + \operatorname{cosec} x \cot x) \, dx$
समाकलन के रैखिकता गुण का उपयोग करके,हम समाकलन को अलग करते हैं:
$\int \operatorname{cosec}^2 x \, dx + \int \operatorname{cosec} x \cot x \, dx$
हम मानक समाकलन सूत्रों को जानते हैं:
$\int \operatorname{cosec}^2 x \, dx = -\cot x + C_1$
$\int \operatorname{cosec} x \cot x \, dx = -\operatorname{cosec} x + C_2$
इन परिणामों को संयोजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-\cot x - \operatorname{cosec} x + C$,जहाँ $C = C_1 + C_2$.

(A) हमारे पास समाकल है:
$\int \frac{1-\sin x}{\cos ^{2} x} d x$
भिन्न को दो भागों में विभाजित करें:
$= \int \left( \frac{1}{\cos ^{2} x} - \frac{\sin x}{\cos ^{2} x} \right) d x$
$= \int \sec ^{2} x d x - \int \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} d x$
$= \int \sec ^{2} x d x - \int \tan x \sec x d x$
मानक समाकलन सूत्रों $\int \sec ^{2} x d x = \tan x + C_1$ और $\int \sec x \tan x d x = \sec x + C_2$ का उपयोग करते हुए:
$= \tan x - \sec x + C$